Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
7. KVANTNO MEHANSKI MODEL ATOMA<br />
7. 1. De Brogliev opis <strong>atoma</strong><br />
Pri opisu <strong>atoma</strong> Bohr ni znal razložiti, zakaj je tirnica kvantizirana, niti zakaj elektron,<br />
ki se giblje pospešeno, ne seva. Zgradbo <strong>atoma</strong> so lahko razložili šele s kvantno<br />
mehaniko. Začetnik kvantne mehanike, Louis de Broglie (1892 – 1987), je upošteval<br />
simetrijo v naravi in leta 1923 predlagal, da lahko tudi delce obravnavamo kot<br />
valovanje, če smemo valovanje obravnavati kot delce. Elektromagnetno valovanje<br />
prenaša energijo in gibalno količino na snov v obliki delcev – fotonov. Z upoštevanjem<br />
simetrije v naravi velja, da so delci snovno valovanje. Primeren prototip za delec je<br />
elektron. Elektromagnetno valovanje z valovno dolžino λ opišemo s fotoni z gibalno<br />
količino p = h/λ, kjer je h Planckova konstanta, h = 6,6 ⋅10<br />
−34<br />
Js. Elektron pa je delec z<br />
maso m, ki se giblje s hitrostjo v in ima gibalno količino p. Pripišemo mu valovno<br />
dolžino (t.i. de Broglievo valovno dolžino):<br />
h h λ = = . (22)<br />
p mv<br />
λ = 2L/3<br />
n = 3<br />
λ = 2L/2<br />
λ = 2L/1<br />
L<br />
n = 2<br />
n = 1<br />
Slika 25. Stoječe valovanje vpete strune<br />
Pri opisu gibanja elektrona v atomu je de Broglie uporabil analogijo s stoječim<br />
valovanjem na vpeti struni (slika 25). Stoječe valovanje nastane s sestavljanjem<br />
(interferenco) dveh valovanj z enako valovno dolžino, ki se širita v nasprotnih smereh.<br />
Običajno sta to vpadlo in odbito valovanje. Veliko amplitudo dobimo tam, kjer sta<br />
36
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
valovanji v fazi, nič pa, kadar sta valovanji v nasprotni fazi. Točke, kjer je amplituda<br />
nihanja enaka nič, imenujemo vozli. Tudi na robovih, kjer je struna vpeta, so vozli.<br />
Vozli valovanja mirujejo. Točka, v kateri se valovanje najbolj odmakne od ravnovesne<br />
lege, se imenuje hrib ali dolina. Razdalja med dvema sosednjima hriboma je valovna<br />
dolžina valovanja λ. Kadar imamo hrib in dolino (dva največja odmika od ravnovesne<br />
lege), je valovna dolžina enaka λ = L (slika 25). Kadar imamo tri največje odmike (dva<br />
hriba ena dolina ali dve dolini en hrib), je valovna dolžina enaka λ = 2L/3 (slika 25). V<br />
splošnem je valovna dolžina stoječega valovanja na vpeti struni z dolžino L enaka λ =<br />
2L/n, kjer je n število največjih odmikov od ravnovesne lege.<br />
De Broglie je sklepal, da je valovanje elektrona krožno stoječe valovanje, ki se ujame<br />
(sklopi) v krogu. Nastane konstruktivna interferenca (slika 26). Takšno stanje<br />
predstavlja stabilen atom.<br />
Slika 26. Nastanek konstruktivnega valovanja v tirnici elektrona [5]<br />
Če se valovanje v krogu ne ujame (slika 27), je interferenca destruktivna, valovanje<br />
potuje okrog po zanki in se hitro porazgubi – atom razpade.<br />
Slika 27. Nastanek destruktivnega valovanja v krožnem tiru [5]<br />
37
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
Da je valovanje konstruktivno, mora biti dolžina tira s polmerom r n večkratnik valovne<br />
dolžine elektrona:<br />
2 πr n<br />
= nλ ; n = 1, 2, 3,… ( 23 )<br />
kjer n imenujemo kvantno število. Ko v izrazu (23) valovno dolžino nadomestimo z de<br />
Broglijevo (izraz 21), dobimo:<br />
nh<br />
mvr n<br />
= . (24)<br />
2π<br />
To pa je kvantni pogoj, ki ga je predlagal Bohr. Tirnica je kvantizirana zaradi valovne<br />
narave elektrona. Na sliki 28 so podani primeri konstruktivnega valovanja za različna<br />
kvantna števila n.<br />
Slika 28. Primeri konstruktivnega valovanja za različna kvantna števila n [5]<br />
Tako razložimo, zakaj so tirnice in energijska stanja elektrona kvantizirane. Bohrova<br />
teorija, čeprav fizikalno napačna, je dala dobre napovedi za vodikov atom, ki ima samo<br />
en elektron. Odpovedala pa je pri atomih z več elektroni. Kvantna teorija je dokončno<br />
rešila problem zgradbe <strong>atoma</strong> z več elektroni in nam dala drugačen pogled na atom in<br />
naravo v celoti. Več o kvantnem <strong>model</strong>u <strong>atoma</strong> pa bomo povedali v naslednjih<br />
poglavjih.<br />
7. 2. Valovna funkcija<br />
Sedaj vemo, da lahko elektrone obravnavamo kot valovanje, zato moramo povedati še<br />
kaj o lastnostih valovanja. Klasična valovanja kot so zvok, valovanje na struni,<br />
valovanje na vodnem površju opišemo z Newtonovo mehaniko. Valovanje opišemo z<br />
valovno dolžino, frekvenco, hitrostjo in amplitudo valovanja. Vsako valovanje opišemo<br />
z neko fizikalno količino, ki se periodično spreminja. Svetlobo, t.j. elektromagnetno<br />
38
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
valovanje, opišemo z vektorjem jakosti električnega polja ali vektorjem jakosti<br />
magnetnega polja. Velikost in smer vektorja jakosti električnega polja E v sta odvisni od<br />
tega, v kateri točki in ob katerem času ga merimo. Svetlobno valovanje opišemo z<br />
Maxwellovimi enačbami. Za kvantno <strong>mehanski</strong> opis snovnega valovanja vpeljemo novo<br />
fizikalno količino. Pričakujemo, da bo bolj kompleksna, kot je jakost električnega polja,<br />
saj snovno valovanje poleg energije in gibalne količine prenaša tudi maso in velikokrat<br />
celo električni naboj. Tako izberemo za opis snovnega valovanja kompleksno valovno<br />
funkcijo ψ. Kako se spreminja s krajem in časom, pa opišemo s Schrödingerjevo<br />
enačbo. Fizikalno smiseln in uporaben je kvadrat absolutne vrednosti valovne funkcije<br />
ψ ( r v , t)<br />
delec.<br />
2<br />
. Podaja verjetnost, da v majhnem volumnu okoli točke r v ob času t najdemo<br />
7. 3. Heisenbergov princip nedoločenosti<br />
V svetu kvantne mehanike smo prav tako kot v svetu Newtonove omejeni z nekaterimi<br />
pravili in pogoji. Kadarkoli naredimo neko meritev, napaka nikoli ni izključena. Npr. ne<br />
moremo izmeriti z absolutno natančnostjo dolžine šolske table, pa če imamo še tako<br />
natančen merilni inštrument. Bolj natančni merilni inštrumenti res dajo bolj natančne<br />
meritve, zato pa je napaka manjša. V kvantni mehaniki pa nismo omejeni z<br />
natančnostmi inštrumentov, ampak omejitve postavlja narava sama. Omejitve so<br />
dvojne, t.j. valovni in delčni značaj delca, in neizbežna interakcija med sistemom, ki ga<br />
opazujemo, ter inštrumentom, s katerim opazujemo.<br />
Določiti lego nekega delca, brez da bi ga vsaj malo zmotili, je nemogoče. To je<br />
podobno, kot če poskušamo določiti lego ping – pong žogice v popolnoma temni sobi.<br />
S tipanjem poskušamo najti žogico. Takrat, ko se je dotaknemo s prsti, odleti neznano<br />
kam, ker ji damo gibalno količino. Sedaj ne poznamo nove lege in ne hitrosti žogice.<br />
Podobno velja za svet elektronov in atomov. Lego delca lahko določimo, če ga<br />
opazujemo na primer z mikroskopom s svetlobo z valovno dolžino λ. Vemo, da z<br />
valovanjem ni mogoče meriti dolžin manjših od uporabljene valovne dolžine. Ne glede<br />
na natančnost mikroskopa, lahko določimo lego delca le z natančnostjo ∆x = λ. Med<br />
določanjem lege delec obstreljujemo s fotoni, ki imajo gibalno količino p = h/λ. Ne<br />
vemo, kaj se ob trku dogaja. Foton lahko preda delcu vso svojo gibalno količino p,<br />
samo del p ali pa je sploh ne preda. Torej je gibalna količina opazovanega delca<br />
39
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
negotova za gibalno količino vpadnega fotona. Gibalna količina delca je tako določena<br />
z natančnostjo ∆p = h/λ. Produkt nedoločenosti lege delca ∆x in nedoločenosti njegove<br />
gibalne količine ∆p je enak: ∆x∆p ≅ h. Natančneje pa zapišemo princip nedoločenosti:<br />
h<br />
∆x∆p<br />
≥ , (25)<br />
2π<br />
ki ga včasih poimenujemo tudi Heisenbergov princip nedoločenosti. Torej, če je lega<br />
delca natančno znana, je njegova gibalna količina neznana. Če pa poznamo gibalno<br />
količino delca, je njegova lega nedoločena. Zato lahko govorimo le o verjetnosti, da se<br />
delec nekje nahaja.<br />
7. 4. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
<strong>Kvantno</strong> – <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> podaja podrobnejši opis in precej drugačno gledanje na<br />
atom, kot ga je podal Bohr. V skladu s kvantno - mehansko teorijo se elektroni ne<br />
gibljejo po krožnih tirnicah, ampak se nahajajo v t.i. orbitalah. Fiziki to poimenujemo<br />
kar elektronski oblak. Tako si elektron, ki imajo valovno naravo, predstavljamo kot<br />
oblak, ki ima različno gostoto naboja v različnih področjih <strong>atoma</strong>. Ta gostota naboja je<br />
pravzaprav verjetnostna gostota za nahajanje elektrona v različnih področjih <strong>atoma</strong>. Za<br />
osnovno stanje v vodikovem atomu je elektronski oblak krožno simetričen (slika 29); to<br />
je t.i. 1s orbitala. Toda nimajo vsi atomi sferičnih elektronskih oblakov, kot bomo videli<br />
v naslednjem poglavju.<br />
Slika 30. Verjetnostna gostota za nahajanje elektrona v osnovnem stanje vodikovega<br />
<strong>atoma</strong>. Črtkana krožnica je na razdalji Bohrovega radija r 0 [5].<br />
Elektronski oblak pojasnimo kot verjetnostno področje, kjer najdemo elektron.<br />
40
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
Naredimo npr. 500 različnih meritev za določanje lege elektrona in vsako izmerjeno<br />
lego označimo s piko. V področju, kjer so pike posejane gosteje, je večja verjetnostna<br />
gostota. Pri tem opazovanju ne moremo napovedati poti elektrona in ga zasledovati. Po<br />
eni sami meritvi ne moremo predvideti lege elektrona in ne moremo napovedati, kje bo<br />
elektron čez nekaj časa. Lahko samo določimo verjetnost, da je elektron v neki drugi<br />
točki. To pa je bistveno drugače, kot smo vajeni iz Newtonove klasične fizike.<br />
7. 5. Kvantna števila<br />
V nadaljevanju bomo povedali še nekaj o t.i. kvantnih številih, s katerimi opišemo<br />
posamezne oblike orbital. Valovna funkcija ψ, ki je rešitev Schrödingerjeve enačbe,<br />
vsebuje več kvantnih števil, katerih vrednosti določajo obliko orbital. Vsako kvantno<br />
število ima svoj pomen. Glavno kvantno število (n) pove, kako daleč od jedra se<br />
nahaja elektron (slika 30).<br />
n = 3<br />
jedro<br />
n<br />
n<br />
=<br />
=<br />
1<br />
1<br />
n = 2<br />
Slika 30. Ponazoritev pomena glavnega kvantnega števila n<br />
Orbitalno kvantno število (l) pove obliko orbitale. Slika 31 ponazarja osnovne oblike<br />
orbital za orbitalna kvantna števila l = 0, 1, 2. Poimenujemo jih s, p, in d orbitala.<br />
41
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
Slika 31. Značilne oblike orbital. Prikazane so mejne ploskve orbital znotraj<br />
katerih z določeno verjetnostjo (običajno 0,95) najdemo elektron [13].<br />
Orbitale s so krogelno simetrične. Orbitale p so iz dveh delov, porazdelitev verjetnostne<br />
gostote elektrona je usmerjena vzdolž premice. Za d orbitale je značilno, da so<br />
sestavljene iz štirih delov. Verjetnostna gostota pa je usmerjena vzdolž dveh<br />
pravokotnih premic (slika 32).<br />
Magnetno kvantno število (m) pove orientacijo orbital v prostoru. Od trojice p –<br />
orbital je vsaka usmerjena vzdolž druge koordinatne osi v prostorskem koordinatnem<br />
sistemu (slika 32).<br />
Slika 32. Usmerjenost 2p orbital [18]<br />
Spinsko kvantno število (s) podaja vrtilno količino elektrona. Pogosto se spin<br />
elektrona predstavi klasično na naslednji način: elektron je drobna krogla, ki se lahko<br />
vrti okoli osi v dveh smereh. Vendar to ni res. Spina si klasično ne moremo<br />
predstavljati. V okviru kvantne mehanike je najbolje, da si spin predstavljamo kot<br />
lastnost elektrona (podobno kot masa in naboj), ki jo lahko izmerimo.<br />
42
7. <strong>Kvantno</strong> <strong>mehanski</strong> <strong>model</strong> <strong>atoma</strong><br />
Elektronov med seboj ne moremo razlikovati. Vsak elektron je po notranji zgradbi enak<br />
drugemu. Dva elektrona pa ne moreta zasedati istega kvantnega stanja. Paulijevo<br />
izključitveno načelo pravi, da lahko dano stanje, ki je določeno s štirimi kvantnimi<br />
števili n, l, m in s zaseda kvečjemu en sam elektron. To pomeni, da dva elektrona ne<br />
moreta imeti enakih vseh kvantnih števil.<br />
43