Matematika 9 - Shtepia Botuese Uegen

HYRJE 

Libri që keni në dorë është botim i Shtëpisë botuese “UEGEN” për t’i ardhur në ndihmë 

mësuesve që japin lëndën e matematikës në klasat e nënta. 

Këtu do të gjeni planin mësimor të matematikës së klasës së nëntë. 

Në këtë libër për çdo temë mësimi do të gjeni objektivat e orës së mësimit, koncepet 

kryesore të temës, strukturën e orës së mësimit, metodën që mund të përdoret për të qënë 

të suksesshëm si dhe procedura se si mund të zhvillohet çdo temë mësimi. 

Mënyra se si e kemi konceptuar orën e mësimit është në përputhje me struktura e orës së 

mësimitt që përdoren sot, të provuara e të vlerësuara të suksesshme. Çdo temë mësimi 

mësimi ka lidhje të ngushtë me orën paraardhëse ndaj dhe në parashtrimet në vijim në 

këtë libër është parë si një e tërë zhvillimi i orëve të mësimit të matematikës. Në fazën e 

evokimit janë planifikuar kontrolli i detyrave të shtëpisë si dhe pyetje që përsërisin 

njohuritë e marra në temat paraardhëse. 

Gjatë fazave të tjera të orëve të mësimit janë planifikuar struktura e orës së mësimit ta 

ndryshme. 

Ajo që duhet mbajtur gjithnjë në konsideratë është që sado që të japësh receta të gatshme 

për organizimin e orës së mësimit ato asnjëherë nuk japin rezultatin e pritshëm nëse nuk 

merren parasysh edhe faktorë të tjerë që kanë lidhje me orën e mësimit si përshembull: 

gjendja e klasës, infrastruktura e shkollës, gjendja ekonomike e familjes nga vijnë 

nxënësit, e mbi të gjitha nga angazhimi i mësuesit. 

Padyshim që ajo ç’ka serviret në këtë libër nuk përjashton struktura e orës së mësimit të 

tjera që mund të jenë njëlloj të suksesshme. Këto që janë shkruar në këtë libër janë një 

nga modelet e mundshme të zhvillimit të orës së mësimit, por mësuesi i matematikës 

është autoriteti i vetëm dhe kryesor që vendos për orën e mësimit. 

Mësimi i matematikës në klasën e tetë do të zhvillohet në 

35 javë mësimore me 4 orë/javë 

Gjithsej 35 javë x 4 orë/javë = 140 javë 

Sasia e 

Linjat 

Nënlinjat 

orëve 

Kuptimi i numrit 8 

Numri 

Veprime me numra 8 

Kuptimi dhe përdorimi i matjes 

Matja Njëhsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe 9 

vëllimit 

Gjeometria në plan 35 

Gjeometria 

Algjebra dhe 

funksioni 

Mbledhja, organizimi 

dhe përpunimii të 

dhënave. probabiliteti 

Gjeometria në hapësirë 5 

Shndërrime gjeormetrike 16 

Kuptimi i shprehjes shkronjore. Shndërrimi i tyre. 8 

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve 18 

Funksioni 7 

Statistikë 

6 

Probabilitet 

Orë të lira 20 

Shuma 140 

1

Planet mësimore “Matematika 9” 

Nr Kapitulli Orët Tema për çdo orë mësimi Mjete 

1 1 Bashkësia. 

2 2 Numrat real. 

3 Kreu I 3 Nënbashkësi të veçanta të R-së. 

4 Kuptimi i 4 Rrënja katrore, Rrënja me tregues n e një numri. 

5 numrit 5 Fuqia me eksponent racional. 

6 8 orë 6 Vetitë e fuqive me eksponent racional. 

7 7 Shkrimi shkencor i një numri real. 

8 

8 Ushtrime. 

9 1 Veprime me numra racional. 

10 2 Rrumbullakimi i numrave. 

Kreu II 

11 3 Vetitë e rrënjës katrore. 

Nxjerrja e faktorëve nga shenja e rrënjës. Futja e 

12 Veprime me 4 

numra 

faktorëve nën shenjën e rrënjës. 

13 5 Mbledhja dhe zbritja e numrave real. 

14 8 orë 6 Veprime me numra real. 

15 7 Ushtrime mbi rrënjët. 

16 

8 Detyrë kontrolli. 

17 1 Sipërfaqja e drejtëkëndëshit. 

18 2 Sipërfaqja e paralelogramit. 

19 Kreu III 3 Sipërfaqja e trekëndëshit. 

20 4 Formula e Heronit. 

Matja 

21 5 Sipërfaqja e rombit. 

22 

9 orë 

6 Sipërfaqja e trapezit. 

23 7 Sipërfaqja e shumëkëndëshit jashtëshkruar rrethit. 

24 8 Sipërfaqja dhe vëllimi i sferës. 

25 

9 Ushtrime dhe problema për kreun. 

26 

Kreu IV 

1 Katërkëndëshat. 

27 2 Paralelogrami. Vetitë e tij. 

28 Gjeometria 3 Kushtet qe katërkëndëshi të jetë paralelogram. 

29 në plan 4 Problema (ushtrime). 

30 35 orë 5 Drejtëkëndëshi. Vetitë e tij. 

31 6 Rombi. Vetitë e tij. 

32 7 Katrori. Vetitë e tij. 

33 8 Trapezi. Vetitë e tij. 

34 9 Trapezi. Llojet e tij. 

35 10 Detyrë kontrolli. 

36 11 Segmentë të përpjesshëm. Vetitë. 

37 12 Teorema e Talesit. 

38 13 Ngjashmëria e trekëndëshave. 

39 14 Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave. 

40 

15 Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave. 

2

41 16 Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave. 

42 17 Segmentë proporcionalë në trekëndësha të ngjashëm.. 

43 18 Perimetri i shumëkëndëshave të ngjashëm. 

44 19 Raporti i sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm. 

45 20 Teoremat e Euklidit. 

46 21 Teorema e Pitagorës. 

47 22 

Zbatime të teoremave të Euklidit dhe teoremës së 

Pitagorës. 

48 23 Ushtrime. 

49 24 Rrethi. Këndi me kulm në rreth.. 

50 25 Zbatime për këndin me kulm në rreth. 

51 26 Tangjetja e hequr mbi një rreth. 

52 27 Trekëndëshi brendashkruar rrethit. 

53 28 Trekëndëshi jashtëshkruar rrethit. 

54 29 Ushtrime. 

55 30 Matja e këndeve dhe harqeve. 

56 31 Funksionet trigonometrikë në Δ kënddrejtë. 

57 32 Formulat themelore e trigonometrisë. 

58 33 Funksionet trigonometrikë për këndet 30 0 , 45 0 dhe 60 0 . 

59 34 Ushtrime për funksionet trigonometrikë. 

60 35 Detyrë kontrolli. 

61 1 Drejtëza pingule me planin. 

62 Kreu V 2 Plane pingulë. 

63 

Gjeometria 

3 Sfera. 

64 në hapsirë 4 Plani tangjent me sferën. 

65 5 orë 5 Problema. 

66 1 Vektori. 

67 2 Mbledhja e vektorëve. 

68 3 Zbritja e vektorëve. 

69 4 Mbledhja dhe zbritja e disa vektorëve. 

70 5 Shumëzimi i vektorit me një numër real. 

71 6 Zbatime të veprimeve me vektorë. 

Kreu VI 

72 7 Koordinatat e pikës dhe vektorit në boshtin koordinativ. 

Shndërrime 

73 8 Koordinatat e pikës dhe vektorit në planin kartezian. 

gjeometrike 

74 9 Veprime me vektorë në planin kartezian. 

75 16 orë 10 Veprime me vektorë në planin kartezian (vazhdim). 

76 11 Pasqyrimet gjeometrike. Izometria. 

77 12 Simetria qendrore. 

78 13 Simetria boshtore. 

79 14 Zhvendosja paralele. 

80 15 Rrotullimi. 

81 


82 Kreu VII 1 Faktorizimi i polinomeve. 

83 Shprehjet 2 Faktorizimi i trinomit ax 2 + bx + c. 

84 shkronjore. 3 Shprehjet racionale. 

3

85 shndërrimi i 4 Thjeshtimi i shprehjeve racionale. 

86 tyre. 5 Shumëzimi ose pjestimi i shprehjeve racionale. 

87 8 orë 6 Mbledhja ose zbritja e shprehjeve racionale. 

88 7 Shprehje racionale komplekse. 

89 

8 Veprime me shprehje racionale. 

90 1 

Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 

njëvlershmëria e tyre. 

91 2 Mjedisi. Rrënjët e huaja të ekuacionit. 

92 3 Ekuacione me ndryshore në emërues. 

93 4 Modelime matematike (problema). 

94 5 Zgjidhja e ekuacioneve shkronjorë. 

95 6 Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë. 

96 

Kreu VIII 

Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore 

7 

Zgjidhja e 

duke krijuar katror binomi. 

97 

ekuacioneve, Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore 

8 

inekuacionev 

duke përdorur formulën me dallor. 

98 e dhe 9 Formulat e vietës. 

99 sistemeve të 10 Sistemi i ekuacioneve lineare me dy ndryshore. 

100 ekuacioneve 11 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare. 

101 18 orë 12 Mosbarazimet numerike. 

102 13 Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 

103 14 Studimi i shenjës së binomit. 

104 15 

Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë me një 

ndryshore. 

105 16 Inekuacione në formë prodhimi, herësi. 

106 17 Inekuacione të dyfishtë. 

107 


108 1 Prodhimi kartezian. 

109 2 Relacioni, funksioni. 

110 Kreu IX 3 Bashkësia e përcaktimit të funksionit. 

111 Funksioni 4 Funksioni kuadratik y = ax 2 dhe y = ax 2 + n. 

112 7 orë 5 Funksioni kuadratik y = ax 2 dhe y = a(x – m) 2 . 

113 6 Funksioni kuadratik y = ax 2 dhe y = ax 2 + bx + c. 

114 

7 Ushtrime. 

115 1 Konceptet statistikore. 

116 2 organizimi i të dhënave statistikore. 

Kreu X 

117 3 Moda. Mesatarja aritmetike. 

Statistikë dhe 

118 4 Karakteristikat e shpërndarjes. 

ptobabilitet 

119 

6 orë 

5 Probabiliteti statistikor. 

Ngjarje e sigurt. Ngjarje e pamundur. Ngjarjet e 

120 

6 

papajtueshme. 

4

KREU I 

KUPTIMI I NUMRIT 

I.1. BASHKËSIA. 

Objektivat: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: 

• Të shkruani bashkësitë duke përdorur simbolikën për bashkësitë. 

• Të kryeni veprimet e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. 

• Të dalloni numrat natyror dhe numrat e plotë. 

Mjetet: libri, tabelë me prerje dhe bashkim bashkësie. 

Metoda: 

Evokim Realizim Reflektim 

Kujtoni 

Stuhi mendimesh 

Shpjeguese 

Punë e drejtuar 

Punë me grupe 

dyshe. 

Zhvillimi i mësimit 

EVOKIMI: - Jepni një bashkësi. 

-Si shkruhet? –Trego ndonjë elementë? 

-Si shkruhet me emërtim? Po me përshkrim? 

RELIZIMI: Bashkësia e dhënë me përshkrim shkruhet dhe lexohet: 

{x/x ka vetinë P}.⇒“Bashkësia e të gjitjë elementëve x të tillë që kane vetinë P” 

-Sqarojmë shëmbujt e dy bashkësive që janë zbërthyer në libër. (dy shënjat qe 

janë përdorur ∧ dhe ∨ në libër lexohen: ∧ ⇒ dhe ∨ ⇒ ose. 

-Njëkohësisht lexojmë dhe shkruajmë figurat në tekst: 

Përforcojmë edhe një herë bashkësitë e numrave. 

a) N = {1, 2, 3, 4……………} ⇒ bashkësia e numrave natyrorë. 

Kjo bashkësi ka edhe disa nënbashkësi. 

T = {1, 3, 5, 7……….} ⇒ numrat tek natyrorë. 

Ç ={2, 4, 6, 8………..} ⇒ numrat natyrorë çift 

P = {1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29….} ⇒ numrat natyrorë prim. 

Ka plot nënbashkësi të tjera,njëshifrorë,dyshifrorë etj. 

b)Numrat e plotë: 

Z = {….-3, -2, -1, 0, 1, 2 …….} ⇒ bashkësi e numrave të plotë. 

N ⊂ 2; T ⊂ N; ç ⊂ N; ç ⊂ P etj. 

REFLEKTIMI: : Punojmë ushtrimin (1) me bashkëbiseduar.Sejcili nga nxënësit japin 

mendin e tyre. 

-Të punojmënxënësit me grupe dyshe në mënyrë të pamvarur. 

Mësuesi shkon tek sejcili grup *bangë( dhe udhëzon, dhe ndihmon atje ku është e 

nevojshme. 

-Nxënësit bëjnë gati përgjigjen e pyetjes (2) dhe në momentin që ata do të 

deklarojnë mendimin e tyre ata të motivohen për të qënë gjallërisht në mësim. 

Të bëhet vlerësimi: 

Detyra shtëpie 3/ 4 (ushtrimet që janë tek rubrika “verifiko dijenitë tuaja”. 

5

I.2. NUMRAT REAL. 


• Të tregoni përkatësinë e çdo numri në bashkësitë numerike. 

• Të tregoni vendndodhjen e numrave real në boshtin numerik. 

• Të zgjidhni situata problemore. 

Mjetet: libri, tabelë me bashkësinë e numrave. 

Metoda: 


Kujto. 

Diskutimi 

Stuhi mendimesh Punë e drejtuar 


EVOKIMI:- Tregoni disa numra natyrorë? 

-Si e shënojmë bashkësinë e N? 

-Tregoni disa numra të plotë? 

-Si shënojmë bashkësinë e numrave të plotë? 

-Tregoni disa thyesa? 

REALIZIMI: Vizatoni një bosht numerik. 

-Hidhni në bosht numeric bashkësitë e mëposhtëme. 


dyshe. 

-Sqaron mësuesi se çdo numër e kthejmë në thyesë në formën m n 

ku 

m ∈ Z dhe n ∈ N. 

-Të gjithë numrat që kthehen në thyesë bëjnë pjesë në bashkësinë e numrave 

racional. 

-Simbolikisht shkruhet : 

⎧ m 

⎫ 

Q = ⎨ | m∈Z; 

dhen∈ 

N⎬ 

⎩ n 

⎭ 

-Punon disa ushtrime: Kthe në thyesë. 

4 35 25 −8 

4 = ; 3, 5 = ; 2,5 = ; − 8 = etj. 

1 10 9 1 

-Numra jo periodikë, të pafundën quhen numra irracionalë (I), të tillë si 

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;.......etj. 

-Tregojmë tabelën me bashkësitë e numrave. 

Kjo tabelë është e nevojshme të sqarohet fort që do të thotë se numri 7∈ N, por 7 

∈ Z ⇒ 7 ∈ Q; ⇒ 7 ∈ R, por 7 ∉ tek I. 

-9 ∈ Z ⇒ - 9 ∈ Q ⇒ - 9 ∈ R, por numri - 9 nuk bën pjesë tek bashkësitë N dhe I, pra - 

∉ N dhe - 9∈ I. 

Punojmë shëmbujt e punuar në libër si dhe hedhim numrat R në boshtin numeric. 

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 1;2 në grup dyshe. 

Nxënësit në grupe të vogla diskutojnë, marrin dhe japin mendime rreth kërkesës 

së ushtrimeve dhe përgatisin mendimin përfundimtar të zgjidhjes së tyre. 

Mësuesi shikon grupet, udhëzon, ndihmon ku e sheh të arsyeshme. 

-Mendoj të punojnë në grupe dyshe (grupe të vogla), sepse këtu është mundësi më 

e madhe për të dhënë mendime e ide, ndërsa në grupe me më shumë nxënës, mund të 

hysh e të dalësh pa dhënë ide, e pa bërë punë fare. 

6

Të bëhet vlerësimi: 

Detyra shtëpie ushtrimet 3/ 4 

I.3. NËNBASHKËSI TË VEÇANTA TË R-së. 


• Të zbatoni marrëdhëniet e perfshirjes bashkësive numerike. 

• Të njihni, shkruani e lexoni simbolikën e nënbashkësive të veçanta të R. 

• Të kryeni veprimet e prerjes, bashkimit, me segmentin, gjysmësegmentin, intervalin, 

gjysëmintervalin. 

Mjetet: libri, tabelë ku tregon nënbashkësitë e boshtit R. 

Koncepte: Segmenti numeric,gjysëmsegmenti,intervalin,gjysëmintervalin. 

Metoda: 


Kujtoni 


Shpjego 

Arsyeto 



7 

Punë në grupe 

dyshe. 

EVOKIMI: - Tregoni disa nënbashkësi të numrave të numrave të plotë Z. 

Këtu nxënësit duhet të flasin çfarë dinë për këtë pyëtje, të tregojnë nënbashkësi të 

ndryshme, të lexojnë, të shkruajnë simbolikisht ato. 

REALIZIMI: -Punojmë pjesën e parë të mësimit se ç’tregojnë simbolikat e shkruara: 

Z - ; Z + ; Z - ; Z + - ; Z - + 

-Kemi disa nënbashkësi të tjera në bashkësinë R. 

a) a ≤ x ≤ b ⇒ Si lexohet? Si quhet? Si shkruhet ndryshe? 

Mësuesi tregon një tabelë, ku janë pasquruar grafikisht këto nënbashkësi.( ku a dhe b janë 

dy numra realë), që përfshin me bashkësinë. 

figura 

a ≤ x ≤ b ⇒ ]a ; b[ ⇒ quhet segment ⇒ A = {x ∈ R\ a < x < b} 

b) Në rastin kur a < x 

bashkësi. 

a < x 

Në të njëjtin mënyrë trajtohen edhe gjysëm segmenti. 

c) a ≤ x < b 

[ a ; b [ ⇒ A = {x∈ R \ a ≤x 

d) a < x ≤ b 

] a ; b] ⇒ A = {x ∈ R\ a

Mësuesi për të parë se sa është kuptuar mësimi mund të organizojë një mini test 

në 5 minutat e fundit 

MINITESTI. 

Përgatitet me fishe me gupe që sejcili tq mos ketë mundësi të shikojë tek shoku 

praën. 

-Kërkesa mund të jetë e tillë: 

Jepen : A = ] – 5 ; 4] ; B = [ 0 ; 6[ dhe C = ] - ∞ ; 3[ 

Paraqit në boshtin numeric dhe gjej. 

a) A∩C ? b) A ∩B = ? c) B∪C = ? 

Të bëhet vlerësimi. 

Detyra shtëpie ushtrimet 3/ 5/ 7. 

I.4. RRËNJA KATRORE. RRËNJA ME TREGUES n E NJË NUMRI. 


• Të njëhsoni rrënjën katrore dhe rrënjën me tregues n të një numri. 

• Të njëhsoni rrënjën nëpërmjet zbatimit të kuptimit të fuqisë. 

• Të argumentoni saktësinë e rrënjës katrori të një numri. 

Mjetet: libri. 

Metoda: 


Kujto 


Diskuto 



Puno me grupe 

dyshe. 

EVOKIMI: - Sa është 3 2 ? 7 2 ? 5 2 ? 

-Cili është numri që katrori I tij është 36? 16? 81? 

REALIZIMI: 5 2 = 25 atëhere mund të themi se _____= 5. 

Pra 25 = 5 sepse 5 2 = 25 

Në përgjithësi a = b sepse b 2 = a. 

Duke u mbështetur te ky rregull, mund të themi se rrënja katrore e një numri 

negativ nuk ekziston sepse katrori I çdo numri jep numër pozitiv. 

n 

a = b ⇒ b n = a janë barazime të njëvlershme. 

3 

27 = 3 sepse 3 3 3 

= 27; 

8 = 2 sepse 2 3 = 8 

5 

− 1 = − 1 sepse ( - 1 ) 5 3 

= - 1 

− 8 =− 2 sepse ( -2) 3 = - 8 

Punojmë ushtrimet në fund të mësimit. 

REFLEKTIMI: Punojmë me grupe dyshe ushtrimet 1/ 2/ 3/ 4 të grupit të parë. 

Aktivizohen sa më shumë nxënës për të dhënë përgjigjet e duhura,është fazë që 

edhe mund të diskutohet midis tyre. 

8

Shkruani rrënjën me tregues n të pesë numrave dhe argumentoni përfundimet e 

gjetura. 

Vlerësimi me notë. 

Detyra: Ushtrimet e grupit III dhe IV. 

I.5. FUQIA ME EKSPONENT RACIONAL. 


• Të njëhsoni fuqitë me eksponent racional të një numri. 

• Të ktheni fuqinë me eksponent racional në rrënjë dhe anasjelltas. 

• Të gjeni vlerën e shprehjes duke zbatuar fuqinë me eksponent racional. 

Mjetet: libri. 

Metoda: 


Kujtoni 


Shpjegues 



dyshe. 


EVOKIMI: Cili jep një fuqi? 

-Cila është baza e fuqisë? 

-Po eksponenti i fuqisë? 

Këto pyetje të bëra marrin përgjigje në mënyrë të njëpasnjëshme.(nxënësit japin 

mendimet e tyre). 

REALIZIMI: Nëse kemi fuqinë a m → a → baza dhe m → eksponent. 

Mësuesi shpjegon, se (m) mund të paraqitet me këto tre raste: 

1) m mund të jetë numër natyror (numër i plotë pozitiv) 

2) m = 0 

3) m → mund të jetë numër i plotë negativ. 

Të thonë nxënësit shembuj për çdo rast. 

1) a m aaa . . ..... a m 

= = a 

3 5 = 3.3.3.3.3 

m 

2) a 0 = 1 ⇒ (3, 5) 0 = 1 ( − 2 

) 0 

= 1 

3 

− m 1 −2 

1 

3) 

1 

a = 

m ⇒ 3 

2 

a 3 

4,5 

= ( - 4,5) -3 = ( ) 

3 

Mësuesi duhet të sqarojë edhe rastin kur eksponenti është thyesë m n 

m 

1 

n 

a = 

m ku m ∈ Z dhe n ∈ N 

a 

Punohen ushtrimet në fund të mësimit. 

REFLEKTIMI: Punoni me grupe dyshe ushtrimet në libër të grupit I dhe II. 

9

-Mësuesi gjendet praën nxënësve, I ëmbël dhe komunikues me ta,shikon 

(vështron),diku udhëzon, e në vend tjetër ndihmon kur sheh se puna nuk ecën me ritmin e 

klasës. 

Pasi bëhen gati nxënësit për të deklaruar përgjigjen,motivohen të gjithë për të 

qënë të vëmendshëm në përgjigjen e shokëve. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit III dhe IV. 

TEMA 1.6 VETITË E FUQIVE ME EKSPONENT RACIONAL. 

I.6. VETITË E FUQIVE ME EKSPONENT RACIONAL. 


• Të zbatoni vetitë e fuqive me eksponent racional. 

• Të njihni varësinë ndërmjet rrënjëve dhe fuqive me eksponent racional. 

• Të thjeshtoni shprehjet duke zbatuar vetitë e fuqive me eksponent racional. 

Mjetet: libër i matematikës 9, tabelë me vetitë e fuqive. 

Metoda: 


Kujtoni 


Diskutimit 


Puno me grupe 

dyshe. 


EVOKIMI: -Jepni dy fuqi me baza të njëjta. 

-Jepni dy fuqi me eksponent të njëjtë. 

-A ju kujtohet? 

1) a m . a n = a m + n ? a m . b m = (ab) m m 

− m 

a m−n 

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ 

= a 

n 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ m 

a 

⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ 

Jepni shëmbuj për këto raste. 

REALIZIMI: Tregojmë para nxënësve tabelën ku janë të pasqyruara vetitë e fuqive 

me eksponent racional. 

1) a r . a s = a r + s 

Mësuesi ngre në dërrasë nxënës të zbatojnë këto veti: (të tilla si) 

x 2 . x 3 = x 5 a 4 . a 7 = a 11 3 5 . 3 2 = 3 7 2 1 11 

5 3 15 

m ⋅ m = m etj. 

-Përqëndrojmë vëmendjen tek vetia e dytë. 

r 

a r− 

s 

= a Ngrejmë një nxënës tjetër të kryejë ushtrimet. 

s 

a 

7 

2 

4 

3 3 

3 

4 

3 = 5 2−5 −3 

1 x 0 

= 5 = 5 = 

x 1 

5 3 

4 

5 5 

x = = 

Po kështu veprohet edhe për vetitë e tjera si: 

(a r ) s = a rs (a . b) r = a r . b r r b 

− r 

r 

⎛ a ⎞ a ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ 

⎜ ⎟ = 

r ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ b ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ 

10

− r 

r 

a b 

Kujdes tregoni për vetinë e 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ të zbatohen: 

⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ 

−2 2 

3 3 

2 

4 5 

Shëmbuj : 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 6⎞ 

2 ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ( 7) 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 4⎠ 

⎝ 6⎠ ⎝ 5⎠ 

⎝ 7 ⎠ 

REFLEKTIMI: Pasi kemi punuar ushtrimet në fund të mësimit, atëhere nxënësit të 

punojnë me grupe dyshe, grupin e ushtrimeve I 5 / 6, II/ 8/9 V/ 8/9 

1 3 1 − 2 1 1 

3 5 15 

a a 

2 1 

5 15 

1 

− 

3 1 1 −8 

− 

1 

3 5 15 

= m = m = 

1 8 15 

5 

a 

5/1 . 

m 

= = = 6/1 

a 

a 

m 

m 

n−1 3−2n n−1 3−2n 3−2n 2−n 3−n 

3 

9 ⋅27 9 ⋅9 ⋅3 81 ⋅3 3−2n 

3 

= = = 3 = 

2−n 2−n −n 2n 

81 81 81 3 

n 1−2n n n 2−4n n 2−3n 

8 ⋅16 2 ⋅4 ⋅4 2 ⋅16 

n 

= = = 2 

2−n 2−n 4−2n 2−3n 

64 4 ⋅ 4 16 

Të deklarojnë nxënësit përgjigjen dhe nxënësit të marrin pjesë në deklarim. 


Detyra shtëpie Ushtrimet grupit I / 2/3/4 

II /4/5/6 

III / 3/4/7 

I.7. SHKRIMI SHKENCOR I NJË NUMRI REAL. 


• Të shkruani çdo numër real në trajtën shkencore. 

• Të shkruani në trajtë standarte numrin real të shkruar në trajtë shkencore. 

• Të kryeni veprime me shprehje të ndryshme. 

Mjetet: libri i matematikës 9. 

Metoda: 


Kujtoni 


Shpjegues 



dyshe. 


EVOKIMI: -Kujto! 

-Si shkruhet në mënyrë shkencore një numër? 

A = n . 10 m ku 1 ≤ N < 10 

-Si shkruhet në mënyrë shkencore. 

3000 = 3 . 10 3 45000 = 4,5 . 10 4 

REALIZIMI: Mësuesi shpjegon përkufizimin e shkrimit shkencor të një numri. 

Kur 10 ka si fuqi një numër natyror i _____ 

10 5 = 100000 10 3 = 1000 10 7 = 10000000 

Ka aq zero sa edhe eksponenti. 

11

Kur 10 ka eksponent,numër negativ atëhere, shifrat 0 vihen para njishit aq zero 

plus vetë 1 sa është eksponenti I fuqisë. 

10 -2 = 0,01 10 -5 = 0,00001 10 -7 = 0,0000001 etj. 

-Një numër kthehet në trajtë shkencore duke e bërë prodhim e një numri 

1≤ a < 10 me eksponent sa shifra ka pas presjes. 

65000 = 6,15 . 10 4 3120000 = 3,12 . 10 6 etj. 

-Mësuesi shpjegon ushtrimet në fund të mësimit. 

REFLEKTIMI: Të punojmë në grupe 1/ 2. 

Nxënësit të punojnë me grupe duke shkëmbyer mendime dhe ide për të shkruar 

numra me trajtë shkencore. 

41,5 . 10 4 = 4,15 . 10 5 412,5 . 10 7 = 4,12 . 10 8 

125 . 10 7 =1,25 . 10 9 0,0017 . 10 +8 = 1,7 . 10 5 

Të deklarojnë përfundimet e ushtrimeve dhe të bëhet vlerësimi. 

Detyra shtëpie ushtrimi 3 / 5. 

I.8. USHTRIME. 

Kjo orë mësimi mund të bëhet në formë konkursi. 

Mësuesi që më parë ka përgatitur fishe me ushtrimet për çdo grup, ku shënohen 

koha e përgatitjes dhe sasia e pikave. 

Modeli: 

-Ndaj klasën në 4 grupe. 

-Cakto përgjegjësin e grupit. 

1 

Ushtrimi 1. Jepet bashkësia 

⎧ 

⎨ 

⎩ 3 

3 

21; − 49; - 32; 3; 012 ; 18; -8; 06; 5 

} 

Përgjigja e pyetjeve. 

Cakto numrat sipas përkatësisë së bashkësisë. 

Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë. 

Ushtrimi 2 Shkruani mosbarazimet me mënyrë tjetër si nënbashkësi. 

Grupi parë Grupi dytë Grupi tretë Grupi katërt 

a){x|- 2 ≤ x ≤ 4 {x |- 8 ≤ x < 4 {x| - 5 < x < - 3 {x| - 7 ≤ x < 7 

b) { x | - 4 < x < 8 {x | 5 ≤ x < 7 x | 4 < x ≤ 7 x | 9 < x < 15 

Koha 3 minuta Vlerësimi 3 pikë 

Ushtrimi 3. Jepen bashkësitë A = [ - 1 ; 3] B = [ 2; + ∞[ C = ] -∞; 0 [ 

Parqit këto bashkësi në boshtin numeric dhe gjeni:: 

a)A∩B b)A ∩V = ? c) A ∪ ( B ∩C) d) A ∩B ∪ C 

Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë 

Ushtrimi 4. Njehsoni fuqitë, (argumento përgjigjen). 

81; 

3 3 3 3 3 3 

121; − 216; − 343; −64; −125; − 512; − 1; 

64 1 8 81 

; 5 ; 3 ; 4 

Koha 3 minuta vlerësimi 3 pikë 

Ushtrimi 5. Ktheni fuqitë në rrënjë. 

12 

81 32 27 16

2 

3 

4 

2 1 2 1 

14 3 3 23 ⎛16 

⎞ 

3 2 5 

2 ;49 ; −27 ; −36 ; ⎜ ⎟ ;8 ;8 ,32 

⎝ 49 ⎠ 

Koha 3 minuta, vlerësimi 3 pikë 

Ushtrimi 6. Thjeshto: 

8 9 2 4 7 8 4 5 3 4 

4 5 6 7 6 5 7 8 

; ; x ; y ; r ; y 

− 

; ; ; ; ; ; 

6 7 0 8 10 12 2 3 7 2 1 1 

4 5 x y r y 6 7 6 5 7 8 

Ushtrimi 7. Gjeni vlerën e shprehjes. 

1 1 

⎡ − ⎤ 0 3 

1 

2 3 

4 

4 125 2 1 1 ⎡ 16 ⎛ 64 2 ⎞⎤ 

⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ 

⎤ ⎛ ⎞ 

+ ⎥ + + + ⎢ − ⎥ = 

⎢ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 

9 27 

⎢ ⎜ ⎟ 

5 36 10 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎣ ⎦ ⎢⎝81⎠ 

⎜ 81 ⎟ 

⎣ ⎝ ⎠⎥ 

⎣ 

⎦ 

⎦ 

Koha 5 minuta Vlerësimi 5 pikë 

Ushtrimi 8 . Shkruani në mënyrë shkencore. 

401,5 . 10 4 = 0,401 . 10 6 = 0,0036 . 10 -2 = 

0,01 . 10 1 = 42,4 . 10 5 = 433,5 . 10 7 = 

3 pikë 3 minuta 

Ky konkurs përveç se kontrollohen apo emonicionon nxënësit I mobilizon të gjitjë 

që të punojnë në mënyrë të pavarur. 

Mësuesi duke mbledhur pikët e sejcilit grup shpall grupin fitues dhe mbi bazën e 

këtij bën vlerësimin me notë në këtyë kapitull. 

Detyra shtëpie ushtrimet grupi X/ ushtrimi 1 / 2 

KREU II 

VEPRIMI ME NUMRA 

II.1. VEPRIME ME NUMRA RACIONAL. 


• Të ktheni në thyesë numrat racionalë. 

• Të gjeni shumën, ndryshesën, prodhimin, herësin e dy numrave racional. 

• Të zbatoni radhën e veprimeve në shprehje me numra racional. 


Metoda: Diskutimit, punë e drejtuar, punë me grupe. 


EVOKIMI: - Cili thotëdisa numra racional. 

-Si mund të shkruajmë në thyesa të plotë? 

Nxënësit e dinë këtë gjë,ngrejmë nxënës në dërrasë, të kthejnë në thyesa numrat. 

3 7 35 

7 

− 

43 

− 

17 

3 = 7 = 3, 5 = 0,07 = 4,7 = 0,17 = 

1 1 10 

100 

9 

99 

− 

706 

− 

713 − 71 642 214 

7,13 = 

7,13 = = = 

99 

90 90 30 

13

REALIZIMI: Si mblidhen dy numra racional. 

2 5 2 − 15+ 

2 13 

− 5 + = − + = = − 

3 1 3 3 3 

a c ad + bc a c ad − bc 

Në përgjithësi : + = ose − = 

b d bd b d bd 

Shumëzo: 2 4 2 ⋅ 

⋅ = 4 = 

8 

3 5 3⋅ 

5 15 

Në përgjithësi: a ⋅ c = 

ac 

b d bd 

Kujdes mësuesi duhet të kalojë nga e njohura (apo e thjeshta) tek më e vështira 

apo e përgjithshmja. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / dhe 2. 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, diskutojnë dhe veprojnë në mënyrë ta 

pamvarur,ndërsa mësuesit i krijohet mundësia të vrojtojë, të udhëzojë apo të ndihmojë 

nxënës që kanë nevojë për punë të diferencuar. 

Pasi u lëmë kohë të mjaftueshme që të përgatisin përgjigjen, sensibilizojmë 

nxënësit që të marrin pjesë active në diskutimin e zgjidhjes së ushtrimeve. Të Të Të 

bëhet vlerësimi. 

Detyra:shtëpie ushtrimet3 / 4. 

II. 2. RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE. 

Objektivi: Pas studimit të këtij mësimi ju do të jeni të aftë: 

• Të njihni vendvlerën e shifrave të një numri. 

• Të rrumbullakosni numrat në një shifër të caktuar. 

• Të përdorni rrumbullakimin e numrave për gjetjen e vlerës së një shprehje. 

Mjetet: libri i matematikës . 

Metoda: 


Kujto 

Diskutoni 

Puno me grupe 

Stuhi mendimesh Punë e udhëhequr dyshe. 


EVOKIMI: -Tregoni vend vlerën e shifrave për numrat 413; 517; 42, 381 

-çdo të thotë të rrumbullakosësh një numër? 

Realizimi: Rrumbullakosni numrin sipas rregullit. 

Shëmbulli në libër. 

a) Të rrumbullakosni më të plota. 

b) Më afërsi 10 

c) Me afërsi 100 

d) Me afërsi 1000 

14

e) Me të dhjetat 

f) Me të qindat. 

Duke sqaruar se për të rrumbullakosur një numër me një shifër të caktuar duhet që 

atë shifër të nënvizojmë dhe të shohim se ç’farë shifre vjen pas. 

1 – Nëse pas shifrës nënvizuar njëri një shifër më e vogël se 5, shifrat bëhen 

zero. 

2-Nëse pas shifrës së nënvizuar vjen një shifër 5 e lart, shifra e nënvizuar rritet 

një njësi, shifrat pas bëhen zero. 

Të punohen ushtrimet e zgjidhura në libër duke marrë pjesë në diskutim edhe 

nxënësit. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1/ dhe 4. 

Tek ushtrimi 4, nxënësit duhet të përdorin makinën llogaritëse dhe rrumbullakimi 

deri me tri shifra pas ____. 

Shëmbull: 1 7 0,5 ,9,64575 0,5 2,646 3,146 

2 + = + = + = 

Të lëmë kohën e nevojshme qe nxënësit të përgatiten për të deklaruar përgjigjen 

dhe motivojmë nxënësit që të marrin pjesë në diskutim. 


Detyra shtëpie Ushtrimi 6 

. 

II.3. VETITË E RRËNJËS KATRORE. 


• Të zbatoni vetitë e rrënjëve në njëhsimin e rrënjës katrore të një numri. 

• Të përdorni vetitë e rrënjëve në kryerje veprimesh me numra real. 


Mjetet: libri i matematikës 9, makinë llogaritëse. 

Metoda: 


Kujto 


Shpjego 

demostro 

Puno me grupe dyshe. 


EVOKIMI: - Shkruaj në rrënjë katrore fuqinë: 

1 2 

9 

4 2 

3 3 2 

5 

= 4 

8 = 8 

5 = 5 

REALIZIMI:Për çdo numër real është i vërtetë barazimi: 

m 

n 

a 

(3 . 4) 2 = 3 2 . 4 2 

Në përgjithësi: ( a . b) r = a r . b r 

n m 

= a ku m ∈Z dhe n ∈ N. 

3 3 

r 

⎛ 3⎞ 3 

⎛ a ⎞ a 

⎜ ⎟ = 

3 Në përgjithësi ⎜ ⎟ = 

r 

⎝ 4⎠ 

4 

⎝ b ⎠ b 

Kujdes duhet sqaruar me shëmbuj të ndryshëm. 

15 

r 

5 4 

3 

2 

7 = 7 

2

− r 

r 

−3 3 

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2⎠ 

Veti të rrënjëve: 

4⋅ 9 = 4 ⋅ 9 sepse 

4⋅ 9 = 36 = 6 4 ⋅ 9 = 2⋅ 3 = 6 

Në përgjithësi : a⋅ b = a ⋅ b 

Të punohen ushtrimet në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet ushtrimet 2. 

Njehsoni duke zbatuar vetitë e rrënjës katrore. 

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe bëjjë njehsimet e duhura, mësuesi gjen 

hapësirë për të punuar në mënyrë të diferencuar me nxënësit që kanë nevojë për punë të 

diferencuar. 

Në momentin që bëhen gati përgjigjet e nxënësve, atëhere jemi të motivuar për të 

marrë pjesë aktivisht në diskutim. 

Të bëhet vlerësimi 

Detyra: shtëpie ushtrimet 3/ 4 

II.4. NXJERRJA E FAKTORËVE NGA SHENJA E RRËNJËS. 

FUTJA E FAKTORËVE NËN SHENJËN E RRËNJËS. 


• Të zbatoni vetitë e rrënjëve për të nxjerrë faktorë nga shenja e rrënjës. 

• Të përdorni vetitë e rrënjëve për të futur faktorë nën shenjën e rrënjës. 

• Të thjeshtoni duke përdorur vetitë e rrënjëëve. 


Metoda: 


Kujto 


Diskutimi dhe punë e 

drejtuar 

Puno me grupe 

dyshe. 


EVOKIMI:- Cilët quhen faktorë të thjeshtë? 

-Jepni disa faktorë të thjeshtë? 

-Si paraqitet 20 si prodhim faktorësh të thjeshtë? 

-Zbërthe numrat 24 dhe 108 në faktorë të thjeshtë. 

REALIZIMI: Për të nxjerrë nga rrënja katrore numrat 24 dhe 108 veprohet kështu 

(shiko në libër). 

24 = 4⋅2⋅ 3 = 4 ⋅ 2⋅ 3 = 2⋅ 

6 

2 

108 = 4 ⋅ 2⋅ 3 = 4⋅ 

6 

Punojmë një shëmbull. 

50 = 25⋅ 2 = 25 2 = 5 2 

Për ta futur nën shenjën e rrënjës veprohet kështu: 

16

2 

4 5 = 4 ⋅ 5 = 16⋅ 5 = 80 

( ) 2 2 3 

3x 2x = 3x ⋅ 2x = 9x 〈 2x = 18x 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 / 3. 

48 = 16⋅ 3 = 4 3 

75 = 25⋅ 3 = 5 3 

5 4 2 

288 = 144⋅ 2 = 12 2 

216x = 36x ⋅ 6x = 6x 6x 

Me nxënësit diskutojmë çdo rast se si veçohet faktori që do të ketë rrënjë katrore. 

Po kështu veprohet edhe për ushtrimin 3. 

2 

3 7 = 3 ⋅ 7 = 9⋅ 7 = 63 

2 

5 6 = 5 ⋅ 6 = 25⋅ 6 = 150 etj. 


Detyra shtëpie ushtrimet 2. 

II.5. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E NUMRAVE REAL. 


• Të paraqitni më thjeshtë shprehje që përmbajnë rrënjë duke zbatuar rregullat e 

mbledhjes apo zbritjes. 

• Të zbatoni nxjerrjen e faktorëve nga shenja e rrënjës për gjetjen e shumës apo 

ndryshesës së numrave real. 

• Të zgjidhni situata problemore me numra real. 


Metoda: 


Kujto 


Diskutimit. 



EVOKIMI: - Thjeshto shprehjet: 

12 5 + 2 5 = 5 12 + 2 = 14 5 

( ) 

7 3 − 5 3 = 3( 7− 5) 

= 2 3 

REALIZIMI: Shndrroni në shprehje më të thjeshtë: 

5 24 + 54 = 5 4⋅ 6 + 9⋅ 

6 

= 5⋅ 2 6 + 3 6 

= = 10 6 + 3 6 

= 6( 10+ 3) 

= 13 6 

Të ngrihen nxënës për të kryer shndrrime në shprehje si: 

5 20 + 2 45 = 5 4⋅ 5 + 2⋅ 9⋅ 

5 

17 

Puno me grupe 

dyshe.

=5⋅ 2 5 + 2⋅ 

3 5 

=10 5 + 6 5 = 16 5 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet ushtrimet 2. 

Punojmë me grupe dyshe ushtrime të tilla: 

4 3 2 3 12 3 + 2 3 14 3 

+ = = 

3 9 9 9 

Kujdes me ushtrime të tilla. 

50 2 3⋅ 

5 2 

3 + 8 = = 5 2 + 8 

9 8 2 2 

Nxënësit u lihet kohë e mjaftueshme për të gjetur përfundimin e duhur dhe bëhet 

deklarimi i përfundimeve me një mjedis diskutues. 


Detyra shtëpie ushtrimet 2/ 4/ 6/ 8/ 10/12 

II.6. VEPRIME ME NUMRA REAL. 


• Të paraqitni më thjeshtë shprehje që përmbajnë rrënjë duke zbatuar rregullat e 

shumëzimit të numrave real. 

• Të zbatoni rregullat për zhdukjen e rrënjës nga emëruesi në zgjidhje ushtrimesh të 

ndryshme. 

• Të zbatoni vetinë e barazimit kur shumëzohen dy gjymtyrët e një thyese. 


Metoda: Punë e drejtuar, problemore. 


Pyesim: - Si shumëzohet 4 (3 – x ) = ? 

Çfarë ligji zbatohet në këtë rast. 

Po kështu veprohet edhe kur shumëzojmë dy shprehje që përmbajnë rrënjë. 

3( 6 + 2) 

= 3 6 + 3 2 

Shumëzoni: a) 

( 7+ 3)( 5 + 2) = 7( 5 + 2) + 3( 5 + 2) 

= 7 5 + 7 2 + 5 + 6 

Marrim një shëmbull tjetër dhe ngrejmë nxënës që dinë të kryejnë shumëzime të 

tjera. 

( 10 − 3)( 10 + 3) = 10( 10 + 3) − 3 ( 10 + 3) 

= 

100 10 3 10 3 3 

= + − − = 

= 100 – 3 = 97 

Të punojmë ushtrimet në libër. 

Kryeni veprimet në shprehjet: 

18

6( 3 + 2) 

= 3 6 + 12 = 3 6 + 2 3 = 18 + 2 3 = 3 2 + 2 3 

2 ( 32 − 9 ) = 64 − 18 = 8 + 3 2 

Të bëhet deklarimi i përgjigjeve. 

Rëndësi ka që të sqarohet se si bëhet zhdukja e rrënjës nga emëruesi. 

Punohen shëmbujt (duke ngritur nxënës që dinë të kryejnë veprimet. 

Zhduk nga emëruesi rrënjët: 

( ) ( )( ) 

= = = = 

3 − 7 ( 3 − 7)( 3 + 7) 

− 

− 

3 + 7 3 − 7 3 + 7 3 + 2 21 + 7 10 + 2 21 2 21 + 10 

3 7 4 4 

Të punohen ushtrimet 2 / 4/ 3. 


Detyra shtëpie ushtrimet 7/ 9/ 11/ 13/ 15 

II.7. USHTRIME MBI RRËNJËT. 


• Të thjeshtoni shprehje që përmbajnë rrënjë. 

• Të zbatoni vetitë e rrënjëve dhe vetitë e fuqive për njëhsimin e shprehjeve. 

• Të zbatoni radhën e veprimeve në shprehje të ndryshme. 

Mjete: libri i matematikës 9. 

Këtë orë mësuesi mund ta zhvillojë në formën e një bashkëbisedimi me nxënësit 

për të sqaruar bashkë me ta, mënyrën e zgjidhjes së ushtrimeve të ndryshme, por mund të 

zhvillohet në formën e një konkursi, apo punë të pamvarur. 

-Ne po mundohemi të organizojmë një orë mësimi në formën e bashkëbisedimit. 

-Mësuesi udhëzon:- Shikoni grupimin e ushtrimeve 1. Cfarë keni të paqartë? 

Si do që të përgjigjen nxënësit ne punojmë bashkë me ta ushtrimet 5 dhe 7 / 20. 

16 16 27 

Ushrimi 5. ⋅ 27 = ⋅ = 16⋅ 9 = 4⋅ 3 = 12 

3 3 1 

121 121 11 

Ushtrimi 7:. 1, 21 = = = = 1,1 

100 100 10 

45 9⋅ 

5 9 3 

Ushtrimi 20. = = = 

500 100⋅ 

5 100 10 

Pas këtyre ushtrimeve të punuara, për ushtrimet e tjera janë krejtësisht të 

ngjashme. 

-Ndërhyn mësuesi, vrojtoni grupin e dytë. 

Punojmë ushtrimin 8. 

( ) ( ) 

6 4 7 3 6 2 7 3 36 2 42 12 42 56 18 10 42 56 10 42 36 

− ⋅ + = + − − = − − = − − 

Njehsoni : 

19

3 6 3 6 3 3 + 18−2 18 

+ = = = = 

3− 12 3 3−2 3 3 3( 3− 

2 3) 

3( 3 + 6−2 2) 

− 

3( 3 − 2) 

( )( ) 

= 

( 3 − 2)( 3 + 2) 

− 

3 3 + 18− 6 2 3 + 6−2 2 

= = = = 

3 3 6 3 −2 

3 + 6− 2 2 3 + 2 3+ 6 3 − 2 6 + 2 3 + 12−4 2 

= = = 

3 4 

= 15 + 8 3 − 2 6 − 4 2 

−1 

Të vlerësohen nxënësit 

Detyra shtëpie ushtrimet V 6/ 8/ 10/ 12 

VI 3/ 5. 

KREU III 

MATJA 

III.1. SIPËRFAQJA E DREJTËKËNDËSHIT. 


• Të tregoni çdo të thotë të matësh sipërfaqen e një figure. 

• Të njehsoni sipërfaqen e drejtkëndëshit. 

• Të zgjidhni situata problemore me sipërfaqen e drejtëkëndëshit. 

Mjetet: libri, vizore, njësi katrore. 

Metoda: 


Kujto 


Shpjegimi dhe punë 

e drejtuar 

Puno me grupe 

dyshe. 


EVOKIMI: - Cili thotë disa njësi katrore? 

-Vizatoni 1 cm 2 , 1dm 2 

-çdo të thotë të matësh sipërfaqen e një figure? 

Nxënësit lihen të lirë të shprehin mendimet e tyre për pyetjet e mësipërme. 

REALIZIMI: Vizatoni një drejtëkëndësh me përmasa 4 cm dhe 3cm. 

-Sa njësi katrore (cm 2 ) përmban ky drejtëkëndësh? 

-Vizatojeni?! –Sa u doli? 

-Si mund ta njehsojmë ndryshe jo me të vizatuar? 

Përfundimin nxënësit e nxjerrin vetë S = a . b ose S = b . l 

-U drejtohet pyetja: Si mund ta veçojmë b = ? ose l = ? 

Pra S = b . l ⇒ b = S ose l = S 

l b 

-Punojmë situata problemore në libër. 

REFLEKTIMI: Të punoni problemin 5 me grupe dyshe. 

20

Nxënësit duhet të ndjekin këtë radhë pune: 

-Të ndajnë figurat në drejtëkëndësh 

-Të njehsojnë sipërfaqen e sejcilit prej drejtëkëndeshave. 

-Të gjejnë sipërfaqen e figurës. 

Ndërsa nxënësit punojnë duke e diskutuar midis tyre, mësuesit I krijohet mundësia të 

vrojtojë, të këshillojë dhe të ndihmojë dikë që nuk ecën deri sa nxënësit bëhen të gatshëm 

të deklarojnë përgjigjen e duhur. 

-Deklarohet përgjigja (sipërfaqes së çdo figure). 


Detyra shtëpie ushtrimet 1/ 2/ 3. 

III.2. SIPËRFAQJA E PARALELOGRAMIT. 


• Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e paralelogramit. 

• Të zgjidhni situata problemore me sipërfaqen e paralelogramit. 

Mjetet: libri i matematikës 9., vizore,letër e milimetruar, gërshërë. 

Metoda: 


Kujto 

Demostro 

Puno me 

Stuhi mendimesh Shpjego dhe punë e drejtuar grupe dyshe. 


EVOKIMI: - Vizatoni një parallelogram me letrën e milimetruar. 

-Ç’veti dimë për paralelogramin? 

-Hiqni një lartësi nga kulmi I këndit gjërë. 

-Trekëndëshin e formuar priteni me gërshërë dhe zhvendoseni. 

-Ç’figurë u doli? 

-A ka ndryshuar baza? Po lartësia? 

REALIZIMI: Kjo gjë vërtetohet jo vetëm praktikisht, por edhe me vërtetim. 

Krahasoni trekëndëshin ADE (shiko figurën 1) me trekëndëshin BCF (Këto jane 

trekëndësha kënd drejtë). 

1) AD≡ BC Δ ADE ≡ Δ BCF ⇒S ΔADE = S ΔBCF 

2) DE ≡ CF 

Nga vërtetimi del S ABCD = S DEFC = b . l. 

Mësuesi duhet të theksojë se sipërfaqja e paralelogramit gjendet duke shumëzuar brinjën 

me lartësinë mbi atë brinjë. 

-Punohen problemat në libër. 

ReEFLEKTIMI: Të punohet problemi 2 dhe 5. 

Tek problemi 5 nxënësit duhet të ndjekin këtë rrugë: (bëhët një diskutim me ta). 

-Çfarë është dhënë? 

-Çfarë kërkohet? 

-A kanë lidhje ajo që jepet me atë që kërkohet? 

21

-Nxënësit duhet të shënojnë me x brinjën dhe lartësinë . 

1 

4 x S = b . l ⇒ 25 = 1 4 x . x ⇒ x 2 = 100 x = 100 = 10 

Brinja del 10 cm ( e mëtej) 

-Ndërsa mësuesit vazhdojnë të diskutojnë, konsultohen me njëri tjetrin, mësuesi 

vëzhgon, udhëzon dhe diku ndihmon që të kryhet zgjidhja. 

-E rëndësishme që të bëhet deklarimi i përgjigjes prej nxënësve, ti nënshtrohet 

diskutimit të të gjithë klasës. 

Të vlerësohen. 

Detyra shtëpie ; Problemi 1/ 3/ 4/ 7 

III.3. SIPËRFAQJA E TREKËNDËSHIT. 


• Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e trekëndëshit. 

• Të zgjidhni problema që kanë të bëjnë me sipërfaqen e trekëndëshit. 

• Të nxirrni formulat që rrjedhin nga formula e sipërfaqes së trekëndëshit. 

Mjetet: libri i matematikës, letër e milimetruar, vizore, gërshërë.. 

Metoda: 


Kujto 

Demostro 

Puno me 

Stuhi mendimesh Vërteto dhe punë e drejtuar grupe dyshe. 


EVOKIMI: - Në letrën e milimetruar vizatoni një trekëndësh çfardo. 

Hiqni paralelet , formohet edhe një trekëndësh tjetër. 

-Krahasoni dy trekëndëshat? –çfar doli? 

-Vendosnini dy trekëndëshat që të formohet një parallelogram. 

REALIZIMI: Paraqesim tabelën e trekëndëshave, ku janë hequr nga kulmet B e C 

paralelet në brinjët e përbashkëta. 

-Vërtetojmë që trekëndëshat e formuar Δ ABC dhe ΔBCD janë kongrurent. 

-Nxiten nxënësit që të gjejnë elementët kongruent te dy trekëndëshave. 

(Vështro figurën 1 në libër). 

-Dy trekëndëshat kongurent kanë sipërfaqe të barabartë. 

Kështu që sipërfaqja e paralelogramit përbëhet nga sipërfaqja e dy trekëndëshave 

kongruentë. 

AB ⋅ CE b ⋅l 

2S 

Nga kjo rrjedh që S = = b = 

ABC 

2 2 

l 

Kujdes duhet të tregojë mësuesi që të bëjë nxjerrjen e formulës rrjedhëse. 

-Punojmë ushtrimet në libër. 

REFLEKTIMI: Punojmë ushtrimet 6 në libër. 

-Vëreni figurën 4. 

-Cilat janë të dhënat? 

-Për të gjetur S ACFG = ? duhet parë çfarë është kjo figurë? 

Baza e këtij paralelogrami është 14cm, lartësia 12, atëhere S = b . l = 14 . 12 =168cm 2 

22

Në mënyrë analoge nxënësit njehsojnë edhe sipërfaqen e 5 figurave të tjera të 

kërkuara. 

Ndërsa nxënësit vazhdojnë punojnë në punë grupi dyshe, mësuesi bën punë të 

diferencuar me nxënës që kanë prapambetje në mësime, për aq kohq sa nxënësit bëhen 

gati të japin përgjigjen e problemit. 

-Nxënësit përfshihen në diskutimin e këtyre zgjidhjeve. 


Detyra shtëpie: Problema: 2/ 4/ 7/ 8 

III.4. FORMULA E HERONIT. 


• Të përdorni formulën e Heronit për gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshit. 

• Të zgjidhni problema që përdorin formulën e Heronit. 

Mjetet: libri . 

Metoda: Shpjeguese,punë e drejtuar, punë me grupe dyshe. 


-Vizatoni trekëndëshin ABC me përmasa 3cm, 3cm, 4cm. 

-Për të njehsuar sipërfaqen e trekëndëshit përdoret shpesh dhe formula e Heronit. 

S = p( p −a)( p −b)( p − c) 

-Gjeni perimetrin e trekëndëshit dhe gjysmen e këtij perimetri, 

p 

p = 3 + 4 + 3 = 10 = 5 

2 

Zbatoni këtë formulë: 

S = 5⋅( 5−3)( 5−3)( 5− 1) 

= 5⋅2⋅2⋅ 1 = 20 = 2 5cm 2 

Kjo formulë nuk ka vërtetim. 

Punojmë problemin e zhvilluar në libër. 

Reflektimi: Të punojnë nxënësit me grupe dyshe problemin 2 dhe 7. 

-Problemi 2 ka vetëm zbatimin e formulës se Heronit, ndërsa problemi 7 duhet 

gjetur sipërfaqja e trekëndëshit në dy mënyra. 

Mënyra e parë: Gjejmë katetin K = 13 2 – 5 5 = 169 – 25 = 144 

K = 144 = 12cm 

b⋅l 

12⋅5 

S Δ = = = 30 cm 2 

2 2 

13 + 12 + 5 

Mënyra e dytë: Gjejmë gjysmën e perimetrit p = = 15 

2 

( )( )( ) 

15 15 12 15 13 15 5 15 3 2 10 900 30 

S = ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = = cm 2 

Ky problem i bën më të qartë se të dyja formulat të çojnë në një përfundim. 

- Në raport me kohën punohen edhe problema të tjera. 


Detyra shtëpie:Problema: 1/ 3/ 8 

23

III.5. SIPËRFAQJA E ROMBIT. 


• Të vërtetoni se lartësitë e rombit janë konguente. 

• Të njëhsoni sipërfaqen e rombit. 

• Të zgjidhni situata problemore duke zbatuar sipërfaqen e rombit. 

Mjetet: libër, letër e milimetruar, vizore. 

Metoda: 


Kujto 


Diskutim 


Puno me grupe 

dyshe. 


EVOKIMI: - C’quhet romb? 

- A ju kujtohet figura e tij? 

- Cilat janë vetitë e rombit? 

- Cilat janë lartësitë e rombit? Si janë ato? 

- ____dy lartësi nga një kulm i rombit. 

- Si janë ato? 

- A mund ta vërtetojmë? 

REALIZIMI:Krahasoni në figurën 1 (në libër) dy trekëndëshat ΔAED dhe CFD. 

Pasi nxënësit vërtetojnë se dy trekëndëshat janë congruent (meqë janë trekëndësha 

kënddrejtë dhe kanë hipotenuzën dhe një kënd të ngushtë kongruent) del që dy lartësitë 

janë kongruente. 

Drejtohet pyetja: -Si njehsohet Sipërfaqja e rombit? duke u nisur që rombi është 

paralelogram), atëhere S = b . l 

Por rombit mund ta gjejmë sipërfaqen edhe me një mënyrë tjetër (duke e marrë 

sipërfaqen e tij si shumë e dy sipërfaqeve të trekëndëshave Δ ABC dhe ΔADC). Shiko 

figurën a në libër. 

Me pjesëmarrjen e nxënësve hap pas hapi nxjerrim përfundimin se Sipërfaqja e 

dd 

rombit gjendet duke gjysmuar prodhimin e diagonaleve S = 

1 2 

2 

Punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: -Të punohen problemat 4. 

Në zgjidhjen e problemit 4 duhet bërë kujdes që: 

a) në pikat a / b/ c janë thjesht zbatimi i formës së diagonaleve. 

3x⋅8x 

2 

Kërkesa d është 3x dhe 8x, atëhere S = = 12x 

.Sipërfaqja në këtë rast 

2 

është si funksioni x. 

Kërkesat e tjera f e c duhet zbatuar teorema e Pitagorës, me një nga trekëndëshat që 

formojnë diagonalen me brinjët e tij. 

-Nxënësit le të punojnë duke u konsultuar me njëri tjetrin dhe të gjejnë zgjidhjen e 

duhur. 

24

Mësuesi vrojton punën e tyre, diku udhëzon, diku ndihmon që nxënësit të mos 

ngecin. 

-Në momentin që nxënësit deklarojnë përgjigjen e tyre është mirë që në disa raste, 

e pse jo në çdo rast krahas zgjidhjes së problemit ata duhet të përmendin çdo njohuri që 

shfrytëzuan për zgjidhjen e problemit. 


Detyra shtëpie ushtrimi 3 dhe 5 


• Të vërtetoni formulën për sipërfaqen e trapezit. 

• Të njëhsoni element të trapezit nga formula për sipërfaqen e trapezit. 

• Të zgjidhni situata problemore që kanë të bëjnë me sipërfaqen e trapezit. 

Mjetet: libri, vizore, tabelë për sipërfaqen e trapezit. 

Metoda: 


Kujto 


Diskutim 


Puno me grupe . 


EVOKIMI: - Tregojmë tabelën diku në dërrasë dhe pyesim. 

-Ç’figurë është? 

-Ç’quajmë trapez? Vizato një trapez! 

-Cilët janë elementët e trapezit? 

-Sa lloje trapezash kemi? 

-Si mund ta gjejmë sipërfaqen e trapezit? 

-Cila është lartësia e trapezit? 

REALIZIMI: Në trapezin e vizatuar heqim njërën diagonale. 

-Sa trekëndësha formohen? (vëreni ehde figurën 1 në libër). 

AB ⋅ h 

-Si mund ta gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit ABC ⇒ S1 

= 

2 

CD ⋅ AF 

-Po sipërfaqen e trekëndëshit ADC ⇒ S 

2 

= 

2 

AB ⋅h CD ⋅AF h( AB + CD) 

( b1 + b2) 

⋅ h 

S Δ = S 1 + S 2 = + = 

S = 

2 2 2 

2 

Nxjerrim edhe formulat rrjedhëse. 

Punojmë problemat e zgjidhura në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2/ 6. 

-Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të bërë zgjidhjen e problemave, mësuesi ka 

mundësi të punojnë në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë, diku udhëzon, diku 

ndihmon. 

Tek problemi 6 duhet të kemi kujdes se duhet gjetur brinjët në fillim. 

25

Meqë brinjët jepen me raport do të thotë se njëra është 7 pjesë ose 7x, tjetra 3x, 

baza e vogël 5x dhe brinja 3x. duhet bërë kujdes se ato që jane nga 3 pjesë janë brinjët 

anësore të trapezit dybrinjënjëshëm. 

Më tej shtrohet ekuacioni 7x 3x + 5x + 3x = 90__ x = 5 

Baza e madhe ?x = 35 baza e vogël 5x = 5 . 5 = 25 

Brinjët anësore janë 3 . 5 .= 15 

-Nxënësit duke punuar me grupe gjejmë lartësimë e trapezit duke zbatuar 

teoremën e Pitagorës. 

Deklarohet përgjigja nga nxënës të ndryshëm për zgjidhjen e problemit. 

Rëndësi ka të deklarojnë nxënësit pasi e ka bërë zgjidhjen e problemit se ç’njohuri 

iu deshën atyre për të zgjidhur problemin. 


Detyra shtëpie ushtrimi: 3/ 7/ 8. 

III.7. SIPËRFAQJA E SHUMËKËNDËSHIT JASHTËSHKRUAR RRETHIT. 


• Të njëhsoni sipërfaqen e shumëkëndshave të çfarëdoshëm. 

• Të njëhsoni sipërfaqen e shumëkëndëshit të rregullt jashtëshkruar rrethit. 


Mjetet: kompas, vizore, tabelë. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Puno me grupe 

Stuhi mendimesh Shpjego punë e drejtuar dyshe. 


EVOKIMI: - Si njehsohet sipërfaqja e trekëndëshit? 

-Po e një shumëkëndëshi të çfardoshëm? 

-Vështroni figurën (1) në libër. 

-Kryeni matjet dhe njehsoni sipërfaqen e këtij katërkëndëshi (ndaje si në libër) 

-C’quhet shumëkëndësh i rregullt? 

REALIZIMI: -Theksojmë se shumëkëndëshi i rregullt duhet të plotësojë këto kushte: 

a)Brinjët kongruentë. 

b) Këndet congruent. 

-Cili prej figurave plotëson kushtin për të qënë i rregullt. 

-Marrim tabelën në dërrasë dhe udhëzojmë. 

-Kryejmë vizatimet e duhura. 

Caktoni qëndrën e shumëkëndëshit dhe i bashkoni atë me kulmet e shumëkëndëshit. 

-Sa trekëndësha formohen te trekëndëshi? Tek katrori? –tek 5----------? 

(dalim në një përfundim: Formohen aq trekëndësha kongruent sa janë edhe brinjë). 

-Pse trekëndëshat janë kongruent? (figura 2). 

-Si njehsohet sipërfaqja e një trekëndëshi? 

26

P⋅ 

R 

-Po (n) trekëndësha . S = hap pas hapi vërtetojmë se sipërfaqja e 

2 

shumëkëndëshit gjendet duke shumëzuar perimetrin e tij me gjysmën e rrezes 

brendashkruar tij. 

Punojmë problemin e zgjidhur. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2. 

Këtu duhet bërë kujdes se duhet të ndërtohet figura trekëndëshi ABC barabrinjës. 

Caktojmë qëndrën dhe e bashkojmë me kulmet A, B, C. Është dhënë OE = 8cm. 

Kërkohet S Δ = ? BC = ? P = ? 

Shqyrtojmë trekëndëshin BOE kënddrejtë. 

0 

E = 90 OE = 8 

0 

B 

1 

= 30 sepse është sa ghysma e 

0 

B = 60 

OE = 8 ⇒ OB = 8 . 2 = 16 ( si ____që është sa dyfishi i katetit që ndodhet 

dhe AE = 24 përballë këndit 30 0 

Zbatoni teoremën e Pitagorës. 

BE 2 = OB 2 – OE 2 = 16 2 – 8 2 = 256 – 64 = 192. 

BE = 192 = 8 3 BC = 16 3 

Nxënësit vazhdojnë të gjejnë perimetrin dhe sipërfaqen e trekëndëshit. (debatojnë, 

diskutojnë dhe deklarojnë përfundimin). 


Detyra shtëpie : Problema: 3/ 5. 

III.8. SIPËRFAQJA DHE VËLLIMI I SFERËS. 


• Të argumentoni mënyrën e formimit të sferës. 

• Të njëhsoni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës duke zbatuar formulat e tyre. 

• Të zbatoni formulat në situata problemore. 

Mjetet: libri, vizore, trupa të ndsryshme sferike. 

Metoda: shpjeguese, punë e drejtuar, punë e pamvarur. 


Paraqesim një trup sferik nxënësve. (top apo gjyle etj). 

-Ç’farë është ky trup? 

-Si mund të formohet sfera? 

-Tregoni objekte që kanë forma sferike. 

Shpjeguese: Pa vërtetim por që janë të vërteta është se sipërfaqja e sferës njehsohet me 

formulën: S = 4πR 2 4 3 

dhe V = π R . 

3 

Punojmë problemin e zgjidhur në libër. 

Të punojnë nxënësit problemin 1/ 3/ 6. 

Tek problemi (1) do zbatohen direct formulat e V. 

Problemi 3: Ka të dhënë S = 16πcm 2 

Të gjendet vëllimi? 

Para se të gjesh vëllimin duhet gjetur rrezja e rrethit. 

27

S = 16π ⇒ 4πR 2 = 16πR ⇒ 4R 2 = 16 ⇒ R = 4 = 2 cm. 

4 3 

Dhe vazhdojnë nxënësit, gjejnë vëllimin m e formulën V = π R 

3 

Nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur, mësuesi gjen mundësinë për të vëzhguar, dhe 

ndihmuar nxënës me prapambetje. 

Debatohet në rastet kur deklarohet përgjigja. 


Detyra shtëpie : Problema: 2/ 4/ 7/ 8. 

III.9. USHTRIME DHE PROBLEMA PËR KREUN. 


• Të zbatoni në mënyrë të kombinuar formulat për njëhsimin e sipërfaqeve të figurave 

të ndryshme. 

• Të njëhsoni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës duke zbatuar formulat e tyre. 



Kjo orë mësimi mund të zhvillohet në formë konkursi duke futur garën midis 

nxënësve, apo grup nxenësish. 

Megjithatë mësuesit janë të lirë të zgjedhin çfarëdo lloj mënyre, mjafton që 

nëpërmjet kësaj ore të arrijnë objektivin e orës së mësimit. 

Klasa ndahet në katër grupe. 

Grupi 1 Grupi 2 Grupi 3 Grupi 4 

Pyetja 1 me shkrim Pyetja 1 me shkrim Pyetja 1 me 

Problemi 1 Problemi 1 shkrim 

Koha 3 minuta Koha 3 minuta Problemi 1 

4 pikë 

4 pikë 

Koha 3 minuta 

Pyetja 1 me 

shkrim 

Problemi 1 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 2 

Problemi 2 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 3 

Problemi 4 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 4 

Problemi 5 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 2 

Problemi 2 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 3 

Problemi 4 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 4 

Problemi 5 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

5) Pyetja enigmë: 7 pikë. 

Gjeni me 6 pyetje se ç’kemi menduar ne? 

28 

Pyetja 2 

Problemi 2 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 3 

Problemi 4 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 4 

Problemi 5 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

4 pikë 

Pyetja 2 

Problemi 2 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 3 

Problemi 4 

Koha 3 minuta 

4 pikë 

Pyetja 4 

Problemi 5 

Koha 3 minuta 

4 pikë

a) trekëndësh b) trapez c)sferë d)Formula e Heronit 

6) Të gjeni sipërfaqen dhe vëllimin e sferës në figurat> 

Grupi I. 1/a Grupi II 1/b Grupi III 1/c Grupi IV 1/d 

3 pikë koha 2 minuta. 

7) Grupi I Grupi II Grupi III Grupi IV 

figurën 2/b figura 2/d dhe 4 Figura 2/a dhe 2d Figura 2/c dhe 4 

Vlerësimi 5 pikë dhe koha 5 minuta 

Vlerësohet puna e grupeve. 

Detyra: 6/ 7/ 8 

KREU IV 

GJEOMETRIA NË PLAN 

IV.1. KATËRKËNDËSHAT. PËRKUFIZIME. 


• Të dalloni dhe të vizatoni shumëkëndëshat e mystë. 

• Të zbatoni vetitë e këndeve në situata problemore. 

• Të njëhsoni këndet e shumëkëndëshave të mystë. 

Mjetet: teksti,vizore. 

Metoda: 


Kujto 


Diskutimit 


Puno me grupe 

dyshe. 


EVOKIMI: - Vizatoni një shumëkëndësh.(Vështro figurën 2 dhe 2 në libër). 

-Thoni elementët e tyre, brinjët, këndet, diagonalet. 

-Cili është ndryshimi midis shumëkëndëshit të mystë dhe jo të mystë? 

-Cili është perimetri i shumkëndëshave? 

REALIZIMI: Shuma e këndeve të brendshme të kateteve është me 360 0 . 

-Vizatoni një katërkëndësh ABCD. 

-Vizatoni diagonalen AC. 

-Sa trekëndësha formohen? 

Shkruaj shumën e këndeve te sejcilit trekëndësh. 

Në Δ ABC kemi $ $ 0 

2 + B − 4 = 180 dhe 

1$ + D + 3$ 

= 180 

Në ΔADC kemi: 

1$ + 2$ 

+ B+ 3$ 

+ 4 + D = 360 

$ 

0 

( ) ( ) 

0 

A+ B+ C+ D = 360 

Punojmë problemat e zgjidhura në libër. 

29

REFLEKTIMI: Të punoni me grupe dyshe, problemat 3 dhe problemi 6, figura 5/c 

dhe 5/f. 

Problemi 3. 

Nxënësit sapo të bëjnë figurën se çlloj 

Figure është PELF.(paralelogram), 

atëhere njehsohen këndet e kësaj figure. 

Ndërsa nxënësit punojnë në mënyrë të diferencuar dhe grupe të vogla dyshe, 

mësuesi vrojton, udhëzon dhe ndihmon atje ku she të arsyeshme. 

Deklarohet zgjidhja e problemit (ku nxënësit duhet të marrin pjesë gjallërisht në 

të), ku krahas zgjidhjes duhet të theksojmë se ç’njohuri ka përdorur nga matematika për 

këtë zgjidhje. 


Detyra shtëpie. Problema: 2/ 4/ 6 ___ 5a/ 5b/ 5f. 

IV.2. PARALELOGRAMI. VETITË E TIJ . 


• Të dalloni dhe të vizatoni paralelograme. 

• Të vërtetoni vetitë e paralelogramit. 

• Të zbatoni vetitë e paralelogramit në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore, raportor,kompas. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Punë me grupe më 

Stuhi mendimesh Problemore- analizë punë e shumë se dy. 

drejtuar 


EvVOKIMI:C’quajmë parallelogram? 

-Vizatoni një parallelogram ABCD? 

-Cilat janë disa nga vetitë e paralelogramit? 

REALIZIMI: Kemi ndarë klasën në 4 grupe dhe me fletë fishe dy grupeve u japim 

problemin: 

a) Vërtetoni që brinjët e kundërta të paralelogramit janë kongruentë. 

Ndërsa dy grupeve të tjera: 

b) Vërtetoni që këndet e kundërta të paralelogramit janë kongruent. 

Mësuesi u jep detyrën dhe ndjek nga afër pa ndërhyrë që nxënësit të krahasojnë dy 

trekëndësha Δ ABC dhe Δ ADC dhe sipas rasteve të kongruentës të trekëndëshave 

duhet të gjejmë tre elementët kongruent. 

2$ 

≡ 3$ 

Për të parën : AC ≡ AC Δ ABC ≡ Δ ADC BC ≡ AD 

1$ 

= 4$ 

AB ≡ CD 

Dy grupet plotësojnë njëra tjetrën dhe arrijmë në përfundimin se paralelogrami brinjët e 

kundërta i ka kongruent. 

30

Po kështu diskutojnë edhe dy grupet e tjera për të nxjerrë që këndet e kundërta janë 

kongruent. 

Bëjmë përfundimin edhe për diagonalet që përgjysmojnë njëra tjetrën. 

REFLEKTIMI: Të zgjidhen problemat 1. 

Në rastin e parë është dhënë një kënd dhe të gjenden këndet e tjerë të 

paralelogramit. 

-Në rastin zbatohet vetia e diagonaleve. 

Nxënësit punojnë në grupe me më shume se dy nxënës dhe zgjidhin çdo rast të 

problemit 1, kurse mësuesi punon me një ose dy nxënës punë të diferencuar për të dhënë 

ndihmën e duhur. 

-Deklarohet zgjidhja e bërë nga grupet. 

Nxënësit duhet të marrin pjesë në zgjidhjen dhe përgjigjen e tyre. 

Rëndësi ka që nxënësit të thonë edhe njohuritë që kanë shfrytëzuar për të zgjidhur 

problemin. 


Detyra shtëpie . Problemat: 4/ 5/ 6 

IV.3. KUSHTET QE KATËRKËNDËSHI TË JETË PARALELOGRAM. 


• Të arsyetoni kur një katërkëndësh është paralelogram. 

• Të vërtetoni teoremat që katërkëndëshi të jetë paralelogram. 

• Të zgjidhni situata problemore mbështetur në vetitë e paralelogramit. 

Mjetet: teksti, vizore, tabelat. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutimit 

Puno me grupe. 

Stuhi mendimesh Problemore- Punë grupi 


EVOKIMI: Vizatoni një katërkëndësh me brinjët e këndet kongruentë. 

-Si mendoni se ky katërkëndësh është parallelogram apo jo? 

-Kur kqtërkëndëshi është parallelogram? 

-Si mund ta vërtetojmë? 

REALIZIMI: Vështroni figurën 1. 

-Cfar është hequr? (një diagonale) 

-Sa trekëndësha janë formuar? 

Si janë ato? Pse? 

Δ ABC dhe Δ ADC 

1) AB ≡ CD ⎫ ⎪ 

C 

2) AD ≡ BC 

1 

≡ A1 

⎬ Δ ABC ≡ Δ ADC 

DC II AB 

3) AC ≡ AC⎪⎭ 

C2 ≡ A2 

AD II BC 

ABCD paralelogram 

31

Cili është përfundimi? 

Po me të njëjtën mënyrë vërtetojmë se kur katërkëndëshi I ka këndet e kundërt 

congruent, atëhere ai është parallelogram 

-Cila është dhënë: A ≡ C ; B ≡ D 

-Cila kërkohet ? AB II CD dhe AD II BC 

Me që A ≡ C ; B ≡ D 

0 

A + B ≡ C+ 

D A+ B = 180 

Kjo do të thotë AD II BC figurë paralelogram. 

Kështu në formë problemi mund të sqarohet hap pas hapi se kur katërkëndëshi 

është paralelogram. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet në libër 1 ose shpërndan nëpër grupe fletë 

(fishe) ku janë shkruar problema të ndryshëm. 

Nxënësit merren me përgjigjen e pyetjeve, mësuesi ndihmon ndonjë që ka 

mangësi në këto njohuri. 

Bëhet deklarimi i zgjidhjes dhe sasisë se njohurive që I duhen për të bërë këtë 

zgjidhje. 


Detyra shtëpie Problemat: 2/ 3/ 4 

IV.4. PROBLEMA (USHTRIME). 


• Të zbatoni në situata problemore vetitë e paralelogramit. 

Mjetet: teksti, vizore. 

Metoda: problemore, analizë e sintezë. 


Kjo orë mësimi mund të bëhet edhe si konkurs, por mund të organizohet si 

diskutim, analizë, sintezë. 

-U drejtohemi nxënësve. 

Vëreni figurat 1/a; 1/b; 1/c; 1/d. 

Argumentoni pse katërkëndëshat e figurës 1 janë paralelogra? 

U lëmë kohë atyre që të kristalojnë zgjidhjen e ushtrimeve në sejcilin rast. 

-Deklarojnë zgjidhjen e ushtrimeve tek figurat janë parallelogram sepse: 

1/ a mbështetet tek vetia e brinjëve. 

1/b tek vetia e këndev. 

1/c vetia e këndeve. 

1/d Vetinë e diagonaleve. 

Pasi zgjidhni ushtrimet 1 udhëzojmë të shikojnë problemat 2. 

Tek 2/a kemi: 5x – 3 = 2 x = 1 dhe y = 2x + 1 = 2 . 1 + 1 = 3 

Tek 2/b kemi: x = 180 – 105 – 45 = 30 0 ; y = 105 0 z = 180 – 105 – 30 = 45 0 

Pasi diskutojnë, analizojnë dhe bëjnë përfundimin e çdo rasti kalohet tek problemi 

tjetër. 

Kështu do vazhdojë kjo orë mësimi. 

Vlerësimi me notë. 

Detyra: Problemat 5 

32

IV.5. DREJTËKËNDËSHI. VETITË E TIJ. 


• Të vërtetoni vetitë e drejtëkëndëshit. 

• Të vërtetoni teoremat e anasjellta për vetitë e drejtëkëndëshit. 

• Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi drejtëkëndëshin. 

Mjetet: teksti, vizore, tabelë. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Punë me grupe. 



EVOKIMI: -Vizatoni një parallelogram që një kënd ta ketë 90 0 

-Si quhet kjo figurë? 

-C’veti ka drejtkëndëshi? (ai gëzon vetitë e paralelogramit) 

-Cila veti e dallon nga paralelogrami? 

REALIZIMI: Si i ka këndet drejtkëndëshi? 

Vërteto që këndet i ka të drejta: 

0 

0 

A = 90 A≡ C = 90 ( si kënde të kundërta të paralelogramit) 

0 

A+ D = 180 ( si kënde të njëpasnjëshme të paralelogramit) 

0 

0 

D = 90 B = 90 

Mësuesi, shtrojmë problemin, provoni që diagonalet e drejtkëndëshit janë kongruentë. 

-Krahasoni trekëndëshin Δ ABD dhe trekëndëshin ΔABC (figura 3) 

0 

A= B = 90 

BC ≡ AD si brinjë të kundërta të paralelogramit. AC ≡ BD 

AB ≡ AB 

Bëjmë përfundimin e problemave të shtruara. 

Punojmë edhe problemat e tjera në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohet problema 1/2. 

Nxënësit punojnë me grupe duke shkëmbyer ide dhe dhënë përgjigje problemave. 

Mësuesi në këtë kohë gjen mundësi për të ndihmuar nxënës që kanë nevojë për 

më tepër. 

Deklarohet përgjigja dhe nxënësit duhet të marrin pjesë gjallërisht. 


Detyra shtëpie. Problemat: 3/ 7 

33

IV.6. ROMBI. VETITË E TIJ. 


• Të njihni vetitë e rombit. 

• Të vërtetoni vetitë e rombit. 

• Të zbatoni në situata problemore vetitë e rombit. 

Mjetet: teksti, vizore, tabela. 

Metoda: 


Kujto 


Diskutim 



dyshe. 


EVOKIMI: -Motivojmë nxënësit për të qënë të gatshëm për mësim aktiv. 

-Paraqesim një tabelë ku është vizatuar një romb. 

-C’farë paraqet kjo figurë 

-C’farë vetish ka rombi? 

Nxiten nxënësit të kujtojnë vetitë për brinjët, diagonalet. 

REALIZIMI: Si mund të vërtetojmë që brinjët e rombit janë kongruent ? 

Vëreni figurën 1. 

Cili është kushti dhe përfundimi ? 

Nisur nga kushti që figura është paralelogram 

AB ≡ AD e dhënë 

AB ≡ CD si brinjë të kundërta. AB ≡ AD ≡ CD ≡ BC 

AD ≡ BC si brinjë të ____parë 

Teoremat mbi vetitë e rombit janë të thjeshta dhe ato janë të njohura edhe në vetitë e 

mëparshme të shkollës, mjafton që mësuesi ti shtrojë në formë problemsh para tyre dhe të 

mbështetur kryesisht në rastet e kongruencës ë trekëndëshave bëhet vërtetimi i tyre. 

Të bëjmë të njëjtën punë edhe për teoremat që bëjnë fjalë për vetitë e diagonaleve. 

REFLEKTIMI: Të punoni problemat 2 dhe 5. 

Udhëzohen nxënësit që të lexojnë e të miqësohen me problemin, të nxjerrin ato që 

janë dhënë dhe ato që kërkohen. Gjeni lidhjen që ekziston midis tyre. Kujdes se 

formohet ekuacioni i fuqisë së dytë. 

Nxënësit vazhdojnë me grupe të vogla dyshe, për të patur mundësi që gjithkush të 

shprehi mendime, ndërsa mësuesit kanë mundësi të punojnë me mënyrë të diferencuar me 

nxënës të veçantë. 

Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve. 


Detyra shtëpie .ushtrimi 3/ 6 

IV.7. KATRORI. VETITË E TIJ. 


34

• Të njihni vetitë e katrorit. 

• Të arsyetoni mbi teoremat e vetive të anasjellta të katrorit. 

• Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi katrorin. 

Mjetet: teksti, vizore, katrorë, tabelë. 

Metoda: punë e diferencuar, punë me grupe të vogla. 


EVOKIMI: -C’dini ju për katrorin? 

-C’quajmë katror? 

-Pse brinjët e katrorit janë të kongruent ? 

-Pse diagonalet bien pingule? 

-Pse janë përgjysmore diagonalet? 

-Pse këndet janë nga 90 0 ? 

kjo figurë gëzon vetitë e të gjitha figurave të tjera, pra është si drejtkëndësh, por është 

edhe si katror? 

Të themi pëemblethtas vetitë e katrorit. 

Punojmë problemat 1. 

Tek 1/a zbatohen vetia se diagonalja është përgjysmore. 

132 

m EBD = = 61 

2 

Në kërkesën 1/b zbatohet po kjo veti. 

0 

0 

Nëse m( EBC ) = 132 ( ) 

0 

Nëse m( BDC ) = 32 

0 0 

mEDC = 232 ⋅ = 64 

Nxënësit vazhdojnë të zgjidhin situata problemore në grupe (duke diskutuar e shkruar në 

fletoren e tyre), mësuesit I krijohen hapësira të vëzhgojë se si punojnë nxënësit por edhe 

të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar, që kanë nevojë. 

Po kështu punojnë edhe problemin 2/ 3 etj. 

Rëndësi ka që kur të deklarohet zgjidhja e problemave nxënësit nxiten të marrin 

pjesë në diskutimin e zgjidhjes duke i provokuar me pyetje. Pse kjo? Pse ajo? 


Detyra shtëpie. Problemat: 6/ 7 

IV.8. TRAPEZI. VETITË E TIJ. 


• Të njihni elementët e trapezit. 

• Të vërtetoni vetinë e vijës së mesme të trapezit. 

• Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi trapezin. 


Metoda: 


Kujto Bisedë Punë me grupe. 

35

Stuhi mendimesh Diskutim 



EVOKIMI: -Vrojtoni në libër dhe vizatoni një figurë trapez. 

-C’quhet trapez? 

-C’e dallon një katror çfardo nga një trapez? 

-Cilat janë elementët e trapezit? 

Nxënësit nxiten të kujtojnë gjithçka mbi trapezin. 

-Cila është vija e mesme e trapezit? 

-C’dini ju për vijën e mesme të trapezit? 

-Pse vija e mesme është paralele me bazat? (ta vërtetojmë së bashku) 

REALIZIMI: Vështroni figurën 1 në libër. 

EF është vijë e mesme se bashkon meset e dy brinjëve anësore të trapezit. Nga 

pika F heqim paralele me AD që prêt zgjatimin e DC në P dhe AB në K. 

E Vërtetojmë që Δ FCP dhe Δ FBK janë kongruentë. Që do të thotë se 

PF ≡ FK, pra pika F është mesi PK. 

Por figura AKPD është paralelogram dhe ecja hap pas hapi çon në atë që vija e 

mesme është paralele me bazat. 

Vërtetimi i mësipërm është e rëndësishme ta sqarojmë sepse ky është çelësi i 

atyre që do të kryejmë më tej. 

-Të punohen ushtrimet (vërtetimet e tjera). 

REFLEKTIMI: Të punohe ushtrimet 4 dhe 5 (3/c). 

Ndërsa nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur në grupe, mësuesi duhet të 

udhëzojë se tek problemi 5 për rastin e tretë (figura 3/c) duhet të shkruajnë një ekuacion 

të fuqisë së dytë. 

2 10x 

+ 48 

x = x 2 = 5x + 24 x 2 – 5x – 24 = 0 

2 

Duhet të gjejmë dallorin. 

D = (- 5) 2 5± 121 5+ 

11 

+ 96 = 121 

2x1 

= = = 8 

10x = 10 . 8 = 80 cm. 

x 2 = 8 2 = 64 cm. 

2 2 

Deklarohet përgjigja e zgjidhjes se problemave (bëjmë kujdes që nxënësit të 

marrin pjesë në diskutimin e zgjidhjes. 


Detyra shtëpie. Problemat: 3/ 4/ 5 (3a dhe 3b) 

IV.9. TRAPEZI. LLOJET E TIJ. 


• Të vizatoni lloje të ndryshme trapezash. 

36

• Të vërtetoni se këndet e bazës së trapezit dybrinjënjëshëm janë konguentë. 

• Të zbatoni në situata problemore njohuritë mbi llojet e trapezit. 

Mjetet: teksti, vizore, tabelë me lloje të ndryshme trapezash. 

Metoda: 


Kujto 


Diskuto 

Vërteto 



EVOKIMI: -Vizatoni një trapez çfardo. 

-Vizatoni një trapez kënd drejtë? 

-Vizatoni një trapez dybrinjënjëshëm. 

Pun0 me grupe 

dyshe. 

-c’dini për trapezin dy brinjënjëshëm? (këtu dimë që dy bazat janë 

paralele, brinjët anësore të _____. 

REALIZIMI: Vështroni tabelën dhe figurën 1 në libër. 

Si mund të vërtetojmë se dy këndet e bazës janë kongruent.. 

-C’farë mund të bëjmë? (Nga pikat D dhe C heqim pingulen). 

-C’farë formohet? (Formohen dy trekëndësha :Δ ADE dhe Δ BCF). 

-Si janë këta dy trekëndësha ? (kongruentë) 

-Argumentoni këtë gjë! 

DE ≡ CF ⎫ 

⎪ 

AD ≡ BC⎬ E ≡ F ⎪ ⎭ 

Δ ADE ≡ Δ BCF A = B 

Bëjmë përfundimin e këtij vërtetimi. 

Të punojmë edhe probkemin në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemta 3/ 6. 

Për problemin 3 nxënësit mund të punojnë në mënyrë të pamvarur në grupe 

dyshe, ndërsa për problemin 6 duhet dhënë ndonjë orientim që të krahasojnë trekëndëshin 

Δ ABC dhe trekëndëshin Δ ABD, nëse trapezi është ABCD. Nga krahasimi del që 

trekëndëshat janë kongruentë dhe prej këtij rrjedh se diagonalet 

AC ≡ BD. 

Të deklarojnë nxënësit përgjigjen e problemit 3 dhe 6 (duke kaluar nëpërmjet diskutimit 

të çdo çështje). 

Të bëhet vlerësimi. Me notë. 

Detyra shtëpie. Problemi 5. 

IV.11. SEGMENTË TË PËRPJESSHËM. VETITË. 


• Të dalloni segmentët e përpjesshëm. 

• Të njihni vetitë e segmentëve të përpjesshëm. 

• Të zbatoni vetitë e segmentëve të përpjeshëm në situata problemore. 

37

Mjetet: teksti ,vizore. 

Metoda: 


Kujto 


Diskuto 

Zbato 


EVOKIMI: -Thoni një përpjestim. 

-C’quajmë përpjestim? 

-C’veti ka përpjestimi? 

38 

Punë me 

grupedyshe 


-Raportet 3 4 

dhe 6 a janë të barabarta? 

8 

3 6 

= 3 . 8 = 24 24 = 24 (PO) 

4 8 

REALIZIMI : Segmentet a dhe b janë përpjestimore me segmented c dhe d nëse 

a c 

= . 

b d 

-Më thoni disa veti të përpjestimeve? 

Punojmë shëmbullin: 

3 6 3 6 

= ⇒ + 1= + 1 ⇒ 3 + 4 6 + 

= 8 

7 . 8 = 4 . 14 

4 8 4 8 4 8 

Në mënyrë të dukshme mund të themi a c 

b 

= d 

⇒ a + b c + 

= 

d 

b d 

Në të njëjtën mënyrë mund të veprohet edhe a − b c − 

= 

d 

b d 

E rëndësishme është edhe vetia e shumës së numrit. 

Është e vërtetë edhe barazimi. 

a c a+ 

c 

= = Kjo është e vërtetë po ta provojmë me shëmbuj: 

b d b + d 

3 6 3+ 

6 

= = ⇒ 3 = 6 = 9 

⇒ 6 . 12 = 8 . 9 72 = 72 

4 8 4 + 8 4 8 12 

Të punojmë ushtrime të ndryshme për të bindur se barazimi i mësipërm është i 

vërtetë. 

Të punojmë problemat në libër. 

REFLSKTIMI: Të punojmë ushtrimet. 

Jepet përpjestimi 4 = 

12 

5 15 

Zbato sa më shumë veti që gëzon përpjestimi duke formuar përpjestime të ndryshme. 

4 12 

a) = ⇒ 5 15 15 12 4 5 

= ⇒ = ⇒ = 

5 15 4 12 5 4 12 15 

4 12 16 4 12 12− 

4 

= = = = etj. 

5 15 20 5 15 15− 

5 

Të punojmë ushtrime 2 (duke ndjekur rrugën).

a c a+ b c+ 

d 

= = = a = a b = 7 c + d = 48 

b d b d 

9+ 7 48 16 48 

= = d = 21 c = 48 – 21 =27 

7 d 7 d 

Të deklarojnë përgjigjen duke bërë argumentimin. 

Tëvlerësojmë. 

Detyra: shtëpie. Problemi: 3/ 4/ 5 

IV.12. TEOREMA E TALESIT. 


• Të njihni Teoremën e Talesit. 

• Të ndani një segment në një numar pjesësh të barabarta. 

• Të zbatoni Teoremën e Talesit në situata të ndryshme problemore. 

Mjetet: teksti, vizore, kompas, raportor. 

Metoda: problemore, analizë-sintezaë 


-Vizatoni dy drejtëza d 1 dhe d 2 çfardo në fletore. 

-Ndërprisni këto dy drejtëza me disa drejtëza paralele. 

-C’ju kujton kjo figurë? Ku keni dëgjuar për këtë gjë? 

-C’thotë teorema e Talesit? 

Duhet theksuar se drejtëzat paralele caktojnë mbi drejtëzat prerëse segmente 

përpjestimore. 

Të punojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. 

Bashkërisht shtrojmë problemin: 

-Vizatoni një segment me gjatësi 9 cm. Si mund ta ndajmë atë në 4 pjesë të 

barabarta. 

Zbatojmë këtë radhë pune: 

-Në njërin skaj të segmentit vizatojmë një drejtëz me një kënd çfardo. 

-Caktojmë mbi këtë gjysmëdrejtëz 4 segmente kongruent me ndihmën e 

kompasit. 

-Skaji i fundit i pjesës së 4 e bashkojmë me skajin tjetër të sëgmentit prej 9cm. 

Nga pikat e tjera mbi gjysmëdrejtëzën heqim paralele me këtë segment (vështro edhe në 

figurë). 

-Kështu segmentin e kemi ndarë në 4 pjesë të barabarta. 

ReEFLEKTIMI: Të punojmë problemin 5. 

Nxënësit punojnë me grupe për të e dhënë përgjigje çdo rasti, ndërsa mësuesi 

gjen momentin për të ndihmuar në mënyrë të diferencuar nxënësit që kanë nevojë. 

Deklarohet përgjigja nga nxënësit me një atmosferë kritike nga masa e nxënësve 

të tjerë. 


Detyra shtëpie ushtrimi 3/ 4 

39

IV.13. NGJASHMËRIA E TREKËNDËSHAVE. 


• Të dalloni trekëndëshat e ngjashëm. 

• Të njihni vetinë e drejtëzës paralele me një brinjë të trekëndëshit.. 

• Të zbatoni vetinë e drejtëzës paralele me një brinjë të trekëndëshit në situata 

problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskuto 

Punë me grupe. 



EVOKIMI: -Cilat janë trekëndësha të ngjashëm? 

-C’kusht duhet të plotësojnë dy trekëndësha që të jenë të ngjashëm? 

a)Këndet congruent. 

b) Brinjët homologe përpjestimore. 

REALIZIMI: Vizatoni një trekëndësh ABC (figura 2). 

-Hiqni DE II BC, formohen dy trekëndësha. 

-Si i kanë këndet ΔABC dhe ΔADE? 

Këtu tentojmë që këtë gjë (kënde kongruente) ta gjejnë vet nxënësit (si kënde përgjegjës) 

-Po brinjët si i kanë? (Kujtoni teoremën e Talesit). 

E rëndësishme është të përgjithësojmë se kur një drejtëz hiqet paralele me një brinjë të 

trekëndëshit, atëhere me dy brinjë e tjera formon dy trekëndësha të ngjashëm. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 1/2. 

Problemi i dytë sqaron se cilët quhen brinjë homologe,dmth brinjët përballë 

këndeve kongruente (Plotëso raportet). 

Nxënësit vazhdojnë të punojnë me shokun e bangës, me grupe të vogla, mësuesi 

gjen mundësi që të punojnë më mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë. 

Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve, duke marrë sygjerime nga shokët 

fqinjë. 


Të jepen detyra problemi 3/ 4/ 5. 

40

IV.14. RASTI I PARË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE. 


• Të vërtetoni rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave. 

• Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e parë. 

• Të zbatoni rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Puno me grupe 


dyshe. 


EVOKIMI: -Vizatoni dy trekëndësha që të kenë nga dy kënde kongruente 

A ≡ D dhe B ≡ E 

-Si mendoni a janë të ngjashëm këta trekëndësha? 

-Si janë këndet e treat të këtyre trekëndëshave? 

-A plotësohet kushti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave? 

REALIZIMI: Bëjmë një ndërtim plotësues. 

-Matni DE dhe vendoseni mbi AB. 

-Në pikën P heqim një paralele me BC (Vështro figurën 1). 

Δ ABC Δ APQ Pse? 

(Nxënësit të përmendin kushtet që dy trekëndësha janë të ngjashëm). 

Tashmë krahasoni)) ΔAPQ me ΔDEF. 

A ≡ D n nga kushti 

P ≡ B ≡ E nga kushti ΔAPQ ≡ ΔDEF ΔABC ΔAEF 

DE ≡ AP nga ndërtimi 

-Të përgjithësojmë se kur dy trekëndësha kanë nga dy kënde kongruent ,atëhere ato 

trekëndësha janë të ngjashme që na lejon të shkruajmë raportin e brinjëve homologe. 

-Punojmë problemat e zgjidhura , ku lihen të theksojmë se brinjët homologe 

quhen ato brinjë që janë përballë këndeve kongruentë. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemat 1 dhe 4. 

Në problemin 1 duhet të shkruajmë këndet kongruent. 

B ≡ E C ≡ F dhe A ≡ D 

Shkruajmë raportin e brinjëve homologe. 

B ≡ E 

AC AB BC 

AC DF = = 

DF DE EF 

Po kështu veprohet edhe për dy rastet e tjera. 

Në problemin 4 duhet pasi të vërtetojmë se dy trekëndësha ΔABD ΔAHC sepse 

0 

B ≡ H = 90 

0 

D ≡ A1 

= 60 

0 

A ≡ C = 30 

2 

41

Shkruajmë raportin e brinjëve homologe. 

AD AB BD 

= = ( Përdorim ato raporte që na nevojiten). 

AC HC AH 

-Nxënësit duhet të bëjnë njehsimet e nevojshme dhe të deklarojnë përgjigjen. 


Detyra shtëpie Problemat: 2/ 5/6 

IV.15. RASTI I DYTË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE. 


• Të vërtetoni rastin e dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave. 

• Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e dytë. 

• Të zbatoni rastin e dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore,tabelë. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutim 




EVOKIMI: -A janë përpjestimor segmented 4cm; 3cm me segmented 3,2cm dhe 

2,4cm? 

-Vizatoni dy trekëndësha me këto brinjë e këndi midis brinjëve 50 0 . 

-Si janë këto trekëndësha? (tregoni figurën 1). 

0 

Pra keni: A≡ D = 50 

AB AC 

AB = 4cm AC = 3cm = 

DE DF 

DE = 3,2 DF = 2,4 

REALIZIMI: Për të vërtetuar se trekëndëshat e ndërtuar janë të ngjashëm bëjmë një 

plotësim: 

Matim DE duke filluar nga A matim AP = DE = 3,2 dhe AQ ≡ DF. 

Bashkojmë pikat P dhe Q. 

Na u formuan ΔAPQ ∼ Δ ABC 

Të provojmë se ΔAPQ ≡ ΔDEF 

Kjo vërtetohet nga vetë nxënësit duke u nisur edhe nga ndërtimi. 

1) A ≡ D nga ndërtimi 

2) AP ≡ DE nga ndërtimi 

3) AQ ≡ e përbashkët sjell që ΔAPQ ≡ Δ DEF 

Përgjithësojmë se dy trekëndëshat janë të ngjashëm nëse kanë nga një kënd congruent, të 

përfshirë midis dy brinjëve përpjestimorë. 

-Të punojmë edhe shëmbujt e zgjidhur. 

42

REFLEKTIMI: Të punohen problema ½. 

Nxënësit punojnë në grupe dyshe duke zbatuar këtë radhë pune: 

a) Të tregojmë se trekëndëshat janë ngjashëm> (të gjejmë kënde të barabarta). 

b) Të shkruajmë raportin e brinjëve të trekëndëshave. 

c) Zëvendësimet e duhura dhe gjejmë të panjohurat e kërkuara. 

Mësuesit gjejnë kohën e përshtatshme për të punuar me nxënësit që kanë nevojë 

për punë të diferencuar. 

Delarohet përgjigja. 


Detyra shtëpie Problemi 4 dhe 5. 

IV.16. RASTI I TRETË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE. 


• Të vërtetoni rastin e tretë të ngjashmërisë së trekëndëshave. 

• Të tregoni ngjashmërinë e trekëndëshave bazuar në rastin e tretë. 

• Të zbatoni rastin e tretë të ngjashmërisë së trekëndëshave në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Puno me grupe 

Stuhi mendimesh Punë e drejtuar dyshe 


EVOKIMI: -Trekëndëshat që kanë brinjët përkatësisht të përpjesshëm, a janë të 

ngjashëm? 

-Vështroni figurën 1 (në libër). 

REALIZIMI: Për të vërtetuar që kur trekëndëshat i kanë brinjët përkatësisht të 

përpjesshme janë të ngjashëm, bëjmë një ndërtim plotësues. 

DE e vendosim mbi brinjën AB dike filluar nga kulmi A të tillë DE ≡ AP. Nga 

pika P heqim pingulen PQ me BC. U formuan ΔAPQ dhe ΔABC. 

Si janë këta trekëndësha? Pse? 

-Tani mbetet që të vërtetojmë se ΔADE ≡ ΔAPQ. 

AB AC BC 

Shkruani raportin e brinjëve homologe = = 

AQ AQ PQ 

Zëvendësojmë AP ≡ DE dhe kemi: AB = AC 

AQ ≡ DF 

DE AQ 

AB BC 

Po kështu = PQ ≡ EF 

DE PQ 

Përgjithësojmë se Δ DEF ≡ ΔABC dhe se kur trekëndëshat kanë brinjë të 

pjesshme janë të ngjashëm. 

Të punohen ushtrimet në fund të mësimit. 


43

Për ushtrimin do të emërtoni trekëndëshat dhe të provoni se trekëndëshat janë të 

ngjashëm. Shkruani raportet e brinjëve, dhe nëse raporti del i njëjtë në çdo rast, atëhere 

themi s etrekëndëshat janë të ngjashëm. (në rast të kundërt trekëndëshat nuk janë të 

ngjashëm). 

Nxënësit punojnë në grupe dyshe, mësuesi ka mundësi që të vrojtojë grupet, të 

sygjerojë ndonjë gjë dhe të ndihmojë dikë që ka nevojë për punë të diferencuar. 

Nxënësit bëjnë deklarimin e përgjigjes në syrin vëzhgues dhe kritik të çdo njërit 

prej tyre. 


Detyra shtëpie Problemi 3 dhe 4. 

IV.17. SEGMENTË PROPORCIONALË NE TREKËNDËSHA TË NGJASHËM. 


• Të vërtetoni që në tekëndësha të ngjashëm elementët korespodues janë proporcionalë. 

• Të njëhsoni lartsitë, përgjysmoret dhe mesoret në trekëndësha të ngjashëm nëse jepen 

disa të dhëna të përshtatshme. 

• Të zgjidhni situata problemore 


Metoda: 


Kujto 

Shpjego 

Puno me grupe 


dyshe 


EVOKIMI: -Përmendni disa segmente të veçantë të trekëndëshit. 

-C’është lartësia? 

-C’është përgjysmorja? –Po mesorja? 

-Si mendoni: dy trekëndësha të ngjashëm a i kanë segmentet propocionalë?. 

REALIZIMI: Referohuni figurës 1. 

Kemi dy trekëndësha të ngjashëm .(u heqim lartësitë DK e AH). 

-Cili është kushti dhe përfundimi? 

-Pse ΔABC ∼ ΔDEK? (kanë dy kënde kongurentë). 

-Shkruajmë raportin e brinjëve homologe dhe del se AH k 

DK = 

Po në të njëjtën mënyrë provojmë (bashkë me nxënësit ) se kur trekëndëshat jantë të 

ngjashëm, atëhere edhe përgjysmoret apo mesoret janë propocionalë. 

Të punojna teoremat e librit.. 

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 1 / 2. 

Në problemin 1, trekëndëshat janë të ngjashëm, i emërtojmë, shkruajmë raportin e 

lartësive homologe dhe gjejmë ndryshoren x. 

Në rastin e parë kemi: DF DK 9 x 

= 

= x = 6 

PR PH 3 2 

44

Për problemin (2) ,shkruajmë raportin e brinjëve dhe segmenteve propocionalë 

dhe njehsojmë segmented e kërkuara. 

Nxënësit punojnë me grupe, mësuesit u krijohet mundësia që të punojë në mënyrë 

të diferencuar me nxënës që kanë nevojë për këtë ndihmë. 

Deklarohet përgjigja e çdo rasti të problemit në situatën kritike në klasë. 


Detyra shtëpie. Problemat 3 dhe 4. 

IV.18. PERIMETRI I SHUMËKËNDËSHAVE TË NGJASHËM. 


• Të vërtetoni që në perimetri i shumëkëndëshave të ngjashëm janë proporcionalë. 

• Të zbatoni ngjashmërinë e shumëkëndëshave në situatë problemore. 

• Të zbatoni vetinë e raportit të perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm në 

zgjidhje problemash. 


Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Puno me grupe 



EVOKIMI: - Kur dy shumëkëndësha janë të ngjashëm? 

-Si mendoni kur trekëndësha janë të ngjashëm, a kanë edhe perimetrat 

propocionalë. 

-Vështroni figurën 1. 

REALIZIMI: ‘thotë teorema? 

-Cili është kushti dhe përfundimi? 

-Shkruani raportin e brinjëve homologe me që trekëndëshat janë të ngjashëm. 

AB = BC = AC = k 

DE EF DF 

AB + BC + AC P1 

Sipas vetisë së vargut të raporteve mund të shkruajmë: = k = 

DE + EF + DF P2 

Duhet theksuar se kjo teoremë është e vërtetë edhe për shumëkëndësha me më 

shumë se tre brinjë. 

Të punojmë ushtrimet e zgjidhura në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemi 1 / 3. 

Në problemin 1 shkruhet raporti i brinjëve dhe i perimetrave, bëhet zëvendësimi 

dhe gjendet x. 

Për problemin 3 është e nevojshme të bëhet figura. 

45

PABCD 

36 12 

P ABCD = 36 

= = = k 

PEFDA 

12 + 2x 

6 

P EFDA = 12 + 2x 36 . 6 = 12 (12 + 2x) 

12 

k = = 2 2x = 18 – 12 

6 

x = 3 

Të punohen ushtrimet dhe të deklarohet përgjigja për nxënësit. 


Detyra shtëpie 4 dhe 5. 

IV.19. RAPORTI I SIPËRFAQEVE TË SHUMËKËNDËSHAVE TË NGJASHËM. 


• Të zbatoni vetinë e raportit të sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm në 

zgjidhje problemash. 

• Të zbatoni ngjashmërinë e shumëkëndëshave në situatë problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskutimit 


Stuhi mendimesh Punë e udhëhequr 


EVOKIMI: -Kur dy trekëndësha janë të ngjashëm? 

-Si janë segmented e dy trekëndëshave të ngjashëm? 


-Cfarë thotë teorema?. 

REALIZIMI: Cili është kushti? (e dhëna) –Po përfundimi? 

-Si njëhsohet sipërfaqja e trekëndëshit ABC? – Po e trekëndëshit DEF? 

-Bëjmë raportin e sipërfaqeve? 

-Nga përllogaritjet del se raporti i sipërfaqeve është (k 2 ), (me katrorin e 

koefiçentit të ngjashmërisë). 

-Po kështu edhe sikur të jenë dy shumëkëndësha të ngjashëm, raporti i tyre është I 

barabartë me k 2 . 

-Të punohen ushtrimet e zgjidhura. 

REFLEKTIMI: . Të punohet problemi 1 / 5. 

Problemi 1 është zbatimi i mësimit dhe nxënësit me grupe dyshe punojnë në 

mënyrë të organizuar, ndërsa problemi 5 duhet të bëjmë kujdes që të shkruajmë: 

4 S1 

2 

k = 

k 

3 S = 

2 

S 1 + S 2 =75, atëhere kemi: 

S 

1 

S = 

2 

16 

9 

S 

+ S 

S 

1 2 

75 25 

S = 2 

9 

S 2 = 75 ⋅ 9 = 27 cm 2 S 

25 

1 = 75 – 27 = 48 cm 2 

Nxënësit punojnë, ndërsa mësuesit i krijohet mundësia që të proganizojë punë të 

diferencuar me nxënës të veçantë. 

46 

2 

= 

25 

9

Bëhet deklarimi i pergjigjes së problemit në një atmosferë kritike. 


Detyra shtëpie Problemat 3 / 4/ 6. 

IV.20. TEOREMAT E EUKLIDIT. 


• Të njihni dhe formuloni teoremat e Euklidit. 

• Të zbatoni teoremat e Euklidit në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore,trekëndësha kënd drejtë (vizatime). 

Metoda: 


Kujto 

Shpjeguese 

Puno me grupe. 



EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh kënddrejtë ABC ( C = 90 ). 

-Hiqni lartësinë CH (nga kulmi i këndit të drejtë). 

-Cilat janë projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë? 

-Krahasoni ΔACH me ΔBHC? (Vështro figurën 1). 

-Pse janë të ngjashëm? (Sa elementë duhen? ) 

0 

a) AHC = BHC = 90 

0 

b) A = 90 − B 

0 

c) BCH = 90 − B 

A ≡ BCH . Cilat janë brinjët homologe? 

Shkruani raportin e brinjëve homologe. 

REALIZIMI: -Shikoni teoremën. 

-Cili është kushti? –Po përfundimi? 

-Vërtetimin e trekëndëshave të ngjashëm (sapo i bëmë më lartë). 

-Cili është raporti i brinjëve homologe? 

Zgjedhim raportet CH = AH 

CH 2 = BH . AH 

BH CH 

Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë edhe teoremën tjetër të Euklidit. 

-Bëjmë përgjithësimin e teoremave të Euklidit. 

Të zgjidhen problemat ku zbatohen teoremat e Euklidit. 

REFLEKTIMI: Të punohenproblemat 1/ 3 dhe 1 / 5. 

Nxënësit të vërejnë me kujdes figurat 1/ 3 dhe 1/5. 

Të përcaktojnë katetet, hipotenuzën, projeksionete kateve mbi hipotenuzën. 

Zbatoni teoremat e Euklidit. 

4 2 = ( x – 3 ) (x + 3) x 2 – 9 = 16 x 2 = 25 x = 5 

tek figurat 1/5. 12 . x = 8 2 12x = 64 x = 16 3 

47

Ndërsa nxënësit bëhen gati për të deklaruar përgjigjen e problemave, mësuesi 

punon me nxënës të veçantë me mënyrë të diferencuar. 

-Bëhet deklarimi i zgjidhjeve në atmosferë kritike ku nxënësit japin mendimet e 

tyre. 


Detyra shtëpie Problemat 3 / 4/ 5 

IV.21. TEOREMA E PITAGORËS. 


• Të njihni dhe formuloni teoremën e Pitagorës. 

• Të zbatoni teoremën e Pitagorës në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskutim 

Puno me grupe 


dyshe 


EVOKIMI: -C’quajmë trekëndësh kënddrejtë? 

-Cilët janë elementët e tij? 

-C’dini për teoremën e Pitagorës? 

-A e kemi vërtetuar ndonjëherë? 

REALIZIMI: Vizatoni një trekëndësh kënddrejtë (si në figurën 1) dhe tregojmë tabelën 

ku është treguar kjo teoremë por më e zmadhuar. 

-Cili është kushti? – Po përfundimi? 

Pas çdo pyetje ne kemi kohën e nevojshme për të marrë përgjigje nga nxënësit. 

-Zbatoni teoremën e dytë të Euklidit për sejcilin katet . 

AC 2 = AB . AH BC 2 = AB . HB 

Mblidhni anë për anë dhe del AC 2 = BC 2 = AB . (AH = HB) ⇒ AC 2 + BC 2 = AB 2 

Rëndësi ka të përforcohet edhe mendimi se edhe teorema e anasjelltë është e 

vërtetë. 

-Të punohen problemat e zgjidhura në libër. 

REFLEKTIMI: Problemi 2/ 6. 

Për problemi 2 ka rëndësi figura dhe AH = HB = 12. Gjithçka tjetër ka të bëjë më 

teoremën e Pitagorës, zbatimi i saj. Kërkesa b) ka nevojë të gjendet sipërfaqja e ΔABH, 

pastaj lartësia. 

Problemi 6 ka shumë raste, por thjeshtë do zbatohet teorema e Pitagorës. 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, ndërsa mësuesi kontrollon, udhëzon, dhe 

ndihmon nxënës që kanë nevojë për punë të diferencuar. 

Para se nxënësit të deklarojnë përgjigjen, këshillohen apo motivohen që të marrin 

pjesë gjallërisht në zgjidhjen e problemave. 


Detyra: shtëpie 3 /4/ 5 

48

IV.22. ZBATIME TË TEOREMAVE TË EUKLIDIT E PITAGORËS. 


• Të zbatoni teoremat e Euklidit në situata problemore. 

• Të zbatoni teoremën e Pitagorës në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Diskuto 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Kujto çfarë thonë teoremat e Euklidit? 

-Po ajo e Pitagorës? 

-Vështro figurën 1. 

-Cfarë trekëndëshi është ABC? 

-C’është CD = ? Po BC = ? AC = ? 

-A ju kujtohet si mund ta gjejmë CD = ? (Cila teoremë do zbatohet në këtë rast?) 

REALIZIMI: Gjeni CD duke zbatuar teoremën e Euklidit. 

CD 2 = 16 . 9 ⇒ CD = 12 

-Tani për të gjetur AC dhe BC duhet të zbatojmë prap teoremën e Euklidit për 

katetet, por nxënësit mund të zbatojnë teoremën e Pitagorës. 

-Punojmë edhe problemin e dytë në libër, duke diskutuar hap pas hapi çdo detaj të 

problëemit. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemat 1/ 2/7. 

Për problemin 1 në fillim e emërtojmë figurën (sipas dëshirës). 

Për figurën 3/a duhet gjetur y. (sipas teoremës së Euklidit), pastaj gjendet x (sipas 

teoremës së Pitagorës). 

-Gjendet kateti tjetër. 

Për të gjetur ( 2) duhet të shkruhet raporti i brinjëve për dy trekëndëshat e 

ngjashëm. 

Në të njëjtën mënyrë duhet vepruar edhe për figurat 3/b dhe 3/c. 

Për problemin 2 duhet të skicohet figura dhe brinja anësore bie pingule me njërën 

diagonale. 

-Në fillim njehsohet baza e madhe (sipas teoremës së Pitagorës). 

-Gjejmë lartësinë e trapezit. 

2S 

Lartësia e trapezit gjendet nga formula l = , pra e nevojshme të gjendet 

AB 

sipërfaqja e trekëndëshit kënd drejtë që formohet nga diagonalja, brinja anësore dhe baza 

e madhe. 

Pasi gjendet lartësia gjenden segmented që cakton këmba e pingules mbi bazën e madhe 

(me teoremën e Pitagorës). 

Po kështu veprohet edhe për problemin 7. 

Nxënësit pasi u tregohet rruga, punojnë për të bërë njehsimet e nevojshme. 

Deklarohet përgjigja nga nxënësit. 

49

Të bëhet lerësimi. 

Detyra shtëpie Problemat 4/ 5/6 

IV.23. USHTRIME. 

Objektivat: -Të rikujtojmë e zbatojmë njohuritë mbi vijën e mesme të trekëndëshit. 


Metoda: ERR, punë e pamvarur, diskutime. 


EVOKIMI: -Kujtojmë! Drejtojmë disa pyetje nxënësve. 

-C’quajmë trekëndësh? Cilat janë elementët e tij? 

-C’është vija e mesme e trekëndëshit? 

-C’dini për të? 


REALIZIMI: Cili është kushti? Po përfundimi? 

BC 

-Si vërtetohet që EF II BC dhe EF = ? 

2 

-Vizatojmë një trekëndësh ABC. 

-Caktoni E pikën që është mesi i brinjës AB. 

-Hiqni paralele me brinjën BC. 

-Shënoni F pikën ku kjo paralele prêt brinjën AC. 

-Sipas Teoremës së Talesit nëse E mesi i brinjës AB atëhere kjo paralele pres 

brinjën AC në mesin e saj.Pika F është mesi i brinjës AC ⇒ EF vijë e mesme. 

Nga pika F heqim paralele me AB, prêt BC në pikën D. 

-Cfarë figure është katërkëndëshi BEFD? 

-Si iI ka brinjët e kundërta paralelogrami? 

BD ≡ EF brinjët CD ≡ EF, po kështu CD ≡ EF ⇒ EF = 

Të punojmë problemat e zgjidhura në libër. 


Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të bërë zgjidhjet e duhura n ndërsa mësuesi 

punon në mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë për pak ndihmë. 

Deklarohet duke argumentuar përgjigjet e problemit nga ana e nxënësve. 


Detyra shtëpie Problemat 4/ 5/ 6 

BC 

2 

IV.24. RRETHI. KËNDI ME KULM NË RRETH. 


50

• Të dalloni këndët qendror dhe ata rrethor. 

• Të vërtetoni teoremën për masën e këndit rrethor. 

• Të zbatoni vetitë e këndeve rrethor në situata problemore. 

Mjetetteksti, vizore, kompas, raportor. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutimi 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Vizatoni një rreth me kompas. 

-Në këtë rreth vizatoni një reze,korde, diametër. 

-C’quajmë rreth? 

-C’quajmë reze? Kordë? diametër?_______ 

-Vizatoni një kënd qëndror ,rrethor. 

REALIZIMI: Vështroni figurën 4 ( në libër). 

-Cili është këndi qëndror? Po këndi rrethor? 

-C’thotë teorema? 

-Cili është kushti? Po përfundimi? 

-C’dini për këndin e jashëm të trekëndëshit? 

-Cili është këndi i jashtëm e trekëndëshit KOP? 

-C’farë lloji trekëndëshi është ΔKOP? Pse? 

Cili është përfundimi? Është e rëndësishmë që të theksojmë së këndi rrethor është sa 

gjysma e këndit qëndror që mbështeten mbi të njëjin hark. 

Punojmë shëmbujt që janë të zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1/3. 

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe dhe që zbatojnë njohuritë që i 

shpjeguam,mësuesi kujdeset që të shikojë, udhëzojë dhe të ndihmojë nxënës që kanë 

prapambetje. 

Pas kohës së nevojshme për të kryer zgjidhjen e problemave, motivohen nxënësit 

që të përfshihen në diskutimin e zgjidhjes. 


Detyra shtëpie. Jepen problemat 2/4 

IV.25. ZBATIME PËR KËNDIN ME KULM NË RRETH. 


• Të vërtetoni pohime për këndet rrethor. 

• Të zbatoni vetitë e këndeve rrethor në situata problemore. 

Mjetet: teksti,vizore, kompas. 

Metoda: 


Kujto 


Diskuto 

Analizo 



51 

Puno me grupe 

dyshe

EVOKIMI: -Kujto çfar di mbi rrethin? 

-Vizatoni një rreth dhe dy korda paralele. 

-Cila është e dhënë? –Cila kërkohet? 

-Vëreni figurën 1 (në libër). 

REALIZIMI: Si janë këndet C dhe B ? 

Duhet të theksohet se këndet B dhe C janë: 

a) Kënde ndërrues të AB II CD dhe si të tillë A ≡ B 

b) Këndet B dhe C janë kënde rrethore dhe sa gjysma e harqeve AC dhe 

BD që do të thotë: AC ≡ BD 

Cili është përfundimi? Harqet midis kordave paralele janë kongruent. 

E njëjta ecuri është edhe për dy shëmbujt e tjerë. 

Për shëmbullin e dytë diskutojmë këtë çështje: 

-Cfarë është dhënë? Cfarë kërkohet? 

-Cii është kushti dhe cili perfundimi? 


-Krahasonitrekëndëshin AOE dhe trekëndëshin BOE. 

-Pse këto dy trekëndësha janë kongruentë? 

Nxënësit gjatë këtij diskutimi do të provojnë AO ≡BO (si rreze të rrethit) OE ≡ OE. 

Janë trekëndësha kënd drejtë. Kjo do të thotë se: Δ AOE ≡ Δ BOE AE ≡ EB dhe këndet 

qëndrore AOD ≡ BOD AD ≡ BD 

Po kështu edhe për shëmbullin e tretë. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemat 1/ 4. 

Për problemin (1)nxënësit duhet të kenë parasysh se : 

a) RO ≡TO = SO (se janë rreze të një rrethi). 

b) 1 $ = 2$ 

se trekëndëshi ROT është dybrinjëshëm ( RO = OT)., po kështu edhe 

3$ 

= 4$ 

se Δ OST është dybrinjëshëm TO = OS. 

c) 1 $ + 4$ 

janë dy këndet e ngushtë të trekëndëshit RTS →kënd drejtë se 

mbështetet mbi diametër, pra $ 0 

1 $ + 4= 

90 dhe 2 $ + 3$ = 90 

0 . 

Për problemin 4 .Vështroni figurën 8. 

Bashkohen pikat T dhe O. Formohen dy trekëndësha Δ POT dhe Δ PNH. Këta 

janë të ngjashëm, shkruajmë raportin e ngjashmërisë. 

OT OP 8 16 

= 

NH ON NH = NH = 4. 

8 

Për të gjetur PH 2 = PN 2 – NH 2 ⇒ PH 2 = 8 2 – 4 2 = 48⇒ PH = 4 3 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, 

Deklarojnë zgjidhjen e problemave dhe argumentave. 


Detyra shtëpie. Problemat 2/ 5/ 6 

52

IV.26. TANGJETJA E HEQUR MBI NJË RRETH. 


• Të ndërtoni tangjenten nga një pikë ndaj një rrethi. 

• Të vërtetoni vetinë e tangjentes së hequr nga një pikë mbi një rreth. 

• Të zbatoni vetinë e tangjentes në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore, kompas. 

Metoda: 


Kujto 

Diskuto 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Vizatoni një rreth me reze të çfardoshme. 

-Nga një pikë P jashtë rrethit hiqni dy tangjente. 

-C’quhet tangjente mbi një rreth> 

-Si mendoni,gjatësitë e këtyre tangjenteve a janë kongruentë?- Si janë tangjentja e 

rrezja? 

REALIZIMI: Vështroni figurën 1. 

-Cila është teorema” 

-Cila është kushti/ Po përfundimi? 

-Krahasoni trekëndëshin OAP dhe trekëndëshin OBP. 

Nxënësit duhet të diskutojnë e të vinë në përfundimin se ΔOAP dhe ΔOBP janë kënd 

drejtë ( A ≡ B = d ) dhe: 1) OA ≡ OB ( si rreze) 2) OP ≡ OP (hipotenuza). 

Kjo bën që Δ OAP ≡ ΔOBP AP = BP 

Në të njëjtën mënyrë punohet shëmbulli (prpblemi i zgjidhur në mësime) 

REFLEKTIMI: Punohet problema 2 dhe 4. 

Për problemin 2 veprohet kështu: 

Me që Ad dhe AE janë tangjente të hequra nga pika A do të thotë: 

AD ≡ AE ⇒ 2x – 1 = 7 ⇒ x = 4 

BD = 3x – 5 = 3 . 4 – 5 = 7 FC = x + 2 = 4 + 2 = 6, e kështu me radhë gjenden 

brinjët e trekëndëshit ABC. 

Për problemin 4 shkruhet në çdo rast raporti i brinjëve të trekëndëshit të 

ngjashëm. 

2 5 

4 x 

= 2x = 20 x = 10 e të tjerat po kështu zgjidhini. 

Nxënësit punojnë në mënyrë të pamvarur me grupe ndërsa mësuesi bën punë të 

diferencuar me nxënës të vacant. 

Deklarohet përgjigja e nxënësve. 


Detyra shtëpie. Problemat 3 / 5/ 7. 

53

IV.27. TREKËNDËSHI BRENDASHKRUAR RRETHIT. 


• Të ndërtoni rrethin që i jashtëshkruhet trekëndëshit të dhënë. 

• Të njihni lidhjen midis rrezes së rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit barabrinjës dhe 

brinjës së këtij trekëndëshi. 

• Të zbatoni njohuritë mbi trekëndëshin e brendashkruar rrethit në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 

diskutim 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Drejtojmë këtë pyetje për diskutim: 

-Vizatoni një rreth. Merrni tri pika A, B, D. Bashkohini. 

-Si quhet trekëndëshi ABC në këtë rast? Cfarë janë për rrethin brinjët e 

trekëndëshit ABC? 

-Si ndërtohet rrethi jashtëshkruar trekëndëshit? 

REALIZIMI: Vizatoni një segment dhe gjeni qëndrën e rrethit që kalon nga skajet e tij 

? –Sa qëndra të tilla janë? 

-Marrim si segmente tre brinjët e trekëndëshit. 

-Ndërtoni përmesoret e brinjëve. 

-Në sa pika priten këto përmesore? 

-Provoni të ndërtoni një rreth me qëndër pikën e prerjes së përmesores dhe reze 

sa OA = OB = OC. 

-A kanë lidhje gjatësia e brinjës në atë të mesore për trekëndëshin barabrinjës? Po 

kënd drejtë? 

a 3 

Duke ecur hap pas hapi, të provojmë dhe vërtetojmë R. Gjendet R = dhe 

3 

a = R 3 

Të zgjidhen shëmbujt që janë në libër. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemta 1/3. 

Për problemin 1 e dhënë është brinja e trekëndëshit; a = 8 duhet R = ? 

Këtu kemi të bëjmë më lidhjen direkte që ka brinja me rrezen: 

a 3 8 3 8⋅1,4 11,2 

R = = ≈ = = 3, 7 cm 

3 3 3 3 

Për problemin 3 janë dhënë R = 30cm. 

Gjeni : a) brinjën b) sipërfaqen e trekëndëshit; c) Sipërfaqen e rrethit; 

d) sipërfaqen e jashtëshkruar të trekëndëshit, brendashkruar rrethit. 

a = R 3 = 30 3 = 30⋅ 1,4= 42cm 

a) Për sipërfaqen e trekëndëshit përdoret formula e Heronit. 

b) Për sipërfaqen e rrethit zbatohet formula S = πR 2 . 

c) S__-= S 0 – S Δ ( nga sipërfaqa e rrethit heqim sipërfaqen e trekëndëshit). 

54

Nxënësit bëjnë llogaritket e duhura dhe më pas deklarojmë përgjigjen me një atmosferë 

kritike të nxënësve. 



IV.28. TREKËNDËSHI JASHTËSHKRUAR RRETHIT. 


• Të ndërtoni rrethin që i brendashkruhet trekëndëshit të dhënë. 

• Të njihni lidhjen midis rrezes së rrethit të brendashkruar trekëndëshit barabrinjës dhe 

brinjës së këtij trekëndëshi. 

• Të zbatoni njohuritë mbi trekëndëshin e jashtëshkruar rrethit në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore, kompas, raportor. 

Metoda: 


Kujto 

Diskutim 



EVOKIMI: -Vështroni figurën 1. 

-Si quhet Trekëndëshi ABC në këtë rast> Po rrethi” 

-Cfarë janë brinjët e trekëndëshit për rrethin? 

-Si ndërtohet rrethi brendashkruar trekëndëshit>- 

Puno me grupe 

dyshe 

-Cili është këndi gjeometrik i 

brinjëve të këndit? 

-Ndërtoni një trekëndësh ABC. 

REALIZIMI: Vizatoni vendin gjeometrik të një këndi. (kjo është përgjysmorja e 

këndit). 

-Vizatoni përgjysmoret e dy këndeve. 

-Pika e prerjes së tyre është qëndra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit. 

-Lidhja që ekziston ndërmjet brinjës (a) të trekëndëshit barabrinjës është kjo: 

a 3 

a = 2r 

3 

r = 

6 

-Këtë gjduhet ta vërtetojmë sipas shëmbullit në libër. 

E rëndësishme është se rrëzja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit kënd drejtë gjendet 

a+ b−c 

me formulën: r = , ku a, b katete dhe c është hiponuza. 

2 

REFLEKTIMI: Të punohen problemi 2 dhe 6. 

Në problemin (2) vështroni problemin dhe figurën.. Shqyrtoni trekëndëshin BOE 

ku BO = 5 dhe OE = 2,5. Duke zbatuar teoremën e Pitagorës njehsojmë : 

BE 2 = BO 2 – OE 2 . 

Gjëja e dytë që duhet provuar është se trekëndëshi ABC është barabrinjës. 

Në problemin 6 (veshtroni figurën 8). 

55

Në fillim duke krahasuar BM = BE (si tangente të hequra nga pika B). Kjo do të thotë se 

BE = BM ⇒ 2x – 1 = 9 ⇒ x = 5 

Pas kësaj gjenden gjatësitë e brinjëve të tjera. 

Nxënësit punojnë që të bëjnë njehsimet e duhura, me grupe dyshe, mësuesi 

ndihmon duke punuar në mënyrë të diferencuar për nxënës të veçantë. 

Bëhet deklarimi i përfundimeve nga ana e nxënësve dhe vlerësimet. 


Detyra shtëpie 4, 5/ 9 

IV.29. USHTRIME. 

Objektivat: -Të zbatoni njohuritë mbi masën e këndit qëndror dhe atij rrethor në situata 

problemore. 


Metoda: Problemore-diskutimit –njehsimeve. 


Të zgjidhet shëmbulli i librit duke i dhënë përgjigje pyetjeve: 

-C’quhet kënd rrethor? 

-Sa është masa e këndit rrethor? 

-Këndi rrethor dhe qëndror me çfarë kanë lidhje? 

-Cila është lidhja midis këndit rrethor dhe harkut përkatës? 

Të punohet problemi 1 (Diskutojmë së bashku). 


-Cilat janë të dhënat? 

-Për të gjetur AB çfarë nevojitet? (këndi AMB ). 

0 0 0 

0 

-Sa është këndi AMB = 180 − 40 = 140 AB = 140 

0 

Harku ECA gjendet duke zbritur nga rrethi i plotë harkun AE = 40 që do të 

0 0 0 

thotë: ECA = 360 − 40 = 320 

0 

Harku BAE është gjysma e rrethit. BAE = 180 

Në këtë mënyrë ne u japim përgjigje çdo kërkese të peoblemit 1 (duke shfrytëzuar 

masën e këndit qëndror, është e barabartë me masën e harkut përkatës). 

Problemi 2 është njëlloi si problemi 1. (I zhvilluar më lart). 

Të punohet problemi 3. 

Në problemin 3 duhet që të shtrojmë ekuacionin për të gjetur ndryshoren (x). 

Këndet: m( BCQ) + DCP = 180 . 2x + 4x + 15 + 2x + 5 = 180 x =20 

Pasi gjen ndryshoren x gjen këndet BCQ = 2x + 4 = 2 . 20 + 4 = 44 0 e kështu këndet e 

tjera. Në këtë mënyrë u japim përgjigje dhe harqeve që kërkohen. 

Në problemin 4 shfrytëzohen njohuritë mbi masën e këndit rrethor dhe shuma e 

këndeve tëkatërkëndëshit. 

Pasi gjenndryshoren x gjendet masa e këndeve dhe harqeve që kërkohen. 

Vlerësimi. 

Detyra: Problemat 7/ 8/ 9 

56

IV.30. MATJA E KËNDEVE DHE HARQEVE. 


• Të njihni masat e këndeve (harqeve) në gradë dhe në njësinë radian. 

• Të kryeni veprime me kënde duke kaluar nga gradë në njësinë radian. 



Metoda: 


Kujto 

Shpjegimi 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Me se matet masa e harkut? 

-Sa gradë është masa e rrethit , të shprehura në gradë? 

-Cilat janë njësitë të tjera të masës së harkut? 

-Si gjendet gjatësia e harkut? 

-Si mendoni: dy trekëndësha të ngjashëm a i kanë segmentet propocionalë?. 

REALIZIMI: Këndet maten dhe me radian. 

Harku me gjatësi sa rrezja quhet 1 radian. 

Sa radian është rrethi i plotë? 

l 2π 

R 

b = = = 2π 

R R 

Kjo do të thotë së rrethi i plotë është 2π radian. Gjysma e rrethit është π. 

a b a 

Për të kaluar nga gradë në radian shërben formula: = ose 360 2 π 180 

Të punojmë shëmbujt e zgjidhura në fund të mësimit. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 2. 

Për të gjetur masën e këndit me radian kur jepen l = 6cm dhe R = 5cm.. 

π Rn 

Në fillim gjejmë (n) nga formula l = . 

180 

180l 

180⋅6 180⋅1,2 

a b 

n = = = 

= b = 1,5 rad. 

π R π ⋅5 

π 

180 π 

Ndërsa nxënësit merren zgjidhjene problemit, mësuesi punon më nxënës të vëçant 

që kanë nevojë për punë të diferencuar. 


Detyra shtëpie 4/5.. 

b 

= 

π 

57

IV.31. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË NË Δ KËNDDREJTË. 


• Të njihni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë 

çfarëdo. 

• Të gjeni llidhjen midis këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë. 



Metoda: 


Kujto 

Shpjegojmë 



EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh ABC kënd drejtë në C. 

-Cili është kateti? Sa katete janë? 

-Cila është hipotenuza? 

-Cili katet ndodhet përballë këndit A? 

Puno me grupe 

dyshe 

-Kateti anash këndit A ? 

REALIZIMI: Raporti i katetit përballë këndit A me hipotenuzë quhet 

Kateti pwrballw 

Sin A =sinα = 

hipotenuza 

-Si mendoni se ky raport është e madhe apo më e vogël se 1? 

kateti anashkruar 

-Raporti i katetit anash dhe hipotenuzës quhet: cosa = 

hiptenuza 

Raporti i katetit përballë me katein anash quhet tangent α dhe raporti i anasjelltë 

quhet kotangent α. 

Përgjithësisht sinα, cosα, tgα, cotgα quhen funksione trigonometrike dhe tregojnë 

raportin midis brinjëve të trekëndëshit kënd drejtë. 

Funksionet trigonometrike nuk varen nga gjatësitë e brinjëve, por nga masa e 

këndeve. 

-Te vërtetohet teorema për këtë qëllim. 

Të zgjidhen problemat e zgjidhura në libër. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemat ¼. 

Në problemin 1 duhet bërë kujdes se në fillim duhet gjetur njëri katet (me 

teoremën e Pitagorës). 

Vizatohet figura dhe shkruhen të dhënat; 

BC 2 = 41 2 – 9 2 = 1600 ⇒ BC = 1600 =40 

BC 40 

Sin a = 

AB = 41 

etj 

Në problemin 4 janë edhe dy katetet. Në fillim duhet të gjejmë hipotenuzën e 

trekëndëshit kënd drejtë. 

Gjeni funksionet trigonometrike të këndit A, pastaj këndit B. 

Ndërsa nxënësit me grupe dyshe diskutojnë dhe nxjerrin përfundimet e duhura, 

mësuesi ka hapsirë të punojë në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë. 

58

Deklarohet përgjigja për sejcilin rast. 



IV.32. FORMULAT THEMELORE E TRIGONOMETRISË. 


• Të përdorni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë 

çfarëdo. 

• Të nxirrni formulat themelore të trigonometrisë. 

• Të zgjidhni situate problemore. 

Mjetet:teksti, vizore. 

Metoda: 


Kujto 

Shpjegimit 



EVOKIMI: -Vizatoni figurën (1) në fletore. 

-Zbatoni teoremën e Pitagorës: (c 2 = a 2 + b 2 ). 

-Shkruani Sin A = a a 

Sin 2 A = 

c 

c 

-Po kështu Cos a = b 2 

a 

c Cos2 A = 2 

c 

REALIZIMI: Mbledhim anë për anë: Sin 2 A + Cos 2 A = 

Pra formula e parë kryesore është: 

Sin 2 A + Cos 2 A = 1 

Të punohen shëmbulli në libër. 

2 

Nëse jepet sin A = dhe cos 

2 

A 

= 2 

2 

2 2 

Sin 2 A + cos 2 A = 1 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎜ + = 1 

2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Kjo është e vërtetë. 

Punojmë një rast që nuk është i vërtetë. 

a 

Tg A = a c SinA 

SinA 

= 

b b 

tg 

Cos 

A = 

A 

CosA 

c 

2 

2 

Puno me grupe 

dyshe 

1 = 1 

a b a + b c 

c c c c 

2 2 2 2 2 

+ = = = 1 

2 2 2 2 

59

Cot A = b c CosA 

CosA 

Cot = = 

a 

b 

Cot = 

SinA 

SinA 

c 

Të punohen ushtrimet në fund të librit. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1 dhe 5. 

Problemi i është zbatimi i drejtpërdrejtë të formulës kryesore, ndërsa problemi 5: 

2 

Gjendet : Cos 2 ⎛3⎞ 

25− 

9 16 

x = 1− ⎜ ⎟ = = Cos 

⎝5⎠ 

25 25 x = 4 5 

3 

Sinx 3 5 3 

tg x = 5 

cos x = 4 

= 5 ⋅ 4 = 4 

5 

Cot x = cos 4 3 4 5 x 

= : − ⋅ = 4 

sin 5 5 5 3 3 

x 

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigje problemit, mësuesit ikrijohen 

hapësirat e nevojshme për të punuar me nxënësit në mënyrë të diferencuar. 

Deklarohet përgjigja e problemit. 


Detyra shtëpie 3/ 4/ 6/ 7 

IV.33. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË TË KËNDEVE 

30 0 , 45 0 dhe 60 0 . 


• Të njihni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 30 0 , 45 0 , 60 0 . 

• Të përdorni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 30 0 , 45 0 , 60 0 për 

zgjidhje problemash gjeometrike. 


Metoda: 


Kujto 


Shpjegim 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: -Vizatoni një trekëndësh ABC barabrinjës (me brinja a). 

-Sa janë këndet e trekëndëshit barabrinjës? 

-C’dini ju për këndin 30 0 në trekëndëshin kënd drejtë? 

-Hiqni një lartësi AH. 

-Analizoni trekëndëshin kënd drejtë ABH (me libër). 

AB = a BH = 

a 

2 

60 

0 

A = 30

-C’dini për katetin përballë këndit 30 0 ⇒ Sin30 0 = 1 2 

REALIZIMI: Sin 60 0 është AH përmbi AB. 

Sin 60 0 = AH 

AH 2 = AB 2 – BH 2 

AB 

2 2 

2 2 a 3a 

a 3 

AH = a − = 

AH = Sin 60 2 = 

4 4 

2 

AH 3 a 3 2 

Cotg 30 0 = = = ⋅ = 3 

5AB 

2 a 

a 3 

2 

a 

= 

3 

2 

-Vështro tabelën ku jepet vlera e funksioneve trigonometrike. 

-Të punohen ushtrimet në fund të mësimit. 

E rëndësishmë është që të sqarohet se: 

sina = a a = c . sina cosa = b b = c . cosa etj. 

c 

c 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: 1 / 3. 

Në ushtrimin 1: 

Sin 30 0 + cos 60 0 = 1 + 1 = 2 = 1 

2 2 2 

2 3 2 + 3 

Sin 45 0 + cos 30 0 = + = 

2 2 2 

Ndërsa nxënësit punojnë për të nxjerrë përfundimet e ushtrimeve, mësuesi punon 

në mënyrë të diferencuar me nxënës të veçantë. 

Deklarimi i përgjigjes. 


Detyra shtëpie 2/ 4 

IV.34. USHTRIME PËR FUNKSIONET TRIGONOMETRIKË. 


• Të përdorni përkufizimet e funksioneve trigonometrike në ushtrime. 

• Të gjeni formula që lidhin funksionet trigonometrike. 



Metoda: 


Kujto 


Zgjidhje 

Punë e orjentuar. 


61 

Puno me grupe 

dyshe

EVOKIMI: -Cilat janë formulat kryesore të funksioneve trigonometrike. 

sin 2 a + cos 2 a = 1 sina = 

2 

1− 

cos a 

Jepet sina = 2 . Gjeni vlerën e shprehjes. 

3 

Sina . cotga + cosa = ? 

Gjej cosa = cos a 5 : 

2 5 3 5 

5sina = 3 3 = 3 ⋅ 2 = 2 

Vlera e shprehjes 

Sina . cotga + cosa = 2 ⋅ 5 + 5 = 5 + 5 = 

2 5 

3 2 3 3 3 3 

REALIZIMI: Gjeni vlerat e shprehjes: 

1 

0 0 4⋅ 

3 

4sin 30 ⋅tg60 2 12 

= = = 6 2 

0 0 

tg30 ⋅cos 45 3 2 12 

⋅ 

3 2 


Për ushtrimin 14. 

Sinusi i një këndi mund të ketë vlerën: 0, 1, 3 , 2 , 

5 

5 4 3 Kurse tg a mund të marrë 

të gjitha vlerat e dhëna. 

Ndërsa në problemin 14 provohet me formulën kryesore. 

a) sina = 0,3cosa = 4 

sin 2 a + cos 2 a = 10,3 2 + 0,4 2 = 1 0,3 2 + 0,4 2 = 1 (jo) 

10 

2 

3 

b)sina = cos 

2 a = 

2 

2 2 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ 

2 3 

5 

⎜ + = + = 1 

2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

1 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 

4 = jo num është e vërtetë. 

c)sin a = 3 5 dhe cos a = 4 5 

2 2 

⎛3⎞ ⎛4⎞ 

9 16 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 + = 1 1 = 1 (PO) 

⎝5⎠ ⎝5⎠ 

25 25 

Të vlerësohen nxënësit. 

Të jepen detyra 6/ 16/ 18 

KREU V 

GJEOMETRIA NË HAPËSIRË 

62

V.1. DREJTËZA PINGULE ME PLANIN. 


• Të vizatoni një plan dhe një drejtëz pingule me të. 

• Të tregoni se kur një drejtëz është pingule me një plan. 

• Të zbatoni vititë e drejtëzës pingule më një plan në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore,trekëndësha kënd drejtë. 

Koncepte: pingulen pjerrta, këmba e të pjerrta, projeksion. 

Metoda: 


Kujto 

Diskuto 

Puno me grupe 



EVOKIMI: -Organizojmë me formë bisede. 

-Si e vizatojmë një plan (P) ? Vizato. 

-Cila është gjendja e një plani dhe një drejtëzë? 

-Vizatoni çdo rast! 

-Sa drejtëza ka një plan? 

REALIZIMI: Kur një drejtëz do ta quajmë pingule me një plan? 

-Si lexohet shënimi a ⊂ P ? b ⊂ P ? d ⊥ a ? d ⊥b ? 

-Vizatoni një plan (P),merrni një pikë A jashtë P. 

-Hiqni nga pika A një pingule dhe një të pjerrta në P. 


-Si quhet AO? (pingule) –Po AC dhe AB ? (të pjerrta) 

-Si quhet O? (këmba e pingules) – Po c ? (këmba e pjerrtë). 

-OC quhet projeksioni I AC, ndërsa OB quhet projeksioni I AB. 

-Ta punohe problema 2 dhe 5. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problema 2 dhe 5 . 

Problemi 2: E rëndësishme është të bësh figurën. Figura në plan është katror me P 

= 40 ⇒ a = 40 

4 = 10cm. 

Nga kulmi D ngrihet pingulja DE = 10cm. 

Gjeni: EA = ? EB = ? EC = ? 

Për të gjetur AE dhe EC (njëlloi) zbatohet teorema e Pitagorës për trekëndëshin kënd 

drejtë ΔEDA dhe ΔEDC. 

AE 2 = DE 2 + DA 2 ⇒ AE 2 = 10 2 + 10 2 = 200 ⇒ 

AE = 10 2 . 

Për të gjetur EB duhet gjetur diagonalja e katrorit 

BD ⇒ BD 2 =AB 2 +AD 2 ⇒ BD 2 = 10 2 +10 2 = 

200 ⇒ BD = 10 2 

BE 2 =BD 2 +DE 2 ⇒ BE 2 = (10 2___ ) +10 2 = 

300 ⇒ BE = 10 3 . 

63

Për problemin 5 përveç se duhet zbatuar teorema e Pitagorës, duhet më parë të 

zbatohet vetia e katetit përballë këndit 30 0 dhe nga këndet (duke shfrytëzuar funksionet 

trigonometrike), gjendet katetet. 

Nxënësit punojnë për të nxjerrë rezultatet e duhura, ndërsa mësuesi punon në 

mënyrë të diferencuar me nxënës që kanë nevojë. 


Detyra shtëpie ushtrimet 1/ 3/ 4 

V.2. PLANE PINGULË. 


• Të vizatoni dy plane në vartësi të gjendjes së ndërsjelltë të tyre. 

• Të dalloni nëse dy plane janë apo jo pingulë. 

• Të zbatoni disa veti për planet pingulë në situata problemore. 

Mjetet: teksti, vizore, mjete planesh (karton). 

Metoda: 


Kujto 

Diskuto 

Puno me grupe 

Jep mendime 

Punë e drejtuar dyshe 

Koncepte : Kënd dy faqësh 


EVOKIMI: -Bisedojmë! 

-Cili thotë dy plane nga objektet përreth? 

-Dy plane që pritet? 

-Dy plane paralele? 

-Vizatoni dy plane paralele! (shiko figurat 1, 2 në libër). 

-Vizatoni dy plane që priten (figura 2 në libër). 

ReEALIZIMI: Vështroni figurën 4 në libër. 

-Vizatoni figurën 4 në dërrasë duke përdorur shkumësa me ngjyrë. 

-Në cilën plane shtrihet drejtëza (d) ? –Po AB? –CD ? 

Si lexohen shënimet AB ⊂ P dhe AB ⊥ P ? CD ⊂ Q dhe CD ⊥ d ? 

-Këndet CEA ; CEB quhet kënd dyfaqësh. 

A ka në figurë kënde dyfaqësh të tjetë? 

-Kur dy plane janë pingule? 

-Vështroni figurën 5 dhe të vërtetohet teorema. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemta 1 dhe 3. 

Problemi 3 duhet vështrua figura 8. 

Në fillim gjejmë AF (duke zbatuar teoremën e Pitagorës). Më pasgjejmë AB duke 

shfrytëzuar teoremën e Pitagorës, për ΔABF ⇒ AB 2 = BF 2 + AF 2 . 

Nxënësit bëjnë vlerësimet dhe njehsimet e duhura, mësuesi ka hapësirën për të 

vrojtuar, udhëzuar dhe ndihmuar nxënës që kanë më shumë nevojë. 

Deklarohet përgjigja (zgjidhja e ushtrimeve) në një situatë kritike. 


Detyra: shtëpie ushtrimi 2/ 4/ 5 

64

V.3. SFERA. 


• Të gjykoni mbi marrëdhëniet midis sferës dhe planeve. 

• Të zgjidhni situata të thjeshta problemore. 

Mjetet: libri i matematikës, vizore, kompas 

Metoda: 


Kujto 

Jep mendimin tënd. 

Diskuto 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: -Përmendim disa objekte që kanë formë sferike. 

-Përmendim disa elementë të sferës. 

-Cila quhet rreze. 

-C’është korda? përmend korda te figura 2. 

-C’është diametric i sferës? 

-C’është tangjente e sferës? 

REALIZIMI: Cila është gjendja e ndërsjelltë ndërmjet një sfere e plani. 

-Vështroni figurat në libër; (2) dhe (3). 

Sfera dhe plani kanë një qark të përbashkët. 

Cila është largësia e qëndrës së sferës me planin? 

Të vërtetohet pohimi: 

-Segmenti që bashkon qëndrën e sferës më qëndrën ë rrëthit është pingule 

me planin e rrethit. 

Referohuni figurës 6 në libër. 

-C’është pika ( O)? – Po pika D? 

-C’është AB? (diametri i rrethit të planit). 

Trekëndëshi ΔDABështë dybrinjëshëm ( AD ≡ BD si rreze). 

DO është mesore e trekëndëshit dybrinjëshë. Ajo është edhe mesore edhe lartësi, 

pra DO → lartësi në pikën O. 

Të punohet shëmbulli i zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 dhe 4. 

Për problemi (1) nxënësit duhet të lexojnë me kujdes dhe të thonë se është e 

vërtetë apo i rremë. 

Pika (a) dhe (c) të vërteta, ndërsa pikat (b) dhe (d) të rrema. 

Problemi 4. E rëndësishme është që të konceptohet figura që në rastin e problemit 

(4) është e njëjtë me figurën (7). 

65

Është dhënë OB = 41cm (rreze e sferës) dhe AB = 40 (rreze e rrethit). Duhet 

gjetur: OA = ? 

(Zbatoni teoremën e Pitagorës për trekëndëshin OAB dhe gjeni OA = ?). 

Nxënësit marrin kohën e mjaftueshme për të dhënë përgjigje problemave, ndërsa mësuesi 

ka kohën e duhur për të bërë punën e diferencuar me nxënës të ve 

Nxënësit punojnë për të nxjerrë rezultatet e duhura, ndërsa mësuesi punon në 

mënyrë të diferencuar me nxënës ëë vecant. 

Në momentin që duhet deklaruar përgjigja e problemeve të motivohen nxënësit që 

të jenë “kritikë” në përgjigjet. 

Të bëhet vlerësimi me notë. 

Detyra shtëpie Problema : 2; 5 dhe 7. 

V.4. PLANI TANGJENT ME SFERËN. 


• Të zbatoni vetinë e planit që është tangjent me sferën. 


Mjetet: libri i matematikës, vizore,kompas. 

Metoda: 


Kujto 


Diskuto 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: -Le të bisedojmë. 

-Si mendoni se plani është tangjent me planin? 

-Sa pika të përbashkëta mund të kenë? 

-Sa është largësia e planit me qëndrën e sferës? 

REALIZIMI: Të vërtetojmë teoremën. 

“Plani pingul me rrezen në skajin e saj që gjendet në sipërfaen sferike është 

tangjent me sferën”. 

-Vështroni figurën 2 në libër. 

-Vizatojmë figurën 2 në dërrasë të zezë me shkumsa me ngjyra (të bëhet e 

dallueshme). 

-Cila pikë është e përbashkët për sferën dhe planin? 

-A është e vetme pika )A) e përbashkët e plani e sferës? 

-OA është pingule me planin P. 

Trekëndëshi OAE është trekëndësh kënd drejtë me katete OA dhe AE. Kështu që 

OE mbetet hipotenuzë. 

Dimë që OE > OA, mbetet që E është jashtë sipërfaqes sferike. 

Për rrjedhojë e vetmja pikë e përbashkët për planin e sferës është A. 

Të thuhet dhe teorema e anasjelltë (s’ka nevojë të vërtetohet dhe të zgjidhim 

problemat. Shëmbujt në libër). 

66

REFLEKTIMI: Të punohen problemta 1 dhe 3. 

Për problemin (1) e rëndësishme është të konceptohet figura që në rastin konkret 

është si figura (3) në libër ku është dhënë: OB = 13 dhe OA = 5. Të gjendet AB = ? 

Për të gjetur AB zbatohet teorema e Pitagorës në trekëndëshin OAB. 

Për problemin 3, të kryhet figura. 

d 1 || d2 

OC = 10cm 

OB = 13cm 

OA = R = 5 

BC = ? 

Plani i zgjidhjes është ky: 

∧ 

0 

Në ΔOAC me A = 90 , sipas teoremës së Pitagorës gjejmë: 

AC 2 = OC 2 – OA 2 AC = 5 3 

Në ΔOAB me A∧ = 90 0 , zbatojmë teoremën e Pitagorës : 

AB 2 = OB 2 – OA 2 AB = 12 

BC = AB + AC = 12 + 5 3 

Ndërsa nxënësit bëjnë me grupe dyshe zgjidhjen e problemit, mësuesi diku 

vrojton, diku udhëzon apo nxit diku, ndihmon, atje ku e sheh të arsyeshme. 

Deklarohet përgjigja nën vëzhgimin tërësor të klasës, diskutohet çdo detajë. 

Të bëhët vlerësimi me notë. 

Detyra shtëpie. Problemi 2/ 4/ 5. 

V.5. PROBLEMA. 

Mjetet: libri i matematikës, vizore,kompas. 

Metoda: Diskutimit, analizës, sintezës, punë me grupe dyshe. 


Problemi 1: Në problemin (1) nxënësit duhet të lexojnë me kujdes dhe të japin përgjigjen 

e vërtetë apo e rremë. 

Pikat (a) dhe (c) janë të vërteta, ndërsa (b) dhe (c) të rrema. 

Problemi 2. Të lëxojnë problemin me kujdes dhe të vizatojnë figurën e duhur për 

këtë problem. 

figura 

AB → e pjerrët AC → pingule 

∧ 

= 

0 

B 60 

67 

∧ 

0 

C = 90 BC ⇒ projeksioni i 

të pjerrtit BC = 6. 

Gjeni : gjatësinë e të pjerrtës AB = ? P ABC = ? 

Plani i zgjidhjes është ky : (këtë e diskutojmë). 

0 

-C’duhet të gjejmë në fillim? (këndin A ∧ = 30 ) 

-Tregoni natyrën e trekëndëshit ABC ?

-C’dini për trekëndëshin kënd drejtë? (kateti përballë këndit 30 0 ) 

( BC = 6 ⇒ AB = 12) 

-Si gjendet AC = ? ( AC 2 = AB 2 – BC 2 ) 

-A mund ta gjejmë P ABC = ? 

pasi vendosim për planin e zgjidhjes, nxënësit marrin kohën e duhur për të kryer 

zgjidhjen e kërkesave të problemit. 

E rëndësishme është se bashkë me zgjidhjen e problemit, nxënësit duhet të 

përmendin njohuritë që shfrytëzuan për të kryer zgjidhjen. (të debatojnë, të plotësojnë 

edhe nxënësit e klasës). 

Të zgjidhësh një problem nuk është një gjë e thjeshtë. 

Kontakti i parë i nxënësit me problemin është i vështirë, i pakapshëm, i ftohtë. 

Gjëja që duhet të bëjë një mësues është që ta theksojë se problemi nuk është i vështirë, 

nuk është aq i ashpër, por familjarizohen me të, lexoje një herë, dy herë, e më shumë me 

kujdes. 

Bëje figurën, kjo është gjysma e problemit. 

Nxirr të dhënat, po e theksoj të gjitha të dhënat, ato nuk janë vetëm numra, janë 

edhe kushte. 

Nxirr ato që duhen apo kërkohen nga problemi. 

Kujto ndonjë shëmbull, apo problem që ke zgjidhur edhe më parë e që ngjason me 

problemin tonë. 

Cilat janë lidhjet direkte, apo shpesh edhe indirekte të atyre që janë dhënë me ato 

që kërkohen. 

Të punohen problemta 6/ 8. 

Të vlerësohen me notë. 

Detyra: 5/ 7/ 11 

KREU VI 

SHNDËRRIMET GJEOMETRIKE 

VI.1. VEKTORI. 


• Të dalloni vektorin nga segmenti. 

• Të dalloni vektorë të barabartë, vektorë të kundërt dhe vektorë paralelë. 



Metoda: 


Kujto 


Diskuto 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: -Jep mendimin tënd! 

68

-Vizatoni një segment CD = 3cm. 

-A ju kujtohet se ç/është vektori? 

-Nga se ndryshon segmenti nga vektori? 

-Si e shënojmë një vector? 

REALIZIMI: Vështroni figurat 1/b; 1/b; 1/c. 

-Cfarë shikoni aty? 

-Në figurën 1/b dhe 1/c – Cila është origjina dhe ekstremiteti? 

-Si shënohet simbolikisht një vektorë? 

uuuur 

-Në vektorin MN , cila është origjina? –po ekstremiteti? 

uuuur uuuur 

-A ndryshojnë vektorët MN me NM ? Pse? 

-Vështroni figurën 2/a dhe 2/b. 

-Tregoni vektorët e të dy figurave. 

-Cilat janë elementët e vektorit? 

-Vështroni figurën 3. 

Marrim mendimin edhe të nxënësve. 

uuur uuur 

-Vektorët AB dhe DC -ç’kanë të përbashkët? (drejtimin) –Nga se ndryshojne? 

(gjatësia, kahu). 

-Kur vektorët kanë kahe të njëjtë? Po të kundërt? 

REFLEKTIMI: Të punohet problemat 1 dhe 6. 

Për problemin (1) nxënësit duhet të vizatojnë vektorë: 

a) me drejtim të njëjtë (vektorë paralel apo me një drejtëz) 

b) me kahe të kundërta . 

c) të barabartë. 

d) Të kundërt 

Këto vizatime nxënësit i bëjnë dyke shfrytëzuar figurat në libër. 

Për problemin 6: Të vizatoni vektorët me gjatësi: 

a r = 3cm b r = 4cm C ur = 2cm 

a) orgjinë të ndryshme ekst______. të ndryshme 

b) orgjinë të njëjtë ekstre ______të ndryshme. 

c) Orgjinë të ndryshme ekstre___-të njëjtë. 

Mësuesi të vëzhgojë. urdhërojë, të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar. 

Të bëhet vlerësimi . 

Të jepen detyra: Problemi 3/ 4/ 7. 

VI.2. MBLEDHJA E VEKTORËVE. 


• Të mbledhin dy vektorë me rregullin e trekëndëshit. 

• Të mbledhin vektorët me rregullin e paralelogramit. 

• Të zgjidhni situata problemore me mbledhje vektorësh. 

Mjetet: teksti, vizore e shkallëzuar. 

69

Metoda: 


Kujto 

Jep edhe ti mendimin tënd. 

Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: -Kujto! Jep edhe ti mendimin tënd! 

-Vizatoni dy vektorë në fletore si në figurën 1. 

Ndërsa mësuesi vizaton dy vektorë, mundësisht me ngjyra të ndryshme. 

-Kur dy vektorë janë të barabartë? 

-Si mblidhen dy vektorë? 

REALIZIMI: Shpjegojmë se për të mbledhur dy vektorë, ka dy rregulla: 

a) Rregulli i trekëndëshit (veproni edhe ju në fletore). 

-Merrni një pikë E. 

Zhvendosni vektorin a r me orgjinë në pikën E. 

–Me orgjinë në ekstremitetin e vektorit a r zhvendosni vektorin b r (vështro 

rregullin e trekëndëshit) 

-Vizatoni vektorin me orgjinë në E dhe me ekstremitet me ekstremitetin e vektorit 

b r . 

r r r 

Shkruajmë vektorin shumë a = a+ 

b . 

b) Dy vektorë mblidhen edhe sipas rregullit të paralelogramit. (Vështro rregullin 

e paralelogramit). 

Zhvendosni dy vektorët a r dhe b r me orgjinë pikën E. Nga ekstremitetet e dy 

vektorëve heqim paralele , formojmë paralelogram. Diagonalja me orgjinë pikën E quhet 

vektori shumë. 

Shuma e dy vektorëve gëzon vetinë ndërrimit. 

a r r r r 

+ b= b+ 

a 


Për 

uuur 

problemin 

uuur uuur 

1 plotësoni vendet bosh. 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

AE+ ED = AD AO+ OC = AC AF + uuur FD = AC+ 

CD etj. 

Për problemin 3 : Vështroni figurën7. 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

AB+ BC = AC AD+ DB = AB OC + CD = OD etj. 

Ndërsa nxënësit përgatitin përgjigjet e problemave, mësuesi punon në mënyrë të 

diferencuar ne nxënës të veçantë. 


Detyra shtëpie: Problemi 2/ 4/ 6 

VI.3. ZBRITJA E VEKTORËVE. 


• Të zbresni dy vektorë duke shfrytëzuar mbledhjen e vektorëve. 

• Të nxirrni dhe të zbatoni rregulla për zbritjen e vektorëve. 

70



Metoda: 


Kujto 


shpjeguese 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI-Bisedojmë. Jep edhe ti mendimin tënd.! 

-Si zbriten dy numra me shenjë? 

-Zbrit duke mbledhur të parin me të kundërtin e dytë. 

7 – 9 = 7 + (-9) = - 2 

-Cili është i kundërti i vektorit b r ? ( −b 

r 

) 

-Vizatoni dy vektorët a r dhe b r (figura 1). 

*Si vizatohet vektori −b 

r ? 

REALIZIMI: Shpjegojmë. Për të zbritur dy vektorët a r dhe b r , bëjmë mbledhjen e 

vektorit a r me të kundërtin e vektorit b r r r r r 

. d.m.th. a− b= a+ ( −b) 

-Vështroni figurën 2 dhe 3 në libër. 

-Përgjithësisht për të zbritur dy vektorë janë dy rregulla: 

a)Në se dy vektorët kanë eksteremitet të njëjtë, atëhere vektori diferencë ka 

orgjinë, orgjinën e vektorit të parë dhe ekstremitet në orgjinën e vektorit të dytë. 

uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur 

–Punojmë shëmbuj : KL− PL = KP MQ− KQ = MK 

b)Në se dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë, atëhere vektori diferencë ka ekstremitet 

të ekstremitetit i vektorit parë dhe orgjinë në ekstremitet e vektorit të dytë. 

uuur 

Shëmbuj: KL − uuuur 

KM = 

uuur uuur uuuur uuuur 

ML PQ − PM = MQ 

Të punojmë ushtrimet në libër. 


Në ushtrimin 1 kemi: 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

AE− DE = AD AO− AC = CO AF − DF = AD BD− ED = BE 

Në këto ushtrime duhet theksuar për çdo rast dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë, 

apo ekstrmitet të njëjtë dhe zbatohen rregullat respektive. 

Në 

uuur 

problemin 

uuur uuur 

3 .Vështroni figurën 6. 

AB− AD = DB ( të dy vektorët kanë orgjinë të njëjtë) etj. 

Nxënësit duke ecur sipas kësaj mënyre duhet të japin përgjigje ushtrimeve rast pas 

rasti. 

Deklarohet përgjigja në një atmosfera kritike. 

Mësuesi të vëzhgojë. urdhërojë, të ndihmojë nxënës me punë të diferencuar. 


Detyra shtëpie. Ushtrimet 2/ 4/ 5. 

71

VI.4. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E DISA VEKTORËVE. 


• Të kthejnë diferencën e vektorëve në shumë vektorësh. 

• Të kryejnë veprime me më shumë se dy vektorë. 

• Të zgjidhin situata të thjeshta problemore. 


Metoda: 


Kujto 

Jep edhe ti mendimin tënd. 

Shpjeguese 


Puno me grupe 

dyshe 



-Si mblidhen dy vektorë sipas rregullit të trekëndëshit? 

-Si do të mblidhen tre vektorë? (Le ta thonë mendimin e tyre nxënës të 

ndryshëm). 

r rr 

-Vizatoni në fletore tre vektorë abc , , sipas dëshirës. (mundësisht me ngjyra të 

ndryshme). 

Vizaton edhe mësuesi në dërrasë tre vektorë. 

REALIZIMI: Shpjegojmë se për të mbledhur kët vektorë ndiqet kjo radhë pune: 

-Merrni një pikë D në fletore (dërrasë) të çfardoshme. 

-Cili zhvendos vektorin a r në pikën D ? (sipas rregullit të trekëndëshit). 

-Zhvendosni edhe vektorin b r uuur r 

me orgjinë në ekstremitetin e vektorit DE = a pra 

uuur r 

EF = b 

uuur r uuur 

-Në ekstrmitetin e EF zhvendosim c = FP 

uuur r r r 

Vektori shumë është vektori DP = a+ b+ 

c (me orgjinë në orgjinën e vektorit 

parë dhe ekstremitet në ekstrmitetin e vektorit c r 

Shpesh jepet disa vektorë që ka edhe zbritje. Për të mbledhur zbritjet i 

kthejmë me vektorë shumë dhe i rendisim. 

uuur uuur uuur uuur 

Shëmbull: uuur DE + uuur FK −uuur PK − uuur FE = uuur 

DE + EF + FK + KP = DP 

REFLEKTIMI: Punojmë shëmbujt dhe ushtrimet 1 dhe 4. 

Në ushtrimin 1 duhet bërë renditja e duhur. 

uuur uuur uuur uuur uuur 

AB+ BC+ CA+ CD = AD (këtu renditja është dhënë në ushtrim) 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

CA + BC + AB = AB + BC + CA = 0 (duhet kryer renditja) 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

AC + CD + BA + DB = AC + CD + DB + BA = AD + DB + BA = 

( ) 0 

Në ushtrimin 4 zbritja duhet kthyer në mbledhje me të kundërtin e vektorit. 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

AD−CD− EC = AD+ DC+ CE = AE 

72

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 

DA −FA − DE + FE = DA + AF + FE + ED = 

0 

Të deklarohet përgjigja e ushtrimeve nga ana e nxënësve. 

a r Këtu marrin pjesë gjallërisht të gjithë nxënësit. 


Detyra shtëpie 2 dhe problemi 3. 

VI.5. SHUMËZIMI I VEKTORIT ME NJË NUMËR REAL. 


• Të kryeni veprimin e shumëzimit të vektorit me një numër real. 

• Të pjestoni dy vektorë me drejtim të njëjtë. 

• Të zbatoni shumëzimin e vektorit me një numër real në situata problemore. 


Metoda: 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 



-Vizatoni në fletore vektorin a r (të çfardoshëm). 

Mësuesi e vizaton vektorin a r në dërrasë të zezë. 

-Si mendoni se duhet vizatuar vektori 2⋅ a 

r ? 

-Vizatoni vektorin 2⋅ a 

r 

-Me orgjinë në pikën E vizatojmë në atë drejtëz vektorin 2⋅ a 

r uuur 

dhe kemi EF 

uuur r uuur r 

dhe FD = a 

ED = 2a 

REALIZIMI: Prodhimi i një vektori ( a r 

) 

që të plotësojë kushtet: 

1) Vektori a r dhe b r kanë drejtim të njëjtë. 

2) Vektori a r dhe b r kanë kahe të njëjtë nëse k > 0 dhe kahe të kundërta nëse k < 

0. 

3) Gjatësia e vektorëve a r dhe b r r r 

plotësojnë b = k⋅ 

a 

Vështroni figurat 1 dhe 2 në libër. a r 

Punojmë shëmbullin e dhënë në libër. 

Duhet të themi se shenja e koeficinetit k varet nga kahet e vektorëve a r dhe b r 

k > 0 vektorët kanë kahe të njëjtë dhe k < 0 vektorët kanë kahe të kundërt. 

73 

r 

= a 

me një numër real (K) quhet vektori b r i tillë


Për ushtrimi 2 duhet të bëjnë vizatimin e vektorit a r me gjatësi 3cm (me kahe e 

drejtim sipas dëshirës). 

r r r 

Pas kësaj të vizatojnë vektorët b= 

2a 

⇒ b = 6cm 

etj. 

r ur r 

Në problemin 5 duhet që çdo nxënës të vizatojë vektorët ab ; ; c të çfardoshëm. 

r r r r r r 

Vizato shumat 1) a+ 2b+ 

3c 

apo a− 3b+ 

2c 

Mësuesi vrojton, udhëzon dhe diku ndihmon për të bërë vizatimet e duhura. 


Të jepen detyra: 3/ dhe problemi 7. 

VI.6. ZBATIME TË VEPRIMEVE ME VEKTORË. 


• Të zbatoni veprimet me vektorë në situata problemore. 

Mjetet: lteksti, vizore. 

Metoda: 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 



C’dini për vijën e mesme të trekëndëshit? 

-Vizatoni një trekëndësh ΔABC. (si në figurën 1). 

Mësuesi e vizaton këtë figurë në dërrasë. Cila është e dhënë? 

(Pika E dhe F mesi respektivë 

uuur 

i brinjëve 

uuur 

AB dhe AC). 

REALIZIMI: Shkruani si gjendet EF = EA+ 

AF 

uuur 1 uuur uuur 1 uuur 

EA= 

BA dhe AF = BC 

2 

2 

uuur 1uuur 1 uuur 1uuur 

Zëvendësoni! Dhe kemi EF = BA+ AC = BC 

2 2 2 

uuur 1 uuur 

Çdo të thotë që EF = BC 

2 

a) Vija e mesme është sa gjysma e brinjës BC dhe 

uuur uuur 

b) Vektorët EF dhe BC janë bashkëvijorë që do të thotë EF II BC 

Të punohen shëmbulli në fund të mësimit. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 1 . 

Pikat E dhe F janë meset e brinjëve 

uuur uuur uuur uuur 

EF = ED− DC+ 

CF 

74

uuur 1 uuur uuur 1 uuur 

ED = AD CF = CB 

2 

2 

uuur 1 uuur 1uuur uuur 1uuur 2ur 

EF = AD+ DL+ DC = AL+ D = 

2 2 2 2 

= 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 

AL+ DC+ LB = ( DC+ 

AB) 

Bën sqarimet 

2 2 2 2 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe për të dhënë përgjigjë problemit, mësuesit i 

krijohet hapësirë e nevojshme për të bërë punë të diferencuar me nxënës të veçantë.. 

Bëhet deklarata e zgjidhjes së ushtrimeve. 


Detyra shtëpie . Problema 3/ 4 

VI.7. KOORDINATAT E PIKËS DHE VEKTORIT NË BOSHTIN 

KOORDINATIV. 


• Të dalloni koordinatat e pikës nga ato të vektorit. 

• Të gjeni koordinatat e pikës nga ato të vektorit në boshtin koordinativ. 



Metoda: 


Kujto 

Diskutimi 

Jep mendimin tënd. Punë e drejtuar 


EvVOKIMI: -E bisedojmë. 

-Vektori me gjatësi 1 njësi quhet vektori njësi. 

-Si e shënojmë vektorin një njësi? 

-Vizatojmë një drejtëz (d) dhe një vektor një njësi. 

Puno me grupe 

dyshe 

uuuur r 

-Vizatoni një vektor OM = 4⋅c 

(në boshtin numerik) 

uuuur r 

REALIZIMI: Kordinata e pikës A(3) ⇒ OM = 3c 

(kjo është djathtas) 

uuur r 

Kordinata e pikës B(-4) ⇒ OB = −4c 

(ky vektor ka kahe majtas) 

uuur uuur uuur uuur uuur 

Gjeni shumën OA + AB = OB ⇒ AB = OB uuur −OA 

uuur r r r 

AB = x2i− x1i = ( x2 −xi 

) i 

Të punohet shëmbulli: Jepen pikat A(3) B(-2) C(-5) 

uuur uuur 

Gjeni kordinatat e vektorëve AB dhe BC . 

uuur 

uuur r 

AB ( xB 

− xA) = ( −2− 3) 

=−5 

AB = ( − 5) 

=−5i 

uuur 

uuur r 

BC = x − x = −5−− 2 = −3 

BC − 3 =−3i 

( ) ( ) 

C 

B 

( ) 


Ushtrimi (1) është krejt i ngjashëm me shëmbullin e zgjidhur më lart. 

Për ushtrimin (3) duhet të ecet në këtë rrugë: 

a) Gjejmë kordinatat e vektorëve. 

75

) Ti shprehni më anën e vektorit njësi. 

c) Të gjendet raporti i vektorëve. 

uuur 

uuur r 

Si shëmbull: AB = ( xB 

− xA) = ( 5− 10) 

=−5 

AB = −5i 

uuur 

uur 

BC = ( xC 

− xB) = ( −4− 5) 

=−9 

bc = −9i 

uuur uuur r 5 

AB: BC =−5 i: − 9i = i 

9 

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe për të dhënë përgjigje pyetjeve të 

ushtrimeve, mësuesit ka hapsirën e duhur për të bërë punë të difërëncuar me nxënës që 

kanë nevojë. 

Deklarohet përgjigja. 


Të jepen detyra: Problemat 2 dhe 4/ 5 

VI.8. KOORDINATAT E PIKËS DHE VEKTORIT NË PLANIN KARTEZIAN. 


• Të dalloni koordinatat e pikës nga ato të vektorit. 

• Të gjeni koordinatat e pikës nga ato të vektorit në planin kartezian. 

• Të zgjidhni situata të thjeshhta problemore. 


Metoda: 


Kujto 


Shpjegimi 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: -Thuaje mendimin tënd! 

-Vizatoni dy boshte kordinativ. 

Mësuesi vizaton në dërrasë një plan kortezian). 

-Vizatoni një rrezevektor si OM 

uuuur uuuur ⎛ x ⎞ 

(figura 2) OM ⎜ ⎟ 

⎝ y ⎠ 

Sa janë kordinatat e pikës orgjinë ? 0 (0:0) 

Sa janë kordinatat e pikës në boshtin e abshisave? (x : 0) 

Kordinatat e pikës në boshtin e ordinatave? (0 : y) 

REALIZIMI: Për të gjetur kordinatat e një vektori në planin kordinativ, veprohet 

kështu: 

Jepen dy pikat A(x 1 : y 1 ) B (x 2 : y 2 ) 

uuur x2 x 

AB 

⎛ − 

1 ⎞ 

uuur ⎛ x ⎞ 

= ⎜y2 − y ⎟ AB = ⎜ ⎟ ku x = x 

⎝ 1⎠ 

⎝ y 

2 – x 1 dhe y = y 2 – y 1 

⎠ 

Të punojmë ushtrimet: 

76

uuuur 

Jepet pikat M (- 2 : - 3) N (- 4; 5) . Gjeni MN = ? 

uuuur xN 

x 

MN 

⎛ − 

M ⎞ −4−−2 − 4+ 2 −2 

uuuur 

= ⎜ = 

y ( 5 3 ) = ( 5 3 ) = ( 8 ) 

N 

− y ⎟ 

MN = 

⎝ M ⎠ −− + 

−2 

( 8 ) 

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet 2. 

uuur r 

uuur r r 

OA = 2i + 3j 

⇒ A (2 : 3) OB = − 2i + 4j 

uuur r r 

uuur r r 

OC = i −5 

j C ( 1: - 5) OD − 3i + j 

B (- 2 : 4) 

D ( - 3: 1) 

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigjë ushtrimeve me grupe dyshe, 

mësuesi vrojton, udhëzon, ndihmon nxënës me punë të diferencuar. 

Deklarohet përgjigje nga nxënës nën atmosferën kritike. 


Detyra shtëpie . Problema 1 dhe 3 

VI.9. VEPRIME ME VEKTORË NË PLANIN KARTEZIAN. 


• Të dalloni vektorët e barabartë. 

• Të mbledhni apo zbritni vektorë me ndihmën e koordinatave. 

• Të shumëzoni vektorë me numër me ndihmën e koordinatave. 


Metoda: 


Kujto 


Diskuto 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: C’mendime keni” 

Kur dy vektorë janë të barabartë? 

Jepni dy vektorë me kordinata të barabarta? 

uuur uuur 

A janë vektorë të barabartë AB dhe BC ? Nëse 

A ( - 2: 5) b ( 3: - 1) C ( 8 : - 7) 

uuur uuur 

Gjeni kordinatat e vektorëve AB 

dhe BC 

. 

uuur xB 

x 

AB 

⎛ − 

A ⎞ 3+ 

2 5 

uuur 

= = = 

5 

uuur uuur 

⎜yB 

− y ⎟ 

AB = 

⎝ A⎠ 

−1−5 −6 

( −6 

) AB = BC 

uuur xC 

x 

BC 

⎛ − 

B ⎞ 8− 

3 5 

uuur 

= ⎜ = 

y ( 7 1) = ( 6) 

C 

− y ⎟ 

BC = 

5 

⎝ B⎠ 

− + − 

( −6 

) 

Të sqarojmë rastin kur jepen kordinatat e vektorit dhe pikës ekstremitet. Si 

gjenden kordinatat e pikës orgjinë? 

E sqarojmë me shëmbullin e librit: 

uuur 

CD = 

3 

2 dhe D ( 5 ; -3) ; të gjenden kordinatat e pikës C? 

Jepen ( ) 

77

Shkruajmë: xC 

= xD 

− x 

xC 

5− 3= 2 x 

c 

= 2 

yC 

= yD 

− y y 

C 

= −3− 2=− 5 Y 

c 

= − 5 

C = ( 2 : - 5) 

Për të mbledhur dy vektorë në planin kordinativ veprohet kështu: 

ur 

C 

−2 

ur 

= ( 3 ) d = 

−4 

( − 5) 

ur ur 

C+ d = 

−2 4 6 

( 3 ) = 

− − 

( 5) = 

− ( −2) 

r ur 

Përgjithësisht: 

xc x 

c d 

⎛ + 

d ⎞ 

r ur x 

+ 

c 

− cd 

=⎜yc 

+ y ⎟ c− d 

⎛ ⎞ 

=⎜ 

⎝ D⎠ 

yc 

− y ⎟ 

⎝ D⎠ 

Në rastet kur kemi për të shumëzuar një vektor me një numër: k = 2 dhe 

uuur 

x 

uuur 

CD = 

x kx 

( ) = k ⋅ CD = k ⋅ 

y ( y) = ( xy) 

Të punojmë ushtrimet (shëmbujt e librit). 


Problemi 1: Jepen pikat u ( 4 : 7) n (7 : 9) p (1 ; 5) 

uuuur 

Si janë vektorët MN 

uuuur 

dhe PM 

uuuur x 

Gjejmë vektorët 

N 

x 

MN 

⎛ − 

m ⎞ 7− 

4 3 

uuuur 

= ⎜ = 

y ( 9 7) = ( 2) 

N 

− y ⎟ 

MM = 

3 

⎝ m⎠ 

− 

( 2 ) 

uuuur ⎛xM 

− xP 

⎞ 

PM 

4−1 3 

uuuur 

= ⎜y 

( 7 5) ( 2) 

M 

− y ⎟= = 

PM = 

3 

⎝ 

p⎠ 

− 

( 2 ) 

uuuur uuuur 

Kjo tregon se MN = PM (bashkëvizoje). 

Për problemi 4: 

uuur 

Jepet EF = 

0 

( −5 ) dhe E ( 3: 7). Gjeni kordinatat e F (_______). 

X F = X + X E = 0 + 3 = 3 Y F =Y + Y E = - 5 + 2 = 2 F ( 3; 2) 

Nxënësit pasi punojnë me grupe dyshe bëhen gati për të deklaruar përgjigjen (nën 

një atmosferë kritike). 


Detyra shtëpie. Problemi 3/ 6/ 7. 

VI.10. VEPRIME ME VEKTORË NË PLANIN KARTEZIAN (vazhdim). 


• Të dalloni vektorët e barabartë. 

• Të mbledhni apo zbritni vektorë me ndihmën e koordinatave. 

• Të shumëzoni vektorë me numër me ndihmën e koordinatave. 

78


Metoda: 


Kujto 

Thuaje mendimin tënd. 

Shpjego 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: -Thuaje mendimin . 

-Kur dy vektorë janë bashkëvijorë? 

-Nëse dy vektorë a r dhe ur r r 

B janë bashkëvijorë atëhere a është e vërtetë që b = ka ? 

r 

r b 

k = r ? 

a 

Kjo do të thotë se kur kordinatat janë përpjestimore ato, vektorët janë bashkëvijorë. 

Të punojmë shëmbullin e dhënë. 

uuur uuur 

Jepen katër pika dhe gjenden kordinatat e vektorëve AB dhe CD ( shiko në libër) 

uuur xB 

− xA 

AB = 

⎛ ⎞ 3−1 2 

⎜ = 

y ( 6 4) = ( 5) 

B 

− y ⎟ 

⎝ A⎠ 

− − − 

uuur xD 

x 

CD 

⎛ − 

c ⎞ 6− 

2 4 xCD 

4 YCD 

−10 

= ⎜ = 

y ( 6 4) = ( 10) 

D 

− y ⎟ 

⎝ c⎠ 

− − − ⇒ = = 2 dhe = = 2 

xAB 

2 YAB 

−5 

Kjo tregon se vektorët janë bashkëvijorë. 

Për te gjetur gjatësinë e segmentit me planin kortezian përdoret formula: 

uuur 

2 2 

AB − x − x + y − y , ndërsa për të gjetur mesin e një segmenti kordinatat e tij 

( ) ( ) 

2 1 2 1 

X 

B 

− X 

A 

YB 

−YA 

përdoren formulat X 

M 

= 

YM 

= 

2 

2 

Të punohen ushtrimet që janë zhvilluar edhe në libër. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 3 dhe 8. 

Problemi 3: Janë dhënë kordinatat e pikave, gjeni largësinë midis pikave. 

Për të zgjidhur problemin ndiqqet rruga: Zbatohet formula: 

( ) ( ) ( ) ( ) 

2 2 2 2 

E D E A 

DE = x − x + Y − Y = −2− 1 + 2+ 3 = 9+ 25 = 34 

Kështu veprohet edhe për segmented e tjera. 

Për të zgjidhur problemin 8, zbatohen formulat për gjetjen e mesit të segmenteve. 

XP 

+ X 

1 P 3+ 

5 

− 4+ 

4 

2 

P 1 ( 3 : - 4) P 2 ( 5 ; 4) X 

M 

= = = 4 Y M 

= = 0 

2 2 

2 

atëhere pika u 1 (mesi i segmentit P 1 P 2 ) ka kordinata M (4 : 0). 

Mësuesit gjatë kohës që nxënësit bëjnë gati deklarimin e përgjigjes (duke i 

diskutuar me grupe dyshe) , ndihmon dhe punon me mënyrë të diferencuar me nxënës të 

veçantë. 



Detyra shtëpie. Problemi 3/ 5/ 7/ 11. 

79

VI.11. PASQYRIMET GJEOMETRIKE. IZOMETRIA. 


• Të vlerësoni pasqyrimet gjeometrike. 

• Të dalloni pasqyrimet gjeometrike izometrike nga ato jo izometrike. 


Mjetet: teksti, vizore . 

Metoda: 


Kujto 


Shpjego 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: -Thuaje mendimin tënd . 

-Vështroni (figurën 1) në libër. 

Ç’farë shihni në këtë figurë? 

Ç’janë pikat A dhe A 1 ? (A 1 është këmba e pingules) 

Ç’është pasqyrimi? 

Veproni edhe për pikat e tjera. 

REALIZIMI: Vizatoni një rreth dhe një diametër të tij. 

Merrni një pikë çfardo të rrethit. 

Vizatoni këmbën e pingules të kësaj pike mbi diametrin. 

Si shkruhet simbolikisht pasqyrimi i një pike? 

P 

( M ⎯⎯→ M1 

) -C’është fytyra? –ç’është pasqyrimi? 

Kur pasqyrimi ruan përmasat sa ato të fytyrës, atëhere pasqyrimi quhet izometri. 

Izometria ka këto veti: 

-Segmenti pasqyrohet në segment kongruent. 

-Drejtëza pasqyrohet ne drejtëz. 

-Këndi pasqyrohet në kënd kongruent. 

Rrethi pasqyrohet në rreth në po atë rreze. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 2.. 

Për të zgjidhur këtë problem, vizatoni figurën. 

Çdo pikë e katrorit të pasqyrohet tek pika, këmba e pingules mbi diagonalen AC. 

Merrni një pikë E mbi brinjët e katrorit. 

Nga pika E hiqni pingulen mbi AC. 

Kështu veproni edhe për pikat K; M; L 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe. 


Të bëhet vlerësohet . 

Detyra shtëpie Problemat 3/ 4/ 8/ . 

80

VI.12. SIMETRIA QENDRORE. 


• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë qendrore. 

• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë qendrore në planin kartezian. 

• Të zbatoni simetrinë qendrore në zgjidhjen e situatave problemore. 

Mjetet: teksti,vizore . 

Metoda: 


Kujto 


Shpjego 



81 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI-Thuaje mendimin tënd . 

-Merrni një pikë u dhe një pikë O. 

Bashkoni pikat u dhe O, zgjatni përtej O deri në pikën M 1 që MO ≡ OM 1 . 

Ç’quhet pika M? Po pika M 1 ? –Si shkruhet simbolikisht? 

A është izometri ky shndrrim? 

REALIZIMI: Vizatoni një segment AB dhe një pikë O. 

Vështro figurën 1 në libër. 

Gjeni simetrikun e pikave A dhe të pikës B në lidhje me O. 

Krahasoni ΔABO dhe ΔA 1 B 1 O. 

Nxënësit të përcaktojnë segmentet kongruentë. 

AO ≡ OA 1 BO ≡ OB 1 O1 = O2 

Δ ABO ≡ Δ A 1 B 1 O 1 

Kjo do të thotë që shndrrimi është izometri. 

Duhet theksuar se si shkruhen simbolikisht këto shndrrime. 

S O 

S 

A ⎯⎯→ A 

O 

S 

1 

B ⎯⎯→ B1 

AB⎯⎯→ 

o 

AB 

1 1 

Të thuhen përfundimet dhe të bëhen edhe shndrrimet me planin kortezian. Të punohen 

ushtrimet në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemi 2 dhe 5. 

Për zgjidhjen e problemit 2, përgatitet vizatimi i të dhënave. 

M1M 

2 

Vërteto që M 1 M 2 I I AB dhe AB = 

2 

A 

Meqë M1 

⎯⎯→ M AM 1 = AM 

M 2 →M 2 BM 2 = BM 

Pikat A dhe B janë meset e segmenteve MM 1 dhe MM 2 . Pra AB është vijë e mesme e 

ΔMM 1 M 2 . 

Vija e mesme e trekëndëshit është paralel me bazën AB II M 1 M 2 .dhe sa gjysma e M 1 M 2 

M1M 

2 

⇒ AB = 

2 

Të punojmë problemin 5. 

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe për të zgjidhur problemat,mësuesi 

punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant.

Deklarohet përgjigja e problemave. 


Detyra shtëpie. Problemat 1/ 4/ 5/ . 

VI.13. SIMETRIA BOSHTORE. 


• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas simetrisë boshtore. 

• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas boshteve koordinativ. 

• Të zbatoni simetrinë boshtore në zgjidhjen e situatave problemore. 

Mjetet: teksti,vizore , tabelë. 

Metoda: 


Kujto 


Shpjego 

Diskuto 



82 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: -Shprehu edhe ti! 

-Vizatoni një segment AB dhe boshtin e simetrisë? 

Merrni një pikë (A) dhe një drejtëz (d) në fletore. 

(Mësuesi vizaton figurën në dërrasë). 

Nga pika A heqim pingulen me drejtëz (d) dhe e zgjatim për tej (d). 

Matim AO = OA. 

Pika A 1 është simetrike e pikës A ne lidhje me d. 

Shkruhet A ⎯⎯→ 

d A1 

REALIZIMI: Të vërtetojmë që simetria boshtore është izometri. 

Vizatojmë trekëndëshin ABC dhe drejtëzën (d). (si në figurën 1) 

Ndërtojmë simetrikun e çdo kulmi të trekëndëshit. 

d 

d 

d 

A ⎯⎯→ A1 

B ⎯⎯→ B1 

C ⎯⎯→ C1 

Krahasoni Δ ABC dhe Δ A 1 B 1 C 1 → trekëndësha kënd drejtë. 

AE ≡ EA 1 BD ≡ DB 1 

BC = B 1 D dhe AC ≡ A 1 D Δ ABC ≡ Δ A 1 B 1 D AB ≡ A 1 B 1 

Të theksojmë vetitë që ka simetria boshtore dhe simetria ne lidhje me boshtet 

kordinative. 

REFLEKTIMI: Të punohet problema 2. 

Për të ndërtuar figurën simetrike të figurës 6/a; 6/b dhe 6/c, mjafton që të 

ndëetojmë simetrikun e çdo kulmi në lidhje me drejtëzën dhe bashkimin e pikave në 

mënyrë të njëpasnjëshme. 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe për përgatitjen e përgjigjes së problemit, ndërsa 

mësuesi ndihmon, udhëzon me mënyrë të diferencuar nxënës të veçantt. 

Deklarohet përgjigja nënsituatë kritike klasa . 

Të bëhet vlerësimi .

Detyra shtëpie. Problemi 4/ 7/ 8 . 

VI.14. ZHVENDOSJA PARALELE. 


• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas zhvendosjes paralele. 

• Të tregoni që zhvendosja paralele është izometri. 

• Të zbatoni zhvendosjen paralele në zgjidhjen e situatave problemore. 

Mjetet: teksti, vizore . 

Metoda: 


Kujto 


EVOKIMI: -A ju kujtohet? 

Ç’është zhvendosja paralele? 

Ç’është vektori? 

Shpjego 



u 

⎯⎯→ 

Si shkruhet në mënyrë simbolike? ( u⎯⎯⎯→ 

u1 

) 

m 

83 

Puno me grupe 

dyshe 

⎯⎯→ 

Si lexohet shënimi ? A ⎯⎯⎯→ B 

REALIZIMI: Zhvendosja paralele është izometri. 

Merrni dy pika A dhe B në fletore (figura 1) dhe vektorin u r 

E vizatojmë figurën edhe në dërrasë. 

uuur r uuur 

Marrim pikën A 1 të tillë AA1 

= u dhe BB1 

= u 

Katërkëndëshi AA 1 B 1 B është parallelogram AA 1 ≡ BB 1 dhe AA 1 II BB 1 

Nga kjo rrjedh se AB = A 1 B 1 (pra zhvendosja është izometri) 

Të punojmë problemin që ka të bëjë me zhvendosjen e trapezit ABCD dhe 

vektorit u r . 

Për të gjetur shembullimin e një shumëkëndëshi çfardo, mjafton të gjejmë 

shembullimin e çdo kulmi të shumëkëndëshit dhe i bashkojmë kulmet e përftuar. 

r 

Në rastin kur zhvendosim në planin kortezian sipas vektorit u ⋅ 

a 

( b ) . 

Zhvendosim çdo pikë të kulmit të shumëkëndëshit duke gjetur në fillim kordinatat e 

shembëllimit. 

Të punojmë shembullin e zgjidhur ne libër. 

REFLEKTIMI: Punojmë problemin 2. 

Ndjekim këtë rrugë: 

a) Vizatojmë rombin ABCD dhe vektorin u r . 

Ndërsa nxënësit vizatojnë zhvendosjen paralele të rombit sipas vektorit u r , mësuesi 

shikon, udhëzon, ndihmon në mënyrë të diferencuar nxënës të vecant. 

Deklarohet përgjigja në një atmosferë kritike.



VI.15. RROTULLIMI. 


• Të ndërtoni shëmbëllimin e një figure sipas një rrotullimi të dhënë. 

• Të tregoni që rrotullimi është izometri. 

• Të zbatoni rrotullimin në zgjidhjen e situatave problemore. 

Mjetet: teksti, raportor, kompas, mjete kartoni ku demostrohet rrotullimi i figurës. (F). 

Metoda: 


Kujto 


Diskutimi 


Puno me grupe dyshe 


EVOKIMI: C’është këndi? Po këndi i orjentuar? 

Vështroni figurën 1/ a dhe 1/b. 

Cila është brinja fillestare? Po brinja sekondare? 

Për të bërë rrotullimin e një figurë duhen tri koncepte: 

a) Pika (O) qëndra e rrotullimit. 

b) Këndi i rrotullimit (pozitiv, me drejtim kundër orar dhe negativ në drejtimin 

orar). 

c) Kahu i rrotullimit. 

REALIZIMI: Merrni një pikë (M) çfardo dhe një pikë (O). 

Rrotullo pikën M rreth pikës O me kënd (-60 o ). 

a) Bashkojmë qëndrën O me pikën M. 

b) Në pikën O ndërtojmë këndin me kahun orar 60 o . 

c) Në brinjën e këndit matim OM 1 ≡ OM. 

0 

0; −60 

M ⎯⎯⎯→ M 1 

Të vërtetojmë se rrotullimi është izometri. 

Për këtë vështrojmë figurën 2 dhe krahasojmë trekëndëshat, Δ ABO dhe Δ A 1 B 1 O. Këta 

dy trekëndësha janë kongruentë sepse OA ≡ OA 1 ; OB ≡ OB 1 dhe AOB ≡ AOB 

1 

. Kjo sjell 

AB ≡ A 1 B 1 . 

Kjo do të thotë se rrotullimi është izometri. 

Punojmë shëmbujt në libër. 

REFLEKTIMI: Të punojmë problemin 2 dhe 6. 

Problemi 3 është i ngjashëm me shëmbujt në libër. 

Problemi 6, 

Në një plan kortezian ndërton pikat A(- 1; 2) B(1 ; 2) c (2; -3) 

Rrotullo pikat R ( 0; + 180) 

84

( 0;180) 

R 

A ( - 1 ; 2) ⎯⎯⎯⎯→ A 1 (- 1 ; - 2) 

0 

R( ) 

B ( 1 ; 2) ⎯⎯⎯⎯→ 0;180 

B 1 ( 1’ – 2) 

0 

R( ) 

C ( 2 ; - 3) ⎯⎯⎯⎯→ 0;180 

C 1 ( 2 ; 3) 

Të deklarohet përgjigja e zgjidhjes së problemit me një atmosferë kritike. 



KREU VII 

SHPREHJET SHKRONJORE. SHNDËRRIMI I TYRE. 

VII.1. FAKTORIZIMI I POLINOMEVE. 


• Të kryeni faktorizime duke nxjerrë në dukje faktorin e përbashkët. 

• Të kryeni faktorizime duke grupuar kufizat. 

• Të faktorizoni shprehje duke zbatuar formula të algjebrës. 

Mjetet: libri i matematikës 9 . 

Metoda: 


Kujto 

Thuaj mendimin tënd. 

Diskutimi 



85 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: -C’kuptojmë me faktorizim? 

Faktorizo 3a – 3b = ? 

Sa faktorë ka 3 . (a – b) ? 

Cilët janë faktorët? ( 3 dhe (a - b)) . 

Faktorizo ose nxirr në dukje faktorin e përbashkët: 

8x 2 y 2 – 12xy 2 = 4xy 2 (2x – 3y) 

Cilët janë koefiçentët e kufizave? 

Cila pjesë shkronjore është e njëjtë në të dy kufizat? 

REALIZIMI: Ka shumë mënyra të tjera që një shprehje ta kthejmë në prodhim 

faktorësh. (shprehja me kllapa quhet një faktor). 

Faktorizojmë grupe. 

2ab 2 – 8b 2 +a – 4 = (2ab 2 – 8b 2 ) + (a – 4) 

=2b 2 (a – 4) + ( a –4)

= (a – 4) (2b 2 + 1) 

Të faktorizosh një shprehje duhet ta kthesh në prodhim faktorësh. –Cilët janë faktorët në 

rastin e mësipërm. 

Faktorizo: a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ) 

Provo që kjo formulë është e vërtetë (duke shndrruar anën e djathtë). 

Po kështu mund të provosh që a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 3 ) 

Punojmë shëmbullin e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Punojmë nga grupi I/ 4 / 14; grupi II 7 / 11 dhe grupi III 9. 

Për grupin e parë është si nxjerrja në dukje e faktorit_________. 

36x – 18x 2 = 18x (2 – x) 2y 2 – 10 = 2(y 2 – 5) = 2( y − 5)( y + 5) 

Grupi II. 100 c 2 – 49d 2 = (10c – 7d) (10c + 7d). 

8n 2 – 18 = 2 (4n 2 – 9) = 2 (2n – 3) (2n + 3). 

Për grupin III, 

x 3 – 4x + x 2 y – 4y = x ( x 2 – 4) + y ( x 2 – 4) = ( x 2 – 4) ( x + y) = ( x – 2) ( x + 2) (x + y) 

Mësuesi punon me mënyrë të diferencuar me nxënës të caktuar. 

Deklarohet përgjigja duke krijuar atmosferë diskutuese. 

Të bëhet vlerësimi, 

Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi I 1/ 2/ 4/ 6/ 8/ 10 

Grupi II 3/ 5/ 7/ 9 

Grupi III 3/ 4/ 5/ 6 

VII.2. FAKTORIZIMI I TRINOMIT ax 2 + bx + c. 


• Të faktorizoni trinome të formës x 2 + bx + c. 

• Të faktorizoni trinome të formës ax 2 + bx + c. 


Metoda: 


Kujto 

Thuaj mendimin tënd. 

Diskuto 



86 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: - Kujto! Sa kufiza ka trinomi x 2 + bx + c ? 

Çdo të thotë ta faktorizosh këtë trinom? 

Që ta Faktorizosh do të thotë ta kthesh në formën e shprehjes apo prodhimit 

(x + m) (x + n), atëhere: 

(x + m) (x + n) = x 2 + mx +nx + mn 

= x 2 + (m + n)x +mn 

Kjo do të thotë se b = m + n dhe c = m . n 

REALIZIMI: Për të bërë faktorizim e kësaj forme duhet të ndjekim këtë ecuri: 

-Nxirret faktori i përbashkët në se ka.

-Gjendet faktorët që m + n = b dhe m . n = c 

-Ndahet kufiza e mesit d.m.th bx = ( m + n)x. 

Faktorizo me grupe. 

Shëmbull : Faktorizo trinomin x 2 - 10x + 16 

b = - 10 C = 16 

m . n m + n 

- 1 ;- 16 16 

- 2; -8 16 

- 4 ; - 4 -8 

Atëhere : x 2 - 10x + 16 = x 2 – 2x – 8x + 16= 

= (x 2 – 2x) – ( 8x – 16) 

= x(x – 2) – 8 (x – 2) 

= (x – 2) (x – 8) 

Po kështu edhe trinomi ax 2 + bx + c duhet që të plotësohet kushti: 

M . n = ac dhe m + n = b 

Punojmë shëmbullin e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit dytë 2x 2 + 7x + 5. 

2x 2 + 7x + 5= 2x 2 + 2x + 5x + 5 

= (2x 2 + 2x) + (5x + 5) 

= 2x (x + 1) + 5 (x + 1) 

= (x + 1) (2x + 5) 

Z 2 – 18Z – 40 ⇒ a = 1 b = -18 c = - 40 

m · n = - 40 m + n = - 18 

2; - 20 40 

Z 2 – 18Z – 40 = Z 2 + 2Z – 20Z – 40= 

=(Z 2 + 2Z) – (20Z + 40)= 

=Z (Z + Z) – 20 ( 2 + 2)= 

=(Z + 2) (2 – 20) 

Mësuesi gjatë kohës që nxënësit punojnë ushtrime të grupit 2 dhe 3, ndihmon 

nxënës me punë të diferencuar që të krijojnë zbërthime të nevojshme. 



Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi II 2/ 4/ 5/ 8/ 10 

Grupi III 3/ 4/ 5/ 6 

VII.3. SHPREHJET RACIONALE. 


• Të dalloni shprehjet racionale dhe të gjeni vlerat e tyre. 

• Të gjeni vlerat e palejueshme të shprehjeve shkronjore. 

87

• Të thjeshtoni shprehjet. 


Metoda: 


Kujto 


Diskutim 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: - Përmendim disa thyesa algjebrike. 

Ç’far kushti duhet të plotësojë një thyesë? 

2 

3x 

Si mendoni a është thyesë? Pse? 

0 

⎧ P 

Pra elementët e bashkësisë ⎨ \, p dhe Q polinome, Q ≠ 0 

⎩ Q 

Si lexohet kjo simbolikë? 

REALIZIMI: Gjeni vlerën e shprehjes 2 x − 4 për x = 3; x = 0; x = -2. 

x + 2 

Ngrejmë nxënës që të gjejnë vlerën e shprehjes. 

2x 

−4 2⋅3−4 6−4 2 

Për x = 3 

= = = 

x + 2 3+ 

2 5 5 

2⋅0−4 4 

Për x = 0 

=− =−2 

0+ 

2 2 

2⋅( −2) 

−4 −4−4 −8 

−8 

Për x = - 2 

= = Thyesa nuk ka kuptim. 

− 2+ 

2 0 0 

0 

E rëndësishme është se thyesa 2 x − 4 nuk ka kuptim për x = -2 (kjo quhet vlerë e 

x + 2 

palejushme). 

Si gjendet vlera e palejushme? 

(emëruesi = me zero dhe zgjidhet ekuacioni) 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit parë. 

2 

x + 2x−15 

2 për x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 } 

x + 6x+ 

5 

2 

( − 3) + 2⋅( −3) 

−15 9−6−15 −12 

Për x = - 3 

= = = 3 

2 

− 3 + 6⋅ 2 + 5 9− 18+ 5 −4 

Për x = -2 

Përx = - 1 

( ) ( ) 

( 

2 

) ( ) 

( 

2 

) ( ) 

( 

2 

) ( ) 

( 

2 

) ( ) 

− 2 + 2⋅ 2 −15 4 −4 −15 −15 

= = = 5 

− 2 + 6⋅ − 2 + 5 + 4− 12+ 5 −3 

− 1 + 2⋅ −1 −15 1− 2 −15 −16 

= = 

− 1 + 6⋅ − 1 + 5 1− 6+ 

5 0 

nuk ka kuptim. 

2 

x + 2x−15 

Vlerë e palejushme e shprehjes 

2 

x + 6x+ 

5 



88 

është x = -1 etj.

Detyra shtëpie: Ushtrimet: Grupi I / 3 

Grupi II / 4/ 5/ 

Grupi III /9/ 10/ 17. 

VII.4. THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE. 


• Të faktorizoni dhe të zbatoni formula në shprehje të ndryshme. 

• Të thjeshtoni shprehjet racionale. 

• Të zbatoni thjeshtimet në ushtrime të ndryshme. 


Metoda: 


Kujto 


EVOKIMI: - Thuaje mendimin tënd! 

Thjeshto shprehjen 4 6 ? 

Diskutimi 



89 

Puno me grupe 

dyshe 

Çfar bëre? (Pjestova të dy gjymtyrët e thyesës me 2). 

Cilat janë disa veti të thyesave? 

Jep shëmbuj ku zbatohen vetitë. 

5( x −1) 

x − 1 

REALIZIMI: = (Thjeshtojmë me 2). 

10 2 

3x ( ) 

Thjeshto : 

2 −2x x 3 x− 

2 3x−2 

= = (Thjeshto me x ). 

3x 

3⋅ 

x 3 

Kur thjeshtojmë me shprehje shkronjore atëhere është e nevojshme që të 

vendosim kushtin që shprehja nuk duhet të marri vlerën 0. 

Në rastin e mësipërm thjeshtuam me x prandaj x ≠ 0. 

Të punohen shëmbujt në libër. 

2 

x − 4 ( x−2)( x−+ 

2) 

x+ 

2 

= = me kusht që x – 2 ≠ 0 x ≠ 2 

x−4 2( x−2) 

2 

− b b b 

Të punohet shënimi për shenjën e thyesës = =− 

a −a a 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet. 

Thjeshto: 

( 2x+ 7)( x−1) 

x − 1 

= me kusht : 2x + 7 ≠ 0 x = - 3,5 

( 2x+ 3)( 2x+ 7) 

2x+ 

3 

3x−6 3( x − 2) 

x−2 

= = s’ka nevojë të vendosim kusht. 

3x 3x x 

x 

2 − 3x 

x( x− 

3 ) 

= = x kushti x – 3 ≠ 0 x = 3. 

x−3 x−3

2 

( 2x 

−1) 

( )( ) 

2 

4x − 4x+ 1 2x−1 

= = 

2 

4 −1 2 − 1 2 + 1 2 + 1 

x x x x 

kushti 2x – 1 ≠ 0 x ≠ 0,5 

Nxënësit punojnë duke u konsultuar me grupe të vogla dyshe dhe bëhen gati për 

deklarimin e përgjigjes. 


Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi I / 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18 

Grupi II/ 2/ 5/ 8/ 11 

VII.5. SHUMËZIMI OSE PJESTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE. 


• Të shumëzoni dy a më shumë shprehje racionale. 

• Të pjestoni dy a më shumë shprehje racionale. 

• Të shndërroni shprehje racionale të ndryshme. 


Metoda: 


Kujto 


Diskuto 



Puno me grupe 

dyshe 

Evokimi: - A ju kujtohet si veprojmë për të shumëzuar ose pjestuar thyesa? 

3 3⋅ 

2 6 

3 3⋅ 

4 12 3 6 12 

= = 

= = 

= = 

5 5⋅ 

2 10 5 5⋅ 

4 20 5 10 20 

24 24 :3 8 24 24 : 6 4 24 8 4 2 

Po kështu: = = 

= = 

= = = etj. 

36 36 :3 12 36 36 : 6 6 36 12 6 3 

Njëlloj veprohet edhe kur shumëzojmë apo pjestojmë me shprehje thyesore të ndryshme 

nga zero. 

Realizimi: Sqarojmë me një shëmbull. 

x x( x+ 

5) 

= 

me kusht x + 5 ≠ 0 x ≠ -5 

x−2 ( x− 2)( x+ 

5) 

5( x + 3) 

5 

= me kusht x + 3 ≠0 x ≠ -3 

( x+ 3)( x−4) 

x−4 

Për të shumëzuar dy thyesa racionale veprojmë sikur shumëzojmë dy thyesa: 

( Po kështu edhe kur pjestojmë dy thyesa) . 

4 2 4⋅ 

2 8 

4 2 4 3 12 

⋅ = = 

: = ⋅ = 

5 3 5⋅ 

3 15 

5 3 5 2 10 

Sqarojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. 

90

( )( ) 

( ) 

x − 4 x x− x+ x x x+ 

⋅ = ⋅ = 

x 2x−4 x 2( x−2) 

2 

Reflektimi: Të punojmë ushtrimet : 

3 2 

x 9 y 

2 

a) ⋅ = 3 y 

3 me kusht y ≠0 x ≠ 0 

3 y x 

2 3 3 

2 

2 2 2 

2 

5b 

4 

4 

b 

25 

2 

⋅ = 5ab 

2 3 me kusht a ≠ 0 b ≠ 0 

me kusht x ≠ 0 

a 

b) 

5b 

a 

Të punohen ushtrimet 15/ 17/ 19 tek grupi i parë dhe grupi i dytë 3/ 4/ 6/ 8 

U lihet koha e nevojshme nxënësve për të kryer veprimet e duhura dhe të bëjnë 

deklarimet e përfundimeve. 


Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi II / 8/ 9/ 10 deri 14 

x – 2 ≠0 

VII.6. MBLEDHJA OSE ZBRITJA E SHPREHJEVE RACIONALE. 


• Të mblidhni (zbrisni) dy a më shumë shprehje me emërues të njëjtë. 

• Të mblidhni (zbrisni) dy a më shumë shprehje me emërues të ndryshëm. 

• Të zbatoni mbledhjen (zbritjen) në zgjidhje ushtrimesh. 


Metoda: 


Kujto 

Jepe mendimin tënd. 

Diskutoni 



91 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: Jep mendimin tënd! 

Si mblidhen apo zbriten dy thyesa me emërues të njëjtë? 

Zbato: 4 1 2 4 + 1 − 

+ − = 2 = 

5 

9 9 9 9 9 

Si mblidhen apo zbriten dy thyesa me emërues të ndryshëm? 

3 1 3 12− 10+ 

15 17 

Zbato: − + = = 

5 2 4 20 20 

REALIZIMI: Po në të njëjtën mënyrë bëhet edhe për të kryer mbledhjen a[p zbritjen e 

dy shprehjeve racionale. 

Punojmë shëmbullin e librit. 

3y x 3y + x m p m + p ( m + p) 

1 

= = ; apo + = = = 

2 2 2 2 2 2 

5 5 5 m − p m − p m − p ( m + p)( m − p) 

m − p 

Kushti në këtë rast është m + p ≠ 0 ⇒ m ≠ - p 

Më e vështirë është kur shprehjet racionale kanë emëruesa të ndryshëm. Në këtë 

rast ndiqet kjo rrugë: 

-Gjendet emëruesi i përbashkët (faktorët e njëjtë e jo të njëjtë me fuqi më të 

madhe).

-Gjenden faktorët plotësues (pjestimi i emëruesit përbashkët me emëruesin e çdo 

thyese) 

-Kryej shumëzimet e faktorëve tek numëruesi, reduktohen dhe thjeshtohet (në se 

ka) 

Punojmë shëmbullin e fundit në libër sipas etapave në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet : 8/ 11 grupi i parë. (te shikohet ushtrimi 2) 

5x+ 4 x+ 1 5x+ 4+ x+ 1 6x+ 

5 

+ = = = 1 kushti 6x + 5 ≠ 0 x ≠ − 5 

6x+ 5 6x+ 5 6x+ 5 6x+ 

5 

6 

− 3p + 7 8p + 13 − 3p + 7+ 8p + 13 5p+ 

20 5( p + 20) 

5 

+ = = = = 

2 2 2 2 

p + 7p + 12 p + 7p + 12 p + 7p + 12 p + 7p+ 12 p+ 4 p+ 3 p + 3 

Kushti : p + 4 ≠ 0 p ≠ - 4 

Të punohen ushtrimet: 8/ 9/ 16/ 18 (grupi II). 

3 4 3( x− 4) + 4( x+ 5) 

3x− 12+ 4x+ 20 7x+ 

8 

+ = = = 

x+ 5 x− 4 x+ 5 x− 4 x+ 5 x− 4 x+ 5 x− 

4 

( )( ) ( )( ) ( )( ) 

Të punohen ushtrimet e grupit të katërt 4/ 5. 

Të deklarohet përgjigja e ushtrimeve të punuar dhe të bëhet vlerësimi. 

Detyra shtëpie. Ushtrimet: Grupi I 4/ 6/ 10 

Grupi II 10/ 13/ 14 

( )( ) 

VII.7. SHPREHJE RACIONALE KOMPLEKSE. 


• Të zbatoni radhën e kryerjes së veprimeve në shprehje të ndryshme. 

• Të thjeshtoni shprehje racionale komplekse. 

• Të shndërroni shprehje racionale komplekse. 


Metoda: 


Kujto 


Diskutimit 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: - Jep mendimin tënd! 

Cila është radha e veprimeve në një shprehje racionale komplekse? 

(Veprimet brënda kllapave nëse ka). 

(Shumëzimet , pjestimet sipas radhës në shprehje). 

Mbledhja, zbritje sipas radhës në shprehje. 

92

3 

Si shkruhet ndryshe : 5 ⎛ 3 4 3 2⎞ 

? : 

4 

⎜ = ⋅ ⎟ 

⎝5 7 5 4⎠ 

7 

Kështu veprohet edhe në shprehje racionale komplekse. 

REALIZIMI: Punojmë ushtrimet në libër. 

15 

x − 

x − 2 ⎛ x 15 ⎞ x+ 

3 ⎛ x( x−2) 

−15⎞ 

1 

= ⎜ − ⎟: 

= ⎜ 

⎟⋅ = 

x+ 3 ⎝ 1 x−2 ⎠ 1 ⎝ x−2 ⎠ 3 

2 2 

x −2x−15 1 x −15−2x ( x+ 3)( x−5) 

x−5 

= ⋅ = = = 

x− 2 x+ 3 ( x− 2)( x+ 3) 

( x− 2)( x+ 3) 

x−2 

Kushti : x ≠ -3 

Sqarojmë edhe metodën e dytë dhe pyesim nxënësit se cila I duket më e lehtë, atë 

rrugë të ndjekin. 

REFLEKTIMI: Punojmë disa ushtrime me nxënësit (duke ngritur nxënës që kemi 

besim se e kryejnë ushtrimin). 

a 

3 

2 

b a a a b 1 

= : = ⋅ = 

2 3 3 2 2 

kushti : a ≠ 0 b ≠ 0 

a b b b a ab 

b 

2 

y − 1 

2 

2 

y + 3y 

−4 

y −1 1 ( y − 1)( y + 1) 

1 

= ⋅ = = 

2 

kushti y ≠ 1 y ≠ -1 

y + 1 y + 3y − 4 y + 1 ( y − 1)( y + 4)( y + 1) 

y + 4 

Po kështu të punohen ushtrimet 6/ 9/ 12 grupi i dytë. 

y 4 

− 

m n ⎛ 4 4 ⎞ ⎛ 4 4 ⎞ 

= : 

4 4 ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ = 

+ ⎝ m n ⎠ ⎝ m n ⎠ 

m n 

Të punohet: ⎛ 4n− 4m ⎞ ⎛ 4n+ 

4m 

⎞ 

= ⎜ ⎟: 

⎜ ⎟ = 

⎝ mn ⎠ ⎝ mn ⎠ 

4 ( n− 

m) 

mn n − m 

= ⋅ = 

m⋅ 4 m + n n+ 

m 

( ) 

Kushti : m ≠ 0 n ≠ 0 

Të punohen ushtrimet 5/ 6/ 7 

Të bëhet deklarimii përgjigjeve. 


Detyra shtëpie . Ushtrimet: Grupi I 2/ 8/ 7 

Grupi II 3/ 5/ 6/ 10/ 11 

93

VII.8. VEPRIME ME SHPREHJE RACIONALE. 


• Të kryeni veprime shprehje racionale komplekse. 

• Të gjeni vlerën e shprehjes racionale komplekse. 

• Të kryeni shndërrime të njëvlershme në shprehje racionale. 


Metoda: 


Kujto 


Shpjeguar 



94 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: - Cila është radha e veprimeve në një shprehje? 

Nxënësit duhet të përgjigjen. 

-Shumëzim e pjestim sipas radhës në shprehje (thjeshto). 

-Gjendet emëruesi I përbashkët. 

-Gjenden faktorët plotësues. 

-Kryhen shumëzimet tek numëruesi. 

-Reduktohen kufizat e ngjashme tek numëruesi. 

-Zbërthehen në faktorë numëruesi (në se ka mundësi) 

-Thjeshtohen (në se ka mundësi) 

REALIZIMI: Zbato këtë radhë pune në shprehjet. 

2 

1 x − 9 

⋅ − 2x 

= 

a) Kryejmë shumëzimin 

x+ 

3 x 

2 

1 ( x− 3)( x+ 

3) 

2x 

x x 

⋅ − = 

− 9 x− 

3 

⋅ = 

x+ 

3 x 1 

x + 3 x x 

x − 3 2x 

− = b) Gjejmë emëruesin e përbashkët x 

x 1 

x −3−2x⋅x 

= c) Kryejmë shumëzimet tek _____ 

x 

2 

x −3−2x 

d) S’ka kufiza të ngjashme dhe s’ka thjeshtime. 

x 

Të punohet shëmbulli në libër. 

.REFLEKTIMI: Kryeni veprimet grupi dytë. 

2 2 

x −25 x− 5 ( x− 5)( x+ 

5) 

3x 

2 

: 3 

2 = ⋅ = x ( x + 5) 

= 3x 15x 

Kushti : x ≠ 5 dhe x 0 

x 3x x x− 

5 

3 x 2 x x 6 x − 6 x + 6 6 

− + = x = x = 

x 

30 20 10 60 60 10 

Cila është radha e punës në këtë shprehje të mëposhtëme: 

3a 

− 4 a + 2 

− = 

a)Emëruesi i përbashkët (a – 2) (3° + 1) 

a − 2 3a 

+ 1 

( 3a − 4)( 3a + 1) − ( a + 2)( a −2) 

= b) Faktor plotësues për thyesën e parë është 

( a − 2)( 3a 

+ 1) 

(3° + 1) për thyesën e dytë (a -2)

2 2 

9a + 3a −12a −4− a + 2a − 2a 

+ 4 

a 

2 

8 − 9 

( a − 2)( 3a 

+ 1) 

( a − 2)( 3a 

+ 1) 

a 

= 

c) Kryem shumëzimet tek ______ 

d) Reduktuam kufizat e ngjashme 

Të punohen ushtrimet 8/ 9/ 10 

Deklarohet përgjigja e ushtrimeve. 


Detyra shtëpie. ushtrimet Grupi II 3/ 4/ 5/ 6 

Grupi III 2/ 4/ 6/ 8 

KREU VIII 

ZGJIDHJA E EKUACIONEVE, INEKUACIONEVE 

DHE SISTEMEVE TË EKUACIONEVE 

VIII.1. EKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE. 

NJËVLERSHMËRIA E TYRE. 


• Të zbatoni teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. 

• Të zgjidhni ekuacionit duke zbatuar teoremat e njëvlershmërisë. 

• Të kryeni provën e zgjidhjes së zgjidhjes së ekuacionit. 


Metoda: 


Kujto 


Diskuto 



95 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: - Jep mendimin tënd. 

Cili quhet ekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore? 

Jep një shëmbull. 

Cila quhet rrënjë e ekuacionionit? 

Çdo të thotëtë zgjidhësh një ekuacion? 

Kur dy ekuacione quhen të njëvlershëm? 

Kemi barazimin a = b 

A prishet barazimi në se shtojmë ose u heqim të dy anëve ( c ) 

a = b ⇒ a + c = b + c apo a – c = b – c 

Jep një shëmbull. 

Nëse kemi a = b, a është e vërtetë a · c = b · c (c ≠ 0) ? 

Jep një shëmbull. Tregoni hapat e ekuacionit. 

REALIZIMI: Teoremat e njëvlershmërisë së ekuacioneve.

Nëse a = b dhe c ≠ 0, atëhere ⇒ a · c = b · c ose a : c = b : c 

Të punojmë shëmbujt në libër, 

x = 3 ⇒ 3·4 = 4 ⋅ x ⇒ x = 12 ose -2y = 6 ⇒ y = 6 4 

4 −2 

Të punojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. 

Cili zgjidh ekuacionin: (trego hapat e zgjidhjes). 

1− 2x 

x+ 

2 5 

− = a) Shumëzojmë dy anët me 18. 

3 9 6 

⎛1− 2x 

x+ 

2⎞ 

5 

18⎜ 

− ⎟= 18⋅ 

⎝ 3 9 ⎠ 6 

6 (1 – 2x) – 2 (x + 2) = 3 . 5 b) Thjeshtojmë emëruesat e thyesave. 

6 – 12x – 2x – 4 = 15 c) Zbatojmë ligjin e përdasimit. 

-12x- 2x = 15 – 6 + 4 

d) Veçojmë kufizat me ndryshore nga ato 

pa ndryshore. 

- 14x = 13 e)Reduktojmë kufizat e ngjashme. 

13 

x = Rrënja e ekuacionit 

− 14 

MINITEST 5 MINUTA 

Ndajmë klasën në dy grupe dhe japim nga një ushtrim. 

5 2 2 1 

a) 

x + x − x − 

− = 

10 15 3 

3 1 1 

b) 

x x − x + 

+ = 

8 6 12 


Detyra shtëpie, ushtrimet 5/ 9 Grupi i I, 7/ 8 , grupi i II dhe 3/ 4 Grupi i III 

VIII.2. MJEDISI. RRËNJËT E HUAJA TË EKUACIONIT. 


• Të zbatoni teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. 

• Të përcaktoni rrënjët e ekuacionit dhe rrënjët e huaja të tij. 

• Të gjeni rrënjët e ekuacioneve të ndryshme. 

. 

Mjetet: teksti . 

Metoda: 


Kujto 

Jep 

Diskutimit 

Punë e 

Puno me grupe 

dyshe 

mendimin 

tënd. 

drejtuar 


96


Ç’është mjedimi I ekuacionit? (atje ku kërkohen rrënjët). 

Jepet ekuacioni 4x + 9 = 5. Gjeni rrënjët në mjedisin A = { -2; -1; 0; 1} 

Ngrejmë nxënës për të gjetur rrënjën nga ky mjedis. 

x = - 2 4 . (-2) + 9 = 5 x = -1 4 . (-1) + 9 = 5 

-8 + 9 = 5 - 4 + 9 = 5 

1 = 5 (jo) 5 = 5 (po) 

Provojmë edhe vlerat e tjera. 

x= - 1 është rrënjë e ekuacionit simbolikisht shkruhet S = { - 1} 

REALIZIMI: Ngrejmë nxënës tjetër. 

Jepet ekuacioni 4x + 3 = 2 (3x + 2) 

⎧ 1 5 ⎫ 

Gjej rrënjët në mjedisin: B = ⎨− 

; −1;0; ;3⎬ 

⎩ 2 4 ⎭ 

1 ⎛ 1⎞ ⎡⎛ 1⎞ 

⎤ 

Zgjidhje : x =− ⇒4⋅⎜− ⎟+ 3= 2 3⋅− + 2 = 

2 2 

⎢⎜ ⎟ 

2 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦ 

-2 + 3 = 2[- 1,5 + 2} 

1 = - 3 + 4 

1 = 1 

x = - 1 ⇒ 4 . (- 1) + 3 = 2[3 . (- 1) + 2)] 

-4 + 3 = 2[- 3 + 2] 

-1 = 2 ( - 1) 

-1 = - 2 Jo 

Vazhdojmë provën edhe për vlerat e tjera dhe nxjerrim përfundimin se rrënja e 

ekuacionit është S = {-1/2} 

Punojmë ushtrimet e dhëna në libër. 

REFLEKTIMI: Të zgjidhni ekuacionin: 1/ 2/ 7. 

Ushtrimi 1: 3 (2x – 4) – 2 (2x – 5) = 4 (x – 5) Në Z: R: A = {-2; 0.5} 

6x – 12 – 4x + 10 = 4x – 20 

- 2x = - 18 Në N x = {9} 

X = 9 Në Z x = {9} 

Në R x = {9} 

Në A nuk ka zgjidhje. 

Nxënësit punojnë me grupe dyshe, të gjejnë rrënjët e ekuacioneve në N, në Z; 

në R. 

Mësuesi punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vacant. 


Detyra shtëpie, ushtrimet 5/ 6/ 7/ 8 

97

VIII.3. EKUACIONE ME NDRYSHORE NË EMËRUES. 


• Të gjeni vlerat e palejueshme të ekuacioneve me ndryshore në emërues. 

• Të zbatoni hapat e zgjidhjes së ekkuacionit. 

• Të zgjidhni ekuacione me ndryshore në emërues. 


Metoda: 


Kujto 


Diskutimit 


Puno me grupe 

dyshe 



Shkruani ekuacione me ndryshore në emërues. 

Cila do të jetë rruga për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve? 

Vështroni në libër rrugën e zgjidhjes së ekuacioneve. 

Të punohet shëmbulli i zgjidhur në libër. 

E rëndësishme në këto rëste është vlera e palejushme e ndryshores.. 

Ka një shëmbull që rrënja e ekuacionit nuk pranohet, pasi për x = 5 emëryesi i shprehjes 

bëhet 0. 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet grupi i I 1/ 2/ 3/ 4. 

Cili do ngrihet për të kryer ushtrimin. 

3x 

− 2 ⇒ x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠− 5 

x + 5 

3x 

− 7 

2x 

− 4 

2x – 4 = 0 

98 

x = 4 2 

x = 2 

Ushtrimet e grupit të dytë. 

3 2 

− = 7 

x 3x 

⎛ 3 ⎞ 2 

3x⎜ 

⎟ − = 3x 

⋅ 7 

⎝3x⎠ 

3x 

a) Shumëzojmë dy anët me 3x për x ≠ 0 

9 – 2 = 21x b) Heqim kllapat dhe emëruesat 

7 = 21x c) Reduktojmë kufizat e ngjashme. 

7 1 

x = = d) Gjejmë vlerën e ndryshores. 

21 3 

1 

Rrënja 

x = pranohet sepse është e ndryshme nga (0) 

3 

Të punojmë ushtrimet e grupit të tretë 1/ 3/ 5/ 7. 

Të jepet koha e mjaftueshme për të bërë zgjidhjen. 

Të deklarohet përgjigja. 

Të bëhet vlerësimi.

Detyra shtëpie, ushtrimet 7/ 8/ 9 grupi i dytë dhe 4/ 6/ 8/ 10/12 të grupit të III. 

VIII.4. MODELIME MATEMATIKE (PROBLEMA). 


• Të përktheni në simbole matematike një problem çfarëdo. 

• Të përcaktoni të dhënat, tëkërkuarat dhe lidhjen midis tyre. 

• Të zgjidhni probleme me ndihmën e ekuacioneve me një ndryshore. 


Metoda: analizë – sintezë. 


Për të zgjidhur një problem duhet ndjekur pak a shumë ashtu si është përshkruar 

në libër. 

Lexoni hapat në libër. 

I diskutojmë ato hap pas hapi. 

Zgjidhni problemin që është i zgjidhur. 

Hapi I parë: Lexojeni problemin. Bani figurën. 

Çfarë është dhënë? (Perimetri). 

Si përkthehet “gjatësia është 1 cm më e madhe se dyfishi i gjerësisë”. 

Cili është “kyçi” i problemit? 

Shënoni me x gjerësinë. 

Gjatësia shënohet 2x + 1. 

A ka lidhje ndërmjet brinjëve dhe perimetrit të drejtkëndëshit? P = 2a + 2b. 

2(2x + 1) + 2x = 110 

x = 18 

Gjerësia është 18cm dhe gjatësia 2 · 18 + 1 = 37cm. 

Të punojmë edhe problemin e dytë. (ndjekim të njëjtën ecuri) 

REFLEKTIMI: Problemi 2: -Lexoje me kujdes problemin. 

Çfar është dhënë? 

Shënojmë me x numrin. 

Si përkthehet “Prodhimit të numrit me - 4 i zbritet numri, rezultati del __më i 

madh se vetë numri” 

- 4x – x = 9 + x 

x = 1,5 

Problemi 4. Bashkëbisedojmë. 

Lexojeni probkemin 4. 

Ç’quhen kënde të bashkëmbështetur? 

Cili është “kyçi” i problemit? 

Më e panjohur është këndi më i madh. 

Shënojmë me x këndin e madh. 

Këndi i vogël është x – 46 0 . 

Shtrojmë ekuacionin. 

x + x – 46 = 180 

x = 113 

99

Këndi i vogël 113 – 46 = 67 0 

Të punohen problemat 5/ 6/ 8. 


Detyra shtëpie, ushtrimet 9/ 10/ 11 

VIII.5. ZGJIDHJA E EKUACIONEVE SHKRONJORË. 


• Të zgjidhni ekuacione në lidhje me një ndryshore të paracaktuar. 

• Të zbatoni hapat e zgjidhjes së ekuacioneve. 

• Të përdorni formula për zgjidhjen e ekuacioneve. 


Metoda. 


Kujto 


Diskutimit 



Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: Thuaje mendimin tënd. 

Jepni një ekuacion me më shumë se një ndryshore ( 3x – 2y = 5) etj. 

Si mendoni për ta zgjidhur kundrejt y? 

REALIZIMI: Për të zgjidhur një ekuacion me më shumë se një ndryshore kundrejt 

njërës prej tyre si për gjithë ekuacionet e tjera, me kusht që veçohen ato kufizat të 

deklaruar dhe ndryshoret e tjera trajtohen si të njohura. 

Ndryshe thuhet se bëjmë veçimin e shkronjës. 

Punojmë shënbujt e librit. 

Të zgjidhet ekuacioni 2x – 5y = 6 në lidhje me ndryshoren y. 

2x – 5y = 6 ⇒ - 5y = 6 – 2x ⇒ y = 6 − 2 x 2 x− 

= 

6 

−5 5 

Shëmbujt të zgjidhen prej nxënësve. 

Shëmbulli 2: 

2m – n = 3xy + 5 në lidhje me ndryshoren (m) . 

3xy+ 5+ 

n 

2m = 3xy + 5 + n ⇒ m = 

2 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: 

Nxënësit punojnë në grupe dyshe, ndërsa mësuesi ka kohën e duhur për të 

vrojtuar, udhëzuar dhe ndihmuar grupe të ndryshme nxënësish. 

Deklarohet përgjigja nga ana e grupeve në një atmosferë kritike. 


Detyra shtëpie: ushtrimet 4/ 2/ 3/ 4 

100

VIII.6. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË. 


• Të zgjidhni ekuacione në formë [f(x)⋅g(x)] = 0. 

• Të zbatoni vetitë e rrënjës katrore në zgjidhje ekuacionesh të fuqisë së dytë me një 

ndryshore. 

• Të zgjidhni ekuacione duke përdorur metoda të ndryshme. 


Metoda. 


Kujto 


shpjeguese 



101 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: Jepe mendimin tënd. 

Jepni një ekuacion çfardo? 

Sa ndryshore ka? 

I ç’fuqie është? –Cila është trajta standartë e tij? 

REALIZIMI: Vëreni ekuacionin 2x 2 – 3x + 5 = 0. 

Sa ndryshore ka? 

Cila është fuqia më e lartë e ndryshores? 

Cila do të ishte forma standarte e përgjithshme? 

Fama e përgjithshme e ekuacionit të fuqisë dytë me një ndryshore është : 

ax 2 + bx + c = 0 

sa është a = ? b = ? c = ? te ekuacioni i mësipërm. 

Kur prodhimi I dy numrave është zero? 

(Të paktën njëri prej tyre është zero). 

a . b = 0 ⇒ a = 0 ose b = 0 

Të zgjidhim ekuacione të formës f(x) . g (x) = 0. 

(3x – 2) (8x + 16) = 0 

3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 2 ose 8x + 16 = 0 ⇒ x = - 2 

3 

Nëse ekuacionet kuadratik nuk janë zbërthyer, por që mund të zbërthehen, ato 

rishkruhen në formë prodhimi dhe zgjidhet si më sipër, 

3x 2 + ax = 0 ⇒ x . (3x + 9) = 0 ⇒ x = 0 ose 3x + 9 = 0 ⇒ x = - 3 

x 2 = 10 ⇒ x = ± 16 ⇒ x 1 = 4 dhe x 2 = - 4 A = { - 4; 4} 

të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Të zgjidhen ekuacionet e grupit të dytë: 

( x – 6) (x + 2) = 0 x . (3x – 7) = 0 (3x + 1) (2x + 7) = 0 

Këto janë ushtrime që kanë zgjidhje të njëjtë me ato të librit. 

Ndërsa ushtrimet e grupit të tretë kanë nevojë për zbërthim. 

3x 2 + 24x + 48 = 0

x 2 + 8x + 16 = 0 ⇒ (x + 4) 2 = 0 ⇒ x = - 4 

7x 2 – 70x + 173 = 63 ⇒ 7x 2 – 70x + 112 = 0 ⇒ x 2 – 10x + 10 = 0 

⇒ ( x – 8) (x – 2) = 0 ⇒ e vazhdueshme si më lart. 

Nxënësit vazhdojnë me grupe dyshe, mësuesi vrojton, udhëzon dhe diku ndihmon 

për të kryer zgjidhjen. 

Deklarohet zgjidhja e ushtrimeve në atmosferë, vëmendje dhe kritike.. 


Detyra shtëpie: ushtrimet e grupit të dytë 4/ 5/ 6/ 7 dhe të grupit të tretë 4/ 5/ 7/ 9 

VIII.7. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË ME NJË 

NDRYSHORE DUKE KRIJUAR KATROR BINOMI. 


• Të përdorni formula të ndryshme për zgjidhje ekuacionesh. 

• Të zgjidhni ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore duke krijuar në njërën 

anë të barazimit katror binomi. 


Metoda. 


Kujto 


Diskutimit 



102 

Puno me grupe 

dyshe 

EVOKIMI: Jep edhe ti mendimin tënd. 

A ju kujtohen formulat e rëndësishme? 

Si zbërthehet ( a + b) 2 = ? ( a - b) 2 = ? a 2 + b 2 = ? 

Si shkruhet në formë prodhimi: 

x 2 – 2x + 1 = ? x 2 + 4x + 4 = ? x 2 + 10 x + 25 = ? etj. 

X 2 – 4 = ? 9x 2 – 1 = ? 

1 2 

? 

4 x REALIZIMI: Si shndrrohet trinomi x 2 – bx + c në katror binomi? 

Vëreni me kujdes hapat që bëhen për të shndrruar shprehjen ax 2 + bx (ax 2 – bx) në 

katror binomi. 

Zbatoje tek shëmbulli x 2 + 18x + 20 = - 25 

x 2 + 18x = -2 5 – 20 

Veçojmë kufizat në ndryshore. 

x 2 + 18x = - 45 

x 2 + 18x + 81 = - 45 + 81 Shtojmë të dy anëve katrir binomi. 

(x + 9) 2 = 36 Ana e majtë shkruhet katror binomi. 

x + 9 = ± 36

x + 9 = ± 6 x 1 = - 9 + 6 = - 3; x 2 = - 9 – 6 = - 15 A = {-3; -15} 

të punohen shëmbuj të tjera në libër. 

E rëndësishme është që kufizat me ndryshore të shkruhen me katror binomi. 

Nëse ekuacioni është i formës ax 2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) 

3x 2 - 8x + 4 = 0 

3x 2 - 8x = - 4 Veçojmë kufizat me ndryshore 

2 

3x 

8x 

4 

− =− 

3 3 3 

Pjestojmë kufizat me ______ 

2 8 4 

x − =− 

3 3 

2 

2 

2 8 16 4 16 

⎛b 

⎞ ⎛4⎞ 16 

x − x+ =− + Shtojmë dy anëve ⎜ ⎟ _____ ⎜ ⎟ = 

3 9 3 9 

⎝2 

⎠ ⎝3⎠ 

9 

2 

⎛ 4⎞ 

4 

⎜x 

− ⎟ = 

⎝ 3 ⎠ a 

ana e majtë shkruhet katror binomi. 

4 4 4 2 6 

x − =± ⇒ x − = ⇒ x = = 2 ⇒ x = 2 

3 9 3 3 3 

4 2 2 4 2 

x − =− ⇒ x = − + = x = 2 3 3 3 3 3 3 

A = 

⎧2 ⎫ 

⎨ ;2 ⎬ 

⎩3 

⎭ 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet e grupit të parë 1/ 2/ 3/ 16 dhe të grupit të dytë 

3/ 6/ 9 

Ushtrimet zgjidhen njëlloi si ato në libër. 

Shëmbulli 3 i grupit të dytë. 

x 2 + 4x – 12 = 0 ⇒ x 2 + 4x = 12 ⇒ x 2 + 4 + 4 = 12 + 4 

(x + 2) 2 = 16 ⇒ x + 2 = 16 x 1 = 4 – 2 = 2 

x 2 = - 4 – 2 = - 6 

A = { - 6; 2} 

Ndërsa nxënësit punojnë me grupe dyshe, mësuesi vëzhgon, udhëzpn, ndihmon 

nxënësit që kanë nevojë për punë të diferencuar. 

Bëhet deklarimi i zgjidhjeve e ushtrimeve në një atmosferë kritike. 


Detyra shtëpie: 

Ushtrimet e grupit të parë 11/ 12/ 15/ 17 dhe të grupit të dytë 2/ 5/ 8/ 11 

VIII.8. ZGJIDHJA E EKUACIONIT TË FUQISË SË DYTË ME NJË 

NDRYSHORE DUKE PËRDORUR FORMULËN ME DALLOR. 


103

• Të gjeni dallorin e ekuacionit të fuqisë së dytë më një drnyshore. 

• Të zgjidhni ekuacionin e fuqisë së dytë me një ndryshore duke zbatuar formulën e 

dallorit. 


Metoda. 


Kujto 

Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Jep edhe ti kontributin tënd. 

A ju kujtohet se për ekuacionin e fuqisë dytë me një ndryshore kemi gjetur 

dallorin? 

Çështë dallori? 

Cila është formula që jep rrënjët e ekuacionit? 

Nxënësit me diskutime duhet të shkojmë tek formulat e duhura që: 

D = b 2 − b± 

D 

– 4ac dhe 2x 1 = 

2a 

REALIZIMI: Të zgjidhet ekuacioni : 3x 2 – 8x + 4 = 0 

Gjeni dallorin: D = b 2 – 4ac = ) – 8) – 4 . 3 . 4 = 64 + 48 = 16 

8± 16 8± 

4 

Gjeni rrënjët: 

2x1 

= = 

23 ⋅ 6 

8− 

4 2 

8− 

4 

⎧2 ⎫ 

x1 

= = dhe x2 

= = 2 Pra A = ⎨ ;2 ⎬ 

6 3 

6 

⎩3 

⎭ 

E rëndësishme është këtu të theksojmë se nëse: 

a) D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. 

b) D < 0 ekuacioni nuk ka rrënjë 

c) D = 0 ekuacioni ka dy rrënjë dyfishë. 

REFLEKTIMI: Të zgjidhen ekuacionet me dallor. 

Shiko ushtrimet e grupit të parë dhe të dytë. 

Shikoni ushtrimet e grupit të tretë. 

Zgjidhni ekuacionet e grupit të katërt. 

a) 7/ 9/ 13/ 15 

Ndërsa nxënësit vazhdojnë të punojnë me grupe dyshe për zgjidhjen e 

ekuacioneve të fuqisë së dytë, mësuesi ka kohën e duhur për të punuër më punë të 

diferencuar me nxënës të caktuar. 

Bëhet deklarimi i përgjigjeve. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të tretë 6/ 8/ 12/ 16/ 24. 

VIII.9. FORMULAT E VIETËS. 


104

• Të njëhsoni shumën ose prodhimin e rrënjëve të ekuacioneve të fuqisë së dytë me një 

ndryshore. 

• Të formoni ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. 


Metoda. 


Kujto 

Shpjegimit 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Jep mendimin tënd. 

Cila është forma standarte e ekuacionit të fuqisë së dytë? 

Cilat janë formulat e zgjidhjes së tij? 

Gjeni shumën e rrënjëve në mënyrë të përgjithshme. 

(Ngrihet një nxënës që të kryejë shumën e x 1 +x 2 

REALIZIMI: Hap pas hapi gjejmë shumën e tyre. 

− b+ D −b− D − b+ D −b− D −2b b 

x1 

= + = = =− 

2a 2a 2a 2a a 

b 

Në mënyrë të përgjithshme x 1 + x 2 = − 

a 

Gjejmë edhe prodhimin x 1 .x = ? 

2 2 2 

⎛− b + D ⎞ ⎛−b − D ⎞ b −D b − b + 4ac 4ac c 

xx 

1 2= ⎜ 2 2 2 

2a ⎟ 

⋅ ⎜ 2a ⎟ 

= = = = 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4a 4a 4a a 

c 

x1⋅ x2 

= 

a 

Të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. 

3x 2 + 4x + 1 = 0 

Gjeni shumën e rrënjëve dhe prodhimin e tyre. 

b −4 

c 1 

S = x 1 + x 2 = − = Prodhimi: P = x 1 . x 2 = 

a 3 

a = 3 

E rëndësishme është që jepen rrënjët dhe të gjendet trajta kryesore e ekuacionit. 

ax 2 + bx + c = 0 

2 

ax b c 

2 b c 

+ + = 0 ⇒ x 

0 

a a a 

+ x 

a 

+ a 

= ⇒ x 2 – Sx + P =0 

Jepen rrënjët – 2 dhe 5. Shkruani ekuacionin: 

S = x 1 + x 2 = 3 P [ ( - 2 ) .(5) = - 10 

atëhere: ekuacioni është i formës x 2 – 3x – 10 = 0 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet: 

a) x 2 + 6x – 12 = 0 Gjeni shumën x 1 + x 2 = ? x 1 . x 2 = ? 

b) 2x 2 – 3x + 4 = 0 dhe x 1 = 2 Gjeni x 2 = ? 

c) Jepen x 1 = 2 x 2 = 5 shkruani ax 2 + bx + c = 0 

Ndërsa nxënësit punojnë për të dhënë përgjigje ushtrimeve, mësuesi gjen 

momentin qe ë të bëjë punë të diferencuar me nxënës të vacant.. 

Bëhet deklarimi i zgjidhjeve duke marrë mendimin e shumicës së klasës, 


105

Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të parë 4/5, të grupit të dytë 3, të grupit të tretë 3/ 

4/ 5 dhe të grupit të katërt 2/ 4. 

VIII.10. SISTEMI I EKUACIONEVE LINEARE ME DY NDRYSHORE. 


• Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me metodën e mbledhjes. 

• Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me metodën e zëvëndësimit. 

• Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me dy metoda. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


106 

Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Jepe edhe ti mendimin tënd. 

Jepni ekuacione të fuqisë parë me dy ndryshore. 

Sa zgjidhje ka një ekuacion i formës ax + by = c. 

Dy ekuacione të formës ax + by = c formojnë një system dy ekuacionesh të fuqisë 

parë me një ndryshore. 

REALIZIMI: Të jepet një system dy ekuacionesh. 

⎧2x− 3y 

=−4 

⎨ 

⎩3x+ 4y 

= 1 

për ta zgjidhur sistemin me 

Mblidhen anë për anë të dy ekuacionet (ku njëra nga ndryshoret zhduket).Gjendet 

vlera e tjetrës. 

Vëzhgo mënyrën e zgjidhjes së sistemit .në libër. 

Për mënyrën e zëvendësimit ndiqet kjo rrugë: 

-Në njërën nga ekuacionet veçohet njëra nga ndryshoret. 

-Bëjmë zëvendësimin e shkronjës ( me ekuacionin tjetër) me shprehjen identike 

(që e kthen ekuacionin me një ndryshore) . 

`Më tej zgjidhet ekuacioni. Gjejmë vlerën e njërës ndryshore, pastaj edhe vlerën e tjetrës 

ndryshore. 

-Vëreni zgjidhjen e sistemit me mënyrë e zëvendësimit. 

REFLEKTIMI: Tek ushtrimi 1 kush ka gabuar? 

E diskutojmë me nxënësit, hap pas hapi të gjejmë se cili ka gabuar. 

Të zgjidhen sistemet: 

Grupi i II 4/ 11 dhe grupi i III 8/ 12 

Bëhet deklarimi i përgjigjeve të zgjidhjes së sistemeve nën një atmosferë kritike., 

Të bëhet vlerësimi

Detyra shtëpie: Ushtrimet e grupit të dytë 3/ 5/ 12 dhe të grupit të tretë 3/ 6/ 5. 

VIII.11. ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMEVE TË EKUACIONEVE LINEARE. 


• Të zgjidhni sisteme të ekuacioneve lineare me dy ndryshore me metodën grafike. 

• Të zgjidhni problema duke zbatuar zgjidhjen e sistemeve. 


Metoda. 


Kujto 

Shpjeguese 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Jep edhe ti mendimin tënd. 

Si zgjidhen grafikisht një ekuacion 2x + y = 3 ? 

Zgjidhni grafikisht këtë ekuacion. 

Cila është rruga që ndjekim në këtë rast? 

REALIZIMI: Për të zgjidhur grafikisht një system ndiqet rruga e pasqyruar në libër. 

⎧2x− y = 3 

Të zgjidhet sistemi: ⎨ 

⎩x 

+ 3y 

= 5 

a) Ndërtojmë drejtëzën që tregon zgjidhjet e ekuacionit parë. 

b) Po kështu edhe për ekuacionin e dytë. 

c) Pika e prerjes së dy drejtëzave është zgjidhja për sistemin. 

Vështroni zgjidhjen e sistemeve në libër. 

E rëndësishme është që të theksojmë se numri i rrënjëve të sistemit varet nga pozicioni i 

dy drejtëzave. 

Nëse ato: a) priten në një pikë sistemi i zgjedhje 

b) janë paralele atëhere sistemi nuk ka zgjidhje. 

c) mbivendosen njëra mbi tjetrën, sistemi ka pafundësi rrënjësh. 

Të punohen problemat e shtjelluara në libër. 

Këtu dy kërkesat shënohen me dy ndryshore, bëhet përkthimi i fjalive të 

problemit në dy ekuacione që formojnë një system. 

Zgjidhim sistemin me një nga mënyrat e shtjelluara më lart. 

REFLEKTIMI: Të punohen sistemet 8/ 9 dhe problemat 5/ 6. 

Ndërsa nxënësit punojnë sipas modeleve të zgjidhura në klasë dhe në libër, 

mësuesi ka kohë që të punojë në mënyrë të diferencuar më nxënës të vacant. 

Bëhet deklarimi i zgjidhjesve në një atmosferë diskutimi. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet e Grupi i e parë 6/ 8 dhe grupi i dytë 8/ 9 

107

VIII.12. MOSBARAZIMET NUMERIKE. 


• Të krahasoni dy a më shumë se dy numra real. 

• Të vërtetoni mosbarazime numerike. 

• Të zbatoni vetitë e mosbarazimeve në zgjidhje ushtrimesh. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


108 

Puno me grupe 

dyshe 



Si lexohen shënimet >; ≥; < ; ≤ = ? 

Kur një numër a është > se b? 

Kur një numër a është < se b? 

Kur dy mosbarazime janë të njëvlershme? 

REALIZIMI: Kur a > b a – b > 0 dhe a 

Po ashtu: a ≥ b ⇒ a – b ≥ 0 dhe a ≤ b ⇒ a – b ≤ 0 

Vetitë e mosbarazimit. 

Diskutojmë me nxënësit ky ushtrim: 

Çfarë ndodh me mosbarazimin 4 < 10 nëse të dy anëve, 

a) u shtojmë nga 2; 6 < 10 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon. 

b) u zbresim nga 2 ; 2 < 8 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon. 

c)u shtojmë me - 2; 2 < 8 ⇒ mosbarazimi nuk ndryshon. 

d) u zbresim nga – 2 ; 6 < 12 ⇒ mosbarzimi nuk ndryshon. 

e) shumëzojë më - 2; -8 > - 20 ⇒ mosbarazimi ndryshon. 

f) pjestojmë me – 2; ⇒ - 2 > - 5 ⇒ mosbarazimi ndryshon. 

a+ 

b 

Vërteto që nëse a 

2 

Vërteimi : a < b 

a+ b 

a – b < 0 Përfundimi < b 

2 

a+ b a+ b−2b a−b 

− b = = nga a . b < 0 ndërsa 2 > 0 

2 2 2 

a− b a+ b 

< 0 < b 

2 2 

Të zgjidhen inekuacionet , ato të librit. 

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimet e grupit parë dhe të grupit tretë. 

Ushtrimet e grupit të parë vendos shenjën: >; ≥; < ; ≤ 

5a < 3a a ka shenjën (-) 

1 

a < 2 a 

a është numër (-) 

2x + 7 > 2x – 3 ⇒ 0x > - 10 e vërtetë.

x 2 + 2x ≥ - 1 ⇒ x 2 + 2x + 1 ≥ 0 ( x + 1) 2 ≥ 0 

⎧x 

+ 1≥0 

⎨ ⇒ x ≥ - 1 mund të jetë numër çfardo 

⎩x 

+ 1 ≤ 0 

x ≤ - 1 

Deklarohet përgjigja me një kritikë. 


Detyra shtëpie: Grupi i tretë 3/ 4 / 5 

Grupi i katërt 8/ 9/ 10 

Grupi u gjashtë 2/ 3 

VIII.13. INEKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE. 


• Të dalloni inekuacionet e njëvlershme. 

• Të zbatoni rregullat për të përftuar inekuacione të njëvlershme. 

• Të zgjidhni inekuacione të fuqisë së parë me nje ndryshore. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjegimi 


109 

Puno me grupe 

dyshe 



Ç’janë inekuacionetPo rrënjët e inekuacionit? 

Cilat janë vetitë e mosbarazimeve? 

Vetia e mbledhjes (zbritjes) të inekuacioneve? 

Po vetia e shumëzimit (pjestimit)? 

REALIZIMI: Zbatoni vetitë e moabarazimit të inekuacionit. 

Hapat e zgjidhjes së inekuacionit janë: 

-Shumëzojmë të dy anët e inekuacionit me emëruesin e përbashkët. 

-Zbatojmë ligjin e përdasimit për të hequr kllapat. 

-Kalojmë kufizat me ndryshore në një anë dhe të njohurat në anën tjetër. 

-Reduktojmë kufizat e ngjashme. 

-Gjejmë vlerën e ndryshores. 

Kujdes duhet bërë që kur shumëzojmë apo pjestojmë me numra negativë duhet ndërruar 

shenja e mosbarazimit. 

Të zgjidhet shembulli: 2 x − 5 x − x < . 

6 3 

Shënojmë dhe lexojmë ushtrimet e zgjidhura në libër. 

⎛2x 

− 5 ⎞ x 

6⋅⎜ 

− x ⎟< 6⋅ 

(Trego ç’far kemi bërë në çdo hap). 

⎝ 6 ⎠ 3 

2x – 5 – 6x < 2x

5 

2x – 6x – 2x < 5 ⇒ - 6x < 5 ⇒ - 6x < 5 ⇒ x > − 

6 

REFLEKTIMI: Të punojmë ushtrimi 3 i grupit 

2 grupi i dytë 

12 i grupit tretë 

Nxënësit punojnë për të zgjidhur ushtrimet, ndërsa mësuesi ka kohën që të punojë 

në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant. 

Deklarohet përgjigja nga ana e nxënësve në atmosferë entuziaste e kritike duke 

argumentuar çdo hap të zgjidhjes së inekuacionit. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet Grupi i 2 

Grupi i dytë 1 dhe Grupi tretë 10 

VIII.14. STUDIMI I SHENJËS SË BINOMIT. 


• Të gjeni vlerën e binomit për vlera të ndryshme të ndryshores. 

• Të studioni shenjën e binomit. 

• Të zbatoni studimin e shenjës së binomit në ushtrime. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


110 

Puno me grupe 

dyshe 



Çështë binomi? –Cila është trajta e përgjithshme e binomit? 

Jepni shëmbuj binomi të formës f(x) = ax + b. 

REALIZIMI: f(x) = 3x - 9. I jepni ndryshores vlera {-1; 0; 2; 7} 

Aktivizojmë nxënësit për të gjetur f (- 1); f (0); f (2). 

f (- 1) = 3 . (-1)-9 = -3 –9 = -12; f (0) = 3 . 0 – 9 = - 9 

f (2) = 3 . 2 – 9 = 6 – 9 = - 3 f (7) = 3 .7 – 9 = 21 – 9 = 12 

Gjejmë f (3) = 3 . . – 9 = 0 Shiko ushtrimet e librit. 

Bëjmë një tabelën: 

Vlerat e x -6 - 5 - 4 - 2 - 1 0 1 

f (x) = 2x + 4 - 8 - 6 - 4 0 2 4 6 

Nisur nga shëmbujt e librit bëjmë një tabelë. 

figura 

A = ] - ∞ ; 2[ vlera negative 

B = ] 2 : + ∞ [ vlera positive 

Tregojmë shëmbujt e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Studjoni shenjën ë shprehjes. 

x−3 2x−1 10x− 2x+ 6+ 2x−1−40 10x−35 

x− + − 4= = = x− 

3,5 

5 10 10 10 

figurë x – 3,5 = 0 x = 3,5

A = ]- ∞ ; 3,5 [ shenjë pozitive 

B = ] 3,5; + ∞ [ shenjë negative 

Të punohen ushtrimet e grupit të tretë; 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ 11 

Të diskutojmë përfundimet e zgjidhjes së ushtrimeve dhe në çdo hap të 

argumentohet. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i tretë 2/ 4/ 6/ 8/ 10/ 12 

VIII.15. SISTEME INEKUACIONESH TË FUQISË SË PARË ME NJË 

NDRYSHORE. 


• Të zbatoni studimin e shenjës së biomit për zgjidhje inekuacioensh të fuqisë së parë 

me një ndryshore. 

• Të gjeni zgjidhjen e sistemit të inekuacioneve të fuqisë së parë. 

• Të zgjidhni situata të ndryshme me anë të zgjidhjes së sistemeve. 


Metoda. 


Kujto 


Diskutim 


111 

Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Formoni një system dy inekuacionesh. 

Çdo të thotë të zgjidhësh një system? 

Cilat janë hapat e zgjidhjes së një sistemi? 

⎧8x+ 9> 

5x 

⎫ 

REALIZIMI: Të zgjidhet sistemi: ⎨ 

⎬ 

⎩4x+ 1> 6x−1⎭ 

Zgjidhni inekuacionin e parë. 

8x + 9 > 5x 

3x > - 9 

x > - 3 

Zgjidhni ekuacionin e dytë: 

4x + 1 > 6x – 1 

-2x > - 2 

x < 1 

Zgjidhja e sistemit është: A= ] – 3; 1[ 

Të trajtohet zgjidhja e shëmbullit të dytë. 

x− 1 x+ 

1 

− ≤ 2 

2 4 

x− 1 x+ 

1 

4⋅ −4⋅ ≤4⋅ 2 Shumëzojmë dy anët me 4. 

2 4

2 ( x – 1) – 1 (x + 1) ≤ 8 Zbatojmë ligjin e përdasimit. 

2x – 2 – x – 1 ≤ 8 

2x – x ≤ 8 + 2 + 1 

x ≤ 11 

Bashkësia e zgjidhjeve A = ] - ∞ ; 11] ose A = { x ∈R/ x ≤ 11} 

REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimi 1 të grupit të dytë 3 dhe 8. 

Nxënësit punojne me grupe dyshe për të gjetur bashkësinë e zgjidhjeve, mësuesi 

punon në mënyrë të diferencuar me nxënës të vecant. 

Bëhet deklarimi I përgjigjeve duke e diskutuar apo argumentuar çdo hap të 

zgjidhjes së inekuacionit. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i dyta 10/ 12/ 15. 

VIII.16. INEKUACIONE NË FORMË PRODHIMI, HERËSI. 


• Të zgjidhni inekuacionet në formë prodhimi. 

• Të zgjidhni inekuacionet në formë herësi. 

• Të studioni shenjën dhe të gjeni zgjidhjen inekuacionit. 


Metoda. 


Kujto 


Diskuto 


112 

Puno me grupe 

dyshe 



Jepni inekuacione në formën f(x) g. (x) ≤ 0 

Cila do të ishte rruga e zgjidhjes? 

REALIZIMI: Të zgjidhet inekuacioni: ( 2x – 6) (3x + 18) ≤ 0 

Hapi I. Binomi i parë është 2x – 6 dhe i dyti ( 3x + 18). 

Zgjidhni apo gjeni rrënjët ë binomit të parë kur atë e barazojmë me 0. 

2x – 6 = 0 ⇒ x = 3 dhe po kështu 3x + 18 = 0 ⇒ x = -6 

Përpilojmë një tabelë. (ndiq hap pas hapi në libër). 

Për 2x – 6 a > 0 x = 3 

Tabelë Për 3x + 18 a > 0 x = - 6 

Ne na intereson ajo pjesë e tabelës që për çdo x funksioni merr vlera negative. 

S = [ - 6; 3] ose A = { x ∈ R/ - 6 ≤ x ≤ 3}.

Në rastin e dytë 5 ⋅x 

− 10 ≥ 0 inekuacioni është dhënë në formë herësi, tabela do të ketë 

9− 

3x 

ndryshim se vlera e x që bën 0 emëruesin nuk pranohet në bashkësinë e zgjidhjes së 

sistemit. 

Praktikisht: 5x – 10 = 0 x = 2 dhe 9 – 3x = 0 x = 3 

Përpilojmë tabelën: ( Vështro edhe në libër). 

Tabela Për 5x – 10 a > 0 x = 2 

Për 9 – 3x a < 0 x = 3 

Ne na intereson ajo ojesë e tabelës ku ka vlera ≥ 0 

Bashkësia e zgjidhjeve A = [2 ; 3[ ose A = {x ∈R/ 2 ≤ x < 3} 

REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet grupi parë 5/ 7 dhe grupi I tretë 4/ 7. 

Ndërsa nxënësit punojne me grupe dyshe, mësuesi udhëzon, ndihmon në mënyrë 

të diferencuar nxënës që kanë nevojë. 

Deklarohet përgjigja e ushtrimeve duke bërë argumentimin në çdo hap të 

zgjidhjes së inekuacioneve.. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet grupi i parë 4/ 6/ 8 dhe grupi I tretë 2/ 5/ 8 

VIII.17. INEKUACIONE TË DYFISHTË. 


• Të zgjidhni inekuacionet e dyfishta duke zbatuar vetitë e inekuacioneve. 

• Të zgjidhni inekuacionin e dyfishtë duke e kthyer në sistem inekuacionesh. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Cili quhet mosbarazim i dyfishtë? 

Si lexohet c < ax + b < d ? 

Si mund ta shkruajmë si system? 

⎧ax + b > c ⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩ax + b < d ⎭ 

3x − 2 

REALIZIMI: Të zgjidhet sistemi 1< < 4 

4 

Të sqarohen dy mënyrat e zgjidhjes së tij. 

3x − 2 

Mënyra e parë: 41 ⋅ < 4⋅ < 44 ⋅ Shumëzo me 4. 

4 

4 < 3x – 2 < 16 Kryejmë shumëzimet. 

113

4 + 2 < 3x < 16 + 2 2 e kalojmë në anën e ndryshme. 

6 < 3x < 18 2 < x < 6 S = ]2 ; 6[ 

Mënyra e dytë: Formojmë system dy inekuacionesh. 

Nuk e bëj dot 

REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet 10/ 12 grupi parë . 

-1 < 2 x − 1 − 4 < 4 

2 

Mënyra e parë: 

-2 < 2x – 1 – 8 < 8 

-2 + 9 < 2x < 8 + 9 

7 < 2x < 17 

7 17 

⎡7 17⎡ 

< x < A = ; 

2 2 

⎢ 

⎣2 2 ⎢ 

ose A = { x ∈R/ 7 17 

< x < 

⎣ 

2 2 

Deklarimi i përgjigjes së ushtrimit do të kryhet duke argumentuar në çdo hap: çfar 

bëmë? Ku u mbështetëm? 


Detyra shtëpie: Ushtrimet 5/ 7/ 9 

IX.1. PRODHIMI KARTEZIAN. 

KREU IX 

FUNKSIONI 


• Të dalloni relacionet që janë funksione 

• Të përpiloni diagrama të ndryshme për funksionet. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjegimit 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Thuaje mendimin tënd. 

Ç’është çifti i radhitur? Jepni një çift të radhitur. 

Ç’kuptim ka çifti ( 3 : m)? 

REALIZIMI: Elementët 3 dhe (m) formojnë çiftet ( 3 : m) dhe (m : 3). 

Elementi i parë brënda kllapave emërtohet kordinata e parë dhe elementi i dytë 

quhet kordinata e dytë. 

Në çiftin e radhitur ( 3 : m)kordinata e parë është 3, kordinata e dytë n. 

Përkufizim: Çiftet ( 3 : m) dhe ( m : 3) nuk është njëlloi. 

Çiftet e radhitura ( m : n ) dhe ( p : q) janë ë barabarta nëse : m = p dhe n = q. 

Punoni ushtrimin e librit për të dalluar se çiftet nuk janë të barabarta. 

Prodhim kartezian AxB = {( x : y)} x ∈ A dhe y ∈ B. 

114

Kujdes! AxB ≠ BxA 

Nëse: A = { 2; m; n; } dhe B = { 3 ; m ) 

AxB = {( 2 ; 3) (2 ; m ) ( m : 3) ( m : m) (n ; 3) (n; m)} 

Vështroni se si paraqitet me mënyra të tjera AxB = ? në libër. 

a)diagramë karteziane, diagramë shigjetore, diagramë tabelore. 

Të punohen shëmbujt e zgjidhur në libër. 

REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet 1/a, 2/ c dhe 3/a. 

Për ushtrimin 1/a. 

⎧3x − 2y = x+ 

3y 

(3x – 2y; x) (x + 3y ; 6) ⎨ 

⎩x 

− 6 

⎧2x− 5y 

= 0 ⎧26 ⋅ = 5y 

y = 2, 4 

⎨ ⎨ ( 6 : 2,4) 

⎩x 

− 6 

⎩x 

− 6 x = 6 

Për ushtrimin 2/c. 

AxB = {(x ; 2) (x ; 3) (y ; 2) (y; y) (x ; y )(y : 3)} Gjeni A ∩ B. 

A = {x : y) B = { 2 ; 3 ;y ) ⇒ A ∩ B = { y} 

Ndërsa nxënësit gjejnë zgjidhjrt e duhura, mësuesi punon me nxënësit punë të 

diferencuar. 

Nxënësit deklarojnë përgjigjet duke bërë argumentin hap pas hapi. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ b/ c 

Ushtrimi 2 / d/ e dhe 3/ c 

IX.2. RELACIONI, FUNKSIONI. 


• Të dalloni relacionet që janë funksione. 

• Të përpiloni diagrama të ndryshme për funksionet. 



Metoda. 


Kujto 


Diskuto 


115 

Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Janë dhënë dy bashkësi A = {2; 3} dhe B = { 4; 8; 9}. 

Sa element ka bashkësia A ? Po bashkësia B = ? 

Gjej AxB = {(2; 4) (2 ; 8) (2 ; 9) (3 ; 4) (3 ; 8) (3 ; 9)}. 

Gjej BxA = {(4 ; 2) (4 ; 3) (8 ; 2) (8 ; 3) (9 ; 2) ( 9; 3). 

Cila është bashkësia e fillimit në rastin AxB ? 

Cila është bashkësia e mbarimit (shëmbullit)? ose 

REALIZIMI: Cdo nënbashkësi e prodhimit AxB është relacion nga A në B. 

Japim disa relacione (shiko edhe në libër)

R 1 = {( x; y) / y është pjestimi i y} ku A = {2 ; 3) B = {4; 8; 9} 

R 1 = {(2 ; 4) (2; 8) (3 ; 9)} 

Duhet theksuar se një relacion është funksion vetëm nëse plotëson kushtet: 

-Të gjithë elementët e bashkësisë së fillimit janë të çiftuar. 

-Nuk gjenden çifte të radhitura që të kenë njëherazi koedinatat e para të 

përsëritura e kordinatat e dyta të ndryshme. 

Relacionet mund të jepen në shumë mënyra. 

F = {(4; 5) (3 ; 5) (2 ; 6) (1 ; 7)} ⇒ x = {4 ; 3 ; 2 ; 1} y = {5 ; 6; 7} 

Vëreni figurat të funksioneve f, g, h. 

Argumentoni pse f është funksion? 

Pse g(x) është relacion dhe jo funksion, po ashtu edhe h. 

REFLEKTIMI: Të punohet ushtrimet : 

Në çdo rast tek ushtrimi 1 duhet të vizatoni diagramën shigjetore dhe të hidhet 2 

me 5 etj.. 

Në rastet e ushtrimeve 2 /R5: 

R 5 = {(x ;y)/ y = 2x – 1 dhe x ∈ A; y ∈ B} 

Marrim elementin e x ∈ A ⇒ x = 1 dhe zëvendësojmë tek: 

Y = 2x – 1 dhe kemi y = 2 . 1 – 1 = 5 çifti ( 3 ; 5)., e kështu me radhë. 

Nxënësve u jepet kohë e mjaftueshme që të japin përgjigje të argumentuar hap pas hapi. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ c /d / e 

Ushtrimi 2 / R 3 / R 4 dhe 4 

IX.3. BASHKËSIA E PËRCAKTIMIT TË FUNKSIONIT. 


• Të gjeni vlerën e funksionit për çdo vlerë të ndryshores së pavarur. 

• Të gjeni bashkësinë e përcaktimit. 

• Të paraqitni bashkësinë e përcaktimit në boshtin numerik. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjegimit 


Puno me grupe 

dyshe 



Shpesh në matematikë funksioni jepet në mënyrë analitike. Me anë të formulave 

që tregon se si çiftohet x ∈ X me një y ∈ Y. 

Kemi funksionin y = -2x + 1, me fillim në X = { - 1 ; 0; 2}. 

Gjeni : f ( -1) = ? f (0) = ? f ( 2) = ? 

Cila është bashkësia e shembullimeve? 

116

REALIZIMI: Nëse nuk jepet bashkësia e fillimit, si e tillë merret bashkësia e numrave 

realë ku ka kuptim shprehja. 

2x 

Shëmbull: f (x) = 

x − 3 

Gjeni f(3) = 23 ⋅ 

= 

6 

3− 

3 0 

nuk ka kuptim. 

Në këtë rast thuhet se për x = 3 shembullimi nuk ekziston, pra, për këtë x = 3 nuk 

I përket bashkësisë së përcaktimit. 

E rëndësishme është edhe në rastet kur kemi funksione fx = 2x − 8. 

f (4) = 24 ⋅ − 8= 0= 0 f (1) = 21 ⋅ − 8= − 6 nuk ekziston. 

f (5) = 25 ⋅ − 8= 2 

f (-3) = 2⋅( −3) 

− 8 = − 14 nuk ekziston 

Pra, përfundimisht bashkësia e përcaktimit gjendet kështu: 

2x – 8 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4 A = [4 ; + ∞ [ 

2x 

Të shikojmë shëmbullimin: f (x) = + 

3x 

+ 6 

2x 

−10. 

Në këtë rast duhet që emëruesi i thyesës 3x + 6 ≠ 0 dhe pjesa e rrënjës katrore duhet më e 

madhe se 0 . 2x – 10 ≥ 0. 

⎧3x 

+ 6≠0 

Shtrojmë sistemin: ⎨ 

⎩2x 

−10≥0 

x ≠ -2 

x ≥ 5 

REFLEKTIMI: Të punojmë me nxënësit ushtrimet 1 dhe 2 / p. 

Për ushtrimi 1 /1. Jepet bashkësia fillim x = {- 3; -2 ; -1; 0; 1; 2} 

f (x) =x 2 – 3 Për x = - 3 ⇒ f (- 3) = (- 3) 2 – 3 = 6 

Për x = - 2 ⇒ f (- 2) = (- 2) 2 – 3 = 1 

Për x = - 1 ⇒ f (- ) = (- 1) 2 – 3 = -2 

Për x = 0 ⇒ f (-0) = 0 2 – 3 = -3 Për x = 1 ⇒ f (1) = 1 2 – 3 = - 2 

Për x = 2 ⇒ f (2) = 2 2 – 3 = 1 Për x = 3 ⇒ f ( 3) = 3 2 – 3 = 6 

Bashkësia e shëmbullimeve: Y = {6; 1; -2; -3; -1; 6} 

Jepe me tabelë: ____________________ 

Për ta ndërtuar me grafik ndërto planin kortezian dhe vendos pikat me 

kordinata sa çiftet e renditura. 

Për ushtrimin 2/ p: f (x) = 

3x 

+ 2 

x − 3 

duhet arsyetuar. 

Kështu: Shprehja 3x + 2 ≥ 0 ndërsa shprehja x – 3 > 0, 

3x 

+ 2≥ 

0 

2 

⎧ 

{ x ≥− 

Shtrojmë sistemin: ⎨ 3 

⎩x 

− 3 > 0 

x > 3 

? 

Ndërtojmë boshtin numeric ________________________. 

Zgjidhja A = ] 3 ; +∞ [. 

Nxënësit punojnë ushtrimet 1 / 2 dhe 2 / 9. 

Deklarojnë përgjigjen nxënësit, pasi u lihet koha e mjaftueshme, ajo duhet të 

bëhet e argumentuar. 


117

Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ III 

Ushtrimi 2 / b/ d /n 

IX.4. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax 2 dhe y = ax 2 + n. 


• Të përpiloni tabelën me vlerat e lejueshme të funksionit. 

• Të ndërtoni grafikun y = ax 2 + n mbështetur në grafikun e y=ax 2 . 

• Të zgjidhni detyra duke shfrytëzuar funksionet y = ax 2 apo y=ax 2 + n. 

Mjetet: teksti , vizore, tabelë. 

Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: C’dini ju për ndërtimin e grafikëve të funksioneve? 

Ç’rrugë ndiqet në përgjithësi? 

Pyetje këto që do ta çojnë nxënësin tek mendimi se në përgjithësi i jepen vlera të 

lejueshme njërës nga ndryshoret dhe gjejmë vlerat përkatëse. 

Kështu do veprojmë edhe më poshtë: 

Jepen funksionet a) y – 2x 2 b) y = 2 2 + 3 c)y = 2x 2 – 2. 

Ndërtoni grafikët me të njëjtën plan kortezian. 

REALIZIMI: I japim vlerat x nga bashkësia { -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 } dhe gjeni 

vlerat e y. Me çiftet e renditura gjeni pikat. 

Vihet re së për të ndërtuar grafikun e funksionit y = ax 2 + n mjafton të 

ndërtojmë grafikun e funksionit y = ax 2 dhe pastaj i zhvendosni lart ose poshtë sa është 

vlera e (n). 

E rëndësishme është që të caktojmë një radhë pune për ndërtimin e grafikut të 

funksioneve y = ax 2 + n 

Studjoni radhën e punës në libër, Shiko edhe shëmbujt e tjerë mëposhtë. . 

REFLEKTIMI: Të punohen ushtrimet 1/ c dhe 4 / c. 

Nxënësit punojnë për të dhënë zgjidhje ushtrimeve, mësuesi i vëzhgon, i udhëzon, 

apo ndihmon nxënës të vacant për të dhënë zgjidhjen e duhur. 

Bëhet deklarimi I përgjigjeve, duke bërë edhe argumentimin e duhur hap pas hapi, 

duke përfshirë sa më shumë nxënës. 


Detyra shtëpie: Ushtrimet 1/ d 2/ c 4/ d dhe 5 /b 

Ushtrimi 2 / b/ d /n 

118

IX.5. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax 2 dhe y = a(x – m) 2 . 


• Të përpiloni tabelën e vlerave dhe të skiconi grafikun e funksionit. 

• Të ndërtoni grafikun e y = a(x – m) 2 mbështetur në grafikun e y = ax 2 . 

• Të zgjidhni detyra duke shfrytëzuar funksionet y = ax 2 apo y = a(x – m) 2 


Metoda. 


Kujto 


Shpjeguese 


Puno me grupe 

dyshe 


EVOKIMI: Cila është rruga e përgjithshme për të ndërtuar një grafik? 

a)Të japimvlera të lejueshme nhërës ndryshore. 

b)Të gjejmë vlerat përkatëse, ndyshores tjetër. 

c)Në planin kordinativ gjejmë pikat për ♪5do çift të radhitur, bashkojmë pikat në 

mënyrë të njëpas njëshme. 

REALIZIMI:.Jepet funksioni y = 2x 2 y = 2 ( x – 1) 2 dhe y = 2 (x + 4) 2 . 

A ka vlera të palejueshme për funksionin y = 2 ( x – 1) 2 ? 

Jepni vlerat e ndryshores x = { -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. 

Në një plan kordinativ ndërtoni pikat për çdo çift të radhitur. 

Vështroni ehde në tabelë, por edhe në libër ndryshimi që ka grafiku i funksionit y 

= 2x 2 me atë të y = 2 ( x – 1) 2 ? 

Në rastin konkret m > 0 del se është spostuar një njësi djathtas grafiku i funksionit 

y = 2 ( x – 1) 2 . 

Në të njëjtën mënyrë veprohet edhe për grafikun e funksionit y = 2 (x + 4) 2 , 

për m = - 4 m < 0. 

Vështroni grafikun dhe kur m < 0 atëhere grafiku zhvendoset 4 njësi majtas. 

Të punohen shëmbujt në libër me nxënësit dhe pëe çdo hap le të bëjmë 

argumentimin. 

REFLEKTIMI: Të ndërtohen grafikun e funksionit y = 2 ( 1) 2 

3 x − 

Për x = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Udhëzojmë që të ndjekin pak a shumë këtë ecuri: 

a)Gjejmë vlerën e y për vlerat e x = {{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. 

b)Për çdo çift të radhitu gjendet pika respektive. 

c)Të bashkojmë pikat njëra pas tjetrës. 

Nxënësit punojnë për të dhënë përgjigjet e duhura duke u shoqëruar me argument çdo hap 

që hedhin. 


Detyra shtëpie: Ushtrimi 4 

119

IX.6. FUNKSIONI KUADRATIK y = ax 2 dhe y = ax 2 + bx + c 


• Të gjeni koordinatat (m, n) e kulmit të parabolës y = ax 2 + bx + c. 

• Të ndërtoni grafikun e y = ax 2 + bx + c mbështetur në grafikun e y = ax 2 . 

• Të shfrytëzoni funksionet y = ax 2 apo y = ax 2 + bx + c në zgjidhje detyrash 


Metoda. 


Kujto 

Shpjeguese Puno me grupe 

Jep mendimin tënd. Punë e drejtuar dyshe 


EVOKIMI: Për të ndërtuar grafikun e funksionit y = a(x – m) 2 + n, në fillim duhet 

ndërtuar grafiku i funksionit y = ax 2 . 

Shndrrojmë funksionin y = ax 2 + bx + c 2 në formën e mësipërme. 

Gjejmë D e ekuacionit. 

b 

D 

Gjejmë m =− dhe n =− ( Kulmin e grafikut) 

2a 

4a 

REALIZIMI:. y = 2x 2 - 8x + 11 kthehet në formën y = a (x – m) 2 + m 

D = b 2 – 4ac = 64 – 88 = -24 

b 8 

−D 

24 

Gjejmë : m = − = = 2 dhe n = = = 3, 

2a 

4 

4a 

8 

atëhere funksioni y = 2x 2 – 8x + 11 ⇒ y = 2 (x – 2) 2 + 3 

Ndërtohet grafiku i funksionit y = ax 2 . 

Me që m = 2 > 0 dhe n > 0 , atëhere grafiku zhvendoset dy njësi djathtas dhe 3 njësi lart. 

E thënë ndryshe plani kortezian shndrrohet 2 njësi majtas dhe 3 njësi posht. 

Në se duam të gjejmë pikat ku grafiku prêt boshtin x ’ x atëhere 2x 2 – 8x + 11 = 0 D 

= - 24 

Grafiku nuk e prêt boshtin x ’ y. 

Ndërsa boshtin e x ’ y e prêt në pikën ku x = 0 del y = 11. 

Skiconi grafikun e y = 2x 2 – 8x + 11 . 

REFLEKTIMI: Të ndërtojmë grafikun e funksionit y = - 2x 2 + 16x - 11 

Udhëzojmë që nxënësit të ndjekin rrugën: 

a)Funksionin y = - 2x 2 + 16x - 11 shndrrojmë në formën y = a(x – m) 2 + n. 

b)Gjeni dallorin dhe m dhe n. 

c) Ndërtoni grafikun e funksionit y = ax 2 . 

d) Zhvendosni grafikun sipër vlerave m dhe n. 

Nxënësit të punojnë për të bërë ndërtimin e grafikut duke bërë argumentim në 

çdo hap . 


120

Detyra shtëpie: Të punohen ushtrimet: 6/ a / b / d 

IX.7. USHTRIME. 

Kujtoni: Jepen bashkësitë A = { a; b; c} dhe B = { 1, 6}. 

Gjeni : AxB = ? BxA = ? 

Nxënës të diskutojnë dhe të argumentojnë për prodhim kortezian të formës: 

AxB = {(a : 1) (a : b) (b : 1)……} 

Ushtrimi 2. Jepen: AxB ={(a:1); (0:5) (b:4) (b:b) (a : b) ( b : 5)} 

Gjeni A ∩ B = ? 

Shkruani bashkësinë e fillimit dhe mbarimit. 

A = {a , b} dhe B = { 4, 5, 6} 

A ∩ B = {b}. 

Ushtrimi 3. Jepen A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dhe B = { 1,3,5,7,9} 

R 1 = {( x,y)/ x > y dhe x ∈ A ; y ∈ B} 

R 1 = {(2;1) (3:1) (4;1) (4;3) (5;1) (5;3) (6;1) (6;3) (6;5) (7;1) (7;3) (7;5) (8;1) 

(8;3) (8;5) (8;7). 

Për çdo çift të radhitur le të ndërtohet pika respective me planin kortezian. 

(Nxënësit në mënyrë të pamvarur). 

Ushtrimi 4. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit f (x) = 3 x + 1 Ku funksion 

3x 

−12 

mund të marrë çdo vlerë të ndryshores me bashkësinë e numrave realë përveç vlerës të x 

që bën 3x – 12 = 0 x = 4. 

Bashkësia e zgjidhjes ose përcaktimit të funksionit mund të shkruhet: 

A = { x ∈ R)/ x ≠ 4} ose A = ]-∞ ; 4[ ∪ ]4 ; + ∞ [ 

3x 

+ 6 

Ushtrimi 5. f (x) = Që të ketë vlerë të funksionit duhet që: 3x + 6 ≥ 0 dhe 

x − 4 

⎧3x 

+ 6≥0 

⎧x 

≥−2 

x – 4 > 0 

⎨ ⎨ 

⎩x 

− 4 > 0 ⎩x 

> 4 

Figura 

Bashkësia e përcaktimi është: 

A = {{ x ∈ R)/ x > 4 ose A = ]4; +∞ [ 

Ushtrimi 6. Të ndërtohet grafiku i funksionit y = 4x 2 – x + 12. 

a)Shndrrojmë këtë funksion në formën y = a(x – m) 2 + n. 

b)Gjejmë dallorin D = 1 2 – 192 = - 191 

−b 

1 

−D 

196 

c)Gjejmë m dhe n : m = = 

n = = , 

2a 

8 

4a 

16 

2 

2 ⎛ 1 ⎞ 196 

atëhere y = 4x − x+ 12= 4⎜x− ⎟ + 

⎝ 8⎠ 

16 

d)Ndërtoni grafikun y = 4x 2 . 

Bëni zhvendosjen e grafikëve 1 191 

njësi djathtas dhe 

8 16 lart. 

121

Nxënësit të punojnë ushtrime 12. 


Detyra shtëpie: ushtrime 5 / c / d 6 / e /k /n dhe 8 / a/ b 

KREU X 

STATISTIKË DHE PROBABILITET 

X.1. KONCEPTET STATISTIKORE. 


• Të dalloni konceptet popullim, individ, tipar i vrojtuar. 

• Të organizoni të dhëna statistikore në tabela për të treguar denduritë dhe denduritë 

relative. 

• Të interpretoni të dhënat statistikore në situata problemore. 


Koncepte: popullim, individ, tipari i vrojtuar, sasior e diskrit. 

Metoda. 


Kujto 

Shpjegimi Puno me grupe 



EVOKIMI: Për të sqaruar konceptet mund të marrim një shëmbull. Në detyrën e 

kontrollit në lëndën e matematikës janë marrë këto nota: 7, 8, 4,10, 9, 8, 8, 9, 5, 8, 9.. 

Popullimi është bashkësia që merret në shqyrtim. (bashkësia e nxënësve). 

Individi është çdo element i këtij popullimi. (nxënësit) 

Tipari i vrojtuar është nota e marrë. “Tipari është sasiorë). 

REALIZIMI:. Shikoni shëmbujt 1 dhe 2, dhe për x135do rast të diskutojmë se cilët janë 

popullimin, individët, tipari i vrojtuar. 

E rëndësishme është që të dallojmë tiparin sasior diskret dhe sasior të 

vazhdueshëm. 

Ka edhe tipare cilësore kur ka të bëjë me ngjyrën, besimin fetar, vend banimi, 

preferenca muziokore, preferenca në sport. 

Të punojmë shëmbullin 3. “analizoni setencën”, për të vrojtuar zanoret e kësaj fjalie. 

Popullimi është bashkësia e fjalëve të fjalisë. 

Individi janë zanoret e gjyhës shqipe. 

Tipari është shpejtësia e përdasimit. 

Tipari është cilësor, janë zanoret a, e, ë, u, i, y, o.studjojmë edhe tabelat ku janë 

të shënuara zanoret, denduria dhe denduria relative, 

REFLEKTIMI: Të punoni problemin 3. 

Nxënësit duke pëqrpiluar një tabelë të përcaktojnë popullimin, individet, tiparin e 

vrojtuar, dendurinë. 

Mësuesi ka kohën e mjaftueshtme për të bërë punën e diferencuar me nxënës të 

vacant. 



Detyra shtëpie: problemi 4 dhe 5. 

122

X.2. ORGANIZIMI I TË DHËNAVE STATISTIKORE. 


• Të organizoni të dhënat statistikore në tabela, diagrama, histograme. 

• Të përpunoni të dhënat statistikore duke kaluar nga një formë në një tjetër. 


Mjetet: teksti , vizore, kompas, raportot. 

Metoda. 


Kujto 

Shpjeguese 

Puno me grupe 



EVOKIMI: Disa të dhëna statistikore si mund të paraqiten? 

Duke diskutuar në klasë, nxënësit duhet të afrohen apo të gjejnë se ato jepen me 

çift, me tabelë, me diagramë shigjetare, diagrama me shtylla etj. 

REALIZIMI:.Shikoni ushtrimin (shëmbullin në libër). 

Vështroni të dhënat dhe përgjigjuni. 

Cila është nota më e ulët? – Po më e lartë? 

Sa nota 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 janë marrë? 

Cili është popullimi? 

Cili është tipari i vrojtuar? 

Paraqiti me çifte të renditura? (4 : 4) (5:7) (6:9)……. 

Paraqiti të dhënat me disgramë në shtylla, ku në boshtin horizontal vendosen notat dhe në 

atë vertical vendosen denduria e 4, 5 , etj. 

Sa nxënës kanë marrë pjesë në detyrën e kontrollit? 

0 

360 0 

Sa gradë i takon çdo individi? 9 

40 = . 

Sa gradë i takon notave 4? 4 . 9 = 36 0 . Sa gradë i takon notave 5? 7 . 9 = 63 0 

Sa gradë i takon notave 6? 6 . 9 = 54 0 . Sa gradë i takon notave 7? 6 . 9 = 54 0 

Sa gradë i takon notave 8? 3 . 9 = 27 0 Sa gradë i takon notave 9? 9 . 9 = 54 0 

Sa gradë i takon notave 10? 5 . 9 = 45 0 

Në një rreth ndëetojmë sektorë rrethorë me masë sa më sipër. 

Për të organizuar praqitjen e tiparit sasor të vazhduar, vështrojmë të dhënat e 

shtatlartësisë të 20 punonjësve njëvjeçarë të një çerdher fëmijësh. 

Të dhënat në këtë rast i grupojmë në klasa me gjatësi 4cm. 

Vështroni tabelën dhe diagramat e ndërtuara. 


Ta diskutojmë të dhënat dhe të bëjmë kalimin e të dhënave nga tabela në diagrama me 

shtylla. 

Të bëhet vlerësimi me nota. 

Detyra shtëpie ushtrimet: 4 / 6 

123

X.3. MODA. MESATARJA ARITMETIKE. 


• Të gjeni modën e një vargu statistikor. 

• Të llogaritni mesataren aritmetike të një tipari sasior diskret. 



Metoda. 


Kujto 

Shpjego 

Puno me grupe 



EVOKIMI: Ç’është moda? 

Moda është vlera e tiparit të vrojtuar me denduri më të madhe. Shënohet M o . 

Ç’është mesatarja e aritmetikës? 

a1+ a2 + .... an 

Mesatarja gjendet me formulën : m = . 

n 

Ndërmjet a 1 , a 2 ……an mund të ketë edhe vlera të ndryshme. 

REALIZIMI:.Të punojmë shëmbullin e zgjidhur. 

Të dhënat janë notat e provimit të 20 nxënësve në lëndën e matematikës. 

Sa nota 4 janë marrë? 

Sa nota 5 , 6, 7, 8, 9, 10 janë? 

Përpiloni tabelën ku të shënohen notat. 

Shënohën edhe dënduria e tiparit të vrojtuar. 

Cila notë përsëritet më pak? – po më shumë” 

Ajo që përsëritet më shumë është nota 7 ( 5 herë). Kjo quhet moda. M o = ?. 

Për të gjetur notën mesatare mblidhen të gjitha notat dhe pjestohen me numrin e nxënësve 

(20). 

42 ⋅ + 54 ⋅ + 63 ⋅ + 75 ⋅ + 82 ⋅ + 93 ⋅ + 101 ⋅ 28+ 18+ 35+ 16+ 

77 134 

m = = = = 6,7 

20 20 20 

nëse tipari i vrojtuar është cilësor, atëhere nuk flitet për mesatare. 

REFLEKTIMI: Të punohen problemat 2. 

Vrojtoni të dhënat dhe përpiloni një tabelë. 

Sa familje kanë 0 fëmijë? 1 fëmijë? 2 fëmijë/ 3 fëmijë?. 

Gjeni modën e këtij tipari të vrojtuar? 

Gjeni mesataren aritmetike të këtij vargu statistikor? 

Nxënësit përgjigjen duke bërë argumentimin për çdo koncept duke u përfshirë 

edhe nxënësit e klasës. 


Detyra shtëpie problema 3 / 4: 4 / 6 

124

X.4. KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES. 


• Të gjeni mesoren e një vargu statistikor. 

• Të gjeni kuartilet (të majtë, të djathtë) të një vargu statistikor. 



Koncepte: mesoren kuartilet. 

Metoda. 


Kujto 

Shpjego 

Puno me grupe 



EVOKIMI: Në ç’mënyrë paraqiten të dhënat? 

A mësojmë diçka nga sistemi i të dhënave? 

Ç far mësojmë? Argumento ç’far mëson nga moda në një varg statistikor? Po 

mesatarja? 

REALIZIMI:.Shikoni dhe shënoni të dhënat e dy grupeve notat e marra në provim. 

Gjeni mesataren e çdo grupi. 

8+ 10+ 13+ 18+ 

20 69 

m1 

= = = 6,9 

10 10 

Mesatarja e çdo grupi është e njëjtë 6,9. 

Të dhënat e grupit të dytë janë më të përmbledhuar, ndërsa të dhënat e grupit të 

parë janë më të shpërndarë. 

Ç’është karakteristika e shpërndarjes? 

Të sqarojmë se këtu hyn mesorja. Mesorja është vlera që i ndan të gjitha të 

dhënat e gjetura “më dysh” kur ato radhiten nga më e vogla tek më e madhja. 

Paraqiten dy raste: 

a)Vargu ka numër tek vlerash, mesorja është vlera e mesit (shiko me vargun e dhënë në 

libër). 

b)Vargu ka numër çift vlerash, mesorja është mesatarja e dy vlerave të mesit (shiko 

shëmbullin në libër). 

E rëndësishme është edhe koncepti amplituda. 

Diferenca e vlerës më të madhe me atë më të vogël. 

Shikoni edhe vlerën e dy kuartileve të majtë e djathtë. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 5 

Kemi 3 grupe nxënësish. Për çdo grup të gjejmë: 

a)modën, mesataren, mesoren, kuartile e majtë, kuartile e djathtë. 

b)Komentoni rezultatet e gjetura. 

Ndërsa nxënësit përgatisin dhënien e përgjigjes për çdo grup, mësuesi punon me mënyrë 

të diferencuar me nxënës të vacant. 

Deklarohet përgjigja duke argumentuar çdo koncept dhe ku përfshihen edhe 

nxënësit e tjerë. 


Detyra shtëpie problemi 2/ 4/ 6. 

125

X.5. PROBABILITETI STATISTIKOR. 


• Të gjeni gjeni probabilitetin teorik. 

• Të gjeni probabilitetin statistikor. 

• Të zbatoni probabilitetin teorik dhe atë statistikor në situata problemore. 


Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 

KONCEPTI: probabilitet statistikor, probabilitet teorik. 


Studjoni problemin e tre nxënësve. 

Si e gjejmë probabilitetin e rënies lekë për monedhën e hedhur? 

Nga 50 herë të hedhura është : 18 0,36 

50 = 

REALIZIMI:.Njëlloi e gjejmë edhe probabilitetin tek nxënësi i dytë. 

990 

Nga 2000 herë; 990 herë ra lekë. p 

( ) 

= = 0,495 . 

A 

2000 

Rëndësi ka mënyra se si arsyetoi nxënësi i tretë për të gjetur probabilitetin pa hedhur fare 

monedhën. 

1 

Nga dy herë njëherë bie lek p = = 0,5 . 

2 

Dy ratet e para janë probabiliteti statistikore, kurse i treti probabiliteti teorik. 

Punojmë edhe shëmbujt e tjerë të zgjidhura. Këto dy probabilitete statistikore dhe teorike 

kanë lidhje me zgjidhjen e situatave problemore. 

REFLEKTIMI: Ja një shëmbull. Problemi 1. 

Kubi hidhet 1200 herë. Sa është numri i pritshëm që të bjerë numri 6? 

Për të zgjidhur këtë problem, arsyetojmë kështu: 

Gjejmë probabilitetin teorik: H = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }. 

n(H) = 6 “Të bjerë 6” A = {6} n(A) = 1 

n( A) 

1 

p() 

= = Ky është probabiliteti teorik. 

t 

n H 6 

( ) 

Nëse me e hedhim 1200 herë , atëhere të bjerë numri 6 është : 1 ⋅ 1200 = 200 herë do 

6 

bjerë 6. 

Po kështu zgjidhem edhe rastet e tjera. 

Nxënësit punojnë për të zgjidhur problemin 2, ndërsa mësuesi ndihmon me punë të 

diferencuar nxënës të veçant. 

Deklarohet përgjigja duke arsyetuar. 


Detyra shtëpie problema 3 / 5 

126

X.6. NGJARJE E SIGURT. NGJARJE E PAMUNDUR. NGJARJET E 

PAPAJTUESHME. 


• Të dalloni ngjarjen e sigurt dhe të gjeni probabilitetin e tyre. 

• Të dalloni ngjarjen e pamundur dhe të gjeni probabilitetin e tyre. 

• Të dalloni ngjarjet e papajueshme. 


Koncepti: ngjarja e sigurt, ngjarja e pamundur, ngjarja e papajtueshme. 

Metoda. 


Kujto 


Shpjego 


Puno me grupe 

dyshe 


Këto koncepte do ti sqarojmë me anën e një shëmbulli. 

Kemi provën hedhjen e kubit me faqet e shënuara numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Sa është probabiliteti i ngjarjes, “numri i rënë është 7”. 

Gjeni hapsirën, numrin e hapsirave, ngjarjen numrin e ngjarjeve. 

Nxënësit shikojnë te kjo zgjidhje: 

n( A) 

6 

H = { 1,2,3,4,5,6} n(H) = 6 p( ) 

= = = 

A 

1 

n( H) 

6 

A = {1,2,3,4,5,6” n(A) = 6 

Në rastin kur probabiliteti del 1, ngjarja quhet e sigurtë. 

REALIZIMI: Për ngjarjen “numri I rënë të jetë tetë”. 

n( A) 

0 

n(H) = 6 p( ) 

= = = 0 

A 

n( H) 

6 

n(A) = 0 

në këtë rast themi se ngjarja quhet e pamundur. 

Ajo që do të theksojmë për herë të parë është ajo e ngjarjes e papajtueshme. 

Shtjellojmë ngjarjen C dhe D. 

Ngjarja C : “Të bjerë numër tek” 

Ngjarja D “Të bjerë numër më i > se 5” 

H = {1,2,3,4,5,6} n(H) = 6 C = {1,3,5} n© = 3 

D – {6} n(D) = 1 

Vihet re se dy ngjarjet C dhe D nuk mund të ndodhin të dyja njëherësh. 

Pra nëse ndodh ngjarja C, atëhere nuk mund të ndodh ngjarja D dhe anasjelltas. 

Në këtë rast thuhet se ngjarjet janë të papajtueshme. 

REFLEKTIMI: Të punohet problemi 3. 

Rruga e zgjidhjes është kjo: 

Gjejmë: a)hapsirën. 

b)numrin e hapsirave 

c)ngjarjen 

d)numrin e ngjarjes 

127

e)Gjej probabilitetin e ngjarjes. 

Nxënësit punojnë në grupe dyshe për të bërë njehsimet e duhura,mësuesi ka hapsirën e 

nevojshme për të sqaruar, ndihmuar nxënës të veçant. 

Bëhen deklarimet e zgjidhjes duke i u nënshtruar një diskutimi me masën e 

nxënësve për çdo etap.. 


Detyra shtëpie problema 1/4/5 

128

Matematika 9 - Shtepia Botuese Uegen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?