Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

•
•
76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
f(x)
y=f(x)
f(x 0 )
a
b
Á myndinni hér til hliðar er ferill fallsins
y = f(x) í stærri mælikvarða. Rúmmál
snúðsins á myndinni erV(x)−V(x 0 ) því
það er mismunur rúmmála tveggja snúða:
Snúðsins sem ferill fallsins f(x) og x-ás
afmarka á bilinu [a,x] og snúðsins sem
ferill fallsinsf(x) ogx-ás afmarka á bilinu[a,x
0 ].
x 0
x
Snúðurinn hefur breiddina(x−x 0 ). Hann er stærri en sívalningur með hæð(x−x 0 )
og radíusf(x 0 ) og minna en sívalningur með hæð(x−x 0 ) og radíusf(x). Þar sem
rúmmál sívalnings með radíusr og hæðherπr 2 h fæst tvöfalda ójafnan
π ( f(x 0 ) ) 2·(x−x0 )≤V(x)−V(x 0 )≤π ( f(x) ) 2·(x−x0 ).
Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunni
π ( f(x 0 ) ) 2
≤
V(x)−V(x 0 )
x−x 0
≤π ( f(x) ) 2
. (4.1)
Þegarxstefnir áx 0 þá stefnir ( f(x) ) 2
á
(
f(x0 ) ) 2
vegna þess aðf (og þar meðf 2 )
er samfellt fall. Kvótinn
V(x)−V(x 0 )
x−x 0
er klemmdur á milli π ( f(x 0 ) ) 2
og π
(
f(x)
) 2. Hann hlýtur því líka að stefna á
π ( f(x 0 ) ) 2
.
Athugasemd 1. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfalda
ójafnan (4.1) gildir einnig efx