ÐÑÑÑÐ°Ñ Ð¼Ð°ÑемаÑика» по ÑÐ°Ð·Ð´ÐµÐ»Ñ Â«Ð ÑдÑ» - ÐолоÑкий ...
ÐÑÑÑÐ°Ñ Ð¼Ð°ÑемаÑика» по ÑÐ°Ð·Ð´ÐµÐ»Ñ Â«Ð ÑдÑ» - ÐолоÑкий ...
ÐÑÑÑÐ°Ñ Ð¼Ð°ÑемаÑика» по ÑÐ°Ð·Ð´ÐµÐ»Ñ Â«Ð ÑдÑ» - ÐолоÑкий ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Министерство образования Республики Беларусь<br />
Учреждение образования<br />
«Полоцкий государственный университет»<br />
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ<br />
ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ»<br />
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ (ТЕХНИЧЕСКИЕ<br />
СПЕЦИАЛЬНОСТИ)<br />
Составление Ф.Ф. Яско, О.В. Скоромник, Д.В. Инц, И.В. Инц<br />
Общая редакция Ф.Ф. Яско<br />
Кафедра высшей математики<br />
Новополоцк 2013<br />
1
СОДЕРЖАНИЕ<br />
Дидактические цели обучения 3<br />
Информационная таблица «Ряды» 4<br />
Вопросы к экзамену (зачету) по разделу «Ряды» 6<br />
Основная и дополнительная литература 7<br />
I. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда 8<br />
II. Необходимый признак сходимости. Ряды 11<br />
с положительными членами. Теоремы сравнения<br />
III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный 14<br />
признаки Коши<br />
IY. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. 16 16<br />
Абсолютная и условная сходимость<br />
Y. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала 19 19<br />
сходимости<br />
YI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения 23 23<br />
YII. Контрольная работа по теме «Ряды» 27 27<br />
YIII. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [-, ] 28 28<br />
,<br />
30 30<br />
IX. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на <br />
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Ряды» 34 34<br />
Глоссарий 50<br />
2
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ<br />
Студент должен знать<br />
определение ряда, его сходимости и<br />
расходимости, суммы ряда;<br />
необходимый признак сходимости и<br />
достаточный признак расходимости;<br />
признаки сравнения, «эталонные ряды»;<br />
достаточные признаки сходимости<br />
числовых рядов с положительными<br />
членами: Даламбера и Коши;<br />
определение абсолютной и условной<br />
сходимости знакопеременных рядов;<br />
теорему Лейбница для исследования<br />
на сходимость знакочередующихся рядов;<br />
понятие мажорируемых функциональных<br />
рядов;<br />
определение интервала сходимости;<br />
формулы нахождения радиуса сходимости;<br />
теоремы о почленном дифференцировании<br />
и интегрировании степенных<br />
рядов;<br />
ряды Тейлора и Маклорена, условия<br />
разложимости функций в ряд Тейлора;<br />
x<br />
разложения функций e , sin x , cos x<br />
в ряды Маклорена, биномиальный ряд<br />
и его частные случаи;<br />
методы оценки погрешности при<br />
приближенных вычислениях с помощью<br />
рядов;<br />
теорему Дирихле о разложении<br />
функций в ряды Фурье;<br />
формулы для вычисления коэффициентов<br />
ряда Фурье и самого ряда Фурье<br />
для 2-периодических и 2 -<br />
периодических функций; для четных и<br />
нечетных функций.<br />
Студент должен уметь<br />
исследовать числовой ряд на сходимость<br />
или расходимость по определению,<br />
в необходимых случаях находить<br />
сумму ряда;<br />
применять достаточный признак<br />
расходимости;<br />
применять признаки сравнения;<br />
применять признаки Даламбера и<br />
Коши;<br />
исследовать знакопеременные ряды<br />
на абсолютную и условную сходимость;<br />
применять теорему Лейбница для<br />
исследования сходимости знакочередующихся<br />
рядов;<br />
находить область сходимости простейших<br />
функциональных рядов;<br />
находить интервал сходимости степенных<br />
рядов, исследовать сходимость<br />
на концах интервала;<br />
раскладывать функции в ряды Тейлора<br />
и Маклорена;<br />
применять теоремы о почленном<br />
дифференцировании и интегрировании<br />
степенных рядов для разложения<br />
функций в ряды Тейлора и нахождения<br />
сумм этих рядов;<br />
применять ряды к приближенному<br />
вычислению значений функций и определенных<br />
интегралов;<br />
применять степенные ряды к нахождению<br />
частных решений дифференциальных<br />
уравнений;<br />
вычислять коэффициенты ряда Фурье<br />
и записывать сам ряд Фурье;<br />
применять разложения функций в<br />
ряд Фурье для вычисления сумм некоторых<br />
сходящихся числовых рядов.<br />
3
k <br />
1. lim 1<br />
e<br />
n<br />
n <br />
sin ky<br />
2. lim k ;<br />
y0<br />
y<br />
n<br />
k<br />
;<br />
Информационная таблица «Ряды»<br />
«Важные сведения из пределов»<br />
n<br />
3. lim n 1;<br />
1<br />
n<br />
5. lim 0 ;<br />
n<br />
n<br />
n!<br />
n<br />
4. lim n<br />
n<br />
n x x<br />
e ; 6. ln x x a x<br />
n<br />
n!<br />
при x, a>1, n .<br />
«Ряды»<br />
Числовой ряд- сумма элементов последовательности<br />
a n n .<br />
конечный предел последовательности его<br />
Числовой ряд называется сходящимся, if <br />
<br />
частичных сумм: S lim S n .<br />
n<br />
a a a ... a ...<br />
n1<br />
if lim S<br />
n<br />
n<br />
n<br />
1 2<br />
не или бесконечен,<br />
то ряд называется<br />
расходящимся<br />
n<br />
if<br />
<br />
a сходится, то lim a 0<br />
n1 n<br />
n<br />
(необходимое условие сходимости<br />
ряда).<br />
Признак сравнения 1.<br />
Пусть заданы знакоположительные ряды (1)<br />
<br />
a , (2)<br />
n1 n<br />
<br />
b и n n 0 , a n b n .<br />
n1 n<br />
Тогда если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2);<br />
если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).<br />
n<br />
<br />
a сходится <br />
n1 n<br />
lim r 0,<br />
n<br />
n<br />
rn an1 an2 ...<br />
Признак сравнения 2.<br />
Если конечный предел<br />
an<br />
lim 0 , то ряды (1) и (2)<br />
n<br />
bn<br />
сходятся или расходятся одновременно.<br />
Ряды «эталоны»<br />
1. Ряд Дирихле<br />
2. Геометрическая прогрессия<br />
(обобщенный гармонический ряд)<br />
при q 1, сход.<br />
n<br />
b1<br />
1<br />
<br />
n1<br />
n<br />
- 1, расх.<br />
b1q<br />
<br />
, S .<br />
n0<br />
при q 1, расх.<br />
1, сход.<br />
<br />
1 q<br />
Признак Даламбера. Пусть задан<br />
знакоположительный ряд<br />
a<br />
if<br />
1<br />
lim<br />
n <br />
p , то<br />
n<br />
a<br />
n<br />
<br />
a<br />
n1 n<br />
. Тогда<br />
Радикальный признак Коши. Пусть задан<br />
знакоположительный ряд<br />
if lim n a<br />
n<br />
n<br />
p , то<br />
Интегральный признак Коши. Пусть для знакоположительного ряда<br />
<br />
a<br />
n1 n<br />
<br />
n1 n<br />
. Тогда<br />
a положительная,<br />
непрерывная и монотонно убывающая на промежутке a,<br />
a <br />
функция<br />
f x такая, что f n an<br />
a и f xdx<br />
сходятся или расходятся<br />
одновременно.<br />
при p1 –ряд расход.,<br />
при p=1 нужны доп.исслед.<br />
. Тогда ряд<br />
<br />
n1 n<br />
<br />
1<br />
a<br />
при p1 –ряд расход.,<br />
при p=1 нужны доп.исслед.<br />
4
Пусть задан знакопеременный ряд<br />
Тогда, если ряд<br />
<br />
n1 n<br />
Знакопеременные ряды<br />
<br />
a (1), где a n – числа произвольного знака.<br />
n1 n<br />
a (2) сходится, то сходится и данный ряд, при этом он называется<br />
абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то он называется<br />
условно сходящимся.<br />
1<br />
Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд <br />
a 0<br />
<br />
n1<br />
1 n n<br />
a .<br />
1) a1 a2<br />
<br />
an<br />
<br />
Тогда, if выполняются условия:<br />
, то данный ряд сходится и его<br />
2) lim an<br />
0, <br />
сумма 0 S a1<br />
.<br />
C<br />
R lim<br />
n или<br />
n<br />
C<br />
n1<br />
R <br />
Степенные ряды<br />
1 <br />
n<br />
lim n , if Cn<br />
x .<br />
C<br />
n<br />
n<br />
n1<br />
(-R, R) – интервал сходимости, при х=-R и х=R ряд исследуется дополнительно.<br />
1<br />
a f x dx<br />
0<br />
<br />
Ряд Фурье<br />
a <br />
0<br />
f x an<br />
cos nx bn<br />
sin nx<br />
,<br />
2<br />
n1<br />
<br />
, a f xcos<br />
nx dx<br />
<br />
, <br />
<br />
n<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
b f x sin nx dx<br />
<br />
.<br />
Если 2 - периодическая функция f(х) кусочно-монотонная и ограниченная, то ряд<br />
справа сходится, именно, к этой функции f(х).<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
Если f(х) – четная функция, то она раскладывается<br />
в ряд Фурье только по косинусам, при<br />
этом<br />
b 0;<br />
n<br />
2<br />
a f x dx<br />
0<br />
<br />
<br />
, <br />
0<br />
2<br />
a f x cos nx dx<br />
<br />
,<br />
n<br />
<br />
0<br />
если f(х) – нечетная функция,<br />
то она раскладывается только<br />
по синусам, при этом a0 0 ,<br />
2<br />
a 0, b f xsin<br />
nx dx<br />
<br />
.<br />
n<br />
n<br />
<br />
0<br />
Если 2 – периодическая функция f(х) задана на ,<br />
, то ряд Фурье имеет вид:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
a0<br />
f x<br />
dx<br />
<br />
a <br />
0 n<br />
n<br />
<br />
an<br />
cos x bn<br />
sin x , где<br />
2 <br />
n1<br />
<br />
<br />
<br />
1 n<br />
an<br />
f x cos x dx<br />
<br />
<br />
, <br />
<br />
<br />
<br />
1 n<br />
bn<br />
f x sin x dx .<br />
<br />
<br />
, <br />
5
Вопросы к экзамену (зачету) по разделу «Ряды»<br />
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.<br />
2. Простейшие действия над рядами. Необходимый признак сходимости.<br />
Гармонический ряд.<br />
3. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.<br />
4. Признаки сходимости Даламбера и Коши.<br />
5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.<br />
6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.<br />
7. Функциональные ряды. Область сходимости.<br />
8. Степенные ряды. Теорема Абеля.<br />
9. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.<br />
10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.<br />
11. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложения функций.<br />
x<br />
m<br />
12. Разложение в ряд Маклорена e , sin x, cos x, 1<br />
x<br />
.<br />
13. Приложения рядов к приближенному вычислению значений функций<br />
и определенных интегралов.<br />
14. Приложения рядов к решению дифференциальных уравнений.<br />
15. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле.<br />
16. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на<br />
(, ).<br />
17. Разложение в ряд Фурье 2 -периодических функций.<br />
18. О разложении в ряд Фурье непериодических функций.<br />
6
Основная и дополнительная литература<br />
1. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.<br />
Функции комплексного переменного. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский –<br />
М.: Наука, 1980.<br />
2. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике. / А.А. Гусак,<br />
Г.М.Гусак – Мн.: Навука и тэхника, 1991.<br />
3. Жевняк, Р.М. Высшая математика. Ч.3 / Р.М.Жевняк, А.А.Карпук <br />
Мн.: Вышэйшая школа, 1985.<br />
4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 2. /<br />
Н.С.Пискунов – М.: Наука, 1985.<br />
5. Берман, Г.М. Сборник задач по курсу математического анализа /<br />
Г.М.Берман – М.: Наука, 1971.<br />
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2 /<br />
П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова – М.: Высшая школа, 1980.<br />
7. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического<br />
анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. М.:<br />
Наука, 1981.<br />
8. Индивидуальные задания по высшей математике. / Под общей редакцией<br />
А.П. Рябушко Мн.: Вышэйшая школа, 2004.<br />
9. Дифференциальные уравнения. Ряды.: учеб.-метод. комплекс для студентов<br />
техн. специальностей / Ф.Ф. Яско. – Новополоцк: ПГУ, 2008. –<br />
324 с.<br />
10. Дифференциальные уравнения. Ряды.: учеб.-метод. комплекс для студентов<br />
техн. специальностей / Н.В. Цывис, В.М. Кулага. – Новополоцк:<br />
ПГУ, 2008. – 212 с.<br />
7
I. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда<br />
1. Для большинства числовых рядов сумму ряда найти трудно и, что<br />
для практических целей, достаточно ответить на вопрос: сходится ряд или<br />
расходится?<br />
Бесконечная сумма<br />
a1 a2<br />
an<br />
... an<br />
,<br />
n<br />
<br />
n1<br />
n<br />
где an<br />
R , называется числовым рядом. Числа a1, a2, , a n ,... называются<br />
членами ряда, а число a n – общим членом ряда.<br />
Конечные суммы S1 a1<br />
, S2 a1 a2<br />
, ..., Sn<br />
a1 a2 ... an<br />
, … называются<br />
частичными суммами, а S n – n-й частичной суммой ряда.<br />
Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма S n при<br />
неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если<br />
lim S n S . Число S называют суммой ряда. Если же lim S n не существует<br />
(в частности, бесконечен), то ряд называется расходящимся.<br />
В теоретической части модуля рассмотрен в качестве примера ряд,<br />
составленный из членов геометрической прогрессии,<br />
2 n 1<br />
a a q a q ... a q ...,<br />
1 1 1 1<br />
a1<br />
который сходится, если q 1 (его сумма S ) и расходится, если<br />
1 q<br />
q 1.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Дан общий член ряда an<br />
<br />
10 1<br />
. Написать<br />
первые четыре члена ряда.<br />
1<br />
2<br />
Решение. Если п = 1, то a1<br />
; если n = 2, то a2<br />
; если<br />
11<br />
101<br />
3<br />
4<br />
n = 3, то a3<br />
; если n = 4, то a4<br />
; …. Ряд можно записать в<br />
1001<br />
10001<br />
виде<br />
1 2 3 4 n<br />
... ...<br />
n<br />
11 101 1001 10001 10 1<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Найти общий член ряда<br />
n<br />
n<br />
8
2 3 4<br />
2 3 4 5 <br />
...<br />
3 7 11 15<br />
<br />
Решение. Показатель степени каждого члена совпадает с номером<br />
этого члена, поэтому показатель степени n-го члена равен n. Числители<br />
дробей 2, 3, 4, 5, … образуют арифметическую прогрессию с первым членом<br />
2 и разностью 1, поэтому n-й числитель равен n+1. Знаменатели образуют<br />
арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4,<br />
следовательно, an<br />
a1 d n 1 3 4n 1<br />
3 4n 4 4n<br />
1. Итак, общий<br />
член ряда<br />
a<br />
n<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
<br />
4n<br />
1 .<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать сходимость ряда<br />
2 1 1 1 1<br />
...<br />
3 3 6 12 24<br />
Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической<br />
прогрессии, где<br />
2<br />
a1<br />
3 4<br />
S .<br />
1<br />
q 1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
q <br />
1<br />
1 , поэтому он сходится и его сумма<br />
2<br />
. Пред-<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4 . Найти сумму ряда<br />
1 1 1<br />
...<br />
1 2 3 2 3 4 3 4 5<br />
1<br />
Решение. Очевидно, общий член ряда a n <br />
n n 1 n 2<br />
ставим его в виде суммы простейших дробей<br />
1<br />
A B <br />
C<br />
n n 1 n 2 n n 1 n 2<br />
.<br />
<br />
<br />
Умножая на знаменатель левой части, придем к тождеству<br />
1 A n 1 n 2 Bn n 2 Cn n 1 .<br />
<br />
1<br />
Пусть n = 0, тогда 1 = 2А A ;<br />
2<br />
пусть n = 1, тогда 1 = В В = 1;<br />
9
пусть n = 2, тогда 1 = 2С <br />
1<br />
C .<br />
2<br />
Таким образом,<br />
1 1 1 1 1 1 1 2 1 <br />
a n <br />
2 n n 1 2 n 2 2 n n 1 n 2 . Тогда<br />
1 1 1 1 1<br />
S n<br />
...<br />
1 2 3 2 3 4 3 4 5 n 1 n n 1 n n 1 n 2<br />
<br />
<br />
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 <br />
... <br />
2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n 1 n n 1 n n 1 n 2 <br />
1 1 1 1 1<br />
.<br />
2 2 n 1 n 2 4<br />
Итак, ряд сходится и имеет сумму 1 4 .<br />
Вопросы и задания<br />
Выполнить следующие задания:<br />
1) Написать формулы общих членов рядов:<br />
а) 1 3 5 7 ...<br />
2 4 6 8<br />
б)<br />
2) Найти суммы рядов:<br />
а)<br />
б)<br />
в)<br />
г)<br />
<br />
n<br />
n<br />
3 5<br />
. Ответ:<br />
n<br />
n1<br />
15<br />
1 1 1<br />
... ... Ответ:<br />
1 4 2 5 n n 3<br />
<br />
1 1 1<br />
... ...<br />
1 7 3 9 2 1 2 5<br />
<br />
<br />
n n <br />
3 5 2n<br />
1<br />
... 2 2 ...<br />
4 36 n n 1<br />
2 3 4<br />
2 2 2 2<br />
...<br />
1 1 2 1 2 3 1 2 3<br />
4<br />
Ответ:<br />
3<br />
S ;<br />
4<br />
11<br />
S ;<br />
18<br />
23<br />
S ;<br />
90<br />
Ответ: S = 1.<br />
10
II. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными<br />
членами. Теоремы сравнения<br />
1. Отметим, что необходимый признак (из сходимости ряда<br />
lim a 0 ) не является достаточным, т.е., если lim a 0 , то ничего<br />
n<br />
n<br />
n<br />
нельзя сказать о сходимости или расходимости данного ряда. А вот, если<br />
lim a 0, то ряд расходится (это достаточный признак расходимости).<br />
n<br />
n<br />
П р и з н а к с р а в н е н и я 1 . Если для всех n n 0 выполняется неравенство<br />
0 an bn<br />
, то:<br />
членами.<br />
1) если ряд<br />
2) если ряд<br />
<br />
<br />
bn<br />
сходится, то сходится и ряд an<br />
;<br />
n1<br />
n1<br />
<br />
<br />
an<br />
расходится, то расходится и ряд bn<br />
n1<br />
n1<br />
n<br />
<br />
<br />
n1<br />
a<br />
с большими<br />
n bn<br />
n1<br />
n1<br />
П р и з н а к с р а в н е н и я 2 . Если конечный и отличный от нуля<br />
a<br />
lim<br />
n<br />
<br />
, то оба ряда an<br />
и bn<br />
одновременно сходятся или одновременно<br />
расходятся.<br />
В качестве рядов для сравнения часто выбирают ряд, составленный<br />
из членов геометрической прогрессии,<br />
всех q 1 и сумма которого<br />
<br />
<br />
n1<br />
aq<br />
n1<br />
, который сходится для<br />
a<br />
S , а также, так называемый, обобщен-<br />
1 q<br />
<br />
1<br />
ный гармонический ряд (ряд Дирихле) , который сходится для всех<br />
p<br />
n1<br />
n<br />
р > 1 и расходится, если р 1.<br />
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в<br />
нем отбросить или добавить любое конечное количество членов. Но его<br />
сумма, если она существует, при этом изменяется.<br />
n<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда<br />
1 1 1 1<br />
...<br />
11 12 13 14<br />
11
Решение. Данный ряд получается из гармонического ряда<br />
1 1 1<br />
1 ... ...,<br />
2 3 n<br />
который расходится, как частный случай ряда Дирихле (р = 1), отбрасыванием<br />
первых десяти членов. Следовательно, он расходится.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда<br />
0,6 + 0,51 + 0,501 + 0,5001 + …<br />
Решение. Здесь a 0,5 0,1 n<br />
n (n = 1, 2, …),<br />
1 <br />
lim an<br />
lim 0,5 0,5 0<br />
n<br />
n<br />
n и ряд расходится по достаточному признаку<br />
10 <br />
расходимости.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Доказать сходимость ряда<br />
<br />
1 1 1 1<br />
... ...<br />
n<br />
2<br />
n<br />
n1<br />
n 3 13<br />
23 n 3<br />
Решение.<br />
1 1<br />
Воспользуемся неравенством <br />
n n<br />
n 3 3<br />
(n 2) и сравним<br />
данный ряд со сходящимся рядом , q 1 . Согласно первому<br />
<br />
1 1<br />
3<br />
признаку сравнения данный ряд сходится.<br />
n1<br />
3 n<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать на сходимость ряд<br />
<br />
1<br />
.<br />
2<br />
n2<br />
n 1<br />
Решение. Так как<br />
1 1<br />
для любого n 2, то члены данного<br />
2<br />
n 1 n<br />
ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда.<br />
Значит, исходный ряд тоже расходится.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 5. Исследовать на сходимость ряд<br />
2<br />
<br />
2<br />
1<br />
n <br />
3<br />
n1<br />
1<br />
n <br />
<br />
.<br />
Решение. Если общим членом ряда является отношение двух многочленов,<br />
то в качестве ряда для сравнения рекомендуется брать ряд Ди-<br />
12
1<br />
рихле , где р равно разности степеней многочленов, стоящих в знаменателе<br />
и числителе (если степень числителя больше, либо равна, степе-<br />
p<br />
n1<br />
n<br />
ни знаменателя, то, очевидно, lim a 0 и ряд расходится в этом случае).<br />
n<br />
n<br />
В нашем примере степень знаменателя – 6 (содержит n 6 ), а числителя<br />
4 (содержит n 4 ), поэтому р = 6 – 4 = 2 и в качестве ряда для сравне-<br />
<br />
1<br />
ния берем ряд , который сходится, так как р = 2 > 1. Применим второй<br />
признак<br />
2<br />
n1<br />
n<br />
сравнения<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
2 2 4 2<br />
2<br />
a <br />
1 1 2<br />
n 1 n <br />
1 n n n n n<br />
lim lim <br />
lim lim<br />
n n<br />
3 <br />
<br />
2<br />
3<br />
2 3 6<br />
bn<br />
<br />
1 n n n n<br />
1 2n n<br />
<br />
<br />
1<br />
n<br />
6 4 2<br />
n 2n n<br />
lim 1<br />
0 .<br />
n<br />
6 3<br />
n 2n<br />
1<br />
Получили конечный, отличный от нуля, предел. Значит, данный ряд<br />
тоже сходится. Заметим, что lim a 0 .<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Вопросы и задания<br />
1. Исследовать на сходимость следующие ряды:<br />
2<br />
<br />
n 1<br />
а) .<br />
3<br />
n1<br />
n<br />
Ответ: расходится;<br />
2 n<br />
б) 1 ... ...<br />
3 2n<br />
1<br />
Ответ: расходится;<br />
<br />
в) sin sin ... sin ...<br />
2 4 2 n <br />
Ответ: сходится;<br />
<br />
1 2 2<br />
г) n n 1 n n 1<br />
.<br />
n<br />
n1<br />
Ответ: расходится;<br />
д)<br />
е)<br />
ж)<br />
<br />
1<br />
.<br />
4<br />
n 1<br />
Ответ: сходится;<br />
n1<br />
<br />
1<br />
.<br />
4 2 3<br />
Ответ: сходится;<br />
n<br />
n1<br />
<br />
2 3<br />
2 1 2 1 2 1 <br />
2 3 ...<br />
5 1 5 1 5 1<br />
Ответ: сходится.<br />
13
III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки<br />
Коши<br />
Признак Даламбера:<br />
a 1<br />
lim<br />
n <br />
p (при<br />
n<br />
an<br />
р < 1 ряд сходится, при<br />
р > 1 ряд расходится, при р = 1 нужны дополнительные исследования);<br />
Радикальный признак Коши: p lim n an<br />
(при р < 1 ряд сходится,<br />
n<br />
при р > 1 ряд расходится);<br />
Интегральный признак Коши: если сходится (расходится) несобственный<br />
интеграл<br />
<br />
<br />
n1<br />
a<br />
n<br />
<br />
f xdx<br />
( an<br />
f n<br />
1<br />
), то сходится (расходится) и ряд<br />
, применяются только к рядам с положительными членами.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда<br />
2 3<br />
2 2 2 2<br />
... ...<br />
10 10 10<br />
1 2 3 n<br />
Решение. Применим признак Даламбера;<br />
2 n<br />
n1<br />
2<br />
имеем<br />
a n , a<br />
10<br />
n 1 10<br />
n<br />
, значит<br />
n<br />
1<br />
n 1 n n 1 10<br />
a <br />
1 2 2 <br />
2<br />
lim<br />
n<br />
n<br />
p<br />
<br />
<br />
lim lim<br />
<br />
n n<br />
10 10 10<br />
a<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
1 n n<br />
n<br />
1<br />
2<br />
<br />
10<br />
n<br />
2 lim 2 1 2 1, ряд расходится.<br />
n<br />
10<br />
n 1<br />
<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда<br />
. Здесь удобнее применить ради-<br />
Решение. Имеем<br />
кальный признак Коши.<br />
n1<br />
2<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
1<br />
n <br />
2 n <br />
.<br />
1 1 <br />
1<br />
<br />
2 n <br />
a n n<br />
2<br />
n<br />
14
2<br />
n<br />
1 1 1 1<br />
lim n lim<br />
n e<br />
p an<br />
1 lim 1 1<br />
n n n , т.е. данный<br />
2 n n<br />
2 n 2<br />
ряд расходится.<br />
n1<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать на сходимость ряд<br />
<br />
2n<br />
.<br />
2<br />
n<br />
1 2<br />
Решение. Применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим<br />
несобственный интеграл<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
2x<br />
1 <br />
dx lim x 1 d x 1 lim <br />
x 1<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
b<br />
b<br />
1 x 1<br />
1<br />
1 1 1 1<br />
lim 0<br />
b<br />
2<br />
b 1 2<br />
<br />
. Несобственный интеграл сходится, значит,<br />
сходится и данный ряд.<br />
2 2<br />
Заметим, что данный ряд можно было сравнить со сходящимся рядом<br />
Дирихле<br />
<br />
1<br />
(р > 1).<br />
3<br />
n<br />
n1<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Доказать, что<br />
Решение.<br />
Рассмотрим числовой ряд<br />
<br />
n<br />
и исследуем его схо-<br />
n1 2 n!<br />
димость при помощи признака Даламбера.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
b<br />
lim n<br />
<br />
2 !<br />
0 .<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n1 1<br />
an1 n 1 2 n ! n 1 1 2 3 ... 2n<br />
p lim lim lim<br />
<br />
n a n 2 n 1 ! n n<br />
n 1 2 3 ... 2n 2n 1 2n<br />
2<br />
n<br />
1<br />
n<br />
<br />
2 12 1<br />
n n n<br />
1 1 1<br />
1 1 1 1<br />
lim lim lim 1 lim<br />
n<br />
n<br />
n<br />
<br />
n n n 2 n n 2n 1 2 n<br />
n n<br />
2n<br />
1<br />
e<br />
0 0 1. Значит, ряд сходится и из необходимого признака сходимо-<br />
2<br />
сти следует, что<br />
lim lim n<br />
an<br />
<br />
2 !<br />
0 .<br />
n<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
15
Вопросы и задания<br />
1) Исследовать на сходимость ряды:<br />
а)<br />
б)<br />
в)<br />
г)<br />
2<br />
<br />
n<br />
.<br />
n1 n!<br />
Ответ: сходится;<br />
<br />
n<br />
.<br />
n1100n<br />
1<br />
Ответ: расходится;<br />
<br />
2<br />
2n<br />
2n<br />
1<br />
2<br />
.<br />
5n<br />
2n<br />
1<br />
<br />
<br />
Ответ: сходится;<br />
n1<br />
<br />
1<br />
.<br />
n<br />
ln n 1<br />
n1<br />
<br />
<br />
n<br />
Ответ: сходится;<br />
д)<br />
<br />
1 n 1<br />
ln .<br />
n n 1<br />
Ответ: сходится;<br />
n2<br />
<br />
<br />
е) ntg .<br />
n1<br />
2<br />
ж)<br />
з)<br />
n1<br />
n1<br />
Ответ: расходится;<br />
2<br />
<br />
1<br />
n <br />
2 <br />
1<br />
n <br />
.<br />
Ответ: сходится;<br />
<br />
1<br />
.<br />
lnln<br />
2<br />
n3<br />
nln<br />
n n<br />
Ответ: сходится.<br />
2) Доказать,что<br />
2 n!<br />
а) lim 0, (а 1);<br />
n<br />
n!<br />
б)<br />
a<br />
n<br />
n<br />
lim 0<br />
n<br />
n!<br />
2<br />
.<br />
IY. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная<br />
и условная сходимость<br />
1. Знакочередующийся ряд<br />
n1<br />
a 0<br />
a1 a2 a3 a4 ... 1 a n ... n<br />
является частным случаем знакопеременного ряда<br />
a1 a2 a3 ... a n ...,<br />
у которого члены ряда могут иметь любые знаки. Знакопеременные ряды<br />
исследуются на абсолютную или условную сходимость.<br />
Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин соответствующих<br />
членов знакопеременного ряда,<br />
a1 a2 a3 ... a n ...,<br />
то сходится и сам знакопеременный ряд, при этом он называется абсолютно<br />
сходящимся.<br />
Если же ряд из абсолютных величин расходится, а сам ряд сходится,<br />
то он называется условно сходящимся.<br />
16
К исследованию знакочередующихся рядов можно применить достаточный<br />
признак – теорему Лейбница:<br />
Если выполняются для знакочередующегося ряда условия:<br />
1) a1 a2 a3 ... ( a 0, начиная с некоторого номера n 0 );<br />
2) lim a 0<br />
n<br />
n ,<br />
то этот ряд сходится.<br />
n<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать на абсолютную или условную<br />
сходимость ряд 1 ...<br />
1 1 1<br />
2 3<br />
2 2 2<br />
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин:<br />
1 1 1<br />
1 ...<br />
2 3<br />
2 2 2<br />
Этот ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем<br />
q 1 и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд схо-<br />
1<br />
2<br />
дится, причем абсолютно.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать на абсолютную или условную<br />
сходимость ряд 1,1 – 1,01 + 1,001 – 1,0001 + …<br />
Решение. Ряд из абсолютных величин<br />
1,1 + 1,01 + 1,001 + 1,0001 + …<br />
1 <br />
расходится, так как lim an<br />
lim 1 1 0<br />
n<br />
n<br />
n .<br />
10 <br />
Первое условие теоремы Лейбница выполняется:<br />
1,1 > 1,01 > 1,001 > 1,0001 > …<br />
но lim a 0, как только что было показано. Ряд расходится.<br />
n<br />
n<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать на абсолютную или условную<br />
сходимость ряд 1 ... 1 ...<br />
1 1 n1<br />
1<br />
3 5 2n<br />
1<br />
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин:<br />
1 1 1<br />
1 ... ...<br />
3 5 2n<br />
1<br />
1 1 1<br />
и сравним его с расходящимся гармоническим рядом 1 ... ...<br />
2 3 n<br />
17
an<br />
1 n n 1<br />
lim lim lim 0.<br />
n b n 2n 1 1 n<br />
2n<br />
1 2<br />
n<br />
Значит, оба ряда расходятся.<br />
Проверим для самого знакочередующегося ряда выполнение условий<br />
теоремы Лейбница:<br />
1 1<br />
1) 1 ...;<br />
3 5<br />
1<br />
2) lim an<br />
lim 0.<br />
n<br />
n<br />
2n<br />
1<br />
Следовательно, данный ряд сходится и называется условно сходящимся.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать на сходимость ряд<br />
cos cos2 cos3 cos n<br />
... ... (1)<br />
5 5 5 5<br />
1 2 3 n<br />
Решение. Этот ряд знакопеременный, так как cos n (n= 1, 2, 3, …)<br />
в зависимости от угла n может принимать значения любого знака. Исследуем<br />
его на абсолютную или условную сходимость, для чего рассмотрим<br />
ряд из абсолютных величин<br />
cos cos2 cos3 cos n<br />
... ...<br />
(2)<br />
5 5 5 5<br />
1 2 3 n<br />
Члены ряда (2) не превосходят соответствующих членов ряда<br />
1 1 1 1<br />
... ..., (3)<br />
5 5 5 5<br />
1 2 3 n<br />
так как cosn 1.<br />
Ряд (3) сходится, как ряд Дирихле (p = 5 > 1). Тогда по первому<br />
признаку сравнения сходится ряд (2), а, стало быть, сходится и ряд (1),<br />
причем абсолютно.<br />
Вопросы и задания<br />
1. Выяснить, какие из следующих рядов сходятся абсолютно, какие<br />
условно и какие расходятся.<br />
1 1 n1<br />
1<br />
а) ... 1 <br />
... Ответ: сходится условно;<br />
ln 2 ln3 ln n 1<br />
<br />
<br />
18
б)<br />
sin sin 2 sin3 sin n<br />
... ... Ответ: сходится абсолютно;<br />
4 4 4 4<br />
1 2 3 n<br />
3 n1<br />
n 1<br />
2 ... 1 ...<br />
Ответ: расходится;<br />
2<br />
n<br />
в) <br />
г)<br />
n1<br />
<br />
<br />
<br />
. Ответ: сходится абсолютно;<br />
n n<br />
<br />
1 n<br />
n 2n<br />
1<br />
<br />
<br />
3n<br />
2 <br />
. Ответ: сходится абсолютно;<br />
д) 1<br />
n1<br />
е) <br />
n<br />
1 1 4 1 4 7 n11 4 7 ... 3n<br />
2<br />
... 1 ... Ответ: расходится;<br />
3 35 35 7 357 ... 2n<br />
1<br />
<br />
n n<br />
1 . Ответ: расходится;<br />
5 n 2<br />
ж) <br />
<br />
n1<br />
<br />
ln<br />
1 n n<br />
. Ответ: сходится условно;<br />
n<br />
з) <br />
<br />
n2<br />
<br />
n n!<br />
1 . Ответ: сходится абсолютно;<br />
1 3 5 ... 2 n 1<br />
и) <br />
<br />
n1<br />
к) 1<br />
л)<br />
<br />
ln ln 3<br />
n3<br />
nln<br />
n n<br />
<br />
<br />
n 1<br />
. Ответ: сходится абсолютно;<br />
<br />
sin n<br />
<br />
n<br />
ln3 n . Ответ: сходится абсолютно.<br />
1 <br />
Y. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала сходимости<br />
1. Областью сходимости степенного ряда является интервал (R, R),<br />
где R – радиус сходимости можно определить по одной из формул<br />
C<br />
R lim<br />
n ;<br />
n<br />
C<br />
здесь С п – коэффициент при х п<br />
0 1 2<br />
n1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
R ;<br />
lim n C<br />
n<br />
степенного ряда<br />
C C x C x ... C x ... C x .<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
n0<br />
n<br />
n<br />
19
Внутри интервала (R, R) сходимость должна быть абсолютной. На<br />
канцах интервала (при х = R и х = R) получившийся числовой ряд исследуется<br />
дополнительно.<br />
2. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти область сходимости ряда<br />
Решение.<br />
<br />
<br />
n1<br />
1<br />
C n <br />
3 n<br />
n<br />
5<br />
<br />
n1<br />
x<br />
1<br />
.<br />
3 n<br />
n 5<br />
n1<br />
<br />
n<br />
1<br />
C n <br />
3 n<br />
n<br />
5<br />
,<br />
C n 1 <br />
3 n<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
n 1 5<br />
n1<br />
n<br />
1 5 n<br />
1<br />
C<br />
3 3<br />
n 1<br />
n 3 n<br />
3<br />
Cn1<br />
n n 5<br />
1<br />
n<br />
n<br />
R lim lim 5 lim 5 .<br />
Положим х = 5, имеем числовой ряд<br />
n n n<br />
<br />
2 n<br />
1 5 1 5 1 1 1<br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
,<br />
3 n<br />
3 n<br />
3 3<br />
n1 n 5 n1 n 5 n1 n n1<br />
n<br />
который сходится, как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Значит, при х = 5 ряд абсолютно<br />
сходится.<br />
<br />
n<br />
1<br />
1 5<br />
<br />
n<br />
n<br />
1<br />
Пусть х = 5, имеем ряд 1<br />
. Ряд из<br />
3 n<br />
3<br />
n1 n 5<br />
n1<br />
n<br />
<br />
1<br />
его абсолютных величин сходится (р = 3 > 1), поэтому при х = 5<br />
3<br />
n1<br />
n<br />
степенной ряд тоже сходится абсолютно.<br />
Итак, отрезок [-5, 5] является областью сходимости данного ряда.<br />
C<br />
n<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда<br />
Решение.<br />
x x x <br />
2 3<br />
1! 5 2! 5 3! 5 ...<br />
Пусть Х = х 5, имеем ряд<br />
1 n<br />
1 !<br />
, n<br />
R<br />
<br />
n n1<br />
n n<br />
<br />
n<br />
n!<br />
X . Здесь Cn<br />
n!<br />
,<br />
n1<br />
C n! 1<br />
lim lim lim 0<br />
C n 1 ! n 1<br />
. Ряд сходится<br />
только при Х = 0, т.е. при х – 5 =0, х = 5.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать сходимость ряда<br />
3 6 9<br />
x x x<br />
1 ...<br />
2 3<br />
10 10 10<br />
.<br />
20
Решение.<br />
знаменателем<br />
Ряд составлен из членов геометрической прогрессии со<br />
3<br />
x<br />
q . Как известно, он сходится, если q 1, и расходится,<br />
10<br />
если q 1. Следовательно,<br />
3 3<br />
3 3<br />
10 x 10 , т.е 10, 10<br />
3<br />
x 1 x 3 10 x 3 10 <br />
10<br />
– облассть сходимости данного ряда.<br />
3. Заметим, что в формулах для нахождения радиуса сходимости С п<br />
– это коэффициент при х п . Если же дан ряд по степеням, например, х 2п ,<br />
х 2п+1 и других, то радиус сходимости может быть найден неверно.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать сходимость ряда<br />
nn1<br />
<br />
x<br />
2<br />
.<br />
n<br />
n1 !<br />
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим<br />
nn1<br />
n1n<br />
x 2<br />
x 2<br />
признак Даламбера, полагая an<br />
, an1<br />
n!<br />
. Тогда<br />
n 1 !<br />
n1n<br />
n<br />
a<br />
2<br />
0 1,<br />
n 1<br />
x n!<br />
x при x<br />
<br />
<br />
p lim lim lim <br />
n a n 1 ! nn<br />
1 n n<br />
<br />
<br />
n<br />
n 1<br />
при x 1.<br />
x 2<br />
<br />
Итак, ряд сходится на отрезке [-1, 1], где р = 0 < 1.<br />
П р и м е р . Исследовать сходимость ряда<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 5. Найти сумму ряда<br />
<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
2 2 n<br />
x <br />
n1<br />
2n<br />
1<br />
Ответ: 2 2, 2 2.<br />
2 3<br />
1<br />
продифференцировав почленно ряд 1 x x x ...<br />
Решение.<br />
Последний ряд имеет сумму<br />
<br />
<br />
2 3<br />
1 2x 3x 4 x ...,<br />
x .<br />
1 1<br />
S <br />
1 q 1 x<br />
, т.е.<br />
21
2 3 1<br />
1 x x x ... .<br />
1 x<br />
Ряд слева, как степенной ряд, мажорируем в интервале (1, 1), поэтому его<br />
можно почленно дифференцировать:<br />
2 3 1<br />
1 2x 3x 4 x ... ,<br />
2<br />
1<br />
x<br />
интервал сходимости при этом не изменяется, т.е. 1< x < 1.<br />
П р и м е р . Найти сумму ряда<br />
почленно ряд<br />
<br />
<br />
2 3 4<br />
x x x<br />
x ..., проинтегрировав<br />
2 3 4<br />
2 3<br />
x x x 1<br />
1 ...<br />
x .<br />
Ответ: ln1<br />
x<br />
.<br />
Вопросы и задания<br />
1. Изучить по теоретической части модуля материал к следующему<br />
практическому занятию по теме «Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения».<br />
2. Решить следующие примеры.<br />
Найти области сходимости степенных рядов<br />
3 2n1<br />
n1<br />
x<br />
x<br />
... 1 ...<br />
33! 2 1 2 1 !<br />
а) x<br />
<br />
б)<br />
<br />
n1<br />
n<br />
n<br />
n n <br />
2 x<br />
. Ответ:<br />
n<br />
3 n<br />
в) <br />
<br />
n1<br />
<br />
<br />
Ответ: (-, );<br />
3 3 <br />
, <br />
2 2 , при 3<br />
x условно сходится;<br />
2<br />
<br />
n<br />
n x 2<br />
1 . Ответ: (0, 4), при х = 4 условно сходится;<br />
2<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
<br />
n<br />
nx<br />
1 1 <br />
г) . Ответ: , <br />
n1 n!<br />
e e , при 1<br />
x условно сходится.<br />
e<br />
У к а з а н и е . При исследовании сходимости на концах интервала<br />
учесть, что факториалы больших чисел могут быть приближенно выражены<br />
формулой Стирлинга<br />
n<br />
n <br />
n! 2n<br />
.<br />
e <br />
22
д) Найти сумму ряда<br />
<br />
1<br />
3 5<br />
x x<br />
2 4<br />
x ..., проинтегрировав ряд 1 x x ...<br />
3 5<br />
1 x 1<br />
S x ln x 1<br />
.<br />
2 x 1<br />
x . Ответ: <br />
YI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения<br />
1. Ряды Тейлора и Маклорена, формула для остаточного члена, разложения<br />
в ряд Маклорена функций e , sin x , cos x, а также биномиаль-<br />
x<br />
ный ряд и его частные случаи соответственно приведены ниже:<br />
n<br />
<br />
2<br />
<br />
f a f a n<br />
f a f a x a<br />
x a ... x a ..., (1)<br />
2! n!<br />
<br />
n<br />
<br />
f 0 2 f 0 n<br />
f 0<br />
f 0 x x ... x ...,<br />
2! n!<br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
1 n1<br />
1 x a n1<br />
x a<br />
Rn<br />
x<br />
f C f a <br />
x a<br />
1 ! n<br />
1 !<br />
где С находится между х и а, 0 1 (в форме Лагранжа).<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
f 0 2 f 0 n<br />
f x f 0 f 0 x x ... x ...<br />
(2)<br />
2! n!<br />
2<br />
x x x<br />
e 1 x ... ...<br />
2! n!<br />
n<br />
x <br />
3 5 2n1<br />
n1<br />
x x x<br />
sin x x ... 1 ...<br />
3! 5! 2n<br />
1 !<br />
2 4 2n<br />
x x x<br />
cos x 1 ... 1 ...<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
(3)<br />
x (4)<br />
n<br />
x <br />
2! 4! 2 n !<br />
m mm 1 2 mm 1m<br />
2<br />
3<br />
<br />
(5)<br />
1 x x mx x x ... <br />
2! 3!<br />
mm 1 ... m n<br />
1<br />
n<br />
x ... 1 x 1<br />
(6)<br />
n!<br />
1<br />
2 3<br />
n n<br />
1 x x x ... 1 x ...<br />
1 x <br />
1 x 1<br />
(7)<br />
1<br />
2 3 n<br />
1 x x x ... x ...<br />
1 x <br />
1 x 1<br />
(8)<br />
<br />
23
1 1 2 13 3 135<br />
4<br />
1 x 1 x x x x ...<br />
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8<br />
1 x 1<br />
(9)<br />
1 1 13 2 135<br />
3<br />
1 x x x ...<br />
1<br />
x 2 2 4 2 4 6<br />
1 x 1<br />
(10)<br />
Ряд (6) называется биномиальным, на концах интервала сходимости<br />
он ведет себя по разному: при т 0 он абсолютно сходится в точках<br />
х = 1; при 1< m < 0 расходится в точке х = 1 и условно сходится в<br />
точке х = 1; при т 1 расходится в точках х = 1.<br />
Для всех этих рядов lim R x 0 в области сходимости.<br />
n<br />
n<br />
<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить функцию f x sin 2x<br />
в ряд<br />
<br />
Тейлора по степеням x <br />
4 .<br />
Решение.<br />
1) Решим сначала этот пример, используя формулу (1).<br />
<br />
<br />
a , f a f sin 1;<br />
4<br />
4 2<br />
<br />
f x<br />
2cos2x<br />
, f 0<br />
2cos 0;<br />
2<br />
2<br />
2 sin 2 , <br />
3<br />
2 cos 2 , <br />
IY 4<br />
2 sin 2 ,<br />
IY<br />
<br />
f x x<br />
f x x<br />
f x x<br />
2<br />
f 0 2 ;<br />
f 0 0;<br />
4<br />
f 0 2 ;<br />
……………………………………..<br />
Имеем:<br />
2 2 4 4 2n<br />
2n<br />
2 2 n 2 <br />
sin 2x 1 x x ... 1 x ...<br />
2! 4 4! 4 2 n <br />
<br />
! 4 <br />
2) Решим этот пример, используя известное разложение cos x в ряд<br />
Маклорена.<br />
<br />
sin 2x sin 2 x <br />
sin <br />
2 x <br />
cos2 x<br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
4 2<br />
<br />
.<br />
4 <br />
2 4 2n<br />
x x x<br />
cos x 1 ... 1 ...<br />
n<br />
x <br />
2! 4! 2 n !<br />
.<br />
<br />
Пусть x 2<br />
x в левой и правой части этого равенства, тогда<br />
4 <br />
24
sin 2x<br />
cos2<br />
x <br />
4 <br />
2 2 4 4 2n<br />
2n<br />
2 2 2 <br />
1 x x ... 1 x ... ,<br />
2! 4 4! 4 2 ! 4 <br />
<br />
причем 2<br />
x <br />
4 <br />
изменилась.<br />
n<br />
n <br />
< x < , т.е. область сходимости не<br />
2. Для разложения функций в степенные ряды можно использовать<br />
известные разложения и теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании<br />
степенных рядов.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить в ряд Маклорена<br />
y ln 10 x .<br />
<br />
<br />
x x <br />
Решение. ln 10 x<br />
ln101 ln10 ln1<br />
<br />
10 10 .<br />
Используем ряд (7)<br />
1<br />
2 3<br />
n n<br />
1 x x x ... 1 x ...<br />
1 x 1 x 1<br />
x<br />
Положим x , тогда<br />
10<br />
2<br />
n<br />
1 x x n x<br />
1 ...<br />
2<br />
1 ...<br />
x n<br />
1<br />
10 10 10<br />
<br />
10<br />
x<br />
<br />
1 1 10 x 10<br />
10<br />
.<br />
Интегрируя последний ряд, получим<br />
2 3 n1<br />
n<br />
2<br />
<br />
n<br />
x x x x<br />
10ln1 x ... 1 ...<br />
10 10 2 10 3 10 n 1<br />
(интервал сходимости (-10, 10) при этом не меняется).<br />
Таким образом,<br />
2 3<br />
n<br />
n1<br />
2 3 n1<br />
x x x x<br />
ln 10 x ln10 ... 1 <br />
...<br />
10 10 2 10 3 10 n 1<br />
(-10 < x < 10).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
25
3. Применение степенных рядов к нахождению приближенных решений<br />
дифференциальных уравнений.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти пять первых членов разложения в<br />
2 2<br />
степенной ряд решения дифференциального уравнения y x y , если<br />
у(1) = 1.<br />
Решение. Решение ищем в виде ряда Тейлора<br />
y1 y 1 <br />
<br />
2 y<br />
1 <br />
3<br />
y y 1 x 1 x 1 x 1 ...<br />
1! 2! 3!<br />
По условию у(1) = 1, из самого уравнения<br />
<br />
2 2<br />
y 1 1 1 2. Дифференцируя<br />
исходное уравнение, получаем<br />
y<br />
2x 2y y<br />
y 1 2 1 2 1 2 6 ,<br />
, <br />
2<br />
2 2 2 , <br />
IY<br />
4 2 2 , <br />
y y yy<br />
IY<br />
y y y y y y y<br />
y 1 22,<br />
y 1 116 и т.д.<br />
В результате, частное решение найдено в виде<br />
<br />
<br />
2<br />
6 x 1 22 3 116 4<br />
y x 1 2 x 1<br />
x 1 x 1 ... <br />
2 6 24<br />
2 11 3 29 4<br />
1 2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 ...<br />
3 6<br />
Вопросы и задания<br />
1. Найти первые пять членов ряда Маклорена функции<br />
<br />
x<br />
<br />
y ln 1 e .<br />
х=3.<br />
2. Разложить функцию<br />
2 4<br />
x x x<br />
Ответ: ln 2 ...<br />
2 3 192<br />
1<br />
y в ряд Тейлора в окрестности точки<br />
x<br />
<br />
<br />
2 n<br />
n1<br />
x <br />
1<br />
<br />
n<br />
1 x 3 x 3 3<br />
Ответ: ... 1 ...<br />
3 9 27 3<br />
3. Пользуясь известными формулами разложения в ряд Маклорена,<br />
разложить в окрестности а=0, следующие функции:<br />
<br />
<br />
26
а)<br />
<br />
<br />
2 n1<br />
2x<br />
2x<br />
2x<br />
y e . Ответ: 1 2 x ... ...<br />
2! n 1 !<br />
y . Ответ: <br />
б) sin 2<br />
x<br />
2<br />
в) y xln 1 x<br />
. Ответ: x<br />
<br />
2<br />
г) Функцию y ln x 1 x <br />
x<br />
2<br />
из соотношения ln x 1 x <br />
полученного ряда.<br />
3 2n1<br />
n1<br />
3 2n1<br />
x x x<br />
... 1 ...<br />
2 2 3! 2 2n<br />
1 !<br />
3 n1<br />
n1<br />
x<br />
x<br />
... 1 ...<br />
2<br />
n<br />
разложить в ряд Маклорена, исходя<br />
0<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
2<br />
<br />
, и указать интервал сходимости<br />
3 5<br />
1 x 13<br />
x<br />
Ответ: x ... 1 x 1<br />
.<br />
2 3 2 4 5<br />
4. Вычислить приближенное значение определенного интеграла,<br />
взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд, указать погрешность<br />
вычислений<br />
<br />
3<br />
cos x dx<br />
x<br />
.<br />
<br />
6<br />
Ответ: 0,3230, погрешность =0,0001.<br />
5. Найти первые пять членов разложения решения дифференциального<br />
уравнения в степенной ряд: y ycos<br />
x x 0 1 y 0 0 .<br />
, y , <br />
Ответ:<br />
YII. Контрольная работа по теме «Ряды»<br />
<br />
2 3 5 6<br />
x x x 5x<br />
y x<br />
1 ...<br />
2! 3! 5! 6!<br />
Студенты в обязательном порядке выполняют соответствующий вариант<br />
I уровня теста, каждая задача оценивается в 1 балл. По желанию<br />
можно решать задачи II уровня (каждая по 2 балла) и III уровня (3-5 баллов).<br />
<br />
27
YIII. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [-, ]<br />
Рядом Фурье на [-, ] называется ряд вида<br />
a<br />
<br />
0<br />
an<br />
cos nx bn<br />
sin nx<br />
, (11)<br />
2<br />
n1<br />
где коэффициенты a 0 , a n , b n вычисляются по формулам<br />
1<br />
a f x dx <br />
, (12)<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
a f x cos nxdx<br />
<br />
(13)<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
b f x sin nxdx<br />
<br />
. (14)<br />
n<br />
<br />
Если функция f(х) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле<br />
(смотри теоретическую часть модуля), то ряд справа в формуле (11) сходится<br />
к этой функции; в точках непрерывности сумма этого ряда равна<br />
значению функции в этих точках. Если х = х 0 – точка разрыва I рода, то<br />
f x0 0 f x0<br />
0<br />
S x0<br />
.<br />
2<br />
Если функция f(х) – четная, то она раскладывается в ряд Фурье<br />
только по косинусам, тогда<br />
2<br />
a f x dx<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
, <br />
0<br />
2<br />
a f x cosnx dx<br />
<br />
, b n = 0.<br />
n<br />
Если функция f(х) – нечетная, то она раскладывается в ряд Фурье<br />
только по синусам, тогда<br />
a 0 = 0, a n = 0, <br />
<br />
0<br />
2<br />
b f x sin nxdx<br />
<br />
.<br />
1. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить в ряд Фурье 2периодическую<br />
функцию, заданную на [-, ] уравнением f x x .<br />
Решение.<br />
Функция кусочно-монотонная и ограниченная.<br />
n<br />
<br />
0<br />
<br />
28
у<br />
2<br />
<br />
3 2 0 2 3<br />
х<br />
Определим коэффициенты ряда Фурье.<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x <br />
2 2<br />
<br />
1 1 1 1<br />
a0<br />
f x dx x dx x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
;<br />
<br />
<br />
u x , dv cos nxdx<br />
1 1<br />
an<br />
f xcos nxdx x cosnxdx sin nx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
du dx,<br />
v <br />
n<br />
1<br />
<br />
<br />
x sin<br />
nx 1<br />
<br />
<br />
sin nxdx<br />
<br />
n n<br />
<br />
(так как sin n 0 n ) =<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
cos nx cos n cosn<br />
0.<br />
n<br />
2 2<br />
n<br />
<br />
<br />
u x , dv sin nxdx<br />
1 1<br />
bn<br />
f xsin nxdx x sin nxdx cos nx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
du dx,<br />
v <br />
n<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x cos<br />
nx 1<br />
<br />
1 2cos n<br />
1 <br />
cos nxdx<br />
sin nx<br />
<br />
2<br />
n n<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
n <br />
<br />
<br />
2 2 n 2 n1<br />
cos n 1 1<br />
.<br />
n n n<br />
Следовательно,<br />
<br />
<br />
29
n1<br />
<br />
<br />
n1<br />
1 sin 2x<br />
sin3x<br />
<br />
x 2 sin nx 2sin x ...<br />
<br />
n<br />
2 3 <br />
.<br />
В точке разрыва х = <br />
S<br />
<br />
f <br />
f 0 0 2 0<br />
.<br />
2 2<br />
f<br />
x<br />
Вопросы и задания<br />
1. Решить следующие примеры:<br />
а) Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию<br />
2x при x 0,<br />
при 0 x .<br />
Ответ:<br />
б) Разложить функцию<br />
в) Разложить функцию<br />
<br />
2 1 <br />
2 cos<br />
2<br />
2n 1<br />
x sin nx<br />
.<br />
2 n1<br />
2n<br />
1<br />
n <br />
<br />
<br />
2<br />
y x в (0, ) в ряд только по синусам.<br />
2<br />
2<br />
2 n <br />
1 1 1 sin nx<br />
3<br />
.<br />
<br />
n1<br />
n <br />
<br />
<br />
n1<br />
Ответ: <br />
3<br />
y x в [-, ] в ряд Фурье.<br />
Ответ: <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
n 6 <br />
2 1 sin nx<br />
3<br />
.<br />
<br />
n1<br />
n n <br />
<br />
<br />
IX. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на ,<br />
<br />
2 -периодическая функция раскладывается в ряд Фурье следующим<br />
образом<br />
a<br />
<br />
0 n<br />
n<br />
<br />
f x an<br />
cos x bn<br />
sin x<br />
,<br />
2 n1<br />
<br />
где коэффициенты a 0 , a n , b n вычисляются по формулам:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
a0<br />
f xdx<br />
,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 n<br />
an<br />
f xcos<br />
x dx ,<br />
<br />
<br />
30
1 n<br />
bn<br />
f xsin<br />
xdx .<br />
<br />
Если в ряд Фурье раскладывается четная функция, то<br />
<br />
<br />
2<br />
2 n<br />
a0<br />
f xdx<br />
, an<br />
f xcos<br />
xdx , b n =0,<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
а если нечетная функция, то<br />
<br />
2 n<br />
а 0 =0, а n =0, bn<br />
f xsin<br />
xdx .<br />
<br />
функции<br />
1. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти разложение в ряд Фурье<br />
y<br />
2<br />
x на , <br />
.<br />
Решение. Функция<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
y x – четная, поэтому b n =0.<br />
3<br />
<br />
2 x 2<br />
2 2 2 2<br />
a0<br />
f xdx x dx <br />
3 3<br />
0 0 0<br />
2<br />
n<br />
<br />
<br />
u x , dv cos xdx<br />
2 n<br />
2 2 n<br />
<br />
an<br />
f xcos<br />
x dx x cos xdx <br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
n<br />
du 2 xdx, v sin x<br />
n <br />
n<br />
, sin<br />
2 <br />
<br />
u x dv xdx<br />
2 n<br />
2 n<br />
<br />
<br />
x sin x xsin<br />
xdx<br />
<br />
<br />
n<br />
0 n<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
n<br />
du dx, v cos x<br />
n <br />
a n<br />
3<br />
2 2 <br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
sin n xcos x cos xdx<br />
<br />
n n <br />
<br />
n 0 n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
4 2 n<br />
4<br />
cos n sin x <br />
<br />
cos n<br />
2 2 2 2<br />
n <br />
n n <br />
<br />
0 <br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2 2<br />
n<br />
<br />
n<br />
Таким образом<br />
.<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
4<br />
1<br />
n<br />
cos x <br />
2 2<br />
3 n <br />
<br />
n<br />
,<br />
, так как sin n 0 , т.е.<br />
31
2 2<br />
4<br />
1 2 1 3<br />
<br />
cos x cos x cos x ...<br />
2 2 2<br />
3<br />
<br />
<br />
2 3 <br />
2. Важное свойство периодических функций:<br />
<br />
2<br />
xdx<br />
xdx<br />
,<br />
<br />
каково бы ни было число .<br />
Это означает, что при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить<br />
промежуток интегрирования [-, ] промежутком [, +2], где<br />
– любое число.<br />
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Пусть требуется разложить в ряд Фурье<br />
функцию f(х) с периодом 2, которая на [0, 2] задана равенством<br />
f(х) = х.<br />
Решение.<br />
у<br />
2<br />
<br />
4 3 2 0 2 3 4 5<br />
6<br />
х<br />
График функции изображен на рисунке. Эта функция на [-, ] задается<br />
двумя формулами: f x x 2 на [-, 0] и f(х) = х на [0, ]. Для<br />
разложения этой функции выгоднее пользоваться формулами (приняв<br />
= 0):<br />
2 2 2<br />
2<br />
2<br />
1 1 1 1 x<br />
a0<br />
f x dx f x dx xdx <br />
2<br />
2 ;<br />
<br />
0 0 0<br />
2<br />
2<br />
u x, dv cos nxdx<br />
1 1<br />
an<br />
f xcosnxdx xcosnxdx sin nx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
du dx,<br />
v <br />
n<br />
2 2<br />
2<br />
1 <br />
<br />
xsin nx 1 <br />
<br />
1<br />
sin nx<br />
cosnx<br />
0<br />
2<br />
n 0 n <br />
<br />
0 n<br />
.<br />
0<br />
32
2<br />
2<br />
u x, dv sin nxdx<br />
1 1<br />
bn<br />
f xsin nxdx xsin nxdx cos nx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
du dx,<br />
v <br />
n<br />
2 2<br />
2<br />
1 <br />
<br />
xcos nx 1 1 <br />
<br />
2cos2n<br />
1 2<br />
cos nx<br />
sin nx<br />
<br />
2<br />
n 0 n <br />
0<br />
n n <br />
<br />
<br />
0 <br />
n<br />
.<br />
Следовательно,<br />
<br />
sin nx sin 2x sin3x<br />
<br />
f x<br />
2 2sin x ... <br />
n1<br />
n 2 3 <br />
.<br />
<br />
Пусть x , имеем<br />
2<br />
1 1<br />
2 1 ...<br />
1 1 n1<br />
1 <br />
1 ... 1 ... .<br />
2 3 5 3 5 2n<br />
1 4<br />
Вопросы и задания<br />
П р и м е р 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на ,<br />
<br />
следующим образом:<br />
<br />
0, если x 0;<br />
<br />
<br />
f x<br />
x, если 0 x ;<br />
<br />
2<br />
<br />
, если x .<br />
2 2<br />
3 1 x<br />
2 x<br />
<br />
Ответ: f x cos sin <br />
2 2<br />
16<br />
<br />
2<br />
<br />
1 2x 1 2x 1 3x 2 3 3x <br />
cos sin cos sin<br />
2 2 2<br />
4 4<br />
.<br />
9 18<br />
<br />
П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье только по косинусам функцию<br />
f x x на [0, 1].<br />
1 2<br />
Ответ:<br />
8<br />
cos<br />
2n<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
2 n1<br />
2n<br />
1<br />
2 .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
33
Трехуровневые тестовые задания к разделу<br />
«Ряды»<br />
У р о в е н ь I<br />
Вариант 1<br />
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму<br />
2. Исследовать на сходимость:<br />
а)<br />
б)<br />
n1<br />
n<br />
<br />
<br />
3 n 2 !<br />
;<br />
5<br />
n<br />
Ответ: расходится.<br />
<br />
10<br />
;<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
n <br />
Ответ: расходится.<br />
n1<br />
n<br />
в)<br />
г)<br />
<br />
<br />
1<br />
;<br />
n n 2<br />
n1<br />
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость<br />
<br />
<br />
n1<br />
1<br />
1<br />
n<br />
n 1 3<br />
;<br />
n1<br />
4. Найти область сходимости рядов:<br />
а)<br />
<br />
2 x<br />
;<br />
2<br />
n 1<br />
n1<br />
n<br />
n<br />
Ответ:<br />
б)<br />
1 1<br />
<br />
;<br />
2 2<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ответ:<br />
2<br />
3<br />
S .<br />
4<br />
2n<br />
1<br />
<br />
2 <br />
n1<br />
4n<br />
1<br />
;<br />
Ответ: сходится.<br />
<br />
1<br />
;<br />
3<br />
n1<br />
n 2<br />
Ответ: сходится.<br />
Ответ: абсолютно сходится.<br />
<br />
n1<br />
2 n<br />
x 4<br />
1<br />
;<br />
2n<br />
1<br />
Ответ: 3 x 5.<br />
Вариант 2<br />
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму<br />
2. Исследовать на сходимость:<br />
<br />
3 4<br />
;<br />
n<br />
12<br />
n1<br />
n<br />
n<br />
Ответ:<br />
5<br />
S .<br />
6<br />
34
а)<br />
б)<br />
<br />
7n<br />
1<br />
;<br />
n<br />
5 n 1 !<br />
n1<br />
<br />
n1<br />
<br />
<br />
Ответ: сходится.<br />
2<br />
n<br />
5n<br />
1<br />
<br />
5n<br />
<br />
;<br />
Ответ: сходится.<br />
<br />
1<br />
в) ;<br />
n13n 2ln 3n<br />
2<br />
Ответ: расходится.<br />
<br />
1<br />
г) ;<br />
3 5<br />
n1<br />
n<br />
Ответ: сходится.<br />
1<br />
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ;<br />
n1<br />
n 1<br />
Ответ: условно сходится.<br />
4. Найти область сходимости рядов:<br />
n 1<br />
nx <br />
<br />
n<br />
а) ;<br />
x 3<br />
n1<br />
n<br />
б) ;<br />
n1 2 3<br />
n<br />
n1<br />
n 5<br />
Ответ: (6, 6).<br />
Ответ: 2 x 8.<br />
<br />
<br />
n<br />
Вариант 3<br />
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму<br />
2. Исследовать на сходимость:<br />
а)<br />
б)<br />
n1<br />
n<br />
7<br />
<br />
7 1 <br />
;<br />
8 n <br />
Ответ: сходится.<br />
<br />
<br />
1 <br />
arctg <br />
2 n <br />
;<br />
Ответ: сходится.<br />
n1<br />
1<br />
n<br />
в)<br />
г)<br />
<br />
1<br />
;<br />
n0 2n 52n<br />
7<br />
1<br />
Ответ: S .<br />
10<br />
<br />
1<br />
;<br />
3<br />
n1<br />
2n 1ln 2n<br />
1<br />
Ответ: сходится.<br />
<br />
1<br />
;<br />
n1<br />
5n<br />
2<br />
Ответ: расходится.<br />
1<br />
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ;<br />
n2<br />
ln n<br />
Ответ: условно сходится.<br />
4. Найти область сходимости рядов:<br />
а)<br />
3n<br />
<br />
x<br />
;<br />
n<br />
n1 8<br />
Ответ: (2, 2).<br />
б)<br />
n1<br />
<br />
<br />
n<br />
x 2<br />
;<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
n1<br />
Ответ: 0 x 4.<br />
35
Вариант 4<br />
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму<br />
2. Исследовать на сходимость:<br />
<br />
<br />
а) 2n<br />
1<br />
tg ;<br />
n 4<br />
б)<br />
n1<br />
Ответ: сходится.<br />
<br />
1<br />
<br />
n<br />
ln n 2 n ;<br />
1 <br />
Ответ: сходится.<br />
в)<br />
г)<br />
<br />
2 5<br />
;<br />
n<br />
10<br />
n1<br />
n1<br />
4<br />
n<br />
n<br />
Ответ:<br />
<br />
1<br />
;<br />
4n<br />
3 3<br />
5<br />
S .<br />
4<br />
Ответ: расходится.<br />
<br />
1<br />
;<br />
3<br />
n1<br />
n 3n<br />
Ответ: сходится.<br />
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость<br />
<br />
n1<br />
n<br />
1<br />
;<br />
n1<br />
6n<br />
5<br />
Ответ: расходится.<br />
4. Найти область сходимости рядов:<br />
а)<br />
n<br />
<br />
x<br />
;<br />
n<br />
n1 n 2<br />
Ответ: 2, 2.<br />
б)<br />
n1<br />
<br />
<br />
x <br />
;<br />
2<br />
n<br />
1 n<br />
Ответ: 0 x 2.<br />
Вариант 5<br />
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму<br />
2. Исследовать на сходимость:<br />
а)<br />
n<br />
2<br />
<br />
n<br />
;<br />
n<br />
n1 3<br />
Ответ: расходится.<br />
б)<br />
n1<br />
<br />
1<br />
;<br />
n0 n 5n<br />
6<br />
1<br />
Ответ: S .<br />
5<br />
3n<br />
<br />
1 <br />
arcsin 2<br />
n <br />
<br />
;<br />
Ответ: сходится.<br />
36
в)<br />
<br />
1<br />
;<br />
2<br />
3 4ln 3 4<br />
Ответ: сходится.<br />
n 1 n n<br />
г)<br />
<br />
1<br />
;<br />
2<br />
n1<br />
n n<br />
Ответ: расходится.<br />
<br />
1<br />
1 n<br />
;<br />
4 5<br />
n1<br />
n<br />
Ответ: абсолютно сходится.<br />
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость <br />
<br />
4. Найти область сходимости рядов:<br />
а)<br />
n1<br />
n<br />
<br />
x<br />
;<br />
n<br />
Ответ: 1,1<br />
.<br />
У р о в е н ь I I<br />
Вариант 1<br />
б)<br />
n1<br />
<br />
<br />
x <br />
;<br />
2<br />
n<br />
Ответ: 9 x 7 .<br />
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости<br />
f x cos5x<br />
.<br />
Ответ:<br />
n0<br />
<br />
8 n<br />
<br />
<br />
n 2n 2n<br />
1 5<br />
x<br />
, x .<br />
2 n !<br />
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью<br />
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной<br />
функции. е, = 0,0001.<br />
Ответ: 2,7183.<br />
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,<br />
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.<br />
0,25<br />
0<br />
<br />
ln 1<br />
x dx .<br />
<br />
<br />
Ответ: 0,070.<br />
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального<br />
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена<br />
y<br />
этого разложения). y xy e y 0 0 .<br />
, <br />
Ответ:<br />
1 2 2 3<br />
y x x x ...<br />
2 3<br />
37
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k<br />
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения<br />
при указанных начальных условиях.<br />
1<br />
y arcsin y x , y0<br />
, k = 4.<br />
2<br />
2<br />
1 x<br />
1 2 1 2 2 <br />
3<br />
Ответ: y 1 x x ...<br />
2 6 2<br />
<br />
3 3 6 3 9 27 3 <br />
<br />
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию<br />
f(х), заданную на отрезке ;<br />
.<br />
0, x 0,<br />
f x<br />
<br />
x<br />
1, 0 x .<br />
Ответ:<br />
2 2<br />
cos2k 1<br />
x<br />
2<br />
sin2k 1<br />
x sin2kx<br />
f x<br />
<br />
2 .<br />
4 k 1 2k<br />
1<br />
k 1 2k<br />
1 k 1<br />
2k<br />
<br />
<br />
Вариант 2<br />
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости<br />
f x x 3 arctg x .<br />
<br />
Ответ:<br />
n1<br />
<br />
<br />
n1 2n2<br />
1<br />
x<br />
, x 1.<br />
2n<br />
1<br />
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью<br />
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной<br />
функции. 5 250 , = 0,001.<br />
Ответ: 3,017.<br />
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,<br />
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.<br />
1 <br />
2<br />
x <br />
arctg<br />
dx .<br />
<br />
0 2 <br />
<br />
Ответ: 0,162.<br />
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального<br />
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена<br />
этого разложения).<br />
y<br />
2 2<br />
x y 1, <br />
y 0 1.<br />
38
Ответ:<br />
1 3<br />
y 1 x x ...<br />
3<br />
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k<br />
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения<br />
при указанных начальных условиях.<br />
y xy ln y x<br />
y 1 0 , k = 5.<br />
, <br />
x 1 x 1 x 1<br />
Ответ:<br />
2 3 4<br />
y ...<br />
2 6 6<br />
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию<br />
f(х), заданную на отрезке ;<br />
.<br />
2x<br />
1, x 0,<br />
f x<br />
<br />
0, 0 x .<br />
Ответ:<br />
1 4<br />
cos2k 1<br />
x<br />
2 1 sin2k 1<br />
x sin2kx<br />
f x<br />
<br />
2 .<br />
2 k 1 2k<br />
1<br />
k 1 2k<br />
1<br />
k 1<br />
k<br />
<br />
<br />
Вариант 3<br />
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости<br />
<br />
2<br />
f x sin x .<br />
Ответ:<br />
n1<br />
<br />
1<br />
<br />
n1 4n2<br />
x<br />
, x .<br />
2n<br />
1 !<br />
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью<br />
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной<br />
функции. sin 1, = 0,00001.<br />
Ответ: 0,84147.<br />
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,<br />
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.<br />
0,2<br />
0<br />
x<br />
xe dx .<br />
<br />
Ответ: 0,054.<br />
39
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального<br />
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена<br />
2 2<br />
1<br />
этого разложения). y x y , y0<br />
.<br />
2<br />
1 1 1 2<br />
Ответ: y x x ...<br />
2 4 8<br />
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k<br />
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения<br />
при указанных начальных условиях.<br />
2<br />
y x y y 0 1, k = 3.<br />
, <br />
Ответ:<br />
3 2<br />
y 1 x x ...<br />
2<br />
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию<br />
f(х), заданную на отрезке ;<br />
.<br />
0, x 0,<br />
f x<br />
<br />
x<br />
2, 0 x .<br />
Ответ:<br />
4 2<br />
cos2k 1<br />
x<br />
4<br />
sin2k 1<br />
x sin2kx<br />
f x<br />
<br />
2 .<br />
4 k 1 2k<br />
1<br />
k 1 2k<br />
1 k 1<br />
2k<br />
<br />
<br />
Вариант 4<br />
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости<br />
f<br />
x<br />
2<br />
x<br />
.<br />
1 x<br />
Ответ: <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 n x<br />
n <br />
, 1<br />
n0<br />
x .<br />
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью<br />
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной<br />
функции . 1,3 , = 0,001.<br />
Ответ: 1,140.<br />
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,<br />
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.<br />
40
0,5<br />
arctg x<br />
dx .<br />
x<br />
0<br />
Ответ: 0,487.<br />
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального<br />
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена<br />
3 3<br />
1<br />
этого разложения). y x y , y0<br />
.<br />
2<br />
1 1 3 2<br />
Ответ: y x x ...<br />
2 8 64<br />
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k<br />
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения<br />
при указанных начальных условиях.<br />
1<br />
y x , y0<br />
1, k = 5.<br />
y<br />
Ответ:<br />
3 4<br />
x x<br />
y 1 x ...<br />
3 3<br />
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию<br />
f(х), заданную на отрезке ;<br />
.<br />
f<br />
x<br />
1<br />
x , x 0,<br />
f x<br />
2<br />
<br />
0, 0 x .<br />
Ответ:<br />
1 2<br />
cos2k 1<br />
x<br />
1<br />
sin2k 1<br />
x sin2kx<br />
<br />
2 .<br />
4 k 1 2k<br />
1<br />
k 1 2k<br />
1 k 1<br />
2k<br />
<br />
<br />
Вариант 5<br />
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости<br />
<br />
3<br />
2x<br />
f x cos . 3<br />
Ответ:<br />
n0<br />
<br />
<br />
n 2n 6n<br />
1 2 x<br />
, x .<br />
2n<br />
3 2 n !<br />
<br />
<br />
41
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью<br />
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной<br />
функции. arctg 10<br />
, = 0,001.<br />
Ответ: 0,304.<br />
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,<br />
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.<br />
0,2<br />
x cos xdx .<br />
0<br />
Ответ: 0,059.<br />
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального<br />
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена<br />
этого разложения).<br />
2<br />
y x y , y0<br />
1.<br />
1 2<br />
Ответ: y 1 x x ...<br />
2<br />
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k<br />
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения<br />
при указанных начальных условиях.<br />
IY<br />
2<br />
y xy yx<br />
y 0 y 0 y 0 y<br />
0 1, k = 7.<br />
, <br />
Ответ:<br />
2 3 5 6<br />
x x x 4x<br />
y 1 x ...<br />
2! 3! 5! 6!<br />
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию<br />
f(х), заданную на отрезке ;<br />
.<br />
0, x 0,<br />
<br />
f x<br />
x<br />
1, 0 x .<br />
2<br />
Ответ:<br />
4 1<br />
cos2k 1<br />
x<br />
4<br />
sin2k 1<br />
x sin2kx<br />
f x<br />
<br />
2 .<br />
8 k 1 2k<br />
1<br />
2 k 1 2k<br />
1 k 1<br />
4k<br />
<br />
<br />
У р о в е н ь I I I<br />
1. Найти сумму ряда<br />
<br />
1<br />
.<br />
n n n n n <br />
1 1 22 12 5<br />
42
2. Найти сумму ряда<br />
n = 1, 2, 3, …).<br />
<br />
1<br />
<br />
n1C nC n 1<br />
Ответ: 1<br />
90 .<br />
, где С – постоянная (С n,<br />
3. Использовав результат предыдущего примера, показать, что<br />
<br />
1<br />
1 1<br />
1;<br />
n1<br />
nn<br />
1<br />
<br />
<br />
n<br />
n 1 n 2 2<br />
;<br />
<br />
1 1<br />
,<br />
1 1 1<br />
n<br />
1 n <br />
4. Найти сумму ряда<br />
n = 1, 2, 3, …). Показать, что<br />
5. Найти сумму ряда<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
2 1<br />
.<br />
n<br />
1 2 1 2 n 1<br />
1<br />
<br />
n1C nC n 2<br />
<br />
<br />
1 3<br />
.<br />
n n 2 4<br />
n1<br />
<br />
Ответ:<br />
(С n, n = 1, 2, 3, …). Показать, что<br />
6. Доказать, что<br />
7. Доказать, что<br />
<br />
1<br />
Ответ:<br />
C 1<br />
.<br />
, где С – постоянная (С n,<br />
1 1 1 2C<br />
3<br />
S <br />
2 C 1 C 2 2 C 1 C 2<br />
<br />
n1C n 1C nC n 1<br />
<br />
<br />
5 n !<br />
lim 0 ;<br />
n <br />
<br />
2<br />
2 n<br />
<br />
1<br />
<br />
1 1<br />
<br />
1 2 4<br />
.<br />
<br />
n1<br />
n n n<br />
Ответ:<br />
2 n !<br />
lim 0, (а > 1);<br />
n<br />
n!<br />
a<br />
<br />
, где С – постоянная<br />
1 1 1 1<br />
S <br />
2 C C 1<br />
2C C 1<br />
<br />
<br />
.<br />
.<br />
8. Доказать, что<br />
lim n<br />
<br />
2 !<br />
0 ;<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
43
9. Доказать, что<br />
10. Доказать, что<br />
n<br />
n<br />
lim 0 ;<br />
n<br />
n!<br />
2<br />
<br />
<br />
n<br />
n!<br />
lim 0 .<br />
2<br />
n<br />
n<br />
n<br />
11. Исследовать на сходимость ряд<br />
<br />
<br />
p <br />
n2<br />
n ln n<br />
<br />
1<br />
при различных действительных<br />
значениях р и .<br />
Ответ:<br />
Если р > 1, то ряд сходится при всех ; а если р < 1, то расходится.<br />
Если р = 1, то ряд сходится при > 1 и расходится при 1.<br />
12. Исследовать на сходимость ряд<br />
<br />
1<br />
при различных<br />
<br />
ln<br />
ln ln <br />
p<br />
<br />
n1<br />
n n n<br />
действительных значениях р, и .<br />
Ответ:<br />
Если р > 1, то ряд сходится при всех и ; если р < 1, то расходится.<br />
Если р = 1, то ряд сходится при > 1 и любых и расходится при 1.<br />
13. Исследовать условия сходимости гипергеометрического ряда<br />
1 1<br />
1 ... n 1 n 1 ...<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
1 1 2 1 n 1 ! 1 ... n<br />
где > 0, > 0, >0.<br />
<br />
<br />
<br />
Ответ: ряд сходится при > 0<br />
и расходится при 0.<br />
14. Пусть ряд<br />
<br />
an<br />
сходится an<br />
0<br />
n1<br />
. Доказать, что ряд<br />
<br />
2<br />
an<br />
тоже схо-<br />
n1<br />
дится. Показать, что обратное утверждение неверно.<br />
15. Убедиться, что признак Даламбера неприменим к ряду<br />
n1<br />
n<br />
<br />
<br />
n1<br />
a<br />
n<br />
, где<br />
2<br />
a2n1<br />
n<br />
3<br />
, 2<br />
a2n<br />
, тогда как радикальный признак Коши показывает,<br />
n<br />
3<br />
что этот ряд сходится.<br />
44
16. Показать, что если ряд<br />
также абсолютно сходится.<br />
<br />
an<br />
абсолютно сходится, то и ряд<br />
n1<br />
17. При каких значениях х сходится ряд<br />
x x n x<br />
sin x 2sin 4sin ... 2 sin ...<br />
n<br />
3 9 3<br />
Ответ:<br />
18. Определить область сходимости ряда<br />
19. Найти область сходимости ряда<br />
2<br />
<br />
<br />
n1<br />
ln x ln x ... ln x ...<br />
n<br />
n 1<br />
a<br />
n<br />
n<br />
x .<br />
Ответ: 1 x e<br />
e .<br />
1 1 1<br />
...<br />
2 4 6<br />
1 x 1 x 1<br />
x<br />
Ответ: x 1.<br />
20. Найти область сходимости функционального ряда<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
n<br />
n x<br />
n1<br />
1<br />
, x, x 2.<br />
n<br />
3 2<br />
<br />
Ответ:<br />
17 <br />
,<br />
9<br />
<br />
.<br />
21. Найти сумму ряда x1<br />
x<br />
<br />
n1<br />
n<br />
, 0 x 1.<br />
Ответ:<br />
<br />
S x<br />
0, если x 0, x 1;<br />
<br />
1, если 0 x 1.<br />
22. Найти сумму ряда<br />
2 3<br />
1 2x 3x 4x<br />
..., если x a .<br />
2 3 4<br />
a a a a<br />
a<br />
Ответ:<br />
<br />
2<br />
a x<br />
.<br />
23. Найти сумму ряда<br />
2 3 4<br />
x x x<br />
... если a x a .<br />
2 3<br />
2a 3a 4a<br />
Ответ:<br />
aln<br />
a<br />
a x x .<br />
45
24. Найти сумму ряда<br />
1 2 2 3 3 4 2<br />
x x ..., если x a .<br />
2 3 4<br />
a a a<br />
2a<br />
Ответ:<br />
<br />
3<br />
a x<br />
.<br />
25. Найти сумму ряда<br />
3 5 7<br />
<br />
26. Функцию 1 x 1<br />
<br />
2x 4x 6x 8 x ..., если x 1.<br />
x<br />
Ответ:<br />
<br />
2x<br />
2<br />
1<br />
x 2<br />
f x x e x e разложить в ряд Маклорена.<br />
Пользуясь разложением, найти сумму ряда<br />
Ответ:<br />
27. Показать, что для суммы ряда S x<br />
x<br />
выполняется соотно-<br />
n0 2 n!<br />
шение S x S x.<br />
1 2 n<br />
... ...<br />
3! 5! 2n<br />
1 !<br />
<br />
<br />
3 5 2n1<br />
x 2x nx <br />
4 ... ...<br />
, 1 3! 5! 2n<br />
1 !<br />
<br />
<br />
2e .<br />
<br />
2n<br />
28. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 см. и 5 см. Определить<br />
острый угол треугольника, лежащий против меньшего катета, с точностью<br />
до 0,001 радиана.<br />
Ответ: 0,197.<br />
29. Найти наименьшие положительные значения х, удовлетворяющие<br />
тригонометрическому уравнению 2sin x cos x 0 .<br />
Ответ: 0,4636.<br />
30. Вычислить площадь овала<br />
x<br />
4 4<br />
y 1 с точностью = 0,01.<br />
Ответ: 3,71.<br />
31. Вычислить длину одной полуволны синусоиды y sin x с точностью<br />
= 0,001.<br />
Ответ: 3,821.<br />
32. Фигура, ограниченная линией y arctg x , осью абсцисс и прямой<br />
1<br />
x , вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с<br />
2<br />
точностью до 0,001.<br />
<br />
.<br />
46
Ответ: 0,119.<br />
Пользуясь разложением функций в ряд Маклорена, вычислить пределы:<br />
2<br />
x ln 1 x x<br />
33.<br />
34.<br />
35.<br />
lim<br />
x0<br />
x0<br />
<br />
x<br />
2 tg x sin x x<br />
lim<br />
5<br />
x<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
. Ответ: 1 6 .<br />
. Ответ: 1 4 .<br />
2<br />
lim ctg x<br />
x0<br />
2 <br />
x . Ответ: 2 3 .<br />
36.<br />
37.<br />
2 1 <br />
lim x x ln 1<br />
<br />
x<br />
<br />
. Ответ: 1 2 .<br />
x0<br />
2 cos x 3 <br />
lim <br />
<br />
x 0<br />
3 4 <br />
x sin x x . Ответ: 1 60 .<br />
x<br />
38. Дано уравнение xy e y . Пользуясь методом неопределенных коэффициентов,<br />
найти разложение неизвестной функции в ряд Маклорена.<br />
Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последовательным<br />
дифференцированием.<br />
5 2 1 1 1 n1<br />
Ответ: 1 2 x x ... 2 ... x ...<br />
2 2! 3! n<br />
1 !<br />
<br />
39. Дано уравнение ln1<br />
<br />
y x xy . Пользуясь методом неопределенных<br />
коэффициентов, найти разложение неизвестной функции в ряд Маклорена.<br />
Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последовательным<br />
дифференцированием.<br />
3 11 n1<br />
1 1 1<br />
n<br />
x x x ... 1 1 ... x ...<br />
2 6 2 3 n <br />
2 3<br />
Ответ: <br />
Найти явное выражение для у с помощью ряда Маклорена двумя<br />
способами: методом неопределенных коэффициентов и последовательным<br />
дифференцированием.<br />
40.<br />
y<br />
3<br />
xy 1 (найти три члена разложения).<br />
x x<br />
Ответ: 1 ...<br />
3 81<br />
3<br />
47
41. 2sin x sin y x y (найти два члена разложения).<br />
Ответ:<br />
3<br />
x 5x<br />
...<br />
2 32<br />
42.<br />
x<br />
y<br />
e e xy (найти три члена разложения).<br />
Ответ:<br />
2 3<br />
x x 2 x ...<br />
<br />
2n<br />
x<br />
43. Показать, что функция y является решением дифференциального<br />
уравнения y xy 0.<br />
n<br />
n0 2 n!<br />
44. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию<br />
0, 2 x 0,<br />
<br />
f x<br />
x, 0 x 1,<br />
=3.<br />
<br />
2 x, 1 x 2.<br />
Ответ:<br />
<br />
n1<br />
nx<br />
<br />
1<br />
2n<br />
1<br />
x<br />
sin .<br />
n1 n<br />
n12n<br />
1<br />
1 1 cos 8<br />
<br />
2 2 2 2<br />
4 2<br />
Воспользовавшись разложением f(x) в ряд Фурье в указанном интервале,<br />
найти сумму данного числового ряда.<br />
<br />
1<br />
45. f x sin x , (, ),<br />
. Ответ: 1 2<br />
4n<br />
1<br />
2 .<br />
n1<br />
46. f x<br />
x , [0, ], по косинусам,<br />
<br />
1<br />
. Ответ:<br />
n<br />
12n<br />
1 2<br />
2<br />
.<br />
8<br />
x, x 0,<br />
<br />
f x x<br />
, 0 x .<br />
<br />
<br />
<br />
47. 2<br />
2<br />
n1<br />
n<br />
<br />
48. f x<br />
<br />
, (0, ),<br />
4<br />
49. f x cos x<br />
<br />
,<br />
<br />
0, 2 <br />
3 1 n<br />
. Ответ:<br />
n1<br />
<br />
<br />
n1<br />
2<br />
5 .<br />
12<br />
1<br />
<br />
. Ответ: .<br />
2n<br />
1<br />
4<br />
, <br />
n<br />
1<br />
n12n 12n<br />
1<br />
. Ответ: 2 .<br />
4<br />
48
50. f x x x, (0, ), по синусам,<br />
51. f x<br />
52. <br />
2 x, x 0,<br />
<br />
3 x, 0 x .<br />
2 2<br />
f x x<br />
, (, ),<br />
n1<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
1<br />
. Ответ:<br />
3<br />
2n<br />
1<br />
n1<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 n<br />
. Ответ:<br />
2<br />
n<br />
n1<br />
<br />
<br />
1<br />
1 n <br />
<br />
. Ответ:<br />
2<br />
n<br />
3<br />
.<br />
32<br />
2<br />
.<br />
4<br />
2<br />
.<br />
12<br />
53. sin<br />
f x x x , [, ],<br />
n1<br />
<br />
<br />
n<br />
1<br />
. Ответ: 1 2<br />
n 1<br />
4 .<br />
f x x<br />
54. <br />
2<br />
, (, ),<br />
<br />
1<br />
. Ответ:<br />
2<br />
n<br />
n1<br />
2<br />
.<br />
6<br />
55. Исследовать на сходимость ряд с общим членом<br />
a<br />
n<br />
1<br />
n<br />
x dx<br />
.<br />
2<br />
0 x 1<br />
Ответ: сходится.<br />
49
ГЛОССАРИЙ<br />
№<br />
п/п<br />
Новые понятия<br />
Содержание<br />
1 2 3<br />
1. Ряд бесконечная сумма<br />
2. Числовой ряд выражение вида<br />
<br />
<br />
n1<br />
a a a ... a ..., где<br />
n<br />
a1 a2<br />
a n<br />
1 2<br />
, , , ,... последовательность чисел.<br />
3. Общий член ряда выражение для a n , чаще всего a n = f(n).<br />
4. n-я частичная сумма конечного числа n первых членов<br />
сумма<br />
ряда, S a1 a2 ... a .<br />
5. Сумма ряда конечный предел частичной суммы при<br />
n, если он существует. S lim S n .<br />
6. Сходящийся ряд<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
ряд, имеющий конечную сумму.<br />
<br />
S a .<br />
7. Расходящийся ряд если предел частичной суммы не существует<br />
или бесконечен, то ряд называется расходящимся.<br />
8. Остаток ряда<br />
<br />
rn an1 an2 ... . Если ряд an<br />
схо-<br />
9. Необходимый признак<br />
сходимости<br />
10. Достаточный<br />
признак<br />
расходимости<br />
11. Ряды с положительными<br />
членами<br />
дится lim r 0.<br />
если ряд<br />
n<br />
n<br />
n1<br />
n1<br />
<br />
<br />
an<br />
сходится, lim an<br />
0<br />
n1<br />
n<br />
(обратное утверждение неверно).<br />
если lim a 0 <br />
n<br />
n<br />
<br />
an<br />
( n 0<br />
n1<br />
a ).<br />
<br />
an<br />
расходится.<br />
n1<br />
n<br />
50
1 2 3<br />
12. Признаки<br />
<br />
сравнения<br />
1. Пусть для рядов an<br />
(1) и<br />
13. Ряд Дирихле<br />
(обобщенный гармонический<br />
ряд)<br />
14. Гармонический<br />
ряд<br />
15. Признак Даламбера<br />
16. Радикальный признак<br />
Коши<br />
17. Интегральный<br />
признак Коши<br />
n1<br />
<br />
b (2)<br />
n<br />
n1<br />
n n 0 , an bn<br />
. Тогда:<br />
если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);<br />
если расходится ряд (2), то расходится и ряд<br />
(1).<br />
an<br />
2. Если конечный lim 0, то ряды<br />
n bn<br />
(1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.<br />
<br />
1<br />
; если р > 1 сходится,<br />
p<br />
n1<br />
n<br />
если р 1 расходится.<br />
1 1 1<br />
<br />
1<br />
1 ... ... – расходится.<br />
2 3 n n1<br />
n<br />
a 1<br />
lim<br />
n <br />
p ,<br />
n<br />
a<br />
n<br />
ряд сходится, если р < 1;<br />
ряд расходится, если р > 1;<br />
если р = 1, вопрос о сходимости остается<br />
открытым<br />
p lim n a ,<br />
n<br />
n<br />
если р < 1, ряд сходится;<br />
если р > 1, ряд расходится.<br />
если р = 1, вопрос о сходимости остается<br />
открытым<br />
Пусть для ряда<br />
<br />
an<br />
( an<br />
0<br />
n1<br />
) непрерывная<br />
и монотонно убывающая на a,<br />
<br />
( 1<br />
f n a . То-<br />
a ) функция f(x) такая, что n<br />
гда ряд<br />
<br />
an<br />
и f <br />
n1<br />
a<br />
x dx сходятся или расходятся<br />
одновременно.<br />
51
1 2 3<br />
18. Знакопеременный<br />
ряд<br />
содержит как положительные, так и отрицательные<br />
числа.<br />
19. Абсолютная и условная<br />
сходимость Пусть дан знакопеременный ряд an<br />
<br />
(1).<br />
Тогда, если ряд<br />
20. Знакочередующийся<br />
ряд <br />
<br />
n1<br />
<br />
an<br />
(2) сходится, то схо-<br />
n1<br />
дится и данный ряд (1), при этом он называется<br />
абсолютно сходящимся. Если же ряд<br />
(2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то<br />
он называется условно сходящимся.<br />
<br />
n1<br />
1<br />
1 n <br />
an<br />
, a n >0 (у которого члены положительны,<br />
а знаки чередуются).<br />
21. Теорема Лейбница достаточный признак сходимости знакочередующихся<br />
рядов: если<br />
22. Функциональный<br />
ряд<br />
23. Область сходимости<br />
функционального<br />
ряда<br />
1) a1 a2 a3 ...;<br />
2) lim a 0<br />
n<br />
n ,<br />
то ряд сходится и его сумма 0 S a1<br />
.<br />
<br />
un<br />
x<br />
, члены которого un<br />
<br />
n1<br />
x – некоторые<br />
функции от х.<br />
S x lim S x<br />
Его сумма <br />
n<br />
n<br />
множество всех точек сходимости этого<br />
ряда.<br />
24. Степенной ряд функциональный ряд, составленный из<br />
степенных функций, имеет вид<br />
25. Степенной ряд по<br />
степеням (ха)<br />
0 1 2<br />
2<br />
C C x C x ... C x ... C x .<br />
имеет вид C x a<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
n .<br />
n0<br />
<br />
n0<br />
n<br />
n<br />
52
1 2 3<br />
26. Интервал сходимости<br />
степенного<br />
ряда<br />
(-R, R), в каждой точке которого степенной<br />
ряд сходится абсолютно. На концах интервала<br />
(х=R и х=R) ряд исследуется дополнительно.<br />
27. Радиус сходимости<br />
28. Ряды Тейлора и<br />
число R из интервала (-R, R). Может быть<br />
найден по формулам:<br />
C<br />
R lim<br />
n ,<br />
n<br />
C<br />
n1<br />
Маклорена <br />
1<br />
R .<br />
lim n C<br />
n<br />
n<br />
a <br />
2<br />
f <br />
f x f a f a x a x a <br />
2!<br />
n<br />
a <br />
f ... <br />
n<br />
x a ... – ряд Тейлора;<br />
n!<br />
если а=0,<br />
f 0<br />
2<br />
f f x x<br />
n<br />
0<br />
0 0 ...<br />
2 !<br />
f n<br />
x ... – ряд Маклорена.<br />
n!<br />
29. Биномиальный ряд разложение в ряд Маклорена функции<br />
1<br />
<br />
m<br />
f x x .<br />
30. Тригонометриче-<br />
0<br />
ский ряд Фурье ряд вида an<br />
cos nx bn<br />
sin nx<br />
31. Теорема Дирихле<br />
(об условиях разложимости<br />
функции в<br />
ряд Фурье)<br />
a<br />
2<br />
<br />
n1<br />
, где<br />
1<br />
a f x dx <br />
,<br />
коэффициенты Фурье a 0 , a n и b n вычисляются<br />
по формулам <br />
1<br />
a f x cos nxdx<br />
<br />
,<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
b f x sin nxdx<br />
<br />
.<br />
n<br />
<br />
<br />
если 2-периодическая функция f(x) на [-<br />
, ] кусочно-монотонная и ограниченная,<br />
то ряд справа сходится к данной функции<br />
f(x).<br />
0<br />
<br />
<br />
53
1 2 3<br />
32. Ряд Фурье только если непериодическую функцию, заданную<br />
по косинусам<br />
на 0, продолжить на ,0<br />
четным<br />
33. Ряд Фурье только<br />
по синусам<br />
<br />
образом f x f x<br />
<br />
, то ряд Фурье для<br />
n1<br />
нее будет содержать только косинусы,<br />
a<br />
<br />
0 n<br />
f x an<br />
cos x, так как b n = 0. Ко-<br />
2<br />
<br />
эффициенты a 0 , a n вычисляются по формулам<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
a0<br />
f xdx<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
2 n<br />
an<br />
f x cos xdx<br />
<br />
, <br />
если функцию продолжить влево на<br />
,0<br />
f x f x ,<br />
нечетным образом <br />
то<br />
<br />
n sin n<br />
f x b x , где<br />
<br />
n1<br />
<br />
<br />
0<br />
2 n<br />
bn<br />
f xsin<br />
xdx<br />
<br />
, a 0 = 0,<br />
a n = 0.<br />
54