Andhverfur hornafalla og reglur um diffrun þeirra

Andhverfur hornafalla
Samfellt fall hefur andhverfu á bili þar sem fallið er einhalla:
⎡ π π ⎤
f(x) = sin (x) er einhalla fyrir x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2 ⎦
−1
Dæmi: ef sin( x) = 0, 5 þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = sin (0,5 ) eða 0,523 radian
π
( ). 6
−
Ef sin( x) = −0,
5 þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = sin
1 ( −0,5
)
eða − 0,523 radian
( − 6
π )
Þegar notað er fallið sin −1 ⎤
(x)
er x alltaf á bilinu ⎢
⎡ π π − , ⎥
⎣ 2 2 ⎦
sin −1
(x) er einnig kallað arcsin(x) og er andhverfa fallið fyrir sin(x).
f(x) = cos (x) er einhalla fyrir x ∈ [ 0, π]
−1
Dæmi: ef cos( x) = 0, 5 þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = cos (0,5 ) eða 1,05 radian
π
( ) 3
−
Ef cos( x) = −0,
5 þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = cos
1 ( −0,5
)
Þegar notað er fallið cos 1 (x)
− er x alltaf á bilinu [ 0 , π ]
eða 2,1 radian (
2π
3
)
cos −1
(x)
er einnig kallað arccos(x) og er andhverfa fallið fyrir cos(x).
f(x) = tan (x) er einhalla fyrir
⎤ π π ⎡
x ∈ ⎥ − , ⎢
⎦ 2 2 ⎣
−1
π
Dæmi: ef tan( x) = 1 þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = tan (1)
eða 0,75 radian ( ) 4
−
ef tan( x) = −1
þá er, samkvæmt reiknivélinni, x = tan
1 ( −0,5
)
eða − 0,75 radian ( − 4
π )
Þegar notað er fallið tan −1 ⎡
(x)
er x alltaf á bilinu ⎥
⎤ π π − , ⎢
⎦ 2 2 ⎣
tan −1
(x) er einnig kallað arctan(x) og er andhverfa fallið fyrir tan(x).

Regla 3.1
1
Ef g (x) = arctan(x)
þá er g ′(x)
=
2
1 + x
Sönnun:
Ef g (x) = arctan(x)
eða y = arctan(x)
þá er x = tan(y) = f(y)
1
g(x) og f(y) eru andhverf föll þannig að g ′(x)
=
f′
(y)
2
2
1
En, f ′(y)
= 1 + tan (y) = 1 + x , þannig að g ′(x)
=
2
1 + x
Regla
Ef g (x) = arcsin(x)
þá er
Sönnun:
g ′(x)
=
1
1 −
2
x
⎡ π π⎤
Ef g (x) = arcsin(x)
eða y = arcsin(x)
þá er x = sin(y) = f(y)
og y ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2 ⎦
1
g(x) og f(y) eru andhverf föll þannig að g ′(x)
=
f′
(y)
2
2 ⎡ π π⎤
f′ (y) = cos(y) = ± 1 − sin (y) = ± 1 − x , y ∈ ⎢ − , ⎥ þannig að cos( y) > 0
⎣ 2 2 ⎦
1
og við fáum g ′(x)
=
2
1 − x
Regla
1
Ef g (x) = arccos(x)
þá er g ′(x)
= −
2
1 − x
Sönnun:
= og y ∈ [ 0, π]
Ef g (x) = arccos(x)
eða y = arccos(x)
þá er x cos(y) = f(y)
1
g(x) og f(y) eru andhverf föll þannig að g ′(x)
=
f′
(y)
f
2
2
′(y)
= − sin(y) = − ( ± 1 − cos (y))
= ( ± 1 − x )
og við fáum g ′(x)
=
−
1
1 −
2
x
− , [ 0, π]
y ∈ þannig að sin( y) > 0