Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

•
•
•
•
•
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 75
4.2 Rúmmál snúða
4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli
Gerum ráð fyrir að falliðy=f(x) sé samfellt og jákvætt á bili[a,b]. Ferill fallsins
ogx-ás afmarka svæði. Ef svæðinu er snúið einn hring umx-ás mun það mynda
3-víðan hlut, svokallaðan snúð, meðx-ásinn sem samhverfuás.
y=f(x)
a
b
Setning 4.2.1. Rúmmál snúðsins sem fæst við að snúa svæðinu, sem afmarkast
afx-ás og ferli jákvæðs samfellds fallsy =f(x) á bili[a,b], einn hring um
x-ás er
V =π
∫ b
a
f 2 (x)dx
Sönnun. Gerum ráð fyrir aðy =f(x)≥0, samfellt og vaxandi fall á bilinu[a,b].
LátumV(x) tákna rúmmál snúðsins sem fæst með því að snúa svæðinu milli ferils
f og x-áss á bilinu [a,x] þar sem a ≤ x ≤ b. Eins og sjá má á meðfylgjandi
myndum verðurV(x) því stærra semx er stærra.V(x) er því fall afx.
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
b
b
•
V(x)
V(x)
a
x
a
x
V(b)
a
x=b