Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 79
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál kúlunnar
∫ R
−R
(√
V =π R 2 −x 2) 2
dx
∫ R
=π (R 2 −x 2 )dx
−R
[
=π R 2 x− 1 ] R
3 x3 −R
=π
(R 2·R− 1 )
3·R3 −π
(R 2·(−R)− 1 )
3·(−R)3
= 4 3 πR3
4.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum
Þegar svæði, sem snúið er um x-ás, ákvarðast af ferlum tveggja falla, y = f(x)
og y=g(x), og báðir ferlarnir liggja sömu megin við snúningsás, þá er rúmmál
snúðsins sem myndast við snúninginn mismunur rúmmála þeirra snúða sem fram
koma þegar ferlum fallannaf ogg er snúið um ásinn.
y=f(x)
y=g(x)
a
b
a
b
Snúðurinn sem ferill fallsins f(x) myndar hefur stærri radíus en snúðurinn sem
ferill fallsinsg(x) myndar. Rúmmál snúðsins sem myndast við snúning svæðisins
milli ferlanna er því
V =π
∫ b
a
(
f(x)
) 2dx−π
∫ b
a
(
g(x)
) 2dx
eða
V =π
∫ b
a
((
f(x)
) 2− (
g(x)
) 2 )
dx (4.5)