НАУЧНЫЕ УНИВЕРСАЛИИ - На главную - Санкт-Петербургский ...

геометрии отсутствовал стандартный набор аксиом; именно ему
приписывалось написание первого трактата по геометрии с названием
«Начала» [12, P. 151-153]), а относительной отправной точкой в
исследовании и доказательстве. Кроме того, разбирается пример из трактата
Архимеда «О сфере и цилиндре» («Дан конус или цилиндр, нужно найти
сферу, равную конусу или цилиндру») [2, С. 142]. Архимед дает
относительное доказательство, используя анализ и синтез: анализ
показывает, что решение проблемы цилиндра порождает решение
проблемы двух средних пропорциональных (трансформация данной
проблемы в другую). Синтез доказывает обратное: решение другой
проблемы порождает решение данной. Совместное применение анализа и
синтеза показывает, что две проблемы эквивалентны. Сами методы
тождественны методу apagōgē [7, P. 8]. В относительном доказательстве
анализ представляет собой (как в первом определении Паппа) поиск
предпосылок посредством вывода следствий. Тем не менее, это
противоречит второму определению анализа. Решение этого противоречия
предложили Я. Хинтикка и У. Ремис [9, P. 8, 13-16], а также У. Норр [13, P.
354-356]. Суть его в том, что в анализе происходит исследование следствий
вообще или «всего сопутствующего», а не следствий из «искомого»; также
в анализе не указывается «направление» исследования следствий,
поскольку он охватывает как дедукцию, так и редукцию.
Тем не менее, Берггрен и Ван Браммилин указывают на более
сложное понимание анализа и синтеза, отраженное в работах античных
геометров [7, P. 10-15; см. также 19, P. 583-588]. Примером этого является
проблема 4 кн. II «О сфере и цилиндре» (приведенные в нем анализ и синтез
не соответствуют процедурам дедукции и редукции, синтез не является
простым обращением анализа, конечный результат отличается от редукции
или дедукции, представляя собой законченное построение, основанное на
первых безусловных началах). Именно наличие аксиом обуславливает
разделение анализа на две части. Первая является трансформацией (одной
проблемы в другую, в смысле более простого анализа), с добавлением
дополнительной задачи: необходимо показать, что решение начальной
проблемы достижимо из данных аксиом. Относительный анализ
превращается в безусловный. Трансформация завершается, когда мы
приходим к отношению, дающему решение (в котором выясняется, что
выполнение трансформированной проблемы достижимо из данных аксиом).
Это отношение устанавливает соответствие между объектом, полученным
посредством трансформации и условиями, данными в теореме и дает
средства проверки условий существования решения начальной проблемы.
Вторая часть анализа – решение, определение того, что построение
«трансформированного» объекта (теперь данного) допускает построение
231