Teoria grup I

Teoria grup I
Andriy Panasyuk
1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1
Grupa: Zbiór G wyposażony w ”działanie” μ : G × G → G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a ⋅ b lub
poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty:
1. działanie jest łączne, czyli
(ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ G;
2. istnieje element e ∈ G, zwany ”neutralnym”, taki, że
ea = ae = a ∀ a ∈ G;
3. dla każdego a ∈ G istnieje element ”odwrotny” a −1 , czyli taki, że
aa −1 = a −1 a = e.
Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli e ′ inny neutralny, to e ′ = e ′ e = e. Analogicznie, dla
każdego a ∈ G element odwrotny a −1 jest wyznaczony jednoznacznie.
Podgrupa grupy G: Podzbiór H ⊂ G o własnościach 1) μ(H, H) ⊂ H oraz 2) H −1 ⊂ H, czyli
1) ab ∈ H ∀ a, b ∈ H oraz 2) a −1 ∈ H ∀ a ∈ H.
Uwaga: 1) i 2) implikują e ∈ H oraz fakt, że podgrupa H sama staje się grupą z działaniem μ∣ H×H .
Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru X nazywamy bijekcję a :
X → X. Zbiór bijekcji oznaczamy S X (S od „symetrii”, grupę permutacji inaczej nazywamy „grupą
symetrii” zbioru X) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli μ(a, b) := a ∘ b : X → X.
Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id X , element odwrotny do a - odwzorowanie
odwrotne a −1 : X → X.
Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy S X (:-o, na serio: jest to treść
twierdzenia Cayley’a).
Przykłady bardziej przyziemne:
1. G = {∗} grupa jednoelementowa.
2. (Z, +), (R, +), (C, +), (Z n , +), (R n , +), (C n , +); przy tym mamy ciągi podgrup: Z ⊂ R ⊂
C, Z n ⊂ R n ⊂ C n .
1

3. (R ∕=0 , ⋅), (R >0 , ⋅), (C ∕=0 , ⋅); ciąg podgrup R >0 ⊂ R ∕=0 ⊂ C ∕=0 .
4. U(1) := {z ∈ C ∣ ∣z∣ = 1} (podgrupa C ∕=0 ).
5. S n , grupa permutacji zbioru n-elementowego.
Uwaga: 1.- 4. są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że
μ(a, b) = μ(b, a) ∀ a, b ∈ G.
5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli n > 2.
Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że
zbiór X wyposażony jest w pewną ”strukturę” S. Wybierzmy z S X tylko bijekcje o tej własności,
że one same i ich odwrotności ”zachowują” S, i oznaczmy przez S X,S ich zbiór. Wtedy S X,S jest
podgrupą w S X . Grupa S X,S jest „grupą symetrii” struktury S i często zawiera istotną informację o
S (zob. przykład „podłogi”, poniżej).
Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość
bijekcji, S X,S = GL(X) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń
przestrzeni X.
Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X wraz z formą objętości σ, S X,S = SL(X) (od
angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X zachowujących
σ. Uwaga: SL(X) jest podgrupą GL(X).
Przykład: S struktura przestrzeni euklidesowej na X, czyli X jest przestrzenią liniową z zadaną
metryką euklidesową (∣), S X,S = O(X) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących
metrykę. Uwaga: O(X) jest podgrupą GL(X).
Przykład: SO(X) := SL(X) ∩ O(X).
Przykład: Niech X = R 4 będzie wyposażone w strukturę metryki (∣) o sygnaturze (1, 3), czyli S
będzie strukturą lorentzowską na X. Wtedy S X,S = O(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących
(∣), jest tzw. grupą Lorentza.
Przykład: S struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na X, zachowanie struktury oznacza
ciągłość bijekcji, S X,S grupa homeomorfizmów przestrzeni X.
Przykład: S struktura rozmaitości gładkiej na X, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji,
S X,S grupa dyfeomorfizmów przestrzeni X.
Działanie (lewe) grupy G na zbiorze X: Odwzorowanie ν : G × X → X (skrótowo oznaczamy
też ν(g, x) =: g ⋅ x) o własnościach
1. (g 1 ⋅ g 2 ) ⋅ x = g 1 ⋅ (g 2 ⋅ x) ∀ g 1 , g 2 ∈ G, x ∈ X;
2. e ⋅ x = x ∀ x ∈ X.
Przykład: Działanie grupowe μ : G × G → G jest przykładem lewego (oraz prawego) działania G
na G.
2

Przykład: Grupa S X w naturalny sposób działa na X: a ⋅ x := a(x), a ∈ S X , x ∈ X. Uwaga: jest
to lewe działanie: (a ⋅ b) ⋅ x = (a ∘ b)(x) = a(b(x)) = a ⋅ (b ⋅ x).
Przykład: Analogicznie, S X,S działa na X.
Orbita elementu x ∈ X działania G na X: G ⋅ x := {g ⋅ x ∣ g ∈ G}.
Uwaga: X jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś
orbicie (bo e ⋅ x = x), ponadto, jeśli x ∈ G ⋅ x ′ oraz x ∈ G ⋅ x ′′ , to G ⋅ x ′ = G ⋅ x ′′ (bo x = g ′ ⋅ x ′ =
g ′′ ⋅ x ′′ =⇒ x ′ = (g ′ ) −1 ⋅ g ′′ ⋅ x ′′ =⇒ g ⋅ x ′ = g ⋅ (g ′ ) −1 ⋅ g ′′ ⋅ x ′′ =⇒ G ⋅ x ′ ⊂ G ⋅ x ′′ i odwrotnie).
Stabilizator G x elementu x ∈ X względem działania G na X: G x := {g ∈ G ∣ g ⋅ x = x}.
Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: g 1 ⋅ x = x, g 2 ⋅ x = x =⇒ (g 1 ⋅ g 2 ) ⋅ x = g 1 ⋅ (g 2 ⋅ x) = g 1 ⋅ x = x
oraz g ⋅ x = x =⇒ x = g −1 ⋅ g ⋅ x = g −1 ⋅ x.
Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: x ′ = h ⋅ x =⇒ G x = h −1 G x′ h
(Ćwiczenie).
Stabilizator G Y podzbioru Y ⊂ X względem działania G na X: G Y := {g ∈ G ∣ g ⋅ Y ⊂ Y }.
Przykład: Grupa D n symetrii wielokąta prawidłowego o n wierzchołkach. Niech X = R 2 ze
standardową metryką euklidesową, Y n-kąt foremny o środku w zerze:
Wtedy D n jest podgrupą grupy O(X) będąca stabilizatorem Y .
Przykład: Grupa G symetrii „podłogi”, składa się z: 1)„kraty” Z × 2Z; 2) odbić względem prostych
poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki „płytek”; 3) obrotów o
180 ∘ względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi.
3

Grupa G działa na R 2 . Orbita zera: Z × 2Z. Ona nie pokrywa się z „podłogą” (bo nie zawiera
„fugi”), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając
samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej
mierze odtworzyć strukturę obiektu.
Przykład: Grupa G symetrii „kawałka podłogi”
jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i
poziomej przechodzących przez środek „kawałka” oraz ich złożenie, czyli obrót o 180 ∘ . Taka grupa
bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego „nijednorodność”. Do opisu symetrii
takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96].
4

2 Wprowadzenie do wykładu, cz. II
Grupy „dyskretne”: Z n , „symetrie podłogi” (nieskończone), S n , D n (skończone).
Grupy „ciągłe”: (R n , +), (R >0 , ⋅), (R ∕=0 , ⋅), (C ∕=0 , ⋅), GL(X), SL(X), O(1, 3) (niezwarte), U(1), O(X),
SO(X) (zwarte).
Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (G, μ) takie, że G jest wyposażone w strukturę przestrzeni
topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie μ : G × G → G oraz odwzorowanie
ε : g → g −1 : G → G są ciągłe (gładkie).
Uwaga: Jeśli G jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości)
wszystkich odwzorowań.
Reprezentacja grupy G w przestrzeni liniowej X: działanie ν : G × X → X takie, że dla
każdego g ∈ G odwzorowanie ν(g, ⋅) : X → X jest liniowe.
Przykład: naturalna reprezentacja grup GL(X), SL(X), O(X), SO(X), O(1, 3), D n w przestrzeni
X.
Homomorfizm grup: Odwzorowanie f : G 1 → G 2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach:
f(e 1 ) = e 2 , f(a ⋅ 1 b) = f(a) ⋅ 2 f(b) ∀a, b ∈ G 1 .
Izomorfizm grup: Homomorfizm f : G 1 → G 2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie
f −1 : G 2 → G 1 automatycznie jest homomorfizmem: f −1 (c ⋅ d) = f −1 (f(f −1 (c)) ⋅ f(f −1 (d))) =
f −1 (f(f −1 (c) ⋅ f −1 (d))) = f −1 (c) ⋅ f −1 (d).
Grupa automorfizmów grupy G: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy
S X,S : S jest strukturą grupy na zbiorze X = G, a S X,S grupą izomorfizmów z G w G, które
nazywamy automorfizmami G. Oznaczamy Aut(G) := S G,S .
Przykład: Dla dowolnej G odwzorowanie Id G : G → G jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie
f : G → {∗} homomorfizmu.
Przykład: exp(⋅) : (R, +) → (R ∕=0 , ⋅) homomorfizm, exp(⋅) : (R, +) → (R >0 , ⋅) izomorfizm.
Przykład: exp(2πi⋅) : (R, +) → (C ∕=0 , ⋅) homomorfizm.
Przykład: f : U(1) → SO(R 2 ) izomorfizm, tutaj SO(R 2 ) grupa obrotów płaszczyzny, f odwzorowuje
liczbę e iφ w obrót o kąt φ.
Równoważność działań: Działania ν 1 : G 1 × X 1 → X 1 i ν 2 : G 2 × X 2 → X 2 nazywają się
równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup f : G 1 → G 2 oraz bijekcja h : X 1 → X 2 takie, że
następujący diagram jest przemienny:
G 1 × X 1
ν 1
f×h
X 1
h
ν 2
G 2 × X 2 X 2
czyli h(ν 1 (g, x)) = ν 2 (f(g), h(x)) ∀ g ∈ G 1 , x ∈ X 1 .
Ważne pytania matematyczne:
5

1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu;
2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności.
„Sklasyfikować” w ideale oznacza: 1) sporządzić listę „cegiełek”, czyli „prostych” 1 obiektów (grup w
przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę
budowania z „cegiełek” bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany
obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z „cegiełek”.
W rzeczywistości, takie listy „cegiełek” istnieją, ale istnieją też obiekty nie „poddające się klasyfikacji”.
Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie „cegiełek” w przypadku grup.
Jądro homomorfizmu f : G 1 → G 2 : ker f := f −1 (e 2 ).
Podgrupa normalna: Podgrupę H ⊂ G nazywamy normalną, jeśli gHg −1 ⊂ H dla wszystkich
g ∈ G.
Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów:
Twierdzenie Podzbiór H ⊂ G grupy G jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem
pewnego homomorfizmu f : G → G 2 .
Dowód: (⇐=) Niech f : G → G 2 będzie homomorfizmem, a H := ker f. Wtedy
a, b ∈ H =⇒ f(a) = e 2 , f(b) = e 2 =⇒ f(ab) = f(a)f(b) = e 2 e 2 = e 2 =⇒ ab ∈ H;
a ∈ H =⇒ f(a −1 ) = (f(a)) −1 = e −1
2 = e 2 =⇒ a −1 ∈ H;
f(gHg −1 ) = f(g)f(H)f(g −1 ) = f(g)e 2 (f(g)) −1 = e 2 =⇒ gHg −1 ⊂ H.
Dowód implikacji (=⇒) pokrywa się z następującą konstrukcją.
Grupa ilorazowa G/H i homomorfizm naturalny G → G/H: Niech G będzie grupą z działaniem
μ : G × G → G a H ⊂ G będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie μ∣ G×H daje prawe
działanie grupy H na zbiorze G. Orbita elementu g ∈ G pod względem tego działania ma postać
gH = {gh ∣ h ∈ H} i nazywa się prawą warstwą g ze względu na H. Zbiór takich warstw oznaczamy
G/H. Zbiór G jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą
rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy H: odwzorowanie
H ∋ h → gh ∈ gH jest bijekcją.
Lemat
Niech H ⊂ G będzie podgrupą normalną. Wtedy:
1. każda prawa warstwa gH pokrywa się z lewą warstwą Hg := {hg ∣ h ∈ H};
2. wzór gH ⋅ g ′ H = (g ⋅ g ′ )H zadaje poprawnie określone działanie ¯μ : G/H × G/H → G/H
spełniające aksjomaty działania grupowego;
1 Słowo „prostych” piszemy w cudzysłowie, ponieważ „cegiełki” mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na
przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy
2 46 ⋅3 20 ⋅5 9 ⋅7 6 ⋅11 2 ⋅13 3 ⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31⋅41⋅47⋅59⋅71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 ≈
8 ⋅ 10 53 elementów, zob. http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group
6

3. odwzorowanie π : G → G/H, π(g) := gH jest homomorfizmem grup.
Dowód: 1. gHg −1 ⊂ H ⇐⇒ gHg −1 = H ⇐⇒ gH = Hg
2. Poprawność: niech g 1 ∈ gH, g ′ 1 ∈ g ′ H, wtedy istnieją h ∈ H, h ′ ∈ H ′ takie, że g 1 = gh, g ′ 1 = g ′ h ′ .
Mamy g 1 H ⋅ g ′ 1H = (g 1 ⋅ g ′ 1)H = ghg ′ h ′ H = ghg ′ H = ghHg ′ = gHg ′ = gg ′ H.
Łączność: (gH ⋅g ′ H)⋅g ′′ H = (gg ′ )H ⋅g ′′ H = (gg ′ )g ′′ H = g(g ′ g ′′ )H = gH ⋅(g ′ g ′′ )H = gH ⋅(g ′ H ⋅g ′′ H).
Element neutralny: eHgH = egH = gH = geH = gHeH.
Element odwrotny: g −1 HgH = g −1 gH = eH = gg −1 H = gHg −1 H.
3. π(gg ′ ) = gg ′ H = gHg ′ H = π(g)π(g ′ ), π(e) = eH. □
Uwaga I: Homomorfizm π jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm
f : G 1 → G 2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj.
ker f = {e 1 }) (Ćwiczenie).
Obraz homomorfizmu:
Lemat Obraz H 2 := im f homomorfizmu f : G 1 → G 2 jest pogrupą w G 2 izomorficzną z G 1 /H 1 ,
gdzie H 1 := ker f.
Dowód: Jeśli a, b ∈ H 2 , to istnieją a 1 , b 1 ∈ G 1 takie, że f(a 1 ) = a, f(b 1 ) = b. Wtedy f(a 1 b 1 ) =
f(a 1 )f(b 1 ) = ab, czyli H 2 ⋅ H 2 ⊂ H 2 . Z kolei, f(a −1
1 ) = (f(a 1 )) −1 = a −1 implikuje (H 2 ) −1 = H 2 .
¯f
Szukany izomorfizm określimy wzorem G 1 /H 1 ∋ gH 1 → f(g) ∈ H2 . Odwzorowanie ¯f jest
określone poprawnie: jeśli g ′ ∈ gH inny przedstawiciel warstwy, to g ′ g −1 = h dla pewnego h ∈ H, i
f(g ′ )(f(g)) −1 = f(h) = e 2 skąd f(g ′ ) = f(g). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz
że ma trywialne jądro. □
Przykład: Każda podgrupa H grupy abelowej G jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy
G = Z, H = nZ, otrzymujemy grupę cykliczną Z n := Z/nZ.
Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2πi⋅) : (R, +) → (C ∕=0 , ⋅) jest podgrupa U(1) ⊂ (C ∕=0 , ⋅), a
jego jądrem podgrupa (Z, +). Mamy więc izomorfizm R/Z ∼ = U(1).
Przykład: Niech sign : S n → (R ∕=0 , ⋅) homomorfizm odwzorowujący permutację τ w ±1 w zależności
od znaku τ. Jądrem jest tutaj grupa alternująca A n permutacji parzystych, a obrazem
grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z Z 2 . Mamy izomorfizm S n /A n
∼ = Z2 .
Przykład: Niech G będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie φ : G → Aut(G) wzorem
g → A g , A g (h) := ghg −1 (poprawność: A g (hh ′ ) = ghh ′ g −1 = ghg −1 gh ′ g −1 = A g (h)A g (h ′ ), A g (e) =
e, A −1
g = A g −1). Ponadto, samo φ jest homomorfizmem: A gg ′ = A g ∘ A g ′, A e = Id G . Jego obraz
Int(G) ⊂ Aut(G) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych.
Okazuje się, że Int(G) podgrupa normalna w Aut(G): jeśli f : G → G dowolny automorfizm, to
f ∘ A g ∘ f −1 (h) = f(g[f −1 (h)]g −1 ) = f(g)f[f −1 (h)]f(g −1 ) = A f(g) (h), czyli f ∘ Int(G) ∘ f −1 ⊂ Int(G).
Grupę ilorazową Out(G) := Aut(G)/Int(G) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy
G.
Grupy proste: Są to grupy G nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od G i {e})
podgrup normalnych.
7

Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie
nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych 2 . Np. prosta grupa Liego SL(R 2 ) ma nietrywialną
dyskretną podgrupę normalną {±I}.
To właśnie grupy proste są cegiełkami, „dającymi się sklasyfikować”.
2 Dyskretność podgrupy H ⊂ G oznacza dyskretność H jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego
punktu h ∈ H otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z H.
8

3 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I
Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76]
Poniżej określimy sposoby „sklejania cegiełek”, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej
skomplikowanej grupy.
Iloczyn prosty grup G 1 , . . . , G n : Jest to zbiór G 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × G n wyposażony w działanie (g 1 , . . . , g n ) ⋅
(h 1 , . . . , h n ) := (g 1 h 1 , . . . , g n h n ) z elementem neutralnym (e 1 , . . . , e n ) oraz (g 1 , . . . , g n ) −1 := (g1 −1 , . . . ,
gn
−1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami
kwadratowymi [ ].)
Przykład: Grupa GL + (2, R) := {A ∈ Mat(2, R) ∣ det A > 0} jest izomorficzna z R >0 × SL(2, R),
gdzie SL(2, R) := {A ∈ Mat(2, R) ∣ det A = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm zadajemy wzorem
F : R >0 × SL(2, R) → GL + (2, R), F ([x, X]) := xX a jego odwrotność to Z → [ √ det Z, Z/ √ det Z].
Iloczyn półprosty G 2 ⋉ G 1 grup G 2 i G 1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy G 2 na grupie G 1 ,
„respektujące strukturę grupy” na G 1 . Innymi słowy, zadany jest homomorfizm f : G 2 → Aut(G 1 )
(w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy G 2 w grupie G 1 ).
Określamy działanie na zbiorze G 2 × G 1 : [g 2 , g 1 ] ⋅ [h 2 , h 1 ] := [g 2 ⋅ h 2 , g 1 ⋅ f g2 h 1 ] (tutaj oznaczyliśmy
f g2 h 1 := f(g 2 )h 1 ).
Łączność: ([g 2 , g 1 ] ⋅ [h 2 , h 1 ]) ⋅ [j 2 , j 1 ] = [g 2 ⋅ h 2 , g 1 ⋅ f g2 h 1 ] ⋅ [j 2 , j 1 ] = [(g 2 ⋅ h 2 ) ⋅ j 2 , (g 1 ⋅ f g2 h 1 ) ⋅ f g2 ⋅h 2
j 1 ] =
[g 2 ⋅h 2 ⋅j 2 , (g 1 ⋅f g2 h 1 )⋅(f g2 ∘f h2 j 1 )] = [g 2 ⋅h 2 ⋅j 2 , g 1 ⋅(f g2 h 1 ⋅f g2 (f h2 j 1 ))] = [g 2 ⋅(h 2 ⋅j 2 ), g 1 ⋅(f g2 (h 1 ⋅f h2 j 1 ))] =
[g 2 , g 1 ] ⋅ [h 2 ⋅ j 2 , h 1 ⋅ f h2 j 1 ] = [g 2 , g 1 ] ⋅ ([h 2 , h 1 ] ⋅ [j 2 , j 1 ])
Element neutralny: [e 2 , e 1 ]
Element odwrotny: [g 2 , g 1 ] −1 := [g2 −1 , f g
−1 g−1 2 1 ]
Inne oznaczenie dla G 2 ⋉ G 1 to G 2 × f G 1 .
Przykład: Grupa O(R 2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej
jest izomorficzna z iloczynem Z 2 ⋉ SO(R 2 ) grupy Z 2 = {±1} z grupą obrotów[ SO(R]
2 ).
a b
Rzeczywiście, O(R 2 ) jest izomorficzna z grupą O(2, R) = {A ∈ Mat(2, R) ∣ AA T = I} = { ∣
c d
a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0} a SO(R 2 ) z SO(2, R) = {A ∈ O(2, R) ∣ det A = 1}).
Określmy homomorfizm
[
f : {±1}
]
→ Aut(SO(2, R)) wzorem 1 → Id, −1 → L, gdzie L : O φ →
cos φ − sin φ
O −φ , tutaj O φ :=
) jest macierzą obrotu o kąt φ. Zauważmy, że L rzeczywiście jest
sin φ cos φ
elementem Aut(SO(2, R)): odwzorowanie L : SO(2, R) →[ SO(2, R) ] jest ograniczeniem do SO(2, R)
0 1
automorfizmu wewnętrznego A g grupy O(2, R), gdzie g = (Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt).
1 0
Ponadto, ponieważ g 2 = I, odwzorowanie f jest homomorfizmem.
Zostało zbudować izomorfizm F : Z 2 × f SO(2, R) → O(2, R). Połóżmy σ(1) := 0, σ(−1) := 1
oraz F ([x, X]) := Xg σ(x) (mamy f(x) = A g σ(x)). Wtedy F ([x, X] ⋅ [y, Y ]) = F ([xy, XA g σ(x)(Y )]) =
Xg σ(x) Y g σ(x) g σ(xy) = Xg σ(x) Y g σ(x2y) = Xg σ(x) Y g σ(y) = F ([x, X])⋅F ([y, Y ]). Homomorfizm odwrotny:
F −1 (Z) := [det Z, Zg σ(det Z) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że F F −1 (Z) = Z oraz F −1 F ([x, X]) = [x, X].)
Przykład: Grupa GL(2, R) := {A ∈ Mat(n, R) ∣ det A ∕= 0}, jest izomorficzna z R ∗ ⋉ SL(2, R),
gdzie SL(2, R) : {A ∈ Mat(2, R) ∣ det A = 1}, a R ∗ to inne oznaczenie dla grupy (R ∕=0 , ⋅). Rzeczywiście,
określmy odwzorowanie τ : R ∗ → {0, 1}, τ(x) := σ(sign(x)), oraz homomorfizm f : R ∗ →
9

Aut(SL(2, R)), f(x) := A g τ(x). Izomorfizm F : R ∗ × f SL(n, R) → GL(n, R) określamy wzorem
F ([x, X]) := xXg τ(x) . Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły.
Przykład: Grupa SE(2, R) := SO(2, R) × f R 2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj f :
SO(2, R) → Aut(R 2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie.
Uwaga 1: Jeśli f jest homomorfizmem trywialnym, to G 2 × f G 1
∼ = G2 × G 1 .
Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne f, dla których też G 2 × f G 1
∼ = G2 × G 1 ? Bardziej ogólnie: jeśli
f, f ′ : G 2 → Aut(G 1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm G 2 × f1 G 1
∼ = G2 × f2 G 1
Uwaga 2: odwzorowanie π : [g 2 , g 1 ] → g 2 : G → G 2 jest epimorfizmem grup: π([g 2 , ∗][h 2 , ∗]) =
π([g 2 h 2 , ∗]) = g 2 h 2 = π([g 2 , ∗])π([h 2 , ∗]). Stąd mamy wnioski: a) {e}×G 1 = ker π podgrupa normalna
w G = G 2 × f G 1 ; b) G/G 1
∼ = G2 (izomorfizm grup).
Pytanie 2: Czy każda grupa G posiadająca podgrupę normalną G 1 jest izomorficzna z G 2 × f G 1 ,
gdzie f pewien homomorfizm z grupy ilorazowej G 2 = G/G 1 w grupę Aut(G 1 )?
W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć.
Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg ⋅ ⋅ ⋅ f k−1
→ G k
f k→ Gk+1 → ⋅ ⋅ ⋅ grup i ich
homomorfizmów taki, że im f k−1 = ker f k dla każdego k.
ι
Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci {∗} → G 1 → G → π G 2 → {∗}. W szczególności
mamy: ker ι = {e}, czyli ι jest włożeniem (monomorfizmem); im π = G 2 , czyli π jest epimorfizmem;
im ι = ker π, czyli podgrupa im ι ∼ = G 1 jest podgrupą normalną, a grupa G 2 jest izomorficzna
z grupą ilorazową G/G 1 .
Rozszerzenie grupy G 2 za pomocą grupy G 1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci
{∗} → G 1
Przykład: G = G 2 × f G 1 , ι × (g 1 ) := [e, g 1 ], π × ([g 2 , g 1 ]) := g 2 .
ι
→ G π → G 2 → {∗}. (1)
ι
Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia {∗} → G 1 → G → π ι
G 2 → {∗} oraz {∗} → G ′
1 → G ′ π
→
′
G 2 → {∗} są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm Q : G → G ′ dla którego następujący diagram jest
przemienny:
G
ι
π
Q
{∗} ι ′
G 1 G ′ π ′ G 2 {∗}
Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2 ′ : czy każde rozszerzenie
{∗} → G 1 → G → π ι ×→ π ×→
ι
G 2 → {∗} jest równoważne z {∗} → G 1 G1 × f G 2 G2 → {∗} dla
pewnego f? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1 ′ : dla jakich
f, f ′ ι ×→ π ×→ ι ×→ π ×→
rozszerzenia {∗} → G 1 G1 × f G 2 G2 → {∗} oraz {∗} → G 1 G1 × f ′ G 2 G2 → {∗} są
równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy G 2
w szczególnym przypadku abelowej grupy G 1 .
Założenie o grupie G 1 : Od tego momentu zakładamy, że G 1 jest abelowa. Operację w G 1 będziemy
oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna).
10

Kohomologie grupy G 2 o wartościach w (abelowej) grupie G 1 : Niech f : G 2 → Aut(G 1 )
ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję c : G n 2 → G 1 nazywamy n-kołańcuchem na G 2 o wartościach
G 1 . Zbiór n-kołańcuchów oznaczmy przez C n (G 2 , G 1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu
na dodawanie funkcji). Z definicji C 0 (G 2 , G 1 ) = G 1 . Określmy odwzorowania d i : C i (G 2 , G 1 ) →
C i+1 (G 2 , G 1 )
d 0 c(g) := f g c − c, c ∈ G 1 , g ∈ G 2 ;
d 1 c(g, h) := f g c(h) − c(gh) + c(g), g, h ∈ G 2 , c ∈ C 1 (G 2 , G 1 );
d 2 c(g, h, j) := f g c(h, j) − c(gh, j) + c(g, hj) − c(g, h), g, h, j ∈ G 2 , c ∈ C 2 (G 2 , G 1 ).
Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) d i jest homomorfizmem grup; 2) d i+1 d i = 0. Z 2) mamy
wniosek: im d i ⊂ ker d i+1 . Mówimy, że Z i (G 2 , G 1 ) := ker d i jest i-tą grupą kocykli, B i (G 2 , G 1 ) :=
im d i jest i-tą grupą kobrzegów, a H i (G 2 , G 1 ) := ker d i / im d i−1 jest i-tą grupą kohomologii grupy G 2
(„o wartościach w G 1 ”, lub, bardziej dokładnie, „w reprezentacji f”).
11

4 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II
Próba odpowiedzi na pytanie 2 ′ : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej
sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie G 2 na G 1 , czyli homomorfizm f : G 2 → Aut(G 1 ).
Istotnie, każdy element g ∈ G określa automorfizm wewnętrzny A g , który zachowuje podgrupę G 1
ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm F : G → Aut(G 1 ), g → A g ∣ G1 . Elementy
z G 1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo G 1 jest abelowa, czyli F „przepuszcza się” przez G/G 1 .
Innymi słowy istnieje jedyny f : G 2 → Aut(G 1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny:
G
F
π
G/G 1
f Aut(G1 )
Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania π (czyli takie odwzorowanie s : G 2 → G, że πs = Id G2 )
o własności s(e 2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela s(g 2 )
w każdej warstwie π −1 (g 2 ), g 2 ∈ G 2 , co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów G i G 2 × G 1 a
odwzorowań ι, π z włożeniem ι × : g 1 → [e, g 1 ] : G 1 → G 2 ×G 1 oraz z rzutem π × na pierwszą składową
odpowiednio. (Istotnie, jeśli g 2 ∈ G 2 , h ∈ π −1 (g 2 ) = G 1 s(g 2 ), to istnieje jedyne g 1 := h(s(g 2 )) −1 ∈ G 1
takie, że h = g 1 s(g 2 ). Punkt h utożsamiamy z parą [g 2 , g 1 ].)
.
Dalej zakładamy, że G = G 2 ×G 1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w G 2 ×G 1
są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania ι × , π × są homomorfizmami grup.
Lemat
Dopuszczalne mnożenia są postaci
[g 2 , g 1 ][h 2 , h 1 ] = [g 2 h 2 , g 1 + f g2 h 1 + c(g 2 , h 2 )], (2)
gdzie c(e, e) = 0 oraz c ∈ Z 2 (G 2 , G 1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli c, c ′ są dwoma kocyklami
odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to c − c ′ ∈ B 2 (G 2 , G 1 ), czyli istnieje q ∈ C 1 (G 2 , G 1 )
o własności c − c ′ = dq. Przy tym q(e) = 0.
Uwaga:
12

Dowód: Sposób utożsamienia G z G 2 × G 1 implikuje wzór
[e, h 1 ][g 2 , g 1 ] = [g 2 , g 1 + h 1 ], g i , h i ∈ G i .
Istotnie, element h 1 ∈ π −1 (e 2 ) utożsamia się z [e, h 1 (s(e 2 )) −1 ] = [e, h 1 ], element g ∈ π −1 (g 2 ) utożsamia
się z [g 2 , g(s(g 2 )) −1 ] = [g 2 , g 1 ] (tutaj g 1 := g(s(g 2 )) −1 ), skąd element h 1 g ∈ π −1 (e 2 g 2 ) = π −1 (g 2 )
utożsamia się z [g 2 , h 1 g(s(g 2 )) −1 ] = [g 2 , h 1 g 1 ] = [g 2 , h 1 + g 1 ].
Z kolei, sposób zadania homomorfizmu f daje
[g 2 , g 1 ][e, h 1 ][g 2 , g 1 ] −1 = [e, f g2 h 1 ].
Fakt, że π jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że
[g 2 , 0][h 2 , 0] = [g 2 h 2 , c(g 2 , h 2 )]
dla pewnego c ∈ C 2 (G 2 , G 1 ). Używając tych wzorów dostajemy
oraz
[g 2 , g 1 ][e, h 1 ] = [g 2 , g 1 ][e, h 1 ][g 2 , g 1 ] −1 [g 2 , g 1 ] = [e, f g2 h 1 ][g 2 , g 1 ] = [g 2 , g 1 + f g2 h 1 ]
[g 2 , g 1 ][h 2 , h 1 ] = [g 2 , g 1 ][e, h 1 ][h 2 , 0] = [g 2 , g 1 + f g2 h 1 ][h 2 , 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 , 0][h 2 , 0] =
[e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 h 2 , c(g 2 , h 2 )] = [g 2 h 2 , g 1 + f g2 h 1 + c(g 2 , h 2 )].
Ponieważ ι × ma być homomorfizmem, mamy ι × (g 1 )ι × (h 1 ) = [e, g 1 ][e, h 1 ] = [e, g 1 +f e h 1 +c(e, e)] =
[e, g 1 + h 1 ] = ι × (g 1 + h 1 ). Stąd c(e, e) = 0.
Teraz sprawdźmy warunek kocyklu:
([g 2 , 0][h 2 , 0])[j 2 , 0] = [g 2 h 2 , c(g 2 , h 2 )][j 2 , 0] = [g 2 h 2 j 2 , c(g 2 , h 2 ) + c(g 2 h 2 , j 2 )]
[g 2 , 0]([h 2 , 0][j 2 , 0]) = [g 2 , 0][h 2 j 2 , c(h 2 , j 2 )] = [g 2 h 2 j 2 , f g2 c(h 2 , j 2 ) + c(g 2 , h 2 j 2 )].
Równoważność Q : G 2 ×G 1 → G 2 ×G 1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom c i c ′ oznacza istnienie
odwzorowania q : G 2 → G 1 takiego, że 1) Q([g 2 , g 1 ]) = [g 2 , g 1 + q(g 2 )] 2) Q jest homomorfizmem.
Warunek 2) implikuje następujące równości:
Q([g 2 , 0][h 2 , 0]) = Q([g 2 h 2 , c(g 2 , h 2 )]) = [g 2 h 2 , c(g 2 , h 2 ) + q(g 2 h 2 )] =
Q([g 2 , 0])Q([h 2 , 0]) = [g 2 , q(g 2 )][h 2 , q(h 2 )] = [g 2 h 2 , q(g 2 ) + f g2 q(h 2 ) + c ′ (g 2 , h 2 )].
Stąd c(g 2 , h 2 ) − c ′ (g 2 , h 2 ) = f g2 q(h 2 ) − q(g 2 h 2 ) + q(g 2 ).
Mamy też 0 = c(e, e) − c ′ (e, e) = q(e) − q(e) + q(e) = q(e). □
Uwaga: Jeśli kocykl c jest kobrzegiem, czyli c = dq dla pewnego q ∈ C 1 (G 2 , G 1 ), to odwzorowanie
s ′ : g 2 → [g 2 , −q(g 2 )] : G 2 → G 2 × G 1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie s ′ (g 2 h 2 ) =
[g 2 h 2 , −q(g 2 h 2 )] jest równe s ′ (g 2 )s ′ (h 2 ) = [g 2 , −q(g 2 )][h 2 , −q(h 2 )] = [g 2 h 2 , −q(g 2 )−f g2 q(h 2 )+c(g 2 , h 2 )]
wskutek definicji dq.
Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest
równoważne z {∗} → G 1 →G 1 × f G 2 →G 2 → {∗} jeśli i tylko jeśli odwzorowanie π posiada cięcie
13

s ′ : G 2 → G będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia s : G 2 → G (nie będącego
w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy G z G 2 × G 1 a samo s z odwzorowaniem g 2 → [g 2 , 0].
Równowazność z iloczynem półprostym G 1 × f G 2 oznacza trywialność kocyklu c (czyli istnienie q
takiego, że c = dq) i homomorficzność „nowego” cięcia s ′ : g 2 → [g 2 , −q(g 2 )].
Uwaga: Element q ∈ C 1 (G 2 , G 1 ) taki, że dq = c jest określony z dokładnością do dodawania elementów
kobrzegowych da (tutaj a ∈ G 1 , da(g 2 ) = f g2 a − a). Cięcie s ′′ : G 2 → G, s ′′ (g 2 ) := [g 2 , −q(g 2 ) −
da(g 2 )], jest otrzymane z ciecia s ′ zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego A a : G → G, czyli
s ′′ = A a ∘ s ′ . Istotnie, [e, a][g 2 , −q(g 2 )][e, a] −1 = [g 2 , a − q(g 2 )][e, −a] = [g 2 , a − q(g 2 ) − f g2 a].
Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga
składającą się z macierzy postaci
⎡
1 a
⎤
b
⎣ 0 1 c ⎦ .
0 0 1
Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z R 3 . Mnożenie natomiast jest zadawane następującym
wzorem: [x, y, z][x ′ , y ′ , z ′ ] = [x + x ′ , y + y ′ + xz ′ , z + z ′ ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej
G 2 = (R 2 , +) za pomocą grupy abelowej G 1 = (R, +) z kocyklem c([x, z], [x ′ , z ′ ]) := xz ′ (i trywialnym
działaniem f). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg dq(g, h) = q(h)−q(gh)+q(g) na grupie
abelowej jest funkcją symetryczną argumentów g, h. Kocykl c, natomiast, funkcją symetryczną nie
jest.
W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii H 2 (C 2 , C 1 ) jest nietrywialna.
Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii H 2 (G 2 , G 1 ) jest w bijekcji z klasami
równoważności rozszerzeń grupy G 2 za pomocą grupy G 1 .
Ćwiczenie: Pokazać, że klasy „autorównoważności” rozszerzenia (1) modulo „autorównoważności”
pochodzące z automorfizmów wewnętrznych A a , gdzie a ∈ G 1 , są w bijekcji z grupą H 1 (G 2 , G 1 ).
Odpowiedź na pytanie 1 ′ : Ponieważ homomorfizm f : G 2 → Aut(G 1 ) jest jednoznacznie wyznaczony
przez rozszerzenie (1), rozszerzenia {∗} → G 1
ι ×→
G1 × f G 2
π ×→
G2 → {∗} oraz {∗} → G 1
ι ×→
G 1 × f ′ G 2
π ×→
G2 → {∗} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy f = f ′ .
Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech ν : G×X → X będzie
lewym działaniem grupy G na zbiorze X. Pokazać, że: 1) przy ustalonym g ∈ G odwzorowanie
x → ν(g, x) : X → X jest bijekcją, czyli ν(g, ⋅) ∈ S X ; 2) odwzorowanie g → ν(g, ⋅) : G → S X jest
homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm f : G → S X zadaje działanie ν : G×X → X
według wzoru ν(g, x) := f g x (tutaj f g := f(g)).
„Działanie z kocyklem”: Niech f : G 2 → Aut(G 1 ) będzie homomorfizmem, a q ∈ Z 1 (G 2 , G 1 ) pewnym
kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie ˜f : G 2 → S G1 , ˜f g2 g 1 := f g2 g 1 + q(g 2 ), jest homomorfizmem,
czyli zadaje działanie G 2 na G 1 za pomocą „przekształceń afinicznych”.
Przykład 1: Niech G 2 := (R n , +), G 1 := (R m , +) i niech f : G 2 → Aut(G 1 ) homomorfizm trywialny.
Pokazać, że każdy operator liniowy q : R n → R m jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego
punktu x ∈ R m ze względu na „działąnie z kocyklem” ˜f.
Przykład 2: Niech G 2 := SO(2, R), G 1 := (R 2 , +) i niech f : G 2 → Aut(G 1 ) działanie naturalne.
Rozważmy kocykl q = da będący kobrzegiem (tutaj a ∈ G 1 , q(g 2 ) := f g2 a − a, g 2 ∈ G 2 ). Opisać
14

„działanie z kocyklem” ˜f. Odpowiedź: działanie ˜f polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu
−a.
15

5 Elementy teorii grup krystalograficznych
Literatura dodatkowa:[Szc] 3
Dygresja o topologii
Przestrzeń topologiczna: Zbiór X wraz z rodziną podzbiorów {U α } α∈A
własnościach:
nazywanych otwartymi o
1. zbiory ∅ oraz X są otwarte;
2. zbiór ∪ α∈B
jest otwarty dla dowolnego podzbioru B ⊂ A
3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Rodzinę {U α } α∈A nazywamy topologią na X.
Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru X.
Przykład 3: Niech X przestrzeń topologiczna, Y ⊂ X pewien podzbiór. Topologia indukowana na
Y składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w X z podzbiorem Y .
Odwzorowanie ciągłe φ : X → Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie
takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w Y ) jest otwarty (w X).
Podzbiór zwarty K ⊂ X: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia ∪ α∈B U α ⊃ K
zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone.
Topologia ilorazowa: Niech X będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a R ⊂ X × X relacją
równoważności. Zbiór X/R = X/∼ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową.
Jest to najmocniejsza (czyli „najbogatsza”) topologia na X/R, w której rzut naturalny π : X → X/R
jest ciągły. Zbiór U ⊂ X/R jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy π −1 (U) jest otwarty w X.
Przykład: Niech X = R 2 i niech (a, b) ∼ (c, d) def
⇐⇒ a = c. Wtedy X/ naturalnie utożsamia się z
R, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na R.
Uwaga: Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to relacja a ∼ b
def
⇐⇒ ∃g ∈ G a = gb jest relacją
równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór X/ ∼ (oznaczany przez X/G) jest zbiorem orbit
działania G na X.
Przykład: Niech X = R 2 i niech grupa SO(2, R) działa w sposób naturalny na X. Wtedy
przestrzeń orbit X/G z topologią ilorazową jest promieniem {x ∈ R ∣ x ≥ 0}. Jeśli C n ⊂ SO(2, R)
jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2π/n, to X/C n jest stożkiem.
Grupa euklidesowa: Niech R n będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny (∣). Odwzorowanie
φ : R n → R n o własności (φ(x)∣φ(y)) = (x∣y) ∀x, y ∈ R n nazywamy izometrią. Ćwiczenie:
sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań.
Lemat Każda izometria φ : R n → R n jest superpozycją t a ∘ A przekształcenia ortogonalnego A ∈
O(R n ) i translacji t a : R n → R n , x → x + a, a ∈ R n .
3 Zob. także http://pl.wikipedia.org/wiki/Krystalografia, http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group
16

Dowód: ćwiczenie.
Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy E(R n ).
Lemat
Grupa E(R n ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym O(n, R) ⋉ R n =: E(n, R).
Dowód: Niech [A] będzie macierzą odwzorowania A w dowolnej bazie ortonormalnej, a [a] kolumną
współrzędnych elementu a. Określmy odwzorowanie t a ∘ A → ([A], [a]) : E(R n ) → O(n, R) × R n .
Dla x ∈ R n mamy (t b ∘ B) ∘ (t a ∘ A)x = (t b ∘ B)(Ax + a) = BAx + Ba + b, wiec złożenie izometrii
indukuje następujące działanie grupowe na O(n, R) × R n : ([B], [b])([A], [a]) := ([B][A], [B][a] + [b]).
□
Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę E(n, R).
Kozwarta grupa Γ ⊂ E(n, R): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit R n /Γ
jest zwarta.
Przykład: Podgrupa Γ = {t a ∣ a ∈ Z n ⊂ R n } ∼ = Z n translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta.
Przestrzeń orbit R n /Z n jest torusem n-wymiarowym.
Obszar fundamentalny: Niech Γ ⊂ E(R n ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór F ⊂ R n nazywamy
obszarem fundamentalnym działania Γ na R n , jeśli
∪
gF = R n
g∈Γ
oraz g int(F ) ∩ g ′ int(F ) = ∅ dla g ∕= g ′ . Tutaj int(F ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru F ,
czyli takich punktów p ∈ F , które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty U ∋ p) zawarte
w F .
Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ =
Z n . Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów C n jest domknięty wycinek
nieograniczony o kącie 2π/n.
Krystalograficzna grupa Γ wymiaru n: Jest to dyskretna 4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej
E(n, R).
Przykład: Γ = Z n .
Twierdzenie
(Bieberbacha)
1. Jeżeli Γ ⊂ E(n, R) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ t := Γ ∩ (I × R n ) jest
normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ t
jest skończona). Ponadto, Γ t jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w
żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z Z n .
2. Dla każdego n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n.
3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone
w grupie A(n, R) afinicznych przeksztalceń R n .
4 Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym
w przestrzeni topologicznej X nazywamy taki podzbiór Y ⊂ X, że topologia indukowana na Y jest dyskretną.
17

(Bez dowodu.)
Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To
stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od
„kwazikryształów” i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem
ograniczonego „kawałka” tej struktury.
Przykład: Grupa Z 1 := {t (n,0) ∣ n ∈ Z} ⊂ E(2, R) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego.
Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru n wtedy
i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z Z n , będącą
maksymalną podgrupą abelową.
Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha.
Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny:
{∗} Z n ι 1
Γ
G
{∗}
{∗}
R n ∣∣
˜Γ
ι 2
G
∣∣
{∗}
ι 4
{∗} R n A(n, R) GL(n, R) {∗},
którego składniki określimy poniżej.
W pierwszym wierszu G := Γ/Z n , czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy
normalnej Z n w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę ˜Γ określmy jako iloczyn
półprosty G ⋉ R n , a odwzorowanie ι 1 , jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy
wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup f : G → Aut(Z n ) (wybieramy cięcie s : G → Γ i
określamy f(g) jako A s(g) ∣ Z n). Zauważmy, że Aut(Z n ) = GL(n, Z) (ostanie wyrażenie oznacza grupę
takich macierzy odwracalnych X, że X i X −1 mają współczynniki całkowite 5 ) i oznaczmy przez ˜f
złożenie f : G → GL(n, Z) ↩→ GL(n, R) = Aut(R n ), gdzie ↩→ jest włożeniem naturalnym.
Żeby określić odwzorowanie ι 2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów φ s : Γ → G×Z n (za pomocą
cięcia s). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl c ∈ Z 2 (G, Z n )
(odpowiadający homomorfizmowi f) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ
każdy kocykl na G o wartościach w Z n może być uważany za kocykl na G o wartościach w R n (ostatni
oznaczmy przez ˜c), na iloczynie kartezjańskim G × R n mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2)
(zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem ˜f i kocyklem
˜c.
Natępnie skorzystamy z faktu, że H 2 (G, R n ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi,
że każdy 2-kocykl na G o wartościach w R n jest kobrzegiem. W szczególności istnieje q ∈ C 1 (G, R n )
5 izomorfizm grupy Aut(Z n ) z grupą GL(n, Z) buduje się w sposób następujący. Niech e 1 , . . . , e n ∈ Z n ⊂ R n
będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy φ ∈ Aut(Z n ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą
o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu φ(e j ) po tej że bazie. Macierz odwrotna
będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie φ −1 rozumiane jako odwzorowanie R n → R n zachowuje kratę
Z n ⊂ R n , w szczególności φ −1 (e j ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy,
że każdy inny wybór bazy Ae 1 , . . . , Ae n , gdzie A ∈ GL(n, Z), zadaje inny izomorfizm Aut(Z n ) ∼ = GL(n, Z).
ι 3
18

taki, że dq = ˜c. Z ogólnej teorii wiemy, że q określa pewną bijekcję G × R n → G × R n , zadającą
izomorfizm wyżej określonej grupy G × R n z iloczynem półprostym ˜Γ := G × ˜f
R n . Oznaczmy tę
bijekcję przez ˜ι 2 , a ι 2 określmy jako złożenie G = G × Z n ↩→ G × R n ˜ι 2
→ ˜Γ.
Teraz połóżmy ι 3 := ˜f i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej Z n implikuje monomorficzność
odwzorowania ˜f. Istotnie, jeśli g ∈ G jest nietrywialnym elementem należącym do jądra
f, to A s(g) zostawia każdy element z Z n na miejscu, czyli s(g) komutuje z Z n . Wtedy podgrupa
generowana przez Z n i s(g) jest abelowa. Z drugiej strony s(g) ∕∈ Z n (bo s(g) leży w nietrywialnej
warstwie), co przeczy maksymalności Z n .
Wreszcie określimy odwzorowanie ι 4 . Grupa A(n, R) afinicznych przekształceń przestrzeni R n
jest iloczynem półprostym GL(n, R) ⋉ R n (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej).
Odwzorowanie ι 4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (G × ι3 R n ) w drugi
(GL(n, R) ⋉ R n ).
Ponieważ wszystkie odwzorowania ι j są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę
A(n, R). Zostało pokazać, że tak naprawdę G leży w O(n, R) ⊂ GL(n, R). To wynika z następującego
lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji.
Lemat Każda skończona grupa macierzy n × n o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy
macierzy ortogonalnych.
Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w E(n, R). Dyskretność tej podgrupy
wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego G oraz podzbioru
dyskretnego Z n ⊂ R n . Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ t
∼ = Z n (tę implikację przyjmujemy
bez dowodu). □
Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje
pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków:
1. Opisać wszystkie skończone podgrupy G grupy GL(n, Z) (z dokładnością do izomorfizmu).
2. Opisać wszystkie włożenia ι : G → GL(n, Z) ∼ = Aut(Z n ), czyli działania wierne (z dokładnością
do równoważności).
3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p. 2.
4. Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia
odpowiadające różnym elementom H 2 (G, Z n ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy
mogą być izomorficzne).
Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup „tapetowych” Grupami tapetowymi nazywamy
grupy krystalograficzne wymiaru n = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu.
Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech G ⊂ GL(2, Z) będzie podgrupą skończoną. Wtedy
G jest izomorficzna z jedną z następujących grup
{I}, C 2 , C 3 , C 4 , C 6 , D 2 , D 3 , D 4 , D 6 .
Przy tym grupa C 2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy D 2 i D 3 ma ich 2.
19

Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby
jedno) włożenie grup C 3 , C 6 w GL(2, Z).
Trzy nierównoważne włożenia grupy C 2 = {e, v} w GL(2, Z) zadają się wzorami v → M i , i =
1, 2, 3, gdzie M 1 :=
[ −1 0
0 −1
]
, M 2 :=
[ 0 1
1 0
]
, M 3 :=
[ 1 0
0 −1
]
odpowiednio.
Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę H 2 (C 2 , Z 2 ) dla trzech powyższych działań C 2 na Z 2 i
zbudować odpowiednie grupy tapetowe.
Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu c ∈ Z 2 (G, G 1 ):
f g c(h, j) − c(gh, j) + c(g, hj) − c(g, h) = 0, g, h, j ∈ G.
Podstawiając g, e, e lub e, e, j zamiast g, h, j otrzymujemy odpowiednio
f g c(e, e) = c(g, e), c(e, j) = c(e, e).
W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl c na grupie dwuelementowej
G = C 2 = {e, v} wystarczy określić c(e, e) oraz c(v, v).
Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy c(e, e), c(v, v) grupy G 1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo
sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy v, v, v zamiast g, h, j:
f v c(v, v) − c(e, v) + c(v, e) − c(v, v) = 0
(tutaj skorzystaliśmy z tego, że v 2 = e), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów:
f v c(v, v) − c(e, e) + f v c(e, e) − c(v, v) = 0. (3)
Podobnie, każdy 1-kołańcuch q ∈ C 1 (C 2 , G 1 ) określony jest przez zadanie q(e) oraz q(v), a z definicji
„różniczki” d mamy
Z.
dq(e, e) = q(e) − q(e) + q(e) = q(e), dq(g, g) = f g q(g) − q(e) + q(g).
Niech G := C 2 , G 1 := Z 2 , c(e, e) := (a, b), c(v, v) := (r, s), q(e) := (m, n), q(v) := (k, l), a, b, r, s, m, n, k, l ∈
Przypadek 1: f : C 2 → GL(2, Z), f v := M 1 . Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz (−r, −s) − (a, b) +
(−a, −b) − (r, s) = 0, skąd r = −a, s = −b. Zbadajmy, czy kocykl c może być kobrzegiem dq:
(a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = (−k, −l) − (m, n) + (k, l) = (−m, −n).
Czyli, jeśli określimy q(e) := (a, b), a q(v) dowolnie, będziemy mieli c = dq. Innymi słowy H 2 (C 2 , Z 2 ) = 0 w
tym przypadku.
Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy t (0,0) ∘ M 1 , t (1,0) , t (0,1) i
być grupą symetrii poniższej „tapety”
20

Przypadek 2: f : C 2 → GL(2, Z), f v := M 2 . Wtedy (s, r) − (a, b) + (b, a) − (r, s) = 0, skąd a + r = b + s. Czy
kocykl c może być kobrzegiem dq?
(a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = (l, k)−(m, n)+(k, l) = (k+l−m, k+l−n).
Określmy q(e) wzorem q(e) := (a, b), a q(v) := (k, l) tak, żeby k + l = a + r = b + s. Wtedy c = dq, czyli
H 2 (C 2 , Z 2 ) = 0 i w tym przypadku.
Przykładowa grupa tapetowa jest generowana przez elementy M 2 , t (1,0) i jest grupą symetrii następującej
„tapety”
Przypadek 3: f : C 2 → GL(2, Z), f v := M 3 . Wtedy (r, −s) − (a, b) + (a, −b) − (r, s) = 0, skąd s = −b. Czy
kocykl c może być kobrzegiem dq?
(a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, −b) = c(v, v) = dq(v, v) = (k, −l)−(m, n)+(k, l) = (2k−m, −n).
Spróbujmy określić q wzorami q(e) := (a, b), q(v) := (k, l) tak, żeby 2k − a = r. Widać, że a + r musi być
liczbą parzystą. Stąd naprzykład kocykl c zadany przez c(e, e) = (0, 1), c(v, v) = (1, −1) jest kohomologicznie
nietrywialny, czyli nie istnieje q ∈ C 1 (C 2 , Z 2 ) takiego, że dq = c!
Łatwo też zrozumieć, że każdy kocykl c ∈ Z 1 (C 2 , Z 2 ) rozumiany jako element Z 1 (C 2 , R 2 ) jest kohomologicznie
trywialny (por. dowód twierdzenia Zassenhausa), bo k obliczamy ze wzoru k = (r + a)/2.
Obliczmy grupę H 2 (C 2 , Z 2 ) (czyli ile jest tych kocykli nietrywialnych). Każdy kocykl wyznacza się
jednoznacznie przez liczby a, b, r, mamy więc, Z 2 (C 2 , Z 2 ) ∼ = Z 3 . Z kolei, B 2 (C 2 , Z 2 ) = {(a, b, 2k − a) ∣
a, b, k ∈ Z} = {(a, b, x) ∣ a + x ∈ 2Z}. Zauważmy, że B 2 (C 2 , Z 2 ) ⊂ Z 2 (C 2 , Z 2 ) jest jądrem epimorfizmu
Z 3 → Z/2Z, (a, b, x) → [a + x], gdzie [a + x] jest klasą parzystości liczby a + x. Ostatecznie, H 2 (C 2 , Z 2 ) ∼ =
Z/2Z ∼ = C 2 .
W przypadku 3 mamy 2 nieizomorficzne grupy tapetowe odpowiadające 2 elementom grupy H 2 . Jedna,
odpowiadająca kocyklowi trywialnemu, przykładowo jest generowana przez M 3 , t (2,0) , t (1,0) i jest grupą symetrii
„tapety”
Druga, odpowiadająca kocyklowi nietrywialnemu, naprzykład może być generowana przez t (1/2,0) ∘ M 3 , t (0,1)
i jest grupą symetrii „tapety”
21

Jak „zobaczyć” nietrywialny kocykl c? Najpierw zauważmy, że elementy grupy Γ są kombinacjami
p k 1
q l 1
⋅ ⋅ ⋅ p km q lm , gdzie k i , l i ∈ Z, a p = t (0,1) , q = t ((1/2),0) ∘ M 3 są wyżej wymieniomymi generatorami.
Ponieważ, jak łatwo sprawdzić q 2 = t (1,0) , M 3 ∘ t (1/2,0) = t (1/2,0) ∘ M 3 oraz M 3 ∘ p = t (0,−1) ∘ M 3 , każdy
element grupy Γ jest postaci t (n,l) lub t (n/2,l) ∘ M 3 , gdzie n, l ∈ Z.
Przypomnijmy (zob. dowód lematu o dopuszczalnych mnożeniach w iloczynie kartezjańskim G 2 × G 1 ),
że wartość kocyklu c(g, h) można „odczytać” z mnożenia elementów postaci (g, 0), (h, 0) w iloczynie kartezjańskim.
Wybierzmy cięcie s : C 2 → Γ naprzykład tak: e → s t (0,1) , v → s t (1/2,0) ∘ M 3 . Taki wybór cięcia daje
nam utożsamienie t (0,1) → (e, (0, 0)), t (1/2,0) ∘ M 3 → (v, (0, 0)) i, jako wniosek, następujące utożsamienie Γ
(jako zbioru) z C 2 × Z 2 ψ
ψ
: t (n,l) → (e, (n, l − 1)), t(n/2,l) ∘ M 3 → (v, (n − 1, l)) (tutaj n, l ∈ Z). Mamy
(e, (0, 0))(e, (0, 0)) = ψ(t (0,1) )ψ(t (0,1) ) = ψ(t (0,1) t (0,1) ) = ψ(t (0,2) ) = (e, (0, 1)),
skąd c(e, e) = (0, 1). Analogicznie
(v, (0, 0))(v, (0, 0)) = ψ(t (1/2,0) ∘ M 3 )ψ(t (1/2,0) ∘ M 3 ) = ψ(t (1/2,0) ∘ M 3 ∘ t (1/2,0) ∘ M 3 ) = ψ(t (1,0) ) = (e, (1, −1)),
skąd c(v, v) = (1, −1).
22

6 Elementarna teoria reprezentacji, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ser88]
Reprezentacja grupy G w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K: jest to lewe działanie
ν : G × V → V grupy G na V poprzez transformacje liniowe. Definicja równoważna: Reprezentacją
G w V nazywamy homomorfizm ρ : G → GL(V ) z grupy G w grupę odwracalnych liniowych (nad
K) przekształceń przestrzeni V .
Ćwiczenie 1: Sprawdzić równoważność definicji, czyli pokazać, że 1) odwzorowanie ρ ν (g) = ν(g, ⋅) :
V → V należy do GL(V ); 2) odwzorowanie g → ρ ν (g) : G → GL(V ) jest homomorfizmem; 3)
odwrotnie, jeśli ρ : G → GL(V ) pewien homomorfizm, to ν ρ (g, v) := ρ(g)v jest działaniem liniowym.
Ćwiczenie 2: Sprawdzić, że w sposób podobny każde prawe działanie liniowe ν : V ×G → V (będziemy
takie działania nazywać antyreprezentacjami) generuje pewien antyhomomorfizm ρ : G → GL(V )
(czyli ρ(g 1 g 2 ) = ρ(g 2 )ρ(g 1 )).
Ćwiczenie 3: Udowodnić, że każde prawe działanie x → xg grupy G na zbiorze X zadaje lewe
działanie według wzoru gx := xg −1 i na odwrót.
Przykład podstawowy: Niech ν : X × G → X będzie prawym działaniem grupy G na dowolnym
zbiorze X i niech V := Fun(X, K) będzie przestrzenią funkcji na X o wartościach w K. Wtedy
wzór (gf)(x) := f(xg), g ∈ G, x ∈ X, f ∈ V , zadaje reprezentację G w V . Istotnie, przekształcenie
f → gf jest liniowe oraz ((g 1 g 2 )f)(x) = f(x(g 1 g 2 )) = f((xg 1 )g 2 ) = (g 2 f)(xg 1 ) = (g 1 (g 2 f))(x).
W ten oto sposób możemy sprowadzić badanie dowolnych działań do badania działań liniowych.
Uwaga: Jest kilka wersji powyższej konstrukcji. Na przykład, każde lewe działanie G na X zadaje antyreprezentację
(fg)(x) := f(gx), bądź, ze względu na powyższe Ćwiczenie, reprezentację (gf)(x) :=
f(g −1 x).
Podprzestrzeń niezmiennicza W ⊂ V reprezentacji ν : G × V → V : Jest to podprzestrzeń W
o własności GW ⊂ W (równoważnie, ρ(g)W ⊂ W ∀g ∈ G).
W podprzestrzeni niezmienniczej W ⊂ V mamy nową reprezentacje grupy G. Jest nią ν∣ G×W :
G × W → W (nazywamy ją podreprezentacją reprezentacji ν).
Przykład: Niech G będzie grupą obrotów w R 3 mających wspólną oś. Wtedy właśnie ta oś jest
podprzestrzenią niezmienniczą.
Reprezentacja nieprzywiedlna: Jest to reprezentacja nie posiadająca nietrywialnych (różnych od
{0} i V ) podprzestrzeni niezmienniczych.
Przykład: Niech G = SO(R 2 ) z naturalnym działaniem na R 2 . Jest to reprezentacja nieprzywiedlna,
bo każda nietrywialna podprzestrzeń jest prostą przechodzącą przez zero, a żadna z takich
prostych nie zachowuje się przez grupę obrotów.
Zauważmy, że grupa G jest izomorficzna z grupą z poprzedniego przykładu. W ten sposób mamy
dwie nierównoważne reprezentacje grupy SO(R 2 ).
Reprezentacje nieprzywiedlne będą „cegiełkami”, które będziemy próbować „sklasyfikować” i z
których będziemy budować inne reprezentacje.
Reprezentacja w pełni przywiedlna: Jest to reprezentacja G o tej własności, że dla każdej
podprzestrzeni W ⊂ V niezmienniczej istnieje niezmiennicza podprzestrzeń dopełniająca Z ⊂ V
(czyli taka, że W ⊕ Z = V ).
23

[ a b
Przykład: Niech grupa G := {
0 a
[ a b
0 a
]
∣ a, b ∈ R} działa w sposób naturalny na R 2 :
] [ x
y
]
=
[ ax + by
ay
[ ] x
Wtedy W := { ∣ x ∈ R} jest podprzestrenią niezmienniczą tego działania, dla której nie istnieje
0
dopełniającej podprzestrzeni niezmienniczej. Dlaczego?
Rozkład skończeniewymiarowej reprezentacji ν : G × V → V w pełni przywiedlnej na
nieprzywiedlne: Algorytm: Jeśli V jest nieprzywiedlna, koniec. Jeśli nie, istnieje podprzestrzeń
niezmiennicza V 1 ⊂ V i dopełniająca podprzestrzeń niezmiennicza V 2 . Jeśli obie są nieprzywiedlne,
koniec. Jeśli nie, stosujemy powyższy algorytm do V 1 oraz V 2 .
Iterując powyższe działania, na końcu (tutaj przydaje się skończeniewymiarowość) otrzymamy
rozkład V = W 1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ W k przestrzeni V na nieprzywiedlne podprzestrzenie niezmiennicze.
Zupełna przywiedlność reprezentacji grup skończonych
Twierdzenie Niech G będzie grupą skończoną, a V przestrzenią skończeniewymiarową nad ciałem
K równym R lub C. Wtedy każda reprezentacja G w V jest w pełni przywiedlna.
Najpierw udowodnimy następujący
Lemat W założeniach powyższego twierdzenia, na V istnieje niezmienniczy istnieje iloczyn skalarny
(∣) (dwuliniowy w przypadku rzeczywistym i półtoraliniowy w zespolonym). Niezmienniczość oznacza
]
.
(gx∣gy) = (x∣y) ∀g ∈ G, x, y ∈ V.
Dowód: Niech ⟨∣⟩ dowolny iloczyn skalarny. Okreśłmy
(x∣y) := ∑ h∈G⟨hx∣hy⟩.
Niezmienniczość (∣) jest oczywista: (gx∣gy) = ∑ h∈G ⟨hgx∣hgy⟩ = ∑ h∈G
⟨hx∣hy⟩ = (x∣y).
Sprawdzamy własności iloczynu skalarnego. 1) dwuliniowość (półtoraliniowość) wynika z tej
że własności ⟨∣⟩ oraz z liniowości odwzorowania x → gx; 2) symetria, (x∣y) = (y∣x), i nieujemna
określoność, (x∣x) ≥ 0, – z tych że własności ⟨∣⟩; 3) (∣) jest niezdegenerowany: (x∣x) =
⟨hx∣hx⟩ = 0 implikuje (na mocy dodatniej określoności ⟨∣⟩) następującą własność:
∑
h∈G
⟨hx∣hx⟩ = 0 ∀h ∈ G,
w szczególności ⟨x∣x⟩ = 0 i x = 0. □
Teraz jesteśmy w stanie udowodnić twierdzenie. Niech W ⊂ V będzie podprzestrzenią niezmienniczą.
Wtedy dopełnienie ortogonalne W ⊥ względem (∣) tez będzie niezmiennicze. Istotnie, jeśli
w ∈ W ⊥ , to (w∣v) = 0 dla każdego v ∈ W . Ale z niezmienniczości (∣) również (gw∣gv) = 0 dla
każdego v ∈ W . Ponieważ gv przebiega całe W , gdy v przebiega W , wnioskujemy, że gw ∈ W ⊥ ,
czyli W ⊥ jest podprzestrzenią niezmienniczą. □
24

Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że odwzorowania x → gx, g ∈ G w bazie ortonormalnej przestrzeni
V reprezentują się przez macierze ortogonalne (w przypadku K = R) lub unitarne (w przypadku K =
C). W szczególności, otrzymaliśmy dowód lematu, z którego korzystaliśmy w dowodzie twierdzenia
Zassenhausa.
Niektóre operacje na reprezentacjach
Reprezentacja dualna do reprezentacji ρ : G → GL(V ): jest to reprezentacja ρ ∗ : G → GL(V ∗ )
określona przez ρ ∗ (g) := (ρ(g −1 )) ∗ . Można też określić ρ ∗ (g) := (ρ(g)) ∗ , ale to będzie antyreprezentacja.
Suma prosta reprezentacji ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ): Jest to reprezentacja ρ grupy G w
przestrzeni V 1 ⊕ V 2 zadana przez ρ(g) := (ρ 1 (g), ρ 2 (g)). Jeśli ρ 1 (g), ρ 2 (g) są reprezentowane przez
macierze z GL(n, K), GL(m, K) odpowiednio, to ρ(g) jest reprezentowana przez macierz
[
ρ1 (g) 0
0 ρ 2 (g)
Iloczyn tensorowy reprezentacji ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ): Jest to reprezentacja ρ grupy G
w przestrzeni V 1 ⊗ V 2 zadana przez ρ(g) := ρ 1 (g) ⊗ ρ 2 (g). Jeśli ρ 1 (g), ρ 2 (g) są reprezentowane przez
macierze [ρ 1 (g)] ∈ GL(n, K), [ρ 2 (g)] ∈ GL(m, K), to ρ(g) jest reprezentowana przez macierz będącą
iloczynem tensorowym tych macierzy.
Przypomnijmy, że, jeśli operator A ∈ GL(V 1 ) jest reprezentowany przez macierz [A] := A i j w bazie
r 1 , . . . , r n , czyli Ar j = A i jr i (stosujemy konwencję Einsteina: sumujemy po jednakowym indeksach),
a operator B ∈ GL(V 2 ) jest reprezentowany przez macierz [B] := B k l w bazie s 1 , . . . , s m (czyli
Bs l = B k l ls k), to A ⊗ B(e j ⊗ e l ) := Ar j ⊗ Bs l = A i jB k l r i ⊗ s k .
Innymi słowy, w bazie r i ⊗ s k , i = 1, . . . , n, k ∈ 1, . . . , m, operator A ⊗ B jest reprezentowany
przez macierz A i jB k l . 25
]
.

7 Elementarna teoria reprezentacji, cz. II
Literatura dodatkowa: [Ser88, Ada69]
Założenia: W tym rozdziale rozpatrujemy tylko skończone grupy G i ich skończeniewymiarowe
reprezentacje w przestrzeniach wektorowych nad C.
Charakter reprezentacji ρ : G → GL(V ): Jest to funkcja χ ρ : G → C zadana wzorem χ ρ (g) :=
Tr(ρ(g)). Przypomnijmy, że Tr A oznacza ślad operatora liniowego działającego w przestrzeni liniowej.
Jeśli [A] := A i j jest macierzą reprezentującą operator A w jakiejkolwiek bazie, to Tr A
obliczamy jako Tr[A] = A i i (kontynuujemy wykorzystanie konwencji Einsteina). Przy tym wynik
nie zależy od wyboru bazy dzięki łatwo sprawdzalnej tożsamości Tr[A][B] = Tr[B][A], z której w
szczególności wynika, że Tr[B][A][B] −1 = Tr[A] dla dowolnej macierzy niezdegenerowanej [B].
Niektóre własności charakteru χ ρ
Lemat 1. χ ρ (e) = dim V ;
2. χ ρ (g −1 ) = χ ρ (g) ∀g ∈ G;
3. χ ρ (hgh −1 ) = χ ρ (g) ∀g, h ∈ G.
Dowód: Ad. 1. χ ρ (e) = Tr Id V = dim V .
Ad. 2. Z istnienia niezmienniczego iloczynu skalarnego na V wynika, że wartości własne λ i operatora
ρ(g) spełniają warunek λ i λ i = 1 (istotnie, jeśli x i jest odpowiednim wektorem własnym, to (x i ∣x i ) =
(ρ(g)x i ∣ρ(g)x i ) = (λ i x i ∣λ i x i ) = λ i λ i (x i ∣x i ), skąd λ i λ i = 1).
Niech λ 1 , . . . , λ n , n = dim V , będą wartościami własnymi operatora ρ(g) z uwzględnieniem krotności.
Wtedy
χ ρ (g) = Tr ρ(g) = ∑ λ i = ∑ λ −1
i = Tr(ρ(g) −1 ) = Tr(ρ(g −1 )) = χ ρ (g −1 ).
Ad. 3. χ ρ (hgh −1 ) = Tr(ρ(h)ρ(g)ρ(h) −1 ) = Tr ρ(g) = χ ρ (g). □
Charakter a operacje nad reprezentacjami
Lemat
Niech ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ) będą dwiema reprezentacjami. Wtedy
1. χ ρ ∗
1
= χ ρ1 ;
2. χ ρ1 ⊕ρ 2
= χ ρ1 + χ ρ2 ;
3. χ ρ1 ⊗ρ 2
= χ ρ1 ⋅ χ ρ2
Dowód - ćwiczenie
Operatory splatające i równoważność reprezentacji: Niech ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G →
GL(V 2 ) będą dwiema reprezentacjami. Operatorem splatającym pomiędzy ρ 1 i ρ 2 nazywamy taki
operator F : V 1 → V 2 , że następujący diagram jest przemienny dla dowolnego g ∈ G:
V 1
ρ 1 (g)
F
V 1
F
V 2
ρ 2 (g) V 2 .
26

Przestrzeń operatorów splatających z V 1 do V 2 będziemy oznaczali Hom G (V 1 , V 2 ).
Mówimy, że reprezentacje ρ 1 i ρ 2 są równoważne 6 , jeśli istnieje operator splatający będący izomorfizmem
przestrzeni liniowych.
Uwaga: Reprezentacje równoważne mają jednakowe charaktery: ρ 1 (g) = F −1 ∘ ρ 2 (g) ∘ F , skąd
Tr ρ 1 (g) = Tr ρ 2 (g).
Lemat Schura
Lemat Niech ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ) będą dwiema reprezentacjami nieprzywiedlnymi i
niech F : V 1 → V 2 będzie operatorem splatającym. Wtedy
1. Jeśli ρ 1 i ρ 2 nie są równoważne, to F = 0.
2. Jeśli V 1 = V 2 =: V, ρ 1 = ρ 2 , to F = λ Id V dla pewnego λ ∈ C.
Dowód: Ad. 1. Niech W 1 := ker F ⊂ V 1 . Wtedy W 1 jest podprzestrzenią niezmienniczą względem
reprezentacji ρ 1 . Istotnie, jeśli w ∈ W 1 , to F ρ 1 (g)w = ρ 2 (g)F w = 0, skąd ρ 1 (g)w ∈ W 1 . Z nieprzywiedlności
ρ 1 wynika, że W 1 = V 1 (koniec dowodu) lub W 1 = {0}, czyli F jest monomorfizmem.
Niech teraz W 2 := im F ⊂ V 2 . Okazuje się, że i W 2 jest podprzestrzenią niezmienniczą (względem
ρ 2 ): ρ 2 (g)W 2 = ρ 2 (g)F V 1 = F ρ 1 (g)V 1 ⊂ W 2 . Znowu nieprzywiedlność implikuje, że W 2 = {0} (koniec
dowodu) lub W 2 = V 2 . Ostatnia możliwość nie może zachodzić ze względu na to, że reprezentacje
ρ 1 , ρ 2 nie są równoważne.
Ad. 2. Niech λ pewna wartość własna operatora F . Połóżmy F ′ := F − λ Id V . Wtedy F ′ też jest
operatorem splatającym (pomiędzy ρ i ρ, gdzie ρ := ρ 1 = ρ 2 ). Argumenty przytoczone w pierwszej
części dowodu pozwalają wywnioskować, że F ′ = 0 (czyli F = λ Id V – koniec dowodu) lub F ′ jest
izomorfizmem. Ostatnia możliwość nie zachodzi, bo F ′ ma nietrywialne jądro (zawierające wektor
własny odpowiadający wartości własnej λ). □
Wnioskiem z lematu Schura jest następujący fakt: dim Hom G (V 1 , V 2 ) = 0 w przypadku, gdy ρ 1 , ρ 2
nie są równoważne, oraz dim Hom G (V, V ) = 1.
Relacje ortogonalności dla charakterów: Rozważmy przestrzeń Fun(G, C) funkcji na G o wartościach
zespolonych. Następujące parowanie
(φ∣ψ) := 1
∣G∣
∑
φ(g)ψ(g) φ, ψ ∈ Fun(G, C)
g∈G
(tutaj ∣G∣ oznacza rząd, czyli ilość elementów grupy G) spełnia wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego
(Ćwiczenie).
Twierdzenie
Niech ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ) będą dwiema reprezentacjami. Wtedy
(χ ρ1 ∣χ ρ2 ) = dim Hom G (V 1 , V 2 ).
W szczególności, charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą układ ortonormalny.
Do dowodu tego twierdzenia będziemy potrzebowali następujący
6 Por. definicję z Wykładu 2
27

∑
Lemat Niech ρ : G → GL(V ) będzie reprezentacją. Połóżmy P := 1
∣G∣ g∈G
ρ(g) : V → V . Wtedy
1. Operator P jest projektorem, czyli P 2 = P .
2. im P = V G := {x ∈ V ∣ ρ(g)x = x ∀g ∈ G}.
Dowód: Ad. 1. P 2 1
=
1
∣G∣
∑g∈G
∑h∈G ρ(gh) = ∑
1
2 ∣G∣ g∈G
∣G∣
∑g∈G ρ(g)( 1
∣G∣
∑h∈G ρ(h)) = ∑
1
∣G∣
∑g∈G
2 h∈G ρ(g)ρ(h) =
P = P .
∑
g∈G ρ(hg)y =
Ad. 2. Jeśli x ∈ im P , to x = 1
1
∣G∣
∑g∈G
ρ(g)y dla pewnego y ∈ V oraz ρ(h)x =
∣G∣
P y = x, czyli im P ⊂ V G . Odwrotnie, jeśli X ∈ V jest punktem stałym reprezentacji ρ, to P x =
1
∣G∣
∑g∈G ρ(g)x = 1
∣G∣
∑
g∈G
x = x, skąd x ∈ im P . □
Dowód twierdzenia: Oznaczmy przez Hom(V 1 , V 2 ) przestrzeń operatorów liniowych z V 1 w V 2 i zadajmy
działanie grupy G na tej przestrzeni wzorem (ρ(g)F )(x) := ρ 2 (g)(F (ρ 1 (g −1 )x) (Ćwiczenie:
sprawdzić, że w ten sposób otrzymujemy reprezentację grupy G w przestrzeni Hom(V 1 , V 2 )). Element
F ∈ Hom(V 1 , V 2 ) jest punktem stałym tego działania, jeśli i tylko jeśli dla każdego g ∈ G
natępujący diagram jest przemienny:
ρ 1 (g
V −1 )
1
V 1
F
F
V 2
ρ 2 (g) V2 ,
czyli F jest operatorem splatającym. Innymi słowy Hom(V 1 , V 2 ) G = Hom G (V 1 , V 2 ).
Rozważmy odwzorowanie α : V1 ∗ ⊗V 2 → Hom(V 1 , V 2 ) zadane wzorem (α(γ ⊗v 2 ))v 1 := γ(v 1 )v 2 , γ ∈
V1 ∗ , v i ∈ V i . Jest to izomorfizm przestrzeni liniowych, przy czym działanie ρ przechodzi na następujące:
˜ρ(g)(γ ⊗ v 2 ) := ρ ∗ 1(g)γ ⊗ ρ 2 (g)v 2 , gdzie (ρ ∗ 1(g)γ)(v 1 ) = γ(ρ 1 (g −1 )v 1 ) (działanie dualne do ρ 1 ).
Reprezentacje ρ i ˜ρ są równoważne, mamy więc χ ρ = χ˜ρ . Ostatecznie mamy
(χ 1 ∣χ 2 ) = 1
∣G∣
∑
g∈G
χ 1 (g)χ 2 (g) = 1
∣G∣
∑
g∈G
χ˜ρ = 1
∣G∣
∑
g∈G
dim Hom G (V 1 , V 2 ).
χ ρ = 1
∣G∣
∑
Tr ρ(g) = Tr P = dim im P =
Tutaj skorzystaliśmy z faktu, że ślad projektora jest równy wymiarowi jego obrazu (istotnie, każdy
rzut jest operatorem diagonalizowalnym z wartościami własnymi równymi 1, 0, przy czym wymiar
obrazu jest równy krotności wartości własnej 1). □
g∈G
28

8 Elementarna teoria reprezentacji, cz. III
Założenia: Jak i w poprzednim, w tym rozdziale rozpatrujemy tylko skończone grupy G i ich
skończeniewymiarowe reprezentacje w przestrzeniach wektorowych nad C.
Charakter reprezentacji wyznacza ją z dokładnością do równoważności:
Twierdzenie 1. Niech ρ : G → GL(V ) będzie reprezentacją, a V = W 1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ W k jej rozkładem
na podreprezentacje nieprzywiedlne 7 . Jeśli ρ 0 : G → W jest pewną reprezentacją nieprzywiedlną,
to ilość składowych W i równoważnych z W jest równa (χ ρ ∣χ ρ0 ) (liczbę tę nazywamy
krotnością wchodzenia reprezentacji W w reprezentację V ).
2. Reprezentacje o tych samych charakterach są równoważne.
Dowód: Ad. 1. Na mocy twierdzeń z poprzedniego wykładu mamy χ ρ = χ 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + χ k , gdzie χ i jest
charakterem reprezentacji W i , oraz
(χ ρ ∣χ ρ0 ) = (χ 1 ∣χ ρ0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (χ k ∣χ ρ0 ) = dim Hom G (W 1 , W ) + ⋅ ⋅ ⋅ + dim Hom G (W k , W ).
Lemat Schura, z kolei, mówi, że w ostatniej sumie „przeżywają” tylko te człony, które odpowiadają
składowym W i równoważnym z W .
Ad. 2. Niech ρ 1 : G → GL(V 1 ), ρ 2 : G → GL(V 2 ) będą dwiema reprezentacjami z χ ρ1 = χ ρ2 .
Wtedy dowolna nieprzywiedlna reprezentacja ρ : G → GL(W ) wchodzi w V 1 i V 2 z jedna i tę samą
krotnością, równą (χ ρ ∣χ ρ1 ) = (χ ρ ∣χ ρ2 ). □
Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji:
Twierdzenie Reprezentacja ρ : G → GL(V ) jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy (χ ρ ∣χ ρ ) =
1.
Dowód: Jeśli V jest nieprzywiedlna, to „wchodzi w siebie” z krotnością 1. Odwrotnie, niech ρ będzie
dowolną reprezentacją, a V = W 1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ W k jej rozkładem na podreprezentacje nieprzywiedlne.
Wtedy (χ ρ ∣χ ρ ) = ∑ ij (χ i∣χ j ). Z relacji ortogonalności wnioskujemy, że, jeśli ta suma jest równa 1,
to k = 1.
Ile jest reprezentacji nieprzywiedlnych? Klasą sprzężoności nazywamy orbitę działania G ∋
a → A a ∈ Aut(G) grupy G na sobie poprzez automorfizmy wewnętrzne. Innymi słowy, dwa elementy
a, b ∈ G należą do jednej klasy spzężoności wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g ∈ G taki, że a = gbg −1 .
Funkcją klas nazywamy funkcję F : G → C stałą na klasach sprzężoności. Funkcje klas tworzą
przestzeń wektrową, którą będziemy oznaczali prez Cl(G). Z poprzedniego wykładu wiemy, że każdy
charakter reprezentacji jest funkcją klas. Okazuje się, że charaktery prawie wyczerpują funkcje klas.
Dokładniej, ma miejsce
Twierdzenie
Cl(G).
1. Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą bazę ortonormalną przestrzeni
7 Taki rozkład jest dalece niejednoznaczny. Np. dla reprezentacji grupy G := C ∗ = (C ∕=0 , ⋅) w przestrzeni C 2 zadanej
wzorem C ∗ ∋ λ → λI ∈ GL(2, C) każda podprzestrzeń 1-wymiarowa będzie podreprezentacją nieprzywiedlna. Czyli
C 2 można rozłożyć na nieprzywiedlne na nieskończenie wiele sposobów.
29

2. Ilość nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych grupy G jest równa liczbie klas sprężoności.
Dowód: Ad. 2. Z punktu 1 wynika, że liczba nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych jest
równa dim Cl(G). Z drugiej strony funkcja klas wyznacza się jednoznacznie przez swoje wartości na
tych klasach, czyli dim Cl(G) jest równe liczbie klas sprzężoności. □
Żeby udowodnić punkt 1 musimy udowodnić pewny lemat i omówić tzw. reprezentację regularną
grupy.
Lemat
Niech ρ : G → GL(V ) będzie pewną reprezentacją, a F ∈ Cl(G). Wtedy:
1. Operator L(ρ, F ) : ∑ g∈G
F (g)ρ(g) : V → V jest operatorem splatającym (pomiędzy ρ i ρ);
2. W przypadku, gdy ρ jest nieprzywiedlna, L(ρ, F ) = λ Id V oraz λ = ∣G∣
dim V (F ∣χ ρ).
Dowód: Ad. 1. Mamy ρ(h)L(ρ, F )ρ(h) −1 = ∑ g∈G F (g)ρ(h)ρ(g)ρ(h)−1 = ∑ g∈G F (g)ρ(hgh−1 ) =
∑
g∈G
F (g)ρ(g) = L(ρ, F ), więc ρ(h)L(ρ, F ) = L(ρ, F )ρ(h) dla dowolnego h ∈ G, czyli L jest operatorem
splatającym.
Ad. 2. Z lematu Schura wnioskujemy, że L(ρ, F ) = λ Id V . Obliczmy ślad tego operatora. Z jednej
strony Tr(λ Id V ) = λ dim V , z innej zaś
Tr L(ρ, F ) = ∑ g∈G
F (g) Tr ρ(g) = ∑ g∈G
F (g)χ ρ (g) = ∣G∣(F ∣χ ρ ).□
Reprezentacja regularna grupy G: Oznaczmy elementy grupy G przez e 1 , . . . , e n , przy czym
niech e 1 := e. Wtedy G działa na {e 1 , . . . , e n } z lewej strony przez lewe mnożenie: e i → ge i . Oznaczmy
przez V reg przestrzeń wektorową rozpiętą przez wektory e 1 , . . . , e n orzaz przedłużmy powyższe
działanie do liniowego działania na V reg według liniowości (czyli g(α 1 e 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + α n e n ) := α 1 ge 1 + ⋅ ⋅ ⋅ +
α n ge n ). Otrzymaną reprezentację nazywamy (lewą) regularną reprezentacją grupy G.
Dowód punktu 1 twierdzenia: Z relacji ortogonalności wiemy, że charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych
tworzą układ ortonormalny. Czyli, do udowodnienia zostaje tylko zupełność tego układu.
Innymi słowy, musimy dowieść, że nie istnieje funkcji klas ortogonalnej do wszystkich charakterów
reprezentacji nieprzywiedlnych.
Otóż niech F taka funkcja. Wtedy, według powyższego lematu, operator L(ρ, F ) jest zerowy
dla dowolnej nieprzywiedlnej reprezentacji ρ. Ponieważ każda reprezentacja rozkłada się na nieprzywiedlne,
mamy też L(ρ, F ) = 0 dla dowolnej reprezentacji, w szczególności dla reprezentacji regularnej
ρ = ρ reg . Stąd
0 = L(ρ reg , F )e 1 = ∑ F (g)ge 1 .
g∈G
Ponieważ wektory {ge 1 } g∈G tworzą układ liniowo niezależny w V reg , mamy F (g) = 0 dla każdego
g ∈ G, czyli F ≡ 0. □
Rozkład reprezentacji regularnej na nieprzywiedlne:
Twierdzenie 1. Każda reprezentacja nieprzywiedlna ρ i : G → GL(V i ) wchodzi w V reg z krotnością
równą swojemu wymiarowi n i := dim V i .
30

2. Wymiary n i spełniają tożsamość. ∑
n 2 i = ∣G∣.
i
Dowód: Ad. 1. Niech g ∕= e, wtedy dla każdego h ∈ G mamy gh ∕= h. Czyli dla każdego i wektor
ρ reg (g)e i w rozkładzie po bazie e 1 , . . . , e n nie ma nietrywialnego składnika proporcjonalnego do e i .
Stąd wnioskujemy, że wszystkie wyrazy diagonalne macierzy operatora ρ reg (g) w bazie e 1 , . . . , e n są
zerowe i Tr ρ reg (g) = χ ρreg (g) = 0.
Z kolei χ ρreg (e) = Tr Id Vreg = ∣G∣.
Stosując twierdzenie o krotności wchodzenia, mamy
(χ ρreg ∣χ ρi ) = 1
∣G∣
∑
g∈G
χ ρreg (g)χ ρi (g) = 1
∣G∣ χ ρ reg
(e)χ ρi (e) = 1
∣G∣ ∣G∣χ ρ i
(e) = n i .
Ad. 2. Z punktu 1 widzimy, że χ ρreg = ∑ i n iχ ρi . Obliczjąc to wyrażenie na elemencie neutralnym e,
otrzymujemy szukaną tożsamość. □
Reprezentacje nieprzywiedlne ρ : G → GL(V ) grup abelowych: Są jednowymiarowe. Istotnie,
ponieważ gh = hg, mamy ρ(g)ρ(h) = ρ(h)ρ(g) dal wszystkich g, h ∈ G, skąd operator ρ(h) jest
operatorem splatającym dla ρ. Według lematu Schura ma być postaci ρ(h) = λ(h) Id V przy czym
λ(h 1 h 2 ) = λ(h 1 )λ(h 2 ), czyli λ : G → C ∗ = GL(1, C) jest homomorfizmem. Jasne, że reprezentacja
h → λ(h) Id V jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy dim V = 1 (lub 0, co nie rozpatrujemy,
bo jest trywialne).
Zauważmy, że reprezentacja jednowymiarowa G → GL(C) = C ∗ każdej grupy pokrywa się ze
swoim charakterem χ ρ : G → C.
Przykład: Znajdźmy wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy cyklicznej C n = {e, a, a 2 , . . . , a n−1 }.
Wiemy, że są jednowymiarowe i, ponieważ wymiar reprezentacji regularnej jest n, ma ich być n.
Każda taka reprezentacja ma postać e → 1, a → λ = χ(a) ∈ C ∗ , a k = λ k , k = 2, . . . , n − 1, przy czym
λ n = 1. Stąd λ musi być jednym z pierwiastków n-go stopnia z jedynki {1, ε, ε 2 , . . . , ε n−1 }, ε = e 2iπ/n .
Tabela charakterów dla n = 4 ma postać
e a a 2 a 3
χ 0 1 1 1 1
χ 1 1 ε ε 2 ε 3
χ 2 1 ε 2 1 ε 2
χ 3 1 ε 3 ε 2 ε
Przykład: Grupa D 2
∼ = V4
∼ = Z2 × Z 2 . Ogólnie grupa D n symetrii n-kąta foremnego składa
się z elementów postaci e, a, a 2 , . . . , a n−1 , gdzie a obrót płaszczyzny o kąt 2π/n oraz elementów
postaci s, sa, sa 2 , . . . , sa n−1 , gdzie s jakiekolwiek odbicie zachowujące wielokąt. Elementy te spełniają
następujące relacje: a n = e, s 2 = e, sa k s = a −k . Grupa D n jest iloczynem półprostym C 2 × fC n .
Tutaj C 2 := {e, s}, f : C 2 → AutC n jest dane wzorem f(e) = Id, f(s)a k = a −k .
W szczególności, D 2 , grupa symetrii 2-kąta foremnego (jak śmiesznie to nie brzmi), składa się z
e, a, s, sa. Ponieważ sas = a −1 = a i s −1 = s, mamy sa = as oraz asa = s = saa, ssa = a = sas, czyli
jest przemienna. Ma więc mieć 4 jednowymiarowe reprezentacje nieprzywiedlne. Każdy z elementów
g grupy jest inwolucją, czyli g 2 = e, skąd odpowiadająca mu 1 × 1-macierz ρ(g) musi być równa ±1.
31

Ponadto ρ(e) = 1. Łatwo się przekonać, że tylko następujące 4 wektory spełnieją te wymogi i tworzą
układ ortonormalny:
e a s sa
χ 0 1 1 1 1
χ 1 1 -1 1 -1
χ 2 1 -1 -1 1
χ 3 1 1 -1 -1
Komutant grupy i reprezentacje: Komutantem G ′ grupy G nazywamy najmniejszą podgrupę
normalną G ′ ⊂ G taką, że grupa ilorazowa G/G ′ jest abelowa. Jeśli ρ ′ : G/G ′ → GL(V ) jest
reprezentacją nieprzywiedlną grupy G/G ′ (V musi być 1-wymiarowe), to ρ ′ ∘ π, gdzie π : G → G/G ′
jest rzutem naturalnym, jest nieprzywiedlną reprezentacją grupy G.
Prykład: Niech G := D 3 . Wtedy G ′ = C 3 = {e, a, a 2 } a G/G ′ ∼ = C2 . Klasy sprzężoności są następujące
{e}, {a, a 2 }, {s, sa, sa 2 }. Grupa G ma 2 reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące
z reprezentacji G/G ′ = C 2 . Oto ich charaktery
e a a 2 s sa sa 2
χ 0 1 1 1 1 1 1
χ 1 1 1 1 -1 -1 -1
Reprezentacja regularna jest 6-wymiarowa, więc mamy dwie możliwości: albo jeszcze 4 reprezentacje
1-wymiarowe, albo jedna reprezentacja 2-wymiarowa (wchodząca z krotnością 2). Okazuje
się, ( że zachodzi druga możliwość: ) ( rozważmy ) naturalną reprezentację G na R 2 daną wzorami a →
cos 2π/3 − sin 2π/3
1 0
, s →
i zinterpretujmy ją jako reprezentację w C
sin 2π/3 cos 2π/3
0 −1
2 . Tabelka
uzupełni się do następującej:
e a a 2 s sa sa 2
χ 0 1 1 1 1 1 1
χ 1 1 1 1 -1 -1 -1
χ 2 2 -1 -1 0 0 0
Ponieważ (χ 2 ∣χ 2 ) = 1, odpowiednia reprezentacja jest nieprzywiedlna.
Prykład: Niech G := D 4 . Wtedy G ′ = C 2 = {e, a 2 } a G/G ′ ∼ = D2 . Istotnie, sa 2 s = a 2 , (sa)a 2 (sa) −1 =
(sa)a 2 a 3 s = sa 2 s = a 2 , (sa 2 )a 2 (sa 2 ) −1 = sa 2 a 2 a 2 s = a 2 , (sa 3 )a 2 (sa 3 ) −1 = sa 3 a 2 as = a 2 , czyli G ′ jest
normalna. Oto odpowiednie warstwy i ich tabelka mnożenia:
{e, a 2 } {a, a 3 } {s, sa 2 } {sa, sa 3 }
{e, a 2 } {e, a 2 } {a, a 3 } {s, sa 2 } {sa, sa 3 }
{a, a 3 } {a, a 3 } {e, a 2 } {sa, sa 3 } {s, sa 2 }
{s, sa 2 } {s, sa 2 } {sa, sa 3 } {e, a 2 } {a, a 3 }
{sa, sa 3 } {sa, sa 3 } {s, sa 2 } {a, a 3 } {e, a 2 }
Stąd widzimy izomorfizm G/G ′ ∼ = D2 . Klasy sprzężoności są następujące: {e}, {a 2 }, {a, a 3 },
{s, sa 2 }, {sa, sa 3 }. Grupa G ma 4 reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące z reprezentacji
G/G ′ = D 2 oraz jedną reprezentację nieprzywiedlną 2-wymiarową pochodzącą z reprezentacji
( cos 2π/4 − sin 2π/4
naturalnej na R 2 : a →
sin 2π/4 cos 2π/4
)
, s →
32
( 1 0
0 −1
)
. A oto tabela charakterów:

e a a 2 a 3 s sa sa 2 sa 3
χ 0 1 1 1 1 1 1 1 1
χ 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
χ 2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
χ 3 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
χ 4 2 0 -2 0 0 0 0 0
33

9 Reprezentacje indukowane, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ser88, CR88]
Dygresja algebraiczna:
Pierścień: Jest to grupa abelowa (A, +) (odpowiednie działanie nazywamy dodawaniem) wyposażona
w dodatkowe działanie (a, b) → a ⋅ b (nazywane mnożeniem), które spełnia następujące aksjomaty:
1. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) ∀a, b, c ∈ A (mnożenie jest łączne);
2. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ∀a, b, c ∈ A.
Mówimy, że (A, +, ⋅) jest pierścieniem z jedynką, jeśli istnieje element 1 ∈ A będący elementem
neutralnym względem mnożenia, tj. 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a ∀a ∈ A.
Przykład: Pierścień Z liczb całkowitych.
Przykład: Każde ciało K jest pierścieniem.
Przykład: Zbiór Fun(X, K) funkcji na dowolnym zbiorze X o wartościach w dowolnym ciele K jest
piersćieniem z jedynką (1 jest funkcja stała, równa jeden). Jest to przykład pierścienia przemiennego
nie będącego ciałem (o ile zbiór X jest więcej niż jednoelementowy).
Przykład: Zbiór Mat(k, K) macierzy k×k o wyrazach w ciele K jest pierścieniem z jedynką (1 = I).
Jest to przykład pierścienia nieprzemiennego (o ile k > 1).
Przykład: Zbiór C 0 (R k , R) funkcji ciagłych na R k o wartościach w R znikających w zerze jest
przykładem pierścienia bez jedynki.
Lewy moduł nad pierścieniem A z jedynką: Jest to grupa abelowa (M, +) wyposażona w działanie
ν : A×M → M (zapis skrócony ν(a, m) := am, a ∈ A, m ∈ M), które spełnia następujące aksjomaty:
1. a(m + n) = am + an ∀a ∈ A, m, n ∈ M;
2. (a + b)m = am + bm ∀a, b ∈ A, m ∈ M;
3. (a ⋅ b)m = a(bm) ∀a, b ∈ A, m ∈ M;
4. 1m = m ∀m ∈ M.
Uwaga: Analogicznie definiujemy pojęcie prawego modułu nad A. Jeśli pierścień jest przemienny,
każdy lewy moduł może być przekształcony w prawy ma := am i odwrotnie.
Przykład: Niech A := K będzie ciałem, a M przestrzenią wektorową nad K. Wtedy M jest lewym
(i prawym) K-modułem.
Przykład: Niech A := Fun(X, K), a M := Fun(X, K k ) będzie zbiorem funkcji na X o wartościach
w K k . Wtedy M jest lewym modułem nad A względem naturalnego mnożenia wektor-funkcji przez
funkcję.
Przykład: Niech A := Mat(k, K), a M := K k . Wtedy M jest lewym modułem nad A względem
naturalnego działania macierzy na wektory kolumny.
34

Przykład: Niech M := A i ab := a ⋅ b. Wtedy M jest modułem nad sobą. Ogólniej, niech
M := A × ⋅ ⋅ ⋅ × A będzie iloczynem prostym grup (A, +). Wprowadzając działanie a(a 1 , . . . , a k ) :=
(a ⋅ a 1 , . . . , a ⋅ a k ) otrzymujemy lewy A-moduł A k .
Przykład: Każda grupa abelowa (H, +) jest lewym modułem nad Z. Działanie zadajemy tak:
nh := h + ⋅ ⋅ ⋅ + h (n razy). Odwrotnie, każdy Z-moduł jest poprostu grupą abelową.
Morfizm modułow N i M nad A: Jest to homomorfizm f : M → N grup (M, +), (N, +) „respektujący”
działanie A, czyli taki, że f(am) = af(m), a ∈ A, m ∈ M. Izomorfizmem nazywamy morfizm
będący bijekcją (odwrotność jest automatycznie morfizmem - Ćwiczenie).
Iloczyn tensorowy modułów M i N nad A: Niech N będzie lewym, a M prawym modułem nad
A. Niech H będzie dowolną grupą abelową oraz f : M × N → H będzie homomorfizmem grup o
własnościach 1) f(m 1 + m 2 , n) = f(m 1 , n) + f(m 2 , n) ∀m 1 , m 2 ∈ M, n ∈ N; 2) f(m, n 1 + n 2 ) =
f(m, n 1 ) + f(m, n 2 ) ∀m ∈ M, n 1 , n 2 ∈ N; 3) f(ma, n) = f(m, an) ∀m ∈ M, n ∈ N, a ∈ A. Wtedy
mówimy, że f jest zbalansowany.
Konstrukcja: Niech F (M, N) oznacza zbiór formalnych skończonych kombinacji liniowych elementów
z M ×N o współczynnikach całkowitych. Jest to Z-moduł, czyli grupa abelowa. Przez F 0 (M, N)
oznaczamy podgrupę generowaną przez elementy postaci (m 1 + m 2 , n) − (m 1 , n) − (m 2 , n), (m, n 1 +
n 2 ) − (m, n 1 ) + (m, n 2 ), (ma, n) − (m, an). Połóżmy M ⊗ A N := F (M, N)/F 0 (M, N) oraz określmy
π : M × N → M ⊗ A N wzorem π(m, n) :=: m ⊗ n := (m, n) + F 0 (M, N).
Twierdzenie 1. Kanoniczne odwzorowanie π : M × N → M ⊗ A N jest zbalansowanym homomorfizmem
grup.
2. Dla dowolnej grupy abelowej H oraz homomorfizmu zbalansowanego f : M × N → H istnieje
jedyny homomorfizm grup M ⊗ A N → H taki, że następujący diagram jest przemienny:
M ⊗ A N
π
M × N f H.
3. Jeśli dodatkowo M jest lewym modułem nad pierścieniem A ′ , to M ⊗ A N też jest lewym A ′
modułem (działanie zadajemy tak: a ′ (m ⊗ n) := (a ′ m) ⊗ n).
Dowod - Ćwiczenie
Algebra nad ciałem K: jest to pierścień (A, +, ⋅) wyposażony w dodatkowe działanie K × A → A
(mnożenie przez skalary) takie, że 1) (A, +) wraz z tym działaniem jest przestrzenią wektorową; 2)
α(a ⋅ b) = (αa) ⋅ b = a ⋅ (αb) ∀α ∈ K, a, b ∈ A.
Przykład: Wszystkie powyższe przykłady pierścieni oprócz Z są jednocześnie przykładami algebr.
Lewy moduł nad algebrą A z jedynką: Jest to lewy moduł M nad pierścieniem (A, +, ⋅) wyposażony w
dodatkową strukturę przestrzeni wektorowej nad K, przy czym (αa)m = a(αm) ∀α ∈ K, a ∈ A, m ∈
M.
Przykład: Wszystkie powyższe przykłady modułów oprócz modułów nad Z są jednocześnie przykładami
modułów nad algebrami.
35

Algebra grupowa C[G] grupy skończonej G: Jest to przestrzeń wektorowa V reg = Span C {e 1 , . . . , e n }
reprezentacji regularnej, w której zadane jest naturalne mnożenie: (α 1 e 1 +⋅ ⋅ ⋅ α n e n )⋅(β 1 e 1 +⋅ ⋅ ⋅ β n e n ) :=
∑
ij α iβ j e i ⋅ e j . Algebra C[G] jest algebrą z jedynką (1 = e 1 = e).
Uwaga: Inne spojrzenie na algebrę grupową (które jest bardziej stosowne pod kątem uogólnienia na
grupy nieskończone) jest następujące. Rozważmy zbiór Fun(G, C) funkcji na G o wartościach w C i
zadajmy w nim mnożenie (splot funkcji) następującym wzorem:
F ∗ S(g) := ∑ h∈G
F (gh −1 )S(h).
Niech E i oznacza funkcję zadaną wzorem
{
E i (e j ) = δ ij i niech e i ⋅ e j = e k . Wtedy E i ∗ E j (e r ) =
∑ n 1 jeśli
l=1 E i(e r e −1
l
)E j (e l ) = E i (e r e −1
ei e
j ) =
j = e r
= E
0 jeśli e i e j ∕= e k (e r ). Stąd E i ∗ E j = E k ⇔ e i ⋅ e j = e k ,
r
czyli widzimy izomorfizm algebr (C[G], ⋅) i (Fun(G, C), ∗).
Reprezentacje G = lewe C[G]-moduły: Niech V będzie przestrenią wektorową nad C, w której
liniowo działa grupa skończona G. Wtedy V jest lewym modułem nad C[G]: (α 1 e 1 + ⋅ ⋅ ⋅ α n e n )x :=
α 1 e 1 x + ⋅ ⋅ ⋅ α n e n x. Łatwo sprawdzić, że aksjomaty działania implikują aksjomaty modułu. Odwrotnie,
jeśli V jest lewym C[G]-modułem, ograniczając się do działania elementów bazowych e 1 , . . . , e n
otrzymujemy rprezentacje grupy G w V .
Uwaga: Operatory splatające pomiędzy dwiema reprezentacjami V 1 i V 2 odpowiadają morfizmom
C[G]-modułow (Ćwiczenie: sprawdzić).
36

10 Reprezentacje indukowane, cz. II
Literatura dodatkowa: [Ser88, CR88]
Reprezentacje indukowane: Niech H ⊂ G będzie podgrupą grupy skończonej G i niech W ⊂ V
będą takimi przestrzeniami wektorowymi, że G działa liniowo na V (czyli mamy homomorfizm ρ :
G → GL(V )) i
HW ⊂ W (4)
(czyli ρ(H)W ⊂ W ). Łatwo się przekonać, że podprzestrzeń sW ⊂ V zależy tylko od prawej warstwy
sH = {sh ∣ h ∈ H} elementu s ∈ G ze względu na podgrupę H, a nie zależy od wyboru reprezentanta
s danej warstwy. Istotnie, (sh)W = s(hW ) = sW .
Niech R ⊂ G oznacza zbiór reprezentantów warstw (każda warstwa jest reprezentowana jedynym
reprezentantem 8 ). Suma ∑ s∈G sW = ∑ r∈R
rW ⊂ V jest podprzestrzenią niezmienniczą ze względu
na działanie grupy G.
Jeśli
∑
rW = V (5)
i , ponadto, jest to suma prosta, czyli
r∈R
rW ∩ r ′ W = {0}, (6)
gdzie r, r ′ reprezentują różne warstwy, mówimy, że reprezentacja V grupy G jest indukowana przez
reprezentację W podgrupy H.
Lemat Istnieje jedyna (z dokładnością do równoważności) reprezentacja grupy G indukowana przez
zadaną reprezentację podgrupy H w przestrzeni W .
Dowód: Rozważmy reprezentację W jako lewy C[H]-moduł, a algebrę grupową C[G] jako prawy
C[H]-moduł (ostatnie jest możliwe, ponieważ każda algebra A może być rozpatrywana jako lewy
i prawy moduł nad dowolną swoją podalgebrą B ⊂ A). Teraz możemy rozpatrzeć grupę abelową
V := C[G] ⊗ C[H] W . Co więcej, można je rozpatrywać jako lewy C[G]-moduł, czyli reprezentację
grupy G.
Warunek (4) dla tej reprezentacji V wynika z tego, że przestrzeń W jest włożona w V jako C[H]-
podmoduł 9 . Włożenie takie realizuje się wzorem W ∋ w → 1 ⊗ w ∈ 1 ⊗ W = {1 ⊗ w ∣ w ∈ W } ⊂ V .
Istotnie, dla h ∈ C[H], w ∈ W mamy h(1 ⊗ w) = (h1) ⊗ w = (1h) ⊗ w = 1 ⊗ hw, czyli włożenie
w → 1 ⊗ w jest morfizmem C[H]-modułow.
Warunek (5) z kolei jest wnioskiem z faktu, że grupa G jest sumą teoretyko-mnogościową warstw
sH. Istotnie, ostatni warunek oznacza rozkład C[G] = ∑ r∈R
C[rH], gdzie oznaczyliśmy przez C[rH]
powłokę liniową (nad C) warstwy rH, a sumę rozumiemy w sensie teorii przestrzeni liniowych.
Powyższy rozkład daje rozkład V = ∑ r∈R C[rH]⊗ C[H] W = ∑ r∈R rC[H]⊗ C[H] W = ∑ r∈R r ⊗ C[H] W .
Wreszcie zauważmy, że różne warstwy mają puste przecięcie, co oznacza, że w powyższych wzorach
możemy zastąpić znak sumy znakiem sumy prostej, co daje warunek (6).
8 Umówmy się, ze warstwa H jest reprezentowana przez e
9 Podmodułem modułu V nad algebrą A nazywamy podgrupę W ⊂ V stabilną ze względu na działanie A, czyli
taką, że AW ⊂ W
37

Zostało pokazać jednoznaczność. W tym celu rozważmy dowolną G-reprezentację V ′ indukowaną
przez H-reprezentację W i skorzystajmy z rozkładu V ′ = ⊕ r∈R rW . Odwzorowanie F : V ′ → V
zadajemy wzorem rw → r ⊗ w dla w ∈ W, r ∈ R. Jest to liniowa (nad C) injekcja, a obliczenie
wymiarów V i V ′ pokazuje, że jest to też i bijekcja. Łatwo widać też, że jest to morfizm C[G]-
modułów. □
Charakter reprezentacji ρ : G → GL(V ) indukowanej przez H-reprezentację W :
Twierdzenie
Niech χ W : H → C będzie charakterem reprezentacji W . Wtedy
χ ρ (x) = 1
∣H∣
∑
g∈G,g −1 xg∈H
χ W (g −1 xg).
Dowód: Każdy element x ∈ G wyznacza automorfizm ρ(x) przestrzeni V = ⊕ r∈R
rW , który
przestawia podprzestrzenie rW . Dla każdego r ∈ R wybierzemy bazę {e(r) 1 , . . . , e(r) w } przestrzeni
rW taką, że {e(r) 1 , . . . , e(r) w } r∈R jest bazą V . Na diagonali macierzy automorfizmu ρ(x) w tej
bazie niezerowe wyrazy będą odpowiadały tylko tym elementom e(r) i , dla których xrW = rW , czyli
xr ∈ rH, czyli r −1 xr ∈ H.
Stąd Tr ρ(x) = ∑ r∈R,r −1 xr∈H Tr(ρ(x)∣ rW ). Z innej strony, przemienny diagram
ρ(r)
W ρ(r−1 xr) W
rW ρ(x) rW
pokazuje, że Tr(ρ(x)∣ rW ) = Tr(ρ(r −1 xr)∣ W ) = χ W (r −1 xr). Mamy więc
∑
χ ρ (x) =
χ W (r −1 xr).
r∈R,r −1 xr∈H
Teraz zauważmy, że dla wszystkich g ∈ rH (g = rh dla pewnego h ∈ H) mamy równoważność
g −1 xg ∈ H ⇐⇒ h −1 r −1 xrh ∈ H ⇐⇒ r −1 xr ∈ H oraz, w założeniu, że r −1 xr ∈ H, równość
χ W (g −1 xg) = χ W (h −1 r −1 xrh) = χ W (r −1 xr) (bo χ W ∈ Cl(H)). Stąd teza. □
Wzorując na wzorze z twierdzenia połóżmy dla dowolnej F ∈ Cl(H)
Wzór wzajemności Frobeniusa:
IndF (x) := 1
∣H∣
∑
ρ(r)
g∈G,g −1 xg∈H
F (g −1 xg).
Twierdzenie
Niech F ∈ Cl(H), S ∈ Cl(G). Oznaczmy ResS := S∣ H . Wtedy
(F ∣ResS) H = (IndF ∣S) G .
38

Dowód: Korzystając z własności charakteru χ(g) = χ(g −1 ) mamy
(IndF ∣S) G = 1 ∑
∣G∣∣H∣
x∈G
1
∣G∣∣H∣
∑
x,g∈G,g −1 xg∈H
∑
g∈G,g −1 xg∈H
F (g −1 xg)S(x) =
F (g −1 x −1 g)S(x).
Podstawiając do ostatniego wyrażenia y −1 = g −1 x −1 g otrzymujemy
1
∣G∣∣H∣
(IndF ∣S) G = 1
∣G∣∣H∣
∑
g∈G,y∈H
F (y)S(y) = 1
∣H∣
∑
g∈G,y∈H
F (y −1 )S(gyg −1 ) =
∑
F (y)S(y) = (F ∣ResS) H .□
Przykład: Grupa T ostrosłupa: Grupa T obrotów ostrosłupa foremnego jest izomorficzna z
A 4 i ma następujące klasy sprzężoności:
y∈H
K 1 1
K 2 (12)(34),(13)(24),(14)(23)
K 3 (123),(214),(314),(432)
K 4 (132),(241),(314),(423)
Suma K 1 ∪K 2 jest komutantem T ′ grupy T , który jest izomorficzny z D 2 . Iloraz T/T ′ ma 3 elementy,
jest więc izomorficzny z C 3 . Mamy trzy reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące z
reprezentacji C 3 :
K 1 K 2 K 3 K 4
V 1 1 1 1 1
V 2 1 1 ε ε 2
V 3 1 1 ε 2 ε
Z rozkładu reprezentacji regularnej wnioskujemy, że brak nam jeszcze jednej reprezentacji 3-wymiarowej
albo dziewięciu 1-wymiarowych. Ostatnia możliwość nie zachodzi, ponieważ grupa, której wszystkie
nieprzywiedlne reprezentacje są 1-wymiarowe jest abelowa (Ćwiczenie). Łatwo pokazać, że brakująca
reprezentacja 3-wymiarowa V jest reprezentacją naturalną grupy T w przestrzeni 3-wymiarowej.
Spójrzmy na tę reprezentację z punktu widzenia reprezentacji indukowanych. Oznaczmy elementy
grupy T ′ przez e, a, b, c i rozważmy 1-wymiarowa reprezentację ρ ′ podgrupy H = T ′ taką,
że ρ ′ (a) = −1, ρ ′ (b) = −1 oraz indukowaną reprezentację V o charakterze χ V = Indχ ρ ′. Wtedy
(χ ρ ′∣Resχ Vi ) H = 0 (bo χ ρ ′ = ρ ′ , ρ ′ (e) = 1, ρ ′ (a) = −1, ρ ′ (b) = −1, ρ ′ (c) = 1, Resχ Vi (e) = Resχ Vi (a) =
Resχ Vi (b) = Resχ Vi (c) = 1). Ze wzoru wzajemności Frobeniusa mamy też (χ V ∣χ vi ) G = 0. Stąd
żadna z reprezentacji V i nie wchodzi do V , co pokazuje nieprzywiedlność ostatniej. Istotnie, V jest
3-wymiarowa (bo ∣G/H∣ = ∣T/T ′ ∣ = 3). Gdyby była przywiedlna, musiałaby zawierać niezmienniczą
podprzestrzeń 1-wymiarową, która, z kolei, musiałaby być izomorficzną z jedną z V i . Ćwiczenie:
obliczyć charakter reprezentacji V na dwa sposoby: 1) z tabelki charakterów; 2) korzystając ze
wzoru na charakter reprezentacji indukowanej.
39

11 Reprezentacje rzeczywiste i kwaternionowe
Literatura dodatkowa: [Ada69, iJIM93, Tra]
Dygresja liniowo-algebraiczna
Kompleksyfikacja V C rzeczywistej przestrzeni wektorowej V : Jest to przestrzeń wektorowa
nad C zdefiniowana przez V C := C ⊗ R V ; tutaj rozumiemy C jako prawy R-moduł, a V jako lewy.
Jeśli e 1 , . . . , e n jest bazą przestrzeni V , możemy patrzeć na V C jako na zbiór formalnych kombinacji
liniowych α 1 e 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + α n e n o współczynnikach zespolonych z naturalnymi operacjami przestrzeni
wektorowej. Przy tym α i e i odpowiadają tensorom prostym α i ⊗ e i , a wektory e 1 , . . . , e n tworzą też
bazę przestrzeni V C . Z tej interpretacji wnioskujemy, że dim C V C = dim R V .
Mamy też R-izomorfizm C ⊗ R V = (R ⊕ iR) ⊗ R V ∼ = V ⊕ iV .
Kompleksyfikacja L C : V C → V C operatora liniowego L : V → V : L C := Id C ⊗L. Jeśli [L]
jest macierzą operatora L w bazie e 1 , . . . , e n , to macierz operatora L C w tej że bazie, interpretowanej
jako baza V C , będzie się pokrywała z [L].
Struktura rzeczywista na przestrzeni zespolonej: Teraz spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:
co wyróżnia przestrzenie będące kompleksyfikacjami wśród wszystkich przestrzeni zespolonych?
Na przestrzeni W := V C jest naturalna operacja sprzężenia R : α ⊗ v → ¯α ⊗ v, α ∈ C, v ∈ V . Ma
ona następujące własności: 1) R : W → W jest operatorem półliniowym, czyli addytywnym oraz
takim, że R(βw) = ¯βR(w), β ∈ C, w ∈ W ; 2) R 2 = Id; 3) zbiór punktów stałych odwzorowania R
pokrywa się z V ⊂ V C (tutaj V jest włożone w V C jako zbiór {α ⊗ v ∣ α ∈ R, v ∈ V }).
Teraz niech W będzie dowolną przestrzenią wektorową nad C. Strukturą rzeczywistą na przestrzeni
W nazwiemy odwzorowanie R : W → W spełniające warunki 1), 2). Jeśli R jest takim operatorem,
to zbiór V := W R jego punktów stałych ma strukturę przestrzeni wektorowej nad R. Istotnie, V
jest zamknięte ze względu na dodawanie (oczywiste, bo R addytywny) oraz ze względu na mnożenie
przez skalary z R (Rw = w, β ∈ R =⇒ R(βw) = βRw = βw).
Ponadto, mamy naturalny C-izomorfizm W → V C . Istotnie, niech e 1 , . . . , e n będzie bazą przestrzeni
W R . Wtedy ie 1 , . . . , ie n jest bazą przestrzeni własnej W −1 ⊂ W operatora R odpowiadającej wartości
własnej −1 i mamy W = W R ⊕ W −1 = W R ⊕ iW R = C ⊗ W R . Łatwo widzieć, że izomorfizm ten
nie zależy od wyboru bazy w W R .
Jeśli L : W → W jest operatorem C-liniowym, to L = N C dla pewnego operatora R-liniowego
N : V → V wtedy i tylko wtedy, gdy LR = RL. Istotnie, ostatni warunek oznacza, że L zachowuje
V = W R ; połóżmy N := L∣ V . Ćwiczenie: dopracować szczegóły.
Urzeczywistnienie (forma rzeczywista) V R przestrzeni zespolonej V : Ponieważ R ⊂ C
możemy patrzeć na V jako na przestrzeń wektorową nad R, którą będziemy oznaczali przez V R . Przy
tym V i V R pokrywają się jako zbiory, ale dim R V R = 2 dim C V . Istotnie, jeśli e 1 , . . . , e n jest bazą V ,
to wektory e 1 , . . . , e n , ie 1 , . . . , ie n tworzą bazę V R .
Forma rzeczywista L R operatora zespolonego L : V → V : Jest to operator L rozumiany jako
operator R-liniowy działający z V R w V R . Jeśli [L] jest macierzą operatora L w bazie e 1 , . . . , e n ,
i [L] = [L] ′ + i[L] ′′ , gdzie [L] ′ := Re[L], [L] ′′ := Im[L] (części rzeczywista i urojona), to macierz
operatora L R w bazie e 1 , . . . , e n , ie 1 , . . . , ie n jest dana wzorem (Ćwiczenie: sprawdzić).
[ ]
[L]
′
−[L] ′′
[L] ′′ [L] ′ .
40

Struktura zespolona na przestrzeni rzeczywistej V : A teraz pytanie: co wyróżnia przestrzenie
będące formami rzeczywistymi wśród wszystkich przestrzeni rzeczywistych? Odpowiedzialną za takie
wyróżnienie jest tzw. struktura zespolona na V . Jest to operator J : V → V o własności J 2 = − Id.
Operator ten jest odzwierciedleniem mnożenia przez jedynkę urojoną. Jeśli J jest takim operatorem,
wprowadzamy w V strukturę przestrzeni zespolonej przez iv := Jv, v ∈ V (dodawanie i mnożenie
przez skalary rzeczywiste mamy za darmo). W szczególności, wymiar przestrzeni V nad R musi być
parzysty.
Operator L : V → V jest forma rzeczywistą pewnego operatora zespolonego wtedy i tylko wtedy,
gdy LJ = JL.
Najpierw kompleksyfikacja, potem urzeczywistnienie: (V C ) R
∼ = V ⊕ V (Ćwiczenie).
Najpierw urzeczywistnienie, potem kompleksyfikacja: (V R ) C ∼ = V ⊕ V (Ćwiczenie); tutaj
przez V oznaczamy przestrzeń sprzężoną do V , czyli C-liniową przestrzeń, której struktura addytywna
pokrywa się z tą z V , a mnożenie przez skalary zadane jest wzorem α ∗ v := ¯αv, α ∈ C, v ∈ V .
Przestrzenie i operatory sprzężone: Przestrzenie sprzężone wprowadziliśmy wyżej. Niech L :
V → W będzie operatorem liniowym. Ten sam operator rozumiany jako operator V → W będziemy
oznaczać L − . Jest półliniowy: L − (αv) = αL − v = ¯α ∗ L − v. Analogicznie definiujemy operator
− L : V → W (też półliniowy), i kładziemy L := − L − : V → W (ostatni jest operatorem liniowym).
Algebra kwaternionów H: Jest to algebra nad R generowana jako przestrzeń wektorowa przez
cztery wektory 1, i, j, k spełniające następujące reguły mnożenia:
1. 1 jest elementem neutralnym względem mnożenia;
2. i 2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j.
Wnioskiem z powyższych reguł są tożsamości ji = −k, kj = −i, ik = −j oraz możliwość reprezentacji
kwaterniona α1 + βi + γj + δk w postaci α1 + βi + (γ1 + δi)j, czyli za pomocą pary liczb zespolonych
(α1 + βi, γ1 + δi). Inaczej, H = C ⊕ Cj.
Reprezentacja macierzowa algebry H: Łatwo się przekonać, że następujace macierze spełniają
powyższe reguły względem standardowego mnożenia macierzy:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 0 0 i 0 1 i 0
1 := , i := , j := , k := .
0 1 i 0 −1 0 0 −i
Wszystkie kombinacje liniowe tych macierzy o współczynnikach rzeczywistych będą tworzyły algebrę
H.
Prawa przestrzeń wektorowa V nad H: Jest to prawy moduł nad H (lewy moduł daje nierównoważne
pojęcie, ponieważ H jest nieprzemienna).
Operator H-liniowy na V definiujemy jako odwzorowanie L : V → V będące morfizmem H-
modułów (czyli addytywne odwzorowanie, spełniające L(vh) = L(v)h, v ∈ V, h ∈ H).
Forma zespolona V C kwaternionowej prawej przestrzeni liniowej V : Ponieważ C ⊂ H,
mamy strukturę przestrzeni C-liniowej na V . Formę zespoloną L C operatora H-liniowego L : V → V
definiujemy podobnie jak w przypadku formy rzeczywistej operatora zespolonego (czyli zapominamy,
że jest H-liniowy, a pamiętamy, że jest C-liniowy).
41

Struktura kwaternionowa na prestrzeni zespolonej V : Jest to struktura, która wyróżnia formy
zespolone przestrzeni kwaternionowych wśród przestrzeni zespolonych. Definiuje się jako operator
półliniowy H : V → V o własności H 2 = − Id (jest odzwierciedleniem prawego mnożenia przez j).
Jeśli H jest takim operatorem, wprowadzamy w V strukturę prawego H-modułu przez vj := Jv
(dodawanie i mnożenie przez skalary zespolone już mamy). W szczególności, wymiar przestrzeni V
nad C musi być parzysty.
Można pokazać, że operator L : V → V jest formą zespoloną wtedy i tylko wtedy, gdy LH = HL.
Jak to się przekłada na reprezentacje
Struktura rzeczywista R : W → W na reprezentacji zespolonej ρ : G → GL(V ): Jest
to struktura rzeczywista na przestrzeni zespolonej V , będąca operatorem splatającym dla ρ. Z
powyższych rozważań wnioskujemy, że W = V C , gdzie V := W R , oraz, że istnieje taka reprezentacja
rzeczywista τ : G → GL(V ), ze ρ(g) = τ(g) C dla każdego g ∈ G.
Reprezentacja kwaternionowa grupy G w prawej przestrzeni kwaternionowej V : Jest
to homomorfizm grup ζ : G → GL H (V ), gdzie przez GL H (V ) oznaczyliśmy grupę odwracalnych
H-liniowych odwzorowań z V w V .
Struktura kwaternionowa H : V → V na reprezentacji zespolonej ρ : G → GL(V ): Jest
to z kolei struktura kwaternionowa na przestrzeni zespolonej V , będąca operatorem splatającym
dla ρ. Możemy wprowadzić strukturę prawej H-przestrzeni liniowej na V oraz pokazać, że istnieje
reprezentacja kwaternionowa ζ : G → GL H (V ) taka, że ρ(g) = ζ(g) C dla dowolnego g ∈ G.
Reprezentacja sprzężona do reprezentacji zespolonej ρ : G → GL(V ): Jest to reprezentacja
ρ : G → GL(V ) w przestrzeni V zadana wzorem ρ(g) := ρ(g), g ∈ G. Reprezentacje ρ i ρ, na pozór
jednakowe, mogą być nie równoważne. Istotnie, operator v → v : V → V (czyli Id − ) jest operatorem
splatającym pomiędzy ρ i ρ, ale nie jest liniowy (jest półliniowy). Ale może też istnieć nietrywialny
operator liniowy splatający, realizujący równoważność ρ i ρ.
Lemat Niech ρ będzie reprezentacją nieprzywiedlną i równoważną z ρ i niech C : V → V będzie
(liniowym) operatorem splatającym, realizującym tę równoważność. Wtedy C jest określony z dokładnością
do czynnika liczbowego, który można wybrać tak, żeby C − : V → V było strukturą rzeczywistą
lub kwaternionową.
Dowód: Niech C ′ : V → V będzie innym operatorem splatającym, realizującym równoważność.
Wtedy C −1 C ′ : V → V jest operatorem splatającym (pomiędzy ρ i ρ) i według lematu Schura musi
być postaci λ Id dla pewnego λ ∈ C. Mamy więc C ′ = λC. Zauważmy, że operator C : V → V = V
jest operatorem splatającym (pomiędzy ρ i ρ), stąd możemy położyć C ′ := (C) −1 i dostać (C) −1 =
λC. Mamy więc CC = (1/λ) Id, CC = (1/¯λ) Id. Ponieważ Tr(CC) = Tr(CC), skalar λ musi być
rzeczywisty. Teraz zauważmy, że CC = (C − )(C − ). Zastępując C przez √ λC w przypadku λ > 0
lub przez i √ ∣λ∣ w przypadku λ < 0, otrzymujemy wynik. □
Typy reprezentacji: Mówimy, że reprezentacja zespolona ρ jest typu
1. zespolonego, jeśli ρ i ρ nie są równoważne;
2. rzeczywistego, jeśli są równoważne i C − po przeskalowaniu jest struktura rzeczywista;
3. kwaternionowego, jeśli są równoważne i C − po przeskalowaniu jest struktura kwaternionowa.
42

Twierdzenie (Frobeniusa–Schura) Niech χ będzie charakterem nieprzywiedlnej zespolonej reprezentacji
ρ : G → GL(V ) skończonej grupy G i niech
Wtedy
1. x = 0 ⇐⇒ ρ jest typu zespolonego;
2. x = 1 ⇐⇒ ρ jest typu rzeczywistego;
x := 1
∣G∣
3. x = −1 ⇐⇒ ρ jest typu kwaternionowego.
∑
χ(g 2 )
g∈G
Dowod: zob. [Tra].
Przykład: Rozważmy naturalną 1-wymiarową reprezentację grupy cyklicznej C n = {e, a, a 2 , . . . , a n−1 }
o charakterze χ, χ(a j ) = ε j , ε := e i2π/n . Reprezentacja ta nie może byc typu kwaternionowego, bo
wymiar przestrzeni jest nieparzysty.
Z kolei, żeby reprezentacja ta była typu rzeczywistego wartości własne wszystkich operatorów
reprezentacji muszą być rzeczywiste. To sugeruje, że ta reprezentacja jest typu rzeczywistego tylko
w przypadku n = 2. Istotnie, w tym przypadku x = (1/2)(χ(e 2 ) + χ(a 2 )) = (1/2)(χ(e) + χ(e)) = 1.
Dla n = 3 mamy x = (1/3)(χ(e 2 )+χ(a 2 )+χ(a 4 )) = (1/3)(χ(e)+χ(a 2 )+χ(a)) = (1/3)(1+ε 2 +ε) =
0.
Dla n = 4: x = (1/4)(χ(e 2 ) + χ(a 2 ) + χ(a 4 ) + χ(a 6 )) = (1/4)(χ(e) + χ(a 2 ) + χ(e) + χ(a 2 )) =
(1/4)(1 + (−1) + 1 + (−1)) = 0.
Ćwiczenie: Jak jest dla dowolnego n?
43

12 Grupy Liego, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ada69, Tra]
Grupa Liego: Jest to grupa (G, μ) taka, że G jest wyposażone w strukturę rozmaitości różniczkowej
o tej własności, że działanie grupowe μ : G × G → G oraz odwzorowanie ε : g → g −1 : G → G są
gładkie.
Przykład podstawowy: G := GL(n, R) = {X ∈ Mat(n, R) ∣ det X ∕= 0} grupa odwracalnych
macierzy n × n o wyrazach rzeczywistych. Funkcja det : Mat(n, R) ∼ = R n2 → R jest wielomianem na
R n2 , więc jest ciągła. Wnioskujemy stąd, że zbiór {X ∈ Mat(n, R) ∣ det x = 0} = det −1 (0) ⊂ R n2
jest domknięty, a jego dopełnienie GL(n, R) jest zbiorem otwartym w R n2 . Możemy teraz wyposażyć
G w strukturę rozmaitości gładkiej „odziedziczonej” z R n2 .
Mnożenie macierzy μ : Mat(n, R) × Mat(n, R) → Mat(n, R), (X, Y ) → XY , jest odwzorowaniem
wielomianowym R n2 × R n2 → R n2 , jest więc gładkie i zostaje takim po ograniczeniu do zbioru
otwartego G × G ⊂ Mat(n, R) × Mat(n, R).
Odwzorowanie ε : G → G, X → X −1 , jest zadane przez odwzorowanie wymierne na R n2 , czyli
takie, że jego składowe są stosunkami wielomianów. Przy tym wielomian pojawiający się w mianowniku
to wyznacznik. Ostatni nie zeruje się na podzbiorze G ⊂ R n2 , stąd ε również jest odwzorowaniem
gładkim.
Uwaga: Analogicznie możemy rozpatrywać grupę G := GK(n, C) odwracalnych macierzy n × n o
wyrazach zespolonych. Można ją rozpatrywać jako podzbiór otwarty w Mat(n, C) ∼ = C n2 ∼ = R
2n 2
i traktować jako grupę Liego. Istotnie, odwzorowania μ i ε będą odpowiednio wielomianowym i
wymiernym (z niezerującym się mianownikiem) odwzorowaniami od części rzeczywistych i urojonych
wyrazów macierzy.
Alternatywne spojrzenie polega na patrzeniu na G jako na rozmaitość zespoloną i zespoloną grupę
Liego.
Podgrupa Liego H ⊂ G w grupie Liego G: Jest to podgrupa, będąca podrozmaitośćią gładką w
G. Grupa H sama jest grupą Liego. Istotnie, odwzorowania μ : G × G → G i ε : G → G ograniczone
do H × H i H odpowiednio, są gładkie.
Przykład: Niech G := GL(1, C) ∼ = C ∗ , H := U(1) = {z ∈ GL(1, C) ∣ z¯z = 1}. Równanie z¯z = 1
w zmiennych rzeczywistych ma postać x 2 + y 2 = 1, czyli zadaje okręg jednostkowy, podrozmaitość
gładką w G.
Algebraiczne grupy liniowe: Są to podgrupy H ⊂ GL(n, R) grupy macierzy odwracalnych, będące
zbiorami algebraicznymi w Mat(n, R) ∼ = R n2 (zbiór H ⊂ R m nazywamy algebraicznym, jeśli istnieją
wielomiany f 1 , . . . , f k na R m takie, że H := {x ∈ R m ∣ f 1 (x) = 0, . . . , f k (x) = 0}).
Lemat
Algebraiczne grupy liniowe są podgrupami Liego w GL(n, R).
Dowód: Niech H := {x ∈ R n2 ∣ f 1 (x) = 0, . . . , f k (x) = 0} ⊂ GL(n, R) będzie algebraiczną grupą
liniową. Rozważmy macierz Jacobiego J[f](x) = [ ∂f i
∂x j
] i połóżmy r := max x∈H rank J[f](x), P :=
{x ∈ H ∣ rank J[f](x) = r}. Zauważmy, że zbiór P jest niepusty.
Skorzystajmy z „jednorodności” grupy H ⊂ GL(n, R). Dokładniej, niech y ∈ H będzie dowolnym
elementem, a x ∈ P . Wtedy istnieje h ∈ H taki, że hx = y. Odwzorowanie L h : GL(n, R) →
GL(n, R), g → hg, jest dyfeomorfizmem. Stąd rank J[f](y) = rank J[f](x) = r.
44

Widzimy, że rząd J[f] jest stały na całym H. Z twierdzenia o stałym rzędzie wnioskujemy, że H
jest powierzchnią (wymiaru n 2 − r). □
Przykład: G := SL(n, R) = {X ∈ GL(n, R) ∣ det X = 1}, T e G = {x ∈ Mat(n, R) ∣ Tr x = 0}.
Przykład: G := SL(n, C) = {X ∈ GL(n, C) ∣ det X = 1}.
Przykład: G := O(n, R) = {X ∈ GL(n, R) ∣ XX T = I n }.
Przykład: G := SO(n, R) = O(n, R) ∩ SL(n, R)
Przykład: G := Sp(n, R) = {X ∈ GL(2n, R) ∣ XJX T = J}, tutaj J :=
Przykład: G := U(n) = {X ∈ GL(n, C) ∣ XX T = I n }
Przykład: G := SU(n) = U(n) ∩ SL(n, C).
[ 0 In
−I n 0
Przykład: G := Sp(n) = {X ∈ GL(n, H) ∣ XX T = I n }, tutaj GL(n, H) oznacza grupę odwracalnych
macierzy n × n owyrazach kwaternionowych, a X oznacza macierz otrzymaną z macierzy X zastosowaniem
sprzężenia kwaternionowego do każdego wyrazu: α1 + βi + γj + δk = α1−βi−γj −δk.
Przykład podgrupy nie będącej podgrupą Liego: Zauważmy, że podgrupa Liego H ⊂ G jest
podzbiorem domkniętym w grupie Liego G. Do zbudowania takiego przykładu wystarczy więc znaleźć
podgrupę niedomkniętą.
Przykład: Grupa (R, +) jest grupą Liego a jej podgrupa Q liczb wymiernych nie jest domknięta:
Q = R.
]
.
45

13 Grupy Liego, cz. II
Algebra Liego (V, [, ]): Jest to przestrzeń wektorowa V nad ciałem K wyposażona w działanie
2-liniowe (x, y) → [x, y] : V × V → V , spełniające następujące warunki:
1. [x, y] = −[y, x] ∀x, y ∈ V (skośna symetria);
2. [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ∀x, y, z ∈ V (tozsamość Jacobiego).
Przykład: Niech (A, ⋅) będzie dowolną algebrą łączną. Wtedy (A, [, ]), gdzie [x, y] := x ⋅ y − y ⋅ x
jest algebrą Liego (Ćwiczenie: sprawdzić). W szczególności, Mat(n, K) z komutatorem macierzowym
jest algebrą Liego. Oznaczamy gl(n, K) := (Mat(n, K), [, ]).
Ogólniej, jeśli W jest dowolną przestrzenią wektorową, zbiór End(W ) endomorfizmów przestrzeni
W (czyli operatorów liniowych L : W → W ) jest algebrą Liego.
Homomorfizm algebr Liego (V 1 , [, ] 1 ) i (V 2 , [, ] 2 ): Jest to odwzorowanie liniowe φ : V 1 → V 2
zachowujące „nawiasy”, czyli φ[x, y] 1 = [φx, φy] 2 ∀x, y ∈ V 1 .
Ćwiczenie: Niech (V, [, ]) będzie przestrzeią wektorową wyposażoną w działanie 2-liniowe skośnie
symetryczne. Określmy operator ad x ∈ End(V ) wzorem ad x y := [x, y], x, y ∈ V . Pokazać, że
tożsamość Jacobiego (TJ) jest równoważna następującemu warunkowi: [ad x , ad y ] = ad [x,y] (w szczególności,
jeśli [, ] spełnia TJ, to odwzorowanie x → ad x : V → End(V ) jest homomorfizmem algebr
Liego).
Podalgebra h ⊂ g algebry Liego (g, [, ]): Jest to podprzestrzeń liniowa w g zamknięta ze względu
na nawias: [h, h] ⊂ h.
Przykład: Podprzestrzeń sl(n, R) ⊂ gl(n, R) macierzy bezśladowych (mamy Tr([x, y]) = Tr(xy −
yx) = 0 dla dowolnych x, y ∈ gl(n, R), w szczególności komutator macierzy bezśladowych jest bezśladowy).
Przykład: Podprzestrzeń o(n, R) ⊂ gl(n, R) macierzy skośnie ortogonalnych, czyli takich macierzy
x, że x = −x T . Dla x, y ∈ o(n, R) mamy [x, y] T = (xy − yx) T = y T x T − x T y T = yx − xy = −[x, y].
Algebra Liego różniczkowań algebry łącznej (A, ⋅): Różniczkowaniem algebry łącznej nazywamy
odwzorowanie liniowe d : A → A spełniające warunek d(x ⋅ y) = dx ⋅ y + x ⋅ dy. Różniczkowania
tworzą podprzestrzeń D ⊂ End(A) i, ponadto, podalgebrę Liego w (End(A), [, ]). Istotnie,
(d 1 d 2 − d 2 d 1 )(x ⋅ y) = d 1 (d 2 x ⋅ y + x ⋅ d 2 y) − d 2 (d 1 x ⋅ y + x ⋅ d 1 y) = d 1 d 2 x ⋅ y + d 2 x ⋅ d 1 y + d 1 x ⋅ d 2 y +
x ⋅ d 1 d 2 y − (d 2 d 1 x ⋅ y + d 1 x ⋅ d 2 y + d 2 x ⋅ d 1 y + x ⋅ d 2 d 1 y) = (d 1 d 2 − d 2 d 1 )x ⋅ y + x ⋅ (d 1 d 2 − d 2 d 1 )y.
Algebra Liego Vect(M) pól wektorowych na rozmaitości gładkiej M: Rozważmy przestrzeń
(C ∞ (M, R), ⋅) funkcji gładkich na M o wartościach rzeczywistych ze strukturą (przemiennej) algebry
łącznej względem mnożenia punktowego funkcji. Różniczkowania tej algebry nazywają się polami
wektorowymi na M i tworzą algebrę Liego względem komutatora.
Inaczej na pola wektorowe można patrzeć jako na cięcia gładkie wiązki stycznej T M → τ M.
Elementami T M są pary (v, x), gdzie x ∈ M, a v jest wektorem stycznym do M zaczepionym w
punkcie x. Zbiór wszystkich takich wektorów, czyli włokno nad x, oznaczamy T x M. Każde pole
wektorowe ma więc postać (v(x), x), gdzie x ∈ M, a wektor v(x) ∈ T x M gładko zależy od punktu x.
Wiązka T M jest wiązką lokalnie trywialną, czyli jej ograniczenie T U na mały podzbiór otwarty
U ⊂ M może być utożsamione z wiązką trywialną R n × U → U, gdzie n = dim M, a jej cięcia
46

mogą być utożsamione z parami (f(x), x), gdzie x ∈ U, a f : U → R n , f(x) = (f 1 (x), . . . , f n (x))
jest funkcją gładką. Utożsamienie włókien wiązki T U z R n jest związane z wyborem współrzędnych
lokalnych (x 1 , . . . , x n ) na U. Alternatywnie, pole wektorowe zapisujemy jako f = f i ∂ i (sumowanie
po i), gdzie ∂ i := ∂ , a jego działanie na funkcje F ∈ C ∞ (U, R) wygląda następująco: fF := f i (∂
∂x i i F )
(jest różniczkowaniem w sensie powyższej definicji).
Dla komutatora pól wektorowych mamy następujący wzór:
(Ćwiczenie: sprawdzić).
[f, g] i (x) = f j (x)(∂ j g i (x)) − g j (x)(∂ j f i (x))
Zachowanie pól wektorowych względem dyfeomorfizmów ψ : M → M: Każdy taki dyfeomorfizm
generuje odwzorowanie styczne ψ ∗ : T M → T M, które na parach (v, x), x ∈ M, v ∈ T x M,
będziemy zapisywali jako ψ ∗ (v, x) = (ψ ∗ ∣ x v, ψ(x)), tutaj ψ ∗ ∣ x : T x M → T ψ(x) M jest pewnym odwzorowaniem
liniowym. Jeśli ψ(x 0 ) = y 0 , i jeśli (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) są współrzędnymi lokalnymi
w otoczeniach X ∋ x 0 , Y ∋ y 0 , odwzorowanie ψ można zadać jako n-tkę funkcji (x 1 , . . . , x n ) → (y 1 =
ψ 1 (x), . . . , y n = ψ n (x)). Odwzorowanie ψ ∗ ∣ x : T x M ∼ = R n × {x} → T ψ(x) M ∼ = R n × {ψ(x)} pokrywa
się wtedy z macierzą Jacobiego
⎡
J[ψ](x) :=
⎢
⎣
⎤
∂ 1 ψ 1 . . . ∂ 1 ψ n
⎥
. . ⎦
∂ n ψ 1 . . . ∂ n ψ n
traktowaną jako odwzorowanie liniowe R n → R n .
Odwzorowanie ψ ∗ działa na pola wektorowe: Vect(M) ∋ f → ψ ∗ f ∈ Vect(M), f = (f(x), x) →
(J[ψ](x)f(x), ψ(x)). Okazuje się, że ψ ∗ : Vect(M) → Vect(M) jest homomorfizmem algebry Liego,
czyli ψ ∗ [f, g] = [ψ ∗ f, ψ ∗ g] (Ćwiczenie: sprawdzić).
Algebra Liego lewoniezmienniczych pól wektorowych na grupie Liego G: Dla g ∈ G
określmy odwzorowanie lewej translacji L g : G → G wzorem L g x := gx. Mając element v ∈ T e G
możemy zbudować pole wektorowe v l ∈ Vect(G) kładząc v l = ((L g ) ∗ ∣ e v, g). Tak okreslone pole
wektorowe jest lewoniezmiennicze, czyli (L g ) ∗ v l = v l . Istotnie, jeśli v l = (v l (g), g), to (L g ′) ∗ v l =
((L g ′) ∗ ∣ g v l (g), L g ′g) = ((L g ′) ∗ ∣ g (L g ) ∗ ∣ e v, g ′ g) = ((L g ′L g ) ∗ ∣ e v, g ′ g) = ((L g ′ g) ∗ ∣ e v, g ′ g) = v l . Tutaj skorzystaliśmy
z tożsamości (ψ ∘ η) ∗ = ψ ∗ ∘ η ∗ , gdzie ψ, η są dowolnymi dyfeomorfizmami.
Odwrotnie, jeśli pole w ∈ Vect(G) jest lewoniezmiennicze, to w = v l , gdzie v := w(e). Mamy
więc utożsamienie zbioru g lewoniezmienniczych pól wektorowych z włóknem T e G. Okazuje się, że g
jest podalgebrą Liego w Vect(G). To wynika z następującego lematu.
Lemat Niech (V, [, ]) będzie algebrą Liego, a Ψ pęwnym zbiorem jej homomorfizmów. Wtedy zbiór
V Ψ := {x ∈ V ∣ ψ(x) = x ∀ψ ∈ Ψ} jest podalgebrą Liego.
Dowód: Niech x, y ∈ V Ψ , wtedy dla każdego ψ ∈ Ψ mamy ψ[x, y] = [ψx, ψy] = [x, y], czyli [x, y] ∈
V Ψ .
Algebra Liego g grupy Liego G: Jest to określona powyżej algebra Liego pól lewoniezmienniczych
na G. Oznaczamy też g = Lie(G). Zauważmy, że, ponieważ odwzorowanie φ l : T e G → g, v → v l ,
jest izomorfizmem przestrzeni liniowych, dim g = n = dim G. Ponadto, używając tego izomorfizmu,
47

możemy „przenieść” strukturę algebry Liego z g na T e G według wzoru [v, w] := φ −1
l
[φ l v, φ l w] =
[v l , w l ](e).
Dlatego też często pod „algebrą Liego” grupy G rozumie się przestrzeń T e G wyposażona w
powyższy nawias.
Przykład: Niech G := GL(n, R). Ponieważ G jest zbiorem otwartym w R n2 , mamy T G = R n2 × G
i każde pole wektorowe jest ⎡ postaci (V (X), X), gdzie ⎤ V (X) jest gładka funkcja na G o wartościach
V 11 (X) . . . V 1n (X)
macierzowych: V (X) = ⎣ . . . ⎦. Łatwo widzieć, że jeśli V ∈ T I G ∼ = Mat(n, R),
V n1 (X) . . . V nn (X)
to V l = (XV, X). Innymi słowy, V l = X ij V jk ∂ ik . Stąd [V l , W l ] i′ k ′ = (X ij V jk ∂ ik X i ′ j ′W j ′ k ′) −
(X ij W jk ∂ ik X i ′ j ′V j ′ k ′) = (X ijV jk δ ii ′δ kj ′W j ′ k ′) − (X ijW jk δ ii ′δ kj ′V j ′ k ′) = (X i ′ jV jk W kk ′) − (X i ′ jW jk V kk ′) =
X i ′ j[V, W ] jk ′ = ([V, W ] l ) i′ k ′ . Stąd struktura algebry Liego na T I G ∼ = Mat(n, R) „przeniesiona” z
algebry Liego pól lewoniezmienniczych pokrywa się z gl(n, R).
Ćwiczenie: Niech H ⊂ G będzie podgrupą Liego grupy Liego G. Pokazać, że podprzestrzeń T e H ⊂
T e G jest podalgebrą Liego w algebrze Liego g = T e G i, co więcej, T e H jako algebra Liego pokrywa
się z h = Lie(H).
Przykład: Niech G := GL(n, R), H := O(n, R). Wtedy T I G = g = gl(n, R), a podprzestrzeń
T I H może być obliczona jako zbiór wektorów stycznych w zerze do krzywych gładkich t → c(t) ∈
O(n, R), c(0) = I. Różniczkując tożsamość c(t)(c(t)) T = I w zerze, otrzymujemy c ′ (0)(c(0)) T +
c(0)(c ′ (0)) T = 0, skąd c ′ (0) + (c ′ (0)) T = 0. Wnioskujemy stąd, że T I H składa się z macierzy skośnie
ortogonalnych i że h = o(n, R).
Twierdzenia Liego
Twierdzenie (I twierdzenie Liego) Jeśli dla skończenie wymiarowej algebry Liego g istnieje grupa
Liego G taka, że g = Lie(G), to istnieje też jedyna jednospójna grupa Liego G ′ o własności g =
Lie(G ′ ).
Uwaga: Jednospójność oznacza sciągalność każdej pętli.
Przykład: Grupy Liego (R, +) i U(1) mają tę samą algebrę Liego R (z nawiasem zerowym [x, y] =
0 ∀x, y ∈ R. Pierwsza z nich jest jednospójna, druga nie.
Twierdzenie (II twierdzenie Liego) Niech φ : g 1 → g 2 będzie homomorfizmem skończenie wymiarowych
algebr Liego i niech G 1 , G 2 będą takimi grupami Liego, że g i = Lie(G i ), i = 1, 2. Jeśli G 1
jest jednospójna, to istnieje jedyny homomorfizm grup Liego Φ : G 1 → G 2 „całkujący” φ.
Uwaga: Homomorfizmem grup Liego nazywamy odwzorowanie Φ : G 1 → G 2 będące 1) homomorfizmem
grup; 2) odwzorowaniem gładkim. Okazuje się, że odwzorowanie Φ ∗ ∣ e1 : T e1 G 1 → T e2 G 2 jest
homomorfizmem odpowiednich algebr Liego φ := Φ ∗ ∣ e1 : g 1 → g 2 . Mówimy, że Φ „całkuje” φ.
Twierdzenie (III twierdzenie Liego) Dla każdej skończenie wymiarowej algebry Liego g istnieje
grupa Liego G taka, że g = Lie(G).
Twierdzenia Liego pokazują, że badanie grup Liego w dużej mierze sprowadza się do badania
algebr Liego.
48

Literatura
[Ada69] J. Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969.
[CR88]
Charles W. Curtis and Irving Reiner, Representation theory of finite groups and associative
algebras, John Wiley and Sons, 1988.
[iJIM93] A. I. Kostrikin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, 1993.
[Kir72]
[Kir76]
A.A. Kirillov, Elementy teorii reprezentacji, Nauka, 1972, W języku rosyjskim.
, Elements of the theory of representations, Springer-Verlag, Berlin, 1976, Translated
from the Russian.
[Ser88] Jean-Pierre Serre, Reprezentacje liniowe grup skończonych, PWN, 1988.
[Szc]
[Tra]
[Wei96]
Andrzej Szczepański, Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych, Wykład monograficzny,
dostępne na http://mat.ug.edu.pl/∼aszczepa/crystall1.pdf.
Andrzej Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje, Skrypt do wykładu, dostępne na
http://www.fuw.edu.pl/˜amt.
Alan Weinstein, Grupoids: Unifying internal and external symmetry, Notices Amer. Math.
Soc. 43 (1996), 744–752, dostępne na http://arxiv.org/abs/math.RT/9602220.
49