Kvantno mehanski model atoma

7. Kvantno mehanski model atoma
7. KVANTNO MEHANSKI MODEL ATOMA
7. 1. De Brogliev opis atoma
Pri opisu atoma Bohr ni znal razložiti, zakaj je tirnica kvantizirana, niti zakaj elektron,
ki se giblje pospešeno, ne seva. Zgradbo atoma so lahko razložili šele s kvantno
mehaniko. Začetnik kvantne mehanike, Louis de Broglie (1892 – 1987), je upošteval
simetrijo v naravi in leta 1923 predlagal, da lahko tudi delce obravnavamo kot
valovanje, če smemo valovanje obravnavati kot delce. Elektromagnetno valovanje
prenaša energijo in gibalno količino na snov v obliki delcev – fotonov. Z upoštevanjem
simetrije v naravi velja, da so delci snovno valovanje. Primeren prototip za delec je
elektron. Elektromagnetno valovanje z valovno dolžino λ opišemo s fotoni z gibalno
količino p = h/λ, kjer je h Planckova konstanta, h = 6,6 ⋅10
−34
Js. Elektron pa je delec z
maso m, ki se giblje s hitrostjo v in ima gibalno količino p. Pripišemo mu valovno
dolžino (t.i. de Broglievo valovno dolžino):
h h λ = = . (22)
p mv
λ = 2L/3
n = 3
λ = 2L/2
λ = 2L/1
L
n = 2
n = 1
Slika 25. Stoječe valovanje vpete strune
Pri opisu gibanja elektrona v atomu je de Broglie uporabil analogijo s stoječim
valovanjem na vpeti struni (slika 25). Stoječe valovanje nastane s sestavljanjem
(interferenco) dveh valovanj z enako valovno dolžino, ki se širita v nasprotnih smereh.
Običajno sta to vpadlo in odbito valovanje. Veliko amplitudo dobimo tam, kjer sta
36

7. Kvantno mehanski model atoma
valovanji v fazi, nič pa, kadar sta valovanji v nasprotni fazi. Točke, kjer je amplituda
nihanja enaka nič, imenujemo vozli. Tudi na robovih, kjer je struna vpeta, so vozli.
Vozli valovanja mirujejo. Točka, v kateri se valovanje najbolj odmakne od ravnovesne
lege, se imenuje hrib ali dolina. Razdalja med dvema sosednjima hriboma je valovna
dolžina valovanja λ. Kadar imamo hrib in dolino (dva največja odmika od ravnovesne
lege), je valovna dolžina enaka λ = L (slika 25). Kadar imamo tri največje odmike (dva
hriba ena dolina ali dve dolini en hrib), je valovna dolžina enaka λ = 2L/3 (slika 25). V
splošnem je valovna dolžina stoječega valovanja na vpeti struni z dolžino L enaka λ =
2L/n, kjer je n število največjih odmikov od ravnovesne lege.
De Broglie je sklepal, da je valovanje elektrona krožno stoječe valovanje, ki se ujame
(sklopi) v krogu. Nastane konstruktivna interferenca (slika 26). Takšno stanje
predstavlja stabilen atom.
Slika 26. Nastanek konstruktivnega valovanja v tirnici elektrona [5]
Če se valovanje v krogu ne ujame (slika 27), je interferenca destruktivna, valovanje
potuje okrog po zanki in se hitro porazgubi – atom razpade.
Slika 27. Nastanek destruktivnega valovanja v krožnem tiru [5]
37

7. Kvantno mehanski model atoma
Da je valovanje konstruktivno, mora biti dolžina tira s polmerom r n večkratnik valovne
dolžine elektrona:
2 πr n
= nλ ; n = 1, 2, 3,… ( 23 )
kjer n imenujemo kvantno število. Ko v izrazu (23) valovno dolžino nadomestimo z de
Broglijevo (izraz 21), dobimo:
nh
mvr n
= . (24)
2π
To pa je kvantni pogoj, ki ga je predlagal Bohr. Tirnica je kvantizirana zaradi valovne
narave elektrona. Na sliki 28 so podani primeri konstruktivnega valovanja za različna
kvantna števila n.
Slika 28. Primeri konstruktivnega valovanja za različna kvantna števila n [5]
Tako razložimo, zakaj so tirnice in energijska stanja elektrona kvantizirane. Bohrova
teorija, čeprav fizikalno napačna, je dala dobre napovedi za vodikov atom, ki ima samo
en elektron. Odpovedala pa je pri atomih z več elektroni. Kvantna teorija je dokončno
rešila problem zgradbe atoma z več elektroni in nam dala drugačen pogled na atom in
naravo v celoti. Več o kvantnem modelu atoma pa bomo povedali v naslednjih
poglavjih.
7. 2. Valovna funkcija
Sedaj vemo, da lahko elektrone obravnavamo kot valovanje, zato moramo povedati še
kaj o lastnostih valovanja. Klasična valovanja kot so zvok, valovanje na struni,
valovanje na vodnem površju opišemo z Newtonovo mehaniko. Valovanje opišemo z
valovno dolžino, frekvenco, hitrostjo in amplitudo valovanja. Vsako valovanje opišemo
z neko fizikalno količino, ki se periodično spreminja. Svetlobo, t.j. elektromagnetno
38

7. Kvantno mehanski model atoma
valovanje, opišemo z vektorjem jakosti električnega polja ali vektorjem jakosti
magnetnega polja. Velikost in smer vektorja jakosti električnega polja E v sta odvisni od
tega, v kateri točki in ob katerem času ga merimo. Svetlobno valovanje opišemo z
Maxwellovimi enačbami. Za kvantno mehanski opis snovnega valovanja vpeljemo novo
fizikalno količino. Pričakujemo, da bo bolj kompleksna, kot je jakost električnega polja,
saj snovno valovanje poleg energije in gibalne količine prenaša tudi maso in velikokrat
celo električni naboj. Tako izberemo za opis snovnega valovanja kompleksno valovno
funkcijo ψ. Kako se spreminja s krajem in časom, pa opišemo s Schrödingerjevo
enačbo. Fizikalno smiseln in uporaben je kvadrat absolutne vrednosti valovne funkcije
ψ ( r v , t)
delec.
2
. Podaja verjetnost, da v majhnem volumnu okoli točke r v ob času t najdemo
7. 3. Heisenbergov princip nedoločenosti
V svetu kvantne mehanike smo prav tako kot v svetu Newtonove omejeni z nekaterimi
pravili in pogoji. Kadarkoli naredimo neko meritev, napaka nikoli ni izključena. Npr. ne
moremo izmeriti z absolutno natančnostjo dolžine šolske table, pa če imamo še tako
natančen merilni inštrument. Bolj natančni merilni inštrumenti res dajo bolj natančne
meritve, zato pa je napaka manjša. V kvantni mehaniki pa nismo omejeni z
natančnostmi inštrumentov, ampak omejitve postavlja narava sama. Omejitve so
dvojne, t.j. valovni in delčni značaj delca, in neizbežna interakcija med sistemom, ki ga
opazujemo, ter inštrumentom, s katerim opazujemo.
Določiti lego nekega delca, brez da bi ga vsaj malo zmotili, je nemogoče. To je
podobno, kot če poskušamo določiti lego ping – pong žogice v popolnoma temni sobi.
S tipanjem poskušamo najti žogico. Takrat, ko se je dotaknemo s prsti, odleti neznano
kam, ker ji damo gibalno količino. Sedaj ne poznamo nove lege in ne hitrosti žogice.
Podobno velja za svet elektronov in atomov. Lego delca lahko določimo, če ga
opazujemo na primer z mikroskopom s svetlobo z valovno dolžino λ. Vemo, da z
valovanjem ni mogoče meriti dolžin manjših od uporabljene valovne dolžine. Ne glede
na natančnost mikroskopa, lahko določimo lego delca le z natančnostjo ∆x = λ. Med
določanjem lege delec obstreljujemo s fotoni, ki imajo gibalno količino p = h/λ. Ne
vemo, kaj se ob trku dogaja. Foton lahko preda delcu vso svojo gibalno količino p,
samo del p ali pa je sploh ne preda. Torej je gibalna količina opazovanega delca
39

7. Kvantno mehanski model atoma
negotova za gibalno količino vpadnega fotona. Gibalna količina delca je tako določena
z natančnostjo ∆p = h/λ. Produkt nedoločenosti lege delca ∆x in nedoločenosti njegove
gibalne količine ∆p je enak: ∆x∆p ≅ h. Natančneje pa zapišemo princip nedoločenosti:
h
∆x∆p
≥ , (25)
2π
ki ga včasih poimenujemo tudi Heisenbergov princip nedoločenosti. Torej, če je lega
delca natančno znana, je njegova gibalna količina neznana. Če pa poznamo gibalno
količino delca, je njegova lega nedoločena. Zato lahko govorimo le o verjetnosti, da se
delec nekje nahaja.
7. 4. Kvantno mehanski model atoma
Kvantno – mehanski model podaja podrobnejši opis in precej drugačno gledanje na
atom, kot ga je podal Bohr. V skladu s kvantno - mehansko teorijo se elektroni ne
gibljejo po krožnih tirnicah, ampak se nahajajo v t.i. orbitalah. Fiziki to poimenujemo
kar elektronski oblak. Tako si elektron, ki imajo valovno naravo, predstavljamo kot
oblak, ki ima različno gostoto naboja v različnih področjih atoma. Ta gostota naboja je
pravzaprav verjetnostna gostota za nahajanje elektrona v različnih področjih atoma. Za
osnovno stanje v vodikovem atomu je elektronski oblak krožno simetričen (slika 29); to
je t.i. 1s orbitala. Toda nimajo vsi atomi sferičnih elektronskih oblakov, kot bomo videli
v naslednjem poglavju.
Slika 30. Verjetnostna gostota za nahajanje elektrona v osnovnem stanje vodikovega
atoma. Črtkana krožnica je na razdalji Bohrovega radija r 0 [5].
Elektronski oblak pojasnimo kot verjetnostno področje, kjer najdemo elektron.
40

7. Kvantno mehanski model atoma
Naredimo npr. 500 različnih meritev za določanje lege elektrona in vsako izmerjeno
lego označimo s piko. V področju, kjer so pike posejane gosteje, je večja verjetnostna
gostota. Pri tem opazovanju ne moremo napovedati poti elektrona in ga zasledovati. Po
eni sami meritvi ne moremo predvideti lege elektrona in ne moremo napovedati, kje bo
elektron čez nekaj časa. Lahko samo določimo verjetnost, da je elektron v neki drugi
točki. To pa je bistveno drugače, kot smo vajeni iz Newtonove klasične fizike.
7. 5. Kvantna števila
V nadaljevanju bomo povedali še nekaj o t.i. kvantnih številih, s katerimi opišemo
posamezne oblike orbital. Valovna funkcija ψ, ki je rešitev Schrödingerjeve enačbe,
vsebuje več kvantnih števil, katerih vrednosti določajo obliko orbital. Vsako kvantno
število ima svoj pomen. Glavno kvantno število (n) pove, kako daleč od jedra se
nahaja elektron (slika 30).
n = 3
jedro
n
n
=
=
1
1
n = 2
Slika 30. Ponazoritev pomena glavnega kvantnega števila n
Orbitalno kvantno število (l) pove obliko orbitale. Slika 31 ponazarja osnovne oblike
orbital za orbitalna kvantna števila l = 0, 1, 2. Poimenujemo jih s, p, in d orbitala.
41

7. Kvantno mehanski model atoma
Slika 31. Značilne oblike orbital. Prikazane so mejne ploskve orbital znotraj
katerih z določeno verjetnostjo (običajno 0,95) najdemo elektron [13].
Orbitale s so krogelno simetrične. Orbitale p so iz dveh delov, porazdelitev verjetnostne
gostote elektrona je usmerjena vzdolž premice. Za d orbitale je značilno, da so
sestavljene iz štirih delov. Verjetnostna gostota pa je usmerjena vzdolž dveh
pravokotnih premic (slika 32).
Magnetno kvantno število (m) pove orientacijo orbital v prostoru. Od trojice p –
orbital je vsaka usmerjena vzdolž druge koordinatne osi v prostorskem koordinatnem
sistemu (slika 32).
Slika 32. Usmerjenost 2p orbital [18]
Spinsko kvantno število (s) podaja vrtilno količino elektrona. Pogosto se spin
elektrona predstavi klasično na naslednji način: elektron je drobna krogla, ki se lahko
vrti okoli osi v dveh smereh. Vendar to ni res. Spina si klasično ne moremo
predstavljati. V okviru kvantne mehanike je najbolje, da si spin predstavljamo kot
lastnost elektrona (podobno kot masa in naboj), ki jo lahko izmerimo.
42

7. Kvantno mehanski model atoma
Elektronov med seboj ne moremo razlikovati. Vsak elektron je po notranji zgradbi enak
drugemu. Dva elektrona pa ne moreta zasedati istega kvantnega stanja. Paulijevo
izključitveno načelo pravi, da lahko dano stanje, ki je določeno s štirimi kvantnimi
števili n, l, m in s zaseda kvečjemu en sam elektron. To pomeni, da dva elektrona ne
moreta imeti enakih vseh kvantnih števil.
43