Высшая математика» по разделу «Ряды» - Полоцкий ...

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Полоцкий государственный университет»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ (ТЕХНИЧЕСКИЕ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ)
Составление Ф.Ф. Яско, О.В. Скоромник, Д.В. Инц, И.В. Инц
Общая редакция Ф.Ф. Яско
Кафедра высшей математики
Новополоцк 2013
1

СОДЕРЖАНИЕ
Дидактические цели обучения 3
Информационная таблица «Ряды» 4
Вопросы к экзамену (зачету) по разделу «Ряды» 6
Основная и дополнительная литература 7
I. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда 8
II. Необходимый признак сходимости. Ряды 11
с положительными членами. Теоремы сравнения
III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный 14
признаки Коши
IY. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. 16 16
Абсолютная и условная сходимость
Y. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала 19 19
сходимости
YI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения 23 23
YII. Контрольная работа по теме «Ряды» 27 27
YIII. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [-, ] 28 28
,
30 30
IX. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Ряды» 34 34
Глоссарий 50
2

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
Студент должен знать
определение ряда, его сходимости и
расходимости, суммы ряда;
необходимый признак сходимости и
достаточный признак расходимости;
признаки сравнения, «эталонные ряды»;
достаточные признаки сходимости
числовых рядов с положительными
членами: Даламбера и Коши;
определение абсолютной и условной
сходимости знакопеременных рядов;
теорему Лейбница для исследования
на сходимость знакочередующихся рядов;
понятие мажорируемых функциональных
рядов;
определение интервала сходимости;
формулы нахождения радиуса сходимости;
теоремы о почленном дифференцировании
и интегрировании степенных
рядов;
ряды Тейлора и Маклорена, условия
разложимости функций в ряд Тейлора;
x
разложения функций e , sin x , cos x
в ряды Маклорена, биномиальный ряд
и его частные случаи;
методы оценки погрешности при
приближенных вычислениях с помощью
рядов;
теорему Дирихле о разложении
функций в ряды Фурье;
формулы для вычисления коэффициентов
ряда Фурье и самого ряда Фурье
для 2-периодических и 2 -
периодических функций; для четных и
нечетных функций.
Студент должен уметь
исследовать числовой ряд на сходимость
или расходимость по определению,
в необходимых случаях находить
сумму ряда;
применять достаточный признак
расходимости;
применять признаки сравнения;
применять признаки Даламбера и
Коши;
исследовать знакопеременные ряды
на абсолютную и условную сходимость;
применять теорему Лейбница для
исследования сходимости знакочередующихся
рядов;
находить область сходимости простейших
функциональных рядов;
находить интервал сходимости степенных
рядов, исследовать сходимость
на концах интервала;
раскладывать функции в ряды Тейлора
и Маклорена;
применять теоремы о почленном
дифференцировании и интегрировании
степенных рядов для разложения
функций в ряды Тейлора и нахождения
сумм этих рядов;
применять ряды к приближенному
вычислению значений функций и определенных
интегралов;
применять степенные ряды к нахождению
частных решений дифференциальных
уравнений;
вычислять коэффициенты ряда Фурье
и записывать сам ряд Фурье;
применять разложения функций в
ряд Фурье для вычисления сумм некоторых
сходящихся числовых рядов.
3

k
1. lim 1
e
n
n
sin ky
2. lim k ;
y0
y
n
k
;
Информационная таблица «Ряды»
«Важные сведения из пределов»
n
3. lim n 1;
1
n
5. lim 0 ;
n
n
n!
n
4. lim n
n
n x x
e ; 6. ln x x a x
n
n!
при x, a>1, n .
«Ряды»
Числовой ряд- сумма элементов последовательности
a n n .
конечный предел последовательности его
Числовой ряд называется сходящимся, if
частичных сумм: S lim S n .
n
a a a ... a ...
n1
if lim S
n
n
n
1 2
не или бесконечен,
то ряд называется
расходящимся
n
if
a сходится, то lim a 0
n1 n
n
(необходимое условие сходимости
ряда).
Признак сравнения 1.
Пусть заданы знакоположительные ряды (1)
a , (2)
n1 n
b и n n 0 , a n b n .
n1 n
Тогда если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2);
если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
n
a сходится
n1 n
lim r 0,
n
n
rn an1 an2 ...
Признак сравнения 2.
Если конечный предел
an
lim 0 , то ряды (1) и (2)
n
bn
сходятся или расходятся одновременно.
Ряды «эталоны»
1. Ряд Дирихле
2. Геометрическая прогрессия
(обобщенный гармонический ряд)
при q 1, сход.
n
b1
1
n1
n
- 1, расх.
b1q
, S .
n0
при q 1, расх.
1, сход.
1 q
Признак Даламбера. Пусть задан
знакоположительный ряд
a
if
1
lim
n
p , то
n
a
n
a
n1 n
. Тогда
Радикальный признак Коши. Пусть задан
знакоположительный ряд
if lim n a
n
n
p , то
Интегральный признак Коши. Пусть для знакоположительного ряда
a
n1 n
n1 n
. Тогда
a положительная,
непрерывная и монотонно убывающая на промежутке a,
a
функция
f x такая, что f n an
a и f xdx
сходятся или расходятся
одновременно.
при p1 –ряд расход.,
при p=1 нужны доп.исслед.
. Тогда ряд
n1 n
1
a
при p1 –ряд расход.,
при p=1 нужны доп.исслед.
4

Пусть задан знакопеременный ряд
Тогда, если ряд
n1 n
Знакопеременные ряды
a (1), где a n – числа произвольного знака.
n1 n
a (2) сходится, то сходится и данный ряд, при этом он называется
абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то он называется
условно сходящимся.
1
Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд
a 0
n1
1 n n
a .
1) a1 a2
an
Тогда, if выполняются условия:
, то данный ряд сходится и его
2) lim an
0,
сумма 0 S a1
.
C
R lim
n или
n
C
n1
R
Степенные ряды
1
n
lim n , if Cn
x .
C
n
n
n1
(-R, R) – интервал сходимости, при х=-R и х=R ряд исследуется дополнительно.
1
a f x dx
0
Ряд Фурье
a
0
f x an
cos nx bn
sin nx
,
2
n1
, a f xcos
nx dx
,
n
1
1
b f x sin nx dx
.
Если 2 - периодическая функция f(х) кусочно-монотонная и ограниченная, то ряд
справа сходится, именно, к этой функции f(х).
n
n
Если f(х) – четная функция, то она раскладывается
в ряд Фурье только по косинусам, при
этом
b 0;
n
2
a f x dx
0
,
0
2
a f x cos nx dx
,
n
0
если f(х) – нечетная функция,
то она раскладывается только
по синусам, при этом a0 0 ,
2
a 0, b f xsin
nx dx
.
n
n
0
Если 2 – периодическая функция f(х) задана на ,
, то ряд Фурье имеет вид:
1
a0
f x
dx
a
0 n
n
an
cos x bn
sin x , где
2
n1
1 n
an
f x cos x dx
,
1 n
bn
f x sin x dx .
,
5

Вопросы к экзамену (зачету) по разделу «Ряды»
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.
2. Простейшие действия над рядами. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд.
3. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.
4. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
7. Функциональные ряды. Область сходимости.
8. Степенные ряды. Теорема Абеля.
9. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.
10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
11. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложения функций.
x
m
12. Разложение в ряд Маклорена e , sin x, cos x, 1
x
.
13. Приложения рядов к приближенному вычислению значений функций
и определенных интегралов.
14. Приложения рядов к решению дифференциальных уравнений.
15. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле.
16. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на
(, ).
17. Разложение в ряд Фурье 2 -периодических функций.
18. О разложении в ряд Фурье непериодических функций.
6

Основная и дополнительная литература
1. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский –
М.: Наука, 1980.
2. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике. / А.А. Гусак,
Г.М.Гусак – Мн.: Навука и тэхника, 1991.
3. Жевняк, Р.М. Высшая математика. Ч.3 / Р.М.Жевняк, А.А.Карпук
Мн.: Вышэйшая школа, 1985.
4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 2. /
Н.С.Пискунов – М.: Наука, 1985.
5. Берман, Г.М. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г.М.Берман – М.: Наука, 1971.
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2 /
П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова – М.: Высшая школа, 1980.
7. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического
анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. М.:
Наука, 1981.
8. Индивидуальные задания по высшей математике. / Под общей редакцией
А.П. Рябушко Мн.: Вышэйшая школа, 2004.
9. Дифференциальные уравнения. Ряды.: учеб.-метод. комплекс для студентов
техн. специальностей / Ф.Ф. Яско. – Новополоцк: ПГУ, 2008. –
324 с.
10. Дифференциальные уравнения. Ряды.: учеб.-метод. комплекс для студентов
техн. специальностей / Н.В. Цывис, В.М. Кулага. – Новополоцк:
ПГУ, 2008. – 212 с.
7

I. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
1. Для большинства числовых рядов сумму ряда найти трудно и, что
для практических целей, достаточно ответить на вопрос: сходится ряд или
расходится?
Бесконечная сумма
a1 a2
an
... an
,
n
n1
n
где an
R , называется числовым рядом. Числа a1, a2, , a n ,... называются
членами ряда, а число a n – общим членом ряда.
Конечные суммы S1 a1
, S2 a1 a2
, ..., Sn
a1 a2 ... an
, … называются
частичными суммами, а S n – n-й частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма S n при
неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если
lim S n S . Число S называют суммой ряда. Если же lim S n не существует
(в частности, бесконечен), то ряд называется расходящимся.
В теоретической части модуля рассмотрен в качестве примера ряд,
составленный из членов геометрической прогрессии,
2 n 1
a a q a q ... a q ...,
1 1 1 1
a1
который сходится, если q 1 (его сумма S ) и расходится, если
1 q
q 1.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Дан общий член ряда an
10 1
. Написать
первые четыре члена ряда.
1
2
Решение. Если п = 1, то a1
; если n = 2, то a2
; если
11
101
3
4
n = 3, то a3
; если n = 4, то a4
; …. Ряд можно записать в
1001
10001
виде
1 2 3 4 n
... ...
n
11 101 1001 10001 10 1
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Найти общий член ряда
n
n
8

2 3 4
2 3 4 5
...
3 7 11 15
Решение. Показатель степени каждого члена совпадает с номером
этого члена, поэтому показатель степени n-го члена равен n. Числители
дробей 2, 3, 4, 5, … образуют арифметическую прогрессию с первым членом
2 и разностью 1, поэтому n-й числитель равен n+1. Знаменатели образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4,
следовательно, an
a1 d n 1 3 4n 1
3 4n 4 4n
1. Итак, общий
член ряда
a
n
n
n 1
4n
1 .
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать сходимость ряда
2 1 1 1 1
...
3 3 6 12 24
Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, где
2
a1
3 4
S .
1
q 1
1
3
2
q
1
1 , поэтому он сходится и его сумма
2
. Пред-
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4 . Найти сумму ряда
1 1 1
...
1 2 3 2 3 4 3 4 5
1
Решение. Очевидно, общий член ряда a n
n n 1 n 2
ставим его в виде суммы простейших дробей
1
A B
C
n n 1 n 2 n n 1 n 2
.
Умножая на знаменатель левой части, придем к тождеству
1 A n 1 n 2 Bn n 2 Cn n 1 .
1
Пусть n = 0, тогда 1 = 2А A ;
2
пусть n = 1, тогда 1 = В В = 1;
9

пусть n = 2, тогда 1 = 2С
1
C .
2
Таким образом,
1 1 1 1 1 1 1 2 1
a n
2 n n 1 2 n 2 2 n n 1 n 2 . Тогда
1 1 1 1 1
S n
...
1 2 3 2 3 4 3 4 5 n 1 n n 1 n n 1 n 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
...
2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n 1 n n 1 n n 1 n 2
1 1 1 1 1
.
2 2 n 1 n 2 4
Итак, ряд сходится и имеет сумму 1 4 .
Вопросы и задания
Выполнить следующие задания:
1) Написать формулы общих членов рядов:
а) 1 3 5 7 ...
2 4 6 8
б)
2) Найти суммы рядов:
а)
б)
в)
г)
n
n
3 5
. Ответ:
n
n1
15
1 1 1
... ... Ответ:
1 4 2 5 n n 3
1 1 1
... ...
1 7 3 9 2 1 2 5
n n
3 5 2n
1
... 2 2 ...
4 36 n n 1
2 3 4
2 2 2 2
...
1 1 2 1 2 3 1 2 3
4
Ответ:
3
S ;
4
11
S ;
18
23
S ;
90
Ответ: S = 1.
10

II. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными
членами. Теоремы сравнения
1. Отметим, что необходимый признак (из сходимости ряда
lim a 0 ) не является достаточным, т.е., если lim a 0 , то ничего
n
n
n
нельзя сказать о сходимости или расходимости данного ряда. А вот, если
lim a 0, то ряд расходится (это достаточный признак расходимости).
n
n
П р и з н а к с р а в н е н и я 1 . Если для всех n n 0 выполняется неравенство
0 an bn
, то:
членами.
1) если ряд
2) если ряд
bn
сходится, то сходится и ряд an
;
n1
n1
an
расходится, то расходится и ряд bn
n1
n1
n
n1
a
с большими
n bn
n1
n1
П р и з н а к с р а в н е н и я 2 . Если конечный и отличный от нуля
a
lim
n
, то оба ряда an
и bn
одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
В качестве рядов для сравнения часто выбирают ряд, составленный
из членов геометрической прогрессии,
всех q 1 и сумма которого
n1
aq
n1
, который сходится для
a
S , а также, так называемый, обобщен-
1 q
1
ный гармонический ряд (ряд Дирихле) , который сходится для всех
p
n1
n
р > 1 и расходится, если р 1.
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в
нем отбросить или добавить любое конечное количество членов. Но его
сумма, если она существует, при этом изменяется.
n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда
1 1 1 1
...
11 12 13 14
11

Решение. Данный ряд получается из гармонического ряда
1 1 1
1 ... ...,
2 3 n
который расходится, как частный случай ряда Дирихле (р = 1), отбрасыванием
первых десяти членов. Следовательно, он расходится.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда
0,6 + 0,51 + 0,501 + 0,5001 + …
Решение. Здесь a 0,5 0,1 n
n (n = 1, 2, …),
1
lim an
lim 0,5 0,5 0
n
n
n и ряд расходится по достаточному признаку
10
расходимости.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Доказать сходимость ряда
1 1 1 1
... ...
n
2
n
n1
n 3 13
23 n 3
Решение.
1 1
Воспользуемся неравенством
n n
n 3 3
(n 2) и сравним
данный ряд со сходящимся рядом , q 1 . Согласно первому
1 1
3
признаку сравнения данный ряд сходится.
n1
3 n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать на сходимость ряд
1
.
2
n2
n 1
Решение. Так как
1 1
для любого n 2, то члены данного
2
n 1 n
ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда.
Значит, исходный ряд тоже расходится.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 5. Исследовать на сходимость ряд
2
2
1
n
3
n1
1
n
.
Решение. Если общим членом ряда является отношение двух многочленов,
то в качестве ряда для сравнения рекомендуется брать ряд Ди-
12

1
рихле , где р равно разности степеней многочленов, стоящих в знаменателе
и числителе (если степень числителя больше, либо равна, степе-
p
n1
n
ни знаменателя, то, очевидно, lim a 0 и ряд расходится в этом случае).
n
n
В нашем примере степень знаменателя – 6 (содержит n 6 ), а числителя
4 (содержит n 4 ), поэтому р = 6 – 4 = 2 и в качестве ряда для сравне-
1
ния берем ряд , который сходится, так как р = 2 > 1. Применим второй
признак
2
n1
n
сравнения
2
2
2
2 2 4 2
2
a
1 1 2
n 1 n
1 n n n n n
lim lim
lim lim
n n
3
2
3
2 3 6
bn
1 n n n n
1 2n n
1
n
6 4 2
n 2n n
lim 1
0 .
n
6 3
n 2n
1
Получили конечный, отличный от нуля, предел. Значит, данный ряд
тоже сходится. Заметим, что lim a 0 .
n
n
Вопросы и задания
1. Исследовать на сходимость следующие ряды:
2
n 1
а) .
3
n1
n
Ответ: расходится;
2 n
б) 1 ... ...
3 2n
1
Ответ: расходится;
в) sin sin ... sin ...
2 4 2 n
Ответ: сходится;
1 2 2
г) n n 1 n n 1
.
n
n1
Ответ: расходится;
д)
е)
ж)
1
.
4
n 1
Ответ: сходится;
n1
1
.
4 2 3
Ответ: сходится;
n
n1
2 3
2 1 2 1 2 1
2 3 ...
5 1 5 1 5 1
Ответ: сходится.
13

III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки
Коши
Признак Даламбера:
a 1
lim
n
p (при
n
an
р < 1 ряд сходится, при
р > 1 ряд расходится, при р = 1 нужны дополнительные исследования);
Радикальный признак Коши: p lim n an
(при р < 1 ряд сходится,
n
при р > 1 ряд расходится);
Интегральный признак Коши: если сходится (расходится) несобственный
интеграл
n1
a
n
f xdx
( an
f n
1
), то сходится (расходится) и ряд
, применяются только к рядам с положительными членами.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда
2 3
2 2 2 2
... ...
10 10 10
1 2 3 n
Решение. Применим признак Даламбера;
2 n
n1
2
имеем
a n , a
10
n 1 10
n
, значит
n
1
n 1 n n 1 10
a
1 2 2
2
lim
n
n
p
lim lim
n n
10 10 10
a
n
n
n
1 n n
n
1
2
10
n
2 lim 2 1 2 1, ряд расходится.
n
10
n 1
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда
. Здесь удобнее применить ради-
Решение. Имеем
кальный признак Коши.
n1
2
n
n
1 1
1
n
2 n
.
1 1
1
2 n
a n n
2
n
14

2
n
1 1 1 1
lim n lim
n e
p an
1 lim 1 1
n n n , т.е. данный
2 n n
2 n 2
ряд расходится.
n1
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать на сходимость ряд
2n
.
2
n
1 2
Решение. Применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим
несобственный интеграл
b
2 2
2
2x
1
dx lim x 1 d x 1 lim
x 1
2 2
1
2
b
b
1 x 1
1
1 1 1 1
lim 0
b
2
b 1 2
. Несобственный интеграл сходится, значит,
сходится и данный ряд.
2 2
Заметим, что данный ряд можно было сравнить со сходящимся рядом
Дирихле
1
(р > 1).
3
n
n1
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Доказать, что
Решение.
Рассмотрим числовой ряд
n
и исследуем его схо-
n1 2 n!
димость при помощи признака Даламбера.
n
n
b
lim n
2 !
0 .
n
n
n
n
n
n
n
n1 1
an1 n 1 2 n ! n 1 1 2 3 ... 2n
p lim lim lim
n a n 2 n 1 ! n n
n 1 2 3 ... 2n 2n 1 2n
2
n
1
n
2 12 1
n n n
1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 lim
n
n
n
n n n 2 n n 2n 1 2 n
n n
2n
1
e
0 0 1. Значит, ряд сходится и из необходимого признака сходимо-
2
сти следует, что
lim lim n
an
2 !
0 .
n
n
n
n
15

Вопросы и задания
1) Исследовать на сходимость ряды:
а)
б)
в)
г)
2
n
.
n1 n!
Ответ: сходится;
n
.
n1100n
1
Ответ: расходится;
2
2n
2n
1
2
.
5n
2n
1
Ответ: сходится;
n1
1
.
n
ln n 1
n1
n
Ответ: сходится;
д)
1 n 1
ln .
n n 1
Ответ: сходится;
n2
е) ntg .
n1
2
ж)
з)
n1
n1
Ответ: расходится;
2
1
n
2
1
n
.
Ответ: сходится;
1
.
lnln
2
n3
nln
n n
Ответ: сходится.
2) Доказать,что
2 n!
а) lim 0, (а 1);
n
n!
б)
a
n
n
lim 0
n
n!
2
.
IY. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная
и условная сходимость
1. Знакочередующийся ряд
n1
a 0
a1 a2 a3 a4 ... 1 a n ... n
является частным случаем знакопеременного ряда
a1 a2 a3 ... a n ...,
у которого члены ряда могут иметь любые знаки. Знакопеременные ряды
исследуются на абсолютную или условную сходимость.
Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин соответствующих
членов знакопеременного ряда,
a1 a2 a3 ... a n ...,
то сходится и сам знакопеременный ряд, при этом он называется абсолютно
сходящимся.
Если же ряд из абсолютных величин расходится, а сам ряд сходится,
то он называется условно сходящимся.
16

К исследованию знакочередующихся рядов можно применить достаточный
признак – теорему Лейбница:
Если выполняются для знакочередующегося ряда условия:
1) a1 a2 a3 ... ( a 0, начиная с некоторого номера n 0 );
2) lim a 0
n
n ,
то этот ряд сходится.
n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Исследовать на абсолютную или условную
сходимость ряд 1 ...
1 1 1
2 3
2 2 2
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин:
1 1 1
1 ...
2 3
2 2 2
Этот ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем
q 1 и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд схо-
1
2
дится, причем абсолютно.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать на абсолютную или условную
сходимость ряд 1,1 – 1,01 + 1,001 – 1,0001 + …
Решение. Ряд из абсолютных величин
1,1 + 1,01 + 1,001 + 1,0001 + …
1
расходится, так как lim an
lim 1 1 0
n
n
n .
10
Первое условие теоремы Лейбница выполняется:
1,1 > 1,01 > 1,001 > 1,0001 > …
но lim a 0, как только что было показано. Ряд расходится.
n
n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать на абсолютную или условную
сходимость ряд 1 ... 1 ...
1 1 n1
1
3 5 2n
1
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин:
1 1 1
1 ... ...
3 5 2n
1
1 1 1
и сравним его с расходящимся гармоническим рядом 1 ... ...
2 3 n
17

an
1 n n 1
lim lim lim 0.
n b n 2n 1 1 n
2n
1 2
n
Значит, оба ряда расходятся.
Проверим для самого знакочередующегося ряда выполнение условий
теоремы Лейбница:
1 1
1) 1 ...;
3 5
1
2) lim an
lim 0.
n
n
2n
1
Следовательно, данный ряд сходится и называется условно сходящимся.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать на сходимость ряд
cos cos2 cos3 cos n
... ... (1)
5 5 5 5
1 2 3 n
Решение. Этот ряд знакопеременный, так как cos n (n= 1, 2, 3, …)
в зависимости от угла n может принимать значения любого знака. Исследуем
его на абсолютную или условную сходимость, для чего рассмотрим
ряд из абсолютных величин
cos cos2 cos3 cos n
... ...
(2)
5 5 5 5
1 2 3 n
Члены ряда (2) не превосходят соответствующих членов ряда
1 1 1 1
... ..., (3)
5 5 5 5
1 2 3 n
так как cosn 1.
Ряд (3) сходится, как ряд Дирихле (p = 5 > 1). Тогда по первому
признаку сравнения сходится ряд (2), а, стало быть, сходится и ряд (1),
причем абсолютно.
Вопросы и задания
1. Выяснить, какие из следующих рядов сходятся абсолютно, какие
условно и какие расходятся.
1 1 n1
1
а) ... 1
... Ответ: сходится условно;
ln 2 ln3 ln n 1
18

б)
sin sin 2 sin3 sin n
... ... Ответ: сходится абсолютно;
4 4 4 4
1 2 3 n
3 n1
n 1
2 ... 1 ...
Ответ: расходится;
2
n
в)
г)
n1
. Ответ: сходится абсолютно;
n n
1 n
n 2n
1
3n
2
. Ответ: сходится абсолютно;
д) 1
n1
е)
n
1 1 4 1 4 7 n11 4 7 ... 3n
2
... 1 ... Ответ: расходится;
3 35 35 7 357 ... 2n
1
n n
1 . Ответ: расходится;
5 n 2
ж)
n1
ln
1 n n
. Ответ: сходится условно;
n
з)
n2
n n!
1 . Ответ: сходится абсолютно;
1 3 5 ... 2 n 1
и)
n1
к) 1
л)
ln ln 3
n3
nln
n n
n 1
. Ответ: сходится абсолютно;
sin n
n
ln3 n . Ответ: сходится абсолютно.
1
Y. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала сходимости
1. Областью сходимости степенного ряда является интервал (R, R),
где R – радиус сходимости можно определить по одной из формул
C
R lim
n ;
n
C
здесь С п – коэффициент при х п
0 1 2
n1
2
1
R ;
lim n C
n
степенного ряда
C C x C x ... C x ... C x .
n
n
n
n0
n
n
19

Внутри интервала (R, R) сходимость должна быть абсолютной. На
канцах интервала (при х = R и х = R) получившийся числовой ряд исследуется
дополнительно.
2. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти область сходимости ряда
Решение.
n1
1
C n
3 n
n
5
n1
x
1
.
3 n
n 5
n1
n
1
C n
3 n
n
5
,
C n 1
3 n
1
1
n 1 5
n1
n
1 5 n
1
C
3 3
n 1
n 3 n
3
Cn1
n n 5
1
n
n
R lim lim 5 lim 5 .
Положим х = 5, имеем числовой ряд
n n n
2 n
1 5 1 5 1 1 1
n
n
1
1
1
,
3 n
3 n
3 3
n1 n 5 n1 n 5 n1 n n1
n
который сходится, как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Значит, при х = 5 ряд абсолютно
сходится.
n
1
1 5
n
n
1
Пусть х = 5, имеем ряд 1
. Ряд из
3 n
3
n1 n 5
n1
n
1
его абсолютных величин сходится (р = 3 > 1), поэтому при х = 5
3
n1
n
степенной ряд тоже сходится абсолютно.
Итак, отрезок [-5, 5] является областью сходимости данного ряда.
C
n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда
Решение.
x x x
2 3
1! 5 2! 5 3! 5 ...
Пусть Х = х 5, имеем ряд
1 n
1 !
, n
R
n n1
n n
n
n!
X . Здесь Cn
n!
,
n1
C n! 1
lim lim lim 0
C n 1 ! n 1
. Ряд сходится
только при Х = 0, т.е. при х – 5 =0, х = 5.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 3. Исследовать сходимость ряда
3 6 9
x x x
1 ...
2 3
10 10 10
.
20

Решение.
знаменателем
Ряд составлен из членов геометрической прогрессии со
3
x
q . Как известно, он сходится, если q 1, и расходится,
10
если q 1. Следовательно,
3 3
3 3
10 x 10 , т.е 10, 10
3
x 1 x 3 10 x 3 10
10
– облассть сходимости данного ряда.
3. Заметим, что в формулах для нахождения радиуса сходимости С п
– это коэффициент при х п . Если же дан ряд по степеням, например, х 2п ,
х 2п+1 и других, то радиус сходимости может быть найден неверно.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 4. Исследовать сходимость ряда
nn1
x
2
.
n
n1 !
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим
nn1
n1n
x 2
x 2
признак Даламбера, полагая an
, an1
n!
. Тогда
n 1 !
n1n
n
a
2
0 1,
n 1
x n!
x при x
p lim lim lim
n a n 1 ! nn
1 n n
n
n 1
при x 1.
x 2
Итак, ряд сходится на отрезке [-1, 1], где р = 0 < 1.
П р и м е р . Исследовать сходимость ряда
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 5. Найти сумму ряда
n
n 1
2 2 n
x
n1
2n
1
Ответ: 2 2, 2 2.
2 3
1
продифференцировав почленно ряд 1 x x x ...
Решение.
Последний ряд имеет сумму
2 3
1 2x 3x 4 x ...,
x .
1 1
S
1 q 1 x
, т.е.
21

2 3 1
1 x x x ... .
1 x
Ряд слева, как степенной ряд, мажорируем в интервале (1, 1), поэтому его
можно почленно дифференцировать:
2 3 1
1 2x 3x 4 x ... ,
2
1
x
интервал сходимости при этом не изменяется, т.е. 1< x < 1.
П р и м е р . Найти сумму ряда
почленно ряд
2 3 4
x x x
x ..., проинтегрировав
2 3 4
2 3
x x x 1
1 ...
x .
Ответ: ln1
x
.
Вопросы и задания
1. Изучить по теоретической части модуля материал к следующему
практическому занятию по теме «Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения».
2. Решить следующие примеры.
Найти области сходимости степенных рядов
3 2n1
n1
x
x
... 1 ...
33! 2 1 2 1 !
а) x
б)
n1
n
n
n n
2 x
. Ответ:
n
3 n
в)
n1
Ответ: (-, );
3 3
,
2 2 , при 3
x условно сходится;
2
n
n x 2
1 . Ответ: (0, 4), при х = 4 условно сходится;
2
n
n 1
n
nx
1 1
г) . Ответ: ,
n1 n!
e e , при 1
x условно сходится.
e
У к а з а н и е . При исследовании сходимости на концах интервала
учесть, что факториалы больших чисел могут быть приближенно выражены
формулой Стирлинга
n
n
n! 2n
.
e
22

д) Найти сумму ряда
1
3 5
x x
2 4
x ..., проинтегрировав ряд 1 x x ...
3 5
1 x 1
S x ln x 1
.
2 x 1
x . Ответ:
YI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения
1. Ряды Тейлора и Маклорена, формула для остаточного члена, разложения
в ряд Маклорена функций e , sin x , cos x, а также биномиаль-
x
ный ряд и его частные случаи соответственно приведены ниже:
n
2
f a f a n
f a f a x a
x a ... x a ..., (1)
2! n!
n
f 0 2 f 0 n
f 0
f 0 x x ... x ...,
2! n!
n
n
n
1 n1
1 x a n1
x a
Rn
x
f C f a
x a
1 ! n
1 !
где С находится между х и а, 0 1 (в форме Лагранжа).
n
f 0 2 f 0 n
f x f 0 f 0 x x ... x ...
(2)
2! n!
2
x x x
e 1 x ... ...
2! n!
n
x
3 5 2n1
n1
x x x
sin x x ... 1 ...
3! 5! 2n
1 !
2 4 2n
x x x
cos x 1 ... 1 ...
,
(3)
x (4)
n
x
2! 4! 2 n !
m mm 1 2 mm 1m
2
3
(5)
1 x x mx x x ...
2! 3!
mm 1 ... m n
1
n
x ... 1 x 1
(6)
n!
1
2 3
n n
1 x x x ... 1 x ...
1 x
1 x 1
(7)
1
2 3 n
1 x x x ... x ...
1 x
1 x 1
(8)
23

1 1 2 13 3 135
4
1 x 1 x x x x ...
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
1 x 1
(9)
1 1 13 2 135
3
1 x x x ...
1
x 2 2 4 2 4 6
1 x 1
(10)
Ряд (6) называется биномиальным, на концах интервала сходимости
он ведет себя по разному: при т 0 он абсолютно сходится в точках
х = 1; при 1< m < 0 расходится в точке х = 1 и условно сходится в
точке х = 1; при т 1 расходится в точках х = 1.
Для всех этих рядов lim R x 0 в области сходимости.
n
n
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить функцию f x sin 2x
в ряд
Тейлора по степеням x
4 .
Решение.
1) Решим сначала этот пример, используя формулу (1).
a , f a f sin 1;
4
4 2
f x
2cos2x
, f 0
2cos 0;
2
2
2 sin 2 ,
3
2 cos 2 ,
IY 4
2 sin 2 ,
IY
f x x
f x x
f x x
2
f 0 2 ;
f 0 0;
4
f 0 2 ;
……………………………………..
Имеем:
2 2 4 4 2n
2n
2 2 n 2
sin 2x 1 x x ... 1 x ...
2! 4 4! 4 2 n
! 4
2) Решим этот пример, используя известное разложение cos x в ряд
Маклорена.
sin 2x sin 2 x
sin
2 x
cos2 x
4 4
4 2
.
4
2 4 2n
x x x
cos x 1 ... 1 ...
n
x
2! 4! 2 n !
.
Пусть x 2
x в левой и правой части этого равенства, тогда
4
24

sin 2x
cos2
x
4
2 2 4 4 2n
2n
2 2 2
1 x x ... 1 x ... ,
2! 4 4! 4 2 ! 4
причем 2
x
4
изменилась.
n
n
< x < , т.е. область сходимости не
2. Для разложения функций в степенные ряды можно использовать
известные разложения и теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании
степенных рядов.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить в ряд Маклорена
y ln 10 x .
x x
Решение. ln 10 x
ln101 ln10 ln1
10 10 .
Используем ряд (7)
1
2 3
n n
1 x x x ... 1 x ...
1 x 1 x 1
x
Положим x , тогда
10
2
n
1 x x n x
1 ...
2
1 ...
x n
1
10 10 10
10
x
1 1 10 x 10
10
.
Интегрируя последний ряд, получим
2 3 n1
n
2
n
x x x x
10ln1 x ... 1 ...
10 10 2 10 3 10 n 1
(интервал сходимости (-10, 10) при этом не меняется).
Таким образом,
2 3
n
n1
2 3 n1
x x x x
ln 10 x ln10 ... 1
...
10 10 2 10 3 10 n 1
(-10 < x < 10).
25

3. Применение степенных рядов к нахождению приближенных решений
дифференциальных уравнений.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти пять первых членов разложения в
2 2
степенной ряд решения дифференциального уравнения y x y , если
у(1) = 1.
Решение. Решение ищем в виде ряда Тейлора
y1 y 1
2 y
1
3
y y 1 x 1 x 1 x 1 ...
1! 2! 3!
По условию у(1) = 1, из самого уравнения
2 2
y 1 1 1 2. Дифференцируя
исходное уравнение, получаем
y
2x 2y y
y 1 2 1 2 1 2 6 ,
,
2
2 2 2 ,
IY
4 2 2 ,
y y yy
IY
y y y y y y y
y 1 22,
y 1 116 и т.д.
В результате, частное решение найдено в виде
2
6 x 1 22 3 116 4
y x 1 2 x 1
x 1 x 1 ...
2 6 24
2 11 3 29 4
1 2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 ...
3 6
Вопросы и задания
1. Найти первые пять членов ряда Маклорена функции
x
y ln 1 e .
х=3.
2. Разложить функцию
2 4
x x x
Ответ: ln 2 ...
2 3 192
1
y в ряд Тейлора в окрестности точки
x
2 n
n1
x
1
n
1 x 3 x 3 3
Ответ: ... 1 ...
3 9 27 3
3. Пользуясь известными формулами разложения в ряд Маклорена,
разложить в окрестности а=0, следующие функции:
26

а)
2 n1
2x
2x
2x
y e . Ответ: 1 2 x ... ...
2! n 1 !
y . Ответ:
б) sin 2
x
2
в) y xln 1 x
. Ответ: x
2
г) Функцию y ln x 1 x
x
2
из соотношения ln x 1 x
полученного ряда.
3 2n1
n1
3 2n1
x x x
... 1 ...
2 2 3! 2 2n
1 !
3 n1
n1
x
x
... 1 ...
2
n
разложить в ряд Маклорена, исходя
0
dx
1
x
2
, и указать интервал сходимости
3 5
1 x 13
x
Ответ: x ... 1 x 1
.
2 3 2 4 5
4. Вычислить приближенное значение определенного интеграла,
взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд, указать погрешность
вычислений
3
cos x dx
x
.
6
Ответ: 0,3230, погрешность =0,0001.
5. Найти первые пять членов разложения решения дифференциального
уравнения в степенной ряд: y ycos
x x 0 1 y 0 0 .
, y ,
Ответ:
YII. Контрольная работа по теме «Ряды»
2 3 5 6
x x x 5x
y x
1 ...
2! 3! 5! 6!
Студенты в обязательном порядке выполняют соответствующий вариант
I уровня теста, каждая задача оценивается в 1 балл. По желанию
можно решать задачи II уровня (каждая по 2 балла) и III уровня (3-5 баллов).
27

YIII. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [-, ]
Рядом Фурье на [-, ] называется ряд вида
a
0
an
cos nx bn
sin nx
, (11)
2
n1
где коэффициенты a 0 , a n , b n вычисляются по формулам
1
a f x dx
, (12)
0
1
a f x cos nxdx
(13)
n
1
b f x sin nxdx
. (14)
n
Если функция f(х) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле
(смотри теоретическую часть модуля), то ряд справа в формуле (11) сходится
к этой функции; в точках непрерывности сумма этого ряда равна
значению функции в этих точках. Если х = х 0 – точка разрыва I рода, то
f x0 0 f x0
0
S x0
.
2
Если функция f(х) – четная, то она раскладывается в ряд Фурье
только по косинусам, тогда
2
a f x dx
0
,
0
2
a f x cosnx dx
, b n = 0.
n
Если функция f(х) – нечетная, то она раскладывается в ряд Фурье
только по синусам, тогда
a 0 = 0, a n = 0,
0
2
b f x sin nxdx
.
1. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Разложить в ряд Фурье 2периодическую
функцию, заданную на [-, ] уравнением f x x .
Решение.
Функция кусочно-монотонная и ограниченная.
n
0
28

у
2
3 2 0 2 3
х
Определим коэффициенты ряда Фурье.
2
x
2 2
1 1 1 1
a0
f x dx x dx x
2
2
;
u x , dv cos nxdx
1 1
an
f xcos nxdx x cosnxdx sin nx
du dx,
v
n
1
x sin
nx 1
sin nxdx
n n
(так как sin n 0 n ) =
1 1
cos nx cos n cosn
0.
n
2 2
n
u x , dv sin nxdx
1 1
bn
f xsin nxdx x sin nxdx cos nx
du dx,
v
n
1
x cos
nx 1
1 2cos n
1
cos nxdx
sin nx
2
n n
n
n
2 2 n 2 n1
cos n 1 1
.
n n n
Следовательно,
29

n1
n1
1 sin 2x
sin3x
x 2 sin nx 2sin x ...
n
2 3
.
В точке разрыва х =
S
f
f 0 0 2 0
.
2 2
f
x
Вопросы и задания
1. Решить следующие примеры:
а) Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию
2x при x 0,
при 0 x .
Ответ:
б) Разложить функцию
в) Разложить функцию
2 1
2 cos
2
2n 1
x sin nx
.
2 n1
2n
1
n
2
y x в (0, ) в ряд только по синусам.
2
2
2 n
1 1 1 sin nx
3
.
n1
n
n1
Ответ:
3
y x в [-, ] в ряд Фурье.
Ответ:
2
n 6
2 1 sin nx
3
.
n1
n n
IX. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на ,
2 -периодическая функция раскладывается в ряд Фурье следующим
образом
a
0 n
n
f x an
cos x bn
sin x
,
2 n1
где коэффициенты a 0 , a n , b n вычисляются по формулам:
1
a0
f xdx
,
1 n
an
f xcos
x dx ,
30

1 n
bn
f xsin
xdx .
Если в ряд Фурье раскладывается четная функция, то
2
2 n
a0
f xdx
, an
f xcos
xdx , b n =0,
0
0
а если нечетная функция, то
2 n
а 0 =0, а n =0, bn
f xsin
xdx .
функции
1. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1. Найти разложение в ряд Фурье
y
2
x на ,
.
Решение. Функция
2
0
y x – четная, поэтому b n =0.
3
2 x 2
2 2 2 2
a0
f xdx x dx
3 3
0 0 0
2
n
u x , dv cos xdx
2 n
2 2 n
an
f xcos
x dx x cos xdx
0
0
n
du 2 xdx, v sin x
n
n
, sin
2
u x dv xdx
2 n
2 n
x sin x xsin
xdx
n
0 n
0
n
du dx, v cos x
n
a n
3
2 2
n
n
sin n xcos x cos xdx
n n
n 0 n
0
2
2
4 2 n
4
cos n sin x
cos n
2 2 2 2
n
n n
0
4
2
1
2 2
n
n
Таким образом
.
x
2
2 2
4
1
n
cos x
2 2
3 n
n
,
, так как sin n 0 , т.е.
31

2 2
4
1 2 1 3
cos x cos x cos x ...
2 2 2
3
2 3
2. Важное свойство периодических функций:
2
xdx
xdx
,
каково бы ни было число .
Это означает, что при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить
промежуток интегрирования [-, ] промежутком [, +2], где
– любое число.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2. Пусть требуется разложить в ряд Фурье
функцию f(х) с периодом 2, которая на [0, 2] задана равенством
f(х) = х.
Решение.
у
2
4 3 2 0 2 3 4 5
6
х
График функции изображен на рисунке. Эта функция на [-, ] задается
двумя формулами: f x x 2 на [-, 0] и f(х) = х на [0, ]. Для
разложения этой функции выгоднее пользоваться формулами (приняв
= 0):
2 2 2
2
2
1 1 1 1 x
a0
f x dx f x dx xdx
2
2 ;
0 0 0
2
2
u x, dv cos nxdx
1 1
an
f xcosnxdx xcosnxdx sin nx
0
du dx,
v
n
2 2
2
1
xsin nx 1
1
sin nx
cosnx
0
2
n 0 n
0 n
.
0
32

2
2
u x, dv sin nxdx
1 1
bn
f xsin nxdx xsin nxdx cos nx
0
du dx,
v
n
2 2
2
1
xcos nx 1 1
2cos2n
1 2
cos nx
sin nx
2
n 0 n
0
n n
0
n
.
Следовательно,
sin nx sin 2x sin3x
f x
2 2sin x ...
n1
n 2 3
.
Пусть x , имеем
2
1 1
2 1 ...
1 1 n1
1
1 ... 1 ... .
2 3 5 3 5 2n
1 4
Вопросы и задания
П р и м е р 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на ,
следующим образом:
0, если x 0;
f x
x, если 0 x ;
2
, если x .
2 2
3 1 x
2 x
Ответ: f x cos sin
2 2
16
2
1 2x 1 2x 1 3x 2 3 3x
cos sin cos sin
2 2 2
4 4
.
9 18
П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье только по косинусам функцию
f x x на [0, 1].
1 2
Ответ:
8
cos
2n
1
x
2 n1
2n
1
2 .
33

Трехуровневые тестовые задания к разделу
«Ряды»
У р о в е н ь I
Вариант 1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2. Исследовать на сходимость:
а)
б)
n1
n
3 n 2 !
;
5
n
Ответ: расходится.
10
;
n
n 1
n
Ответ: расходится.
n1
n
в)
г)
1
;
n n 2
n1
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость
n1
1
1
n
n 1 3
;
n1
4. Найти область сходимости рядов:
а)
2 x
;
2
n 1
n1
n
n
Ответ:
б)
1 1
;
2 2
.
Ответ:
2
3
S .
4
2n
1
2
n1
4n
1
;
Ответ: сходится.
1
;
3
n1
n 2
Ответ: сходится.
Ответ: абсолютно сходится.
n1
2 n
x 4
1
;
2n
1
Ответ: 3 x 5.
Вариант 2
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2. Исследовать на сходимость:
3 4
;
n
12
n1
n
n
Ответ:
5
S .
6
34

а)
б)
7n
1
;
n
5 n 1 !
n1
n1
Ответ: сходится.
2
n
5n
1
5n
;
Ответ: сходится.
1
в) ;
n13n 2ln 3n
2
Ответ: расходится.
1
г) ;
3 5
n1
n
Ответ: сходится.
1
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ;
n1
n 1
Ответ: условно сходится.
4. Найти область сходимости рядов:
n 1
nx
n
а) ;
x 3
n1
n
б) ;
n1 2 3
n
n1
n 5
Ответ: (6, 6).
Ответ: 2 x 8.
n
Вариант 3
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2. Исследовать на сходимость:
а)
б)
n1
n
7
7 1
;
8 n
Ответ: сходится.
1
arctg
2 n
;
Ответ: сходится.
n1
1
n
в)
г)
1
;
n0 2n 52n
7
1
Ответ: S .
10
1
;
3
n1
2n 1ln 2n
1
Ответ: сходится.
1
;
n1
5n
2
Ответ: расходится.
1
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ;
n2
ln n
Ответ: условно сходится.
4. Найти область сходимости рядов:
а)
3n
x
;
n
n1 8
Ответ: (2, 2).
б)
n1
n
x 2
;
n
2
n1
Ответ: 0 x 4.
35

Вариант 4
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2. Исследовать на сходимость:
а) 2n
1
tg ;
n 4
б)
n1
Ответ: сходится.
1
n
ln n 2 n ;
1
Ответ: сходится.
в)
г)
2 5
;
n
10
n1
n1
4
n
n
Ответ:
1
;
4n
3 3
5
S .
4
Ответ: расходится.
1
;
3
n1
n 3n
Ответ: сходится.
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость
n1
n
1
;
n1
6n
5
Ответ: расходится.
4. Найти область сходимости рядов:
а)
n
x
;
n
n1 n 2
Ответ: 2, 2.
б)
n1
x
;
2
n
1 n
Ответ: 0 x 2.
Вариант 5
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2. Исследовать на сходимость:
а)
n
2
n
;
n
n1 3
Ответ: расходится.
б)
n1
1
;
n0 n 5n
6
1
Ответ: S .
5
3n
1
arcsin 2
n
;
Ответ: сходится.
36

в)
1
;
2
3 4ln 3 4
Ответ: сходится.
n 1 n n
г)
1
;
2
n1
n n
Ответ: расходится.
1
1 n
;
4 5
n1
n
Ответ: абсолютно сходится.
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость
4. Найти область сходимости рядов:
а)
n1
n
x
;
n
Ответ: 1,1
.
У р о в е н ь I I
Вариант 1
б)
n1
x
;
2
n
Ответ: 9 x 7 .
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости
f x cos5x
.
Ответ:
n0
8 n
n 2n 2n
1 5
x
, x .
2 n !
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной
функции. е, = 0,0001.
Ответ: 2,7183.
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
0,25
0
ln 1
x dx .
Ответ: 0,070.
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена
y
этого разложения). y xy e y 0 0 .
,
Ответ:
1 2 2 3
y x x x ...
2 3
37

5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
1
y arcsin y x , y0
, k = 4.
2
2
1 x
1 2 1 2 2
3
Ответ: y 1 x x ...
2 6 2
3 3 6 3 9 27 3
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию
f(х), заданную на отрезке ;
.
0, x 0,
f x
x
1, 0 x .
Ответ:
2 2
cos2k 1
x
2
sin2k 1
x sin2kx
f x
2 .
4 k 1 2k
1
k 1 2k
1 k 1
2k
Вариант 2
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости
f x x 3 arctg x .
Ответ:
n1
n1 2n2
1
x
, x 1.
2n
1
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной
функции. 5 250 , = 0,001.
Ответ: 3,017.
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
1
2
x
arctg
dx .
0 2
Ответ: 0,162.
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена
этого разложения).
y
2 2
x y 1,
y 0 1.
38

Ответ:
1 3
y 1 x x ...
3
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
y xy ln y x
y 1 0 , k = 5.
,
x 1 x 1 x 1
Ответ:
2 3 4
y ...
2 6 6
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию
f(х), заданную на отрезке ;
.
2x
1, x 0,
f x
0, 0 x .
Ответ:
1 4
cos2k 1
x
2 1 sin2k 1
x sin2kx
f x
2 .
2 k 1 2k
1
k 1 2k
1
k 1
k
Вариант 3
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости
2
f x sin x .
Ответ:
n1
1
n1 4n2
x
, x .
2n
1 !
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной
функции. sin 1, = 0,00001.
Ответ: 0,84147.
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
0,2
0
x
xe dx .
Ответ: 0,054.
39

4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена
2 2
1
этого разложения). y x y , y0
.
2
1 1 1 2
Ответ: y x x ...
2 4 8
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
2
y x y y 0 1, k = 3.
,
Ответ:
3 2
y 1 x x ...
2
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию
f(х), заданную на отрезке ;
.
0, x 0,
f x
x
2, 0 x .
Ответ:
4 2
cos2k 1
x
4
sin2k 1
x sin2kx
f x
2 .
4 k 1 2k
1
k 1 2k
1 k 1
2k
Вариант 4
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости
f
x
2
x
.
1 x
Ответ:
2
1 n x
n
, 1
n0
x .
2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной
функции . 1,3 , = 0,001.
Ответ: 1,140.
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
40

0,5
arctg x
dx .
x
0
Ответ: 0,487.
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена
3 3
1
этого разложения). y x y , y0
.
2
1 1 3 2
Ответ: y x x ...
2 8 64
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
1
y x , y0
1, k = 5.
y
Ответ:
3 4
x x
y 1 x ...
3 3
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию
f(х), заданную на отрезке ;
.
f
x
1
x , x 0,
f x
2
0, 0 x .
Ответ:
1 2
cos2k 1
x
1
sin2k 1
x sin2kx
2 .
4 k 1 2k
1
k 1 2k
1 k 1
2k
Вариант 5
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимости
3
2x
f x cos . 3
Ответ:
n0
n 2n 6n
1 2 x
, x .
2n
3 2 n !
41

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью
, использовав разложение в степенной ряд соответствующим образом подобранной
функции. arctg 10
, = 0,001.
Ответ: 0,304.
3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
0,2
x cos xdx .
0
Ответ: 0,059.
4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального
уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена
этого разложения).
2
y x y , y0
1.
1 2
Ответ: y 1 x x ...
2
5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k
членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
IY
2
y xy yx
y 0 y 0 y 0 y
0 1, k = 7.
,
Ответ:
2 3 5 6
x x x 4x
y 1 x ...
2! 3! 5! 6!
6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2) функцию
f(х), заданную на отрезке ;
.
0, x 0,
f x
x
1, 0 x .
2
Ответ:
4 1
cos2k 1
x
4
sin2k 1
x sin2kx
f x
2 .
8 k 1 2k
1
2 k 1 2k
1 k 1
4k
У р о в е н ь I I I
1. Найти сумму ряда
1
.
n n n n n
1 1 22 12 5
42

2. Найти сумму ряда
n = 1, 2, 3, …).
1
n1C nC n 1
Ответ: 1
90 .
, где С – постоянная (С n,
3. Использовав результат предыдущего примера, показать, что
1
1 1
1;
n1
nn
1
n
n 1 n 2 2
;
1 1
,
1 1 1
n
1 n
4. Найти сумму ряда
n = 1, 2, 3, …). Показать, что
5. Найти сумму ряда
1
1 1
2 1
.
n
1 2 1 2 n 1
1
n1C nC n 2
1 3
.
n n 2 4
n1
Ответ:
(С n, n = 1, 2, 3, …). Показать, что
6. Доказать, что
7. Доказать, что
1
Ответ:
C 1
.
, где С – постоянная (С n,
1 1 1 2C
3
S
2 C 1 C 2 2 C 1 C 2
n1C n 1C nC n 1
5 n !
lim 0 ;
n
2
2 n
1
1 1
1 2 4
.
n1
n n n
Ответ:
2 n !
lim 0, (а > 1);
n
n!
a
, где С – постоянная
1 1 1 1
S
2 C C 1
2C C 1
.
.
8. Доказать, что
lim n
2 !
0 ;
n
n
n
43

9. Доказать, что
10. Доказать, что
n
n
lim 0 ;
n
n!
2
n
n!
lim 0 .
2
n
n
n
11. Исследовать на сходимость ряд
p
n2
n ln n
1
при различных действительных
значениях р и .
Ответ:
Если р > 1, то ряд сходится при всех ; а если р < 1, то расходится.
Если р = 1, то ряд сходится при > 1 и расходится при 1.
12. Исследовать на сходимость ряд
1
при различных
ln
ln ln
p
n1
n n n
действительных значениях р, и .
Ответ:
Если р > 1, то ряд сходится при всех и ; если р < 1, то расходится.
Если р = 1, то ряд сходится при > 1 и любых и расходится при 1.
13. Исследовать условия сходимости гипергеометрического ряда
1 1
1 ... n 1 n 1 ...
n
,
1 1 2 1 n 1 ! 1 ... n
где > 0, > 0, >0.
Ответ: ряд сходится при > 0
и расходится при 0.
14. Пусть ряд
an
сходится an
0
n1
. Доказать, что ряд
2
an
тоже схо-
n1
дится. Показать, что обратное утверждение неверно.
15. Убедиться, что признак Даламбера неприменим к ряду
n1
n
n1
a
n
, где
2
a2n1
n
3
, 2
a2n
, тогда как радикальный признак Коши показывает,
n
3
что этот ряд сходится.
44

16. Показать, что если ряд
также абсолютно сходится.
an
абсолютно сходится, то и ряд
n1
17. При каких значениях х сходится ряд
x x n x
sin x 2sin 4sin ... 2 sin ...
n
3 9 3
Ответ:
18. Определить область сходимости ряда
19. Найти область сходимости ряда
2
n1
ln x ln x ... ln x ...
n
n 1
a
n
n
x .
Ответ: 1 x e
e .
1 1 1
...
2 4 6
1 x 1 x 1
x
Ответ: x 1.
20. Найти область сходимости функционального ряда
n1
n
n x
n1
1
, x, x 2.
n
3 2
Ответ:
17
,
9
.
21. Найти сумму ряда x1
x
n1
n
, 0 x 1.
Ответ:
S x
0, если x 0, x 1;
1, если 0 x 1.
22. Найти сумму ряда
2 3
1 2x 3x 4x
..., если x a .
2 3 4
a a a a
a
Ответ:
2
a x
.
23. Найти сумму ряда
2 3 4
x x x
... если a x a .
2 3
2a 3a 4a
Ответ:
aln
a
a x x .
45

24. Найти сумму ряда
1 2 2 3 3 4 2
x x ..., если x a .
2 3 4
a a a
2a
Ответ:
3
a x
.
25. Найти сумму ряда
3 5 7
26. Функцию 1 x 1
2x 4x 6x 8 x ..., если x 1.
x
Ответ:
2x
2
1
x 2
f x x e x e разложить в ряд Маклорена.
Пользуясь разложением, найти сумму ряда
Ответ:
27. Показать, что для суммы ряда S x
x
выполняется соотно-
n0 2 n!
шение S x S x.
1 2 n
... ...
3! 5! 2n
1 !
3 5 2n1
x 2x nx
4 ... ...
, 1 3! 5! 2n
1 !
2e .
2n
28. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 см. и 5 см. Определить
острый угол треугольника, лежащий против меньшего катета, с точностью
до 0,001 радиана.
Ответ: 0,197.
29. Найти наименьшие положительные значения х, удовлетворяющие
тригонометрическому уравнению 2sin x cos x 0 .
Ответ: 0,4636.
30. Вычислить площадь овала
x
4 4
y 1 с точностью = 0,01.
Ответ: 3,71.
31. Вычислить длину одной полуволны синусоиды y sin x с точностью
= 0,001.
Ответ: 3,821.
32. Фигура, ограниченная линией y arctg x , осью абсцисс и прямой
1
x , вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с
2
точностью до 0,001.
.
46

Ответ: 0,119.
Пользуясь разложением функций в ряд Маклорена, вычислить пределы:
2
x ln 1 x x
33.
34.
35.
lim
x0
x0
x
2 tg x sin x x
lim
5
x
1
3
3
. Ответ: 1 6 .
. Ответ: 1 4 .
2
lim ctg x
x0
2
x . Ответ: 2 3 .
36.
37.
2 1
lim x x ln 1
x
. Ответ: 1 2 .
x0
2 cos x 3
lim
x 0
3 4
x sin x x . Ответ: 1 60 .
x
38. Дано уравнение xy e y . Пользуясь методом неопределенных коэффициентов,
найти разложение неизвестной функции в ряд Маклорена.
Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последовательным
дифференцированием.
5 2 1 1 1 n1
Ответ: 1 2 x x ... 2 ... x ...
2 2! 3! n
1 !
39. Дано уравнение ln1
y x xy . Пользуясь методом неопределенных
коэффициентов, найти разложение неизвестной функции в ряд Маклорена.
Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последовательным
дифференцированием.
3 11 n1
1 1 1
n
x x x ... 1 1 ... x ...
2 6 2 3 n
2 3
Ответ:
Найти явное выражение для у с помощью ряда Маклорена двумя
способами: методом неопределенных коэффициентов и последовательным
дифференцированием.
40.
y
3
xy 1 (найти три члена разложения).
x x
Ответ: 1 ...
3 81
3
47

41. 2sin x sin y x y (найти два члена разложения).
Ответ:
3
x 5x
...
2 32
42.
x
y
e e xy (найти три члена разложения).
Ответ:
2 3
x x 2 x ...
2n
x
43. Показать, что функция y является решением дифференциального
уравнения y xy 0.
n
n0 2 n!
44. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию
0, 2 x 0,
f x
x, 0 x 1,
=3.
2 x, 1 x 2.
Ответ:
n1
nx
1
2n
1
x
sin .
n1 n
n12n
1
1 1 cos 8
2 2 2 2
4 2
Воспользовавшись разложением f(x) в ряд Фурье в указанном интервале,
найти сумму данного числового ряда.
1
45. f x sin x , (, ),
. Ответ: 1 2
4n
1
2 .
n1
46. f x
x , [0, ], по косинусам,
1
. Ответ:
n
12n
1 2
2
.
8
x, x 0,
f x x
, 0 x .
47. 2
2
n1
n
48. f x
, (0, ),
4
49. f x cos x
,
0, 2
3 1 n
. Ответ:
n1
n1
2
5 .
12
1
. Ответ: .
2n
1
4
,
n
1
n12n 12n
1
. Ответ: 2 .
4
48

50. f x x x, (0, ), по синусам,
51. f x
52.
2 x, x 0,
3 x, 0 x .
2 2
f x x
, (, ),
n1
n1
1
. Ответ:
3
2n
1
n1
1 1 n
. Ответ:
2
n
n1
1
1 n
. Ответ:
2
n
3
.
32
2
.
4
2
.
12
53. sin
f x x x , [, ],
n1
n
1
. Ответ: 1 2
n 1
4 .
f x x
54.
2
, (, ),
1
. Ответ:
2
n
n1
2
.
6
55. Исследовать на сходимость ряд с общим членом
a
n
1
n
x dx
.
2
0 x 1
Ответ: сходится.
49

ГЛОССАРИЙ
№
п/п
Новые понятия
Содержание
1 2 3
1. Ряд бесконечная сумма
2. Числовой ряд выражение вида
n1
a a a ... a ..., где
n
a1 a2
a n
1 2
, , , ,... последовательность чисел.
3. Общий член ряда выражение для a n , чаще всего a n = f(n).
4. n-я частичная сумма конечного числа n первых членов
сумма
ряда, S a1 a2 ... a .
5. Сумма ряда конечный предел частичной суммы при
n, если он существует. S lim S n .
6. Сходящийся ряд
n
n
n
n
ряд, имеющий конечную сумму.
S a .
7. Расходящийся ряд если предел частичной суммы не существует
или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
8. Остаток ряда
rn an1 an2 ... . Если ряд an
схо-
9. Необходимый признак
сходимости
10. Достаточный
признак
расходимости
11. Ряды с положительными
членами
дится lim r 0.
если ряд
n
n
n1
n1
an
сходится, lim an
0
n1
n
(обратное утверждение неверно).
если lim a 0
n
n
an
( n 0
n1
a ).
an
расходится.
n1
n
50

1 2 3
12. Признаки
сравнения
1. Пусть для рядов an
(1) и
13. Ряд Дирихле
(обобщенный гармонический
ряд)
14. Гармонический
ряд
15. Признак Даламбера
16. Радикальный признак
Коши
17. Интегральный
признак Коши
n1
b (2)
n
n1
n n 0 , an bn
. Тогда:
если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);
если расходится ряд (2), то расходится и ряд
(1).
an
2. Если конечный lim 0, то ряды
n bn
(1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
1
; если р > 1 сходится,
p
n1
n
если р 1 расходится.
1 1 1
1
1 ... ... – расходится.
2 3 n n1
n
a 1
lim
n
p ,
n
a
n
ряд сходится, если р < 1;
ряд расходится, если р > 1;
если р = 1, вопрос о сходимости остается
открытым
p lim n a ,
n
n
если р < 1, ряд сходится;
если р > 1, ряд расходится.
если р = 1, вопрос о сходимости остается
открытым
Пусть для ряда
an
( an
0
n1
) непрерывная
и монотонно убывающая на a,
( 1
f n a . То-
a ) функция f(x) такая, что n
гда ряд
an
и f
n1
a
x dx сходятся или расходятся
одновременно.
51

1 2 3
18. Знакопеременный
ряд
содержит как положительные, так и отрицательные
числа.
19. Абсолютная и условная
сходимость Пусть дан знакопеременный ряд an
(1).
Тогда, если ряд
20. Знакочередующийся
ряд
n1
an
(2) сходится, то схо-
n1
дится и данный ряд (1), при этом он называется
абсолютно сходящимся. Если же ряд
(2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то
он называется условно сходящимся.
n1
1
1 n
an
, a n >0 (у которого члены положительны,
а знаки чередуются).
21. Теорема Лейбница достаточный признак сходимости знакочередующихся
рядов: если
22. Функциональный
ряд
23. Область сходимости
функционального
ряда
1) a1 a2 a3 ...;
2) lim a 0
n
n ,
то ряд сходится и его сумма 0 S a1
.
un
x
, члены которого un
n1
x – некоторые
функции от х.
S x lim S x
Его сумма
n
n
множество всех точек сходимости этого
ряда.
24. Степенной ряд функциональный ряд, составленный из
степенных функций, имеет вид
25. Степенной ряд по
степеням (ха)
0 1 2
2
C C x C x ... C x ... C x .
имеет вид C x a
n
n
n
n .
n0
n0
n
n
52

1 2 3
26. Интервал сходимости
степенного
ряда
(-R, R), в каждой точке которого степенной
ряд сходится абсолютно. На концах интервала
(х=R и х=R) ряд исследуется дополнительно.
27. Радиус сходимости
28. Ряды Тейлора и
число R из интервала (-R, R). Может быть
найден по формулам:
C
R lim
n ,
n
C
n1
Маклорена
1
R .
lim n C
n
n
a
2
f
f x f a f a x a x a
2!
n
a
f ...
n
x a ... – ряд Тейлора;
n!
если а=0,
f 0
2
f f x x
n
0
0 0 ...
2 !
f n
x ... – ряд Маклорена.
n!
29. Биномиальный ряд разложение в ряд Маклорена функции
1
m
f x x .
30. Тригонометриче-
0
ский ряд Фурье ряд вида an
cos nx bn
sin nx
31. Теорема Дирихле
(об условиях разложимости
функции в
ряд Фурье)
a
2
n1
, где
1
a f x dx
,
коэффициенты Фурье a 0 , a n и b n вычисляются
по формулам
1
a f x cos nxdx
,
n
1
b f x sin nxdx
.
n
если 2-периодическая функция f(x) на [-
, ] кусочно-монотонная и ограниченная,
то ряд справа сходится к данной функции
f(x).
0
53

1 2 3
32. Ряд Фурье только если непериодическую функцию, заданную
по косинусам
на 0, продолжить на ,0
четным
33. Ряд Фурье только
по синусам
образом f x f x
, то ряд Фурье для
n1
нее будет содержать только косинусы,
a
0 n
f x an
cos x, так как b n = 0. Ко-
2
эффициенты a 0 , a n вычисляются по формулам
0
2
a0
f xdx
0
2 n
an
f x cos xdx
,
если функцию продолжить влево на
,0
f x f x ,
нечетным образом
то
n sin n
f x b x , где
n1
0
2 n
bn
f xsin
xdx
, a 0 = 0,
a n = 0.
54