Preporučeni zadaci iz časopisa Tangenta - III domaći zadatak

Preporuqeni zadaci iz Tangente ∗
1. Neka su BD i CE visine trougla ABC i B ′ D ′ i C ′ E ′ visine trougla
A ′ B ′ C ′ . Ako vai BC ∼ = B ′ C ′ , BD ∼ = B ′ D ′ i CE ∼ = C ′ E ′ , dokazati da
su trouglovi ABC i A ′ B ′ C ′ podudarni.
2. Neka su CD i C 1 D 1 visine trouglova ABC i A 1 B 1 C 1 . Ako vai
α ∼ = α 1 , β ∼ = β 1 i CD ∼ = C 1 D 1 , dokazati da su trouglovi ABC i
A 1 B 1 C 1 podudarni.
3. Neka je S taqka koja pripada uglu pOq. Ako su A i B podnoja
normala iz S na kracima p i q ugla i vai SA ∼ = SB, dokazati da
taqka S pripada simetrali ugla pOq.
4. Dokazati da je △ABC ∼ = △A 1 B 1 C 1 ako su ima jednaki sledei elementi:
b = b 1 , h a = h a1 , h c = h c1 .
5. Ako su dve stranice i teixna du koja odgovara jednoj od ih u
jednom trouglu, redom, podudarne dvema stranicama i teixnoj dui
u drugom trouglu, dokazati da su ovi trouglovi podudarni.
6. Temena osnovice jednakokrakog trougla i preseci simetrala uglova
na osnovici sa kracima predstav aju temena jednakokrakog trapeza,
koji ima tri podudarne stranice. Dokazati.
7. Neka su A 1 i B 1 podnoja visina iz temena A i B trougla ABC.
Dokazati ekvivalenciju: AC ∼ = BC ⇔ AA 1
∼ = BB1 .
8. Ako je D taqka u kojoj simetrala ugla kod temena A seqe stranicu
BC trougla ABC, S sredite upisanog kruga i P taqka u kojoj taj
krug dodiruje stranicu BC, dokazati da je ̸ BSC = ̸ CSD.
9. Dokazati da u trouglu simetrala ugla deli naspramnu stranicu na
dve dui, od kojih je svaka maa od susedne stranice.
10. Neka su A, B, C, D proizvo ne taqke u prostoru. Ispitati da li vai
jednakost −→ AC + −−→ BD = −→ −→ AD + BC.
11. Za trouglove ABC i A 1 B 1 C 1 vai h c
∼ = hc1 , α ∼ = α 1 i γ ∼ = γ 1 . Dokazati
da je △ABC ∼ = △A 1 B 1 C 1 .
12. Ako su M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 sredixta stranica AB,BC,CD,DE,EA petougla
ABCDE, izraziti −−−−→ M 1 M 2 + −−−−→ M 3 M 4 preko −→ AE.
∗ podudarnost
1

13. U jednakokrakom trouglu simetrala ugla na osnovici i visina konstruisana
iz istog temena grade ugao od 30 ◦ . Izraqunati uglove tog
trougla.
14. Nad stranicama trougla ABC, sa spo axe strane konstruisani su
jednakostraniqni trouglovi ABC 1 , BCA 1 i CAB 1 . Dokazati da su
dui AA 1 , BB 1 i CC 1 podudarne.
15. Neka je D sredixte stranice AB trougla ABC, a D 1 sredixte stranice
A 1 B 1 trougla A 1 B 1 C 1 . Ako je AC ∼ = A 1 C 1 , AB ∼ = A 1 B 1 , CD ∼ =
C 1 D 1 , dokazati da su trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 podudarni.
16. Neka su K i L, redom, sredixta stranica BC i DC paralelograma
ABCD. Ako je −−→ AK = ⃗a i AL = ⃗ b, izraziti −−→ BD i −→ AC preko ⃗a i ⃗ b.
17. Za trouglove ABC i A 1 B 1 C 1 vai h c
∼ = hc1 , α ∼ = α 1 i γ ∼ = γ 1 . Dokazati
da je △ABC ∼ = △A 1 B 1 C 1 .
18. Ako su M i N preseqne taqke normala konstruisanih iz temena A
na simetrale spo axih uglova kod temena B i C trougla ABC, sa
pravom BC, dokazati da je dui MN jednaka obimu trougla ABC.
19. Neka du AB pripada simetrali ugla P OQ, pri qemu je OP = OQ.
Dokazati da je ̸ AP B = ̸ AQB.
2