Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

Stæ 503
Seinni hluti Kaflar 4–6
Menntaskólinn við Hamrahlíð
Haust 2013

Efnisyfirlit
Efnisyfirlit 2
4 Hagnýting heildunar 65
4.1 Flatarmál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ás . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Rúmmál snúða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Runur og raðir 83
5.1 Summutáknið, þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 Summutáknið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.3 Þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.4 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Runur og raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Runur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Mismuna- og kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Mismunarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Diffurjöfnur 101
6.1 Inngangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2

64 EFNISYFIRLIT
Svör við æfingum
Æfing 4.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 6.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Æfing 6.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
i
v
vi
vi
vi
viii
viii
viii

Kafli 4
Hagnýting heildunar
4.1 Flatarmál
4.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ás
Í kafla 2 var sýnt að ef ferill falls y = f(x) liggur ofan við x-ás þá má reikna
flatarmál svæðisins sem ferillinn og x-ás afmarka á bili [a,b] með því að reikna
ákveðna heildið af fallinuf(x) á bilinu[a,b].
y=f(x)
A
A
y=f(x)
a
b
a
b
A= ∫ b
a f(x)dx=[ F(x) ] b
a =F(b)−F(a)
Ef ferill fallsins y = f(x) liggur fyrir neðan x-ás þá er ferill fallsins y = −f(x)
fyrir ofan ásinn. Flatarmál svæðisins semx-ás og ferillf(x) afmarka á bili[a,b]
er jafnt flatarmáli svæðisins semx-ás og ferilly=−f(x) afmarka.
a
b
a
y=f(x)
b
y=f(x)
A= ∫ b
a −f(x)dx=−[ F(x) ] b
a =−( F(b)−F(a) )
65

66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Þegar ferill fallsinsy =f(x) liggur að hluta til ofan viðx-ás og að hluta til neðan
við x-ás og finna á flatamál svæðisins á milli ferils ogx-áss þarf að finnax-hnit
punktanna þar sem ferillin fer yfir ásinn.
a
• • •
x 1 x 2 x 3
b
Á myndinni hér að ofan eru x-hnit skurðpunktanna þar sem ferillinn fer yfir
x-ásinn kölluð x 1 , x 2 og x 3 . Heildarflatarmál svæðisins sem afmarkast af ferli
fallsinsf(x) ogx-ás á bilinu[a,b] er:
A=
∫ x1
a
∫ x2
∫ x3
∫ b
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx+ f(x)dx
x 1 x 2 x 3
=− [ F(x) ] x 1
a +[ F(x) ] x 2
x 1
− [ F(x) ] x 3
x 2
+ [ F(x) ] b
x 3
Dæmi 4.1.1. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=2(1−x 2 ) og
x-ás afmarka.
Lausn: Þar sem ekkert bil [a,b] er tiltekið þá ráðast heildunarmörk af skurðpunktum
ferils viðx-ás. Skurðpunktarnir eru fundnir með því að leysa jöfnuna
svo
f(x)=0
eða 2(1−x 2 )=0
2(1−x)(1+x)=0
svo x=−1 eða x= 1.
Þegar ferill fallsins er teiknaður sést að svæðið er ofan viðx-ás. Flatarmálið er því
heildi fallsinsf(x) á bilinu[−1,1].
−1
• •
1
f(x)=2(1−x 2 )
∫ 1 ∫ 1
f(x)dx= 2(1−x 2 )dx
−1 −1
[ )] 1
= 2
(x− x3
3 −1
= 2(1−1/3)−2(−1+1/3)
= 4/3+4/3=8/3

4.1. FLATARMÁL 67
Dæmi 4.1.2. Reiknum heildarflatarmál svæðisins sem ferill fallsins
f(x)=(x+1)sin(πx) ogx-ás afmarka á bilinu[−1,2].
-1
• 0 • •
1 2
•
f(x)=(x+1)sin(πx)
Lausn: Svæðið sem ferill f(x) og x-ás afmarka á bilinu [−1,2] er að hluta til
fyrir ofanx-ás og að hluta til fyrir neðanx-ás. Þess vegna er ekki hægt að reikna
flatarmál svæðisins með einu heildi. Tveir hlutar svæðisins eru fyrir neðanx-ásinn
og einn hluti fyrir ofan x-ásinn; alls 3 hlutar. Heildarflatarmálið er því summa
þriggja heilda:
A=
∫ 0 ∫ 1 ∫ 2
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx
−1 0 1
Stofnfall fallsinsf(x) finnst með hlutheildun:
∫
(x+1)sin(πx)dx=(x+1)·−1
π ·cos(πx)− ∫
1·−1
π cos(πx)dx
Heildarflatarmál svæðisins er því:
=− (x+1)cos(πx)
π
[ sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
A=−
= 1 π + 3 π + 5 π
π 2
+ 1 π · 1
π ·sin(πx)
= sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
π 2
] 0
−1
[ ] 1 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
+
π 2 0
[ ] 2 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
−
π 2 1
= 9 π

•
•
•
68 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Dæmi 4.1.3. Ferill fallsinsf(x)= √ x og línany =−2x+10 skerast í punktinum
(4,2) eins og sýnt er á mynd.
(a) Finnum skurðpunkt línunnar viðx-ás.
(b) Finnum flatarmál skyggða svæðisins.
(4,2)
•
Lausn: (a) Línan skerx-ás þegar
−2x+10=0
Það gerist þegarx= 5.
(b) Skyggða svæðinu má skipta í tvo hluta.
Annar hlutinn afmarkast af x-ás og ferli
fallsins y= √ x á bilinu [0,4]. Hinn
hlutinn er þríhyrningur með flatarmál 1.
(4,2)
•
4 5
Flatarmál skyggða svæðisins er því:
∫ 4
0
√
xdx+1=
[ 2
3 x3/2 ] 4
0+1= 16
3 +1= 19 3
Dæmi 4.1.4. Athugum falliðf(x)=|x−1|, −2≤x≤ 2.
Á myndinni hér til hægri sést ferill fallsins f .
Finnum gildi fastanskef
∫ 0 ∫ 2
|x−1|dx=k |x−1|dx
−2
0
−2 1 2

•
•
•
4.1. FLATARMÁL 69
Lausn: Heildið vinstra megin jafnaðarmerkis er
flatarmál svæðis sem ferill f og x-ás afmarka á
bilinu [−2,0]. Heildið hægra megin er flatarmál
svæðis sem ferillf ogx-ás afmarka á bilinu[0,2].
Flatarmál þessara svæða eru auðreiknuð; 4 og 1.
Jafnan verður því
(−2,3)
(0,1) (2,1)
Þá erk=4.
4=k·1
−2 1 2
4.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum
Setning 4.1.1. Ef fölliny=f(x) ogy=g(x) eru samfelld á bili[a,b] og
g(x)≤f(x) fyrir öllx∈[a,b]
þá er flatarmál svæðisins milli ferlanna á bilinu[a,b]
A=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx.
Sönnun. Ef ferlar beggja falla eru ofan við x-ás þá er flatarmál svæðisins á milli
ferlanna mismunurinnA=A f −A g eins og sýnt er á myndinni hér að neðan.
A f
f(x)
g(x)
A
f(x)
A g
g(x)
a
b
a
b
a
b
A=A f −A g =
∫ b
a
∫ b
f(x)dx− g(x)dx=
a
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
Ef svæðið milli ferlanna er ekki allt ofan við x-ásinn þá er báðum ferlum hliðrað
upp með því að leggja fasta jákvæða tölukviðf(x) ogg(x).
f(x)+k
A
f(x)
b
A
g(x)+k
a
g(x)
a
b

g, neðri ferill
•
70 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Flatarmálið milli ferlanna er þá
A=
∫ b
a
(
(f(x)+k)−(g(x)+k
)
dx=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
Þegar svæði er afmarkað af ferlum tveggja fallaf(x) ogg(x) þar semg(x)≤f(x)
þá er ferill fallsinsf(x) kallaður efri ferill svæðisins og ferill fallsinsg(x) kallaður
neðri ferill svæðisins. Mismunurinn
f(x)−g(x)=„Efri ferill−Neðri ferill “
er heildaður fráatilbtil að ákvarða flatarmál svæðisins sem ferlarnir afmarka.
A
f , efri ferill
Svæðið afmarkast að ofan af efri ferli,
y = f(x) og að neðan af neðri ferli,
y=g(x).
A=
∫ b
a
( Efri ferill−Neðri ferill ) dx
=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
a
b
Dæmi 4.1.5. Finnum flatarmál svæðisins sem ferlar fallanna f(x) = 2x og
g(x)=x 2 −4x afmarka.
Lausn: Þegar ferlar fallanna eru teiknaðir í hnitakerfið sést að fleygboginn
g(x) = x 2 − 4x myndar neðri feril og línan f(x) = 2x er efri ferill. Ekkert er
minnst á bil[a,b] sem heilda á yfir svo heildunarmörkin ráðast af skurðpunktum
ferlanna sem eru(0,0) og(6,12); heildað er yfir bilið[0,6].
f(x)=2x
A
g(x)
=
x 2 − 4x
(6,12)
A=
=
=
=
∫ 6
0
∫ 6
0
∫ 6
0
(
f(x)−g(x)
)
dx
(
2x−(,x 2 −4x) ) dx
(6x−x 2 )dx
[3x 2 − x3
3
] 6
0
= 3·36− 63
3 = 36

•
4.1. FLATARMÁL 71
Athugum hvernig reikna á flatarmál skyggða svæðisins á meðfylgjandi mynd.
y=f(x)
y=g(x)
f efri
ferill
• •
g
efri
ferill
f efri ferill
a x 1 x 2 b
Flatarmálið er sem summa heilda:
A=
∫ x1
a
∫
( ) x2
∫
( ) b
( )
f(x)−g(x) dx+ g(x)−f(x) dx+ f(x)−g(x) dx
x 1 x 2
Dæmi 4.1.6. Finnum flatarmál skyggða svæðisins sem föllin f(x) = x + 1 og
g(x)=x 2 −1 afmarka á bilinu[−2,2].
Lausn: Ferlarnir eru teiknaðir í hnitakerfi til að sjá hvort þeir skerist og hvaða ferill
er efri ferill. Ferlarnir skerast í (-1,0) og (2,3). Falliðf er neðri ferill á bilinu[−2,−1]
en efri ferill á bilinu[−1,2]. Flatarmál skyggða svæðisins er
g(x)
f(x)
•
(2,3)
A=
∫ −1
−2
(
g(x)−f(x)
)
dx
∫ 2
( )
+ f(x)−g(x) dx
−1
=
∫ −1
−2
(
(x 2 −1)−(x+1) ) dx
∫ 2
(
+ (x+1)−(x 2 −1) ) dx
−1
−2 −1 2
=
∫ −1
−2
[ x
3
=
(
x 2 −x−2 ) dx+
3 −x2 2 −2x ] −1
−2
∫ 2
−1
(
2+x−x
2 ) dx
] 2
+
[2x+ x2
2 −x3 3 −1
= 11 6 + 9 2 = 19 3
4.1.3 Æfing
Dæmi 1. Teiknið feril gefna fallsins.
fallsins ogx-ás afmarka.
Finnið flatarmál svæðisins sem ferill
(a)f(x)=x 3 á bilinu[0,3]. (b)f(x)=4−x 2 .
(c)f(x)=x 3 −4x á bilinu[−2,0].
(d)f(x)=x 3 −4x á bilinu[2,4].

72 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Dæmi 2. Teiknið feril gefna fallsins.
fallsins ogx-ás afmarka.
Finnið flatarmál svæðisins sem ferill
(a)f(x)=e x +1 á bilinu[0,1].
(c)f(x)= 3
2−x
(b)f(x)=e 2x −1 á bilinu[1,2].
3
á bilinu[−1,1]. (d)f(x)= +1 á bilinu[−1,1/2].
x−1
Dæmi 3. Teiknið ferla gefnu fallanna.
fallanna afmarka.
(a)f(x)=2−x 2 ,g(x)=x.
(b)f(x)=x+2,g(x)=x 2 +x−2.
(c)f(x)=4−x,g(x)= 2
x−1 .
Finnið flatarmál svæðisins sem ferlar
Dæmi 4. (a) Teiknið ferla fallannaf(x)= √ x ogg(x)=6−x í hnitakerfið. Finnið
hnit skurðpunkts ferlanna.
(b) Finnið flatarmál svæðisins, í fyrsta fjórðungi, sem afmarkast af ferlum fallanna
ogx-ás.
Dæmi 5.
y= 3 2 x2 −6x+3.
Á myndinni hér að neðan sést ferill fallsinsy=
3 ∣ ∣∣∣
∣
2 x−3 og fleygboginn
3
-3
(a) Finnið fasta a, b og c þannig að flatarmál skyggða svæðisins megi rita sem
heildið ∫ 2
(ax 2 +bx+c)dx,
0
(b) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.

•
•
•
4.1. FLATARMÁL 73
Dæmi 6. Skoðum feril fallsinsf(x)=x 3 −x 2 −4x+4.
∫ 2
(a) Reiknið heildið f(x)dx.
−2
(b) Er gildi heildisins jafnt heildarflatarmáli
skyggða svæðisins? Rökstyðjið svarið.
−2
1 2
Dæmi 7. Gefið er falliðy= ln ( tan(x) ) 0

74 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Dæmi 10. Myndin sýnir feril fallsinsf(x)= √ x og snertil ferilsins í punktix=a.
P(a,f(a))
•
(a) Finnið jöfnu snertils í punktinumP.
(b) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.

•
•
•
•
•
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 75
4.2 Rúmmál snúða
4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli
Gerum ráð fyrir að falliðy=f(x) sé samfellt og jákvætt á bili[a,b]. Ferill fallsins
ogx-ás afmarka svæði. Ef svæðinu er snúið einn hring umx-ás mun það mynda
3-víðan hlut, svokallaðan snúð, meðx-ásinn sem samhverfuás.
y=f(x)
a
b
Setning 4.2.1. Rúmmál snúðsins sem fæst við að snúa svæðinu, sem afmarkast
afx-ás og ferli jákvæðs samfellds fallsy =f(x) á bili[a,b], einn hring um
x-ás er
V =π
∫ b
a
f 2 (x)dx
Sönnun. Gerum ráð fyrir aðy =f(x)≥0, samfellt og vaxandi fall á bilinu[a,b].
LátumV(x) tákna rúmmál snúðsins sem fæst með því að snúa svæðinu milli ferils
f og x-áss á bilinu [a,x] þar sem a ≤ x ≤ b. Eins og sjá má á meðfylgjandi
myndum verðurV(x) því stærra semx er stærra.V(x) er því fall afx.
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
b
b
•
V(x)
V(x)
a
x
a
x
V(b)
a
x=b

•
•
76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
f(x)
y=f(x)
f(x 0 )
a
b
Á myndinni hér til hliðar er ferill fallsins
y = f(x) í stærri mælikvarða. Rúmmál
snúðsins á myndinni erV(x)−V(x 0 ) því
það er mismunur rúmmála tveggja snúða:
Snúðsins sem ferill fallsins f(x) og x-ás
afmarka á bilinu [a,x] og snúðsins sem
ferill fallsinsf(x) ogx-ás afmarka á bilinu[a,x
0 ].
x 0
x
Snúðurinn hefur breiddina(x−x 0 ). Hann er stærri en sívalningur með hæð(x−x 0 )
og radíusf(x 0 ) og minna en sívalningur með hæð(x−x 0 ) og radíusf(x). Þar sem
rúmmál sívalnings með radíusr og hæðherπr 2 h fæst tvöfalda ójafnan
π ( f(x 0 ) ) 2·(x−x0 )≤V(x)−V(x 0 )≤π ( f(x) ) 2·(x−x0 ).
Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunni
π ( f(x 0 ) ) 2
≤
V(x)−V(x 0 )
x−x 0
≤π ( f(x) ) 2
. (4.1)
Þegarxstefnir áx 0 þá stefnir ( f(x) ) 2
á
(
f(x0 ) ) 2
vegna þess aðf (og þar meðf 2 )
er samfellt fall. Kvótinn
V(x)−V(x 0 )
x−x 0
er klemmdur á milli π ( f(x 0 ) ) 2
og π
(
f(x)
) 2. Hann hlýtur því líka að stefna á
π ( f(x 0 ) ) 2
.
Athugasemd 1. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfalda
ójafnan (4.1) gildir einnig efx

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 77
Um sérhvertx á bilinu[a,b] gildir semsagt aðV ′ (x)=π ( f(x) ) 2
. Falliðy=V(x)
er því stofnfall fallsinsy=π ( f(x) ) 2
og því er
V(x)=F(x)+k (4.2)
þar semF(x) er eitthvert stofnfall fyrirπ ( f(x) ) 2
. Ef við setjumainn fyrirx fæst:
eða
V(a)=F(a)+k
0=F(a)+k (vegna þess aðV(a)=0)
Þar sem 0=F(a)+k þá hlýturk=−F(a). Jöfnu (4.2) má því skrifa á forminu
V(x)=F(x)−F(a)=
∫ x
a
π ( f(x) ) 2
dx (4.3)
Rúmmál snúðsins á bilinu [a,b] er V(b) eins og sést á mynd á blaðsíðu 75.
Samkvæmt jöfnu (4.3) erV(b)=F(b)−F(a). Því fæst:
Rúmmál snúðsins sem myndast við að ferli samfellds falls y = f(x) ≥ 0 á bili
[a,b] er snúið einn hring umx-ás er:
V =π
∫ b
a
(
f(x)
) 2dx (4.4)
Dæmi 4.2.1. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsins
y= 1+x 2 er snúið umx-ás á bilinu[−1,1].
Lausn:
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins
∫ 1
−1
V =π (1+x 2 ) 2 dx
∫ 1
=π (1+2x 2 +x 4 )dx
−1
[
=π x+ 2 3 x3 + 1 ] 1
5 x5 −1
=π
(1+ 2 3·13 + 1 )
5·15
−π
((−1)+ 2 3·(−1)3 + 1 )
5·(−1)5
=π·56
15

78 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Dæmi 4.2.2. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsins
y= √ x er snúið umx-ás á bilinu[0,2].
Lausn:
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins
V =π
=π
∫ 2
0
∫ 2
0
(√
x
) 2dx
xdx
[ ] 1 2
=π
2 x2 0
( 1
=π
2·22 − 1 )
2·02
= 2π
Setning 4.2.2 (Rúmmál kúlu). Rúmmál kúlu með radíusR erV = 4 3 πR3 .
Sönnun. Kúla með radíus R myndast þegar hálfhring með radíus R er snúið um
x-ás.
Jafna hálfhringsins erx 2 +y 2 =R 2 , y≥ 0. Þegar jafnan er leyst fyriry fæst:
y= √ R 2 −x 2 −R≤x≤R
Hálfhringurinn er því ferill fallsinsf(x)= √ R 2 −x 2 , −R≤x≤R.

4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 79
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál kúlunnar
∫ R
−R
(√
V =π R 2 −x 2) 2
dx
∫ R
=π (R 2 −x 2 )dx
−R
[
=π R 2 x− 1 ] R
3 x3 −R
=π
(R 2·R− 1 )
3·R3 −π
(R 2·(−R)− 1 )
3·(−R)3
= 4 3 πR3
4.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum
Þegar svæði, sem snúið er um x-ás, ákvarðast af ferlum tveggja falla, y = f(x)
og y=g(x), og báðir ferlarnir liggja sömu megin við snúningsás, þá er rúmmál
snúðsins sem myndast við snúninginn mismunur rúmmála þeirra snúða sem fram
koma þegar ferlum fallannaf ogg er snúið um ásinn.
y=f(x)
y=g(x)
a
b
a
b
Snúðurinn sem ferill fallsins f(x) myndar hefur stærri radíus en snúðurinn sem
ferill fallsinsg(x) myndar. Rúmmál snúðsins sem myndast við snúning svæðisins
milli ferlanna er því
V =π
∫ b
a
(
f(x)
) 2dx−π
∫ b
a
(
g(x)
) 2dx
eða
V =π
∫ b
a
((
f(x)
) 2− (
g(x)
) 2 )
dx (4.5)

80 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Dæmi 4.2.3. Reiknum rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu, sem ferlarnir
y= √ x ogy=x 2 afmarka, er snúið einn hring umx-ás.
Lausn:
Þegar ferlarnir tveir eru teiknaðir sést aðy= √ x myndar stærri snúðinn.
y=x 2 y= √ x
1
Samkvæmt jöfnu (4.5) er rúmmál snúðsins
V =π
∫ 1
0
((√
x
) 2− (
x
2 ) 2)
dx
∫ 1
=π (x−x 4 )dx
0
[ 1
=π
2 x2 − 1 ] 1
5 x5 0
( 1
=π
2 5)
− 1
= 3π
10
4.2.3 Æfing
Dæmi 1. Í hverjum lið hér á eftir afmarka tveir ferlar svæði. Finnið rúmmál snúðsins
sem fram kemur þegar umræddu svæði er snúið hring umx-ásinn.
(a)y=x 2 ogx-ás á bilinu[0,3].
(b)y= 1−x 2 ogx-ás.
(c)y=x 2 +1 ogy=x+3. (d)y= 6−x 2 ogy= 2.
(e)y=x 2 ogy= 8−x 2 .

•
•
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 81
Dæmi 2. Finnið rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar svæðinu sem afmarkast
af gefna ferlinum ogx-ás er snúið umx-ásinn á bilinu[2,4].
(a)f(x)= 1 2 x+1. (b)f(x)=x2 +1. (c)f(x)=xe x .
(d)f(x)= √ x. (e)f(x)=e x +2e −x . (f)f(x)=sin
Dæmi 3.
( πx
4
)
.
Á myndinni sést ferill jöfnunnar
y 2 =x(5−x) 2
(a) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.
(b) Finnið rúmmál snúðsins sem myndast
þegar svæðinu er snúið umx-ás.
Dæmi 4.
A
B
C 2
Á myndinni sjást ferlar fallanna
f(x)= 9ln(x) og g(x)=xln(x).
x
C (a) Ákvarðið hvort fallið f eða g myndar
1
ferilinnC 1 og hvort myndar ferilinnC 2 .
(b) Finnið hnit punktannaAogB.
(c) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.
(d) Finnið rúmmál snúðsins sem myndast
þegar svæðinu er snúið umx-ás.

Kafli 5
Runur og raðir
5.1 Summutáknið, þrepun
5.1.1 Summutáknið
Í stærðfræði kemur sú staða oft upp að leggja þarf saman og finna summu
mikils fjölda talna. Summutáknið gerir mögulegt að skammstafa slíka samlagningu.
Þannig er
n∑
k=1
skammstöfun áa 1 +a 2 +a 3 +a 4 +···+a n , summuntalna. Í skammstöfuninni
sést eftirfarandi:
summutákn
vísir
n∑
a k
endir
a k
k=1
byrjun
liðir
• summutákn gefur til kynna að skammstöfunin táknar samlagningu.
• vísir er notaður til að tölusetja liði summunnar. Vísirinn tekur heiltölugildi.
• byrjun er fyrsta gildi vísis. Oftast er byrjunargildið 1 eða 0 en getur verið
hvaða heiltala sem er.
• endir er lokagildi vísis. Vísirinn tekur öll heiltölugildi frá og með byrjunargildi
til og með lokagildi.
• liðir summunnar eru oftast tilteknir með formúlu sem framkallar liðina jafn
óðum og vísirinn hækkar.a k er liður númerkísummunni.
83

84 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Ólíkir bókstafir notaðir til að tákna vísi:
Vísi summu má tákna með mismunandi bókstöfum og því eru eftirfarandi summur
jafnar
n∑ n∑ n∑ n∑
a k = a j = a q = a i ... og svo framvegis.
k=1 j=1 q=1 i=1
Jaðargildi summutáknsins:
(i) Með summutákninu má tákna „summu“ einnar tölu. Ef byrjunargildi vísis er
það sama og lokagildi vísis þá hefur summan aðeins einn lið.
3∑
2 k = 2 3 ,
k=3
0∑
2j= 2·0=0,
j=0
50∑
i=50
1
i = 1 50
(ii) Ef byrjunargildi vísis er hærra en lokagildi þá er summan skilgreind sem 0.
2∑
2 k = 0,
k=4
7∑
(2j+1)=0,
j=11
19∑
i=20
1
i = 0
Dæmi 5.1.1. Reiknum summurnar
5∑
(a) (2k+1)
k=1
Lausn: (a) Hér er fyrsta gildi vísisins k = 1. Fyrsti liður summunnar verður því
(2·1+1). Síðan er gildi vísisins hækkað um 1 í hvert sinn sem nýr liður summunnar
er framkallaður uns hæsta og síðasta gildi vísisins er náð,k=5. Summan verður
því
5∑
(2k+1)=(2·1+1)+(2·2+1)+(2·3+1)+(2·4+1)+(2·5+1)
k=1
= 3+5+7+9+11
= 35
(b) Hér er fyrsta gildi vísisinsi=0sem framkallar fyrsta lið summunnar 2 0 . Nýir
liðir eru svo framkallaðir, koll af kolli, uns vísirinn hefur náð sínu hæsta og síðasta
gildi,i=7. Summan er
(b)
7∑
i=0
7∑
2 i = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 +2 7
i=0
= 1+2+4+8+16+32+64+128
= 255
2 i

5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 85
Dæmi 5.1.2. Skrifum eftirfarandi summur með summutákni.
(a) 1+3+5+7+···+51
Lausn: Hér eru lagðar saman oddatölur frá 1 til 51. a k = 2k−1 er oddatala fyrir
allar heiltölurkog summuna má því skrifa sem
1+3+5+7+···+51=
26∑
k=1
(2k−1)
Athugið aða k = 2k+1 er líka oddatala og summuna má því einnig skrifa sem
1+3+5+7+···+51=
(b) 2+4+6+8+···+100.
25∑
k=0
(2k+1)
Lausn: Hér eru lagðar saman sléttar tölur frá 2 upp í 100. a k = 2k er slétt tala
fyrir allar heiltölurkog summuna má því skrifa sem
2+4+6+8+···+100=
50∑
k=1
2k
Athugasemd 2. Ef lagðir eru samann+1 liðir,a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,a n+1 þá má skrifa
n+1
∑
k=1
a k =
=
=
n∑
a k +a n+1
k=1
n−1
∑
k=1
n−2
∑
k=1
=···
q∑
= a k +
k=1
a k +(a n +a n+1 )
a k +(a n−1 +a n +a n+1 )
n+1
∑
k=q+1
a k
ef 1≤q≤n
5.1.2 Æfing
Dæmi 1. Reiknið summurnar
3∑
4∑
5∑
(a) i 3
(b) (j 2 +1) (c)
(d)
i=1
6∑
(5r−2)
(e)
j=2
6∑
n(n+1)
r=4
n=3
k=3
(f)
k=3
k 3
5∑
(k+1)(k+2)

86 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 2. Skammstafið eftirfarandi summur með summutákni.
(a) 1+4+9+16 (b) 3+5+7+9+11+13
(c) 3+6+11+18 (d) 0+2+6+12+20+30+42
(e) 4+5+6+7+8+9 (f) 2+6+12+20+30+42+56
Dæmi 3. Skrifið án summutákns. Sýnið fyrstu þrjá og síðustu tvo liði summunnar.
n∑
n∑
n+1
∑
(a) k(k+3)
(b) k2 k
1
(c)
k(k+1)
k=1
5.1.3 Þrepun
k=1
Mengi heiltalna,{...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}, er táknað meðZ. Jákvæði hluti þessa
mengis,{1,2,3,...}, er táknaður meðZ + .
k=1
Dæmi 5.1.3. Mynstrið
1 = 1 2
1 + 3 = 2 2
1 + 3 + 5 = 3 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
sýnir að fyrsta oddatalan og summur fyrstu tveggja, fyrstu þriggja og fyrstu
fjögurra oddatalna eru ferningar. Giska má á eftirfarandi formúlu:
1+3+5+···+(2n−1)=n 2 , n∈Z + (5.1)
Með öðrum orðum að summa fyrstunoddatalnanna sé ferningurinnn 2 .
Dæmi 5.1.4. Lítum á stærðina 4n 3 − 18n 2 + 32n−15 og reiknum gildið fyrir
n=1,2,3,4.
n 1 2 3 4
4n 3 −18n 2 +32n−15 3 9 27 81
Svo virðist sem stærðin 4n 3 −18n 2 +32n−15 sé veldi af þremur. Þetta bendir til
þess að:
4n 3 −18n 2 +32n−15=3 n , n∈Z + . (5.2)
Dæmi 5.1.5. Athugum eftirfarandi afleiður:
( ) 1 ′
= −1 ( ) 1 ′′
x x 2, = 1·2 ( ) 1 ′′′
x x 3 , = −1·2·3
x x 4 ,
( 1
x
) (4)
= 1·2·3·4
Þetta bendir til þess að:
( ) 1 (n)
= (−1)n·1·2·3·····n
x x n+1 , n∈Z + . (5.3)
x 5

•
•
•
(
1
2
(
1
2
(
1
2
•
(
1
2
(
1
2
(
1
2
(
1
2
(
1
2
(
1
2
5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 87
Dæmi 5.1.6. (
1
2
) 1 ( 1
= 1− 1
2)
) 1
+
) 2 (
1
2
= 1− 2)
) 1
+
) 2
+
) 3 (
= 1− 1 3
2)
) 1
+
) 2
+
) 3
+
) 4 (
= 1− 1 4
2)
Þetta bendir til þess að:
( 1
2
) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 n ( ) 1 n
+ + +···+ = 1− , n∈Z + (5.4)
2 2 2 2
Þrepasönnun er sérstök aðferð sönnunar sem notuð er til þess að sýna fram á að
tiltekin fullyrðing, til dæmis jafna (5.4) hér að ofan, sé sönn fyrir allar náttúrlegar
tölur. Aðferðin er eftirfarandi:
Aðferð þrepunar. Gerum ráð fyrir aðP(n) sé fullyrðing um heiltölunan. Ef
hægt er að sýna að eftirfarandi gildir:
(1)P(n 1 ) er sönn.
(2) EfP(n) er sönn fyrir einhverja heiltölun≥n 1 þá erP(n+1) einnig sönn.
Þá má álykta aðP(n) sé sönn fyrir allar heiltölurn≥n 1 .
Þrepasönnun má líkja við ferð upp
óendanlegan stiga.
n 1
n
n+1
(1) Fyrst er sýnt hvernig komast megi upp í
fyrsta þrep stigans.
(2) Svo er sýnt að sama hvar maður er staddur
í stiganum þá getur maður stigið upp í næsta
þrep.
Oftast ern 1 = 1 en þó eru dæmi um fullyrðingarP(n) sem eru réttar fyrirn≥2,
n≥3 eða hærra. Þá ern 1 = 2,n 1 = 3 eða hærra.
Athugasemd 3. Forsendan í lið (2):
Gerum ráð fyrir aðP(n) sé sönn fyrir einhverja heiltölun
kallast þrepunarforsenda. Eins og kemur fram í eftirfarandi dæmum þá er þrepunarforsendan
alltaf tiltekin í öðru skrefi sönnunarinnar.

88 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 5.1.7. Sönnum jöfnu (5.1) með þrepun, þ.e. sönnum að
n∑
P(n) : (2k−1)=n 2 , n∈Z +
k=1
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
VH:
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
(2)P(n) ⇒P(n+1)
HH: 1 2 = 1
1∑
(2k−1)=(2·1−1)=1
k=1
Gerum ráð fyrir að
n∑
(2k−1)=n 2 (þrepunarforsenda)
k=1
Viljum sýna að
En
n+1
∑
(2k−1)=(n+1) 2
k=1
n+1
∑
(2k−1)=
k=1
n∑
(2k−1) +(2·(n+1)−1)
k=1
= n 2 +(2·(n+1)−1), skv. þrepunarforsendu
=n 2 +2n+1
=(n+1) 2
Dæmi 5.1.8. Notum þrepun til að sanna eftirfarandi:
n∑
P(n) : k= n(n+1) , n∈Z + (5.5)
2
k=1
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
1(1+1)
HH: = 1
2
1∑
VH: k=1
k=1

5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89
(2)P(n) ⇒P(n+1)
Gerum ráð fyrir að
n∑
Viljum sýna að
En
k=1
n+1
∑
k=1
n+1
∑
k=1
k= n(n+1)
2
k= (n+1)( (n+1)+1 )
2
= (n+1)(n+2)
2
n∑
k= k +(n+1)
k=1
= n(n+1)
2
= n(n+1)+2(n+1)
2
= n2 +3n+2
2
= (n+1)(n+2)
2
(þrepunarforsenda)
+(n+1), skv. þrepunarforsendu
Dæmi 5.1.9. Sannið með þrepun að eftirfarandi jafna gildir:
P(n) :
d
dx (xn )=nx n−1 , n∈Z + .
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
d (
VH: x
1 ) = d
dx dx x= 1
HH: 1·x 1−1 = 1·x 0 = 1
Jafnan er því sönn fyrirn=1.

90 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
(2)P(n) ⇒P(n+1)
Gerum ráð fyrir að
d
dx (xn )=nx n−1 (þrepunarforsenda)
Viljum sýna að
d (
x
n+1 ) =(n+1)x (n+1)−1
dx
=(n+1)x n
En
d (
x
n+1 ) = d
dx dx (xn·x)
= d
dx (xn ) ·x+x n d
dx (x)
= nx n−1 ·x+x n·1, skv. þrepunarforsendu
=nx n +x n
=(n+1)x n
5.1.4 Æfing
Dæmi 1. Sannið eftirfarandi með þrepun:
n∑
(a) (3i−2)= 1 2 n(3n−1), n∈Z+ . (b)
(c)
(e)
i=1
n∑
(2k−1) 2 = 1 3 n(4n2 −1), n∈Z + .
k=1
n∑
k=0
r k = 1−rn+1
, n≥0, r ≠ 1.
1−r (f)
(d)
n∑
(4k−3)=n(2n−1), n∈Z + .
k=1
n∑
i=1
∑ n
j=2
Dæmi 2. Sannið jöfnu (5.4) í dæmi 5.1.6 með þrepun.
i 3 = n2 (n+1) 2
, n∈Z + .
4
1
j 2 −j = 1− 1 n , n≥2.
5.2 Runur og raðir
Runur
Skilgreining 5.2.1. Ef sérhverri náttúrlegri töluner úthlutað rauntölua n þá
myndar raðaða mengið
{a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} sem táknað er með(a n )
svokallaða rauntalnarunu. Stök rununnar kallast liðir rununnar. Þeir eru
tölusettir
Fyrsti liður rununnar era 1 , annar liður rununnar era 2 , þriðji liður rununnar era 3
og svo framvegis.n-ti liður rununnar era n .

5.2. RUNUR OG RAÐIR 91
Athugasemd 4. Algengt er að nota aðra bókstafi, t.d. s n , x n , u n í stað a n til að
tákna liði runu.
Athugasemd 5. Í sumum tilfellum er hentugt að tala um endanlega runu. Með
endanlegri rauntalnarunu er átt við endanlegt raðað mengi rauntalna
{a 1 ,a 2 ,a 3 ,···,a n }
Til aðgreiningar frá endanlegum runum þá er runan sem nefnd er í skilgreiningu
5.2.1 oft sögð vera óendanleg. Í þessum kafla mun hugtakið runa alltaf vera
notað um óendanlegar runur nema annað sé skýrt tekið fram.
Dæmi 5.2.1. Algengustu dæmin um runur eru þannig að tiltekin jafna segir til um
með hvaða hættin-ti liður rununnar er fundinn. Jafnan
a n = 1 n , n∈N
skilgreinir því rununa
1, 1 2 , 1 3 ,···, 1 n ,···.
Dæmi 5.2.2. Stundum eru tvær eða fleiri formúlur notaðar til að skilgreina rununa.
a 2n−1 = 1, a 2n = 2n 2 , n∈N
Níu fyrstu liðir rununnar eru
1,2,1,8,1,18,1,32,1.
Dæmi 5.2.3. Algeng aðferð til að skilgreina runur er að útskýra hvernig reikna skuli
liðina út frá gefinni byrjun, svokallaðri rakningarformúlu.
a 1 =a 2 = 1, a n+1 =a n +a n−1
fyrirn≥2.
Í þessu tilfelli ákveður rakningarformúlan mjög þekkta runu talna, svokallaða
Fibonacci runu † . Nokkrir fyrstu liðir rununnar eru:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
† Fibonacci, einnig þekktur sem Leonardo frá Pisa ( 1175-1250), notaði þessa runu við rannsókn
á fjölda kanína.

92 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 5.2.4. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem er skilgreind á eftirfarandi
hátt:
(a)a n = 2n−1
(b)x n = (−1)n−1
n
(c)u n = 2n −1
(d)s
2 n n = (−1)n−1 n
n+1
Lausn:
(a) 1,3,5,7,9,... (b) 1,− 1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 ,...
(c) 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15
16 , 31
32 ,... (d) 1 2 ,−2 3 , 3 4 ,−4 5 , 5 6 ,...
Dæmi 5.2.5. Ákvörðumn-ta lið hverrar runu.
(a) 1, 1 4 , 1 9 , 1
,... (b) 3, 6, 9, 12,...
16
(c) 1,− 1 3 , 1 5 ,−1 ,... (d) 5, 9, 13, 17,...
7
Lausn: (a) Nefnarar liðanna í þessari runu eru ferningar. Liðina má rita á forminu
Þá má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 1 n 2 .
1 1 1 1
1 2, 2 2, 3 2, 4 2,···
(b) Liðirnir eru allir margfeldi af þremur. Liðina má rita á forminu
svon-ti liðurinn era n = 3·n.
3·1, 3·2, 3·3, 3·4,...
(c) Nefnarar gefnu liðanna eru oddatölur í vaxandi röð og formerki er til skiptis+
og−.n-ti liðurinn er því
a n = (−1)n−1
2n−1
(d) Í þessari runu er bilið milli samliggjandi liða fjórir; frá og með öðrum lið er hver
liður 4 stærri en liðurinn á undan. Liðina má rita svona
4·1+1, 4·2+1, 4·3+1, 4·4+1,...
Því má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 4·n+1.

5.2. RUNUR OG RAÐIR 93
Dæmi 5.2.6. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem skilgreind er með eftirfarandi
rakningarformúlu:
(a) a 1 =−2
a n = 1−2a n−1 , n≥2
Lausn: (a)
a 2 = 1−2a 1 = 1−2(−2)=5
a 3 = 1−2a 2 = 1−2(5)=−9
(b) a 1 = 1
a 2 = 3
a n = a n−2+a n−1
2
a 4 = 1−2a 3 = 1−2(−9)=19
a 5 = 1−2a 4 = 1−2(19)=−37
(b)
a 3 = a 1+a 2
2
a 4 = a 2+a 3
2
= 1+3
2
= 3+2
2
= 2
= 5 2
a 5 = a 3+a 4
2
= 2+ 5 2
2
= 9 4
Raðir
Skilgreining 5.2.2. Efa 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n er endanleg runa þá er summan
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
kölluð endanleg röð eða einfaldlega röð.
Röðin
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
er oft skammstöfuð með summutákninu á eftirfarandi hátt:
n∑
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =
Þegar unnið er með raðir þá er áhersla lögð á hlutsummur. Hlutsummur raðarinnar
n∑
a k =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
k=1
eru:
fyrsta hlutsumma: s 1 =a 1 ,
önnur hlutsumma: s 2 =a 1 +a 2 ,
þriðja hlutsumma: s 3 =a 1 +a 2 +a 3 ,
.
n∑
n-ta hlutsumma: s n = a k .
k=1
k=1
a k

94 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
5.2.1 Æfing
Dæmi 1. Finnið fyrstu þrjá liði rununnar sem hefur þannn-ta lið sem tiltekinn er:
(a)a n = 2n
(
1
2 n−1
(b)a n =
3n+1 n 2 (c)a n =
+1
3)
Dæmi 2. Skrifið niður næstu þrjá liði rununnar sem byrjar svona:
(a) 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1
81 ,... (b) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,...
Dæmi 3. Finniðn-ta lið rununnar sem byrjar svona:
(a) 1, 1 3 , 1 5 , 1 7 ,... (b) 1 3 , 1 6 , 1 9 , 1 12 ,...
Dæmi 4. Eftirfarandi runur eru skilgreindar með rakningarformúlum. Finnið fimm
fyrstu liði hverrar runu
(a)a 1 = 2, a n = 2 3 a n−1, n≥2.
(b)a 1 = 1, a 2 = 1, a n =a n−1 +a n−2 , n≥3.
(c)a 1 = 2, a n = √ 2+a n−1 , n≥2.
5.2.2 Mismuna- og kvótarunur
Mimunarunur og kvótarunur eru tveir mikilvægir flokkar runa.
Mismunarunur
Skilgreining 5.2.3. Runa (a n ) kallast mismunaruna ef mismunur samliggjandi
liða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnan
a n+1 =a n +d (5.6)
gildir fyrir ölln∈Z + . Talandkallast mismunur rununnar.
Setning 5.2.1. Ef(a n ) er mismunaruna með mismundþá gildir eftirfarandi:
a n =a 1 +(n−1)d, n∈Z +
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með þrepun. Fyrst er sýnt að jafnan er rétt fyrir
n=1. Reiknað er út úr hægri hlið (HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
HH:
a 1 +(1−1)d=a 1 +0·d
=a 1 .
VH: a 1 .

5.2. RUNUR OG RAÐIR 95
Jafnan er því rétt fyrirn=1.
(2)P(n) ⇒P(n+1)
Gerum ráð fyrir að
a n =a 1 +(n−1)d (þrepunarforsenda)
Viljum sýna að
a n+1 =a 1 +([n+1]−1)d
=a 1 +nd
En a n+1 = a n +d
= a 1 +(n−1)d +d, skv. þrepunarforsendu
=a 1 +nd−d+d
=a n +nd
Athugasemd 6. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:
a s =a t +(s−t)d
Dæmi 5.2.7. (a) Runan
1,2,3,4,...
er mismunaruna með mismund=1.
(b) Runan
1,3,5,7,...
er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta oddatalan
a n = 1+(n−1)·2, n∈Z + .
(c) Runan
2,4,6,8,...
er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta slétta talan
a n = 2+(n−1)·2 n∈Z + .
Dæmi 5.2.8. Í mismunarunu er a 1 = 120 og a 10 = 57. Finnum mismuninn og
fimmtánda lið rununnar,a 15 .
Lausn: Samkvæmt reglu 5.2.1 gildir
a 10 =a 1 +9d svo 57=120+9d og því d=−7.
Samkvæmt sömu reglu er:
a 15 =a 1 +14d=120+14·(−7)
svo a 15 = 22.

96 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Setning 5.2.2. Summunfyrstu liða mismunarunu má skrifa á eftirfarandi tvo
vegu:
⎧
n
n·a1+a
, n∈Z
⎪⎨
+
2
s n =
⎪⎩ n· 2a 1+(n−1)d
, n∈Z +
2
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með aðferð sem eignuð er þýska stærðfræðingnum
Gauss. Summans n er skrifuð tvisvar; fyrst frá fyrsta lið tiln-ta liðs og svo öfugt,
frán-ta lið til þess fyrsta:
s n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+···+ ( a 1 +(n−1)d )
s n =a n +(a n −d)+(a n −2d)+···+ ( a n −(n−1)d )
Nú er lagt saman beggja vegna jafnaðarmerkis:
2s n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+···+(a 1 +a n )
=n(a 1 +a n )
og því fæst
s n =n·a1+a n
2
Samkvæmt reglu 5.2.1 era n =a 1 +(n−1)d og því má einnig rita summunas n á
eftirfarandi formi:
s n =n·a1+a n
2
=n·a1+(a 1 +(n−1)d)
2
=n· 2a 1+(n−1)d
2
Dæmi 5.2.9. Í leikhúsi eru 20 sætaraðir. Í fyrstu röð eru 17 sæti og í hverri röð þar
á eftir er fjöldi sæta tveimur fleiri en í röðinni á undan.
(a) Hvað eru mörg sæti í 20. sætaröðinni?
(b) Hvað eru sætin mörg alls í leikhúsinu?
Lausn:
(a) Fjöldi sæta í röð myndar mismunarunu
17,19,21,23,...
með mismund=2. Fyrsti liður rununnar era 1 = 17 og því verður fjöldi sæta í röð
n
a n =a 1 +(n−1)d eða a n = 17+(n−1)·2

5.2. RUNUR OG RAÐIR 97
Sér í lagi er fjöldi sæta í 20. röða 20 = 17+19·2=55.
(b) Heildarfjöldi sæta í leikhúsinu er
s 20 = 20·a1+a 20
2
= 20· 17+55
2
= 720
Kvótarunur
Skilgreining 5.2.4. Runa(a n ) kallast kvótaruna ef kvóti (hlutfall) samliggjandi
liða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnan
gildir fyrir ölln∈Z + . Talanqkallast kvóti rununnar.
a n+1 =q·a n (5.7)
Setning 5.2.3. Ef(a n ) er kvótaruna með kvótaq þá gildir eftirfarandi:
a n =a 1·q n−1 , n∈Z +
Sönnun. Verkefni.
Athugasemd 7. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:
a s =a t·q s−t
Dæmi 5.2.10. Runan
1
2 , 1 4 , 1 8 , 1
16 ,···
er kvótaruna með fyrsta liða 1 = 1 2 og kvóta 1 .n-ti liður rununnar er
2
a n =a 1·q n−1 =
2·
1 ( 1 n−1
2)
Eftirfarandi regla gildir um hlutsummur kvótarunu:
Setning 5.2.4. Summanfyrstu liða kvótarunu er gefin með jöfnunni
⎧
⎪⎨ a 1· 1−qn efq≠1
s n = 1−q
⎪⎩ n·a 1 efq=1

98 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Sönnun. Ef kvótinn erq=1 þá er summanfyrstu liða kvótarununnar
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
=a 1 +a 1·1+a 1·1 2 +···+a 1·1 n−1
=a 1 +a 1 +a 1 +···+a 1 n jafnir liðir
=n·a 1
Ef kvótinnq≠1 þá má rita
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
=a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +···+a 1 q n−1 . (a)
Nú er margfaldað beggja vegna jafnaðarmerkis meðq:
s n q=a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3···+a 1 q n
(b)
Með því að draga jöfnu (b) frá jöfnu (a) fæst:
s n −s n q=a 1 −a 1 q n
s n (1−q)=a 1 (1−q n )
svo
s n =a 1
1−q n
1−q
þar semq≠1
5.2.3 Æfing
Dæmi 1. Í mismunarunu era 20 = 32 ogd=3. Finniða 1 .
Dæmi 2. Í kvótarunu era 8 = 729
512 ogq= 3 2 . Finniða 1.
Dæmi 3. Í mismunarunu era 32 = 48 oga 17 = 18. Finniða 1 ogd.
Dæmi 4. Finnið fyrstu fimm liði mismunarununnar
x 1 ,x 2 ,x 3 ,...
þar semx 15 = 19 ogx 28 =− 1 2 .
Dæmi 5. Í kvótarunu era 3 =− 4 9 oga 6= 32
243 . Finniða 1 ogq.
Dæmi 6. Finnið fimm fyrstu liði kvótarununnar
t 1 ,t 2 ,t 3 ,...
þar sem sjötti liðurinn ert 6 = 0.32 og ellefti liðurinn ert 11 = 0.0001024.
Dæmi 7. Finnið tuttugasta lið rununnar 9,15,21,27,33,....

5.2. RUNUR OG RAÐIR 99
Dæmi 8. Hversu marga liði rununnar 2,2.3,2.6,2.9,... þarf að leggja saman til að
summan verði stærri en 100?
Dæmi 9. Gefin er kvótaröð
(a) Finnið kvóta raðarinnar,q.
(b) Finnið 15. lið raðarinnar.
405+270+180+···
Dæmi 10. Í mismunarunu er 15. liðurinna 15 = 92 og 3. liðurinn era 3 = 56.
(a) Ákvarðið
(i) mismun rununnar,d
(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .
(b) Finniðs 12 .
Dæmi 11. Kvótaruna er þannig að fjórði liður era 4 = 135 og a 9
a 4
= 3 5 .
(a) Finnið
(i) kvóta rununnar,q
(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .
(b) Finnið töluraogbíQef gefið er aðs 10 =a(b−1),
Dæmi 12. Gefin er runa(a n ) meða n = 1−9n,n∈N.
(a) Finniða 1 ,a 2 oga 3 .
(b) Finnið
10∑
k=1
(1−9k).
Dæmi 13. n-ti liður runu(a n ) er
a n = 2 3·3n , n∈N
Reiknið summuna
20∑ 2
3·3n .
n=1
Dæmi 14. Fyrstu þrír samliggjandi liðir mismunarunu eru
k−2, 2k+1 og 4k+2
(a) Finnið gildið ák.
(b) Finniða 10 ogs 10

100 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 15. Fyrstu þrír liðir kvótarunu eru
√
3+1, x, og
√
3−1, þar semx> 0.
Finniðx.
Dæmi 16. Reiknið summuna
1
2 +1+2+22 +···+2 10
Dæmi 17. Kvótaruna er þannig að sérhver liður er summa tveggja næstu liða, þ.e.
a k =a k+1 +a k+2 .
Kvóti rununnar er jákvæður. Ákvarðið gildi hans.
Dæmi 18. Í mismunarunu gildir aða p =q oga q =p.
(a) Finnið mismuninnd.
(b) Tákniða 1 meðp ogq.
Dæmi 19. Reiknið
1+2+3+4+···+10
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 +···+ 1
512
Dæmi 20. Finnið tölux þannig að 2+x, 6+x og 13+x mynda þrjá samliggjandi
liði kvótaraðar.

Kafli 6
Diffurjöfnur
6.1 Inngangur
Diffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).
Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar sem
reynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).
Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst með
staðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. Lögmál
Newtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar í
tengslum við hina ýmsu krafta er verka á hlutinn, eru sett fram sem
diffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekkts
falls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.
Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.
(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.
(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.
Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.
(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunni
y ′ −2y= 0.
því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæst
y ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.
(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunni
y ′ =y−x.
101

102 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
Lausn diffurjöfnu er annarsvegar sérlausn og hinsvegar almenn lausn. Með
sérlausn er átt við einhverja eina tiltekna lausn jöfnunnar en með almennri
lausn er átt við lausn sem felur allar mögulegar lausnir í sér.
Dæmi 6.1.1. Diffurjafnan
hefur almenna lausn
y ′ (x)=f(x).
∫
y= f(x)dx=F(x)+k
þar semker ótiltekinn fasti. Ef fastanumker gefið ákveðið gildi, til dæmisk=3,
þá fæst sérlausn diffurjöfnunnar sem ery=F(x)+3.
Setning 6.1.1. Almenn lausn diffurjöfnunnar
er
dy
dx =f(x)
∫
y= f(x)dx=F(x)+k.
6.1.1 Æfing
Dæmi 1. Sýnið að falliðy er lausn á diffurjöfnunni.
(a) 10y ′ +7y= 0 , y= 5e −0.7x .
(b)y ′ +2y=e 3x , y= 2e −2x +0.2e 3x .
(c)xy ′ −3y=x 3 , y=x 3 ln(x)+10x 3 .
(d)(x 2 +4)y ′ +3xy=x , y= 1 3 + 16
3 (x2 +4) −3/2 .
(e)y ′ −2y= sin(x)+cos(x) , y=Ce 2x −0.2sin(x)−0.6cos(x).
Dæmi 2. Finnið almenna lausn á gefnu diffurjöfnunni. Finnið einnig sérlausn í
liðum (c) og (d) sem uppfyllir gefna skilyrðið.
(a)y ′ = 1+sin(2x). (b)y ′ = 6x+3
x 2 +x .
(c)y ′ =x 3/2 , y(1)=1. (d)y ′ =
2x
(x−1)(x+1) , y(2)=4.
(e)y ′ =xcos(x 2 ).
(f)y ′ = 2x 2 cos(2x).

6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 103
6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur
Skilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breytur
ef hægt er að rita jöfnuna á forminu
dy
dx
=f(x)·g(y) (6.1)
Jöfnu (6.1) má umrita á formið
1
dy=f(x)dx (6.2)
g(y)
Þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna
jafnaðarmerkis til að finna lausn diffurjöfnunnar:
∫ ∫
1
g(y) dy= f(x)dx
Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðG(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) má
skrifa lausnina á forminu
G(y)=F(x)+k (6.3)
Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) er
síðan leyst fyriry ef hægt er.
Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur sem
einnig eru lausnir jöfnunnar.
Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dy
dx =−x og finnum svo sérlausn sem uppfyllir
y
skilyrðiðy(3)=4.
Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):
ydy=−xdx
Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:
∫ ∫
ydy=− xdx
1
2 y2 =− 1 2 x2 +k 1
y 2 =−x 2 +2k 1 = 2k 1 −x 2 =k−x 2
Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þá
y=± √ k−x 2 .
Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Við setjum 3 inn fyrir
x og 4 fyriry og þá fæst:
√
k−3 2 = 4, k=25.
Sérlausnin ery= √ 25−x 2 .

104 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
Dæmi 6.2.2. Leysum diffurjöfnuna dy
dx =y2 .
Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):
1
y 2dy=dx.
Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:
∫ ∫ 1
y 2dy= dx
svo
svo
−1
y
=x+k svo
y= −1
x+k
Núllstöð fallsinsg(y)=y 2 ,y= 0 er einnig lausn.
6.2.1 Æfing
Dæmi 1. Leysið eftirfarandi diffurjöfnur.
(a) dy
dx = y dy
. (b)
x+1 dx =x(y+1).
(c) dy
dx = x
y+1
Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna
dy
dx = 3−y
1+2x
(d) dy
dx =xsin(x) e y
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,2).
Dæmi 3. Leysið diffurjöfnuna
e −xdy
dx =(1−y)2
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(0,0).
Dæmi 4. Leysið diffurjöfnuna
x 2dy
dx =y−xy
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,1).

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 105
6.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi
Skilgreining 6.3.1. Diffurjafna á forminu
a(x)·y ′ +b(x)·y=c(x) (6.4)
þar sem a(x), b(x) og c(x) eru einhver föll, kallast fyrsta stigs línuleg
diffurjafna. Efc(x)=0fyrir öllx þá er jafnan sögð vera óhliðruð, annars er
jafnan hliðruð
Jöfnu (6.4) þarf að umrita á formið
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.5)
svo unnt sé að leysa hana. Stuðullinn viðy ′ er þá 1. Lausn jöfnu (6.5) fæst síðan
með eftirfarandi reglu:
Setning 6.3.1. Látum
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.6)
vera fyrsta stigs diffurjöfnu þar semP(x) ogQ(x) er samfelld föll á opnu bili
I. Almenn lausn jöfnunnar á bilinuI er
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx (6.7)
þar semµ(x)=e ∫ P(x)dx er kallaður heildunarþáttur.
Sönnun. Margföldum báðar hliðar gefnu diffurjöfnunnar með heildunarþættinum
µ(x):
µ(x)·y ′ +µ(x)P(x)y=µ(x)·Q(x)
Þar semµ ′ (x)=µ(x)P(x) má rita þessa jöfnu á forminu
(
µ(x)y
) ′=µ(x)·Q(x)
µ(x)y er því stofnfall fallsinsµ(x)·Q(x). Því má rita
∫
µ(x)y= µ(x)·Q(x)dx
svo y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)·Q(x)dx.
Athugasemd 9. Nú skal bent á tvö atriði varðandi heidunarþáttinnµ(x):
Í fyrsta lagi þá má sleppa heildunarfastanumk þegar óákveðna heildið
∫
P(x)dx

106 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
er reiknað. Áhrifa fastans gætir ekki í jöfnu (6.7) þegar lausn diffurjöfnunnar er
reiknuð.
Í öðru lagi þá má sleppa algildi logra í útkomu óákveðna heildisins
∫
P(x)dx.
Áhrifa algildis gætir heldur ekki í jöfnu (6.7).
Tökum sem dæmiP(x)=1/x. Reiknum tvo heildunarþætti,µ 1 (x) þar sem hvorki
heildunarfasti né algildi er sleppt og µ 2 (x) þar sem heildunarfasta og algildi er
sleppt. Hér er
∫
P(x)dx=
Heildunarþátturinnµ 1 (x) er
⎧
∫ 1 ⎨
x dx= ln|x|+k hvorki heildunarfasta né algildi sleppt
⎩ln(x)
bæði algildi og heildunarfasta sleppt
µ 1 (x)=e ln|x|+k =e ln|x|·e k =c|x|,
þar sem fastinne k hefur verið táknaður meðc. Ef heildunarfasta og algildi er sleppt
fæst heildunarþátturinn
µ 2 (x)=e ln(x) =x.
Nú gildir eftirfarandi:
∫
1
µ 1 (x)·Q(x)dx=
µ 1 (x)·
c|x|·
1 ∫
c|x|·Q(x)dx
=
c|x|·
c ∫
|x|·Q(x)dx
=
|x|·
1 ∫
|x|·Q(x)dx
=
±x·
1 ∫
±x·Q(x)dx
=
±x·
±1 ∫
x·Q(x)dx
=
x·
1 ∫
x·Q(x)dx
= 1 ∫
µ 2 (x)·Q(x)dx
µ 2 (x)·
Þá er ljóst að heildunarþættirnir tveir,µ 1 (x) ogµ 2 (x) leiða til sömu lausnar; hægri
hlið jöfnu (6.7) er sú sama hvort sem notaður er heildunarþátturinn µ 1 (x) eða
heildunarþátturinnµ 2 (x).
Dæmi 6.3.1. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar
á bilinu]0,∞[.
xy ′ +y=e 2x

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 107
Lausn:
Umritun jöfnu: Deilt beggja vegna jafnaðarmerkis meðx. þá fæst
y ′ + 1 x y=e2x x
svoP(x)= 1 x ogQ(x)=e2x x .
Heildunarþáttur fundinn:
µ(x)=e∫
P(x)dx
=e∫ 1
x dx =e ln(x) =x (heildunarfasta og algildi sleppt).
Lausn diffurjöfnu er reiknuð: Við beitum reglu 6.3.1 og reiknum lausnina samkvæmt
jöfnu (6.7)
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
Q(x)
∫ {}}{
µ(x)
{}}{ e 2x
x ·
x dx= 1 x
= 1 x
=
x( 1 ) 1
2 e2x +k
= e2x +2k
2x
∫
e 2x dx
Dæmi 6.3.2. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar
xy ′ −xy=−x 2 .
Lausn:
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:
Þá erP(x)=−1 ogQ(x)=−x.
y ′ −y=−x
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er
µ(x)=e∫
P(x)dx
=e∫
−1dx
=e −x (heildunarfasta sleppt).
Lausn diffurjöfnu reiknuð:Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er almenn lausn
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
= 1 ∫
−xe −x dx
e −x
=e x (xe −x +e −x +k) (hlutheildun)
=x+1+ke x

108 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
Dæmi 6.3.3. Finnum sérlausn diffurjöfnunnar
xy ′ −2y=x 3 , y(4)=2
Lausn: Fyrst er almenn lausn fundin.
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:
y ′ − 2 x y=x2
Þá erP(x)=− 2 x ogQ(x)=x2 .
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er
∫
P(x)dx
µ(x)=e∫
=e −
2
x dx =e −2ln(x) =e ln(x−2) =x −2 .
Lausn diffurjöfnunnar er reiknuð: Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er lausnin
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
Notum nú byrjunargildið til að finnak:
= 1 ∫ µ(x) Q(x)
{}}{
x −2 x −2·
{}}{ ∫
x 2 dx=x 2 1dx
=x 2 (x+k)=x 3 +kx 2
y(4)=2
svo 4 3 +4 2 k=2 og því k= −31
8
Sérlausnin sem leitað er að er þvíy=x 3 − 31 8 x2 .
6.3.1 Æfing
Dæmi 1. Finnið almenna lausn eftirfarandi jafna. Finnið einnig sérlausn þar sem
það á við.
(a)y ′ + 1 x y=x3 −3. (b)y ′ + 2 x y=x2 +2.
(c)x 2 y ′ +3xy= sin(2x)
(d)y ′ −xy=xe x2 ,y(0)=5
(e)y ′ −tan(x)y= 3e −sin(x) ,y(0)=4
Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna
x 2 y ′ +(1−2x)y=x 2 .
Finnið svo sérlausnina sem uppfylliry(1)=0.

Svör við æfingum
Æfing 4.1.3
Dæmi 1.
28
(a)
A= ∫ 3
0 x3 dx= 81 4
(b)
4
A= ∫ 2
−2 (4−x2 )dx= 32 3
−1
(c)
1 2 3
3
−3
(d)
40
−2
−1
1 2
A= ∫ 0
−2 (x3 −4x)dx= 4
A= ∫ 4
2 (x3 −4x)dx= 36
−3 −2
Dæmi 2.
−1
(b)
1 2 3 4
(a)
2
40
A= ∫ 2
1 (e2x −1)dx
−1
A= ∫ 1
0 (ex +1)dx=e 1
1 2
= e4 −e 2
2
−1
i

ii
SVÖR VIÐ ÆFINGUM
(c)
2
−1 1/2
(d)
−1 A= ∫ 1
1
−1 dx= 3ln(3)
3
2−x
−5
A= ∫ 1/2
−1 − (
3
x−1 +1 )dx= 6ln(2)− 3 2
Dæmi 3.
A= ∫ 1
−2 ([2−x2 ]−[x])dx= 9/2
(b)
(a)
−3
−2
−1
1
−3
−2 −1 1 2
A= ∫ 2
−2 ([x+2]−[x2 +x−2])dx= 32/3
(c)
1 4
A= ∫ 2 3
3
2 ([4−x]−[2/(x−1)])dx= 3/2−2ln(2)

ÆFING 4.1.3
iii
Dæmi 4.
(a)
(4,2)
•
(b)
(4,2)
•
1 2 3 4 5 6
Flatarmálið er
1 2 3 4 5 6
A=
∫ 4
0
√
xdx+ þríhyrningur
= 16
3 + 1 2 2·2=22/3
Dæmi 5. (a) Flatarmál skyggða svæðisins er tvöfalt flatarmál svæðisins sem ákvarðast
af bilinu[0,2], vegna samhverfu, en á því bili er jafna algildisfallsins
Flatarmálið má því rita sem
∫ 2
A=2
0
y= 3− 3 2 x
∫ 2 (
(lína−fleygbogi)dx= 2
0
=
=
∫ 2
0
∫ 2
0
3− 3 [ ]) 3
2 x− 2 (x−2)2 −3 dx
(6−3x−3(x−2) 2 +6)dx
(9x−3x 2 )dx
Þá era=−3,b=9ogc= 0.
(b) Flatarmálið er
∫ 2 [ ] 9 2
(9x−3x 2 )dx=
0 2 x2 −x 3 = 10
0
Dæmi 6. (a) Gildi heildis er 32/3.
(b) Nei. Flatarmál skyggða svæðisins er
∫ 1 ∫ 2
f(x)dx− f(x)dx
−2 1
en heildið í lið (a) er summan
∫ 1 ∫ 2
f(x)dx+ f(x)dx
−2 1

iv
SVÖR VIÐ ÆFINGUM
Dæmi 7. (a) Til að jafnan gildi þarfa=2.
(b) Flatarmál skyggða svæðisins er ln(3)/2.
Dæmi 8. (a) Jafna snertils er
y=f(2)+f ′ (2)(x−2)
= 2+2(x−2)
= 2x−2
(b)
Snertill skerx-ás í 1. Reiknum flatarmálið sem mismun
•
P(2,2)
A=
∫ 2
0
= 8 3 −1
(x 2 −2x+2)dx− þríhyrningur
= 5 3
1
Dæmi 9. (a) Jafna snertils er
y=f(a 2 )+f ′ (a 2 )(x−a)
=a 3 + 3 2 a(x−a2 )
=a 3 + 3 2 ax− 3 2 a3
= 3 2 ax− 1 2 a3
(b)
Snertill skerx-ás ía 2 /3. Reiknum flatarmálið sem mismun
a 2 /3
a 2
•
P(a 2 ,a 3 )
A=
∫ a 2
0
x 3/2 dx− þríhyrningur
= 2 5 a5 − 1 2·2
3 a2·a 3
= a5
15
Dæmi 10. (a) Jafna snertils er
y=f(a)+f ′ (a)(x−a)
= √ a+ 1
2 √ a (x−a)
= √ a+ 1
2 √ a x− 1 √
a
2
= 1
2 √ a x+ 1 √
a
2

•
•
ÆFING 4.2.3
v
(b)
Snertill skery-ás í √ a/2. Reiknum flatarmálið sem mismun
√ a/2
P(a,f(a))
a
∫ a
√
A=trapisa− xdx
0
= 2·a·(√ 1 a+ √ [ ] 2 a
a/2)−
3 x3/2 0
= 3 4 a3/2 − 2 3 a3/2
= 1 12 a3/2
Æfing 4.2.3
Dæmi 1.
(a)
Rúmmálið er
3
V =π
∫ 3
0
[x 2 ] 2 dx=π 243
5
3
(b)
−1 1
Rúmmálið er
(c)
V =π
∫ 1
[1−x 2 ] 2 dx=π 16
−1 15
−1 1
Rúmmálið er
(d)π 384
5
−1 2
(e)π 512
3
V =π
∫ 2
−1
(
[x+3] 2 −[1+x 2 ] 2) dx=π 117
5
−1 2
Dæmi 2.
(a)π 38 3 .
(b)π3566 15
( 25e
8
(c)π
4
)
− 5e4
4
(d) 6π
(e)
π e8 −e 4 +16+4e −4 −4e −8
2
(f)π

vi
SVÖR VIÐ ÆFINGUM
Dæmi 3.
(a) 40√ 5
3
Dæmi 4.
(b)π 625
12
(a)f er kúrfanC 2 ogg er kúrfanC 1 .
(b)A=(1,0) ogB=(3,3ln(3))
(c) 9ln2 (3)
− 9ln(3) +2
( 2 2 )
2864
(d)π
27 −48ln(3)−36ln2 (3)
Æfing 5.1.2
Dæmi 1.
(a) 36 (b) 32 (c) 216
(d) 69 (e) 104 (f) 92
Dæmi 2.
4∑
(a)
(d)
k=1
k 2
6∑
(k 2 +k) (e)
6∑
(b) (2k+1)
k=1
k=0
k=1
6∑
(k+3)
(c)
(f)
4∑
(2+k 2 )
k=1
7∑
(k 2 +k)
k=1
Dæmi 3.
(a) 1·4+2·5+3·6+···+(n−1)·(n+2)+n·(n+3)
(b) 1·2 1 +2·2 2 +3·2 3 +···+(n−1)·2 n−1 +n·2 n
1
(c)
1·2 + 1
2·3 + 1
3·4 +···+ 1
n·(n+1) + 1
(n+1)·(n+2)
Æfing 5.2.1
Dæmi 1. (a) 2/4,4/7,6/10. (b) 1/2,1/5,1/10. (c) 1,2/3,4/9.
Dæmi 2. (a) 1/243,1/729,1/2187. (b) 1/32,1/64,1/128.
Dæmi 3. (a)a n =
1
2n−1 . (b)a n= 1
3n .
Dæmi 4. (a) 2,4/3,8/9,16/27,32/81. (b) 1,1,2,3,5. (c) 2,2,2,2,2.
Æfing 5.2.3
Dæmi 1. a 1 =−25

ÆFING 5.2.3
vii
Dæmi 2. a 1 = 1 12
Dæmi 3. a 1 =−14, d=2.
Dæmi 4. d=− 3 2 ,x 1= 40. Fyrstu fimm liðir eru: 40,38.5,37,35.5,34.
Dæmi 5. a 1 =−1, q=− 2 3
Dæmi 6. q= 1 5 ,t 1= 1000. Fyrstu fimm liðir eru: 1000,200,40,8,8/5.
Dæmi 7. 123
Dæmi 8. 21
Dæmi 9. (a) 2/3 (b) 405·(2/3) 14 = 81920
59049
Dæmi 10. (a)(i) 3, (ii) 50 (b) 798
Dæmi 11. (a)(i) 3, (ii) 5 (b)a= 5 2 ,b= 310 .
Dæmi 12. (a)a 1 =−8,a 2 =−17,a 3 =−26 (b) -485
Dæmi 13. 3 20 −1.
Dæmi 14. (a) 2 (b)a 10 = 45,s 10 = 225
Dæmi 15.
Dæmi 16.
√ 2
2 11 −1/2.
Dæmi 17. q= −1+√ 5
2
Dæmi 18.
(a)d=−1, (b)a 1 =p+q−1
Dæmi 19. Teljari er 10·11
2
2560
93
Dæmi 20. x= 10/3
= 55 og nefnari er 1· 1−(1/2)10
1−(1/2)
= 1023 . Brotið er
512

viii
SVÖR VIÐ ÆFINGUM
Æfing 6.1.1
Dæmi 2.
(a)y=x− 1 2 cos(2x)+k (b)y= 3ln|x2 +x|+k
(c)y= 1 5 (2x5/2 +3) (d)y= ln
∣ (x+1)(x−1)
∣
3
∣+4
(e)y= 1 2 sin(x2 )+k
(f)y=x 2 sin(2x)+xcos(2x)− 1 2 sin(2x)+k.
Æfing 6.2.1
Dæmi 1.
(a)y=k(x+1) (b)y=ke x2 /2 −1 (c)(y+1) 2 =x 2 +k
(d)y= ln ( sin(x)−xcos(x)+k )
Dæmi 2.(3−y) 2 =
Dæmi 3.
k
|2x+1|
1
1−y =ex +k
Sérlausn:y= 3−
Sérlausn:y= 1−e −x
√
3
2x+1 , x>−1/2
Dæmi 4. ln|y|=− 1 x −ln|x|+k Sérlausn:y=x−1 e 1−x−1 , x> 0
Æfing 6.3.1
Dæmi 1.
(a)y= 2x5 −15x 2 +k
10x
(b)y= 3x5 +10x 3 +k
15x 2
(c)y= sin(2x)−2xcos(2x)+k
4x 3
(d)y=e x2 +ke x2 /2
Sérlausn:y=e x2 +4e x2 /2
(e)y= k−3e−sin(x)
cos(x)
Sérlausn:y= 7−3e−sin(x)
cos(x)
Dæmi 2.y=x 2 +kx 2 e x−1 Sérlausn:y=x 2 (1−e x−1 −1 )