Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g. - PMF
Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g. - PMF
Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g. - PMF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Cauchyjev teorem<br />
Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i<br />
neka je C zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je<br />
∮<br />
f (z)dz = 0.<br />
C<br />
Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć<br />
Greenove formule:<br />
∮<br />
∫∫ ( ∂Q<br />
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =<br />
∂x − ∂P )<br />
dxdy<br />
∂y<br />
C<br />
int C<br />
i Cauchy– Riemannovih uvjeta.<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 1 / 11
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Cauchyjev teorem<br />
Višestruko povezana oblast može<br />
se pogodno izabranim razrezima u<br />
kompleksnoj ravni pretvoriti u<br />
prosto povezanu oblast.<br />
Pozitivan smjer obilaska konture -<br />
pri obilasku po konturi koja je<br />
ograničava, oblast ostaje lijevo.<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 2 / 11
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Neodre ¯deni integral<br />
Neka je f (z) neprekidna funkcija u jednostruko povezanoj oblasti D, i<br />
neka je ∮ f (z)dz = 0 za svaku konturu C unutar te oblasti. Definiramo<br />
c<br />
z∫<br />
funkciju F(z) = f (ζ)dζ.<br />
z o<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 3 / 11
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Cauchyjeva integralna formula<br />
Teorem: Neka je f (z) regularna u jednostruko povezanoj oblasti D, C<br />
zatvorena kontura unutar te oblasti, a z o tačka unutar te konture.<br />
Tada vrijedi<br />
f (z o ) = 1 ∮<br />
2πi<br />
C<br />
f (z)<br />
z − z o<br />
dz.<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 4 / 11
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Posljedice Cauchyjeve formule<br />
Teorem: Neka je f (z) regularna u oblasti D ograničenoj zatvorenom<br />
konturom C i neprekidna u zatvorenoj oblasti D. Tada je u unutrašnjim<br />
tačkama oblasti D funkcija f (z) beskonačno diferencijabilna i njen n− ti<br />
izvod je<br />
f (n) (z) = n! ∮<br />
2πi<br />
C<br />
f (ζ)<br />
dζ.<br />
(ζ − z) n+1<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 5 / 11
Analitička funkcija kompleksne promjenljive<br />
Posljedice Cauchyjeve formule<br />
Teorem (Morera): Neka je f (z) neprekidna f-ja kompleksne<br />
promjenljive<br />
∮<br />
z u jednostruko povezanoj oblasti D, i neka je<br />
f (z)dz = 0 za svaku zatvorenu konturu C u oblasti D.<br />
C<br />
Tada je f (z) regularna u oblasti D.<br />
Ovaj teorem se još naziva obrnuti Cauchyjev teorem.<br />
Teorem (Liouville): Neka je f (z) regularna i ograničena u cijeloj<br />
kompleksnoj ravni. Dakle, ∃M > 0 takvo da je |f (z)| ≤ M ∀z ∈ C.<br />
Tada je funkcija f (z) konstantna.<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 6 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
∞∑ ∑<br />
c n , S N = N<br />
n=1<br />
c n<br />
n=1<br />
(N− ta parcijalna suma)<br />
∑<br />
Red ∞ c n konvergira i ima sumu S ako |S N − S| → 0, N → ∞.<br />
n=1<br />
∑<br />
Neka je a n = Re c n , b n = Im c n . Red ∞ c n konvergira akko<br />
n=1<br />
∞∑ ∞∑<br />
konvergiraju redovi a n i b n .<br />
n=1 n=1<br />
Cauchyjev kriterij: ∀ε > 0 ∃N(ε) takvo da je<br />
∣<br />
∀n > N(ε) ∀p > 0.<br />
n+p ∑<br />
k=n+1<br />
c k<br />
∣ ∣∣∣∣<br />
< ε<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 7 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Brojni redovi. Primjer: Geometrijski red ∞ ∑<br />
Za |c| < 1 vrijedi<br />
∞∑<br />
n=0<br />
c n = 1<br />
1−c<br />
c n<br />
n=0<br />
Funkcionalni red: red čiji su članovi funkcije w n (z):<br />
Primjer:<br />
Stepeni red ∞ ∑<br />
n=1<br />
∞∑<br />
w n (z) = f (z).<br />
n=1<br />
c n − kompleksne konstante.<br />
c n z n ∑<br />
, ili, općenito ∞ c n (z − z o ) n ,<br />
n=1<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 8 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi<br />
n− ta parcijalna suma funkcionalnog reda: f n (z) =<br />
n ∑<br />
k=1<br />
w k (z).<br />
∑<br />
Funkcionalni red ∞ w n (z) ravnomjerno (uniformno) konvergira u<br />
n=1<br />
oblasti D ka f (z), ako ∀ε > 0 ∃N(ε) takvo da |f n (z) − f (z)| < ε<br />
∀n > N(ε) ∀z ∈ D.<br />
(N zavisi samo od ε, a ne i od z.)<br />
Weierstrassov kriterij: Ako za svako n i ∀z ∈ D vrijedi |w n (z)| < a n i<br />
∑<br />
brojni red ∞ ∑<br />
a n konvergira, onda funkcionalni red ∞ w n (z)<br />
n=1<br />
konvergira ravnomjerno u D.<br />
n=1<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 9 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi<br />
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni red neprekidnih funkcija<br />
ima kao sumu neprekidnu funkciju.<br />
Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red neprekidnih funkcija<br />
može se integrirati član po član.<br />
∫ ∞∑<br />
∞∑<br />
∫<br />
[ w n (z)]dz = w n (z)dz<br />
c<br />
n=1<br />
n=1 c<br />
Suma ravnomjerno konvergentnog reda regularnih f-ja je<br />
regularna f-ja.<br />
Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red regularnih funkcija<br />
može se derivirati član po član.<br />
d<br />
dz<br />
∞∑<br />
w n (z) =<br />
n=1<br />
∞∑<br />
n=1<br />
dw n (z)<br />
dz<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 10 / 11
Redovi sa kompleksnim članovima<br />
Razvoj funkcije u red<br />
Razvoj regularne funkcije u Taylorov red.<br />
∑<br />
f (z) = ∞ a n (z − z o ) n , a n = 1 ∮<br />
2πi<br />
n=0<br />
C<br />
f (z)<br />
(z−z o) n+1 dz<br />
Razvoj funkcije oko izolovane singularne tačke u Laurentov red.<br />
∑<br />
f (z) =<br />
∞ a n (z − z o ) n , a n = 1 ∮<br />
2πi<br />
n=−∞<br />
C<br />
f (z)<br />
(z−z o) n+1 dz<br />
(Matematičke <strong>metode</strong> <strong>fizike</strong> <strong>II</strong>) 3. predavanje 11 / 11