НАУЧНЫЕ УНИВЕРСАЛИИ - На главную - Санкт-Петербургский ...

В античной математике в нескольких текстах дано определение
метода анализа и синтеза. Самое подробное – начало седьмой книги
«Математического собрания» Паппа Александрийского (III – IV в.) [18, P.
82-84]: анализ, является специальным материалом, для тех, кто, изучив
Общие Начала (т.е. геометрию, изложенную в «Началах» Евклида) хочет
продвинуться в геометрии к решению проблем. Анализ (1) – путь от
искомого, как допущенного, посредством исследования следствий, к тому,
что установлено синтезом. В анализе (2) мы допускаем искомое как
установленное и ищем то, из чего оно следует, затем предшествующее, пока
не приходим к тому, что уже известно или является первоначалом. В
синтезе, наоборот, мы принимаем достигнутое последним в анализе, как
установленное и, располагая, согласно порядку природы, его предпосылки в
качестве следствий, связываем их между собой и получаем в конце
конструкцию искомого. Есть два вида анализа: в первом мы ищем истину,
и данный вид анализа называется «теоретический»; другой вид анализа
служит для достижения того, что требуется (предложено) построить и он
называется «проблематическим». В теоретическом анализе мы принимаем
искомое как действительное и истинное и, продвигаясь через его следствия,
приходим к чему-то установленному и, если установленное истинно, то
искомое также истинно и в его доказательстве мы обращаем анализ; но если
установленное ложно, то искомое также ложно. В проблематическом
анализе мы допускаем положение как известное и, продвигаясь через его
следствия, приходим к чему-то установленному и, если установленное
возможно и достижимо, что в математике называется «данное», то искомое
также возможно и в его доказательстве мы также обращаем анализ; но если
установленное невозможно, то проблема также невозможна. Два
определения анализа, очевидно, кажутся взаимопротиворечащими: в
первом анализ представляет собой путь от искомого, посредством
дедукции, к чему-то «установленному» (данному), во втором от следствия,
посредством редукции, к предпосылкам. Из второго определения анализа
следует, что синтез излишен. Исследованию данных затруднений
посвящена обширная литература, но на наш взгляд наиболее обоснованное
решение предложено в работе Дж. Л. Берггрена и Г. Ван Браммилина [7, P.
5-8]. Они указывают на метод apagōgē (метод сведения и перехода от одной
проблемы к другой) Гиппократа Хиосского, являвшийся исторически
первой формой метода анализа и синтеза. Гиппократ решил задачу
удвоения куба посредством сведения ее к решению проблемы нахождения
двух средних пропорциональных в непрерывной пропорции между двумя
заданными величинами. Допущение решения последней задачи выступает
как предпосылка решения задачи удвоения куба. «Предпосылка» в методе
Гиппократа является не безусловной аксиомой (в эпоху Гиппократа в
230