III domaći zadatak - prirodni smer

1. Izraqunati graniqnu vrednost funkcije bez korixea Lopitalovog pravila:
sin 3x
a) lim
x→0 sin 5x ;
sin x
b) lim
x→0 sin 6x − sin 7x ; v) lim x · sin 1
x→0 x ; g) lim x · sin 1
x→∞ x ; tg 2x
d) lim
x→0 sin 7x ;
1 − cos x 1 − cos x 2
) lim
x→0 x 2 ; e) lim
x→0 x 2 sin x 2 ; 1 − cos 3 x 1 − cos 3 2x tg x − sin x
) lim
x→0 x 2 ; z) lim
x→0 tg 2 ; i) lim
x
x→0 x 3 ;
tg x − sin x
j) lim
x→0 x + sin x cos x ; cos 3x − cos 5x cos 2x − cos 4x
k) lim
; l) lim
x→0 x sin 4x
x→0 sin x · tg 2x ; ) lim cos 3x 3 − 1
x→0 sin 6 2x ;
√ √
1 − cos 8x 2
tg 2 x
2 − 1 + cos 4x 1 − 3√ 1 − sin 3x
m) lim
x→0 tg 3x 2 · sin 2 ; n) lim √ √ ; ) lim
5x x→0 2 − 1 + cos x x→0 sin 2 ; o) lim
2
3x
x→0 tg 2 ;
4x
√
cos x − sin x
2 − 2 cos x sin 7πx
( π
)
p) lim
; r) lim
; s) lim
x→π/4 cos 2x
x→π/4 π − 4x
x→1 sin 4πx ; t) lim x ·
x→∞ 2 − arctg x ;
) lim
(cos 1
x→∞ x2 x − cos 3 )
√ √ √ 1 + cos 2x
sin(x − π/3)
1 + sin x − 1 + tg x
; u) lim √ √ ; f) lim
; h) lim
x x→π/2+0 π − 2x x→π/3 1 − 2 cos x x→0 sin 3 ;
√ √ √ 2x
1 + x sin 3x − cos 4x
3
c) lim
x→0
tg 2 x cos 4x − 3√ cos 5x
√ 3
cos 3x − cos 2x
; q) lim
; ) lim
x→0 1 − cos 3x
x→0 x 2 ;
2
1 − cos(1 − cos x)
1 − cos x · √ cos 2x
1
x) lim
x→0 x 4 ; x2) lim
x→0 x 2 ; x3) lim (√
x→∞
x 2 · 1 1 x sin 1 √ );
x − cos 1 x
2. Izraqunati graniqnu vrednost funkcije bez korixea Lopitalovog pravila:
e 3x sin 3x
− 1 1 − e e sin 5x sin 4x
− e e x − e −x e 2x − cos 2x
a) lim ; b) lim ; v) lim
; g) lim ; d) lim
x→0 2x x→0 tg 2x x→0 ln(1 + 2x) x→0 sin 3x x→0 e 4x − cos 4x ;
e x2 − cos x
) lim
x→0 e −x2 − cos 3x ;
sin πx
i) lim
x→1 e 1−x − 1 ;
j) lim
x→2
e) lim
x→0
ln(cos 4x)
) lim ; m) lim
x→0 ln(cos 6x) x→0
1 − 5√ 2x + 1
p) lim
; r) lim
x→0 sin 2x
1 + x cos x − 3√ 1 + 2x
) lim
.
x→0 ln(1 + 5x) − x
2 x − 1
ln(5x + 1) ;
ln(2x 2 − 8x + 9)
3 (2−x)2 − 1
ln(cos 4x)
; n) lim
e 2x2 − 1 x→0
e 2x2 − 3√ 1 + x 2
x→0
sin 6x 2
2 x2 − 5 x2
e 6x − 1
) lim
x→0 (2 x − 5 x ; z) lim · arctg 2 )
2 x→0− x x ;
; k) lim
x→∞ x2 · (3 1 1
x − 3
(x+1) );
ln cos x
x 2 ; ) lim
; s) lim
x→0
1 cos x ·ln √
x→0 x2 cos 2x
3
x + 1 − 1 − sin x
ln(1 + 2x)
l) lim
x→0
ln(cos x)
tg x 2 ;
; o) lim
x→0
3. Izraqunati graniqnu vrednost funkcije bez korixea Lopitalovog pravila:
( x 3 + 2x 2 − 2x
a) lim
x→∞ x 3 − x 2 − 2x
d) lim
x→0
(cos 5x) ctg2 x ;
z) lim
x→0
( cos x
cos 2x
) 1
x 2 .
) −x
2
; b) lim (1−x−2x 2 ) 2/(x2 +x) ; v) lim (1+sin 3x) 2/x ; g) lim
x→0 x→0
) lim
x→0
ln cos 3x
x 2 ; e) lim
4. Izraqunati:
tg x − sin x
x 3 + 1
a) lim
x→0 x 3 ; b) lim
x→−1 sin(x + 1) ;
ln(cos 2x)
x→0 ln(cos 3x)
; ) lim
x→π/2
( sin x
sin 5x
cos ax − cos bx
(
v) lim
x→0 x 2 ; g) lim
x→1
ln(cos 2x) − ln(cos 8x)
x 2 ;
; t) lim
x→0
3 √ 1 + x 2 − e x2 /4
ln(1 + 3x 2 ) − x 2 cos x ;
) 1
(π/2−x) 2 ;
x→0
(cos x) −1/x2 ;
(1 − x) · tg π · x
2
)
;
1

√ √
1 + x sin x − cos 2x
d) lim
x→0
tg 2 x 2
) lim
x→π/6
j) lim
x→π
5. a) lim
x→+∞
2 cos x − √ 3
sin
( π
6 − x ) ; z) lim
x→0
sin x 2 + cos x
1 + sin 2 x + cos x
3x + 4
2x + √ x 2 + 4 ; b)
(
cos x − sin x + π )
· √ cos 2x
; ) lim
2
1 − cos(1 − cos x)
x→0 x 2 ; e) lim
x→0 x 4 ;
√ m
cos ax − n√ ( )
cos bx
π
x 2 ; i) lim x
x→∞ 4 − arctg x
;
x + 1
; k) lim sin x − a · tg π · x
x→a 2 2a .
lim
x→−∞
d) Odrediti a i b tako da je lim
x→∞
3x + 4
2x + √ x 2 + 4 ; v) lim
x→+∞
( x 2 )
+ 1
x + 1 − ax − b = 0;
) Odrediti a i b tako da je lim
x→−∞ (√ x 2 − x + 1 − ax + b) = 0;
ln(1 + 5 x )
e) lim
x→−∞ ln(1 + 3 x ) ;
) lim
x→∞
ln(1 + 5 x )
1 + 3 x ;
x + √ x 2 + a 2
x + √ x 2 + b ; g) 2
lim
x→−∞
x + √ x 2 + a 2
x + √ x 2 + b 2 ;
z) Nai levi i desni limes funkcije f(x) = e1/x + a 2 + a
u taqki x = 0. Za koju vrednost
e 1/x + 2
konstante a postoji lim f(x)?
x→0
6. Izraqunati:
cos(xe x ) − cos(xe −x )
a) lim
x→0
x 3
g) lim
x→∞ (sin √ x + 1 − sin √ x);
√ √ 1 − 2x −
3
1 − 3x
) lim
x→0 x 2 .
; b) lim
x→∞ x ( π
2 − arcsin
d) lim
x→1
sin 2 (π · 2 x )
ln(cos π · 2 x ) ;
)
x
cos x · cos 2x · cos 3x · · · cos nx − 1
√ ; v) lim
x2 + 1 x→0 x 2 ;
e x2 − (cos x) √ 2
a x − x a
) lim
x→0 x 2 ; e) lim
x→a x − a ;
7. Odrediti parametre a, b ∈ R tako da funkcija f(x) bude neprekidna na R:
⎧
⎧
⎨ 3x 3 + 2x 2
⎨ x + a x ≤ −1
a) f(x) =
⎩
5x 2 x ≠ 0
; b) f(x) = 1 + x − bx 2 −1 < x < 1 ;
a x = 0
⎩
−2x + 3 x ≥ 1
⎧
⎨ 3√ √ 1 + x − 1 + x
{
v) f(x) =
x ≠ 0
e
⎩ x
; g) f(x) =
x−2 − 1 x < 2
a
a x = 0
2 x 2 + 2ax + 1 x ≥ 2 ;
⎧
⎨ 2 x+3 {
− 64
ax
d) f(x) =
⎩
4 x x ≠ 3
2 + bx + 1 |x| < 1
− 64 ; ) f(x) = 2|x| + 3
a x = 3
|x| ≥ 1 .
x
8. Odrediti asimptote funkcija:
a) f(x) = x2 − x − 6
; b) f(x) = x2 − 2x + 3
x − 2
x 2 + 4x − 5 ; v) f(x) = x 3 − x + 2
(2x + 3) 2 (x − 3) ;
√
x2 + 5x + 4
3√
8x3 + 2x
g) f(x) =
; d) f(x) =
2
; ) f(x) = √ 3x + 2
x − 2
3x − 1
x2 + x ;
√
x 2 + 1
e) f(x) = (2x − 1) ·
x 2 − 1 ; ) f(x) = 3√ x 3 + 4x 2 ; z) f(x) = x + 1 − √ x 2 + 3x + 2.
9. Odrediti asimptote funkcija:
a) f(x) = x2
x − 1 · e1/(x−1) ; b) f(x) = 1
ex
; v) f(x) = 2x +
1 − ex e x − 1 ;
g) f(x) = (5 − x) · e 1/(x−3) ; d) f(x) = x
2 − x · e1/x ; ) f(x) = x2
e) f(x) = ln 2x + 3
3x − 4 ; ) f(x) = x · ln (e 2 + 1 x
x − 1 · e1/(x−1) ;
)
; z) f(x) = (1 − 2x) · ln x2 − 1
2x 2 + 1 ;
2

i) f(x) = x · arctg x; j) f(x) = x − 1
x
l) f(x) = x 2 + arccos 2x
1 + ln x
; ) f(x) =
1 + x2 · arctg x − 1
1 − x
; k) f(x) = x + arctg
x 1 + x ;
1 − ln x ; m) f(x) = ln2 x − 3 ln x + 1
.
x
3