O ciÄÅ¼kiej pracy geodety i leÅnika, czyli rÃ³Å¼ne oblicza liczb Catalana

O CIEŻKIEJ ˛ PRACY GEODETY I LEŚNIKA, 

CZYLI RÓŻNE OBLICZA LICZB CATALANA 

Adam Doliwa 

doliwa@matman.uwm.edu.pl 

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie 

Wydział Matematyki i Informatyki 

SPOTKANIA Z MATEMATYK A˛ 

Olsztyn, 27 marca 2012 r. 

Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 1 / 20

Plan 

1 Podział na trójkaty ˛ i liczenie drzew 

2 Wyznaczenie liczb Catalana - rekurencja 

3 Wyznaczenie liczb Catalana - funkcja tworzaca 

˛ 


O zliczaniu triangulacji wielokata 

˛ 

Jaka jest liczba podziałów na trójkaty ˛ wielokata ˛ wypukłego o n + 2 

bokach? 

n=1 C =1 

1 

n=2 C =2 2 

n=3 C =5 3 


Liczba podziałów na trójkaty ˛ wielokata ˛ wypukłego o 

n + 2 = 6 bokach 

n=4 C 4 =14 


Liczby Catalana 

Eugène Charles Catalan (30.V.1814 - 14.II.1894) 

C 0 = 1, C 1 = 1, C 2 = 2, C 3 = 5, C 4 = 14, C 5 = 42, C 6 = 132, 

C 7 = 429, C 8 = 1 430, C 9 = 4 862, C 10 = 16 796, ... 


Czym jest płaskie ukorzenione drzewo binarne 

lewe pod−drzewo 

lisc ’ ’ 

galaz ’ 

, 

wierzcholek wewnetrzny 

pien’ 

, 

korzen’ 

Ukorzenione płaskie drzewo binarne składa się z wyróżnionego 

wierzchołka (korzenia) oraz pary ukorzenionych płaskich drzew 

binarnych (lewego i prawego pod-drzewa). Z każdego wierzchołka, za 

wyjatkiem ˛ korzenia z którego wychodzi tylko pień, wychodza˛ 

albo dwie 

gałęzie (lewa i prawa gałaź) ˛ albo nie wychodza˛ 

gałęzie. W pierwszym 

przypadku wierzchołek jest nazywany wewnętrznym, w drugim 

przypadku jest nazywany zewnętrznym lub liściem. 


Ile jest różnych drzew majacych ˛ n wierzchołków 

wewnętrznych? 

n=0 

n=1 

n=2 

n=3 


Triangulacje wielokatów ˛ i drzewa binarne 

n=1 

n=0 

n=2 

n=3 


Pierwsza rekurencja (wzór Segnera) 

Rozdzielmy (planarne ukorzenione) drzewo binarne majace ˛ n + 1 

wierzchołków wewnętrznych na lewe i prawe pod-drzewo 

Lewe pod−drzewo 

Prawe pod−drzewo 

k wierzcholkow ’ n−k wierzcholkow ’ 

pierwszy wewnetrzny wierzcholek 

staje sie korzeniem obu pod−drzew 

, 

, 

Musimy wysumować po wszystkich możliwościach: lewe pod-drzewo 

ma k wierzchołków wewnętrznych i prawe pod-drzewo ma n − k 

wierzchołków wewnętrznych 

C n+1 = C 0 C n + C 1 C n−1 + C 2 C n−2 + · · · + C n−1 C 1 + C n C 0 


Przed Catalanem 

Leonhard Euler 

15.IV.1707 – 18.IX.1783 

János Segner 

9.X.1704 – 5.X.1777 


Druga rekurencja 

A 

k+1 

A 

k+2 

k+2 

n−k+2 

A 

2 

A 

A 

1 n+2 

A 

n+1 

dzielimy wielokat ˛ o n + 2 wierzchołkach przekatn ˛ a˛ 

A 1 A k+2 na dwa 

wielokaty ˛ majace ˛ k + 2 wierzchołków i n − k + 2 wierzchołków; 

k = 1, 2, . . . , n − 1 


Druga rekurencja 

dzielimy następnie oba nowe wielokaty ˛ na trójkaty ˛ otrzymujac 

˛ 

C 1 C n−1 + C 2 C n−2 + . . . C n−2 C 2 + C n−1 C 1 

triangulacji używajacych przekatne ˛ wychodzace ˛ z A 1 

ponieważ A 1 może być dowolnym z n + 2 wierzchołków wielokata 

˛ 

więc do wszystkich triangulacji używamy 

(n + 2) (C 1 C n−1 + C 2 C n−2 + . . . C n−2 C 2 + C n−1 C 1 ) 

wierzchołków diagonal 

z drugiej strony, każda triangulacja używa n − 1 diagonal, a każdy 

wierzchołek jest liczony dwukrotnie (jako poczatek ˛ i koniec 

diagonali) 

2(n − 1)C n = (n + 2) (C 1 C n−1 + C 2 C n−2 + . . . C n−2 C 2 + C n−1 C 1 ) 


Trzecia rekurencja (wzór Eulera) 

ze wzoru Segnera, pamiętajac ˛ że C 0 = 1, mamy 

C n+1 − 2C n = C 1 C n−1 + C 2 C n−2 + . . . C n−2 C 2 + C n−1 C 1 

w połaczeniu ˛ z druga˛ 

rekurencja˛ 

daje to równanie 

rozwiazuj ˛ ac ˛ je otrzymujemy 

C n+1 − 2C n = 2n − 2 

n + 2 C n 

C n+1 = 4n + 2 

n + 2 C n 


Liczby Catalana i współczynniki dwumianowe 

2(2n − 1) 

C n = 

n + 1 C n−1 = 22 (2n − 1)(2n − 3) 

C n−2 = . . . 

(n + 1)n 

= 2n (2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1 

C 0 , C 0 = 1 

(n + 1)n . . . 3 · 2 

C n = 1 

n + 1 

( 2n 

n 

) 

( n 

k 

) 

= 

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) 

1 · 2 . . . (k − 1)k 

= 

(1 + x) n = 1 + nx + 

n(n − 1) 

x 2 + · · · + x n = 

2 

n∑ 

( n 

k 

k=0 

) 

x k 


Liczba możliwych rozmieszczeń nawiasów w iloczynie 

n + 1 czynników 

b 

c 

b 

c 

b 

c 

a 

d 

a 

d 

a 

d 

((ab)(cd)) 

((a(bc))d) 

(a(b(cd))) 

b 

c 

b 

c 

a 

d 

a 

d 

(((ab)c)d) 

(a((bc)d)) 


Liczba dróg 

rozpatrzymy drogi w kwadracie n × n z dolnego lewego wierzchołka do 

górnego prawego, które nie przekraczaja˛ 

przekatnej ˛ łacz ˛ acej ˛ te 

wierzchołki i sa˛ 

monotoniczne 

Uwaga 

Liczac ˛ od lewej strony liczba strzałek w prawa˛ 

stronę nigdy nie jest 

mniejsza od liczby strzałek do góry 


Funkcja tworzaca ˛ liczb Catalana 

Zdefiniujmy funkcję 

C(x) = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 + · · · = 

∞∑ 

C k x k 

k=0 

Znamy już funkcję tworzac ˛ a˛ 

współczynników dwumianowych 

(1 + x) n = 

n∑ 

( n 

k 

k=0 

) 

x k 

Twierdzenie 

Funkcja tworzaca ˛ liczb Catalana spełnia równanie 

x[C(x)] 2 − C(x) + 1 = 0 


Dowód Twierdzenia 

[C(x)] 2 = 

= (C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 + . . . )(C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 + . . . ) = 

= C 2 0 + (C 0C 1 + C 1 C 0 )x + (C 0 C 2 + C 1 C 1 + C 2 C 0 )x 2 + . . . 

· · · + (C 0 C n + C 1 C n−1 + · · · + C n C 0 )x n + . . . 

Korzystajac ˛ ze wzoru Segnera otrzymujemy równanie 

[C(x)] 2 =C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + · · · + C n+1 x n + . . . 

= C(x) − C 0 

x 

musimy jeszcze pamiętać, że C 0 = 1 


Z równania kwadratowego możemy wyznaczyć funkcję tworzac ˛ a˛ 

C(x) = 1 (1 ± (1 − 4x) 1/2) 

2x 

Okazuje się (pierwszy rok studiów), że standardowy wzór 

(1 + y) a = 1 + a a(a − 1) 

y + 

1 1 · 2 y 2 + 

a(a − 1)(a − 2) 

y 3 + . . . 

1 · 2 · 3 

ma sens także dla wszystkich liczb rzeczywistych a, jeśli ograniczymy 

się do zakresu zmiennej |y| < 1. W naszym przypadku mamy 

(1 + y) 1/2 = 1 + 

+ 

( 1 

2 

( 1 

( 1 

) ( ) 

2) 

1 y + 2 − 

1 

2 

1 · 2 

) 

) ( 

− 

1 

2 

) ( 

− 

3 

2 

1 · 2 · 3 · 4 

) ( 

− 

5 

2 

y 2 + 

y 4 + 

( 1 

2 

( 1 

2 

) ( ) ( ) 

− 

1 

2 − 

3 

2 

1 · 2 · 3 

) ( 

− 

1 

2 

y 3 + 

) ( ) ( 

− 

3 

2 − 

5 

2 

1 · 2 · 3 · 4 · 5 

) ( 

− 

7 

2 

) 

y 5 + . . . 


Ponowne wyznaczenie liczb Catalana 

Podstawiajac ˛ y = −4x i wybierajac ˛ dolny znak w rozwiazaniu 

˛ 

równania kwadratowego (żeby otrzymać C 0 = 1) otrzymujemy wzór 

C(x) = 1 + 1 

1 · 2 (2x) + 3 · 1 

1 · 2 · 3 (2x)2 + 5 · 3 · 1 

1 · 2 · 3 · 4 (2x)3 + . . . 

(2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1 

· · · + (2x) n + . . . 

1 · 2 . . . n(n + 1) 

w którym przy x n mamy dobrze nam znane wyrażenie na n-ta˛ 

liczbę 

Catalana C n

O ciÄÅ¼kiej pracy geodety i leÅnika, czyli rÃ³Å¼ne oblicza liczb Catalana

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

O ciÄÅ¼kiej pracy geodety i leÅnika, czyli rÃ³Å¼ne oblicza liczb Catalana