stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH
STAVEBNÁ FAKULTA
KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
RNDr. Pavol PURCZ, PhD.
RNDr. Martina RÉVAYOVÁ
MATEMATIKA II
ZBIERKA ÚLOH
KOŠICE 2006

Copyright c○ 2006, RNDr. Pavol Purcz, PhD. - RNDr. Martina Révayová
Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná tlačenou, elektronickou alebo inou
formou bez písomného súhlasu autora a vydavateľa.
Neprešlo jazykovou úpravou.
Recenzenti:
Doc.RNDr. Katarína Trokanová, CSc.,
Doc.RNDr. Ondrej Dreveňák, CSc.
Vydala Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta
ISBN 80-8073-652-9

Úvod
Tieto skriptá sú napísané pre študentov 1.ročníka bakalárskeho štúdia TU Stavebnej
fakulty v Košiciach a naväzujú svojím obsahom na skriptá MATEMATIKA I., autori:
Doc.RNDr. Štefan Černák, CSc. a Doc.RNDr. Miron Pavluš, CSc., vydané Technickou
univerzitou v Košiciach, Stavebnou fakultou v r.2006. Skriptá obsahujú tieto kapitoly:
Neurčitý integrál, Určitý integrál, Diferenciálny počet funkcie viac premených a Diferenciálne
rovnice. Posledná kapitola pozostáva z výsledkov riešenia daných úloh.
Na začiatku každej kapitoly (okrem poslednej) sú uvedené definície niektorých pojmov
a ich vlastnosti, potrebné na riešenie príslušných úloh. Skriptá ďalej obsahujú riešené
príklady a príklady na samostatné riešenie s výsledkami. Nakoľko tieto skriptá sú koncipované
ako zbierka úloh, neobsahujú definície všetkých pojmov a ani dôkazy matematických
viet.
Na záver si dovoľujeme poďakovať doc. RNDr. Kataríne Trokanovej, CSc. a doc.
RNDr. Ondrejovi Dreveňákovi, CSc. za starostlivé prečítanie celého textu a pripomienky,
ktorými prispeli k zlepšeniu tejto učebnej pomôcky.
Autori
3

1 Neurčitý integrál
1.1 Primitívna funkcia, neurčitý integrál, základné vzorce
A. Hovoríme, že F (x) je v intervale (a, b) primitívnou funkciou k funkcii f(x), ak pre
každé x ∈ (a, b) platí
F ′ (x) = f(x).
Každá funkcia F (x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta je tiež primitívnou funkciou k
funkcii f(x).
B. Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii f(x) nazývame neurčitý integrál
funkcie f(x) a označujeme ∫ f(x) dx. Teda
∫
f(x) dx = F (x) + C,
kde C je ľubovoľné reálne číslo, ktoré nazývame integračnou konštantou.
C. Základné vzorce
1. ∫ x α dx = xα+1 + C (α reálne, α ≠ −1),
α+1
2. ∫ 1
dx = ln |x| + C,
x
3. ∫ a x dx = ax + C,
ln a
4. ∫ e x dx = e x + C,
5. ∫ sin x dx = − cos x + C,
6. ∫ cos x dx = sin x + C,
7. ∫ 1
dx = tg x + C,
cos 2 x
8. ∫ 1
dx = − cotg x + C,
sin 2 x
9. ∫ √ 1
a
dx = arcsin x + C,
2 −x 2 a
10. ∫ 1
dx = 1 arctg x + C,
a 2 +x 2 a a
11. ∫ √ 1
dx = ln |x + √
x
x 2 + a| + C,
2 +a
12. ∫ f ′ (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C.
Vlastnosti neurčitého integrálu
∫
∫
(f(x) ± g(x)) dx =
∫
f(x) dx ±
g(x) dx,
∫
∫
kf(x) dx = k
f(x) dx,
(k je konštanta).
Príklad 1. Vypočítajme integrály
∫
∫ √
cos 2x
3x x − x 6
a)
cos 2 x sin 2 x dx, b) + x 3 ∫
cos x
dx, c)
x 3
1
√
4 − 4x
2 dx.
Riešenie.
a)
∫
∫
cos 2x
cos 2
cos 2 x sin 2 x dx = x − sin 2 ∫
x
∫
∫ cos 2 x sin 2 x
dx =
1
=
sin 2 x dx −
1
dx = − cotg x − tg x + C,
cos 2 x
cos 2 ∫
x
cos 2 x sin 2 x dx −
sin 2 x
cos 2 x sin 2 x dx =
4

∫ √ 3x x − x 6 + x 3 ∫ √ ∫
cos x 3x x x
6
∫ x 3
b)
dx = dx −
x 3 x 3 x dx + cos x
dx =
∫ ∫ ∫
3 x 3
= 3 x − 3 2 dx − x 3 dx + cos x dx = −√ 6 − x4
+ sin x + C,
∫
∫
x 4
1
c) √ dx = 1
√
4 − 4x
2 4(1 − x2 ) dx = 1 ∫
1
√
2
dx = 1 arcsin x + C.
1 − x
2 2 □
Úlohy
Použitím
∫ ( základných vzorcov ) vypočítajte neurčité integrály.
∫
1. 3x 2 + 2x + 1 + 1
3x dx. 2. 11x 9 +12
dx.
x
∫ √ 4
3. (1+ x) 2
∫ ( )
√
1
x
dx. 4. √x − 4√ 1
x
dx.
3
∫ √ ∫
5. x 4 +4x 2 +4
dx. 6.
x 2x(x 2 − 5 + 3 ) dx.
3 x
∫ )
∫ )
2
7. e
x
(1 − e−x dx. 8.
x a
x
(1 − a−x dx.
2 x
∫ ∫ 4
9. 2 x 5 x dx. 10. (2 x + 3 x ) 2 dx.
∫
11. 3.2 x −2.8
∫ x
dx.
6 12. (3 x −4 x ) 2
dx.
x 12
∫ x
13. (4
∫ ( x −5 x ) 2
dx. 14. 5 cos x − √ 3x 5 + 3
∫
20 x ∫
15. ∫ tg 2 x dx. 16. cotg 2 x dx.
cos 2x
17.
dx. 18. ∫
1
∫ dx.
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x
19. sin
2 x
dx. 20. ∫
2 cos
2 x
∫
dx. 2
cos 2x
21.
dx. cos x−sin x 22. ∫ 1+cos 2 x
∫ dx.
1+cos 2x
23. x 2
∫
dx. 24. x 2 −1
∫ dx.
1+x 2 x 2 +1
25. 4−x 2
∫
dx. 26. x 4
dx.
∫
1+x 2 1+x 2
27. x
∫ 5 −16x+2
dx.
x 2 +4
28. (1−x) 2
dx.
x 2
Použitím∫
12. vzorca vypočítajte neurčité integrály.
x
29. dx. x 2 −3 30. ∫ x 2
∫
dx. x 3 +1
2x−5
31.
dx. 3x 2 −15x+22 32. ∫
(tg x + cotg x) dx.
∫
sin 2x
33.
dx. 2 cos 2 x+3 34. ∫
e 2x
dx.
∫
1−3e 2x
1
35. dx. 36. ∫
√ 1
dx.
x ln x 1−x 2 arcsin x
1+x 2 )
dx.
1.2 Integrovanie substitučnou metódou
A. Prvé pravidlo o substitúcii; substitúcia ϕ(x) = z.
Neurčitý integrál tvaru
∫
f(ϕ(x))ϕ ′ (x) dx (1)
formálne počítame tak, že zavedieme novú premennú z substitúciou ϕ(x) = z, vypočítame
ϕ ′ (x) dx = dz a dosadíme do daného integrálu. Dostaneme
∫
∫
f(ϕ(x))ϕ ′ (x) dx = f(z) dz.
Vypočítame integrál na pravej strane a dosadíme z = ϕ(x).
Príklad 2.
Vypočítajme integrály
∫ √ ∫
arctg x
a)
dx, b)
1 + x 2
5
cos x
3 + sin x dx.

Riešenie.
a) Integrál je tvaru (1); ϕ(x) = arctg x. Preto zavedieme substitúciu arctg x = z,
1
1+x 2 dx = dz a dostaneme
∫ √ ∫ arctg x √z z 3 2
dx = dz =
1 + x 2 3
2
+ C = 2 3√
arctg 3 x + C.
b) V čitateli je derivácia menovateľa. Použijúc 12. vzorec máme
∫
cos x
dx = ln |3 + sin x| + C. □
3 + sin x
B. Druhé pravidlo o substitúcii; substitúcia x = ϕ(z).
Neurčitý integrál
∫
f(x) dx
počítame formálne tak, že použijeme substitúciu x = ϕ(z) a vypočítame dx = ϕ ′ (z)dz.
Dosadíme do daného integrálu a dostaneme
∫
∫
f(x) dx = f(ϕ(z))ϕ ′ (z) dz.
Vypočítame integrál na pravej strane, z rovnice x = ϕ(z) vyjadríme z pomocou x, z =
g(x) a dosadíme.
Príklad 3. Vypočítajme ∫
1
x 2√ 1 + x 2 dx.
Riešenie. Zavedieme substitúciu x = 1 t . Potom dx = − 1 t 2 dt. Dostaneme
∫
∫
dx
x 2√ 1 + x = 2
− 1 ∫
dt
t
√
2 = −
1
1 + 1 t 2 t 2
dt
√
t 2 +1
t 2
∫
= −
t dt
√
t2 + 1 = −√ t 2 + 1 + C =
= −
√
1 + x
2
x
+ C. □
Úlohy
V nasledujúcich
∫
príkladoch substitučnou metódou riešte
∫ √
neurčité integrály.
37. ∫ (x + 2) 9 dx. 38. x + 3 dx.
39. 1
dx. 40. ∫
5
∫
dx.
5−x ∫ 6x−1
2
2
41. dx. 42. dx.
∫ (x+3) 2 ∫ (2x+3) 4
43. ∫ x(x 2 − 4) 11 dx. 44. sin(2x) dx.
45. cos(
x
) dx. 3 46. ∫
∫
tg(4x − 1) dx.
1
47. dx. 48. ∫
9x 2 √ 1
+1 1−4x 2
dx.
∫ ∫
49.
∫ e
√ −x dx. 50.
∫ e 2x dx.
51. ex dx. 52. x 2 e x3 dx.
∫
53. x 2
dx. 54. ∫
x 2
dx.
x 6 +4 (1−x) 3
6

55.
57.
59.
61.
63.
65.
∫
2x 2
dx. cos 2 (x 3 +1) 56. ∫
sin 2 x cos x dx.
∫ sin x
∫
4√ cos x
dx. 58. ln x−2
dx.
∫
x(ln x) 2
√ 1+x
∫
1−x 2
dx. 60. 1−2 sin x
dx.
∫ cos 2 x
arcsin √ x−x
∫
tg x
1−x 2
dx. 62.
dx.
ln 3 (cos x)
∫ e 1/x
dx. 64.
∫ x 2
√ 2 x
1−4 x dx. 66.
∫ e
√ x
∫
√ x
dx.
1
cos 2 x √ dx.
tg x−1
1.3 Integrovanie metódou per partes
Ak funkcie u a v premennej x majú na intervale (a, b) spojité derivácie u ′ a v ′ , tak na
tomto intervale platí ∫
∫
uv ′ dx = uv − u ′ v dx. (2)
Vzorec (2) používame na integrovanie súčinu dvoch funkcií. Jednu z funkcií zvolíme za u
a druhú za v ′ . Voľbu treba urobiť tak, aby sme vedeli vypočítať v integrovaním v ′ a aby
integrál ∫ u ′ v dx bol jednoduchší ako daný integrál. Závisí od skúsenosti, ktorú funkciu
zvoliť za u a ktorú za v ′ . Predsa však v niektorých prípadoch platia isté zásady. Ak P (x) je
polynóm, tak pri výpočte integrálu ∫ P (x) arcsin x dx položíme u = arcsin x, v ′ = P (x).
Podobne, ak namiesto arcsin x je hociktorá cyklometrická funkcia, prípadne ln x. Pri
výpočte integrálu ∫ P (x) sin x dx je voľba u = P (x), v ′ = sin x. Podobne, ak namiesto
sin x je cos x, prípadne e x .
Niekedy je treba vzorec (2) použiť viac ráz za sebou. Môže sa stať, že sa dostaneme opäť
k pôvodnému integrálu. V tomto prípade máme pre daný integrál rovnicu, z ktorej ho
vypočítame.
Príklad 4. Vypočítajme integrály
∫
∫
∫
a) (2x−1)e x dx, b) (x 2 +3x−3) cos xdx, c)
Riešenie.
ln(2x+3)dx, d)
∫
e x cos xdx.
a) Položíme u = 2x − 1, v ′ = e x . Potom u ′ = 2, v = ∫ e x dx = e x . Dostaneme
∫
∫
(x − 1)e x dx = (x − 1)e x − 2e x dx = (x − 1)e x − 2e x + C = (x − 3)e x + C.
b) Položíme u = x 2 + 3x − 3, v ′ = cos x. Potom u ′ = 2x + 3, v = sin x a
∫
∫
(x 2 + 3x − 3) cos x dx = (x 2 + 3x − 3) sin x − (2x + 3) sin x dx.
Opäť použijeme metódu per partes. Položíme u = 2x + 3, v ′ = sin x. Potom u ′ = 2,
v = − cos x a
∫
[
∫
]
(x 2 + 3x − 3) cos x dx = (x 2 +3x−3) sin x− (2x + 3)(− cos x) − −2 cos x dx =
= (x 2 + 3x − 3) sin x + (2x + 3) cos x − 2 sin x + C.
7

c) Položíme u = ln(2x + 3), v ′ = 1. Potom u ′ = 2 , v = x a
2x+3
∫
∫
2x
ln(2x + 3) dx = x ln(2x + 3) −
2x + 3 dx.
∫
∫ ∫ (
2x 2x + 3 − 3
2x + 3 dx = dx = 1 − 3 )
∫
dx = x − 3
2x + 3
2x + 3
= x − 3 ∫
2
2 2x + 3 dx = x − 3 ln |2x + 3| + C.
2
Dosadíme a máme
∫
ln(2x + 3) dx = x ln(2x + 3) − x + 3 ln |2x + 3| + C.
2
d) Položíme u = e x , v ′ = cos x. Potom u ′ = e x , v = sin x a
∫
∫
e x cos dx = e x sin x − e x sin dx.
1
2x + 3 dx =
Opäť použijeme metódu per partes. Položíme u = e x , v ′ = sin x. Potom u ′ = e x ,
v = − cos x a
∫
e x cos x dx = e x sin x −
[
∫
e x (− cos x) −
]
e x (− cos x) dx =
∫
= e x sin x + e x cos x −
e x cos x dx.
Na pravej strane máme daný integrál. Pre výpočet daného integrálu máme teda
rovnicu, z ktorej tento integrál vypočítame. Platí
∫
∫
2 e x cos x dx = e x sin x + e x cos x, e x cos x dx = 1 2 ex (sin x + cos x) + C. □
Úlohy
V nasledujúcich
∫
príkladoch riešte neurčité integrály
∫
metódou per partes.
67.
∫ x ln x dx. 68.
∫ x e x dx.
69.
∫ x e −x dx. 70.
∫ x 3 x dx.
71.
∫ x e 2x dx. 72. ∫ x ln 2 x dx.
73.
∫ x arctg x dx. 74.
∫ (9x 2 + 4x) ln x dx.
75. ∫ x sin x dx. 76. x cos 2x dx.
x
77. dx. cos 2 x 78. ∫
∫ ∫ x tg 2 x dx.
79.
∫ (x + 1) e x dx. 80.
∫ (x − 3) sin x dx.
81.
∫ x 2 e −x dx. 82.
∫ x 2 sin 2x dx.
83.
∫ 4x cos 2 x dx. 84.
∫ (x 2 − 2) cos x dx.
85.
∫ (x 2 + 2x) e x dx. 86.
∫ (x 2 + 6x + 3) cos 2x dx.
87.
∫ x 3 sin x dx. 88.
∫ x 3 arctg x dx.
89.
∫ ln x dx. 90.
∫ arctg x dx.
91.
∫ arcsin x dx. 92.
∫ (arcsin x) 2 dx.
93. ∫ ln 2 x dx. 94.
∫ ln(x 2 + 1) dx.
95. x ln(x 2 + 3) dx. 96. cos(ln x) dx.
8

97.
99.
101.
103.
105.
∫ ∫
e
arcsin
∫ x dx. 98.
∫ e x arctg e x dx.
∫ e 2x sin x dx. 100. ∫ e x sin 2 x dx.
∫ e 3x sin 2x dx. 102. e 2x cos 5x dx.
√ x
∫
1−x 2
arcsin x dx. 104. x 2
arctg x dx.
∫ 1+x 2
x
cotg x
dx. sin 2 x 106. ∫ ln 3 x
dx.
x 2
1.4 Integrovanie parciálnych zlomkov
Parciálnym zlomkom rozumieme racionálnu funkciu tvaru
A
(x − α) alebo Mx + N
n (x 2 + px + q) , n
kde n je prirodzené číslo, A, α, M, N, p, q sú reálne čísla a kvadratický trojčlen má diskriminant
D < 0.
A. Integrovanie parciálneho zlomku
A
(x−α) n .
a) Ak n = 1, tak
∫
∫
A
x − α dx = A
1
dx = A ln |x − α| + C.
x − α
Príklad 5. Vypočítajme ∫ 5
x−7 dx.
Riešenie.
∫
∫
5
x − 7 dx = 5
1
dx = 5 ln |x − 7| + C.
x − 7 □
b) Ak n > 1, tak ∫ A
(x−α) n dx počítame substitúciou x − α = z.
Príklad 6. Vypočítajme ∫ 4
(x+5) 7 dx.
Riešenie. Zavedieme substitúciu x + 5 = z, dx = dz a dostaneme
∫
∫ ∫
4
4
(x + 5) dx = 7 z dz = 4 z −7 dz = 4 z−6
7 −6 + C = −2
3z + C = −2
6 3(x + 5) + C. □
6
B. Integrovanie parciálneho zlomku
Mx + N
(x 2 + px + q) n . (3)
a) Pre n = 1 máme ∫ Mx+N
dx. Daný integrál (3) počítame takto:
x 2 +px+q
1) Trojčlen x 2 + px + q doplníme na úplný štvorec, x 2 + px + q = (x + p 2 )2 − ( p 2 )2 + q.
2) Zavedieme substitúciu x + p 2 = z.
3) Po úprave integrál rozdelíme na dva integrály, ktoré môžme vypočítať pomocou
nasledujúcich vzorcov a metód.
Príklad 7. Vypočítajme I = ∫ 4x−9
x 2 −6x+13 dx.
Riešenie. D = 36 − 52 = −16 < 0.
∫
∫
4x − 9
I =
x 2 − 6x + 13 dx =
9
4x − 9
(x − 3) 2 − 9 + 13 dx.

Zavedieme substitúciu x − 3 = z, x = z + 3, dx = dz a máme
∫ ∫ ∫
∫
4(z + 3) − 9 4z + 3
I =
dz =
z 2 + 4
z 2 + 4 dz = 2 2z
z 2 + 4 dz + 3 1
z 2 + 4 dz.
I = 2 ln(z 2 + 4) − 3√ 1 arctg √ z + C = 2 ln(x 2 − 6x + 13) − 3 4 4 2 arctg x − 3 + C. □
2
b) Ak n > 1, platí podobný postup, ako v prípade a) ale naviac potrebujeme rekurentný
vzorec
∫
I n =
1
(x 2 + a 2 ) dx = 1 [
]
x
2n − 3
+ n a 2 2(n − 1)(x 2 + a 2 )
n−1
2n − 2 I n−1 . (4)
Príklad 8. Vypočítajme I 3 = ∫ 1
(x 2 +4) 3 dx.
Riešenie. Použijúc rekurentný vzorec (4) dostaneme
I 3 = 1 [
x
4 2(3 − 1)(x 2 + 4) + 6 − 3 ]
3−1 6 − 2 I x
2 =
16(x 2 + 4) + 3 2 16 I 2.
I 2 počítame opäť podľa vzorca (4).
I 2 = 1 [
x
4 2(2 − 1)(x 2 + 4) + 4 − 3 ]
2−1 4 − 2 I x
1 =
8(x 2 + 4) + 1 8 I 1.
∫
1
I 1 =
x 2 + 4 dx = 1 2 arctg x 2 .
Po dosadení za I 1 a I 2 dostaneme
I 3 =
=
x
16(x 2 + 4) 2 + 3 16
(
x
8(x 2 + 4) + 1 1
8 2 arctg x )
+ C =
2
x
16(x 2 + 4) 2 + 3x
128(x 2 + 4) + 3
256 arctg x 2 + C. □
Príklad 9. Vypočítajme I = ∫ 2x−5
(x 2 +2x+2) 2 dx.
Riešenie.
∫
∫
2x − 5
I =
[(x + 1) 2 − 1 + 2] dx = 2
Zavedieme substitúciu x + 1 = z, x = z − 1, dx = dz
∫ ∫
∫
2(z − 1) − 5 2z − 7
I =
dz =
(z 2 + 1) 2 (z 2 + 1) dz = 2
2x − 5
[(x + 1) 2 + 1] 2 dx.
∫
2z dz
(z 2 + 1) dz − 7 2
Prvý integrál počítame substitúciou z 2 + 1 = t, 2zdz = dt.
∫
∫
2z
dt
(z 2 + 1) dz = 2 t = −1 2 t = − 1
z 2 + 1 = − 1
x 2 + 2x + 2 .
Druhý integrál počítame použitím rekurentného vzorca (4) a dostaneme
∫
1
(z 2 + 1) dz = x + 1
2 2(x 2 + 2x + 2) + 1 arctg(x + 1).
2
Po spätnom dosadení získame
(
1
I = −
x 2 + 2x + 2 − 7 x + 1
2(x 2 + 2x + 2) + 1 )
2 arctg(x + 1) + C =
= − 7x + 9
x 2 + x + 1 − 7 arctg(x + 1) + C.
2 □
10
dz
(z 2 + 1) 2 .

Úlohy
Vypočítajte ∫ integrály parciálnych zlomkov.
107. 2
dx. 108. ∫
5
∫
dx.
x+7 3−2x
1
109. dx. 110. ∫ −8
∫
dx.
2x−1 ∫ 3x+2
4
1
111. dx. 112.
∫
(4x−3) 2
1
113.
dx. 114. ∫
1
∫ x 2 −2x+5
1
115.
dx. 116. ∫
1
∫ 2x 2 +2x+5
2x
117.
dx. 118. ∫
−x
∫ x 2 +6x+10
12x
119. dx. 120. ∫
3x
∫ x 2 +x+6
121. x+2
dx. 122. ∫ 2x−1
∫ dx.
x 2 +9 x 2 +4
123. 10x+2
dx. 124. ∫
2−x
∫ x 2 −4x+5 ∫
8
125. dx. 126. 2x+6
(x 2 +1) 2
1.5 Integrovanie racionálnych funkcií
4(2x+1) 3 dx.
dx.
x 2 +10x+34 dx.
5x 2 +2x+10 dx.
2x 2 −2x+1 dx.
x 2 +2x+10
dx.
x 2 −2x+5
dx.
(x 2 +9) 2
Racionálna funkcia f(x) je podiel dvoch polynómov P m (x) a P n (x)
f(x) = P m(x)
P n (x) , (5)
kde m a n je ich stupeň.
Ak m < n, racionálna funkcia f(x) sa volá rýdzoracionálna. Uvedieme postup,
ako z racionálnej funkcie, ktorá nie je rýdzoracionálna dostaneme rýdzoracionálnu a ako
rýdzoracionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov.
Majme racionálnu funkciu f(x) takú, že m ≥ n. Potom delíme čitateľa menovateľom
a dostaneme
P m (x)
P n (x)
= Q(x) +
R(x)
P n (x) , (6)
kde Q(x) je polynóm a R(x) je zvyšok pri delení. R(x) je polynóm taký, že stupeň
R(x) < n. Teda R(x) je rýdzoracionálna funkcia. Pri rozklade rýdzoracionálnej funkcie
R(x)
P n(x)
P n(x)
na súčet parciálnych zlomkov postupujeme takto:
1. Nájdeme všetky reálne korene menovateľa P n (x) a rozložíme ho na súčin čísla a n (a n
je koeficient pri najvyššej mocnine polynómu P n (x)), koreňových činiteľov príslušných
reálnych koreňov a kvadratických výrazov, ktorých diskriminant D < 0 (t.j., ktoré
nemajú reálne korene).
P n (x) = a n . . . (x − α) k . . . (x 2 + px + q) l . . .
Všimnime si, že jednotlivé činitele sú menovatele parciálnych zlomkov.
2. Vyrazu (x − α) k odpovedá k parciálnych zlomkov tvaru
A 1
x − α , A 2
(x − α) 2 , . . . , A k
(x − α) k .
Výrazu (x 2 + px + q) l odpovedá l parciálnych zlomkov tvaru
M 1 x + N 1
x 2 + px + q , M 2 x + N 2
(x 2 + px + q) 2 , . . . , M l x + N l
(x 2 + px + q) l .
11

3. Racionálnu funkciu R(x)
P n(x)
rozložíme na súčet všetkých príslušných parciálnych zlomkov.
4. Získanú rovnosť násobíme P n (x), čím odstránime zlomky a dostaneme rovnosť dvoch
polynómov.
5. Vypočítame koeficienty A i , N j , M j niektorou z týchto metód:
a) metódou porovnávania koeficientov pri rovnakých mocninách,
b) metódou dosadzovania reálnych koreňov menovateľa,
c) kombinovanou metódou.
6. Integrujeme už rozloženú racionálnu funkciu tvaru (5) alebo (6).
Príklad 10.
Vypočítajme
a) I =
∫ x 2 ∫
− 2x + 3
x 2
x 2 + x − 2 dx, b) I = − 8x − 2
x 3 − 3x + 2 dx,
Riešenie.
∫ x 5 + x 4 + 3x 3 + x 2 − 2
c) I =
dx.
x 4 − 1
a) (x 2 − 2x + 3) : (x 2 + x − 2) = 1 + −3x+5
x 2 +x−2
−(x 2 +x−2)
−3x+5
∫ ∫
I = 1 dx +
Funkcia −3x+5
x 2 +x−2
je rýdzoracionálna.
−3x + 5
x 2 + x − 2 dx.
1. D = 9 > 0, teda menovateľ má reálne korene. Dostaneme x 2 +x−2 = (x−1)(x+
2).
2. Výrazu x − 1 odpovedá jeden parciálny zlomok tvaru A . Podobne, výrazu x + 2
x−1
odpovedá
B . x+2
3. Racionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov,
−3x + 5
x 2 + x − 2 =
A
x − 1 +
B
x + 2 .
4. Rovnosť násobíme výrazom x 2 +x−2 a dostaneme −3x+5 = A(x+2)+B(x−1).
5. Koeficienty A a B vypočítame metódou dosadzovania koreňov menovateľa.
x = 1 : −3 + 5 = A(1 + 2) + B(1 − 1), A = 2,
3
x = −2 : −3(−2) + 5 = A(−2 + 2) + B(−2 − 1), B = − 11.
3
6.
∫ ( 2
3
I = x +
x − 1 + − 11 )
3
dx = x + 2 11
ln |x − 1| − ln |x + 2| + C.
x + 2
3 3
b) Máme integrál rýdzoracionálnej funkcie.
1. Rozložíme menovateľa. Dosadením zistíme, že menovateľ má koreň x 1 = 1. Polynóm
delíme jeho koreňovým činiteľom (x − 1)
(x 3 − 3x + 2) : (x − 1) = x 2 + x − 2, x 2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2).
Potom
x 3 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 1)(x + 2) = (x − 1) 2 (x + 2).
12

2. Výrazu (x−1) 2 odpovedajú dva parciálne zlomky tvaru A 1
, A 2
a výrazu x+2
x−1 (x−1) 2
odpovedá jeden zlomok tvaru
3. Celkový rozklad je
B . x+2
x 2 − 8x − 2
x 3 − 3x + 2 = A 1
x − 1 + A 2
(x − 1) 2 + B
x + 2 .
4. Násobíme rovnosť výrazom x 3 − 3x + 2 a dostaneme
x 2 − 8x − 2 = A 1 (x − 1)(x + 2) + A 2 (x + 2) + B(x − 1) 2 .
5. Koeficienty A 1 , A 2 a B vypočítame kombinovanou metódou. Najskôr použijeme
metódu dosadzovania koreňov menovateľa
x = 1 : 1 2 − 8 − 2 = A 2 (1 + 2), A 2 = −3,
x = −2 : (−2) 2 − 8(−2) − 2 = B(−2, −1) 2 , B = 2.
Na výpočet A 1 použijeme metódu porovnávania koeficientov. Pravú stranu upravíme
a výjmeme x 2 a x. Porovnáme koeficienty pri tej mocnine, kde sa vyskytuje
A 1 , napr. pri x 2 .
x 2 : 1 = A 1 + B,
1 = A 1 + 2, A 1 = −1.
∫
I =
∫
−1
x − 1 dx +
∫
−3
(x − 1) dx + 2
2
x + 2 dx.
Do prostredného integrálu zavedieme substitúciu x−1 = z, dx = dz a dostaneme
∫
∫
−3
1
(−
(x − 1) dx = −3 2 z dz = −3 1 )
= 3 2 z z = 3
x − 1 .
6. Nakoniec
I = − ln |x − 1| + 3
(x + 2)2
+ 2 ln |x + 2| + C = ln + 3
x − 1 |x − 1| x − 1 + C.
c) Stupeň čitateľa > stupeň menovateľa, teda musíme deliť.
(x 5 + x 4 + 3x 3 + x 2 − 2) : (x 4 − 1) = x + 1 + 3x3 + x 2 + x − 1
.
x 4 − 1
∫ ∫ ∫ 3x 3 + x 2 + x − 1
I = x dx + dx +
dx.
x 4 − 1
1. x 4 − 1 = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1).
2. Výrazom x − 1 a x + 1 odpovedajú parciálne zlomky A
výrazu x 2 + 1 odpovedá parciálny zlomok Mx+N . x 2 +1
3. Celkový rozklad má tvar
x−1 a
B . Kvadratickému
x+1
3x 3 + x 2 + x − 1
x 4 − 1
= A
x − 1 + B
x + 1 + Mx + N
x 2 + 1 .
4. Rovnosť násobíme výrazom x 4 − 1.
3x 3 + x 2 + x − 1 = A(x + 1)(x 2 + 1) + B(x − 1)(x 2 + 1) + (Mx + N)(x 2 − 1).
13

Úlohy
5. Koeficienty A, B, M, N vypočítame kombinovanou metódou. Najskôr dosadíme
korene menovateľa.
x = 1 : 3 · 1 + 1 + 1 − 1 = A(1 + 1)(1 + 1), A = 1,
x = −1 : 3 · (−1) 3 + (−1) 2 − 1 − 1 = B(−1 − 1)((−1) 2 + 1), B = 1.
Porovnáme koeficienty pri tých mocninách, kde sa vyskytuje M a N, napr. pri
x 3 a x 0 .
x 3 : 3 = A + B + M, 3 = 1 + 1 + M, M = 1,
x 0 : −1 = A − B − N, −1 = 1 − 1 − N, N = −1.
6. Vypočítané koeficienty dosadíme a dokončíme výpočet
I = x2
2 + x + ∫
∫ x + 1
x 2 + 1 dx = ∫
∫
1
x − 1 dx +
∫
x
x 2 + 1 dx +
∫
1 x + 1
x + 1 dx + x 2 + 1 dx.
1
x 2 + 1 dx = 1 2 ln(x2 + 1) + arctg x.
I = x2
2 + x + ln |x − 1| + ln |x + 1| + 1 2 ln(x2 + 1) + arctg x + C =
(
= x2
2 + x + ln |x 2 − 1| √ )
x 2 + 1 + arctg x + C. □
Rozložte na parciálne zlomky.
127.
2x
(x−1)(x−2) . 128. x−5
x(x−2)(x+2) .
129.
2x+11
(x−1) 2 . 130.
4−x 2
x 2 (x−3) .
131.
7x−3
x(x 2 +1) . 132. 12
(x−5)(x 2 +25) .
133.
−6
x 2 (x 2 +4) . 134. 1
(x−1)(x 2 +2x+5) .
x
135. . (x 2 +4)(x 2 −8x+17) 136. 3
.
x(x 2 +1) 2
V nasledujúcich príkladoch vypočítajte integrály racionálnych funkcií. Menovateľ má len
reálne rôzne korene.
∫
137. 3x−4
dx. 138. ∫
∫ x 2 −2x
139. x+13
dx. 140. ∫
∫ x 2 +x−6
2
141.
dx. 142. ∫
∫ x 3 +3x 2 +2x
x
143.
dx. 144. ∫
2x 2 +3x+1
∫
6x
145.
2
dx. 146. ∫ x+3
dx.
x 4 −5x 2 +4 x 3 −x
∫
147. x 2 −5x+9
dx. 148. ∫ x 2 +2x−25
dx.
∫
x 2 −5x+6 x 2 +5x
149. x
∫ 3 −x 2 −4x+12
dx. 150. x 3 −7x−10
∫ dx.
x 2 −4 x 2 −2x−3
151. 2x 3
dx. 152. ∫ −3x 4
∫ dx.
x 2 −1 x 2 +x−2
153. 5x 3 −15x 2 +15x−3
dx. 154. ∫ x 3 −1
∫ dx.
x 3 −8x 2 +17x−10 4x 3 −x
155. x 3 −1
dx. 156. ∫ x 5 +x 4 −8
dx.
9x 3 −x x 3 −4x
Menovateľ ∫ má len reálne korene, niektoré sú viacnásobné.
2x+3
157.
dx. x 2 +2x+1 158. ∫ 3x 2 +2
dx.
∫
x 3 −2x 2
x
159.
2 +4
dx. 160. ∫ x 2 −3x+2
∫
dx.
x 3 +4x 2 +4x x 3 +2x 2 +x
x−1
161.
dx. x 3 +5x 2 +8x+4 162. ∫
x 2
∫
4x
163.
2 +1
dx. 164. ∫
x 2 −2x+3
4x 3 +4x 2 +x
∫
165. x
∫ 2 −8x+6
dx. 166. 3x 2 +1
dx.
x 4 −x 3 (x 2 −1) 2
14
2
dx. x 2 −1
3x−5
dx.
x 2 −3x+2
5x
dx.
2x 2 −3x−2
84
dx.
(x−1)(x−4)(x+3)
x 3 +5x 2 +8x+4 dx.
(x−1)(x 3 −4x 2 +3x) dx.

167.
∫
x 3 +4
dx. 168.
∫
x 4 −4x 3 +4x 2
x 3 +1
∫ 2x 3 +x+2
∫
x 5 +2x 4
x 3 +x+2
169. dx. 170.
∫ dx.
x 3 −x 2 x 3 −2x 2 +x
171. x
∫
4 +8
x
dx. 172.
3 −28
∫ dx.
x 4 −4x 2 x 3 +3x 2 −4
173. 4x
∫ 4 −27x 2 +27x+9
dx. 174. 3x 3 −x 2 +1
dx.
∫
4x 3 −12x 2 +9x 3x 3 −x 2
175. 4x 3 −4x+4
dx. 176. ∫ x 3 −10x 2 +38x−50
dx.
x 3 −x 2 −x+1 x 3 −10x 2 +25x
Menovateľ ∫ má komplexné rôzne korene.
1
177. dx. x 3 +x 178. ∫ −x 2
∫
dx. x 4 −1
1
179. dx. 180. ∫
x
∫
dx.
x 3 +1 x 3 −1
8x
181. dx. 182. ∫
18
∫
dx.
x 4 −16 x 3 +9x
4x−12
183.
dx. 184. ∫
20
∫
dx.
x 3 +x 2 +3x−5 x 3 −x 2 +4x−4
x
185.
2 −13
dx. 186. ∫
3x+6
dx.
x 3 −3x 2 +7x−5 x 4 +5x 2 +4
∫
4x
187.
2
dx. 188. ∫ x 3 −16
dx.
∫
x 4 +10x 2 +9 x 4 +16x 2
189. x 2 +3x+2
dx. 190. ∫ x 4
∫ dx.
x 2 +2x+2 x 2 +3
191. x
∫ 3 −4x 2 +14x−13
dx. 192. x 4 −2x 3 +11x 2 +50
dx.
∫
x 3 −4x 2 +13x x 4 −2x 3 +10x 2
x
193.
3 −x 2 +10
dx. 194. ∫ x 4 −3x 3 +20x 2 −x−18
dx.
∫
x 3 −x 2 −7x+15 x 4 +5x 2 −36
x
195.
4 +1
dx. 196. ∫ x 5 +2x 3 +4x+4
dx.
x 3 −x 2 +x−1 x 4 +2x 3 +2x 2
Menovateľ ∫ má komplexné viacnásobné korene. ∫
12
197.
dx.
x(x 2 +1)
198. x 4 −x 3 +5x 2 −3x
dx.
∫
2 ∫
(x+2)(x 2 +1) 2
6
199.
dx. 200. 6x+1
dx.
∫ (x−2)(x 2 −4x+5) 2 ∫
(x 2 +1) 2
x
x+1
201.
dx.
(x 2 +3x+3)
202.
∫
dx.
2 x 4 +4x 2 +4
∫
4x
203.
dx.
x
(x+1)(1+x 2 )
204.
4 +3x 3
dx.
∫
2 ∫
(x−1)(x 2 +1) 2
1
1
205.
dx. 206.
dx.
(x−1)(x 2 −2x+3) 2 x 4 (x 3 +1) 2
1.6 Integrovanie iracionálnych funkcií
∫
A. Integrály typu
√ R(x,
n
ax + b) dx
Daný integrál substitúciou ax + b = z n upravíme na integrál racionálnej funkcie.
Príklad 11.
Vypočítajme
∫
I =
2x + √ 2x − 3
3 4√ 2x − 3 + 4√ (2x − 3) 3 dx.
Riešenie. V našom prípade n = 4. Preto zavedieme substitúciu 2x − 3 = z 4 , x = z4 +3
2
,
dx = 1 2 4z3 dz = 2z 3 dz.
I =
dx.
∫ (z 4 + 3 + z 2 )2z 3 ∫ z 6 + z 4 + 3z 2
dz = 2
dz.
3z + z 3 3 + z 2
Máme integrál racionálnej funkcie. Treba deliť čitateľa menovateľom. Dostaneme
z 6 + z 4 + 3z 2
3 + z 2 = z 4 − 2z 2 + 9 − 27
3 + z 2 .
I = z5
5 − 2z3 3 + 9z − 27 · 1 √3 arctg √ z + C = 3
15

=
√
4 (2x − 3)
5
5
B. Integrály typu
− 2 √
4
(2x − 3)3 + 9 4√ 2x − 3 − √ 27 arctg
3
3
∫ √
R(x,
n ax+b
) dx
cx+d
4√ 2x − 3
√
3
+ C. □
Podobne, ako v predošlom odseku, zavedieme substitúciu ax+b
cx+d = zn a dostaneme integrál
racionálnej funkcie.
Príklad 12.
Vypočítajme
∫ √
1 x − 2
I =
dx.
x x
Riešenie. V našom prípade n = 2. Preto zavedieme substitúciu x−2
x
= z 2 , x − 2 = xz 2 ,
x(1 − z 2 ) = 2, x = 2
1−z 2 , dx =
4z dz. Potom
(1−z 2 ) 2
∫ 1 − z
2
∫
4z
I = z
2 (1 − z 2 ) dz = 2 2
∫ (
= 2 −1 + 1 )
∫
dz = −2z + 2
1 − z 2
Pretože 1 − z 2 = (1 − z)(1 + z), funkciu 1
1−z 2
z 2 ∫ z 2
1 − z dz = 2 − 1 + 1
dz =
2 1 − z 2
1
1 − z 2 dz.
rozložíme na parciálne zlomky.
1
1 − z = A
2 1 − z + B , 1 = A(1 + z) + B(1 − z).
1 + z
x = 1 : 1 = A(1 + 1), A = 1 2 ,
x = −1 : 1 = B(1 + 1), B = 1 2 .
∫
∫ 1 ∫ 1
1
1 − z dz = 2
2 1 − z dz + 2
1 + z dz = −1 2 ln |1 − z| + 1 2 ln |1 + z| = 1 2
I = −2z + ln | 1 + z
1 − z | + C.
√
x−2
Ešte treba dosadiť z = . □ x
C. Integrály typu ∫ √ Dx+E
dx
Ax 2 +Bx+C
Daný integrál vypočítame takto
ln |1
+ z
1 − z |.
1. Ax 2 + Bx + C doplníme na úplný štvorec.
2. Za výraz v zátvorke zavedieme substitúciu z.
3. Funkciu upravíme a integrál rozdelíme na dva integrály, ktoré majú niektorý tvar z
typov (α) − (δ).
Nasledujú pomocné integrály
∫
∫
1
(α) √
a2 − x dx, (β) 2
∫
x
√
a2 − x dx, (γ) 2
∫
1
√
x2 + a dx, (δ)
x
√
x2 + a dx.
(α) integrál počítame substitúciou x = az. Po úprave dostaneme
∫
1
√
a2 − x dx = arcsin x 2 a .
16

Integrály (β) a (δ) vypočítame substitúciou a 2 − x 2 = z 2 a x 2 + a = z 2 . Integrál (γ) je
základný vzorec 11.
Príklad 13.
Riešenie.
Vypočítajme
∫
x − 5
a) I = √
x2 + 10x dx,
b) I = ∫
x + 5
√
6 − 2x − x
2 dx.
a) x 2 + 10x doplníme na úplný štvorec a zavedieme substitúciu
x 2 + 10x = (x + 5) 2 − 25, x + 5 = z, x = z − 5, dx = dz.
Dostaneme
∫
I =
∫ ∫
x − 5
z − 5 − 5
√
(x + 5)2 − 25 dx = √
z2 − 25 dz =
z − 10
√
z2 − 25 dz =
∫
=
∫
z
√
z2 − 25 dz − 10
1
√
z2 − 25 dz.
Prvý integrál má tvar (δ) a druhý je tvaru (γ). Do prvého integrálu zavedieme substitúciu
z 2 − 25 = t 2 , 2zdz = 2tdt a dostaneme
∫
∫
z
tdt
√
z2 − 25 dz = = t = √ z
t
2 − 25.
Potom
I = √ z 2 − 25−10 ln |z+ √ z 2 − 25|+C = √ x 2 + 10x−10 ln |x+5+ √ x 2 + 10x|+C.
□
b) 6−2x−x 2 doplníme na úplný štvorec 6−2x−x 2 = −(x 2 +2x−6) = −[(x+1) 2 −1−6] =
7 − (x + 1) 2 a zavedieme substitúciu x + 1 = z, x = z − 1, dx = dz. Potom
∫
∫ ∫
x + 5
z − 1 + 5
I = √ dx = √ dz = z + 4
√ dz =
7 − (x + 1)
2 7 − z
2 7 − z
2
∫
=
∫
z
√ dz + 4 7 − z
2
1
√
7 − z
2 dz.
Prvý integrál má tvar (β) a druhý je tvaru (α). Do prvého integrálu zavedieme substitúciu
7 − z 2 = t 2 , −2zdz = 2tdt, zdz = −tdt a dostaneme
∫
∫
z
tdt
√ dz = − = −t = − √ 7 − z 7 − z
2 t
2 .
Nakoniec obdržíme
I = − √ 7 − z 2 + 4 arcsin z √
7
+ C = − √ 6 − 2x − x 2 + 4 arcsin x + 1 √
7
+ C. □
17

D. Metóda neurčitých koeficientov
Touto metódou počítame integrály typu ∫
n ≥ 1. Platí rovnosť
∫
P n (x)
√
ax2 + bx + c dx = Q n−1(x) √ ax 2 + bx + c + k
P n(x)
√
ax 2 +bx+c dx, kde P n(x) je polynóm stupňa
∫
1
√ dx, (7)
ax2 + bx + c
kde Q n−1 (x) je polynóm stupňa n − 1 (s neurčitými koeficientami A, B, C, · · · a k je
konštanta. Koeficienty polynómu Q n−1 (x) a konštantu k určíme tak, že rovnosť (7) zderivujeme
a derivivanú rovnosť vynásobíme výrazom √ ax 2 + bx + c. Potom dostaneme
rovnosť dvoch polynómov. Porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách.
Integrál na pravej strane rovnosti (7) je typu C.
Príklad 14.
Vypočítajme I = ∫ x √ x 2 + 2x + 2 dx.
Riešenie. Integrál nemá typ, ktorým sa zaoberáme, ale ho môžeme na taký upraviť, ak
integrovanú funkciu vynásobíme a vydelíme výrazom √ x 2 + 2x + 2. Dostaneme
∫ x(x 2 ∫
+ 2x + 2) x 3
I = √
x2 + 2x + 2 dx = + 2x 2 + 2x
√
x2 + 2x + 2 dx.
Použijeme rovnosť (7)
∫ x 3 + 2x 2 + 2x
√
x2 + 2x + 2 dx = (Ax2 + Bx + C) √ ∫
x 2 + 2x + 2 + k
1
√
x2 + 2x + 2 dx.
Rovnosť zderivujeme
x 3 + 2x 2 + 2x
√
x2 + 2x + 2 = (2Ax + B)√ x 2 + 2x + 2 + (Ax 2 2x + 2
+ Bx + C)
2 √ x 2 + 2x + 2 +
1
+k √
x2 + 2x + 2 .
Vynásobíme výrazom √ x 2 + 2x + 2
x 3 + 2x 2 + 2x = (2Ax + B)(x 2 + 2x + 2) + (Ax 2 + Bx + C)(x + 1) + k.
Porovnáme koeficienty
x 3 : 1 = 2A + A, A = 1 3
x 2 : 2 = B + 4A + B + A, B = 1 6
x 1 : 2 = 2B + 4A + C + B, C = 1 6
x 0 : 0 = 2B + C + k, k = − 1 2 .
Teda
I = ( 1 3 x2 + 1 6 x + 1 6 )√ x 2 + 2x + 2 − 1 2
∫
1
√
x2 + 2x + 2 dx.
Integrál na pravej strane je typu A. Trojčlen x 2 + 2x + 2 doplníme na úplný štvorec,
x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 − 1 + 2 = (x + 1) 2 + 1. Zavedieme substitúciu x + 1 = z, dx = dz
a dostaneme
∫
Aelkove
∫
1
√
x2 + 2x + 2 dx =
I = 1 3
1
√
z2 + 1 dz = ln |z + √ z 2 + 1| = ln |x + 1 + √ x 2 + 2x + 2|.
(
x 2 + 1 2 x + 1 2) √x2
+ 2x + 2 − 1 2 ln |x + 1 + √ x 2 + 2x + 2| + C. □
18

Úlohy
A. ∫ R(x, n√ ax + b) dx
∫ √
207. 1− x
1+ √ dx. 208. ∫ √ x−4
x x+4−4 √ dx. x
∫ √
209. x
∫ 3
3√ x+1
dx. 210.
√ x
x+ 6√ x
∫ dx.
√ 5
211.
√ x+ 4 x+ 3√ x
∫
2(x+ 6√ dx. 212.
√ 6 x+1
x 7 )
6√
∫
x 7 + 4√ dx. x 5
1
213.
x √ dx. 214. ∫
x+1
x−4 3√ 3x+1
dx.
∫
x
215. √ √ dx. 216. ∫ √ 3
x−1
x+1+
3
x+1 2 √ x−1− 3√ dx.
(x−1) 2
B. ∫ √ )
R
(x, n ax+b
dx
cx+d
∫ √ 1−x
217. · 1 dx. 218. ∫ √ 1+x 1
1+x x 1−x
∫ √ 1−x
219. dx. 220. ∫ 1
√ x
dx.
1+x x x−1
C. ∫ √ Dx+E
dx
Ax 2 +Bx+C
221.
223.
225.
227.
229.
∫
∫
∫
∫
∫
√ 1
1−2x−x 2
dx. 222.
√x+3
dx. 224. ∫
x 2 +2x
√ 1
dx. 226. ∫
x 2 +x+1
√ 1
dx. 228. ∫
5x 2 +8x−3
√2x−10
1+x−x 2
dx. 230.
∫
∫
(1−x)(1+x) 2 dx.
√ 3x+1
dx.
x 2 +5x−10
√ 1
dx.
12x−9x 2 −2
√ 1
dx.
9x 2 −6x+2
√ 1
dx.
3x 2 −7x+5
√ 8x−11
5+2x−x 2
dx.
D. ∫ P
√ n(x)
∫
dx
ax 2 +bx+c
2x
231. √ 2 −3x
dx. 232. ∫
√ x 2
∫ x 2 −2x+5
∫ dx.
x 2 +2x+2
x
233. √ 3
1−2x−x 2
dx. 234. x 3 √+5x 2 +8x+3
x
dx.
∫
2 +4x+3
x
∫ √
235.
2
1−2x−x 2
dx. 236. x2 + 4x + 3 dx.
∫ √ ∫ √
237.
∫ √ x2 + 4x + 13 dx. 238.
∫ 1 − 2x −
√ 3x2 dx.
239. 3 − 2x − x2 dx. 240. (4x − 10) 2 + 3x − x2 dx.
1.7 Integrovanie trigonometrických funkcií
A. ∫ sin n x dx, ∫ cos n x dx, n je prirodzené číslo
Integrály počítame pomocou rekurentných vzorcov
∫
I n = sin n x dx = − 1 n cos x sinn−1 x + n − 1
n I n−2, (8)
∫
I n = cos n x dx = 1 n sin x cosn−1 x + n − 1
n I n−2. (9)
Opakovaným použitím týchto vzorcov dospejeme k integrálu I 0 alebo I 1 (v prípade (8)
I 0 = ∫ sin 0 x dx = ∫ dx = x, I 1 = ∫ sin x dx = − cos x; v prípade (9) analogicky).
Príklad 15.
Riešenie.
Vypočítajme
a)
∫
sin 5 x dx, b)
∫
cos 4 x dx.
19

a) Použijeme rekurentný vzorec (8) pre n = 5 a potom opäť pre n = 3
∫
I 5 = sin 5 xdx = − 1 5 cos x sin4 x+ 4 5 I 3 = − 1 5 cos x sin4 x+ 4 (
− 1 5 3 cos x sin2 x + 2 )
3 I 1 =
= − 1 5 cos x sin4 x − 4 15 cos x sin2 x + 8 15
∫
sin x dx =
= − 1 5 cos x sin4 x − 4 15 cos x sin2 x − 8 cos x + C.
15
b) Použijeme rekurentný vzorec (9) pre n = 4 a potom ešte raz pre n = 2
I 4 = 1 4 sin x cos3 x + 3 4 I 2 = 1 4 sin x cos3 x + 3 ( 1
4 2 sin x cos x + 1 )
2 I 0 =
= 1 4 sin x cos3 x+ 3 8 sin x cos x+3 8
∫
cos 0 xdx = 1 4 sin x cos3 x+ 3 8 sin x cos x+3 8 x+C.
□
Poznamenajme, že integrály daného typu môžeme počítať aj bez použitia rekurentných
vzorcov.
1. Ak n je nepárne, funkciu upravíme a zavedieme substitúciu.
2. Ak n je párne, mocninu znižujeme postupným používaním vzorcov pre dvojnásobný
uhol
sin 2 α =
1 − cos 2α
, cos 2 α =
2
Vypočítajme Príklad 15 použitím týchto nových spôsobov.
1 + cos 2α
.
2
a)
∫
∫
sin 5 x dx =
∫
sin 4 x sin x dx =
∫
(sin 2 x) 2 sin x dx =
(1 − cos 2 x) 2 sin x dx.
Zavedieme substitúciu cos x = z, − sin x dx = dz, sin x dx = −dz. Potom
∫
∫
∫
sin 5 x dx = − (1 − z 2 ) 2 dz = − (1 − 2z 2 + z 4 )dz = −(z − 2 z3
3 + z5
5 ) + C =
= − cos x + 2 3 cos3 x − 1 5 cos5 x + C.
b)
∫
∫
∫ ( ) 2 1 + cos 2x
cos 4 xdx = (cos 2 x) 2 dx =
dx = 1 ∫
(1+2 cos 2x+cos 2 2x)dx =
2
4
= 1 ∫
4 (x + sin 2x + cos 2 2x dx) = 1 4 x + 1 4 sin 2x + 1 ∫ 1 + cos 4x
dx =
4 2
= 1 4 x + 1 4 sin 2x + 1 (x + 1 )
8 4 sin 4x + C = 3 8 x + 1 4 sin 2x + 1 sin 4x + C. □
32
B. Integrály typu ∫ sin n x cos m x dx, n, m sú prirodzené čísla
Rozlišujeme dva prípady.
20

1. čísla n aj m sú párne. Funkciu upravíme tak, že dostaneme len mocniny funkcie sin x
alebo len mocniny cos x. Tieto integrály počítame pomocou rekurentných vzorcov.
Príklad 16.
Vypočítajme I = ∫ sin 4 x cos 6 x dx.
Riešenie. Technicky je výhodné upraviť mocninu s menším exponentom, teda sin 4 x.
∫
∫
∫
I = (sin 2 x) 2 cos 6 xdx = (1−cos 2 x) 2 cos 6 xdx = (1−2 cos 2 x+cos 4 x) cos 6 xdx =
∫
=
∫
cos 6 x dx − 2
∫
cos 8 x dx +
cos 10 x dx.
Každý z týchto integrálov môžeme vypočítať podľa rekurentného vzorca (9). □
2. Aspoň jedno z čísel n, m je nepárne. Ak n (m) je nepárne, po úprave použijeme
substitúciu cos x = z (sin x = z).
Príklad 17.
Vypočítajme I = ∫ sin 2 x cos 5 x dx.
Riešenie. Použijeme podobnú úpravu ako v Príklade 15 a) (s tým rozdielom, že
teraz upravujeme cos 5 x).
∫
∫
I = sin 2 x cos 4 x cos x dx = sin 2 x(1 − sin 2 x) 2 cos x dx.
Zavedieme substitúciu sin x = z, cos x dx = dz
∫
∫
I = z 2 (1 − z 2 ) 2 dz = (z 2 − 2z 4 + z 6 )dz = z3
3 − 2z5 5 + z7
7 + C =
= 1 3 sin3 x − 2 5 sin5 x + 1 7 sin7 x + C. □
C. Integrály typu ∫ R(sin x) cos x dx, ∫ R(cos x) sin x dx
Tieto integrály je výhodné počítať substitúciou (podľa prvého pravidla o substitúcii)
sin x = z, resp. cos x = z.
Príklad 18.
Riešenie.
Vypočítajme
∫
a) I =
∫
1
sin 3
sin 2 x cos 3 x dx, b) I = x
cos 4 x dx.
a) Integrovanú funkciu najskôr upravíme
∫
∫
1
I =
sin 2 x cos 4 x cos x dx =
1
sin 2 x(1 − sin 2 cos x dx.
x)
2
Integrál je prvého typu, preto použijeme substitúciu sin x = z, cos x dx = dz a
dostaneme
∫
1
I =
z 2 (1 − z 2 ) dx. 2
Dostali sme integrál racionálnej funkcie, ktorú rozložíme na parciálne zlomky a dokončíme
výpočet (urobte sami).
21

)
∫
I =
sin 2 ∫
x
1 − cos 2
cos 4 x sin x dx = x
sin x dx.
cos 4 x
Integrál je druhého typu, preto použijeme substitúciu cos x = z, − sin x dx = dz a
máme
∫ 1 − z
2
∫ ( 1
I = − dz = −
z 4
z − 1 )
dz = 1
4 z 2 3z − 1 3 z + C = 1
3 cos 3 x − 1
cos x + C. □
D. Integrály typu ∫ R(sin x, cos x) dx
Integrály tohoto typu substitúciou tg x = z upravíme na integrál racionálnej funkcie.
2
Funkcie sin x, cos x a dx vyjadríme pomocou z. Platí
sin x =
Príklad 19. Vypočítajme I = ∫ dx
4 cos x+3 sin x .
2z
1 − z2
, cos x =
1 + z2 1 + z , dx = 2
2 1 + z dz. 2
Riešenie. Použitím substitúcie tg x 2 = z dostaneme
I =
∫ 2
∫
dz
1+z 2 = −
4 1−z2 + 3 2z
1+z 2 1+z 2
∫
1
2z 2 − 3z − 2 dz = −
1
(z − 2)(2z + 1) = A
z − 2 + B
2z + 1 .
1
(z − 2)(2z + 1) dz,
Metódou dosadzovania koreňov z = 2 a z = − 1 2 vypočítame A = 1 5 , B = − 2 5 . Potom
( 1
I = −
5 ln |z − 2| − 2 )
1
5 2 ln |2z + 1| + C = 1 5 ln |2 tg x + 1 2
tg x − 2 | + C.
2
Ak sa za integrálom vyskytujú len párne mocniny funkcií sin x a cos x, vtedy použijeme
substitúciu tg x = z. Potom
sin 2 x =
z2
1 + z , 2 cos2 x = 1
1 + z , dx = 1
2 1 + z dz. 2
Príklad 20. Vypočítajme I = ∫ 3+sin 2 x
2 cos 2 x−cos 4 x dx.
Riešenie. Použijeme substitúciu tg x = z a dostaneme
∫
I =
3 + z2
1+z 2
2 1 − 1
1+z 2
(1+z 2 ) 2 1
∫ 4z 2
1 + z dz = + 3
2 2z 2 + 1 dz.
□
Po vydelení čitateľa menovateľom máme
I =
∫ ( )
1
2 + dz = 2z + 1 ∫
2z 2 + 1
2
1
z 2 + 1 dz = 2z +
2
√
2
2 arctg(√ 2z) + C =
= 2 tg x +
√
2
2 arctg(√ 2 tg x) + C. □
22

Integrály A-C sú tiež typu ∫ R(sin x, cos x) dx. Napriek tomu neriešime ich substitúciou
tg x = z, pretože jej použitie vedie k zdĺhavým výpočtom.
2
E. Použitie goniometrických substitúcií na výpočet integrálov iracionálnych
funkcií
Integrály typov
∫
R(x, √ ∫
a 2 − x 2 ) dx, R(x, √ ∫
a 2 + x 2 ) dx, R(x, √ x 2 − a 2 ) dx
tzv. goniometrickými substitúciami
x = a sin z, x = a tg z, x = a
sin z
sa dajú upraviť na integrály typu ∫ R(sin x, cos x) dx.
Príklad 21.
Riešenie.
Vypočítajme
∫
∫
dx
√−x2
a) I =
( √ x 2 + 4) , b) I = + 10x − 16 dx.
3
a) Integrál je druhého typu, a = 2. Preto zavedieme substitúciu x = 2 tg z, dx = 2 dz, cos 2 z
( ) sin
x 2 + 4 = 4 tg 2 z + 4 = 4(tg 2 2 z
z + 1) = 4
cos 2 z + 1 = 4 sin2 z + cos 2 z
= 4
cos 2 z cos 2 z .
Potom
I =
dz cos 2 z
) 3
= 1 ∫
4
∫ 2
( 2
cos z
cos zdz = 1 sin z + C.
4
Vrátime sa k pôvodnej premennej x. Nebudeme vyjadrovať z, ale sin z.
tg z = x 2 ,
Potom
sin z =
tg z
√
1 + tg 2 z =
√
x
2
1 + x2
4
I = 1 x
√
4 x2 + 4 + C.
=
□
x
√
x2 + 4 .
b) Výraz pod odmocninou doplníme na úplný štvorec.
−x 2 + 10x − 16 = −(x 2 − 10x + 16) = −[(x − 5) 2 − 25 + 16] = 9 − (x − 5) 2 .
Potom
I =
∫ √9
− (x − 5)2 dx.
Použijeme substitúciu x − 5 = z, dx = dz a máme
I =
∫ √9
− z2 dz.
23

Integrál je prvého typu, a = 3. Preto použijeme substitúciu z = 3 sin t, dz = 3 cos tdt,
9 − z 2 = 9 − 9 sin 2 t = 9(1 − sin 2 t) = 9 cos 2 t. Potom
∫
∫ 1 + cos 2t
I = 9 cos 2 tdt = 9
dt = 9 (t + 1 )
2 2 2 sin 2t + C.
Úlohy
Pretože sin t = z a 3
√
√
√
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − z2 9 − z
9 = 2
, t = arcsin z 3
3 ,
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 z √
9 − z
2
= 2 3 3 9 z√ 9 − z 2 .
Nakoniec dostaneme
I = 9 (arcsin z 2 3 + 1 )
9 z√ 9 − z 2 + C =
= 9 (
arcsin x − 5 + 1 )
2 3 9 (x − 5)√ −x 2 + 10x − 16 + C. □
A. ∫ sin n x dx, ∫ ∫
cos n x dx
∫
241.
∫ sin 2 x dx. 242.
∫ cos 2 x dx.
243.
∫ sin 3 x dx. 244.
∫ cos 3 x dx.
245.
∫ sin 4 x dx. 246.
∫ cos 4 x dx.
247. sin 7 x dx. 248. cos 5 x dx.
B. ∫ sin
∫ n x cos m x dx.
∫
249.
∫ sin x cos 2 x dx. 250.
∫ sin 2 x cos 3 x dx.
251.
∫ sin 3 x cos 2 x dx. 252.
∫ sin 7 x cos x dx.
253.
∫ sin 5 x cos 2 x dx. 254.
∫ sin 4 x cos 3 x dx.
255.
∫ sin 3 x cos 5 x dx. 256.
∫ sin 2 x cos 2 x dx.
257. sin 4 x cos 2 x dx. 258. sin 4 x · cos 4 x dx.
C. ∫ R(sin x) cos x dx, ∫ ∫
R(cos x) sin x dx
259. sin x
dx. cos 2 x 260. ∫ sin 3 x
∫ dx.
cos 2 x
261. sin 3 x
dx. 262. ∫ sin 3 x
∫ dx.
cos 3 x cos 4 x
263. cos x
dx. sin 5 x 264. ∫ cos 5 x
∫ dx.
sin 2 x
265. sin 2 x
dx. 266. ∫ cos 2 x
∫ dx.
cos 3 x sin x
267. cos 4 x
dx. 268. ∫ sin 2 x
∫ dx.
sin x cos x
269. sin 2 x
dx. 270. ∫ sin 4 x
∫
dx.
cos 2 x cos 2 x
cos x
271. dx. 272. ∫
cos x
∫
dx.
sin 2 x+9 sin 2 x+6 sin x+5
sin x
273.
dx. 274. ∫
sin x
∫
dx.
cos 2 x+2 cos x cos 2 x−2 cos x+1
275. sin 3 x
dx. ∫
cos x
276.
dx.
∫ 2+cos x (1−sin x) 3
1
277. dx. 278. ∫
1
∫
dx.
cos 3 x cos x
1
279.
dx. 280. ∫
1
dx.
sin 2 x cos x sin x cos x
D. ∫ R(sin ∫ x, cos x) dx
1
281.
dx. 282. ∫
1
∫ dx.
5−3 cos x 5−4 sin x+3 cos x
283. 2−sin x
dx. 284. ∫ x+sin x
dx.
2+cos x 1+cos x
24

∫
1
285.
dx. 286. ∫ cos x
∫
dx.
9+4 cos x 1+cos x
sin x
287.
dx. 288. ∫ 1+sin x
∫
dx.
sin x+cos x 1−sin x
1
289.
dx. 290. ∫
1
∫ dx.
8−4 sin x+7 cos x cos x+2 sin x+3
291. 1−tg x
dx. 292. ∫
1
∫
dx.
1+tg x 1+8 cos 2 x
1
293.
dx. 294. ∫
1
∫
dx.
4 sin 2 x+9 cos 2 x 4−3 cos 2 x+5 sin 2 x
1
295.
dx. 296. ∫
cos x
∫
dx.
1−3 sin x·cos x−5 cos 2 x sin 3 x−cos 3 x
1
297.
dx. 298. ∫
1
∫
dx.
sin 2 x−5 sin x·cos x sin 2 x−tg 2 x
1
299. dx. 300. ∫
1
dx.
cos 4 x sin 4 x
E. ∫ R(x, √ a 2 − x 2 ) dx, ∫ R(x, √ a 2 + x 2 ) dx, ∫ R(x, √ ∫
∫
x 2 − a 2 ) dx
1
301.
x 2√ 1
dx. 302.
2+x 2 x √ dx.
a 2 +x
∫ √ ∫
2
303. x 2 −9
dx. 304. √ x 2
dx.
x x 2 −4
∫ √ ∫
305. 4−x 2
1
dx. 306.
x
√(1−x 2 2 )
∫
dx. 3 1
307. √(9+x dx. ∫
1
308.
2 ) 3 x 2√ dx. x 2 −9
Vypočítajte ∫ integrály.
309. e x −1
dx. 310. ∫ e x −2
∫ dx.
e x +1 e 2x +4
311. 2e
∫
3x +3e x
dx. 312. e 4x
∫
dx.
e 2x +1 e 8x +4
1
313. dx. a x +1 314. ∫
e 3x +e x
∫ ∫ dx.
e 4x −e 2x +1
315. (ln 3 x + ln x) dx. 316. arcsin x
∫
dx.
x 2
ln x
317.
dx. 318. ∫ x·arctg
x(1−ln 2 x
x) 1+x 2
dx.
∫
1
319.
dx. ∫ √ √
1−x 2 arccos 2 x 320. 1 − x dx.
∫ √ ∫
1−e
321.
x
sin x
dx. 322.
1+e
3√ x 1+2 cos x
dx.
∫
323. arctg x
∫
1
dx. 324.
∫
dx.
x 4 sin 2x−2 sin x
1
325.
dx. 326. ∫
sin 4 √ 1
x+cos 4 x 1+e
dx.
∫
x +e 2x
1
∫
327.
e arcsin x√ dx.
1−x
328. e x √ arctg e x
dx.
∫
2 1+e 2x
ln arctg x
329.
dx. 330. ∫ √ arccos x
dx.
(1+x 2 ) arctg x 1−x 2
25

2 Určitý integrál.
2.1 Definícia určitého integrálu a jeho vlastnosti.
A. Definícia určitého integrálu.
Nech v intervale 〈a, b〉, kde a, b ∈ R, je definovaná reálna funkcia jednej reálnej premennej
f(x). Rozdeľme interval 〈a, b〉 na n častí pomocou bodov x 0 , x 1 , . . . , x n tak, že a = x 0 <
< x 1 < . . . < x n = b. Z každého intervalu 〈x i−1 , x i 〉 zoberme ľubovoľný bod σ i a utvorme
súčet
n∑
f(σ i )∆x i
i=1
kde ∆x i = x i − x i−1 . Ak existuje konečná limita tohto súčtu pre n → ∞ a súčasne pre
max ∆x i → 0, nazývame túto limitu určitým integrálom funkcie f(x) v intervale 〈a, b〉,
i=1,2,...,n
čo označujeme
∫ b
a
f(x)dx =
lim
n→∞
max ∆x i →0
n∑
f(σ i )∆x i .
Číslo a nazývame dolnou hranicou a číslo b hornou hranicou určitého integrálu.
B. Vlastnosti určitého integrálu.
Ak f(x) a g(x) sú integrovateľné funkcie v intervale 〈a, b〉 a c ∈ R, potom platí
1.
2.
3.
4.
∫ b
a
∫ a
a
∫ b
a
∫ b
a
∫ a
f(x)dx = − f(x)dx
b
f(x)dx = 0
∫ b
cf(x)dx = c f(x)dx
a
[f(x) ± g(x)]dx =
∫ b
a
f(x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx
5. Newton - Leibnizov vzorec. Nech funkcia f(x) je integrovateľná v intervale 〈a, b〉
a má primitívnu funkciu F (x) spojitú v intervale 〈a, b〉. Potom platí
∫ b
a
f(x)dx = [F (x)] b a
= F (b) − F (a).
6. Každá ohraničená funkcia, ktorá má v intervale 〈a, b〉 len konečný počet bodov
nespojitosti, je v tomto intervale integrovateľná.
i=1
Príklad 1.
Použitím Newton-Leibnitzovho vzorca vypočítajme
∫ 1
−1
2x − 1
x − 2 dx.
Riešenie.
∫ 1
−1
2x−1
dx = ∫1
x−2
−1
( )
2 +
3
x−2 dx = [2x + 3 ln |x − 2|]
1
−1
= (2+3 ln | − 1|)−(−2+3 ln | − 3|) =
= 2 + 3 ln 1 + 2 − 3 ln 3 = 4 − 3 ln 3. □
26

Úlohy.
Použitím Newton-Leibnitzovho vzorca vypočítajte určité integrály.
1.
4.
7.
10.
13.
∫ 2
0
∫ 2
1
∫ 3
0
∫ 1
0
3π
∫4
π
4
(3x 2 + 2 √ x) dx. 2.
4 6√ x 5 −3 4√ x−5x 2
√ x
dx. 5.
|1 − 3x| dx. 8.
2 x+1 −5 x−1
10 x dx. 11.
cotg x dx. 14.
∫ 1
0
∫ 4
1
∫ 1
− √ 3
∫ 4
2
π
∫6
0
x 2 (3 − x) 2 dx. 3.
1+ √ y
y 2 dy. 6.
dx
x 2 +1 . 9.
(3 x −4 x ) 2
12 x dx. 12.
sin 2 x 2 dx.
2.2 Integrovanie substitučnou metódou.
∫ e
1
∫ 1
−1
1
∫2
− 1 2
π
∫2
π
4
x 2 +2x+2
x
x 5
x+2 dx.
dx.
√ dx
1−x 2
dx.
1+cos 2 x
sin 2 x
Nech f(x) je spojitá funkcia na intervale 〈a, b〉. Nech ϕ(t) je rýdzo monotónna funkcia
na intervale 〈α, β〉 a nech ϕ(t) a ϕ ′ (t) sú na intervale 〈α, β〉 spojité, pričom a = ϕ(α),
b = ϕ(β). Potom platí
∫ b
f(x)dx =
∫ β
f[ϕ(t)]ϕ ′ (t)dt.
dx.
a
α
Príklad 2.
Vypočítajme
∫ 2
0
( x 2
x 2
+ 2)4
dx.
Riešenie.
Použijeme substitúciu t = x +2. Dolná a horná hranica určitého integrálu je α = 0 +2 = 2,
2 2
β = 2 + 2 = 3. Potom x = 2t − 4, dx = 2dt. Takže
2
∫ 2
0
∫
x 3
2
(2t−4)
∫
dx =
2
3
∫
t
2dt = 8
2 −4t+4
3
dt = 8 (t −2 − 4t −3 + 4t −4 )dt =
( x 2 +2)4 t 4 t 4
2
2
2
[
= 8 −t −1 + 2t −2 − 4t−3 = 4 . □
3 81
] 3
2
Príklad 3.
Vypočítajme
π
∫2
0
1
3 + 2 sin x dx.
Riešenie.
Použijeme substitúciu t = tg x. Z toho dostaneme α = tg 0 = 0, β = tg π 2 4
x = 2 arctg t, dx = 2 dt a sin x = 2t dt. Takže
1+t 2 1+t 2
= 1. Potom
27

= 2 3
[
π
∫2
0
√1
5
9
1
dx = ∫1
3+2 sin x
arctg √ t+ 2 3
5
9
0
] 1
= 2 3
0
2
1+t 2
3+2 2t
dt =
1+t
[
2
∫ 1
0
√3
5
arctg 3t+2
2
dt = ∫1
2
3t 2 +4t+3 3(t
0
2 + 4 t+1)dt = ∫ 2 1
dt
=
3
3 0 (t+ 2 3) 2 + 5 9
] 1 ]
√
5
= √ 2
0 5
[arctg √ 5
5
− arctg √ 2
5
= √ 2
5
arctg 1
√
5
.
□
Úlohy.
V nasledujúcich príkladoch substitučnou metódou riešte určité integrály.
∫ 4
15. x √ ∫ 7
x 2 x
+ 9 dx. 16. dx. 17. ∫9
x 3√ 1 − x dx.
x 2 −4
18.
21.
24.
27.
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 9
4
∫ 2
1
x 15√ 1 + 3x 8 dx. 19.
3
∫ 1
−1
dx
. 22. ∫2
x 2 −x+1
√ x
√ x−1
dx. 25.
e x
1 dx. 28.
x 2
√ x
5−4x
dx. 20.
√ dx
3+2x−x 2
. 23.
1
∫ 5
ln x
1
π
∫3
π
4
1
−1
∫
−2
∫ 4
∫e 2
x dx. 26.
π
1−sin 2 x
dx. 29. ∫2
sin 3 x cos x
2.3 Integrovanie metódou per partes.
0
dx
x √ . x 2 −1
dx
1+ √ . x
√ 2+ln x
√ x
e
π
6
dx.
3 cos 3 x
3√
sin x
dx.
Nech funkcie u(x) a v(x) majú spojité derivácie na intervale 〈a, b〉, potom platí
∫ b
u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)] b a −
∫ b
u ′ (x)v(x)dx.
a
a
Príklad 4.
Vypočítajme
∫ 2π
0
x cos x 2 dx.
Riešenie.
Zvolíme u(x) = x a v ′ (x) = cos x 2 . Potom u′ (x) = 1 a v(x) = ∫ cos x 2 dx = 2 sin x 2 . Takže
∫2π
0
x cos x 2 dx = [ 2x sin x 2
] 2π
− ∫2π
0
0
2 sin x 2 dx = 0 + 4 [ cos x 2
] 2π
0
= −8. □
Úlohy.
V nasledujúcich príkladoch riešte určité integrály metódou per partes.
∫ 2
√
∫ 3
∫ 0
30. x ln x dx. 31. x arctg x dx. 32. xe −x dx.
33.
36.
1
∫ 1
0
2π
∫
0
xe 3x dx. 34.
x 2 cos 3x dx. 37.
0
∫ 1
−1
ln(x + 2) dx. 35.
π∫
x 3 sin x dx. 38.
0
28
−2
∫ 1
−1
∫ 6
1
arccos x dx.
x 2 ln 2 x dx.

39.
π
∫2
0
e 2x cos x dx. 40.
π∫
0
e x cos 2 x dx. 41.
π
∫3
π
4
x
dx.
sin 2 x
2.4 Nevlastný integrál.
A. Integrál z funkcie na neohraničenom intervale.
Nech funkcia f(x) je definovaná v intervale 〈a, ∞) [(−∞, b〉] a pre každé r > a [r < b]
existuje integrál
⎡ ⎤
Ak existuje limita
∫ r
a
f(x)dx
∫ r
lim f(x)dx
r→∞
a
⎣
⎡
∫ b
r
⎣ lim
r→−∞
f(x)dx⎦ .
∫ b
r
⎤
f(x)dx⎦ ,
hovoríme, že existuje nevlastný integrál funkcie f(x) v intervale 〈a, ∞) [(−∞, b〉], čo
zapisujeme
⎡
⎤
∫ ∞
∫r
∫ b
∫ b
f(x)dx = lim f(x)dx ⎣ f(x)dx = lim f(x)dx⎦ .
r→∞
r→−∞
a
a
−∞
r
Ak pre číslo a existujú nevlastné integrály definované vyššie uvedeným spôsobom, potom
definujeme
∫ ∞
f(x)dx =
∫ a
f(x)dx +
∫ ∞
f(x)dx.
−∞
−∞
a
B. Integrál z neohraničenej funkcie.
Nech funkcia f(x) je definovaná na intervale 〈a, b) [(a, b〉] a ɛ je ľubovoľné kladné číslo,
pre ktoré platí a < b − ɛ < b [a < a + ɛ < b]. Nech funkcia f(x) je v intervale (b − ɛ, b)
[(a, a + ɛ)] neohraničená a pre každé r ∈ 〈a, b) [r ∈ (a, b〉] existuje integrál
∫ r
f(x)dx
⎡
⎣
∫ b
⎤
f(x)dx⎦ .
a
r
Ak existuje limita
∫r
lim
r→b −
a
f(x)dx
⎡
⎣ lim
r→a +
∫b
r
⎤
f(x)dx⎦ ,
definujeme nevlastný integrál funkcie f(x) v intervale 〈a, b〉 nasledovne
∫ b
a
f(x)dx = lim
r→b −
∫r
a
f(x)dx
⎡
⎣
∫ b
a
f(x)dx = lim
r→a +
∫b
r
⎤
f(x)dx⎦ .
29

Príklad 5.
Vypočítajme nevlastný integrál
∫ ∞
1
e 1 x
x 2 dx.
Riešenie.
Najprv vypočítame určitý integrál
∫ r
e 1 e r
∫
1 x
dx = −dt = [−t] e r
1
x 2 e = −e 1 r + e.
1
e
Po dosadení
Príklad 6.
∞∫
1
e x
1 dx = lim
x 2
∞∫
1
∫
r→∞
r
1
e x
1 dx = lim
x 2
Vypočítajme nevlastný integrál
∫ r
1
I =
∫
r→∞
r
1
e x
1 dx.
x 2
e x
1 dx. Použijeme substitúciu t = e 1 x 2 x , dt = − 1 e 1 x 2 x dx.
e x
1 dx = lim (−e 1 x 2 r + e) = e − 1. □
r→∞
∫ 1
−1
ln (2 + 3√ x)
3√ dx. x
Riešenie.
Integrovaná funkcia ln (2+ 3√ x)
3√ x
v bode x = 0 nie je definovaná a na každom okolí sprava a
zľava tohto bodu je neohraničená. Preto daný integrál počítame ako súčet dvoch integrálov
I =
∫ 0
−1
ln (2 + 3√ ∫
x)
1
3√ dx + x
0
ln (2 + 3√ x)
3√ dx. x
Najprv vypočítame prvý z týchto dvoch nevlastných integrálov metódou per partes, kde
u(x) = ln (2 + 3√ x), v ′ (x) = 3√ 1
x
, u ′ 1
(x) =
3(2+ 3√ x) 3√ a v(x) = 3√ 3 x2 . Potom
x 2 2
I 1 =
∫ 0
−1
( [
ln (2+ 3√ x)
3
3√ x
dx = lim
r→0 − 2
= 3 lim
√ 3
r
2 2 ln (2 + 3√ r) − 1 lim
r→0 − 2
r→0 −
3√
x2 ln (2 + 3√ ] r
x)
−1
∫r
−1
−
∫ r
−1
3
2
1
2+ 3√ dx = − 1 lim
x 2
Po substitúcii z = 3√ x, x = z 3 , dx = 3z 2 dz ďalej dostávame
I 1 = − 1 2
lim
√ 3
∫
r
r→0 − −1
3z 2
2+z dz = − 1 2 lim
√ 3
∫
r
r→0 − −1
)
3√
x
2 1
3(2+ 3√ x) 3√ dx =
x 2
∫r
r→0 − −1
= − 1 lim
[ 3
2
r→0 − 2 z2 − 6z + 12 ln (2 + z) ] 3√ r
= − 1
−1 2
Druhý integrál počítame analogicky, pričom dospejeme k výsledku
Daný integrál je teda rovný číslu
I 2 = 9 − 9 ln 3 + 6 ln 2.
4 2
1
2+ 3√ dx. x
( )
3z − 6 +
12
2+z dz =
(
12 ln 2 −
3
− 6) = 15 2 4
I = I 1 + I 2 = ( 15
− 6 ln 2) + ( 9
− 9 ln 3 + 6 ln 2) = 6 − 9 ln 3. □
4 4 2 2
30
− 6 ln 2.

Úlohy.
Vypočítajte nevlastné integrály.
∞∫
∞∫
ln x
42. dx. 43. x
2
1
∞∫
∞∫
2x+5
45.
dx. 46. x 2 +2x+5
48.
51.
54.
57.
60.
63.
66.
69.
1
∞∫
0
∞∫
−∞
∫ 1
0
π
∫2
0
∫ 3
1
∫ 3
0
2π
∫
0
∫ 2
−∞
xe −x2 dx. 49.
∞∫
dx
. 52. x 2 +1
ln xdx. 55.
tg xdx. 58.
√ dx
(x−1) 3 . 61.
dx
. 64.
(x−1) 2
2
∞∫
0
−∞
∫ 1
0
∫ 2
1
π
∫2
0
∫ 2
dx
. 67. ∫1
1+sin x
x 3 +1
x 4 dx. 70.
0
−1
∫ 1
2.5 Obsah rovinných útvarov.
0
∞∫
2
dx. 44. x(1+ln x)
∞∫
dx
. 47. x 2 +x−2
dx
e x +e −x . 50.
0
x
dx. x 4 +1
dx
(x+1) √ . x
3
−0,5
∫
−∞
∞∫
2x
dx. 53. x 2 +1
x ln xdx. 56.
√ x
x−1
dx. 59.
dx
. 62.
1−cos x
−∞
1
∫2
0
∫ 1
0
∫ 4
dx
. 65. ∫2
x 2 −4x+3
√ dx
1−x 2
. 68.
arcsin √ x
√ dx.
x(x−1)
0
0
∞∫
0
dx
. x 2 +x+1
dx
. x 2 −2x+3
dx
. x ln 2 x
dx
(2−x) √ . 1−x
dx
.
(x−2) 2
dx
3√(x−1) . 2
A. Nech funkcia f(x) je spojitá na intervale 〈a, b〉 a nech f(x) > 0 na intervale (a, b). Potom
určitý integrál vyjadruje obsah oblasti, ktorá je ohraničená funkciou f(x) na intervale
〈a, b〉.
P =
∫ b
a
f(x)dx.
Nech funkcie f(x) a g(x) sú spojité na intervale 〈a, b〉 a nech na intervale (a, b) platí
g(x) < f(x). Pre obsah P elementárnej oblasti určenej nerovnosťami a ≤ x ≤ b a
g(x) ≤ y ≤ f(x) platí
dx
x .
31

P =
∫ b
a
[f(x) − g(x)]dx.
B. Funkcia daná v parametrickom tvare. Nech funkcia y = f(x) je daná parametrickými
rovnicami x = ϕ(t), y = ψ(t), pričom funkcie ϕ a ψ sú spojité na intervale 〈t 1 , t 2 〉.
Nech funkcia ϕ je rýdzo monotónna a má spojitú deriváciu ϕ ′ na intervale 〈t 1 , t 2 〉, pričom
ϕ(t 1 ) = a a ϕ(t 2 ) = b. Nech funkcia ψ je nezáporná na intervale 〈t 1 , t 2 〉. Pre plošný obsah
elementárnej oblasti určenej nerovnosťami a ≤ x ≤ b a 0 ≤ y ≤ f(x) platí
P =
∫ t 2
t 1
ψ(t)|ϕ ′ (t)|dt.
C. Funkcia daná v polárnych súradniciach. Množinu všetkých bodov, ktorých polárne
súradnice ϱ, ϕ vyhovujú nerovnostiam α ≤ ϕ ≤ β a 0 ≤ ϱ ≤ f(ϕ), kde f(ϕ) je
spojitá funkcia na intervale 〈α, β〉 (0 < β − α ≤ 2π), nazývame segmentom určeným
funkciou f a intervalom 〈α, β〉. Pre obsah tohoto segmentu platí
∫ β
P = 1 f 2 (ϕ)dϕ.
2
α
Príklad 7. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkami y = x 2 − 2x a y = x.
Riešenie.
Nakreslíme si obrázok a určíme priesečníky oboch kriviek ako riešenia sústavy rovníc
y = x 2 − 2x a y = x. Po dosadení druhej rovnice do prvej, dostávame kvadratickú
rovnicu x 2 − 3x = 0, ktorej riešeniami sú x = 0 a x = 3. Z obrázka popíšeme elementárnu
oblasť, ktorá je určená nerovnosťami 0 ≤ x ≤ 3 a x 2 − 2x ≤ y ≤ x.
Pre obsah P potom platí
P =
∫ 3
0
(x − x 2 + 2x) dx =
∫ 3
0
(3x − x 2 ) dx =
[ ] 3
3x 2
− x3 = 27 − 27 = 9. □
2 3 2 3 2
0
Príklad 8. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkou danou parametrickými
rovnicami x = a(cos t + t sin t), y = a sin t pre t ∈ 〈0, π〉.
Riešenie.
32

π∫
P = a sin t| (a(cos t + t sin t)) ′ ∫
|dt = a 2 π sin t| − sin t + sin t + t cos t|dt =
0
∫
= a 2 π ∫
|t cos t| sin tdt = a 2 π
0
0
| cos t|t sin tdt = a 2 π
∫2
= 1 2 a2 π
∫2
0
0
0
∫
t sin 2tdt − 1 π 2 a2 t sin 2tdt.
∫
t cos t sin tdt + a 2 π t(− cos t) sin tdt =
π
2
π
2
Pre výpočet poslednej dvojice integrálov
∫
použijeme metódu per partes, pričom najprv
1
si vypočítame neurčitý integrál
2 t sin 2tdt, kde u(t) = t, v ′ (t) = sin 2t, u ′ (t) = 1,
cos 2t
v(t) = − . Takže
2
∫ [
1
2 t sin 2tdt =
1
2 −t
cos 2t
+ ∫ cos 2tdt ] [ ]
= 1 2 2 4 −t cos 2t +
sin 2t
2 + C.
Teraz už môžme dokončiť výpočet pôvodnej úlohy, teda
P = [ ] 1 π
4 a2 sin 2t 2
−t cos 2t + − [ 1 2 0 4 a2 −t cos 2t +
Príklad 9.
]
sin 2t π
2 π
2
= 1 2 πa2 . □
Vypočítajme obsah oblasti ohraničenej slučkou krivky x 3 + y 3 = 3xy.
Riešenie.
Odvodíme najprv rovnicu danej krivky v polárnych súradniciach. Položíme teda
x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, ϕ ∈ 〈0, 2π〉, ϱ ∈ 〈0, +∞〉. Dosadením do danej rovnice dostaneme
ϱ 3 (cos 3 ϕ + sin 3 ϕ) = 3ϱ 2 cos ϕ sin ϕ ⇔ ϱ =
3 cos ϕ sin ϕ
cos 3 ϕ+sin 3 ϕ .
Krivku môžeme vidieť aj na obrázku, pričom jej slučku dostaneme pre ϕ ∈ 〈0, 1 π〉 nakoľko
2
pre ostatné hodnoty je ϱ = 0. Hľadaný obsah je potom rovný číslu
P = 1 2
π
∫2
0
(
= 3 2 lim
r→∞
3 cos ϕ sin ϕ
cos 3 ϕ+sin 3 ϕ
r 3 ∫+1
1
du
u 2
) 2 ∞∫
dϕ =
9
2
0
= 3 2 lim
r→∞
[
−
1
u
t 2
dt = 9 lim
∫ r
(t 3 +1) 2 2 r→∞
0
] r 3 +1
= 3 lim
1 2 r→∞
33
t 2
(t 3 +1) 2 dt =
(
−
1
r 3 +1 + 1) = 3 2 ,

pričom sme použili postupne dve substitúcie: tg ϕ = t, cos 2 ϕ = 1 , sin 2 ϕ = t2
1+t 2
dx =
dt , a potom u = t 3 + 1, du = 3t 2 dt. □
1+t 2
Úlohy.
V úlohách 71 - 89 vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej danými krivkami.
71. y = −x, y = x + 3, x = 0, x = 2
72. y = 6x − x 2 , y = 0
73. y = x 2 − x − 6, y = −x 2 + 5x + 14
74. y 2 = 2x + 1, x − y = 1
75. y = x 2 , y = x3
3
76. xy = 1, x = 1, x = 3 y = 0
77. xy = 4, x + y = 5
78. xy = 2, y = 2x 3 , x − y − 1 = 0, x ≥ 0
79. y = ln x, y = 0, 1 ≤ x ≤ 2
80. y = ln x, y = ln 2 x
81. y = e x , y = e −x , x = ln 2
82. y = sin x, y = cos x, y = 0
83. y = tg x, y = cotg x, y = 0
84. y = arcsin x, y = arccos x, y = 0
85. x 2 + y 2 = 1, y = 1 − x, x ≥ 0, y > 0
86. x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2x
87. x 2 − y = 0, x 2 + y − 2 = 0
88. y = 5 + 4x − x 2 , y = 0
89. y 2 = 16 − x, y 2 = 2 + x
V úlohách 90 - 94 vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou danou parametrickými
rovnicami.
90. x = 2t − t 2 , y = 2t 2 − t 3
91. x = t6 , y = 2 − t4 a osami o 6 4 x a o y
92. x = a cos t, y = b sin t (elipsa)
93. x = a sin t , y = a sin t, t ∈ 〈0, π〉
2
94. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), y = 0, a > 0, t ∈ 〈0, 2π〉 (jedna vetva cykloidy)
V úlohách 95 - 100 vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami v polárnych
súradniciach.
95. ρ = 2 − cos ϕ, ϕ ∈ 〈0, 2π〉
96. ρ = 2 sin 2ϕ
97. ρ = 3 tg ϕ, ϕ = 0, ϕ = 1π
4
98. ρ = 2(1 + cos ϕ) (Kardioida)
1+t 2 ,
34

99. ρ = 2a(2 + cos ϕ), a > 0 (Pascalova závitnica)
100. ρ = aϕ, ϕ ∈ 〈0, 2π〉 (Archimedova špirála)
2.6 Dĺžka rovinnej krivky.
A. Ak krivka K je grafom funkcie y = f(x), ktorá má spojitú deriváciu f ′ (x) v intervale
〈a, b〉, potom dĺžka krivky, ktorá sa nachádza medzi priamkami x = a a x = b je rovná
l =
∫ b
a
√
1 + [f ′ (x)] 2 dx.
B. Nech krivka K je daná parametrickými rovnicami x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ 〈t 1 , t 2 〉,
pričom derivácie ϕ ′ a ψ ′ sú spojité na intervale 〈t 1 , t 2 〉. Potom pre dĺžku krivky platí
l =
∫ t 2
t 1
√
[ψ ′ (t)] 2 + [ϕ ′ (t)] 2 dt.
Príklad 10.
Riešenie.
∫ 3 √
l =
0
1 + ( e x −e −x
2
Vypočítajme dĺžku reťazovky y = ex +e −x
2
pre x ∈ 〈0, 3〉.
) 2dx ∫3
=
0
√
∫
4+e 2x −2+e 3
[
−2x
e
dx =
x +e −x
dx =
4 2
0
] 3
e x −e −x
= e3 +e −3
. □
2
2
0
Príklad 11. Vypočítajme dĺžku krivky, ktorá je daná parametrickými rovnicami x =
√
t, y =
√ 4 − t pre t ∈ 〈0, 2〉.
Riešenie.
l =
Úlohy.
=
∫ 2
0
∫ 2
0
√ ( ) 2 (
1
2 √ t +
√
1
2 √ 4−t
∫
2
1
dt =
−[t 2 −4t]
0
√
) 2dt ∫2
=
0
√
2
1
dt =
−[(t−2) 2 −4]
1
+ 1 dt = ∫2
4t 4(4−t)
〉
V úlohách 101 - 116 vypočítajte dĺžku krivky.
101. y = x 2 , x ∈ 〈0, 3〉
102. y = 1 4 x2 − 1 ln x, x ∈ 〈1, 3〉
2
103. y = e x , x ∈ 〈0, 1〉
104. y = 2x − x 2 , medzi priesečníkmi s osou o x
105. y = 1 2 x2 − 1, medzi priesečníkmi s osou o x
106. y 2 = (x + 1) 3 , medzi priesečníkmi s priamkou x = 4
107.
108.
y 2 = 4(x + 1), medzi priesečníkmi s osou o y
y = √ 9 − x 2 , x ∈ 〈−3, 3〉
109. y = ln(1 − x 2 ), x ∈ 〈0, 1〉
2
110. y = ln(sin x), x ∈ 〈 π, 2π〉
3 3
111. y = 1 − ln cos x, x ∈ 〈0, π 4
35
∫
0
0
√
4−t+t
dt = ∫2
√ 1
4t(4−t) 4t−t 2
dt =
1
√4−(t−2) dt = [ ]
arcsin t−2 2 = π. □
2 0 2
2
0

112. y = arcsin e −x , x ∈ 〈0, 1〉
113. y = arcsin x + √ 1 − x 2 , x ∈ 〈−1, 1〉
114. y = √ x − x 2 + arcsin √ x, x ∈ 〈0, 1〉
115. y = √ e 2x − 1 − arctg √ e 2x − 1, x ∈ 〈0, 1〉
116. x = 1 4 y2 − 1 ln y, y ∈ 〈1, e〉
2
V úlohách 117 - 124 vypočítajte dĺžku krivky danú parametrickými rovnicami.
117. x = t 2 , y = t − t3 , t ∈ 〈0, √ 3〉
3
118. x = 6 − 3t 2 , y = 4t 3 , t ∈ 〈0, 1〉
119. x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t), a > 0, t ∈ 〈0, 2π〉
120. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0, t ∈ 〈0, 2π〉 (Cykloida)
121. x = a(2 cos t − cos 2t), y = a(2 sin t − sin 2t), a > 0 (Kardioida)
122. x = cos 3 t, y = sin 2 t, t ∈ 〈0, π〉
2
123. x = cos 3 t, y = sin 3 t (Asteroida)
124. x = cos 4 t, y = sin 4 t, t ∈ 〈0, 2π〉
2.7 Objem rotačného telesa.
Nech funkcie f(x) a g(x) [u(y) a v(y)] sú spojité funkcie na intervale 〈a, b〉 [〈c, d〉]. Pre
objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti danej nerovnosťami a ≤ x ≤ b
a g(x) ≤ y ≤ f(x) okolo osi o x [c ≤ y ≤ d a v(y) ≤ x ≤ u(y) okolo osi o y ] platí
∫ b
V = π
[
f 2 (x) − g 2 (x) ] dx
⎡
⎣V = π
∫ d
⎤
[
u 2 (y) − v 2 (y) ] dy⎦ .
a
c
Príklad 12. Vypočítajme objem rotačného telesa, ktorý vznikne rotáciou rovinného
obrazca ohraničeného krivkami x = 0, y = 0, y = 1, y = ln (x − 1) okolo osi o y .
Riešenie.
Inverzná funkcia k funkcii y = ln (x − 1) je funkcia y −1 = e y +1. Hľadaný objem je potom
rovný číslu
∫ 1
V = π (e y + 1) 2 ∫ 1
dy = π (e 2y + 2e y + 1) dy = π [ 1
2 e2y + 2e y + y ] 1
= 1 0 2 π(e2 +4e−3). □
0
0
36

Úlohy.
V úlohách 125 - 130 vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej
oblasti okolo osi o x .
125. y = 1 − x 2 , y = 2 − 2x 2
126. y = x 2 + 2, y = 2x 2 + 1
127. y = x 2 , y 2 = x
128. xy = 4, x + y = 5
129. y = sin x, y = 2x π
130. y = tg x, y = 0, x = 1π
4
V úlohách 131 - 136 vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej
oblasti okolo osi o y .
131. y = x 3 , x = 0, y = 8
132. x + y 2 − 4 = 0, x = 0
133. y = sin x, x = 0, y = 1 2
134. y = e −x , x = 0, x = 1, y = 0
135. y = x2 , y = |x|
2 2
136. xy = 4, y = 1, y = 2, x = 0
137. Vypočítajte objem rotačného kužeľa s polomerom základne r = 1 a výškou v = 3.
138. Súmerný parabolický odsek so základňou d = 5 a výškou v = 3 sa otáča okolo
základne. Vypočítajte objem takto vzniknutého rotačného telesa.
139. Elipsa, ktorej hlavná os má dĺžku a = 3 a vedľajšia os dĺžku b = 1, sa otáča okolo
hlavnej osi. Vypočítajte objem rotačného elipsoidu.
2.8 Obsah rotačnej plochy.
A. Ak krivka K je grafom funkcie y = f(x), ktorá má spojitú deriváciu f ′ (x) v intervale
〈a, b〉, tak obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi o x medzi
priamkami x = a a x = b je
∫ b
P = 2π
a
√
|f(x)| 1 + [f ′ (x)] 2 dx.
B. Nech krivka K je daná parametrickými rovnicami x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ 〈t 1 , t 2 〉,
pričom funkcia ϕ je rýdzo monotóna a derivácie ϕ ′ a ψ ′ sú spojité na intervale 〈t 1 , t 2 〉.
Potom pre obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi o x , platí
P = 2π
∫ t 2
t 1
√
|ψ(t)| [ψ ′ (t)] 2 + [ϕ ′ (t)] 2 dt.
Príklad 13. Vypočítajme obsah povrchu telesa, ktorý vznikne rotáciou kruhu s rovnicou
x 2 + (y − R) 2 = r 2 okolo osi o x .
Riešenie.
Obsah tejto plochy je súčtom obsahu plôch vzniknutých rotáciou ”hornej” a ”dolnej”
polovice tejto kružnice s rovnicami y = R ± √ r 2 − x 2 , x ∈ 〈−r, r〉.
Hľadaný obsah je potom rovný číslu
37

= 2π
∫ r
−r
(
∫ r ( √ √
P = 2π R + r2 − x 2) ( )
−x 2dx+
1 + √
r 2 −x 2 −r
∫ r ( √ √
+2π R − r2 − x 2) ( )
x 2dx
1 + √
r 2 −x =
2
−r
) ∫
√ R
r ( ) ∫
R
r
r
+ 1 dx + 2π √ 2 −x 2 r
− 1 dx = 4πR
2 −x 2
−r
= 4πR [ arcsin x r
] r
−r = 2π2 R. □
−r
√ dx
r
=
2 −x 2
Príklad 14. Vypočítajme obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky
x = e t sin t, y = e t cos t, t ∈ 〈0, π〉 okolo osi o 2 x.
Riešenie.
= 2π
π
∫2
0
P = 2π
π
∫2
0
√
|e t cos t| e 2t (sin t + cos t) 2 + e 2t (cos t − sin t) 2 dt =
e 2t cos t √ sin 2 t + 2 sin t cos t + cos 2 t + cos 2 t − 2 sin t cos t + sin 2 tdt =
= 2π
π
∫2
0
e 2t cos t √ 2dt = 1 5 2√ 2π(e π − 2),
pričom posledný integrál vypočítame dvojnásobným použitím metódy per-partes.
□
Úlohy.
V úlohách 140 - 144 vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou okolo
osi o x .
140. y = 4 + x, x ∈ 〈−4, 2〉
141. y = 1 2 x2 , x ∈ 〈0, 3 4 〉
142. y = sin x, x ∈ 〈0, π〉
143. y = tg x, x ∈ 〈0, 1 4 π〉
144. y = e −x , x ∈ 〈0, 1〉
145. Vypočítajte obsah povrchu guľovej plochy s polomerom r.
146. Vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou časti paraboly y 2 = 2x
medzi jej priesečníkmi s priamkou 2x = 3 okolo osi o x .
147. Vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky 4y = x 2 , y = 2
okolo osi o y .
V úlohách 148 - 152 vypočítajte obsah rotačnej plochy danej parametrickými rovnicami
okolo osi o x .
38

148. x = t 2 , y = t3 3 − t, t ∈ 〈0, √ 3〉
149. x = a sin 2t, y = 2a sin 2 t, t ∈ 〈0, π〉, a > 0
150. x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t ∈ 〈0, π 2 〉, a > 0
151. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), y = 0, t ∈ 〈0, 2π〉, a > 0 (Cykloida)
152. x = √ t, y = √ 9 − t medzi priesečníkmi so súradnicovými osami.
2.9 Statické momenty, ťažisko a momenty zotrvačnosti.
Majme hmotnú oblasť M s plošnou hustotou σ = σ(x) ktorej tvar je určený elementárnou
oblasťou a ≤ b a g(x) ≤ y ≤ f(x), pričom funkcie f a g sú spojité v intervale 〈a, b〉.
Statické momenty hmotnej oblasti vzhľadom na os o x , resp. na os o y sú
S x = 1 2
∫ b
σ(x) [ f 2 (x) − g 2 (x) ] dx, S y =
∫ b
xσ(x) [f(x) − g(x)] dx.
a
a
Pre ťažisko T = [x T , y T ] hmotnej oblasti M platí
kde m je hmotnosť hmotnej oblasti
x T = S y
m ,
y T = S x
m ,
∫ b
m = σ(x)[f(x) − g(x)]dx.
a
Momenty zotrvačnosti hmotnej oblasti M vzhľadom na os o x , o y alebo o z sú
∫ b
∫ b
I x = 1 σ(x) [ f 3 (x) − g 3 (x) ] dx, I y = x 2 σ(x) [f(x) − g(x)] dx,
3
a
a
I z = I x + I y .
Príklad 15. Nájdime súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti, ktorá leží v prvom
kvadrante, ak je ohraničená parabolou y 2 = 2px a priamkou y = 0, x = x 0 , x 0 > 0.
Riešenie.
Pretože sa jedná o homogénnu hmotnú oblasť, kladieme σ(x) = k, kde k je konštanta.
39

S y =
∫x 0
0
x 0
0
∫x 0
[
k.2pxdx = kp
0
x 0
] x0
x 2
2
0
S x = 1 2
0
kx √ 2pxdx = k √ ∫x 0
2p x 3 2 dx = k √ 2p
∫
m = k √ 2pxdx = k √ ∫
2p x 1 2 dx = k √ 2p
Potom súradnice ťažiska sú x T = 3 5 x 0 a y T = 3√ px 0
4 √ 2
Úlohy.
0
= 1 2 kpx2 0
[
x 5 2
5
2
[
x 3 2
3
2
] x0
0
] x0
0
a teda T =
= 2 5 k√ 2px 2 0√
x0
= 2 3 k√ 2px 0
√
x0
[ ]
3
x 5 0, 3√ 2px 0
. □
8
153. Nájdite statický moment homogénnej hmotnej oblasti, ohraničenej čiarami y =
2
, y = x 2 vzhľadom na os o
1+x 2 x .
154. Vypočítajte statický moment vzhľadom na odvesny homogénneho pravouhlého
trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžku 1 a 2.
155. Vypočítajte statický moment homogénneho obdĺžnika so základňou d a výškou
h vzhľadom na základňu.
156. Vypočítajte statický moment hornej polovice elipsy x2 + y2
= 1, a > b vzhľadom
a 2 b 2
na os o x .
157. Vypočítajte statický moment časti paraboly y 2 = 4x + 4, x ∈ 〈−1, 0〉 vzhľadom
na os o y .
158. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej y = x 2 − 2x, y = 0
vzhľadom k obom súradnicovým osiam.
159. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej xy = 1, y = 0, x =
1, x = 2 vzhľadom k obom súradnicovým osiam.
160. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej y 2 = 2x, y = 2x vzhľadom
k obom súradnicovým osiam.
161. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =
4x 2 − x 3 , y = 0.
162. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =
x 2 , y 2 = x.
163. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej oblúkom y =
sin x, x ∈ 〈0, π〉 a osou o x .
164. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej súradnicovými
osami a oblúkom elipsy x2 + y2
= 1 ležiacom v prvom kvadrante.
a 2 b 2
165. Nájdite ťažisko homogénneho súmerného parabolického odseku so základňou d a
výškou h.
166. Nájdite súradnice ťažiska hmotnej oblasti ohraničenej parabolami x 2 = 4y −
8, x 2 = 4y a priamkami x = 1, x = 4, ak plošná hustota tejto oblasti je v každom bode
úmerná jeho x-ovej súradnici.
167. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y = x 2 , y =
2
.
1+x 2
168. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti určenej nerovnosťami 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤
y ≤ sin x.
169. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej parabolou y = 2x − x 2
a osou o x .
170. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej parabolou y 2 = 6x a
priamkou x − 5 = 0.
40

171. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej semikubickou parabolou
y 2 = x 3 a priamkou x = 1.
172. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho oblúka y = e x , x ∈ 〈0, 1 2 〉 vzhľadom
na os o x .
173. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénnej hmotnej oblasti tvaru elipsy vzhľadom
na jej osi.
174. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho hmotného obdĺžnika so stranami
a, b vzhľadom na jeho strany.
175. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénnej hmotnej oblasti tvaru trojuholníka
so základňou z a výškou v vzhľadom na základňu.
176. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho priameho parabolického odseku
so základňou 2b a výškou h vzhľadom na os súmernosti.
177. Vypočítajte moment zotrvačnosti hmotnej oblasti ohraničenej krivkami 2y =
4x − x 2 , y = 0 vzhľadom k osi o x aj o y .
178. Vypočítajte moment zotrvačnosti hmotnej oblasti ohraničenej krivkami 2y =
√ x, y = 0, x = 4 vzhľadom k osi ox .
179. Vypočítajte moment zotrvačnosti polovice kruhu s polomerom r vzhľadom k
úsečke spájajúcej koncové body polkruhu.
2.10 Geometrické aplikácie nevlastného integrálu
Príklad 16. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej priamkami x = 0, x = 4,
y = 0 a krivkou y = 1 3√ x−1
.
Riešenie.
Máme vypočítať veľkosť plochy, ktorá je znázornená na obrázku.
Pretože v bode x = 1
nie je daná funkcia y = 3√ 1
x−1
definovaná, hľadaný obsah počítame pomocou dvoch nevlastných
integrálov takto:
Úlohy.
∫ 1
dx
P = −
0
[
= lim − 3(x − 1) 2 3
r→1 − 2
∫ 4
3√ x−1
+
1
] r [
3
+ lim
0 r→1 +
dx
3√ x−1
= − lim
r→1 −
∫r
0
dx
3√ x−1
+ lim
∫
r→1 + 4
2 (x − 1) 2 3
] 4
r
= 3 2 + 3 2 3 2 3 = 3 2
r
dx
3√ x−1
=
(
1 +
3 √ 9 ) . □
180. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = e − x 3 , x ≥ 0 a súradnicovými
osami.
41

181. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o x časti
roviny ohraničenej hyperbolou xy = 1, osou o x , pričom x ≥ 1.
182. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = xe − x2
2 a jej asymptotou.
183. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o x časti
roviny ohraničenej oboma vetvami krivky xy 4 = 1 a priamkami x = 0, x = 1.
184. Nájdite obsah rotačnej plochy vytvorenej rotáciou krivky y = e −x , x ≥ 0 okolo
osi o x .
185. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej krivkami y = 1 , x ≥ 1, y = 0.
1+x 2
186. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny y =
ln x, x ∈ 〈0, e〉 okolo osi o x .
187. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny y =
1
, x ≥ 1, y = 0 okolo osi o
x 2 y .
188. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = x a jej asymptotou.
x 4 +1
42

3 Diferenciálny počet funkcie viac premenných.
3.1 Definičný obor funkcie viac premenných.
Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel nazývame číselným n-rozmerným Euklidovým priestorom
E n , ak pre každú dvojicu n-tíc A[a 1 , a 2 , ..., a n ] a B[b 1 , b 2 , ..., b n ] je definované číslo
∑
ϱ(A, B) = √ n (a i − b i ) 2 ,
ktoré nazývame ich vzdialenosťou.
Nech M ⊂ E n . Hovoríme, že na množine M je definovaná funkcia n premenných, ak
každému bodu X[x 1 , x 2 , ..., x n ] ∈ M je priradené práve jedno reálne číslo y. Označujeme
ju y = f(x 1 , x 2 , ..., x n ), alebo y = f(X). Množinu M nazývame definičným oborom.
Príklad 1.
Nájdime definičný obor funkcie
f(x, y, z) =
i=1
1
√
16 − x2 − y 2 − z 2 .
Riešenie.
Obor definície nájdeme z podmienky 16−x 2 −y 2 −z 2 > 0, odkiaľ dostávame, že x 2 +y 2 +
z 2 < 16. Obor definície je teda množina všetkých bodov X, pre ktoré platí ϱ(O, X) < 4,
čiže vnútro gule so stredom v bode O[0, 0, 0] a polomerom rovným 4. □
Úlohy.
V úlohách 1 - 28 nájdite definičný obor funkcie viac premenných.
1. z = ln(−x − y). 2. z = 1 .
y 2 −x 2
3. z = √ 5
xy
. 4. z = √ (4 − x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 − 1).
5. u = ln(9−x2 −y 2 −z 2 )
.
x−1
6. z = arcsin √x .
2 +y 2 +z 2 −4 y
7. z = √ 1 − x 2 + √ 1 − y 2 1
. 8. z = .
25−x 2 −y 2
9. z = arcsin(x + y). 10. z = √ y − x 2 + √ 1 − y.
11. z = √ x − √ y. 12. z = ln(4−x2 −y 2 )
√ xy
.
√
13. z =
x 2 +y 2 −x
2x−x 2 −y 2 . 14. z = x 2 + 2xy − 3y 3 .
15. z = 1 + 1 . x y−1 16. z = x2 y
. 2x+|y|
17. z = √ 3x − √ 6
y
. 18. z = √ 1 − 1
x+|y|
x−|y| .
19. z = y + arccos x. 20. z = ln(|x| + y) + √ 1
y−x
.
21. z = √ ln x2 y
.
|y−x|
22. z = πy 2√ x 2 − y 2 + ln xy.
√
4x−y
23. z =
2
. 24. z = ln(y 2 − 4x + 8).
ln(1−x 2 −y 2 )
25. z = ln(x − √ y). 26. z = √ 1
x+y
+ √ 1
x−y
.
27. u = arcsin x + arcsin y + arcsin z. 28. z = arcsin[2y(1 + x 2 ) − 1].
43

3.2 Parciálne derivácie I. rádu funkcie viac premenných.
Majme funkciu f(x 1 , x 2 , ..., x n ) definovanú v okolí bodu A[a 1 , a 2 , ..., a n ]. Parciálnou deriváciou
funkcie f(x 1 , x 2 , ..., x n ) podľa premennej x i v bode A nazývame
( ∂f
f(a 1 , ..., a i−1 , x i , a i+1 , ..., a n ) − f(a 1 , ..., a i , ..., a n )
= lim
.
x i →a i x i − a i
∂x i
)A
(
Používame niektoré z označení:
∂f
∂x i
)A
, ∂f(A)
∂x i
, f x ′ i
(A).
Príklad 2. Nájdime parciálne derivácie 1. rádu funkcie z = x 3 + 7x 2 y 5 + y 2 − 2.
Riešenie.
Počítame najprv z ′ x. Premennú y považujeme za konštantu a derivujeme funkciu z ako
funkciu jednej premennej x. Teda
z ′ x = 3x 2 + 7.2xy 5 = 3x 2 + 14xy 5 .
Podobne pri počítaní z ′ y považujeme premennú x za konštantu a derivujeme funkciu z
ako funkciu jednej premennej y. Teda
z ′ y = 7x 2 5y 4 + 2y = 35x 2 y 4 + 2y.
□
Príklad 3. Nájdime parciálne derivácie 1. rádu funkcie z = e − y x v bode A[1, 0].
Riešenie.
Parciálne derivácie 1. rádu sú
z x ′ = e − y x y ,
( ) x 2
z y ′ = e − y x −
1
x = −
1
y x e− x .
Teda po dosadení súradníc bodu A dostaneme z ′ x(A) = 0, z ′ y(A) = −1.
□
Úlohy.
V úlohách 29 - 61 vypočítajte parciálne derivácie prvého rádu daných funkcií.
29. z = x 4 + y 4 − 4x 2 y 2 . 30. z = x 2 y + y3
. 31. z = x .
x 4 y 2
x
32. z = √x . cos 2 +y 33. z = 2 x2
.
y
34. z = x sin(x + y).
35. z = x y . 36. z = ln(x + y 2 ). 37. z = arctg y . x
38. u = ( x y )z . 39. u = x y z . 40. z = ln(x + ln y).
41. z = 3x 4 y −5xy 2 +2y. 42. z = x 3√ y + √ y2
x
. 43. u = x yz .
44. u = x 3 y 2 z − xy 2 z 3 . 45. z = (5x − y) 4 . 46. z = xy 2 − y + 2√ x.
x
47. z = xy
. y−x 48. z = e −xy . 49. z = x √ x 2 + y 2 .
50. z = ln(x − ye x ). 51. u = x 2 e y sin z. 52. z = (sin x) cos y .
53. u = z sin(xyz) − y cos(yz) + sin(xz).
54. z = ln(x + √ x 2 + y 2 ).
55. z = xye sin(πxy) .
56. z = xe y x . 57. z = x3 +y 3
x 2 +y 2 . 58. z = arctg √ x y .
59. z = ln x−y x+y 60. u = (y tg z) ln x .
62. Dokážte, že funkcia z = f(x, y) vyhovuje rovnici:
61. u = (2xy 2 + z 3 ) 11 .
a) xyz x ′ + x 2 z y ′ = 2yz, ak z = x 2 sin(y 2 − x 2 );
44

) xz x ′ + yz y ′ = z , ak z = e x y
ln y ln y;
c) xz x ′ + y
ln x z′ y = 2yz, ak z = x y ;
d) yz x ′ − xz y ′ = 0, ak z = ln(x 2 + y 2 );
e) 2xz x ′ + yz y ′ = 0, ak z = e x
y 2 .
63. Dokážte, že funkcia u = f(x, y, z) vyhovuje rovnici:
a) u ′ x2 + u ′ y2 + u ′ z2 = 1, ak u = √ x 2 + y 2 + z 2 ;
b) u ′ x + u ′ y + u ′ z = 1, ak u = x + x−y
y−z
3.3 Totálny diferenciál a jeho použitie.
Majme funkciu dvoch premenných z = f(X) = f(x, y), ktorá má v bode A[a 1 , a 2 ] spojité
parciálne derivácie prvého rádu. Totálny diferenciál funkcie f(X) v bode A je
alebo v ľubovoľnom bode
Pre približný výpočet platí vzťah
df(A, X) = ∂f(A)
∂x
(x − a 1) + ∂f(A)
∂y (y − a 2),
dz = ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy.
f(X) ≈ f(A) + df(A, X).
Ak máme rovnicu plochy v explicitnom tvare z = f(x, y), pričom f(x, y) je diferencovateľná
funkcia, potom dotyková rovina k tejto ploche v dotykovom bode M[x 0 , y 0 , z 0 ] má
rovnicu
∂f(M)
∂x
(x − x 0) + ∂f(M) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.
∂y
Parametrické rovnice normály ku tejto ploche v bode M sú
x = x 0 + ∂f(M)
y = y 0 + ∂f(M)
z = z 0 − t.
∂x t,
∂y
t,
Príklad 4. Vypočítajme totálny diferenciál funkcie z = ln(x 2 + y 2 ).
Riešenie.
Vypočítajme parciálne derivácie 1. rádu. Je z ′ x =
dz =
2x dx +
2y dy.
x 2 +y 2 x 2 +y 2
2x a z ′ x 2 +y 2 y = 2y . Potom
x 2 +y 2
Príklad 5. Vypočítajme totálny diferenciál funkcie z = x y 2 v bode A[1, 1].
Riešenie.
Máme z ′ x = 1
y 2
a z ′ y = − 2x
y 2 . Z toho dostaneme z ′ x(A) = 1 a z ′ y(A) = −2. Potom
df(A, X) = (x − 1) − 2(y − 1).
Príklad 6. Pomocou diferenciálu nájdime približnú hodnotu výrazu √ 1, 02 3 + 1, 97 3 .
Riešenie.
Uvažujme funkciu z = √ x 3 + y 3 a bod A[1, 2]. Vypočítame v bode X[1, 02; 1, 97] približnú
hodnotu pomocou diferenciálu
45
□
□

√
1, 023 + 1, 97 3 ≈ √ (
1 3 + 2 3 +
2
√
)
3x 2
x 3 +y 3
A
(
(1, 02 − 1) + √
= 3 + 0, 01 − 2.0, 03 = 2, 95. □
2
)
3y 2
x 3 +y 3
A
(1, 97 − 2) =
Príklad 7. Nájdime rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie z = x 2 + y 2
v dotykovom bode M[1, −2, 5].
Riešenie.
Vypočítajme parciálne derivácie funkcie z v bode M. Máme z ′ x(M) = 2, z ′ y(M) = −4.
Potom rovnicu dotykovej roviny môžme zapísať ako
alebo
a rovnicu normály
Úlohy.
2(x − 1) − 4(y + 2) − (z − 5) = 0,
2x − 4y − z − 5 = 0,
x = 1 + 2t,
y = −2 − 4t,
z = 5 − t. □
V úlohách 64 - 69 nájdite totálny diferenciál funkcie.
64. z = x 2 − 2xy + y 2 . 65. z = ln √ x 2 + y 2 . 66. z = ln cotg x.
y
67. z = e x ln y. 68. z = arctg x−y .
1+xy
69. u = sin(3x−2y+5z).
V úlohách 70 - 78 nájdite totálny diferenciál funkcie v bode A.
70. z = xy , A[3, −1]. 71. z = arcsin x , A[−1, 3].
√x 2 −y 2 y
72. u = x z , A[1, 1, 1]. y 73. z = x arctg(2y), A[−1, 1].
2
74. u = x 2 y + 2y 2 z + 3z 2 x, A[−1, 0, 1].
75. z = x 3 + 2xy 2 − y 3 , A[2, −1], dx = −0, 1, dy = 0, 2.
76. z = e x2y , A[1, 1], dx = 0, 15, dy = −0, 05.
77. z = arctg y , A[1, 2], dx = 0, 05, dy = 0, 01.
x
78. u = 2 x sin y arctg z, A[−2, π , 0], dx = 0, 03, dy = −0, 02, dz = 0, 04.
2
V úlohách
√
79 - 84 pomocou diferenciálu vypočítajte približne.
79. 3, 032 + 4, 01 2 . 80. 1, 05 2,01 . 81. sin 151 ◦ cotg 41 ◦ .
√
82. 1, 023 + 1, 97 3 . 83. 0, 97 1,05 . 84. sin 29 ◦ tg 46 ◦ .
85. O koľko sa približne zmení uhlopriečka a plošný obsah obdĺžnika so stranami
x = 12 m, y = 9 m, ak prvá strana sa zväčší o 2 cm a druhá sa zmenší o 4 cm.
86. Výška kužeľa je h = 15 cm a polomer základne r = 8 cm. O koľko sa približne
zmení objem kužeľa, keď výška sa zväčší o 0, 3 cm a polomer základne sa zväčší o 0, 2
cm.
87. Pri deformácii rotačného valca sa jeho polomer zväčšil z 2 dm na 2, 05 dm, a
výška sa zmenšila z 10 dm na 9, 8 dm. Určte približne zmenu objemu valca.
88. Určte pribižne pomocou diferenciálu zmenu objemu a obsahu povrchu kvádra, ak
dĺžky jeho strán sa zmenia z 2 cm na 2, 04 cm, z 3 cm na 2, 97 cm, zo 4 cm na 4, 02 cm.
89. Určte pribižne pomocou diferenciálu zmenu objemu, obsahu plášťa a obsahu povrchu
rotačného kužeľa, ak polomer jeho podstavy sa zväčsí z 30 cm na 30, 1 cm, a výška
zmenší z 60 cm na 59, 5 cm.
46

90. Určte rovnicu dotykovej roviny a normály ku ploche v danom bode.
a) z = x 2 + 4y 2 , T [3, −1, ?];
b) z = √ x 2 + y 2 − xy, T [3, 4, ?];
c) z = x 4 − 2x 2 y + xy + 2y, T [1, ?, 3];
d) x + y 2 + z 2 = 18, T [?, 3, 2];
e) z = e xy , T [1, 2, ?];
f) z = ln(xy 2 ) + x 2 y, T [ 1 , 2, ?];
4
g) z = sin x , T [π, 1, ?];
y
h) z = 1 , T [1, 1, ?];
xy
i) z = ln(x 2 + y 2 ), T [1, 0, ?].
3.4 Parciálne derivácie zloženej funkcie.
A. Ak z = f(x, y), pričom x = ϕ(t) a y = ψ(t), potom z = f (ϕ(t), ψ(t)) je zložená
funkcia premennej t. Ak sú funkcie f, ϕ a ψ diferencovateľné, je diferencovateľná aj
zložená funkcia a platí
dz
dt = ∂z dx
∂x dt + ∂z dy
∂y dt . (1)
Špeciálne, ak t = x, máme
Príklad 8.
dz
dx = ∂z
∂x + ∂z dy
∂y dx . (2)
Vypočítajme dz
dt funkcie z = ex−2y , kde x = sin t, y = t 3 .
Riešenie.
Použijeme vzťah (1). Máme
Príklad 9.
Riešenie.
Použijúc vzťah (2) máme
dz
= dt ex−2y cos t − 2e x−2y 3t 2 = e sin t−2t3 (cos t − 6t 2 ) .
Vypočítajme dz
dx funkcie z = arctg(xy), kde y = ex .
dz
= 1 y + 1 xe x = ex +xe x
. □
dx 1+x 2 y 2 1+x 2 y 2 1+x 2 e 2x
B. Ak z = f(x, y), pričom x = ϕ(u, v) a y = ψ(u, v), potom ak funkcie f, ϕ a ψ sú
diferencovateľné, je diferencovateľná aj zložená funkcia a platí
∂z
∂u = ∂z ∂x
∂x ∂u + ∂z ∂y
∂y ∂u , (3)
∂z
∂v = ∂z ∂x
∂x ∂v + ∂z ∂y
∂y ∂v . (4)
□
Príklad 10.
rovnici
Dokážme, že funkcia z = arctg x , kde x = u + v, y = u − v vyhovuje
y
∂z
∂u + ∂z
∂v =
u − v
v 2 + u 2 .
Riešenie.
Použijeme vzťahy (3) a (4). Potom
47

∂z
= 1
∂u 1+ x2
∂z
= 1 1
∂v 1+ x2
y 2
1
+ 1 −x
y
y 2 1+ x2 y 2
y 2
+ 1
y 1+ x2
y 2
x
y 2
= −x+y
x 2 +y 2 = −v
u 2 +v 2 ,
= x+y
x 2 +y 2 = u
u 2 +v 2 ,
teda
∂z
∂u + ∂z
∂v =
Daná funkcia vyhovuje uvedenej rovnici.
Úlohy.
−v +
v 2 +u 2
□
u
v 2 +u 2
= u−v
v 2 +u 2 .
91. Dokážte, že každá diferencovateľná funkcia F (x, y) vyhovuje rovnici:
a) y 2 F x ′ − xyF y ′ = y2
F , ak F (x, y) = x xf(x2 + y 2 )
b) yF x ′ + xF y ′ = 0, ak F (x, y) = f(x 2 − y 2 )
c) y 2 F x ′ + xyF y ′ = xF , ak F (x, y) =
y
f(x 2 −y 2 )
V úlohách 92 - 97 vypočítajte dz . dt
92. z = x 2 + xy + y 2 , ak x = sin t, y = cos t.
93. z = √ xy, ak x = sin t, y = t 2 .
94. z = e xy ln(x + y), ak x = t 3 , y = 1 − t 3 .
95. z = x ln y , ak x = t 3 , y = t 2 .
96. z = x √ y, ak x = ln t, y = 1 + e t .
97. z = y , ak x = x et , y = 1 − e 2t .
V úlohách 98 - 103 vypočítajte ∂z
a dz . ∂x dx
98. z = arctg y , ak y = x x2 . 99. z = ln(e x + e y ), ak y = x 3 .
100. z = arctg x+1,
ak y = y e(x+1)2 . 101. z = xe y , ak y = ϕ(x).
102. z = ln(x 2 + y 2 ), ak y = ϕ(x). 103. z = x y , ak y = ϕ(x).
V úlohách 104 - 109 vypočítajte ∂z ∂x ∂y
104. z = u + v 2 , u = x 2 + sin y, v = ln(x + y).
105. z = u 2 v − v 2 u, u = x cos y, v = x sin y.
106. z = u v , u = ln(x − y), v = e x y .
107. z = u 2 ln v, u = x , v = 3x − 2y.
y
108. z = ue u v , u = x 2 + y 2 , v = xy.
109. z = u2 , u = x − 2y, v = y + 2x.
v
V úlohách 110 - 112 vypočítajte parciálne derivácie prvého rádu daných diferencovateľných
funkcií.
110. z = f(x 2 − y 2 , e xy ). 111. z = f(xy + y ).
x
112. z = f(x + y, x − y).
3.5 Parciálne derivácie vyšších rádov.
Majme funkciu f(x 1 , x 2 , ..., x n ) definovanú na množine M. Predpokladajme, že na množine
M 1 ⊂ M má parciálnu deriváciu podľa premennej x i . f x ′ i
je opäť funkcia n premenných.
Ak táto funkcia má na M 2 ⊂ M 1 parciálnu deriváciu podľa premennej x j , potom
sa táto parciálna derivácia nazýva druhou parciálnou deriváciou funkcie f(x 1 , x 2 , ..., x n )
podľa premenných x i a x j alebo parciálnou deriváciou 2. rádu funkcie f(x 1 , x 2 , ..., x n )
∂
podľa premenných x i a x j . Označujeme ju:
2 f
∂x i ∂x j
alebo f x ′′
i x j
. Ak x i = x j , potom píšeme
. Fxistuje teda n 2 parciálnych derivácií 2. rádu, kde n je počet premenných.
∂ 2 f
∂x 2 i
48

Veta 1. Ak funkcia f(x 1 , x 2 , ..., x n ) má v bode A[a 1 , a 2 , ..., a n ] diferencovateľné parciálne
derivácie f x ′ i
a f x ′ j
, potom platí
f x ′′
i x j
= f x ′′
j x i
.
Hovoríme tomu zámennosť parciálnych derivácií 2. rádu.
Podobne sa definujú aj parciálne derivácie 3., 4. a ďalších vyšších rádov.
Príklad 11. Vypočítajme parciálne derivácie 2. rádu funkcie z = x 3 − 3x 4 y + y 5 + 9.
Riešenie.
Parciálne derivácie 1. rádu máme f x ′ = 3x 2 − 12x 3 y, f y ′ = −3x 4 + 5y 4 .
Z týchto derivácií opäť počítame parciálne derivácie a dostávame:
f xx ′′ = (3x 2 − 12x 3 y) ′ x = 6x − 36x 2 y,
f xy ′′ = (3x 2 − 12x 3 y) ′ y = −12x 3 ,
f yx ′′ = (−3x 4 + 5y 4 ) ′ x = −12x 3 ,
f yy ′′ = (−3x 4 + 5y 4 ) ′ y = 20y 3 .
Vidíme, že skutočne f xy ′′ = f yx.
′′ □
Úlohy.
V úlohách 113 - 127 vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu daných funkcií.
113. z = xy + x. y 114. z = x y .
115. z = y2
. 1+5x 116. z = √ 3xy + x 2 .
117. z = ln(s 3 + t). 118. z = x 3 − 3x 4 y + y 5 .
119. z = 1 . 3xy 120. z = e 2y sin x.
121. z = xy + cos(x − y). 122. z = x sin(x + y) + y cos(x + y).
123. z = arctg x−y . x+y 124. z = e xy .
125. z = cos2 y
. 126. z = x √ y + 3√ y
x x
.
127. z = arctg y . x
128. Dokážte, že daná diferencovateľná funkcia vyhovuje rovnici:
a) z = ln(e x + e y ), z xxz ′′ ′′
b) z = arctg(2x − y), z xx ′′ + 2z ′′
c) z = 2 cos 2 (x − y ), 2z′′
2 yy + z ′′
d) z = ye x y , z
′′
xy − z ′ y + z ′ x = 0
yy − (z xy) ′′ 2 = 0
xy = 0
xy = 0
e) z = ln √ x 2 + y 2 , z xx ′′ + z yy ′′ = 0
f) z = 2xy 2 + cos(x + y), z xy ′′ − z ′′
xx = 4y
3.6 Extrémy funkcie viac premenných.
A. Majme funkciu f(X) = f(x 1 , x 2 , ..., x n ), ktorá má spojité parciálne derivácie 2. rádu.
Označíme si
a ij = a ji = f x ′′
i x j
(A).
Pri hľadaní lokálnych extrémov postupujeme nasledovne:
1. Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu f ′ x 1
, f ′ x 2
, ..., f ′ x n
.
2. Riešime sústavu rovníc f ′ x 1
= 0, f ′ x 2
= 0, ..., f ′ x n
= 0, ktorou nájdeme tzv. stacionárne
body.
49

3. Ak v stacionárnom bode A je a 11 > 0,
∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ > 0,
a 21 a 22 ∣
∣
a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣
a 21 a 22 a 23 > 0, ...
a 31 a 32 a 33
(všetky determinanty sú kladné), potom v bode A má funkcia f lokálne minimum.
∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ > 0,
a 21 a 22 ∣
∣
a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣
Ak v stacionárnom bode A je a 11 < 0,
a 21 a 22 a 23 < 0, ...
a 31 a 32 a 33
(pravidelne sa strieda znamienko), potom v bode A má funkcia f lokálne maximum.
Pri inom striedaní znamienok (napr.
∣ a ∣
11 a 12 ∣∣∣
< 0) v bode A lokálny extrém
a 21 a 22
nenastane. Nevieme dať odpoveď ak niektorý determinant je rovný 0.
Príklad 12. Nájdime lokálne extrémy funkcie z = x 2 + y 2 + xy − 6x − 9y.
Riešenie.
Parciálne derivácie 1. rádu musia byť rovné 0
z x ′ = 2x + y − 6 = 0
z y ′ = 2y + x − 9 = 0.
Riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi je x = 1, y = 4 čo sú súradnice
stacionárneho bodu A[1, 4].
Keďže z xx ′′ = 2, z xy ′′ = z yx ′′ = 1, z yy ′′ = 2 máme
a 11 = 2 > 0,
∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ =
a 21 a 22
∣ 2 1
1 2 ∣ = 3 > 0.
Teda vieme, že v bode A[1, 4] má funkcia z lokálne minimum, a to z(1, 4) = 21.
B. Majme funkciu z = f(x, y) a hľadajme lokálne extrémy tejto funkcie spĺňajúce podmienku
g(x, y) = 0. Postupujeme nasledovne:
1. Ak sa z podmienky g(x, y) = 0 (väzby) dá jednoznačne vyjadriť niektorá premenná
vyjadríme ju, dosadíme do funkcie z a hľadáme lokálne extrémy funkcie jednej
premennej.
2. Ak sa nedá jednoznačne vyjadriť žiadna premenná, zostrojíme tzv. Lagrangeovu
funkciu
L(x, y) = f(x, y) + λg(x, y)
a hľadáme lokálne extrémy tejto funkcie. Stacionárne body aj s príslušným λ vypočítame
z rovníc:
L ′ x = 0, L ′ y = 0, L ′ λ = g(x, y) = 0.
Charakter stacionárneho bodu určíme ako v prípade A..
Príklad 13.
x 2 + y 2 = 1.
Nájdime lokálne extrémy funkcie z = 6 − 4x − 3y viazané podmienkou
Riešenie.
Zostrojíme Lagrangeovu funkciu
L(x, y, λ) = 6 − 4x − 3y + λ(x 2 + y 2 − 1).
L ′ x = −4 + 2λx = 0,
L ′ y = −3 + 2λy = 0,
L ′ λ = x 2 + y 2 − 1 = 0.
50
□

Riešením tejto sústavy dostávame stacionárne body
pre λ A = 5, A[ 4, 3],
2 5 5
pre λ B = − 5, B[− 4, − 3].
2 5 5
Máme L ′′ xx = 2λ, L ′′ xy = 0, L ′′
yy = 2λ.
V stacionárnom bode A je a 11 = 5 > 0,
∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ =
a 21 a 22
∣ 5 0
0 5 ∣ = 25 > 0 teda v bode A
má daná funkcia lokálne minimum.
V stacionárnom bode B je a 11 = −5 < 0,
∣ a ∣ 11 a 12 ∣∣∣ =
a 21 a 22
∣ −5 0
0 −5 ∣ = 25 > 0 teda v
bode B má daná funkcia lokálne maximum. □
Úlohy.
V úlohách 129 - 151 nájdite lokálne extrémy daných funkcií.
129. z = 1 + 6y − y 2 − xy − x 2 . 130. z = x 2 + y 2 − xy − x − y + 2.
131. z = x 2 + y 2 + xy − 6x − 9y. 132. z = 4 − (x − 2) 2 − (y + 3) 2 .
133. u = 5 + 6z − 4z 2 − 3t 2 . 134. z = 2x 2 − 6xy + 5y 2 − x + 3y + 2.
135. z = x 2 − 2y 2 − 3x + 5y − 1. 136. z = x 2 − y 2 + 2x − 2y.
137. z = x 2 + (y − 1) 2 . 138. z = x 3 + y 3 − 18xy + 215.
139. z = 27x 2 y + 14y 3 − 69y − 54x. 140. z = e −x2 −y 2 (2y 2 + x 2 ).
141. z = 5xy + 25 + 8, x > 0, y > 0. x y 142. z = x 2 − (y − 1) 2 .
143. z = xy + x + y − x 2 − y 2 + 2. 144. z = x 2 + y 2 − xy − 2x + y.
145. z = x 3 − 3xy + y 2 + y − 7. 146. z = 6xy − x 3 − y 3 .
147. z = e 2x (x + y 2 + 2y). 148. z = e 2x+3y (8x 2 − 6xy + 3y 2 ).
149. z = xy + 50 + 20.
x y 150. z = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 .
151. z = 3x 2 y + y 3 − 18x − 30y.
V úlohách 152 - 159 nájdite viazané extrémy daných funkcií.
152. z = x 2 + y 2 , 2x − y + 5 = 0. 153. z = xy, x + y = 1.
154. z = 1 + 1, 1
+ 1 = 1. x y x 2 y 2 4 155. z = x + 1y, 2 x2 + y 2 = 1.
156. z = x 2 + 12xy + 2y 2 , 4x 2 + y 2 1
= 25. 157. z = x + y, + 1 = 1.
x 2 y 2 2
158. z = 9 − 8x − 6y, x 2 + y 2 = 25. 159. z = 8 − 2x − 4y, x 2 + 2y 2 = 12.
V úlohách 160 - 169 nájdite globálne extrémy daných funkcií.
160. z = x − 2y − 3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x + y ≤ 1.
161. z = x 2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1, x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ −x + 3.
162. z = x 3 + y 3 − 3xy, y ≥ −1, y ≤ 2, x ≥ 0, x ≤ 2.
163. z = xy 2 (4 − x − y), x = 0, y = 0, x + y = 6.
164. z = x 2 + y 2 − 12x + 16y, x 2 + y 2 ≤ 25.
165. z = x 2 − xy + y 2 , |x| + |y| ≤ 1.
166. z = x − 2y − 1, x ≤ 0, y ≥ 0, y − x ≤ 1.
167. z = x 2 + 4xy + y 2 , |x| + |y| ≤ 4.
168. z = xy, x 2 + y 2 ≤ 2.
169. z = x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 4.
Slovné úlohy.
170. V rovine σ : x + y − 2z = 0 nájdite taký bod, aby súčet štvorcov jeho vzdialeností
od rovín ρ 1 : x + 3z = 6 a ρ 2 : y + 3z = 2 bol čo najmenší.
171. Medzi všetkými kvádrami daného povrchu P vyberte kváder, ktorý má najväčší
objem.
172. Medzi všetkými kvádrami s telesovou uhlopriečkou dĺžky 2 √ 3 vyberte ten, ktorý
má najväčší objem.
51

173. Medzi všetkými rotačnými valcami daného povrchu P = 6π vyberte ten, ktorý
má najväčší objem.
174. Medzi všetkými rotačnými kužeľami daného plášťa S vyberte ten, ktorý má najväčší
objem.
175. Do pologule s daným polomerom R vpíšte kváder s najväčším objemom.
176. Do rotačného kužeľa o polomere podstavy R a výšky h vpíšte kváder s najväčším
objemom.
177. Rozložte kladné číslo a na tri kladné sčítance tak, aby ich súčin bol čo najväčší.
178. V rovine nájdite taký bod, že súčet štvorcov jeho vzdialeností od priamok x = 0,
y = 0 a x + 2y − 16 = 0 je minimálny.
179. Do trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c vpíšte kváder maximálneho objemu
tak, aby jeho hrany boli rovnobežné s osami elipsoidu.
180. Určte rozmery betónovej nádrže tvaru štvorbokého hranolu tak, aby spotreba
betónu bola minimálna pre daný objem V nádrže. Hrúbku stien neuvažujeme.
181. V rovine x + 2y − z + 3 = 0 určte bod, ktorého súčet štvorcov vzdialeností od
bodov [1, 1, 1] a [2, 2, 2] je najmenší.
3.7 Derivácia implicitnej funkcie.
A. Majme rovnicu F (x, y) = 0, ktorej vyhovuje bod A[x 0 , y 0 ]. Ak F (x, y) je v okolí bodu
∂F (A)
A spojitá a má tam spojité parciálne derivácie do 2. rádu, pričom ≠ 0, potom
∂y
rovnicou F (x, y) = 0 je v okolí bodu A určená implicitná funkcia y = f(x). Pre prvú a
druhú deriváciu platí:
y ′ = − F x
′ , (5)
F y
′
y ′′ = − F ′′
xx + 2F ′′
xyy ′ + F ′′
F ′ y
yyy ′2
. (6)
Príklad 14. Nájdime y ′ a y ′′ funkcie y určenej implicitne rovnicou x 2 −2xy−y 2 −16 = 0
a bodom A[4, 0].
Riešenie.
Vypočítajme najprv parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Máme:
F x ′ = 2x − 2y, F y ′ = −2x − 2y,
F xx ′′ = 2, F xy ′′ = −2, F yy ′′ = −2.
Parciálne derivácie sú spojité v celej oblasti F 2 a F ′ y(A) = −8 ≠ 0, teda použijúc (5) a
(6) máme:
y ′′ = −
y ′ = − 2x−2y
−2x−2y = x−y
2−4
x−y
x+y
x+y ,
x−y
−2( x+y) 2
= 2y2 +4xy−2x 2
−2x−2y
(x+y) 3 . □
B. Majme rovnicu F (x 1 , x 2 , ..., x n , y) = 0, ktorej vyhovuje bod A[a 1 , a 2 , ..., a n , a n+1 ]. Ak
F (x 1 , x 2 , ..., x n , y) je v okolí bodu A spojitá spolu so svojími parciálnymi deriváciami 1.
∂F (A)
rádu, pričom ≠ 0, potom rovnicou F (x
∂y
1 , x 2 , ..., x n , y) = 0 je určená v okolí bodu A
implicitná funkcia y = f(x 1 , x 2 , ..., x n ). Pre jej parciálne derivácie platí:
∂f
= − F x ′ i
. (7)
∂x i
52
F ′ y

Príklad 15. Nájdime parciálne derivácie 1. rádu funkcie z určenej implicitne funkciou
4x 2 + 2y 2 − 3z 2 + xy − yz + x − 4 a bodom A[1, 1, 1].
Riešenie.
Vypočítajme najprv parciálne derivácie. Máme:
Použijúc (7) máme:
F ′ x = 8x + y + 1, F ′ y = 4y + x − z, F ′ z = −6z − y.
z ′ x = − 8x+y+1
−6z−y
z ′ y = − 4y+x−z
−6z−y
= 8x+y+1 , 6z+y
= 4y+x−z
6z+y . □
C. Ak máme rovnicu plochy v implicitnom tvare F (x, y, z) = 0, potom dotyková rovina
k tejto ploche v dotykovom bode M[x 0 , y 0 , z 0 ] má rovnicu:
Parametrické rovnice normály sú:
F ′ x(M)(x − x 0 ) + F ′ y(M)(y − y 0 ) + F ′ z(M)(z − z 0 ) = 0. (8)
x = x 0 + F x(M)t,
′
y = y 0 + F y(M)t,
′
z = z 0 + F z(M)t.
′
(9)
Príklad 16. Nájdime rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie danej rovnicou
x 2 − y 2 + z 2 − 6 = 0 v bode A[1, 2, −3].
Riešenie.
Máme F ′ x(A) = (2x) A = 2, F ′ y(A) = (−2y) A = −4, F ′ z(A) = (2z) A = −6.
Použijúc vzťahy (8) a (9) dostaneme rovnicu dotykovej roviny v tvare
a parametrické rovnice normály
Úlohy.
x − 2y − 3z − 6 = 0,
x = 1 + 2t
y = 2 − 4t
z = −3 − 6t. □
V úlohách 182 - 185 vypočítajte y ′ v danom bode A funkcie určenej implicine rovnicou
F (x, y) = 0.
182. x 2 − xy − y 2 − 1 = 0, A[2, 1]. 183. 2 y − 2x 2 + y = 0, A[ √ 3, 2].
184. x sin y − y cos x = 0, A[ 1π, − 1π]. 4 4 185. ln √ x 2 + y 2 − arctg y = 0, A[1, 0].
x
V úlohách 186 - 193 vypočítajte y ′ funkcie určenej implicine rovnicou F (x, y) = 0.
186. xy − ln(e xy + e −xy ) + ln 2 = 0. 187. e x cos y + e y cos x − 1 = 0.
188. xe x − y 2 − xy = 0. 189. x 2 − 2xy − y 2 − 16 = 0.
190. x − ln y − y 2 = 0. 191. x − y + 4 sin y = 0.
192. y 3 − 4xy + x 2 = 0. 193. x y − y x = 0.
V úlohách 194 - 197 vypočítajte z x ′ a z y ′ v bode A funkcie určenej implicine rovnicou
F (x, y, z) = 0.
53

194. 3x 2 − 4y 2 + 2z 2 − xy + xz − y = 0, A[1, 1, 1].
195. cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z − 2 = 0, A[ 1π, 1π, 1π].
3 2 6
196. z 4 − 4xyz − 1 = 0, A[0, 2, 1].
197. xe z − yz − xy 2 = 0, A[2, 1, 0].
V úlohách 198 - 205 vypočítajte z x ′ a z y ′ funkcie určenej implicine rovnicou F (x, y, z) = 0.
198. 4x 2 +2y 2 −3z 2 +xy −yz +x−4 = 0. 199. x cos y + y cos z + z cos x − 1 = 0.
200. e z + x 2 y + z + 5 = 0. 201. x 3 + 2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y + 27 = 0.
202. sin xy + sin yz + sin zx − 1 = 0. 203. z − xy sin xz = 0.
204. z + e z − xy − 1 − 0. 205. arctg x + arctg y + arctg z − 5 = 0.
206. Určte rovnicu dotyčnice a normály v bode T ku grafu funkcie y = f(x) zadanej
implicitne rovnicou F (x, y) = 0.
a) x 5 + y 5 − 2xy = 0, T [1, 1];
b) x 2 − y 2 + 2x − 4y − 6 = 0, T [1, −1];
c) 2x 3 − x 2 y + 3x 2 + 4xy − 5x − 3y + 6 = 0, T [0, 2];
d) x 3 + y 3 − 2xy = 0, T [1, 1];
207. Určte rovnicu dotykovej roviny a normály ku ploche z = f(x, y) v bode T zadanej
implicitne rovnicou F (x, y, z) = 0.
a) x 2 − y 2 + z 2 − 6 = 0, T [1, 2, −3];
b) 4 + √ x 2 + y 2 + z 2 − x − y − z = 0, T [2, 3, 6];
c) x 2 + y 2 + z 2 − 49 = 0, T [2, −6, ?];
d) (z 2 − x 2 )xyz − y 5 − 5 = 0, T [1, 1, 2];
e) z − y − ln x = 0, T [1, 1, 1];
z
f) x 3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0, T [−1, ?, 1];
g) e z − z + xy − 3 = 0, T [2, 1, ?];
h) 8 − 2 x z − 2 y z = 0, T [2, ?, 1].
3.8 Základy vektorovej analýzy.
A. Vektorová funkcia skalára. Nech M je množina reálnych čísel. Funkciu f, ktorá
každému číslu t z množiny M priraďuje vektor f(t) nazývame vektorovou funkciou jednej
reálnej premennej alebo vektorovou funkciou skalára. Množina M sa nazýva oborom
definície funkcie f a f(t) hodnotou vektorovej funkcie skalára f v čísle t.
Ak v priestore zvolíme pravouhlý súradnicový systém, potom pre vektorovú funkciu f
platí:
f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,
čiže
f(t) : x = x(t),
y = y(t),
z = z(t),
kde i, j, k sú jednotkové vektory. Funkciu x(t) nazývame prvou zložkou, funkciu y(t)
druhou zložkou a funkciu z(t) treťou zložkou vektorovej funkcie skalára f.
Pri zvolenom pravouhlom súradnicovom systéme f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k má funkcia
f v čísle t 0 deriváciu práve vtedy, keď majú v čísle t 0 deriváciu funkcie x(t), y(t) a z(t) a
platí:
f ′ (t 0 ) = x ′ (t 0 )i + y ′ (t 0 )j + z ′ (t 0 )k. (10)
Príklad 17. Napíšme rovnice dotyčnice a normálovej roviny ku krivke f(t) : x = t 4 ,
y = t − 3t 2 , z = t − 1 v bode T [1, −2, 0].
54

Riešenie.
Najprv si určíme čislo t 0 prislúchajúce bodu T . Keďže bod T leží na krivke f(t), musí
platiť:
f(t) : 1 = t 4 ,
−2 = t − 3t 2 ,
0 = t − 1.
Riešením týchto rovníc je číslo t 0
skalárnej funkcie v čísle t 0 = 1.
= 1. Na základe vzťahu (10) vypočítame deriváciu
f ′ (1) = x ′ (1)i + y ′ (1)j + z ′ (1)k = (4t 3 ) 1 i + (1 − 6t) 1 j + 1k = 4i − 5j + 1k.
Tento vektor (4, −5, 1) je smerovým vektorom dotyčnice a normálovým vektorom normálovej
roviny. Parametrický tvar dotyčnice je
Normálová rovina ku krivke je
x = 1 + 4t
y = −2 − 5t
z = t.
4(x − 1) − 5(y + 2) + 1(z − 0) = 0,
4x − 5y + z − 14 = 0. □
B. Derivácia v smere. Daná je funkcia viac premenných f(X) = f(x 1 , x 2 , ..., x n ), kde
X[x 1 , x 2 , ..., x n ], bod A[a 1 , a 2 , ..., a n ] a jednotkový vektor l = (l 1 , l 2 , ..., l n ). Deriváciou
funkcie f(X) v bode A v smere vektora l nazývame limitu
f(A + tl) − f(A)
lim
t→0 + t
a označujeme ju df(A)
dl
.
Ak je f diferencovateľná funkcia dvoch premenných f(x, y) v bode A a vektor l zviera v
pravouhlom súradnicovom systéme v rovine s osou o x uhol α, l = (cos α, sin α), potom
df(A)
dl
= f ′ x(A) cos α + f ′ y(A) sin α. (11)
Ak je f diferencovateľná funkcia troch premenných f(x, y, z) v bode A a pre vektor l v
pravouhlom súradnicovom systéme v priestore platí l = (cos α, cos β, cos γ), potom
df(A)
dl
= f ′ x(A) cos α + f ′ y(A) cos β + f ′ z(A) cos γ. (12)
Príklad 18. Vypočítajme deriváciu funkcie f(x, y, z) = xy 2 +z 3 −xyz v bode A[1, 1, 2]
v smere vektora l, ktorý so súradnicovými osami zviera uhly α = π 3 , β = π 4 , γ = π 3 .
Riešenie.
Vypočítajme parciálne derivácie funkcie f v bode A. Máme
f ′ x(A) = (y 2 − yz) A = −1, f ′ y(A) = (2xy − xz) A = 0, f ′ z(A) = (3z 2 − xy) A = 11.
Použijúc vzťah (12) je
55

df(A)
dl
= −1 cos π 3 + 0 cos π 4 + 11 cos π 3 = 5. □
C. Gradient. Ak je na množine bodov priestoru M definovaná reálna funkcia f(X),
hovoríme o skalárnom poli. Ak je na množine bodov priestoru M definovaná funkcia
f(X), hovoríme o vektorovom poli.
Nech je f(x) diferencovateľná funkcia v bode A priestoru. Gradientom funkcie f(X) v
bode A nazývame vektor grad f(A), pre ktorý platí:
grad f(A) = f ′ x(A)i + f ′ y(A)j + f ′ z(A)k. (13)
Nech je funkcia diferencovateľná na množine M. Gradientom funkcie f(X) alebo gradientom
skalárneho poľa f(X) nazývame vektorovú funkciu definovanú na množine M, pre
ktorú platí:
grad f(X) = f ′ x(X)i + f ′ y(X)j + f ′ z(X)k, (14)
v každom bode X ∈ M. Nech je funkcia f(X) diferencovateľná v bode A priestoru
(roviny). Potom pre deriváciu funkcie f(X) v bode A v smere určenom jednotkovým
vektorom l platí:
df(A)
= grad f(A).l, (15)
dl
df(A)
dl
je priemet vektora grad f(A) do smeru vektora l.
Príklad 19. Nájdime gradient funkcie f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 v bode A[2, −2, 1].
Riešenie.
Vypočítajme parciálne derivácie f v bode A. Máme
f ′ x(A) = (2x) A = 4, f ′ y(A) = (2y) A = −4, f ′ z(A) = (2z) A = 2.
Použijúc vzťah (13) dostaneme
grad f(A) = 4i − 4j + 2k.
□
Príklad 20. Vypočítajme deriváciu funkcie f(x, y, z) = 3x 3 −4y 3 +2z 4 v bode A[2, 2, 1],
v smere vektora l, ak vektor l = AB, kde B[5, 4, 6].
Riešenie.
Z parciálnych derivácií funkcie f v bode A
určíme gradient
f ′ x(A) = (9x 2 ) A = 36, f ′ y(A) = (−12y 2 ) A = −48, f ′ z(A) = (8z 3 ) A = 8.
Zistíme súradnice vektora l a jeho dľžku
Použijúc vzťah (15) dostaneme
grad f(A) = 36i − 48j + 8k.
l = AB = B − A = (3, 2, 5), |l| = √ 9 + 4 + 25 = √ 38.
df(A)
dl
= (36i − 48j + 8k) (3i+2j+5k) √
38
= (36.3 − 48.2 + 8.5) 1 √
38
= 52 √
38
.
□
56

D. Divergencia a rotácia. Majme pri zvolenom pravotočivom pravouhlom súradnicovom
systéme vektorovú funkciu troch premenných
f(X) = f 1 (X)i + f 2 (X)j + f 3 (X)k,
pričom funkcie f 1 (X), f 2 (X), f 3 (X), X[x, y, z] majú parciálne derivácie na nejakej množine
M priestoru E 3 .
Divergenciou vektorovej funkcie f(X) nazývame vektorovú funkciu
div f = ∂f 1
∂x + ∂f 2
∂y + ∂f 3
∂z . (16)
Rotáciou vektorovej funkcie f(X) nazývame vektorovú funkciu
( ∂f3
rot f =
∂y − ∂f ) (
2 ∂f1
i +
∂z ∂z − ∂f )
3
j +
∂x
čo môžeme symbolicky v tvare determinantu napísať
∣ i j k ∣∣∣∣∣
rot f =
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
.
∣ f 1 f 2 f 3
( ∂f2
∂x − ∂f 1
∂y
)
k, (17)
Príklad 21. Nájdime divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie f(X) = 5x 2 yi + (x 2 − z 2 )j
+(2x − z 2 )k.
Riešenie.
div f = (5x 2 y) ′ x + (x 2 − z 2 ) ′ y + (2x − z 2 ) ′ z = 10x + 0 − 2z.
rot f = ( (2x − z 2 ) ′ y − (x 2 − z 2 ) ′ z)
i + ((5x 2 y) ′ z − (2x − z 2 ) ′ x) j + ( (x 2 − z 2 ) ′ x − (5x 2 y) ′ y)
k =
= 2zi − 2j + (2x − 5x 2 )k. □
Úlohy.
V úlohách 208 - 219 napíšte rovnice dotyčnice a normálovej roviny ku krivke.
208. x = at, y = 1 2 at2 , z = 1 3 at3 , T [6a, 18a, 72a].
209. x = t, y = t 2 , z = t 3 , t 0 = −1.
210. x = sin 2t, y = 1 − cos 2t, z = √ 2 cos t, t 0 = π 4 .
211. x = t − sin t, y = 1 − cos t, z = 4 sin t 2 , T [ π 2 − 1, 1, 2√ 2].
212. x = √ 2 cos t, y = √ 2 sin t, z = 4t, t 0 = π 4 .
213. x = t 2 , y = 1 − t, z = t 3 , T [1, 0, 1].
214. x = 3 tg t, y = √ 2 cos t, z = √ 2 sin t, t 0 = π 4 .
215. x = t 3 − t 2 − 5, y = 3t 2 + 1, z = 2t 3 − 16, t 0 = 2.
216. x = z, y = z 2 , T [−1, 1, −1].
217. x 2 + y 2 + z 2 = 50, x 2 + y 2 = z 2 , T [3, −4, −5].
218. y 2 + z 2 = 25, x 2 + y 2 = 10, T [1, 3, 4].
219. x 2 + y 2 + z 2 = 3, x 2 + y 2 = 2, T [1, 1, 1].
220. Na krivke x = t 3 , y = t 2 − 2t, z = 2t + t 2 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica
rovnobežná s rovinou 2x − 3y − 3z − 5 = 0.
221. Na krivke x = 2t 2 , y = 3t − t 3 , z = 3t + t 3 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica
rovnobežná s rovinou 3x + y − z + 7 = 0.
57

222. Nájdite dotykovú rovinu ku grafu funkcie x 2 + 2y 2 + z 2 = 1, ktorá je rovnobežná
s rovinou x − y + 2z = 0.
223. Ku ploche x 2 − y 2 − 3z = 0 nájdite dotykovú rovinu, ktorá prechádza bodom
A[0, 0, −1] a je rovnobežná s priamkou x = y = z .
2 1 2
224. Nájdite dotykovú rovinu ku grafu funkcie 3x 2 + 2y 2 + z 2 − 21 = 0, ktorá je
rovnobežná s rovinou 6x + 4y + z = 0.
225. Ku ploche z = xy nájdite dotykovú rovinu, ktorá je kolmá na priamku x+2
y+2
= z−1.
1 −1
2
=
V úlohách 226 - 231 vypočítajte deriváciu v smere vektora I danej funkcie v danom
bode.
226. f(x, y) = 3x 4 − x 2 y 3 + y 2 , A[1, −1] a vektor I zviera so súradnicovými osami uhly
α = π, β = π 6 3
227. f(x, y) = 3x 2 − 6xy 4 + 11y 5 , A[1, 1] a vektor I je určený vektorom B − A, kde
B[4, 5].
228. f(x, y) = 5x 2 − 6xy + 10y 3 − 7, A[0, 1] a vektor I = −i.
229. f(x, y, z) = xy 2 + z 3 − xyz, A[1, 1, 2] a vektor I zviera so súradnicovými osami
uhly α = π, β = π, γ = π.
3 4 3
230. f(x, y, z) = 5x 2 −2y 2 , A[2, 5, 0], B[−2, 2, 0] a vektor I je určený vektorom B −A.
231. f(x, y, z) = 3x 3 − 4y 3 + 2z 4 , A[2, 2, 1] a vektor I je určený vektorom B − A, kde
B[5, 4, 6].
V úlohách 232 - 237 nájdite gradient danej funkcie.
232. z = x 2 − 6xy + y 2 − 10x − 2y + 9. 233. z = x 2 − 2xy + y 2 + 4x − 8y − 7.
234. z = √ x 2 + y 2 . 235. u = xyze x+y+z .
236. u = arctg (x 2 + 3y 2 + z 3 ). 237. u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 − xz + yz − xy.
V úlohách 238 - 245 nájdite gradient danej funkcie v danom bode.
238. z = 2 , A[2, −1].
x 2 +3y 2
239. z = arctg x , A[1, 0].
x+y
240. u = x sin z − y cos z, A[2, 1, 0].
241. z = √ 4 + x 2 + y 2 , A[1, 2].
242. u = x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz, A[2, 1, −1].
x
243. u = , A[1, 2, 2].
x 2 +y 2 +z 2
244. z = x 2 − 2xy + 3y 2 + 4x − 2y + 5, A = [7, 4].
245. u = x 2 + 3y 2 + 4z 2 + xy − 2yz + 5xz, A[1, 0, 1].
246. Nájdite uhol medzi gradientami funkcie z = ln √ x 2 + y 2 v bodoch M[1, 1] a
N[1, −1].
247. Nájdite uhol gradientov funkcií u = x 3 + y 3 + z 3 a v = x 2 − y 2 + z 2 v bode
M[1, −1, 1].
248. Nájdite v rovine body, v ktorých sa gradient funkcie z = ln (x − 1 ) rovná i + j.
y
249. Nájdite uhol medzi gradientami funkcií u = x 2 + y 2 − z 2 a v = arcsin x v bode
x+y
A[1, 1, √ 7].
250. Nájdite v rovine body, v ktorých sa gradient funkcie u = ln 1+xy
x
rovná − 16 9 i + j.
V úlohách 251 - 254 nájdite divergenciu danej vektorovej funkcie.
251. u = x 2 i − xyj + xyzk. 252. u = xy 2 z 3 (2i + 3j − k).
1
253. u = (yi + zj + xk) √x . 2 +y 2 +z
254. u = xyzi+(2x+3y+z)j+(x 2 +z 2 )k.
2
V úlohách 255 - 258 nájdite divergenciu vektorovej funkcie v danom bode.
255. u = xyi + (x 2 − z 2 )j + y
(x+z)
k, A[1, 0, 2].
256. u = x y i + y z j + z x k, A[1, 1, 1]. 58

257. u = e xyz i + sin x sin y sin zj + ln (x + y + z)k, A[0, 2, −1].
258. u = (2x 2 y−3xz 3 +5x 3 yz)i+(4y 3 x+xyz+8z 2 )j+(6z 3 xy 2 −7z 2 x+9zy)k, A[1, 1, 1].
V úlohách 259 - 262 nájdite rotáciu danej vektorovej funkcie.
259. u = x 2 i + y 2 j + z 3 k.
260. u = xy 2 z 3 (2i + 3j − k).
261.
1
u = (yi + zj + xk) √x .
2 +y 2 +z 2
262. u = (2x − 3y + 5z)i + (x 2 + 4y 2 − 8z 2 )j + (3x 3 − y 3 + 2z 3 )k.
V úlohách 263 - 266 nájdite rotáciu vektorovej funkcie v danom bode.
263. u = xyi + (x 2 − z 2 )j + y k, A[1, 0, 2].
(x+z)
264. u = xi + y j + z k, A[1, 1, 1].
y z x
265. u = e xyz i + sin x sin y sin zj + ln (x + y + z)k, A[0, 2, −1].
266. u = y 2 z 2 i + x 2 z 2 j + x 2 y 2 k, A[1, 2, 3].
59

4 Diferenciálne rovnice.
4.1 Základné pojmy.
Obyčajnou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu nazývame rovnicu tvaru
F (x, y, y ′ , y ′′ , ..., y (n) ) = 0, (18)
kde y = y(x) je neznáma funkcia.
Riešením danej diferenciálnej rovnice nazývame každú funkciu y = ϕ(x), pre ktorú platí
F (x, ϕ(x), ϕ ′ (x), ϕ ′′ (x), ..., ϕ (n) (x)) = 0.
Graf tejto funkcie sa nazýva integrálnou krivkou danej diferenciálnej rovnice.
Integrál
φ(x, y, c 1 , ..., c n ) = 0
vyššie uvažovanej diferenciálnej rovnice, ktorý obsahuje n ľubovoľných konštánt sa nazýva
všeobecným integrálom, alebo všeobecným riešením danej diferenciálnej rovnice. Ak za
uvedené konštanty dosadíme konkrétne čísla, dostaneme partikulárne riešenie.
Nech pre riešenie y = ϕ(x) vyššie uvažovanej diferenciálnej rovnice v čísle x 0 platia
nasledujúce podmienky
y(x 0 ) = b 0 , y ′ (x 0 ) = b 1 , ... , y (n−1) (x 0 ) = b n−1 ,
pričom b 0 , b 1 , ..., b n−1 sú ľubovoľné konštanty. Potom tieto podmienky nazývame Cauchyovskými
počiatočnými podmienkami.
4.2 Diferenciálne rovnice so separovanými a separovateľnými
premennými.
Diferenciálna rovnica tvaru
sa nazýva rovnicou so separovanými premennými.
Diferenciálna rovnica tvaru
ϕ(y)dy = ψ(x)dx (19)
ϕ 1 (x)ψ 1 (y)dx = ϕ 2 (x)ψ 2 (y)dy (20)
sa nazýva rovnicou so separovateľnými premennými. Ak túto rovnicu delíme súčinom
ϕ 2 (x)ψ 1 (y) dostaneme rovnicu so separovanými premennými. Jej všeobecný integrál má
tvar
∫ ∫
ϕ1 (x)
ϕ 2 (x) dx − ψ2 (y)
dy = C.
ψ 1 (y)
Príklad 1.
Riešme diferenciálnu rovnicu
(1 + e x )yy ′ = e x .
Riešenie.
Keďže y ′ = dy , rovnicu zapíšeme v tvare (1 + dx ex )y dy = dx
ex . Ak ju teraz vynásobíme
výrazom
dx , dostaneme rovnicu ydy = ex dx. Integrovaním poslednej rovnice získame
1+e x 1+e x
všeobecné riešenie
60

y 2
2 − ln(1 + ex ) = C. □
Príklad 2. Nájdime partikulárne riešenie rovnice y ′ cos 2 x = y ln y, ktoré spĺňa počiatočnú
podmienku y( π) = e. 4
Riešenie.
Rovnicu môžme zapísať v tvare dy
dx cos2 x = y ln y, odkiaľ separáciou premenných dostaneme
. Integrujúc poslednú rovnosť, máme všeobecné riešenie
dy
y ln y =
dx
cos 2 x
ln | ln y| = tg x + C.
Keďže y = e pre x = π , po dosadení do všeobecného riešenia dostávame, že C = −1.
4
Hľadané riešenie má teda tvar
ln | ln y| − tg x + 1 = 0.
□
Úlohy.
V úlohách 1 - 18 riešte diferenciálne rovnice metódou separácie premenných.
1. 2y ′√ x = y. 2. y ′√ 1 − x 2 − y 2 − 1 = 0.
3. x + xy + y ′ (y + xy) = 0. 4. e y (1 + x 2 )dy − 2x(1 + e y )dx = 0.
5. e x sin 3 y + (1 + e 2x ) cos yy ′ = 0. 6. x √ 1 + y 2 + yy ′√ 1 + x 2 = 0.
7. y ′ = 1−2x .
y 2 8. xy ′ = (1 + y 2 ) arctg y.
1
9. √x + √ y′
y
= 0. 10. x 2 (y + 1) + (x 3 − 1)(y − 1)y ′ = 0.
11. cos √ xdx − √ xdy = 0. 12. (y + 4)dx + (x − 5)dy = 0.
13. y ′ = 10 x+y . 14. xyy ′ = 1 − x 2 .
15. y − y 2 + xy ′ = 0. 16. 1 + y 2 + xyy ′ = 0.
17. 2y − x 3 y ′ = 0. 18. y ′ − xy 2 − y 2 − xy − y = 0.
V úlohách 19 - 28 nájdite riešenie diferenciálnej rovnice, ktorá spĺňa počiatočnú podmienku.
x
19. 1+y 1+x 20. 1+y 2
− y ′ = 0, y(0) = 1.
1+x 2
21. y ln y + xy ′ = 0, y(1) = 1. 22. y ′ sin x = y ln y, y( π) = 1. 2
23. 2y ′√ x = y, y(4) = 1. 24. sin y cos xy ′ = cos y sin x, y(0) = π.
4
25. (1 + e x )yy ′ = e x , y(0) = 1. 26. y ′ sin x − y cos x = 0, y( π) = 1. 2
27. y ′√ 1 − x 2 = xy, y(0) = 1. 1
28. e 2y+1 4 2
4.3 Homogénne diferenciálne rovnice.
Funkcia f(x, y) sa nazýva homogénna funkcia n-tého stupňa vzhľadom na premenné x a
y, ak pre ľubovoľné t platí rovnosť
f(tx, ty) = t n f(x, y).
Diferenciálna rovnica y ′ = f(x, y) sa nazýva homogénna, ak f(x, y) je homogénna funkcia
0-tého stupňa. Homogénna diferenciálna rovnica sa vždy dá napísať v tvare
( y
y ′ = ϕ . (21)
x)
61

Substitúciou z = y sa táto rovnica dá previesť na rovnicu so separovateľnými premennými,
nakoľko y = zx, y ′ = z ′ x + z, z ′ = dz . A teda po dosadení do (21) dostaneme
x
dx
dz
x + z = ϕ(z), odkiaľ
dx
dz
ϕ(z) − z = dx x .
Príklad 3.
Riešme homogénnu diferenciálnu rovnicu
(x 2 + y 2 )y ′ = 2xy.
Riešenie.
Položme y = xz, potom y ′ = z ′ x + z. Po dosadení do danej diferenciálnej rovnice dostaneme
(x 2 + x 2 z 2 )(z ′ x + z) = 2x 2 z, čo je x 2 (1 + z 2 )(xz ′ + z) = 2x 2 z čiže
x(1 + z 2 )z ′ + z 3 − z = 0.
To je už separovateľná diferenciálna rovnica prvého rádu. Jej riešením dostaneme
∫ 1+z 2
dz = ∫ 1
dx.
z 3 −z x
Po integrovaní racionálnej lomenej funkcie na ľavej strane poslednej rovice metódou rozkladu
na súčet parciálnych zlomkov máme
ln ∣ z2 −1
∣ − ln |x| = ln C 2 ,
z
kde C 2 = e C 1
. Z toho po jednoduchých úpravách máme x|z 2 − 1| = C 2 |z| alebo
xz 2 − x = C,
kde C ≠ 0. Po spätnom dosadení pôvodnej substitúcie y = xz dostávame hľadané všeobecné
riešenie v tvare
y 2 − x 2 = Cy.
□
Úlohy.
V úlohách 29 - 43 riešte homogénne diferenciálne rovnice.
29. xy ′ = y + x cos 2 y . x 30. y2 + y ′ (x 2 − xy) = 0. 31. xy ′ − y = xe y x .
32. xy ′ = y ln y . x 33. y ′ = y2
− 2. 34. x 2 + y 2 = 2xyy ′ .
x 2
35. xy ′ cos y = y cos y − x.
x x
36. xy ′ − y = √ x 2 + y 2 . 37. y ′ = 2x+y . 38. x x3 y ′ = y(y 2 + x 2 ).
39. y ′ = x−y . x−2y 40. y′ = 2xy . 41. y ′ − y = tg y .
x 2 −y 2 x x
42. y ′ = x + y . y x 43. (x + y)y ′ − y = 0.
V úlohách 44 - 49 nájdite riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú
podmienku.
44. y ′ = xy , y(0) = 1.
x 2 +y 2 45. y + √ x 2 + y 2 − xy ′ = 0, y(1) = 0.
46. x + 2y − xy ′ = 0, y(2) = 2. 47. (xy ′ − y) arctg y = x, y(1) = 0.
x
48. (y 2 − x 2 )y ′ + xy = 0, y(1) = 1.
49. x 2 + 2xy − y 2 = (x 2 − 2xy − y 2 )y ′ , y(2) = 2.
62

4.4 Lineárne diferenciálne rovnice (LDR) 1. rádu.
Lineárnou diferenciálnou rovnicou 1. rádu s pravou stranou nazývame rovnicu
y ′ + p(x)y = q(x), (22)
kde p(x) a q(x) sú spojité funkcie premennej x. Ak q(x) = 0 potom túto rovnicu nazývame
rovnicou bez pravej strany. Lineárnu diferenciálnu rovnicu môžme riešiť niekoľkými
spôsobmi.
A. Dá sa dokázať, že všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice má tvar
[∫
]
y = q(x)e R p(x)dx dx + C e − R p(x)dx .
B. Metóda variácie konštanty. Pôvodnú úlohu vyriešime najprv bez pravej strany
metódou separácie premenných. Potom výsledné riešenie vieme stále zapísať v tvare
ce − R p(x)dx .
Predpokladajme teraz, že c = c(x) a hľadajme riešenie pôvodnej úlohy s pravou stranou
v tvare
c(x)e − R p(x)dx ,
pričom neznámu funkciu c(x) určíme dosadením riešenia y bez pravej strany, ako aj jeho
derivácie y ′ do pôvodnej rovnice s pravou stranou.
Príklad 4.
Riešme rovnicu
y ′ + 2xy = 2xe −x2 .
Riešenie.
Rovnicu vyriešime metódou variácie konštanty. Riešme najprv rovnicu bez pravej strany
y ′ + 2xy = 0,
teda dy
y
= −2xdx, odkiaľ ln |y| = −x2 + ln c, alebo tiež
y = ce −x2 ,
čo je všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany. Ak predpokladáme, že c = c(x), potom
y ′ = c ′ (x)e −x2 − c(x)2xe −x2 .
Po dosadení do pôvodnej rovnice za y a y ′ máme c ′ (x)e −x2 = 2xe −x2 , odkiaľ c(x) = x 2 +C 1 .
Dosadením za c do všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany dostávame všeobecné
riešenie rovnice s pravou stranou v tvare
y = (x 2 + C 1 )e −x2 .
□
63

Úlohy.
V úlohách 50 - 67 riešte lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu.
50. y ′ + 2y = e −x . 51. y ′ − 3 x y = x.
52. y ′ + 2y = e−x2 53. xy ′ + y = ln x + 1.
x x
54. y ′ − 2 x+1 1)3 . 55. y ′ − y = x. x
56. y ′ cos x − y sin x = sin 2x. 57. y ′ cos x + y sin x = 1.
58. y ′ + 2y = e 2x . 59. xy ′ + y = x 3 .
60. xy ′ − 2y = x 3 cos x. 61. (1 + x 2 )y ′ + y = arctg x.
62. tg xy ′ − y = 2. 63. y ′ − 2x x 2 +1 x2 + 1.
64. y ′ − y tg x = 2 cos 2 x. 65. y ′ + x x 2 √ sin x +1 x 2 +1
66. y ′ + 1 x+1 67. y′ x ln x − 2y = ln x.
V úlohách 68 - 73 nájdite riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu, ktoré spĺňa
počiatočnú podmienku.
68. y ′ + 3y = x, y( 1) = 1. 3 69. xy′ + y = 3x 2 , y(1) = 1.
70. y ′ + 3y = 2 , y(1) = 1. 71. y ′ − y x + 1, y(0) = 0.
x x 3 2(x+1)
72. y ′ + y cotg x = sin x, y( π) = 1. 73. 2 y′ − y = x + 1, y(0) = 0.
1−x 2
4.5 Bernoulliho diferenciálne rovnice.
Bernoulliho rovnica je rovnica tvaru
y ′ + p(x)y = q(x)y α . (23)
Ak je α = 0, alebo α = 1, potom je to lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu.
Túto rovnicu môžme riešiť tak, že pomocou substitúcie z = y 1−α , z ′ = (1 − α)y −α y ′ ju
prevedieme na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Ak α > 0, potom y = 0 je
jedno z riešení.
Príklad 5.
Riešme rovnicu
y ′ + 2 x y = x4 y 2 .
Riešenie.
Je to Bernoulliho diferenciálna rovnica, v ktorej α = 2. (Keďže 2 > 0, jedno riešenie je
y = 0.) Ak rovnicu vynásobíme členom y −2 , dostaneme
y −2 y ′ + 2 x y−1 = x 4 .
Položme z = y −1 , z ′ = −y −2 y ′ a dosaďme do pôvodnej rovnice. Dostaneme
−z ′ + 2 x z = x4 .
Je to lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorej riešenie
z = − x5
3 + Cx2
nájdeme metódou variácie konštanty. Dosadením spätne za z dostávame hľadané riešenie
pôvodnej Bernoulliho diferenciálnej rovnice v tvare
y =
1
− x5
3
+Cx2
, y = 0. □
64

Úlohy.
V úlohách 74 - 85 riešte Bernoulliho diferenciálne rovnice.
74. y ′ + 2xy = 2xy 2 . 75. y ′ + xy = xy 3 .
76. y ′ + y = x y2 ln x. 77. y ′ + y = x √ y.
78. 2y ′ + y = x. 79. y 2y′ ln x + y = cos x.
x y
80. y ′ + 2y = 2 sin x √
x x y. 81. y ′ 2 sin x + y cos x = y 3 sin 2 x.
82. y ′ + y = 1(x − 2 2 1)y3 . 83. y ′ − 4y = x+1 .
3 3y 2
84. y ′ − y = 1 . x 2y 85. xy ′ + y = y 2 ln x.
V úlohách 86 - 89 nájdite riešenie Bernoulliho diferenciálnej rovnice, ktorá spĺňa počiatočnú
podmienku.
86. y ′ + y = 2y 2 , y(0) = 2. 87. 2y ′ + x y = x , y(0) = 1.
1−x 2 y
88. y ′ + y = x y2 , y(1) = 1. 89. y ′ + 2y tg x = √ y cos 2 x, y( π) = 0. 4
4.6 Exaktná diferenciálna rovnica.
Rovnicu tvaru
nazývame exaktnou diferenciálnou rovnicou, ak platí
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (24)
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
. (25)
∂x
Riešenie rovnice (24) má tvar u(x, y) = C, pričom funkcia u(x, y) vyhovuje podmienkam
∂u(x, y)
∂x
= M(x, y),
∂u(x, y)
∂y
= N(x, y).
Príklad 6.
Riešme rovnicu
(3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 0.
Riešenie.
∂M(x,y)
= ∂(3x2 +6xy 2 )
∂y
∂y
= 12y,
∂N(x,y)
= ∂(6x2 y+4y 3 )
∂x ∂x
= 12y.
Keďže podmienka (25) je splnená, ide o exaktnú diferenciálnu rovnicu. Je teda
odkiaľ
∂u(x,y)
∂x
= 3x 2 + 6xy 2 ,
u(x, y) = ∫ (3x 2 + 6xy 2 )dx = x 3 + 3x 2 y 2 + ϕ(y),
= 6x 2 y + ϕ ′ (y).
∂u(x,y)
∂y
Súčasne musí platiť podmienka (25) ∂u(x,y)
∂y
= 6x 2 y + 4y 3 , teda 6x 2 y + ϕ ′ (y) = 6x 2 y + 4y 3 .
Z posledného vzťahu máme, že ϕ(y) = y 4 . Hľadaným riešením danej rovnice je
x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 = C.
□
65

Úlohy.
90. (3x 2 − 2x − y)dx + (2y − x + 3y 2 )dy = 0.
91. (6xy + x 2 + 3)dy + (3y 2 + 2xy + 2x)dx = 0.
92. (1 + y2
)dx − 2 y dy = 0. 93. x 2 x x(2x2 + y 2 )dx + y(x 2 + 2y 2 )dy = 0.
94. (2x + x2 +y 2
+y 2
dy = 0. 95. (1 + e x x
x 2 y xy 2 y )dx + e
y (1 −
x)dy = 0.
y
x
y
96. dy − ( − 1)dx = 0.
x 2 +y 2 x 2 +y 97. e x (x 2 + y 2 + 2x)dx + 2ye x dy = 0.
2
98. x(x + 2y)dx + (x 2 − y 2 )dy = 0. 99. e y dx + (xe y − 2y)dy = 0.
4.7 LDR II. a vyššieho rádu s konštantnými koeficientami.
A. Rovnicu
y (n) + a 1 y (n−1) + ... + a n−1 y ′ + a n y = 0, (26)
kde a i , i = 1, 2, ..., n sú reálne čísla, nazývame lineárnou diferenciálnou rovnicou s konštantnými
koeficientami bez pravej strany. Odpovedajúcu algebraickú rovnicu
r n + a 1 r n−1 + a 2 r n−2 + ... + a n−1 r + a n = 0 (27)
nazývame charakteristickou rovnicou diferenciálnej rovnice (26). Všeobecné riešenie rovnice
(26) má tvar
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + ... + c n y n ,
kde y 1 , y 2 , ..., y n sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (26) a c 1 , c 2 , ..., c n ľubovoľné konštanty.
Ak r 1 je k-násobný reálny koreň rovnice (27), potom funkcie e r 1x , xe r 1x , x 2 e r 1x , ..., x k−1 e r 1x
sú lineárne nezávislými riešeniami rovnice (26).
Ak α + βi je k-násobným komplexným koreňom rovnice (27), potom funkcie
e αx cos βx, xe αx cos βx, x 2 e αx cos βx, ..., x k−1 e αx cos βx,
e αx sin βx, xe αx sin βx, x 2 e αx sin βx, ..., x k−1 e αx sin βx,
sú lineárne nezávislými riešeniami diferenciálnej rovnice (26).
Príklad 7.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′′ − 2y ′′ − 3y ′ = 0.
Riešenie.
Odpovedajúca charakteristická rovnica je
r 3 − 2r 2 − 3r = 0.
Jej korene sú r 1 = 0, r 2 = −1, r 3 = 3. Pretože sú to reálne rôzne korene, t.j. násobnosti
1, rovnica má tri lineárne nezávislé riešenia: e 0x , e −x a e 3x . Všeobecné riešenie má teda
tvar
y = c 1 + c 2 e −x + c 3 e 3x .
□
66

Príklad 8.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′′ + 2y ′′ + 3y ′ = 0.
Riešenie.
Charakteristická rovnica má tvar
r 3 + 2r 2 + r = 0.
Jej korene sú r 1 = 0 a r 2 = r 3 = −1. Potom funkcie 1, e −x a xe −x sú lineárne nezávislé
riešenia danej rovnice a teda jej všeobecné riešenie má tvar
y = c 1 + c 2 e −x + c 3 xe −x .
□
Príklad 9.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′ + 2y ′ + 5y = 0.
Riešenie.
Charakteristická rovnica má tvar
r 2 + 2r + 5 = 0.
Jej korene sú r 1 = −1 + 2i a r 2 = −1 − 2i. Funkcie e −x cos 2x a e −x sin 2x sú lineárne
nezávislé riešenia danej rovnice a jej všeobecné riešenie má tvar
y = c 1 e −x cos 2x + c 2 e −x sin 2x.
□
B. Metóda špeciálnej pravej strany.
Rovnicu
y (n) + a 1 y (n−1) + ... + a n−1 y ′ + a n y = f(x), (28)
nazývame lineárnou diferenciálnou rovnicou s konštantnými koeficientami s pravou stranou.
Jej všeobecné riešenie môžme dostať ako súčet všeobecného riešenia rovnice (26) a
jej partikulárneho riešenia v prípade, ak
1. f(x) = P m (x)e αx , kde P m (x) je polynóm stupňa m a α reálne číslo, potom partikulárne
riešenie rovnice (28) nájdeme v tvare
y = (b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ... + b m x m )e αx x k ,
kde k je násobnosť koreňa α odpovedajúcej charakteristickej rovnice (ak α nie je
koreňom charakteristickej rovnice, potom k = 0). Reálne čísla b 0 , b 1 , ..., b m určíme
metódou neurčitých koeficientov.
2. f(x) = e αx (A cos βx + B sin βx), potom partikulárne riešenie rovnice (28) nájdeme
v tvare
y = e αx (M cos βx + N sin βx)x k ,
kde k je násobnosť koreňa α+βi odpovedajúcej charakteristickej rovnice. Konštanty
M a N určíme opäť metódou neurčitých koeficientov.
67

Príklad 10.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′ + y ′ = 4x 2 e x .
Riešenie.
Charakteristická rovnica r 2 + r = 0 má korene r 1 = 0, r 2 = −1 a teda všeobecné
riešenie rovnice bez pravej strany má tvar Y = c 1 + c 2 e −x . Pretože α = 1 nie je koreňom
charakteristickej rovnice, partikulárne riešenie rovnice s pravou stranou budeme hľadať v
tvare
Potom
y ∗ = (Ax 2 + Bx + C)e x .
y ∗′ = (2Ax + B)e x + (Ax 2 + Bx + C)e x ,
y ∗′′ = 2(2Ax + B)e x + 2Ae x + (Ax 2 + Bx + C)e x .
Po dosadení do pôvodnej rovnice dostaneme
2Ax 2 + (6A + 2B)x + 2A + 3B + 2C = 4x 2 .
Ak porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách premennej x, máme
2A = 4,
6A + 2B = 0,
2A + 3B + 2C = 0,
odkiaľ A = 2, B = −6, C = 7. Partikulárne riešenie má teda tvar
a všeobecné riešenie pôvodnej úlohy je
y ∗ = (2x 2 − 6x + 7)e x
y = c 1 + c 2 e −x + (2x 2 − 6x + 7)e x .
□
Príklad 11.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′ + 10y ′ + 25y = 4e −5x .
Riešenie.
Charakteristická rovnica r 2 + 10r + 25 = 0 má dvojnásobný koreň r 1 = r 2 = −5 a
teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany má tvar Y = c 1 e −5x + c 2 xe −5x . Keďže
α = −5 je koreňom charakteristickej rovnice násobnosti k = 2, partikulárne riešenie
rovnice s pravou stranou budeme hľadať v tvare
Potom
y ∗ = Ae −5x x 2 .
y ∗′ = 2Axe −5x − 5Ax 2 e −5x ,
y ∗′′ = 2Ae −5x − 20Axe −5x + 25Ax 2 e −5x .
68

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostaneme
2Ae −5x = 4e −5x ,
odkiaľ A = 2. Partikulárne riešenie má teda tvar
y ∗ = 2x 2 e −5x
a všeobecné riešenie pôvodnej úlohy je
y = c 1 e −5x + c 2 xe −5x + 2x 2 e −5x .
□
Príklad 12.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′ − 6y ′ + 9y = 25e x sin x.
Riešenie.
Charakteristická rovnica r 2 − 6r + 9 = 0 má dvojnásobný koreň r 1 = r 2 = 3 a teda
všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany má tvar Y = c 1 e 3x +c 2 xe 3x . Pretože α+βi =
1 + i nie je koreňom charakteristickej rovnice, partikulárne riešenie rovnice s pravou
stranou budeme hľadať v tvare
Potom
y ∗ = e x (M cos x + N sin x).
y ∗′ = e x (M cos x + N sin x) + e x (−M sin x + N cos x),
y ∗′′ = e x (M cos x + N sin x) + 2e x (−M sin x + N cos x) + e x (−M cos x − N sin x).
Po dosadení do pôvodnej rovnice dostaneme
(3M − 4N) cos x + (4M + 3N) sin x = 25 sin x.
Ak porovnáme koeficienty pri cos x a sin x, dostaneme
3M − 4N = 0,
4M + 3N = 25,
odkiaľ M = 4, N = 3. Všeobecné riešenie pôvodnej úlohy je
y = c 1 e 3x + c 2 xe 3x + e x (4 cos x + 3 sin x).
□
Príklad 13.
Riešme diferenciálnu rovnicu
y ′′ + y ′ = 5x + 2e x .
Riešenie.
Charakteristická rovnica r 2 + r = 0 má korene r 1 = 0, r 2 = −1 a teda všeobecné riešenie
rovnice bez pravej strany má tvar Y = c 1 + c 2 e −x . Partikulárne riešenie rovnice s pravou
stranou dostaneme na základe princípu superpozície ako súčet partikulárnych riešení
rovníc
69

y ′′ + y ′ = 5x,
y ′′ + y ′ = 2e x .
Partikulárne riešenie prvej rovnice hľadáme v tvare y ∗ 1 = (Ax+B)x a partikulárne riešenie
druhej rovnice v tvare y ∗ 2 = Ce x . Po derivovaní a dosadení určíme konštanty 2A = 5 2 ,
B = −5, C = 1. Všeobecné riešenie pôvodnej úlohy je
y = c 1 + c 2 e −x + 5 2 x2 − 5x + e x .
C. Lagrangeova metóda variácie konštánt.
Vo všeobecnosti možno diferenciálnu rovnicu (28) riešiť tzv. Lagrangeovou metódou variácie
konštánt. Ak poznáme n lineárne nezávislých riešení y 1 , y 2 , ..., y n rovnice (26), potom
všeobecné riešenie rovnice (28) má tvar
y = c 1 (x)y 1 + c 2 (x)y 2 + ... + c n (x)y n ,
kde funkcie c 1 (x), c 2 (x), ..., c n (x) určíme riešením systému rovníc
c ′ 1(x)y 1 + c ′ 2(x)y 2 + ... + c ′ n(x)y n = 0,
c ′ 1(x)y 1 ′ + c ′ 2(x)y 2 ′ + ... + c ′ n(x)y n ′ = 0,
c ′ 1(x)y 1 ′′ + c ′ 2(x)y 2 ′′ + ... + c ′ n(x)y n ′′ = 0,
.
.
c ′ 1(x)y (n−1)
1 + c ′ 2(x)y (n−1)
2 + ... + c ′ n(x)y n (n−1) = f(x).
Determinant matice ľavej strany tejto sústavy nazývame Wronského determinantom funkcií
alebo tiež Wronskiánom W (x) týchto funkcií. Platí, že funkcie f 1 , f 2 , ..., f k sú lineárne
závislé na 〈a, b〉, ak W (f 1 , f 2 , ..., f k ) = 0 pre každé x ∈ 〈a, b〉. Ak W (f 1 , f 2 , ..., f k ) ≠ 0
aspoň v jednom bode x ∈ 〈a, b〉, sú funkcie lineárne nezávislé. Z toho vyplýva, že danú sústavu
rovníc môžme riešiť aj Cramerovým pravidlom. Potom dostávame hľadané riešenie
v nasledovnom tvare
y = y 1
∫
W1 (x)
W (x) dx + y 2
□
∫ ∫
W2 (x)
W (x) dx + ... + y Wn (x)
n
W (x) dx,
kde W (x), W 1 (x), W 2 (x),...,W n (x) sú príslušné determinanty potrebné pre výpočet danej
sústavy rovníc Cramerovým pravidlom.
Príklad 14.
Nájdime všeobecné riešenie rovnice
y ′′ + y = 1
cos x .
Riešenie.
Charakteristická rovnica r 2 + 1 = 0 má korene r 1 = i, r 2 = −i, preto všeobecné riešenie
danej rovnice bez pravej strany je
y = c 1 cos x + c 2 sin x.
Ak predpokladáme, že c 1 = c 1 (x) a c 2 = c 2 (x), t.j. že použijeme pre ďalší výpočet metódu
variácie konštánt, potom systém rovníc (29) pre túto konkrétnu úlohu bude mať tvar
c ′ 1(x) cos x + c ′ 2(x) sin x = 0,
−c ′ 1(x) sin x + c ′ 2(x) cos x = 1
cos x ,
odkiaľ c ′ 1(x) = − tg x a c ′ 2(x) = 1. Integrovaním máme c 1 (x) = ln | cos x| + C 3 a c 2 (x) =
x + C 4 . Hľadané všeobecné riešenie danej rovnice je teda
y = (ln | cos x| + C 3 ) cos x + (c 2 (x) = x + C 4 ) sin x.
70
□
(29)

Úlohy.
V úlohách 100 - 119 riešte diferenciálne rovnice bez pravej strany.
100. y ′′ − 5y ′ = 0. 101. y ′′ − 9y = 0. 102. y ′′ + 3y ′ − 4y = 0.
103. y ′′ + 6y ′ + 9y = 0. 104. y ′′ − 4y ′ + 13y = 0. 105. y ′′ + 16y = 0.
106. y ′′ + 2y ′ + 5y = 0. 107. y ′′ − 6y ′ + 8y = 0. 108. y ′′ + 25y = 0.
109. 4y ′′ − 20y ′ + 25y = 0. 110. 2y ′′ + 11y ′ − 6y = 0. 111. 9y ′′ + 18y ′ + 13y = 0.
112. y ′′ + y = 0. 113. y ′′′ − y ′ = 0. 114. y ′′′ − y ′′ = 0.
115. y ′′′ −3y ′′ +3y ′ −y = 0. 116. y ′′′ − 3y ′ − 2y = 0. 117. y ′′′ − 4y ′ = 0.
118. y ′′′ + 8y = 0. 119. y ′′′′ + 4y = 0.
V úlohách 120 - 145 riešte lineárne diferenciálne rovnice so špeciálnou pravou stranou
metódou neurčitých koeficientov.
120. y ′′ + 3y ′ = e x . 121. y ′′ −8y ′ +16y = xe 2x . 122. y ′′ − 2y ′ + 3y = x + 1.
123. y ′′ + y = 4xe x . 124. y ′′ − 4y = 10e 3x . 125. y ′′ − 3y ′ + 2y = e x .
126. y ′′ + 4y ′ + 4y = e −2x . 127. y ′′ + y = 2 sin x − cos x.
V úlohách 128 - 133 riešte rovnicu y ′′ − 7y ′ + 10y = f(x), ak f(x) sa rovná:
128. 40. 129. 20x 2 − 28x + 14. 130. −12e 3x .
131. −e 2x (6x + 7). 132. (9x 2 + 6x − 3)e 5x . 133. 8e 2x sin x.
V úlohách 134 - 136 riešte rovnicu 3y ′′ − 4y ′ = f(x), ak f(x) sa rovná:
134. −32x 3 + 84x + 50. 135. 4e 4x 3 . 136. 25 sin x.
V úlohách 137 - 139 riešte rovnicu 9y ′′ − 6y ′ + y = f(x), ak f(x) sa rovná:
137. 4e − x 3 . 138. sin x. 3 139. 9x 2 − 6x + 1.
V úlohách 140 - 142 riešte rovnicu y ′′ + 4y = f(x), ak f(x) sa rovná:
140. cos 2x. 141. cos 3x. 142. e −2x .
V úlohách 143 - 145 riešte rovnicu y ′′ − 4y ′ + 5y = f(x), ak f(x) sa rovná:
143. e 2x . 144. sin x. 145. e 2x sin x.
V úlohách 146 - 151 riešte diferenciálne rovnice:
146. y ′′ − y ′ − 2y = 4x − 2e x . 147. y ′′ − 3y ′ = 18x − 10 cos x.
148. y ′′ − 2y ′ + y = 2 + e x sin x. 149. y ′′ + 2y ′ + 2y = (5x + 4)e x + e −x .
150. y ′′ − 4y ′ + 5y = 1 + 8 cos x + e 2x . 151. y ′′ + 5y ′ + 6y = e −x + e −2x .
V úlohách 152 - 157 nájdite riešenie diferenciálnej rovnice, ktorá vyhovuje daným počiatočným
podmienkam.
152. y ′′ − 6y ′ + 9y = 9x 2 − 12x + 2, y(0) = 1, y ′ (0) = 3.
153. y ′′ + y = 2 cos x, y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
154. 4y ′′ + y = 0, y(π) = 2, y ′ (π) = 3.
155. y ′′ − y ′ = −5e −x (sin x + cos x), y(0) = −4, y ′ (0) = 5.
156. y ′′′ − y ′ = −2x, y(0) = 0, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 2.
157. y ′′ − 4y ′ + 3y = e 2x , y(0) = 0, y ′ (0) = 0.
V úlohách 158 - 165 riešte lineárne diferenciálne rovnice so špeciálnou pravou stranou
metódou variácie konštánt.
158. y ′′ − 6y ′ + 9y = 9x2 +6x+2. 159. y ′′ − 2y ′ + y = ex .
x 3 x
160. y ′′ + y = 1 sin x y′′ + 4y = 1 sin 2x
162. y ′′ + y = − cotg 2 x. 163. y ′′ + y = 1 cos 3 x
164. y ′′ + y = 2 sin 3 x 165. y′′ + y = tg x.
71

4.8 Systém diferenciálnych rovníc.
Systém diferenciálnych rovníc
y 1 ′ = f 1 (t, y 1 , y 2 , ..., y n ),
y 2 ′ = f 2 (t, y 1 , y 2 , ..., y n ),
.
y n ′ = f n (t, y 1 , y 2 , ..., y n ),
(30)
nazývame systémom diferenciálnych rovníc v normálnom tvare. Číslo n nazývame jeho
rádom. Riešením rozumieme každú n-ticu diferencovateľných funkcií (y 1 (t), y 2 (t), ..., y n (t))
takých, že po dosadení do daného systému diferenciálnych rovníc dostaneme n rovností.
Daný systém môžme riešiť napr. vylučovacou metódou, ktorá spočíva v tom, že daný
systém prevedieme na diferenciálnu rovnicu n-tého rádu napríklad pre premennú y 1 . Táto
rovnica bude mať tvar
y (n)
1 = φ(t, y 1 , y 1, ′ ..., y (n−1)
1 ).
Jej riešením je funkcia y 1 = ϕ 1 (t, c 1 , c 2 ..., c n ). Ďalej postupne vypočítame ostatné neznáme
funkcie y 2 , y 3 , ..., y n . Celkovým riešením pôvodnej úlohy je n-tica funkcií
y 1 = ϕ 1 (t, c 1 , c 2 , ..., c n ),
y 2 = ϕ 2 (t, c 1 , c 2 , ..., c n ),
.
y n = ϕ n (t, c 1 , c 2 , ..., c n ).
Príklad 15.
Nájdime partikulárne riešenie systému rovníc
x ′ = 3x + 8y,
y ′ = −x − 3y,
ktoré spĺňa počiatočné podmienky x(0) = 6, y(0) = −2.
Riešenie.
Nájdeme najprv všeobecné riešenie daného systému diferenciálnych rovníc. Z prvej rovnice
daného systému máme
Derivujme ju podľa t
y = 1 8 x′ − 3 8 x.
y ′ = 1 8 x′′ − 3 8 x′
a dosaďme za y a y ′ do druhej rovnice daného systému. Po dosadení a po úprave máme
lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientami x ′′ − x = 0.
Jej všeobecné riešenie je x = c 1 e t + c 2 e −t . Využijúc vyjadrenie pre y máme y = − 1 4 c 1e t −
1
2 c 2e −t . Keďže hľadáme riešenie spĺňajúce podmienky x(0) = 6, y(0) = −2, máme
6 = c 1 + c 2
−2 = − 1 4 c 1 − 1 2 c 2,
odkiaľ c 1 = 4 a c 2 = 2. Hľadané partikulárne riešenie daného systému je teda
x = 4e t + 2e −t ,
y = −e t − e −t . □
72

Úlohy.
V úlohách 166 - 177 riešte dané systémy eliminačnou metódou.
166. x ′ = 2x + y,
167. x ′ = x − 3y,
y ′ = 3x + 4y.
y ′ = 3x + y.
168. x ′ = −x + y,
y ′ = 3x + y.
170. x ′ = y + t,
y ′ = x − t.
172. x ′ = −2x − y + sin t,
y ′ = 4x + 2y + cos t.
174. x ′ = −5x + 2y + 40e t ,
y ′ = x − 6y + 9e −t .
176. x ′ = −5x + 2y + e t ,
y ′ = x − 6y + e −2t .
169. x ′ = 4x − y,
y ′ = x + 2y.
171. x ′ = −x + y + e t ,
y ′ = x − y + e t .
173. x ′ = 4x − y − 5t + 1,
y ′ = x + 2y + t − 1.
175. x ′ = y − cos t,
y ′ = −x + sin t.
177. x ′ = y,
y ′ = x + e t + e −t .
4.9 Slovné úlohy.
178. Nájdite krivku, ktorá prechádza bodom A[2, 3] a má vlastnosť, že úsek jej ľubovoľnej
dotyčnice vymedzený súradnicovými osami delí dotykovým bodom na polovice.
179. Nájdite krivku prechádzajúcu bodom A[2, 0], ktorá má tú vlastnosť, že úsek
dotyčnice medzi dotykovým bodom a osou O y má v každom bode dĺžku 2.
180. Hmotný bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho kinetická energia v čase t je
priamo úmerná priemernej rýchlosti v intervale od 0 po t. V čase t = 0 je dráha s = 0.
Ukážte, že pohyb je rovnomerný.
181. Za akú dobu sa teleso zohriate na 100 ◦ C ochladí na 25 ◦ C v izbe s teplotou 20 ◦ C,
ak na 60 ◦ C sa ochladí za 10 minút. Podľa Newtonovho zákona je rýchlosť ochladzovania
úmerná rozdielu teplôt.
182. Nájdite všetky krivky, pre ktoré platí, že úsek dotyčnice medzi dotykovým bodom
a osou o x sa delí priesečníkom s osou o y na polovice.
183. V nádrži je 100 l vodného roztoku obsahujúceho 10 kg soli. Voda vteká do nádrže
rýchlosťou 3 l za 1 minútu, pričom rovnaká hodnota koncentrácie sa udržuje pomocou
premiešavania. Koľko soli bude v nádrži po uplynutí 1 hodiny?
184. Teleso s hmotnosťou 1 g sa začalo v čase t = 0 pohybovať pôsobením sily, ktorá
je priamo úmerná času a nepriamo úmerná rýchlosti telesa. V čase t = 10 s bola rýchlosť
v = 0, 5ms −1 a sila F = 4.10 −5 N. Aká bude rýchlosť telesa po uplynutí jednej minúty?
185. Nájdite krivky, ktorých dotyčnica v každom bode má vzdialenosť od začiatku
rovnajúcu sa x-ovej súradnici bodu dotyku.
186. Nájdite krivky, ktorých ľubovoľná dotyčnica vytína na osi o y úsek rovnajúci sa
x-ovej súradnici bodu dotyku.
187. Nájdite krivky, ktorých ľubovoľná dotyčnica pretína os o x v bode rovnako vzdialenom
od začiatku a od bodu dotyku.
188. Nájdite krivky, ktorých dotyčnica v ľubovoľnom bode P spolu s osou o y a úsečkou
OP , kde O je počiatok pravouhlého súradnicového systému, vytvára trojuholník s
obsahom a 2 .
189. Nájdite krivky, ktorých dotyčnica v ľubovoľnom bode P 0 = [x 0 , y 0 ] vytína na osi
o y úsek rovnajúci sa y 2 0.
73

190. Nájdite krivku, ktorá prechádza bodom O a stred úsečky určenej ľubovoľným
dotykovým bodom a priesečníkom normály v tomto bode s osou o x leží na parabole
y 2 = ax.
191. Za aký čas klesne rýchlosť člna, ktorý sa pohybuje vlastnou zotrvačnosťou na
1cm/s, ak jeho začiatočná rýchlosť je 1, 5m/s. Odpor vody je úmerný rýchlosti, pričom
za prvé 4 sekundy klesne rýchlosť člna na 1m/s.
192. Hmotný bod X s hmotnosťou m je priťahovaný každým z dvoch bodov S 1 , S 2
silou priamo úmernou jeho vzdialenosti od príslušného bodu. Nájdite rovnicu pohybu
bodu X, ak viete, že v počiatočnom okamihu sa bod X nachádza na úsečke S 1 S 2 vo
vzdialenosti x 0 od jej stredu, pričom jeho rýchlosť je nulová.
193. Drevený valcovitý klátik s kruhovým prierezom S, výškou h a hustotou ρ pláva
na vode. Jeho os je vo zvislej polohe. Nájdite periódu kmitavého pohybu, ktorý nastane,
ak valec trochu ponoríme do vody, a potom pustíme. Odpor prostredia zanedbajte.
194. Teleso s hmotnosťou m sa pohybuje priamočiaro pod účinkom konštantnej sily F 0
- voľným pádom. Súčasne naňho pôsobí sila odporu prostredia úmerná rýchlosti pohybu
s koeficientom úmernosti β. Nájdite rovnicu pohybu x = x(t), ak x(0) = 0 a aj rýchlosť
je v čase t = 0 nulová. Nájdite tiež závislosť rýchlosti od času.
74

5 Riešenia úloh
5.1 Neurčitý integrál
1. x 3 + x 2 + x + 1 3 ln |x| + C 2. 11
6 x6 − 4 x
+ C 3
3. 2 √ x + 2x + 2 3 x√ x + C 4. 2 √ x − 4 4√ x + C
5. ln |x| − 1 1
x
+ C 6. 2
7. e x + 1 x + C 8. a x
ln a + 1
3x 3
2 x4 − 5x 2 + 6 ln |x| + C
+ C
ln 9 + C
− 2x + ( 4 3 )x
+ C
ln 4 3
√
x7 + 3 arctg x + C
9.
10 x
ln 10 + C 10. 4 x
ln 4 + 2 6x
ln 6 + 9x
11. 3 ( 1 3 )x
− 2 ( 4 ln 1 3 )x
+ C
3 ln 4 3
12.
( 3 4 )x
ln 3 4
13.
( 4 5 )x
ln 4 5
− 2x + ( 5 4 )x
ln 5 4
+ C 14. 5 sin x − 2√ 3
7
15. tg x − x + C 16. − cotg x − x + C
17. − cotg x − tg x + C 18. tg x − cotg x + C
1
19.
2 x − 1 2 sin x + C 20. 1
2 x + 1 2 sin x + C
1
21. sin x − cos x + C 22.
2 tg x + 1 2 x + C
23. x − arctg x + C 24. x − 2 arctg x + C
1
25. −x + 5 arctg x + C 26.
3 x3 − x + arctg x + C
1
27.
4 x4 − 2x 2 + arctg x 2 + C 28. x − 1 x
− 2 ln |x| + C
1
29.
2 ln |x2 1
− 3| + C 30.
3 ln |x3 + 1| + C
1
31.
3 ln |3x2 − 15x + 22| + C 32. ln | sin x| − ln | cos x| + C
33. − 1 2 ln |2 cos2 x + 3| + C 34. − 1 6 ln |1 − 3e2x | + C
35. ln | ln x| + C 36. ln
√
| arcsin x| + C
1
37.
10 (x + 2)10 + C
2
38.
3
(x + 3) 3 + C
39. − ln |5 − x| + C 40.
5
6
ln |6x − 1| + C
+ C
41. − 2
x+3 + C 42. − 1
3(2x+3) 3
1
43.
24 (x2 − 4) 12 + C 44. − 1 2
cos 2x + C
45. 3 sin x 3 + C 46. − 1 4
ln | cos(4x − 1)| + C
1
47.
3 arctg 3x + C 48. 1
2
arcsin 2x + C
49. −e −x 1
+ C 50.
2 e2x + C
51. 2 √ e x 1
+ C 52.
3
+ C ex3
1 x3
53.
6
arctg
2 + C 1
54.
2(1−x)
− 2
2 1−x
− ln |1 − x| + C
2
55.
3 tg(x3 1
+ 1) + C 56.
3 sin3 x + C
4√
57. − 4 3 cos3 x + C 58. ln | ln x| + 2
ln x + C
59. arcsin x − √ 1 − x 2 + C 60. tg x − 2
cos x + C
1
61.
2 arcsin2 x + √ 1 − x 2 1
+ C 62.
2 ln 2 cos x + C
63. −e 1 x + C 64. 2e √x + C
1
65.
ln 2 arcsin 2x + C 66. 2 √ tg x − 1 + C
1
67.
2 x2 ln |x| − 1 4 x2 + C 68. xe x − e x + C
69. −xe −x − e −x 1
+ C 70.
ln 3 x.3x − 1
ln 2 3 3x + C
1
71.
2 xe2x − 1 4 e2x 1
+ C
(
72.
2 x2 ln 2 x − 1 2 x2 ln |x| + 1 4 x2 + C
1
73.
2 x 2 + 1 ) arctg x − 1 2 x + C 74. (3x3 + 2x 2 ) ln x − x 3 − x 2 + C
1
75. −x cos x + sin x + C 76.
2 x sin 2x + 1 4
cos 2x + C
77. x tg x + ln | cos x| + C 78. x tg x + ln | cos x| − 1 2 x2 + C
79. xe x + C 80. (3 − x) cos x + sin x + C
81. −e ( −x x 2 + 2x + 2 ) (
+ C 82. − 1 4 2x 2 − 1 ) cos 2x + 1 2x sin 2x + C
83. 2x 2 cos 2 x − (x 2 − 1 2 ) cos 2x + x sin 2x + C 84. (x2 ( − 2) sin x + ) 2x cos x − 2 sin x + C
85. x 2 e x 1
+ C 86.
2 x 2 + 6x + 5 2 sin 2x +
1
2
(x + 3) cos 2x + C
87. (−x 3 + 6x) cos x + (3x 2 1
− 6) sin x + C 88.
4 (x4 − 1) arctg x − 1
12 x3 + 1 4 x + C
89. x ln x − x + C 90. x arctg x − 1 2 ln(1 + x2 ) + C
91. x arcsin x + √ 1 − x 2 + C 92. x arcsin 2 x + 2 √ 1 − x 2 arcsin x − 2x + C
93. x ln 2 x − 2x ln x + 2x + C 94. x ln(x 2 + 1) − 2x + 2 arctg x + C
1
95.
2 (x2 + 3) ln ( x 2 + 3 ) − 1 2 (x2 1
+ 3) + C 96.
2 x cos(ln |x|) + 1 2x sin(ln |x|) + C
( √
1
97. ) 2 x + 1 − x
2
e arcsin x + C 98. e x arctg e x − 1 2 ln(1 + e2x ) + C
1
99.
5 e2x (2 sin x − cos x) + C 100. e ( x sin 2 x − 1 5 sin 2x + 2 5 cos 2x) + C
75

1
101.
13 e3x 1
(3 sin 2x − 2 cos 2x) + C 102.
29 e2x (5 sin 5x + 2 cos 5x) + C
103. x − √ 1 − x 2 arcsin x + C 104. x arctg x − 1 2 arctg2 x − 1 2 ln(1 + x2 ) + C
105. − 1 2 x cotg2 x − 1 2 cotg x − 1 2 x + C 106. − ( 1
x ln 3 x + 3 ln 2 x + 6 ln x + 6 ) + C
107. 2 ln |x + 7| + C 108. − 5 2
ln |3 − 2x| + C
1
109.
2 ln |2x − 1| + C 110. − 8 3
ln |3x + 2| + C
111. − 1
4x−3 + C 112. − 1
16(2x+1)
+ C 2
1 x−1
1 x+5
113.
2
arctg
2
+ C 114.
3
arctg
3
+ C
1 2x+1
1 5x+1
115.
3
arctg
3
+ C 116.
7
arctg
7
+ C
117. ln(x 2 + 6x + 10) − 6 arctg(x + 3) + C 118. − 1 4 ln(x2 − x + 1 2 ) − 1 2
arctg(2x − 1) + C
119. 6 ln(x 2 + x + 6) − √ 12
23
arctg 2x+1 √
23
+ C
3
120.
2 ln(x2 + 2x + 10) − arctg x+1
3
+ C
1
121.
2 ln(x2 + 9) + 2 3 arctg x 3 + C 122. ln(x2 + 4) − 1 2 arctg x 2 + C
123. 5 ln(x 2 − 4x + 5) + 22 arctg(x − 2) + C 124. − 1 2 ln(x2 − 2x + 5) + 1 x−1
2
arctg
2
+ C
4x
125.
x 2 +1 + 4 arctg x + C 126. x−3
3(x 2 +9) + 1 9 arctg x 3 + C
A
127.
x−1 + B
A
x−2
128.
x + B
x−2 + C
x+2
A
129.
x−1 + B
(x−1) 130. A
2 x + B x
+ C
2 x−3
A
131.
x + Bx+C
A
x 2 +1
132.
x−5 + Bx+C
x 2 +25
133.
A
x + B x 2
+ Cx+D
x 2 +4
134.
A
x−1 +
Bx+C
x 2 +2x+5
Ax+B
135.
x 2 +4 + Cx+D
A
136.
x 2 −8x+17
x + Bx+C
x 2 +1
+ Dx+E
(x 2 +1) 2
137. 2 ln |x| + ln |x − 2| + C 138. ln |x − 1| − ln |x + 1| + C
139. 3 ln |x − 2| − 2 ln |x + 3| + C 140. 2 ln |x − 1| + ln |x − 2| + C
141. ln |x| − 2 ln |x + 1| + ln |x + 2| + C 142. 2 ln |x − 2| + 1 2
ln |2x + 1| + C
143. ln |x + 1| − 1 2
ln |2x + 1| + C 144. −7 ln |x − 1| + 4 ln |x − 4| + 3 ln |x + 3| + C
145. 2 ln |x−2|−ln |x−1|+ln |x+1|−2 ln |x+2|+C 146. −3 ln |x| + 2 ln |x − 1| + ln |x + 1| + C
147. x + 3 ln |x − 3| − 3 ln |x − 2| + C 148. x − 5 ln |x| + 2 ln |x + 5| + C
1
149.
2 x2 1
− x + 2 ln |x − 2| − 2 ln |x + 2| + C 150.
2 x2 + 2x − ln |x − 3| + ln |x + 1| + C
151. x 2 + ln |x − 1| + ln |x + 1| + C 152. −x 3 + 3 2 x2 − 9x + ln (x+2)16 + C
153. 5x + ln ∣ (x−1) 1 2 (x−5) 161
6
(x−2) 7 3
x
155.
9
157. 2 ln |x + 1| − 1
∣ x
1
+ C 154.
4
+ ln |x| −
|x−1|
16 ln |(2x − 1)7 (2x + 1) 9 | + C
∣ + C
1
+ ln |x| −
27 ln |(3x − 1)13 (3x + 1) 14 | + C
x
156. 3
3 + x2
2 + 4x + ln ∣ x2 (x−2) 5
(x+2) 3
159. 2 ln |x| + ln |x + 2| + 4
x+2
161. 2 ln |x + 2| − 2 ln |x + 1| − 3
x+2
x+1 + C 158. − 1 2 ln |x| + 7 2 ln |x − 2| + 1 x + C
+ C 160.
6
2 ln |x| − ln |x + 1| +
x+1 + C
4
+ C 162. ln |x + 1| +
√ x+2 + C
(x−1)(x−3)
|x|
+ 1
x−1 + C
163. ln |x| + 2
2x+1 + C 164. ln
165. ln |x| − ln |x − 1| + 3 x 2 − 2 x + C 166. 1
2 ln |x − 1| − 1 2
167. ln |x| − 3
x−2 − 1 x
169. 2 ln |x − 1| − ln |x| + x + 1 x
171.
3
2
ln |
x−2
x+2 | + x + 2 x
173. ln |
x
2x−3 | + 1 2 x2 + 3x − 3
175. 3 ln |x − 1| + ln |x + 1| + 4x − 2
x−1
1
+ C 168. ln |x| − ln |x + 2| −
3x 3
4
+ C 170. 2 ln |x| + x −
x−1 + C
1
ln |x + 1| −
x−1 − 1
+ C
12
+ C 172. −3 ln |x − 1| + x −
x+2 + C
2x−3 + C 174. 3 ln |3x − 1| − 3 ln |x| + x + 1 x + C
3
+ C 176. 2 ln |x − 5| − 2 ln |x| + x −
x−5 + C
4 ln ∣ x+1 ∣
x−1
− 1 2 arctg x + C
1 (x+1)2
179.
6
ln
x 2 −x+1 + √ 1
3
arctg 2x−1 √
1 |x−1|
3
+ C 180.
3
ln √ + √ 1
x 2 +x+1 3
arctg 2x+1 √
3
+ C
177. ln |x| √
x 2 +1 + C 178. 1
1
181.
2 ln x2 −4
x 2 +4
+ C 182. ln
x2
x 2 +9 + C
x+1 + C
183. ln √ x 2 +2x+5
|x−1|
+ 3 arctg x+1
2
+ C 184. 4 ln |x − 1| − 2 ln(x 2 + 4) − 2 arctg x 2 + C
185. ln (x2 −2x+5) 2
|(x−1) 3 |
+ arctg x−1
2
+ C 186.
1
2 ln x2 +1
x 2 +4 + 2 arctg x − arctg x 2 + C
187. − 1 2 arctg x + 3 2 arctg x 3 + C 188. 1
x + 1 2 ln(x2 + 16) + 1 4 arctg x 4 + C
189. x + 1 2 ln(x2 + 2x + 2) − arctg(x + 1) + C 190.
x 3
3 − 3x + 3√ 3 arctg x √
3
+ C
191. x + 1 2 ln x2 −4x+13
x 2
− 1 3
192. x − 5 x + 1 2 ln x 2
x 2 −2x+10
x−2
arctg
3
+ C
x−1
− arctg
3
+ C
193. x − ln |x + 3| + 1 2 ln(x2 − 4x + 5) + 2 arctg(x − 2) + C
194. x + ln |x − 2| − 2 ln |x + 2| − ln(x 2 + 9) + 3 arctg x 3 + C
76

1
195.
2 x2 + x + ln √ |x−1| − arctg x + C
x2 +1
x
196. 2
2 − 2x − 2 x + 2 ln(x2 + 2x + 2) − 2 arctg(x + 1) + C
6
197.
x 2 +1 − 6 ln(x2 x
+ 1) + 12 ln x + C 198.
x 2 +1 + 1 2 ln(x2 + 1) − 2 ln(x + 2) + C
3
199.
x 2 −4x+5 + 3 ln (x−2)2
(x 2 −4x+5) + C x−6
200.
2(x 2 +1) + 1 2 arctg x + C
201. − x+2
x 2 +3x+3 − √ 2
3
arctg 2x+3 √
3
+ C 202. − 1
2(x 2 +2) + x
4(x 2 +2) + 1
4 √ arctg √ x
2 2
+ C
203. ln √ x 2 +1
|x+1|
+ x−1
2x−1
x 2 +1
+ C 204. ln |x − 1| + 2 arctg x +
2(x 2 +1) + C
1
205.
4 ln |x−1|
√ − 1
x2 −2x+3 4(x 2 −2x+3) + C 206. 2
3 ln ∣ ∣ x 3 +1
x −
1 1
3 3x
− 3 3(x 3 +1) + C
207. −x + 4 √ x − 4 ln | √ x + 1| + C 208. 2 √ x + √ 8
x−2
+ C
6
209. 6√ x 7
7
− 6 6√ x 5
5
+ 2 √ x − 6 6√ x + 6 arctg 6√ x + C 210. 3
3
211. 3√ 2
x + 6 12√ x − 6 arctg 12√ x + C 212. 2 ln 12√ x
(
6√
x2 − 2 6√ x + 2 ln ∣ √ 6
x − 1 ∣ ) + C
1+ 12√ x + 1 12 √ x − 1
2 6√ x + C
213. arctg √ √ √
x−4
1 3
2
+ C 214.
15 (3x + 1)5 + 1 3
3 (3x + 1)2 + C
(√
(x+1)
215. 6
3
9
− 3√ (x+1) 4
8
+ 6√ (x+1) 7
7
− x+1
6
+ 6√ (x+1) 5
5
− 6√ )
(x+1) 4
4
+ C
216. − 18 5 t5 − 9t 4 − 24t 3 − 72t 2 − 288t − 576 ln |t − 2| + C, kde t = 6√ x − 1
217. ln ∣ √ 1−x− √ ∣ √
√ √
1+x
1−x
1−x+ 1+x
+ 2 arctg
1+x + C x
218. √ + C
1−x 2
√ √
219. 1 −
1−x
x2 − arctg
1+x + C 220. ln(2x − 1 + 2√ x(x + 1)) + C
221. arcsin x+1 √
2
+ C
222. 3 √ x 2 + 5x − 10 − 13 2 ln ∣ x +
5
2 + √ x 2 + 5x − 10 ∣ + C
√
223. x2 + 2x + 2 ln ∣ √ x + 1 + x2 + 2x ∣ + C
1 3x−2
224.
3
arcsin √
2
+ C
225. ln ∣ ∣x + 1 2 + √ x 2 + x + 1 ∣ + C
1
226.
3 ln |3x − 1 + √ √
9x 2 − 6x + 2| + C = 1 x−1
3
ln |x −
3
+ x 2 − 2 3 x + 2 9 | + C
∣
1
227. √5∣x +
4
5
√x + 2 + 8 5 x − 3 ∣
5 + C 228. √3 1
ln ∣ x −
7
6
√x + 2 − 7 2 x + 5 ∣
3 + C
+ C
229. −2 √ 1 + x − x 2 − 9 arcsin 2x−1 √
5
+ C 230. −8 √ 5 + 2x − x 2 − 3 arcsin x−1 √
6
231. x √ x 2 − 2x + 5 − 5 ln ∣ √ x − 1 + x2 − 2x + 5 ∣ + C
( x−3
( 2
− x2
) √
232. x2 + 2x + 2 + 1 2 ln ∣ ∣x + 1 + √ x 2 + 2x + 2 ∣ )
+ C
√1
233.
3 + 5 6 x − 19 6 − 2x − x2 − 4 arcsin x+1 √
2
+ C
(
)
x
234.
2
√x2
3 + 5 6 x + 1 + 4x + 3 − 3 2 ln ∣ √ x + 2 + x2 + 4x + 3 ∣ + C
1
235.
2 (3 − x)√ 1 − 2x − x 2 + 2 arcsin x+1
2
+ C
√
x+2
236.
2 x2 + 4x + 3 − 1 2 ln ∣ ∣x + 2 + √ x 2 + 4x + 3 ∣ + C
√
x+2
237.
2 x2 + 4x + 13 + 9 2 ln ∣ √ x + 2 + x2 + 4x + 13 ∣ + C
2
238.
3 √ 3x+1
arcsin
3 2
+ ( 1
2 x + √
6) 1 1 − 2x − 3x2 + C
√
x+1
239.
2 3 − 2x − x2 + 2 arcsin x+1
2
+ C
(
240. 4
) √
3 x2 − 6x + 1 3 2 + 3x − x2 + 17 3−2x
2
arcsin √
17
+ C
241. − 1 2 sin x cos x + x 2 + C 242. 1
2 sin x cos x + x 2 + C
243. − 1 3 sin2 x cos x − 2 3 cos x + C 244. 1
3 sin x cos2 x + 2 3 sin x + C
3
245.
8 x − 1 1
4
sin 2x +
32 sin 4x + C 246. 3
8 x + 1 sin 4x
4
sin 2x +
32
+ C
247. − cos x + cos 3 x − 3 5 cos5 x + 1 7 cos7 x + C 248. sin x − 2 3 sin3 x + sin5 x
5
+ C
249. − 1 3 cos3 1
x + C 250.
15 sin3 x(3 cos 2 x + 2) + C
1
251.
15 cos3 x(3 cos 2 1
x − 5) + C 252.
8 sin8 x + C
253. − t3 3 + 2t5
5 − t7 7 + C, kde t = cos x 254. z 5
5 − z7
7
+ C, kde z = sin x
t
255. 8 8 − t6 6 + C, kde t = cos x 256. sin 2x(− 1 8 cos2 x + 1
16 ) + x 8 + C
1
257.
16 x + 1
7
32
sin 2x −
18 sin x cos3 x + 1 6 sin x cos5 x + C
258. − 1 4 − 1 1
1
4
sin 2x −
16
sin 4x +
24 sin3 2x + C
1
1
259.
cos x
+ C 260. cos x +
cos x + C
261. ln | cos x| + 1
2 cos 2 x + C 262. 1
3 cos 3 x − 1
cos x + C
263. − 1
4 sin 4 x + C 264. 1
3 sin3 x − 2 sin x − 1
sin x + C
77

sin x
265.
2 cos 2 x + 1 4 ln ∣ sin x−1∣ sin x+1 + C 266. cos x +
1
2 ln ∣ cos x−1∣ cos x+1
+ C
1
267.
3 cos3 x + cos x + 1 2 ln ∣ cos x−1∣ cos x+1 + C 268. − sin x +
1
2 ln ∣ sin x+1 ∣
sin x−1
+ C
269. tg x − x + C 270. tg x + 1 2 sin x cos x − 3 2 x + C
1 sin x
1
271.
3
arctg
3
+ C 272.
4 ln ∣ sin x+1∣ sin x+5 + C
1
273.
2 ln ∣ cos x+2∣ cos x + C 274.
1
cos x−1 + C
1
275.
2 cos2 1
x − 2 cos x + 3 ln | cos x + 2| + C 276.
2(1−sin x)
+ C 2
sin x
277.
2 cos 2 x + 1 4 ln ∣ sin x+1 ∣ 1
sin x−1
+ C 278.
2 ln ∣ sin x+1 ∣
sin x−1
+ C
279. − 1
sin x + 1 2 ln ∣ sin x+1 ∣
sin x−1
+ C 280. ln | tg x| + C
1
281.
2 arctg ( )
2 tg x 1
2 + C 282.
2−tg
+ C
x
2
283. ln ∣ tg2 x 2 +3 ∣ ( )
tg + √3 4
1
2 x
2 +1 arctg √
3
tg x 2
+ C 284. x tg x 2
(√ )
+ C
2
285. √
65
arctg
+ C 286. x − tg x 2 + C
5
13 tg x 2
1
287.
4 ln (tg2 x + 1) − 1 2 ln (tg x + 1) + x 2 + C 4
288.
1−tg
− x + C
x
2
289. ln (tg x 2 − 5) − ln (tg x 2 − 3) + C 290. arctg (tg x 2 + 1) + C
291. ln | sin x + cos x| + C 292.
1
3
293.
1
6
2 tg x
1
arctg (
3
) + C 294.
3
295.
1
5 ln | tg x − 4| − 1 5 ln | tg x + 1| + C 296. ln
tg x
arctg
3
+ C
arctg(3 tg x) + C
3√ tg x−1
6√ − √ 3 2 tg x+1
tg 2 x tg x+1 3
arctg √
3
+ C
1
297.
5 ln (tg x − 5) − 1 5 ln (tg x) + C 298. 1
3 tg 3 x + C
299. tg x + tg3 x
−1
3
+ C 300.
3 tg 3 x − 1
tg x + C
−1
301.
2 sin arctg
+ C
√ x 1
2
302.
a ln ∣ arctg x
a ∣
2 + C
√
3
303. x2 − 9 + 3 arctg √ + C x2 −9 304. 1
2 x√ x 2 − 4 + 2 ln ∣ ∣x + √ x 2 − 4 ∣ + C
305. − √ 4−x 2
x
− arcsin x 2 + C x
306. √ + C
1−x 2
x
307.
9 √ + C √
9+x 2 308. x 2 −9
9x
+ C
309. ln (t+1)2
|t|
+ C, kde t = e x 1
310.
4 ln ( e 2x + 4 ) − 1 2 x + 1 2 arctg ex 2 + C
311. 2e x + arctg e x + C
1
312.
8
arctg
e4x
2 + C
1
313.
ln a ln ax
a x +1 + C
314. arctg(2t − √ 3) + arctg(2t + √ 3) + C, kde t = e
( x
315. ln 3 x − 3 ln 2 x + 7 ln x − 7 ) x + C 316. ln ∣ 1− √ 1−x 2 ∣
x
− 1 x arcsin x + C
1
317. ln √ + C, kde t = ln x √
1−t 2 318. 1 + x2 · arctg x − ln ∣ √ ∣ x + 1 + x
2 + C
1
319.
arccos x + C 320. 4
√
5√
(1 − x)5 − 3√ 4 √ (1 − x)3 + C
321. − ln ( e −x + √ e −2x − 1 − arcsin e x + C ) √
322. − 3 3
4 (1 + 2 cos x)2
∣
+ C
1 1+x2
323.
6
ln
x
− arctg x
2 3x
− 1
1
3 6x
+ C 324. 2 8 sin 2 x 2
2
325. C − √ 2
2 arctg(√ 2 cotg 2x) 326. − ln ∣ 2+t+2 √ 1+t+t 2
2t
327. − 1
e
+ C
2
328. arcsin x 3 (arctg ex ) 3 + C
√
(ln | arctg x|)
329.
2
2
+ C 330. − 2 3 (arccos x)3 + C
5.2 Určitý integrál
− 1 4 ln ∣ tg
x∣ + C
∣ + C, kde t = e
x
1. 8(1 + √ 2
3 ) 2. 1, 7
e
3. 2 +4e−1
2
4. 6 3√ 2 − 4 4√ 8 − 8 √ 7
2 + 3 5.
4
6. 35 1
15
65
7π
7.
6
8.
12
10.
8
5 ln 5 − 1
10 ln 2 11.
9.
π
3
( 3 4 )4 −( 3 4 )2 −( 4 3 )4 +( 4 3 )2
ln 3−ln 4
− 4 12. 2 − π 4
π
13. 0 14.
12 − 1 98
4
15.
3
16. ln 3 17. −66 6 29
7
18.
270
1
19.
20. − π 2
6
3 21. √ 3π
9
6 23. 2(2 − ln 3) 24. 7 + 2 ln 2
π
22.
1
25.
2 ln2 1
5 26.
28.
1
3
− 32 ln 3
6 (32 − 5√ 10) 27. e − √ e
27
29.
8 (1 − 5
4 3√ ) 30. 2 ln 2 − 3 4 4
31.
2π
3 − √ 3
2
32. −1 − e 2 33.
1
9 (2e3 + 1)
78

4
34. 3 ln 3 − 2 35. π 36.
9 π
37. π 3 1
− 6π 38.
27 (5e3 1
− 2) 39.
5 (eπ − 2)
3
40.
5 (eπ π
− 1) 41.
36 (9 − 4√ 3) + 1 2 ln( 3 4
) 42. diverguje
π
43. diverguje 44.
4 45. diverguje
2
46.
3 ln 2 47. π
1
3 48.
2
π
49. 50. √3 π
4
51. π
√
52. diverguje 53. 2
2
π 54. −1
55. − 1 1
4
56.
ln2
57. diverguje
8
π
58. 59.
3
2 60. diverguje
61. diverguje 62. diverguje 63. diverguje
64. diverguje 65. 6 66. diverguje
67. π 68. diverguje 69. diverguje
70.
π 2
71. 10 72. 36
4
343
16
9
73.
3
74.
3
75.
4
15
76. ln 3 77.
2 − 8 ln 2 78. ln 4 + 1 2
1
79. 2 ln 2 − 1 80. 3 − e 81.
2
82. 2 √ √
2 83. ln 2 84. 2 − 1
π−2
85.
4
86. 2π + 4 3 ; 6π − 4 8
3
87.
3
8
88. 36 89. 72 90.
15
32
91.
4√
15 4 92. πab 93.
2
3 a2
94. 3πa 2 9
95.
2 π 96. π
2
9
97.
8
(4 − π) 98. 6π 99. 18πa2
4
100.
3 π3 a 2 101. 3 √ 37/2 + ln(6 + √ 37)/4 102. 2 + 1
√
2 ln 3
103. 1 + e2 − √ 1+
2 + 1 + ln( √ 2
√ 1+ √ ) 1+e 2
104. 5 +
1
2 ln(2 + √ √ √ √
5) 105. 6 + ln( 3 + 2) 106.
670
27
107. 2 √ 2 + 2 ln(1 + √ 2) 108. 3π 109. ln 3 − 1 2
110. ln 3 111. ln(tg 3π 8 ) 112. ln(e + √ e 2 − 1)
113. 4 114. 2 115. e − 1
1
116.
4 (1 + e2 ) 117. 2 √ 1
3 118.
2 (5√ 5 − 1)
119. 2π 2 a 120. 8a 121. 16a
1
122.
27 (13√ 13 − 8) 123. 6 124. 4 + 2 √ 2 ln(1 + √ 2)
16
125.
5 π 126. 24
5 π 127. 3
10 π
1
128. 9π 129. π(4 − π)
6 π2 1
130.
4
96
131.
5 π 132. ( 2
15 + 34)π 133. π
2
134.
e π(e − 2) 135. 1
12π 136. 8π
1
137.
3 πr2 8
v 138.
140. 36 √ 1
2π 141.
143. π[ √ 5 − √ 2 + ln( √ √
2 + 1) − ln(
15 πv2 4
d 139.
3 πab2
165
8π( 72 (π2 + 12π √ 3 − 72)
128 − ln 2) 142. π(2√ 2 + ln(3 + 2 √ 2))
5
4 + 1 2 )] 144. π(√ 2 − √ e 2 +1
e
+ ln e(1+√ 2)
2 1+ √ ) e 2 +1
145. 4πr 2 14
146.
3 π 147. 56
3 π
148. 3π 149. 4π 2 a 2 150. 3πa 2
64
151.
3 πa2 152. 18π 153. k( 4 5 + π 2 )
2
154.
3 , 1 1
3
155.
2 kh2 d 156. S x = ab 2 − 1 3 a
157. − √ 1
2
− 5 2 ln(1 + √ 2) 158. S x = − 8
15 , S y = 4 3
159. S x = 1 4 , S y = 1
160. S x = 1
24 , S y = 1
60
161. x T = 12 5 , y T = 128
35
162. x T = 9
20 , y T = 9
20
163. x T = π 2 , y T = π 8 164. x T = 4a
3π , y T = 4b
3π
165. Ťažisko leží na osi súmernosti vo vzdialenosti 2 5
h od základne.
166. x T = 14 5 , y T = 25 167. x
8 T = 0, y T = 24+15π 168. x
30π−20 T = π 2 , y T = π 8
169. x T = 1, y T = 2 170. x
5 T = 3, y T = 0 171. x T = 5 7 , y T = 0
K
172.
3 (√ (1 + e) 3 − 2 √ 2) 173. I x = πKab3
4
, I y = πKa3 b
4
174. I x = Kab3
3
, I y = Ka3 b
3
175.
Kzv 3
12
4
176.
15 Khb3 177. I x = 512
105 , I y = 128
5
2 πr3 180. 3
64
1
178.
15
179.
181. π 182. 2 183. 2π
184. π( √ 2 + ln(1 + √ 1
2)) 185.
4π 186. πe
π
π
187.
3
188.
2
79

5.3 Diferenciálny počet funkcie viac premenných
1. polrovina x + y < 0
2. celá rovina okrem priamok y = x, y = −x
3. vnútro prvého a tretieho kvadrantu 4. 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4
5. 4 < x 2 + y 2 + z 2 < 9 6. |x − 1| ≤ |y|, y ≠ 0
7. < −1, 1 > × < −1, 1 > 8. [x, y] : x 2 + y 2 ≠ 25
9. −1 − x ≤ y ≤ 1 − x 10. y ≥ x 2 , y ≤ 1
11. x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ x 2 12. x 2 + y 2 < 4, xy > 0
13. (x − 1 2 )2 + y 2 ≥ 1 4 (x − 1)2 + y 2 < 1
15. celá rovina okrem x = 0 a y = 1
14. R 3
16. celá rovina okrem y = 2x, y = −2x, x < 0
17. x ≥ 0, y > 0 18. x > 0, |y| < x
19. |x| ≤ 1, y ∈ R 20. y > x
21. x < 0, y > 0; x > 0, y > x 22. x < 0, x ≤ y < 0; x > 0, 0 < y ≤ x
23. časť roviny vnútri paraboly y 2 = 4x medzi parabolou a kružnicou x 2 + y 2 = 1 okrem vrcholu
paraboly a bodov kružnice
24. vonkajšok paraboly y 2 = 4(x − 2) 25. y < x 2 , y ≤ 0
26. y < x, y > −x 27. < −1, 1 > 3
28. y ≥ 0, y ≤ 1
1+x 2 29. z′ x = 4x 3 − 8xy 2 , z x ′ = 4y 3 − 8x 2 y
30. z x ′ = 2xy − 4y3
x
, z ′ 5 y = x 2 + 3y2
x 4 31. z x ′ = 1
y
, z ′ 2 y = − 2x
y 3
32. z x ′ = √(x , 2 +y 2 ) z′ xy
3 y = −√
(x 2 +y 2 ) 3 33. z x ′ = −
34. z x ′ = sin(x + y) + x cos(x + y), z y ′ = x cos(x + y)
35. z x ′ = yx y−1 , z y ′ = x y ln x 36. , z 2 y ′ =
2x
x+y 2
z x ′ = 1
x+y
37. z x ′ = − y
x 2 +y
, z ′ 2 y =
39. u ′ x = yu
xz , u′ y = u ln x
z
, u ′ z = − yu
z
ln x 40. z ′ 2 x = 1
x+ln y , z′ 1
y =
41. z x ′ = 12x 3 y − 5y 2 , z y ′ = 3x 4 − 10xy + 2 42. z x ′ = 3√ y − y2
2x √ x , z′ y =
43.
44.
u ′ x = yz
x u, u′ y = zy (z−1) u ln x, u ′ z = y z u ln x ln y
u ′ x = 3x 2 y 2 z − y 2 z 3 , u ′ y = 2x 3 yz − 2xyz 3 , u ′ z = x 3 y 2 − 3xy 2 z 2
y 2
2x sin x2
y
, z y ′ = − cosx2
y 2
x
x 2 +y 2 38. u ′ x = z x ( x y )z , u ′ y = − z y ( x y )z , u ′ z = ( x y )z ln x y
y(x+ln y)
x
3 3√ + 2y
y 2 √ x
45. z x ′ = 20(5x − y) 3 , z y ′ = −4(5x − y) 3 46. z x ′ = y 2 = y x
+ 1
2 √ x
, z y ′ = 2xy − 1 x
47. z x ′ = y2
, z ′ (y−x) 2 y = −
x2
(y−x) 2 48. z x ′ = −ye −xy , z y ′ = −xe −xy
49. z x ′ = √ 2x2 +y 2
x2 +y z′ 2 y = √ xy
x2
50. z ′ +y 2 x = 1−yex
x−ye
, z ′ x y =
−ex
x−ye x
51. u ′ x = 2xe y sin z, u ′ y = x 2 e y sin z, u ′ z = x 2 e y cos z
52. z x ′ = cos x cos y(sin x) cos y−1 , z y ′ = − sin y ln sin x(sin x) cos y
53. u ′ x = yz 2 cos(xyz) + z cos(xz), u ′ y = xz 2 cos(xyz) − cos(yz) + yz sin(yz), u ′ z = sin(xyz) +
xyz cos(xyz) + y 2 sin(yz) + x cos(xz)
54. z x ′ 1
= √ , x 2 +y z′ y
2 y =
x 2 +y 2 +x √ x 2 +y 2
55. z x ′ = ( 1 x + πy cos(πxy))z, z′ y = ( 1 y
+ πx cos(πxy))z
56. z ′ x = e y x (1 − y x ), z′ y = e y x
57. z x ′ = x4 +3x 2 y 2 −2xy 3
, z ′ (x 2 +y 2 ) 2 y = y4 +3x 2 y 2 −2x 3 y
(x 2 +y 2 ) 58. 2 z′ x = y√ x y
2x(1+x y ) , z′ y = ln x√ x y
2(1+x y )
59. z x ′ = 2y
x 2 −y
, z ′ 2 y =
−2x
x 2 −y 60. 2 u′ x =
u ln(y tg z)
x
61. u ′ x = 22y 2 (2xy 2 + z 3 ) 10 , u ′ y = 44xy(2xy 2 + z 3 ) 10 , u ′ z = 33z 2 (2xy 2 + z 3 ) 10
64. df = 2(x − y)dx + 2(y − x)dy 65. df = x
x 2 +y
dx +
2
66. df = −2(ydx − xdy)/y 2 sin 2x y 67. df = e x (y ln ydx + dy)/y
, u ′ y = u ln x
y
, u ′ z = u ln x
cos z sin z
y
x 2 +y 2 dy
68. df = (1+y2 )dx−(1+x 2 )dy
69. df = (3dx − 2dy + 5dz) cos(3x − 2y + 5z)
1+x 2 +y 2 +x 2 y 2
5
70.
32 (dx + 3dy) 71. 1
12√
2(3dx + dy) 72. dx − dy
π
73.
4
dx − dy 74. 3dx + dy − 6dz 75. −3, 6
1
76.
4e 77. −0, 018 78. 0, 01
79. 9, 506 80. 1, 10 81. 0, 555
82. 2, 95 83. 0, 97 84. 0, 502
85. −0, 8cm, −0, 3m 2 86. 70, 37cm 3 87. 3, 77dm 3
88. 0, 36cm 3 ; 0, 4cm 2 80

89. −94, 25cm 3 ; −16, 86cm 2 ; 1, 99cm 2
90. a) 6x − 8y − z − 13 = 0, x−3
6
= y+1
−8
= z−13
−1 ;
b) 17x + 11y + 5z − 60 = 0, x−3
17 = y−4
11 = z+7
5 ;
c) 2x − y + z − 3 = 0, x−1
2
= y−2
−1
= z−3
1 ;
d) x + 6y + 4z − 31 = 0, x−5
1
= y−3
6
= z−2
4 ;
e) 2e 2 x + e 2 y − z − 3e 2 = 0, x−1
2e 2
= y−2
e 2
= z−e2
−1 ;
f) 80x + 17y − 16z − 52 = 0, x− 1 4
80
= y−2
17 = z− 1 8
g) x − πy + z = 0, x−π
−1
h) x + y + z − 3 = 0, x−1
−1
i) 2x − z − 2 = 0, x−1
= y−1
π = z −1 ;
= y−1
−1
= z−1
−1 ;
−16 ;
2
= z −1 , y = 0.
t cos t
92. cos 2t 93.
2 √ + √ sin t
sin t
94. 0 95. 12t 6 ln t−1 ln t
96.
2+e t (2+t ln t)
2t √ 1+e t 97. −e t − e −t
98.
1
1+x 2 , − y
x 2 +y 2 99. e x +3e x3 x 2
100.
1−2(x+1) 2
y,
y 2 +(x+1) 2
e
, x
e x +e x3 e x +e y
y
y 2 +(x+1) 2 101. e y + xe y ϕ ′ (x), e y , kde y = ϕ(x)
2x+2yϕ
102.
′ (x) 2x
x 2 +y
, 103. yx y−1 + x y ln xϕ ′ (x), yx y−1
2 x 2 +y 2
104. z x ′ = 2x + 2
x+y ln(x + y), z′ y = cos y + 2
x+y
ln(x + y)
105. z x ′ = 3x 2 sin y cos y(cos y − sin y), z y ′ = x 3 (sin y + cos y)(1 − 3 sin y cos y)
106. z x ′ = vu v−1 1
x−y + uv ln u 1 y e x y , z
′
y = vu v−1 1
y−x + uv ln u −x
y
e x 2 y
107. z x ′ = 2x
y
ln(3x − 2y) + 3x2
2 y
(3x − 2y), z ′ 2
y = −2x2
2x
y
ln(3x − 2y) − 2
3 y 2 (3x−2y)
108. z x ′ = e x2 +y 2
xy
109. z ′ x = 2(x−2y)(x+3y)
(y+2x) 2
x 4 −y 4 +2x 3 y
x 2 y
, z x ′ = e x2 +y 2
xy y 4 −x 4 +2xy 3
xy 2
, z ′ y = (2x−y)(9x+2y)
(y+2x) 2
110. z x ′ = 2xf u ′ + ye xy f v, ′ z y ′ = −2yf u ′ + xe xy f v, ′ u = x 2 − y 2 , v = e xy
111.
112.
z x ′ = y(1 − 1 x
)f u, ′ z ′ 2 y = (x + 1 x )f u, ′ u = xy + y x
z x ′ = z u ′ + z v, ′ z y ′ = z u ′ − z v, ′ u = x + y, v = x − y
113. z xx ′′ = 0, z xy ′′ = 1 − 1
y
, z ′′ 2 yy = 2x
y 3
114. z xx ′′ = y(y − 1)x y−2 , z xy ′′ = x y−1 (1 + y ln x), z yy ′′ = x y ln 2 x
115. z xx ′′ =
50y2 , z ′′
(1+5x) 3
116. z ′′
xx =
−9y 2
4(3xy+x 2 ) 3 2
xy =
, z ′′
xy =
−10y
(1+5x) 2 , z ′′
yy = 2
9xy
4(3xy+x 2 ) 3 2
1+5x
, z ′′
yy =
−9x 2
4(3xy+x 2 ) 3 2
117. z ss ′′ = 3s(2t−s3 )
, z ′′
(s 3 +t) 2 st =
−3s2 , z ′′
(s 3 +t) 2 tt =
−1
(s 3 +t) 2
118. z xx ′′ = 6x − 36x 2 y, z xy ′′ = −12x 3 , z yy ′′ = 20y 3
119. z ′′
xx = 2
3x 2 y , z′′ xy = 1
3x 2 y 2 , z ′′
yy = 2
3xy 3
120. z ′′
xx = −e 2y sin x, z ′′
xy = 2e 2y cos x, z ′′
yy = 4e 2y sin x
121. z xx ′′ = −cos(x − y), z xy ′′ = 1 + cos(x − y), z yy ′′ = − cos(x − y)
122. z xx ′′ = (2 − y) cos(x + y) − x sin(x + y), z xy ′′ = (1 − y) cos(x + y) − (1 + x) sin(x + y), z ′′
−(2 + x) sin(x + y) − y cos(x + y)
123. z xx ′′ = −2xy
v
, z ′′
2 xy = x2 −y 2
v
, z ′′
2 yy = 2xy
v
, v = x 2 + y 2
2
124. z xx ′′ = y 2 e xy , z xy ′′ = (1 + xy)e xy , z yy ′′ = x 2 e xy
125. z xx ′′ = 2 cos2 y
x
, z ′′
3
126. z xx ′′ = 4y , z yy ′′ =
9x 7 3
xx =
−2 cos 2y
yy =
sin 2y
x 2
x
, z xy ′′ = √−x
,
4 y z′′ 3 xy = 1
2 √ y − 1
3x 3
4
yy =
127. z ′′ , z ′′
(x 2 +y 2 ) 2 xy = y2 −x 2
, z ′′ (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2
129. max = z(−2, 4) = 13 130. min = z(1, 1) = 1 131. min = z(1, 4) = −21
132. max = z(2, −3) = 4 133. max = u( 3 29
4
, 0) =
4
134. max = z(−2, − 3 2 ) = 3 4
135. ∅ 136. ∅ 137. max = z(0, 1) = 0
138. min = z(6, 6) = −1
139. min = z(1, 1) = −82, max = z(−1, −1) = 82
140. min = z(0, 0) = 0, max = z(0, 1) = z(0, −1) = 2 e
141. min = z( 5 2 , 4 5
) = 30 142. ∅ 143. max = z(1, 1) = 3
144. max = z(1, 0) = −1 145. min = z(1, 1) = −7 146. max = z(2, 2) = 8
yy =
81

147. min = z( 1 2 , −1) = − e 2
148. min = z(0, 0) = 0 149. max = z(5, 2) = 30
150. min = z(0, 0) = 0, max = z(− 5 125
3
, 0) =
27
151. min = z(1, 3) = −72, max = z(−1, −3) = 72
152. min = z(−2, 1) = 5 153. max = z( 1 2 , 1 2 ) = 1 4
154. max = z(2 √ 2, 2 √ 2) = √ 2
2 , min = z(−2√ 2, −2 √ 2) = − √ 2
√ √ √ √ 2
155. max = z( 5√ 2 5,
1
5 5) =
1
2 5, min = z(−
2
5 5, −
1
5 5) = −
1
2√
5
156. max = z( 3 2 , 4) = z(− 3 425
2
, −4)
4
, min = z(2, −3) = z(−2, 3) = −50
157. min = z(2, 2) = 4, max = z(−2, −2) = −4
158. max = z(−4, −3) = 59, min = z(4, 3) = −41
159. min = z(2, 2) = −4, max = z(−2, −2) = 20
160. min z = −5, max z = −2
161. min = z(0, 3) = −19, max = z(0, 0) = −1
162. max = z(2, −1) = 13, min = z(0, −1) = z(1, 1) = −1
163. max = z(1, 2) = 4, min = z(2, 4) = −64
164. min z = −75, max z = 125
165. min z = 0, max z = 1
166. max = z(0, 0) = −1, min = z(0, 1) = −3
167. max = z(2, 2) = z(−2, −2) = 24, min = z(2, −2) = z(−2, 2) = −8
168. max = z(1, 1) = z(−1, −1) = 1, min = z(1, −1) = z(−1, 1) = −1
169. max = z(2, 0) = z(−2, 0) = 4, min = z(0, −2) = z(0, 2) = −4
170. (3, −1, 1) 171.
173. 1, 2 174.
√ √
2
176.
3 2R,
2
3 2R,
1
3 h 177. 1
2a
179. √ 2b
3
, √ 2c
3
, √
3
180.
√
P
6
√
S √
3π
,
√
2S
182.
3
4
183.
4 √ 3
1+4 ln 2
172. 2, 2, 2
√
3R,
2
3
√ 2
3π
175.
3
3 a, 1
3 a, 1
3 a 178. 8
5 , 16
5
3√
2V ,
3 √ 2V ,
1
2
3√
2V 181. (
1
2 , − 1 2 , 5 2 )
184.
π+4
π−4
√
3R,
1
3√
3R
185. 1 186. y ′ = − y x
187. y ′ = ey sin x−e x cos y
e y cos x−e x sin y
188. y ′ = ex +xe x −y
189. y ′ = x−y
2y+x x+y
190. y ′ = y
1+2y 2
191. y ′ 1
=
1−4 cos y
192. y ′ = 4y−2x
3y 2 −4x 193. y ′ = y2 1−ln x
x 2 1−ln y
194. − 6 5
, 2 195. −1, 0 196. 2, 0
197. 0, 4 198. z ′ x = 8x+y+1
z sin x−cos y
199. z x ′ =
cos x−y sin z , z′ y =
201. z x ′ = x2 −yz
xy−z
, z ′ 2 y = 6y2 −3xz−2
3(xy−z 2 )
203. z x ′ y sin xz+xyz cos xz
=
1−x 2 y cos xz
, z y ′ x sin xz
=
1−x 2 y cos xz
205. z x ′ = − 1+z2
1+x
, z ′ y = − 1+z2
2 1+y 2
206. a) x + y − 2 = 0, x − y = 0;
b) 2x − y − 3 = 0, x + 2y + 1 = 0;
c) x + y − 2 = 0, x − y = 0;
d) x − y = 0, x + y − 2 = 0.
207. a) x − 2y − 3z − 6 = 0, x−1
1
= y−2
−2 = z+3
−3 ;
b) 5x + 4y + z − 28 = 0, x−2
5
= y−3
4
= z−6
1 ;
c) 2x − 6y + 3z − 49 = 0, x−2
4
= y+6
6z+y
, z′ y = x+4y−z
6z+y
x sin y−cos z
cos x−y sin z 200. z ′ x = − 2xy
e z +1 , z′ y = − x2
−12 = z−3
6
11 ;
−2 ;
1 ;
d) 2x + y + 11z − 25 = 0, x−1
2
= y−1
1
= z−2
e) x + y − 2z = 0, x−1
1
= y−1
1
= z−1
f) 5x + 11y + z − 18 = 0, x+1
5
= y−2
11 = z−1
g) x + 2y − 4 = 0, x−2
1
= y−1
2 , z = 0;
h) x + y − 4z = 0, x−2
1
= y−2
1
= z−1
−4 .
x−6a
208. x + 6y + 36z − 2706a = 0,
1
= y−18a
6
= z−72a
36
x+1
209. x − 2y + 3z + 6 = 0,
1
= y−1
210. 2y − z − 1 = 0,
−2 = z+1
3
y−1
2
= z−1
−1 , x − 1 = 0
211. x + y + √ 2z − π 2 − 4 = 0, x− π 2 +1
1
= y−1
1
= z−2√ 2 √
2
212. x − y − 4z + 4π = 0,
x−1
−1
y cos xy+z cos xz
e z +1
202. z x ′ =
x cos xz+y cos yz , z′ y = −
204. z x ′ = y
e z +1 , z′ y =
x
e z +1
, 2x − 6y − 3z − 49 = 0,
x−2
4
= y+6
−12 = z+3
−6 ;
x cos xy+z cos yz
x cos xz+y cos yz
= y−1
1
= z−π
x−1
213. 2x − y + 3z − 5 = 0,
4 2
= y −1 = z−1
3
82

x−3
214. 6x − y + z − 18 = 0,
6
= y−1
−1
= z−1
x+1
1
215. 2x + 3y + 6z − 37 = 0,
2
= y−13
3
= z 6
x+1
216. x − 2y + z + 4 = 0,
1
= y−1
−2 = z+1
x−3
1
217. 4x + 3y = 0,
4
= y+4
3 , z + 5 = 0
x−1
218. 12x − 4y + 3z − 12 = 0,
12 = y−3
−4
= z−4
x−1
3
219. x − y = 0,
1
= y−1
−1 , z − 1 = 0
220. (0, 0, 0), (8, 0,
√
8) 221. (0, 0, 0), (8, −2, 14)
11
222. x − y + 2z ±
2
= 0 223. 4x − 2y − 3z − 3 = 0
224. 6x + 4y + z ± 21 = 0 225. 2x + y − z − 2 = 0
226. 7 √ 3 − 2, 5 227. 24, 8
228. 6 229. 5
230. −4 231. √52
38
232. (2x − 6y − 10)i + (2y − 6x − 2)j 233. (2x − 2y + 4)i + (2y − 2x − 8)j
1
234. √ (xi + yj) x 2 +y 2 235. e x+y+z [(1 + yz)i + (1 + xz)j + (1 + xy)k]
1
236. (2xi + 6yj + 3z 2 k)
1+(x 2 +3y 2 +z 3 )
237. (2x − y − z)i + (4y − x + z)j + (6z − x + y)k
2
4
238.
49 (−2, 3) 239. (0, − 1 2 )
1
240. (0, −1, 2) 241.
3 i + 2 3 j
7i−4j−4k
81
242. 15i + 9j − 3k 243.
244. 10i + 8j 245. 7i − j + 13k
246. ϕ = π 2
247. ϕ = 0
248. (0, 1), (2, 1)) 249. ϕ = π 2
250. ( 3 4 , − 1 3 ), (− 3 4 , 7 3
) 251. x(1 + y)
252. 2y 2 z 3 + 6xyz 3 − 3xy 2 z 2 253. − 1
(xy + yz + xz)
√(x 2 +y 2 +z 2 3 )
254. z(y + 2) + 3 255. 0
256. 3 257. −1
258. 42 259. 0
260. (−2xyz 3 − 9xy 2 z 2 )i + (6xy 2 z 2 − y 2 z 3 )j + (3y 2 z 3 − 4xyz 3 )k
261.
1
−√(x +y 2 +z 2 ) [(x2 + y 2 + xy)i + (y 2 + z 2 + zy)j + (x 2 + z 2 + xz)k]
3
262. (−3y 2 + 16z)i + (5 − 9x 2 )j + (2x − 3)k
263. − 11 3
i − k 264. i + 2j + k
265. i + j − (sin 2 sin 1)k 266. −2i + 16j − 18k
5.4 Diferenciálne rovnice
1. y = ce √ x 2. arctg y = arcsin x + c 3. e x+y = c|(y + 1)(x + 1)|
4. 1 + e y = c(1 + x 2 ) 5. arctg e x = 1
2 sin 2 y + c √
6. 1 + x2 + √ 1 + y 2 = c
√
7. y 3 = 3x − 3x 2 √
+ c 8. y = tg (cx) 9. x + y = c
10. e √ y 3
x 3 − 1 = c(y + 1) 2 11. y = 2 sin √ x + c 12. (x − 5)(y + 4) = c
13. 10 x + 10 −y = c 14. x 2 + y 2 = ln cx 2 15. y = 1
1−cx
16. x 2 (1 + y 2 ) = c 17. y = ce − 1
x 2 18. ln | y
y+1 | = x2
2 + x + c
19. 2(x 3 − y 3 ) + 3(x 2 − y 2 ) = −5
20. y = 1+x
1−x
21. y = 1, x ≠ 0 22. y = 1
23. y = e √ x−2
24. cos x = √ 2 cos y 25. 2 √ e y2 = √ e(1 + e x )
26. y = sin x 27. y = e −√ 1−x 2 28. y = 2 sin 2 x − 1 2
29. tg y x = ln cx 30. y = ce y x 31. e − y x = − ln cx
32. y = xe 1+cx 33. y − 2x = cx 3 (y + x) 34. y 2 = x(x − c)
35. sin y x + ln |x| = c 36. y + √ x 2 + y 2 = cx 2 37. y = 2x ln |x| + cx
38. x 2 e x2
y 2 = c 39. x 2 − 2xy + 2y 2 = c 40. x 2 + y 2 = cy
41. sin y x = cx 42. y2 = 2x 2 ln |cx| 43. y = ce x y
44. 2y 2 ln y − x 2 = 0 45. y = x2 −1
46. y = x 2 − x
2
47. e y x arctg y x = √ x 2 + y 2 x
48. 2
y
= 1 − 2 ln |y| 49. y = 1 + √ 1 + 2x − x 2
2
50. y = ce −2x + e −x 51. y = cx 3 − x 2 52. y = c−e−x2
2x 2
53. y = ln x + c x 54. y = (x + 1) 2 ( 1 2 x2 + x + c 55. y = cx + x 2
c−cos 2x
56. y = 57. y = c cos x + sin x
2 cos x 58. y = e2x
4 + ce−2x
59. y = x3
4 + c 60. y = x 2 sin x + cx 2
x
61. y = ce − arctg x + arctg x − 1 62. y = c sin x − 2
83

63. y = (x 2 + 1)(c + x) 64. y = 2 3 tg x(3 − sin2 x) + c
3 cos x
65. y = (c − cos x) √ x 2 + 1 66. y = c+sin x
x+1
− cos x
67. y = ln(c ln x − 1) 68. y = e 1−3x + x 3 − 1 9
69. y = x 2 70. y = 2 x
− 1 2 x 3
71. y = (e x − 1) √ x + 1 72. y =
2x−sin 2x+4−π
4 sin x
√
73. y = 1 2 (x(x + 1) − 1+x
1−x arcsin x) 74. y = 1 , y = 0
1+ce x2
75. y 2 (ce x2 + 1) = 1, y = 0 76. xy(ln 2 x + c) = −2, y = 0
77. y = (c √ e −x + x − 2) 2 , y = 0 78. y = ( √ ce −x + x − 1
79. y 2 (c−cos x)2
ln x = c + sin x, y = 0 80. y =
x
, y = 0
2
81. y 2 (c − x) sin x = 1, y = 0 82. y 2 (ce x + x) = 1, y = 0
83. y 3 = ce 4x x 4 − 5
16
84. y 2 = cx 2 − x,
1
85. y =
cx+ln x+1 , y = 0 86. y = 2
4−3e x
87. y = √ 2 √ 1 − x 2 + x 2 1
− 1 88. y =
x(1−ln x)
89. y = 1
16 cos2 x(2 sin x − √ 2) 2 90. x 3 + y 3 − x 2 − xy + y 2 = c
91. 3y 2 x + x 2 + x 2 y + 3y = c 92. x − y2
x
= c
93. x 4 + x 2 y 2 + y 4 = c 94. x 3 y + x 2 − y 2 = cxy
95. x + ye x y = c 96. x + arctg x y = c
97. (x 2 + y 2 )e x = c 98. x 3 + 3x 2 y − y 3 = c
99. xe y − y 2 = c 100. y = c 1 e 5x + c 2
101. y = c 1 e 3x + c 2 e −3x 102. y = c 1 e x + c 2 e −4x
103. y = c 1 e −3x + c 2 xe −3x 104. y = c 1 e 2x cos 3x + c 2 e 2x sin 3x
105. y = c 1 cos 4x + c 2 sin 4x 106. y = c 1 e −x cos 2x + c 2 e −x sin 2x
107. y = c 1 e 2x + c 2 e 4x 108. y = c 1 cos 5x + c 2 sin 5x
109. y = c 1 e 5 2 x + c 2 xe 5 2 x 110. y = c 1 e −6x + c 2 e 1 2 x
111. y = c 1 e −x cos 2 3 x + c 2e x sin 2 3 x 112. y = c 1 cos x + c 2 sin x
113. y = c 1 + c 2 e x + c 3 e −x 114. y = c 1 + c 2 x + c 3 e x
115. y = c 1 e x + c 2 xe x + c 3 x 2 e x 116. y = c 1 e −x + c 2 xe −x + c 3 e 2x
117.
118.
y = c 1 + c 2 e 2x + c 3 e −2x
y = c 1 e −2x + c 2 e x cos( √ 3x) + c 3 e x sin( √ 3x)
119. y = (c 1 cos x + c 2 sin x)e x + (c 3 cos x + c 4 sin x)e −x
120. y = c 1 + c 2 e −3x + 1 4 ex 121. y = c 1 e 4x + c 2 xe 4x + 1 4
(x + 1)e2x
122. y = c 1 e x cos √ 2x + c 2 e x sin √ 2x + x 3 + 5 123. y = c
9 1 cos x + c 2 sin x + (2x − 2)e x
124. y = c 1 e 2x + c 2 e −2x + 2e 3x 125. y = c 1 e 2x + c 2 e x − xe x
126. y = c 1 e −2x + c 2 e −2x + 1 2 x2 e −2x 127. y = c 1 cos x + c 2 sin x − (cos x + 1 2
sin x)x
128. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + 4 129. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + 2x 2 + 1
130. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + 6e 3x 131. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + (x 2 + 3x)e 2x
132. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + (x 3 − x)e 5x 133. y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + (3 cos x − sin x)e 2x
134. y = c 1 + c 2 e 4x 3 + 2x 4 + 6x 3 + 3x 2 − 8x 135. y = c 1 + c 2 e 4x 3 + xe 4x 3
136. y = c 1 + c 2 e 4x 3 + 4 cos x − 3 sin x 137. y = c 1 e x 3 + c 2 xe x 3 + e − x 3
138. y = c 1 e x 3 + c 2 xe x 3 + 1 2 cos x 3 139. y = c 1 e x 3 + c 2 xe x 3 + 9x 2 + 102x + 451
140. y = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 1 4 x sin 2x 141. y = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x − 1 5
cos 3x
142. y = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 1 8 e−2x 143. y = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) + e 2x
144. y = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) + 1 8
(cos x + sin x)
145. y = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) − 1 2 e2x sin 2x
146. y = c 1 e −x + c 2 e 2x − 2x + 1 + e x
147. y = c 1 + c 2 e 3x − 3x 2 − 2x + cos x + 3 sin x
148. y = c 1 e x + c 2 xe x − sin xe x + 2
149. y = (c 1 cos x + c 2 sin x)e −x + xe x + e −x
150. y = (c 1 cos x + c 2 sin x)e 2x + cos x − sin x + e 2x + 1 5
151. y = c 1 e −2x + c 2 e −3x + 1 2 e−x + xe −2x 152. y = x 2 + e 3x
153. y = cos x + x sin x 154. y = 2 sin x 2 − 6 cos x 2
155. y = 2e x + (sin x − 2 cos x)e −x − 4 156. y = 1 2 e−x + 3 2 ex + x 2 − 2
157. y = 1 2 ex − e 2x + 1 2 e3x 158. y = c 1 e 3x + c 2 xe 3x + 1 x
159. y = (x ln |x| + c 1 x + c 2 )e x 160. y = (c 1 + ln | sin x|) sin x + (c 2 − x) cos x
161. y = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 1 4 cos 2x ln | cos 2x| + 1 2
sin 2x
162. y = c 1 cos x + c 2 sin x + cos x ln | tg x 2 | + 2 84

cos 2x
163. y = c 1 cos x + c 2 sin x −
2 cos x
164. y = c 1 cos x + c 2 sin x +
cos 2x
2 sin x
165. y = c 1 cos x + c 2 sin x + 1 2 cos x ln ∣ sin x+1 ∣
sin x−1
166. x = c 1 e t + c 2 e 5t , y = −c 1 e t + 3c 2 e 5t
167. x = e t (c 1 cos 3t + c 2 sin 3t), y = e t (c 1 sin 3t − c 2 cos 3t)
168. x = −c 1 e −2t + 1 3 c 2e 2t , y = c 1 e −2t + c 2 e 2t
169. x = c 1 e 3t + c 2 te 3t , y = c 1 e 3t + c 2 (t − 1)e 3t
170. x = c 1 e t − c 2 e −t + t − 1, y = c 1 e t + c 2 e −t − t + 1
171. x = c 1 + c 2 e −2t + e t , y = c 1 − c 2 e −2t + e t
172. x = c 1 + c 2 t + 2 sin t, y = −2c 1 − c 2 (2t + 1) − 3 sin t − 2 cos t
173. x = c 1 e 3t + c 2 te 3t + t, y = c 1 e 3t + c 2 (t − 1)e 3t − t
174. x = c 1 e −4t + c 2 e −7t + 7e t + e −t , y = 1 2 c 1e −4t − c 2 e −7t + e t + 2e −t
175. x = c 1 cos t + c 2 sin t − t cos t, y = −c 1 sin t + c 2 cos t + t sin t
176. x = c 1 e −4t + c 2 e −7t + 7
10 et + 1 5 e−2t , y = −c 1 e −4t + c 2 e −7t + 1
40 et + 3
10 e−2t
177. x = c 1 e t − c 2 e −t + 1 2 et (t − 1) − 1 2 e−t (t + 1), y = c 1 e t − c 2 e −t + 1 2 t(et + e −t )
√
178. xy = 6 179. 4 − x2 + 2 ln | 2−√ 4−x 2
x
| 181. ≈ 40 min
182. y 2 = cx 183. ≈ 3, 9kg 184. ≈ 2, 7ms −1
185. x 2 + y 2 = cx 186. y = cx − x ln |x| 187. x 2 + y 2 = cy
188. a 2 + cy 2 = xy 189. y = x
c+x 190. y 2 = 4ax + 4a 2 (1 − e x a )
191. ms ′′ = −ks ′ ; s ′ = v = v 0 e− k m t; s = m k v 0(1 − e − k m t); t = m v0
k
ln
v
≈ 50s
192. mx ′′ = k( d 2 − x) − k( d 2 + x); x - výchylka bodu X od stredu úsečky S 1S 2 v smere počiatočnej
√
výchylky x 0 ; d je dĺžka úsečky S 1 S 2 ; rovnica: x+ 2k m x = 0, x(0) = 0, x′ 2k
(0) = 0; riešenie: x = x 0 cos
m t
193. Sρx ′′ = −Sρ v xg, x je výchylka klátika z rovnovážnej polohy smerom nadol a ρ v je hustota vody;
rovnica: x ′′ + ρv ρ gx = 0; riešenie: x = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt, ω =
√
ρvρ
g; perióda T = 2π ω
194. x ′′ + β m x′ = F0
m , x(0) = 0, x′ (0) = 0; x = F0
β (t − m β (1 − e− β m t)); v = F0
β (1 − e− β m t)
85

Literatúra
[1] Demidovič B.P.: Sbornik zadač po upražnenij po matematičeskomu analizu, Moskva 1977.
[2] Charvát J., Hála M., Šibrava Z.: Příklady k Matematice I, ČVUT Praha 2002.
[3] Charvát J., Hála M., Kelar V., Šibrava Z.: Příklady k Matematice II, ČVUT Praha 1999.
[4] Černáková B., Ducsaiová M.: Matematika I (Zbierka úloh), Košice 1991.
[5] Piskorová A., Semančíková B.: Matematika II (Zbierka úloh), Košice 1995.
[6] Čermáková H., Hřebíčková J. Slabeňáková J., Šafářová H.: Sbírka příkladu z Matematiky II, CERM
Brno, 1994.
[7] Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, časť I. (6.vyd.1985), časť II.
(6.vyd.1985), časť III. (3.vyd.1980), Bratislava.
[8] Ivan, J.: Matematika I, Bratislava 1983.
[9] Šoltés V., Juhásová Z.: Zbierka úloh z vyššej matematiky I, Košice 1995.
86

Obsah
1 Neurčitý integrál 4
1.1 Primitívna funkcia, neurčitý integrál, základné vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Integrovanie substitučnou metódou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Integrovanie metódou per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Integrovanie parciálnych zlomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Integrovanie racionálnych funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Integrovanie iracionálnych funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Integrovanie trigonometrických funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Určitý integrál. 26
2.1 Definícia určitého integrálu a jeho vlastnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Integrovanie substitučnou metódou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Integrovanie metódou per partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Nevlastný integrál. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Obsah rovinných útvarov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Dĺžka rovinnej krivky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Objem rotačného telesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Obsah rotačnej plochy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Statické momenty, ťažisko a momenty zotrvačnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Geometrické aplikácie nevlastného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Diferenciálny počet funkcie viac premenných. 43
3.1 Definičný obor funkcie viac premenných. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Parciálne derivácie I. rádu funkcie viac premenných. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Totálny diferenciál a jeho použitie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Parciálne derivácie zloženej funkcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Parciálne derivácie vyšších rádov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Extrémy funkcie viac premenných. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Derivácia implicitnej funkcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8 Základy vektorovej analýzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Diferenciálne rovnice. 60
4.1 Základné pojmy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Diferenciálne rovnice so separovanými a separovateľnými premennými. . . . . . . . . . . . 60
4.3 Homogénne diferenciálne rovnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Lineárne diferenciálne rovnice (LDR) 1. rádu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Bernoulliho diferenciálne rovnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Exaktná diferenciálna rovnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 LDR II. a vyššieho rádu s konštantnými koeficientami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.8 Systém diferenciálnych rovníc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Slovné úlohy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Riešenia úloh 75
5.1 Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Diferenciálny počet funkcie viac premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Diferenciálne rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
87