KOMPLEKSNI BROJEVI

KOMPLEKSNI BROJEVI
1. Dat je kompleksan broj z =
Odrediti Re z , Im z i |z| .
(
(1 + i)3 3 − i
(2 − 3i) 2 · 2 + i − 2 − i )
.
3 + i
2. Odrediti sve kompleksne brojeve za koje važi:
a) (z + i)(1 + 2i) + (1 + zi)(3 − 4i) = 1 + 7i ;
b) z + 2¯z = 6 − i ; c) z 2 = ¯z ; d) z 3 = ¯z .
3. Ako je α = −1 + i√ 3
pokazati da je α 2 + α + 1 = 0 i α 3 = 1
2
a zatim odrediti Rez i Imz pri čemu je z = aα2 + bα
a + bα 2 .
4. Odrediti kompleksan broj z = x + iy ako je :
a)
z − 12
∣ z − 8i ∣ = 5 ∣ ∣∣∣
3 i z − 4
z − 8∣ = 1 ; b) |z2 − 2i| = 4 i
z + 1 + i
∣z − 1 − i∣ = 1;
{ }
c)
2z + 1
z + 8
∣ z − 1 ∣ = 2 i Re = 1; d)
z + 4
{ ¯z
}
¯z
∣ ¯z + 12∣ = 1 i Re = − 1 z 2 .
5. Izračunati vrednosti sledećih izraza :
a) ( √ 2 + i) 6 + ( √ 2 − i) 6 ; b) (i √ 3 − 1) 9 − (i √ 3 + 1) 9 ;
c) (1+i √ 2 ) 5 −(1−i √ 2 ) 5 ; d)
(1 − i) 198 (3 − i) − (1 + i) 200 (6 + 2i)
∣(1 + i) 196 (23 − 7i) + (1 − i) 194 (10 + 2i) ∣ .
6. Odrediti realne brojeve x i y za koje je z 1 = z 2 ako je
z 1 = y 2 − 7y + 9xi i z 2 = −12 + 20i + x 2 i.
7. Dokazati da je (−1 + i√ 3 ) 15
(−1 − i) 20 + (−1 − i√ 3 ) 15
(1 + i) 20 = −64.
8. a) Ako je 1 + z + z 2 = 0 , dokazati da je z 3 = 1 ;
b) Ako je 1 + z + z 2 = 0 , izračunati (z − z 2 + 2z 3 )(2 − z + z 2 ) ;
c) Ako je 1 +z +z 2 = 0 , dokazati da je (az 2 +bz)(bz 2 +az) = a 2 −ab+b 2 ;
d) Ako je w = −1 + i√ 3
, dokazati da je
2
(a + b + c)(a + bw + cw 2 )(a + bw 2 + cw) = a 3 + b 3 + c 3 − 3abc .
9. Ako je z + 1 z = 1, izračunati z2002 + 1
z 2002 .
10. Dokazati da za proizvoljne kompleksne brojeve važi :
a) z 1 ± ∣ z 2 = z 1 ± z 2 ; b) z 1 · z 2 = z 1 · z 2 ; c)|z 1 · z 2 | = |z 1 | · |z 2 | ;
d)
z 1 ∣∣∣
∣ = |z 1|
z 2 |z 2 | ; e) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |.
1

11. Objasniti geometrijski smisao veličine |z 1 − z 2 |.
12. Odrediti skup tačaka u kompleksnoj ravni koji zadovoljava sledeći uslov:
a) Rez > 3 ; b) −2 ≤ Rez ≤ 1 ; c) |Imz| > 3 2
; d) |z + 2i| = |z − 4| ;
e) |z| = 1 ; f) |z − 3| = 5 ; g) |z − 1| = |z + 1| = |z − i √ 2| ;
h) |z + 2| + |z − 2| = 5 ; i) |z| = Rez + 1 ; j) 3 ≤ |z + 2i| ≤ 5 .
13. Odrediti tačke u kompleksnoj ravni za koje je :
a) |2Rez + Imz| = 1 ; b) 2 ≤ |Rez − 1 2 Imz| ≤ 4 ;
c) |Rez| ≥ 2 i |Imz| < 5 ; d) Re{(1 + i) · z 2 } > 0 .
14. Odrediti z ∈ C takav da je njegov moduo što manji (veći)
i da je |z − 2 + 2i| = 1 .
15. Dokazati da je z 1 · z 2 + z 1 · z 2 ≤ 2|z 1 | · |z 2 | .
16. Ako je |z| < 1 2 , dokazati da je |(1 + i) · z3 + iz| < 3 4 .
17. Dat je broj z ∈ C . Ako je |z| = 1 i z ≠ 1 , dokazati da je Re{ z+1
z−1 } = 0 .
18. Naći a ∈ Z i b ∈ Z tako da važi
(1+ 1+i
2
)·(1+(
1+i
2 )2 )(1+( 1+i
2 )22 ) . . . (1+( 1+i
2 )22002 ) = (1+i)·(a+ b
2 22002 ).
(2 − i)(1 + i)
19. Ako je z = , tada je | z | :
3 − i
A) √ 5 ; B) √ 14 ; C) 1 ; D) √ 3
10
20. Ako je (2 + i)(a + ib) = 5 − 5i, gde su a, b ∈ R , i 2 = −1, a + b je :
A) −2 ; B) 3 ; C) 1 ; D) 2 ; E) −3
21. Vrednost izraza i1998 + i 1997
i 1996 − i 1995 , i2 = −1 , je :
A) 1 ; b) −1 ; C) i ; D) −i ; E) Nema tačnog odgovora
22. Neka je S = {z k | z k = i k + i −k } , gde je k ∈ N i i 2 = −1. Skup S ima :
A) 1 element ; B) 4 elementa ; C) više od 4 ; D) 2 elementa ; E) 3 elementa
( ) 1996 ( ) 1996 1 + i 1 − i
23. Zbir √ + √ je jednak :
2 2
A) −2 ; B) 0 ; C) 2 ; D) 2i ; E) −2i
(
1 + i √ ) 1998 (
3 1 − i √ ) 1998
3
24. Vrednost zbira
+ je :
2
2
A) −1998 ; B) 2 ; C) 0 ; D) −2 ; E) 1998
25. Ako je z 1 = −1 − i√ 3
i z 2 = −1 + i√ 3
, onda je z1 3 + z2 3 :
2
2
A) 1 + i √ 3 ; B) 3 − 3i ; C) 2i ; D) 2
26. Kompleksan broj z ima svojstvo da je Re z četiri puta veći od Im z. Koliko
je puta Re(z 2 ) veći od Im(z 2 )?
A) 1,875 ; B) 2,85 ; C) 2,55 ; D) 4,875 ; E) 16
27. Vrednost zbira z = 1 + i + i 2 + i 3 + . . . + i 4n−1 , gde je n ∈ N , i 2 = −1, je
A) 1 ; B) 0 ; C) i ; D) −i ; E) −1
2