Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

•
4.1. FLATARMÁL 71
Athugum hvernig reikna á flatarmál skyggða svæðisins á meðfylgjandi mynd.
y=f(x)
y=g(x)
f efri
ferill
• •
g
efri
ferill
f efri ferill
a x 1 x 2 b
Flatarmálið er sem summa heilda:
A=
∫ x1
a
∫
( ) x2
∫
( ) b
( )
f(x)−g(x) dx+ g(x)−f(x) dx+ f(x)−g(x) dx
x 1 x 2
Dæmi 4.1.6. Finnum flatarmál skyggða svæðisins sem föllin f(x) = x + 1 og
g(x)=x 2 −1 afmarka á bilinu[−2,2].
Lausn: Ferlarnir eru teiknaðir í hnitakerfi til að sjá hvort þeir skerist og hvaða ferill
er efri ferill. Ferlarnir skerast í (-1,0) og (2,3). Falliðf er neðri ferill á bilinu[−2,−1]
en efri ferill á bilinu[−1,2]. Flatarmál skyggða svæðisins er
g(x)
f(x)
•
(2,3)
A=
∫ −1
−2
(
g(x)−f(x)
)
dx
∫ 2
( )
+ f(x)−g(x) dx
−1
=
∫ −1
−2
(
(x 2 −1)−(x+1) ) dx
∫ 2
(
+ (x+1)−(x 2 −1) ) dx
−1
−2 −1 2
=
∫ −1
−2
[ x
3
=
(
x 2 −x−2 ) dx+
3 −x2 2 −2x ] −1
−2
∫ 2
−1
(
2+x−x
2 ) dx
] 2
+
[2x+ x2
2 −x3 3 −1
= 11 6 + 9 2 = 19 3
4.1.3 Æfing
Dæmi 1. Teiknið feril gefna fallsins.
fallsins ogx-ás afmarka.
Finnið flatarmál svæðisins sem ferill
(a)f(x)=x 3 á bilinu[0,3]. (b)f(x)=4−x 2 .
(c)f(x)=x 3 −4x á bilinu[−2,0].
(d)f(x)=x 3 −4x á bilinu[2,4].