Lekce - Realisticky cz

Máme podobné vzorce a stejné výsledky ⇒ asi to není náhoda.
60 57' 119 3' 180 sin 60° 57' = sin 180° − 119°
3'
° + ° = ° ⇒ ( )
Navíc: ( ) ( )
sin π − α = sinπ cosα − cosπ sinα = 0⋅cosα − − 1 sinα = sinα
⇒
1 1
S = bcsin
( π − α ) = bcsinα
⇒ v obou případech jsme odvodili stejný vzorec
2 2
Vzorec platí pro všechny ostroúhlé i tupoúhlé trojúhelníky.
Př. 2:
Rozhodni, zda vzorec z předchozího příkladu platí i pro trojúhelník s pravým úhlem
α .
C
b
A
c
V pravoúhlém trojúhelníku platí vC
B
= b ⇒
bc
S = .
2
bc
1 1 1
Dosadíme: S = bcsinα
= bcsin 90° = bc ⋅ 1 = .
2 2 2 2
Vztah platí i pro pravoúhlý trojúhelník.
Tedy pro každý trojúhelník platí vzorec
1
S = bcsinα
.
2
Př. 3:
Přepiš vzorec pro výpočet obsahu i po další kombinace stran a úhlů.
1
Vzorec S = bcsinα
umožňuje určit obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi
2
1
1
⇒ další možnosti dvou stan a úhlu mezi nimi jsou S = ca sin β a S = absinγ
.
2
2
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α , β , γ a strany délky a,
1 1 1
b, c platí : S = absin γ = bc sinα = casin
β .
2 2 2
Př. 4: V trojúhelníku ABC je dáno: b = 6,7 ; β = 38°; γ = 73° . Urči jeho obsah.
Pokud chceme použít předchozí vzorec pro obsah trojúhelníka, musíme určit dvě strany a úhel
mezi nimi.
Snadno můžeme dopočíst stranu c (sinová věta):
b c sinγ
sin 73°
= ⇒ c = ⋅ b = ⋅ 6,7 = 10,4
sin β sin γ sin β sin 38°
Potřebujeme úhel mezi stranami b a c, tedy úhel α .
2