Lekce - Realisticky cz

4.4.3 Další trigonometrické věty
Předpoklady: 4402
Věty, které objevíme v této hodině, mohou usnadnit některé výpočty, ale je možné se bez nich
(na rozdíl od kosinové a sinové věty) obejít.
Pedagogická poznámka: Následující dva příklady třída počítá najednou rozdělená do dvou
skupin.
Př. 1:
Urči obsah trojúhelníku ABC, jestliže platí:
a) c = 14 ; b = 10,3 ; α = 60° 57 ' , b) c = 14 ; b = 10,3 ; α = 119° 3' .
Nejdříve odvoď obecný vzorec a pak dosaď.
a)
C
b)
C
b
b
A
c
Obsah trojúhelníka
výšku v
C
.
C
B
c ⋅v S = C
⇒ určíme
2
A
Obsah trojúhelníka
výšku v
C
.
C
c
B
c ⋅v S = C
⇒ určíme
2
b
v C
v C
b
A
B
C 0 c
Z pravoúhlého trojúhelníka ACC
0
:
vC
sinα
= ⇒ vC
= b ⋅ sinα
.
b
Dosadíme:
c ⋅vC
c ⋅b⋅sinα
1
S = = = bcsinα
2 2 2
Určíme obsah:
1 1
S = bcsinα
= ⋅10,3⋅14 ⋅ sin 60° 57 ' = 63
2 2
C 0
A c
B
Z pravoúhlého trojúhelníka ACC
0
:
vC
sin ( π − α ) = ⇒ vC
= b ⋅sin
( π − α ) .
b
Dosadíme:
c ⋅v C
c ⋅b⋅sin ( π −α
) 1
S = = = bc sin ( π − α )
2 2 2
Určíme obsah:
1
S = bcsin
( π − α ) =
2
1
= ⋅ 10,3 ⋅ 14 ⋅ sin ( 180 ° − 119 ° 3' ) = 63
2
1

Máme podobné vzorce a stejné výsledky ⇒ asi to není náhoda.
60 57' 119 3' 180 sin 60° 57' = sin 180° − 119°
3'
° + ° = ° ⇒ ( )
Navíc: ( ) ( )
sin π − α = sinπ cosα − cosπ sinα = 0⋅cosα − − 1 sinα = sinα
⇒
1 1
S = bcsin
( π − α ) = bcsinα
⇒ v obou případech jsme odvodili stejný vzorec
2 2
Vzorec platí pro všechny ostroúhlé i tupoúhlé trojúhelníky.
Př. 2:
Rozhodni, zda vzorec z předchozího příkladu platí i pro trojúhelník s pravým úhlem
α .
C
b
A
c
V pravoúhlém trojúhelníku platí vC
B
= b ⇒
bc
S = .
2
bc
1 1 1
Dosadíme: S = bcsinα
= bcsin 90° = bc ⋅ 1 = .
2 2 2 2
Vztah platí i pro pravoúhlý trojúhelník.
Tedy pro každý trojúhelník platí vzorec
1
S = bcsinα
.
2
Př. 3:
Přepiš vzorec pro výpočet obsahu i po další kombinace stran a úhlů.
1
Vzorec S = bcsinα
umožňuje určit obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi
2
1
1
⇒ další možnosti dvou stan a úhlu mezi nimi jsou S = ca sin β a S = absinγ
.
2
2
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α , β , γ a strany délky a,
1 1 1
b, c platí : S = absin γ = bc sinα = casin
β .
2 2 2
Př. 4: V trojúhelníku ABC je dáno: b = 6,7 ; β = 38°; γ = 73° . Urči jeho obsah.
Pokud chceme použít předchozí vzorec pro obsah trojúhelníka, musíme určit dvě strany a úhel
mezi nimi.
Snadno můžeme dopočíst stranu c (sinová věta):
b c sinγ
sin 73°
= ⇒ c = ⋅ b = ⋅ 6,7 = 10,4
sin β sin γ sin β sin 38°
Potřebujeme úhel mezi stranami b a c, tedy úhel α .
2

( ) ( )
α + β + γ = 180° ⇒ α = 180° − β + γ = 180° − 38° + 73° = 69°
1 1
Dosazení: S = bcsinα
= ⋅6,7 ⋅10, 4⋅ sin 69° = 32,5
2 2
Obsah trojúhelníka ABC je 32,5.
Př. 5:
Je dán kvádr ABCDEFGH o délkách stran 2,3,4. Urči obsah trojúhelníku EBG.
Nakreslíme si kvádr, na označení v tomto případě nezáleží (strany trojúhelníka jsou stěnové
úhlopříčky všech druhů obdélníků, které se na kvádru vyskytují). Zvolíme například toto:
AB = 3 ; BC = 2 ; AE = 4 .
H
G
E
F
D
C
A
B
Pomocí Pythagorovy věty určíme délky jednotlivých stran trojúhelníku EBG.
• Strana EB (přepona v pravoúhlém trojúhelníku ABE):
2 2 2 2
EB = AB + AE = 3 + 4 = 5 .
• Strana BG (přepona v pravoúhlém trojúhelníku BCG):
2 2 2 2
BG = BC + CG = 2 + 4 = 2 5 .
• Strana EG (přepona v pravoúhlém trojúhelníku EGH):
2 2 2 2
EG = GH + EH = 3 + 2 = 13 .
Teď známe všechny strany v řešeném trojúhelníku:
E
G
B
Pokud chceme použít vzorec musíme vypočíst jeden z úhlů (například β ) pomocí kosinové
( ) 2 2
2 2 2 2
5 + 2 5 − 13
BE + BG − EG
věty: cos β = = = 0,7155
2⋅ BE ⋅ BG 2⋅5⋅
2 5
Dosadíme do vzorce pro výpočet obsahu:
⇒ β = 44°
19'
3

1 1
S = BE ⋅ BG ⋅ sin β = ⋅5⋅ 2 5 sin 44° 19' = 7,8
2 2
Obsah trojúhelníka BEG je 7,8.
Př. 6: Najdi v tabulkách vzorec, který by umožnil spočítat obsah trojúhelníku BEG (z
předchozího příkladu) přímo z délek jeho stran bez určování velikosti vnitřního úhlu.
Pomocí nalezeného vzorce obsah vypočti a porovnej výsledky.
Vzorec (Heronův) je v části se vzorci v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35
a + b + c
v tomto znění: S = s ( s − a)( s − b)( s − c),
s = .
2
a + b + c 5 + 2 5 + 13
Určíme s: s = = ≐ 6,54
2 2
( )( )( ) ( )( )( )
S = s s − a s − b s − c = 6,54 6,54 − 5 6,54 − 2 5 6,54 − 13 = 7,8
Oba postupy vedou ke stejnému výsledku.
Kromě vzorců pro obsah trojúhelníka existují i vzorce po výčet poloměru kružnice opsané a
kružnice vepsané.
Př. 7: V trojúhelníku ABC známe: AB = 12 a γ = 66° . Urči poloměr kružnice trojúhelníku
opsané.
Nakreslíme obrázek situace. Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran.
C
r
S
A
S AB
c
B
k
Poloměr kružnic opsané spočteme z trojúhelníku ASS
AB
. Je pravoúhlý a platí: AS = r ;
c
AS
AB
= ; ∢ ASSAB
= γ (je polovinou ∢ ASB , který je kvůli větě o obvodovém a středovém
2
úhlu dvojnásobkem úhlu γ ).
c
ASAB
Platí sin
2 c c
γ = = = ⇒ r = .
AS r 2r
2sinγ
Dosadíme:
c 12
r = = = 6,6
2sinγ
2⋅ sin 66°
4

Dodatek: Je dobré si uvědomit, že trojúhelník ABC není v předchozím příkladě zcela
zadaný. Známe jen dvě velikosti, vrchol C by mohl ležet kdekoliv na delším
oblouku AB kružnice k. Trojúhelník by pak sice vypadal jinak, ale poloměr
kružnice opsané by se nezměnil.
Př. 8:
Napiš další možné varianty vzorce odvozeného v předchozím příkladě.
Poloměr kružnice opsané jsme počítali z úhlu a protější strany, platí tedy
a b c
r = = =
2sinα 2sin β 2sin γ
Př. 9:
Najdi v tabulkách další vzorce pro výpočet poloměrů kružnice opsané a vepsané.
Vzorce jsou v části se vzorci v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35 v tomto znění:
abc
poloměr kružnice opsané : r = ,
4S
S a + b + c
poloměr kružnice vepsané: ρ = , kde s = .
s
2
abc
Dodatek: Předchozí vzorce se někdy uvádějí ve tvarech: S = , S = ρs
jako vzorce pro
4r
výpočet obsahu trojúhelníku.
Př. 10: Urči obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru 7 cm, jestliže jeho
vnitřní úhly mají velikosti: α = 67° ; β = 81° .
Na první pohled neřešitelné. Hledáme nějaký vztah mezi poloměrem kružnice opsané a
a
velikostí strany ⇒ r = ⇒ a = r ⋅ 2sinα
.
2sinα
Podobně můžeme vyjádřit i ostatní strany: b = r ⋅ 2sin β ; c = r ⋅ 2sin γ .
o = a + b + c = r ⋅ 2sinα + r ⋅ 2sin β + r ⋅ 2sin γ = 2r
( sinα + sin β + sin γ ) .
Určíme úhel γ : α β γ γ ( α β ) ( )
Dosadíme: o = r ( α + β + γ ) = ⋅ ( ° + ° + ° ) =
+ + = 180° ⇒ = 180° − + = 180° − 67° + 81° = 32° .
2 sin sin sin 2 7 sin 67 sin81 sin 32 34,1
Trojúhelník má obvod 34,1 cm.
Př. 11: Petáková:
strana 50/cvičení 96
strana 51/cvičení 100
strana 51/cvičení 105
Shrnutí:
5