Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 77
Um sérhvertx á bilinu[a,b] gildir semsagt aðV ′ (x)=π ( f(x) ) 2
. Falliðy=V(x)
er því stofnfall fallsinsy=π ( f(x) ) 2
og því er
V(x)=F(x)+k (4.2)
þar semF(x) er eitthvert stofnfall fyrirπ ( f(x) ) 2
. Ef við setjumainn fyrirx fæst:
eða
V(a)=F(a)+k
0=F(a)+k (vegna þess aðV(a)=0)
Þar sem 0=F(a)+k þá hlýturk=−F(a). Jöfnu (4.2) má því skrifa á forminu
V(x)=F(x)−F(a)=
∫ x
a
π ( f(x) ) 2
dx (4.3)
Rúmmál snúðsins á bilinu [a,b] er V(b) eins og sést á mynd á blaðsíðu 75.
Samkvæmt jöfnu (4.3) erV(b)=F(b)−F(a). Því fæst:
Rúmmál snúðsins sem myndast við að ferli samfellds falls y = f(x) ≥ 0 á bili
[a,b] er snúið einn hring umx-ás er:
V =π
∫ b
a
(
f(x)
) 2dx (4.4)
Dæmi 4.2.1. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsins
y= 1+x 2 er snúið umx-ás á bilinu[−1,1].
Lausn:
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins
∫ 1
−1
V =π (1+x 2 ) 2 dx
∫ 1
=π (1+2x 2 +x 4 )dx
−1
[
=π x+ 2 3 x3 + 1 ] 1
5 x5 −1
=π
(1+ 2 3·13 + 1 )
5·15
−π
((−1)+ 2 3·(−1)3 + 1 )
5·(−1)5
=π·56
15