Trigonometrija - prvi doma i zadatak

Trigonometrija - prvi domai zadatak
1. Izraqunati vrednosti trigonometrijskih funkcija oxtrih uglova α
i β qije su katete a = 36 mm i b = 0, 048 m.
2. Visina koja odgovara hipotenuzi deli je na odseqke duine 16 i 9.
Izraqunati vrednosti trigonometrijskih funkcija oxtrih uglova
ovog trougla.
3. U jednakokrakom trouglu date su osnovica a = 30 i krak b = 113.
Odrediti vrednosti trig. funkcija uglova ovog trougla.
4. Osnovice jednakokrakog trapeza su 10 i 6, a ugao koji obrazuju krak
i vea osnovica je a) α = 60 ◦ ; b) α = 30 ◦ . Izraqunati krak, visinu
i povrxinu trapeza.
5. Odrediti α, AB i AC ako je BC = a, β = 45 ◦ i γ = 60 ◦ .
6. Osnovica jednakokrakog trougla ima duinu a i ugao naspram osnovice
je 120 ◦ . Odrediti O i P trougla.
7. Rexiti pravougli trougao ako su dati sledei elementi:
a) c = 10 i a = 9, 4; b) a = 5 i b = 10;
v) c = 14 i α = 24 ◦ ; g) b = 5 i t c = 6.
8. Ako je tg α = 5 12
i b = 48 cm odrediti uglove i stranice trougla.
9. Duina hipotenuze pravouglog trougla je 25 cm. Izraqunati duine
kateta ako je tg α = 3 3 7 .
10. Odrediti sve elemente trougla ako je
a = 12, h c = 6 √ 3 i P = 18( √ 3 + 3).
11. Osnovice trapeza su 16 i 6, a jedan krak je 8. Izraqunati uglove
trapeza ako je zbir uglova na osnovici trapeza jednak 90 ◦ .
12. Avion leti na visini od 7000 m i treba da se spusti na aerodrom, pod
stalnim uglom spuxtaa od 10 ◦ . Na kojoj uda enosti od piste mora
poqeti spuxtae?
13. Pri gradi mosta postav eni su stubovi A i B sa raznih strana
reke. Zbog statiqkih proraquna potrebno je nai rastojae izmeu
ovih stubova. Stoga je izmereno 30 m od stuba A do taqke O (AO⊥AB)
i izmeren je ugao ∠AOB = 72 ◦ . Koje je rastojae izmeu A i B?
1

14. Kroz brdo treba prokopati tunel. Razlika u nadmorskoj visini vrha
i podnoja je 245 m. Na vrhu brda je spomenik visine 18 m. Tunel
se kopa od taqke A do taqke B. Izmerena su rastojaa AA 1 = 100 m,
BB 1 = 200 m i uglovi pod kojim se vidi vrh spomenika iz taqaka A 1
i B 1 (12 ◦ 35 ′ i 17 ◦ 13 ′ ). Kolika e biti duina tunela?
15. Ptica leti brzinom v = 18 km h , a vetar duva brzinom v v = 2 m s normalno
na pravac kretaa ptice. Odrediti pravac kretaa ptice
(ugao izmeu zamix ene i stvarne putae).
16. Izraqunati uglove △ABC ako je a = 34, b = 20 i c = 42.
17. Odrediti stranice i uglove pravouglog trougla ako su dati sledei
elementi:
a) α, a + b; b) h c , s γ ; v) α − β = 12 ◦ i a + b = 23;
g) α − β = 22 ◦ 40 ′ , a − b = 3.
18. Izraqunati stranicu, visinu i dijagonale romba ako je egova povrxina
jednaka P i oxtar ugao α.
19. U jednakokrakom trouglu ugao pri vrhu je α. Visina koja odgovara
kraku ima duinu h. Izraqunati uglove i stranice trougla.
20. U kvadratu ABCD taqka P je sredixte stranice BC, a taqka M je
sredixte stranice CD. Odrediti ∠P AM.
21. Svako teme jednakostraniqnog trougla P QR je na po jednoj stranici
pravouglog trougla ABC. Jedna stranica △P QR je paralelna hipotenuzi
c i jednaka je c 3
. Odrediti uglove trougla.
22. Dokazati sledee identitete:
a) sin 4 α + cos 2 α + sin 2 α · cos 2 α = 1; b)
v) 1 − sin2 α
1 + ctg α − cos2 α
= sin α · cos α;
1 + tg α
(
g) 1 + tg x + 1 ) (
· 1 + tg x − 1 )
= 2 tg x;
cos x
cos x
sin α − cos α + 1
d)
sin α + cos α − 1 = sin α + 1 (
α ≠
π
cos α
2 + kπ) ;
) cos2 x − sin 2 y
sin 2 x · sin 2 y = ctg2 x · ctg 2 y − 1.
sin α
1 − cos α = 1 + cos α
sin α ;
23. Ako je a sin 2 x + b cos 2 x = 1, a cos 2 y + b sin 2 y = 1, a tg x = b tg y i a ≠ b,
onda je taqna jednakost a + b = 2ab. Dokazati.
24. Dokazati da je sin 2 α + sin 2 β ≥ sin α sin β + sin α + sin β − 1.
25. Dokazati da vai identitet
(1 − cos β cos γ) 2 − 2(1 − cos β cos γ) − sin 2 β sin 2 γ + sin 2 β + sin 2 γ = 0.
2

26. Dokazati sledee identitete:
a) ctg 2 α − cos 2 α = cos 2 α · ctg 2 1
α; b)
sin 2 α − cos 2 α = 1 + ctg2 α
1 − ctg 2 α ;
sin α + cos α
v)
sin α − cos α − 1 + 2 cos2 α
cos 2 α(tg 2 α − 1) = 2
1 + tg α ;
g) sin4 α + cos 4 α − 1
sin 6 α + cos 6 α − 1 = 2 3 ;
1 + sin α · cos α
d)
cos 3 α − sin 3 α + 1
sin α + cos α + sin2 α − 2 cos α − 1 1
cos 2 α − sin 2 =
α tg 2 α − 1 .
27. Eliminisati t iz sistema:
a) sin t + cos t = m ∧ sin 3 t + cos 3 t = k.
b) a sin t = x ∧ b cos t = y; v) x = p + r sin t ∧ y = q + r cos t.
28. Ako je sin α − cos α = 1 2 , izraqunati sin4 α + cos 4 α.
√ √
5 − 2 3
29. Izraqunati tg α ako je cos α =
i 0 < α < π 13
2 .
30. Neka je M = sin 6 x+cos 6 x+t(sin 4 x+cos 4 x). Za koju vrednost parametra
t je izraz M nezavisan od x? Kolika je tada egova vrednost?
31. Odrediti vrednost izraza t = tg α + ctg α, ako je
oxtar ugao i m ∈ R.
32. Dokazati:
sin α tg α + sin β tg β
cos α + cos β
33. Ako je sin4 x
+ cos4 x
= 1
a b
=
1
cos α cos β − 1.
a + b , a·b > 0 onda je sin8 x
a 3
sin α + cos α
sin α cos α
+ cos8 x
b 3 =
= m, α
1
(a + b) 3 .
34. Ako je α oxtar ugao, dokazati √ sin α · 4√ tg α + √ cos α 4√ ctg α ≥ 4√ 8.
35. Dokazati da vai nejednakost
36. Za oxtar ugao α dokazati
1
sin 4 x + 1
(
1 + 1
sin α
cos 4 ≥ 8, ako je sin x cos x ≠ 0.
x
) (
1 + 1 )
≥ 3 + 2 √ 2.
cos α
3