Z fizyką w przyszłość

1

1

Wstęp ............................................................................5 

1. Opis ruchu postępowego ....................................................... 7 

1.1. Elementy działań na wektorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2. Podstawowe pojęcia i wielkości fizyczne opisujące ruch .......................... 13 

1.3. Opis ruchu w jednowymiarowym układzie współrzędnych ...................... 28 

1.4. Opis ruchu w dwuwymiarowym układzie współrzędnych ....................... 52 

2. Siła jako przyczyna zmian ruchu ............................................... 65 

2.1. Klasyfikacja poznanych oddziaływań ........................................... 66 

2.2. Zasady dynamiki Newtona ..................................................... 68 

2.3. Ogólna postać drugiej zasady dynamiki ......................................... 82 

2.4. Zasada zachowania pędu dla układu ciał ........................................ 86 

2.5. Tarcie .......................................................................... 93 

2.6. Siły w ruchu po okręgu ........................................................ 101 

2.7. Opis ruchu w układach nieinercjalnych ......................................... 107 

3. Praca, moc, energia mechaniczna ............................................. 115 

3.1. Iloczyn skalarny dwóch wektorów .............................................. 116 

3.2. Praca i moc .................................................................... 117 

3.3. Energia mechaniczna. Rodzaje energii mechanicznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

3.4. Zasada zachowania energii mechanicznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

4. Zjawiska hydrostatyczne ..................................................... 143 

4.1. Ciśnienie hydrostatyczne. Prawo Pascala ....................................... 144 

4.2. Prawo Archimedesa ........................................................... 149 

4.3. Zastosowanie prawa Archimedesa do wyznaczania gęstości ..................... 153 

5. Pole grawitacyjne ............................................................ 157 

5.1. O odkryciach Kopernika i Keplera ............................................. 159 

5.2. Prawo powszechnej grawitacji ................................................. 162 

5.3. Pierwsza prędkość kosmiczna .................................................. 169 

5.4. Oddziaływania grawitacyjne w Układzie Słonecznym .......................... 172 

5.5. Natężenie pola grawitacyjnego ................................................. 175 

5.6. Praca w polu grawitacyjnym ................................................... 185 

5.7. Energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym ................................ 188 

5.8. Druga prędkość kosmiczna .................................................... 197 

5.9. Stan przeciążenia. Stany nieważkości i niedociążenia ............................200

6. Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej .................................... 207 

6.1. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów ........................................... 208 

6.2. Ruch obrotowy bryły sztywnej ..................................................210 

6.3. Energia kinetyczna bryły sztywnej ............................................. 215 

6.4. Przyczyny zmian ruchu obrotowego. Moment siły .............................. 220 

6.5. Moment pędu bryły sztywnej .................................................. 225 

6.6. Analogie występujące w opisie ruchu postępowego i obrotowego ................ 228 

6.7. Złożenie ruchu postępowego i obrotowego – toczenie ........................... 229 

Aneks 1. Niepewności pomiarowe ............................................... 237 

A1.1. Wiadomości wstępne ......................................................... 238 

A1.2. Niepewności pomiarów bezpośrednich (prostych) ............................ 240 

A1.3. Niepewności pomiarów pośrednich (złożonych) .............................. 250 

A1.4. Graficzne przedstawianie wyników pomiarów wraz z ich niepewnościami ..... 256 

A1.5. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów ................................. 257 

Aneks 2. Doświadczenia ....................................................... 261 

A2.1. Poznajemy rozkład normalny (rozkład Gaussa) ............................... 262 

A2.2. Wyznaczamy wartość przyspieszenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym . . . 265 

A2.3. Badamy ruch po okręgu ..................................................... 268 

A2.4. Wyznaczamy współczynnik tarcia kinetycznego .............................. 270 

A2.5. Sprawdzamy drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego ................... 272 

A2.6. Badamy spadanie swobodne; wyznaczamy wartość przyspieszenia 

ziemskiego .................................................................. 276 

Odpowiedzi do zadań rachunkowych ........................................... 279 

Stałe fizyczne .................................................................. 291 

Skorowidz .................................................................... 293 

Źródła ilustracji i fotografii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 

Uwaga! 

Rozwiązań zadań nie zapisuj w podręczniku.

Uczenie się fizyki to wielka, intelektualna przygoda. Nie musimy Cię o tym przekonywać, skoro 

wybrałaś (wybrałeś) fizykę w zakresie rozszerzonym. To mądry i rozsądny wybór. 

GRATULUJEMY! 

Mamy nadzieję, że ten podręcznik będzie dla Ciebie prawdziwym wsparciem w solidnym 

przygotowaniu do egzaminu maturalnego. Zachęcamy Cię do wytrwałej, systematycznej pracy 

nad fizyką. Rzetelna wiedza i umiejętności zdobyte w szkole pomogą Ci osiągnąć sukces na 

studiach ścisłych lub technicznych, a w przyszłości ułatwią zdobycie ciekawej i dobrze wynagradzanej 

pracy. 

Życzymy powodzenia! 

Autorki

Spis tematów: 

 

 

 

 

Zjawiska 

 

hydrostatyczne

144 

 

PRZYPOMNIJ SOBIE I UZUPEŁNIJ WIEDZĘ Z GIMNAZJUM 

 

 

Właściwości cieczy badamy zwykle, uwzględniając siłę przyciągania ziemskiego, co ma 

istotny wpływ na zachowanie cieczy. Jak wiesz, ciecze nie mają sprężystości postaci, 

w związku z czym przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują. 

Działanie siły ciężkości powoduje, że ciecze wypełniają dolną część naczynia, a ich 

powierzchnia swobodna jest pozioma i płaska – z wyjątkiem menisku 1 przy ściankach. 

Po ustaniu ruchu cieczy związanego z jej przepływem (np. podczas nalewania do naczynia) 

ciecz jest w stanie równowagi. W tym stanie ciecz o danej objętości ma najmniejszą 

energię potencjalną. 

W szerokim zakresie temperatur i ciśnień ciecze zachowują w przybliżeniu stałą objętość, 

ponieważ są mało ściśliwe. 

Jedną z pierwszych wielkości fizycznych, które poznałeś, ucząc się fizyki, jest ciśnienie. 

Przypomnijmy, że: 

- 

 

S 

p 

F 

S 

nacisku 

F N 

 

Ciśnienie informuje nas, jaka jest wartość siły nacisku działającej na jednostkę powierzchni. 

Jednostką ciśnienia jest paskal (1 Pa). 

N 

[ p] 1Pa1 m 

2 

1 

Menisk to zakrzywienie powierzchni cieczy przy ściankach naczynia spowodowane różnicą między wartościami 

sił wzajemnego przyciągania cząsteczek cieczy i wzajemnego oddziaływania cząsteczek cieczy 

z cząsteczkami substancji, z której zbudowane jest naczynie.

145 

Siłę nacisku, którą ciecz działa na dno i ścianki naczynia oraz powierzchnie ciał w niej 

zanurzonych, nazywamy siłą parcia hydrostatycznego P , a ciśnienie cieczy – ciśnieniem 

hydrostatycznym p. 

P 

p (4.1) 

S 

Wzór pozwalający obliczyć ciśnienie słupa cieczy o wysokości 

h (rys. 4.2) można łatwo wyprowadzić, korzystając z definicji 

ciśnienia i definicji gęstości 

oraz uwzględ niając 

m 

V 

fakt, że wartość siły parcia, którą ciecz działa w tym przypadku 

na dno naczynia, jest równa wartości jej ciężaru. 

h 

P mg cVg 

p 

c 

gh (4.2) 

S S S 

gdzie: 

S 

h – to wysokość słupa cieczy nad poziomem, na którym mierzymy 

ciśnienie, 

c 

– gęstość cieczy. 

P 

 

 

Korzystając ze wzoru (4.2), można obliczyć w przybliżeniu zmianę ciśnienia atmosferycznego 

p, która zachodzi przy niewielkiej zmianie wysokości h. Za gęstość należy 

podstawić średnią gęstość powietrza, gdyż jego gęstość maleje wraz ze wzrostem odległości 

od powierzchni Ziemi. Przy zmianie tej wysokości o niewielkie h (tak niewielkie, że 

można uważać za stałe) ciśnienie gazu zmienia się o 

p = − gh (4.3) 

Znak „–” oznacza, że ciśnienie maleje wraz ze wzrostem wysokości. Jeśli rozważamy 

wysokości małe w porównaniu z promieniem Ziemi, to wartość g możemy uważać za stałą. 

Do obliczenia ciśnienia hydrostatycznego wybraliśmy naczynie w kształcie walca 

(rys. 4.2), ponieważ w takim przypadku wartości sił parcia cieczy na dno naczynia i ciężaru 

cieczy są jednakowe. Wartość siły parcia na dno naczynia o dowolnym kształcie możemy 

obliczyć, przekształcając wzór (4.1): 


P = p · S = ghS

146 

 

Jeśli ściany boczne naczynia nie są prostopadłe do jego dna (rys. 4.3, rys. 4.4), to wartość 

siły parcia cieczy na dno nie jest równa wartości jej ciężaru. 


S 

P 

 

h 

S 

P 

 

W naczyniu rozszerzającym się ku górze (rys. 4.3) parcie cieczy na dno ma wartość 

równą: 

P = pS = ghS = gV 

gdzie V = hS jest objętością walcowatego słupa cieczy, mniejszą od objętości V’ cieczy 

w naczyniu (rys. 4.3). 

Ponieważ ciężar cieczy ma wartość mg = V’g, a V < V’, więc 

P < mg 

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, sprawdź, że w naczyniach zwężających 

się ku górze (rys. 4.4) 

P > mg 

Różnica siły parcia i ciężaru cieczy związana jest z działaniem ścianek naczynia na 

znajdującą się w nim ciecz. 

Parcia słupów cieczy o gęstości i takiej samej wysokości h, wywierane w naczyniach 

na ich dna o takiej samej powierzchni S (rys. 4.5), są jednakowe niezależnie od kształtu 

tych naczyń. 

 

h

147 

Zjawisko to nazywamy paradoksem hydrostatycznym (chociaż jest zgodne z prawami 

fizyki), ponieważ mylnie można byłoby sądzić, że parcie cieczy na dno naczynia będzie tym 

większe, im więcej cieczy będzie w naczyniu. 

Podstawowym prawem hydrostatyki jest prawo Pascala, słuszne także dla gazów. 

Brzmi ono: 

- 

 

To dodatkowe, jednakowe w każdym 

punkcie cieczy ciśnienie dodaje się do odpowiedniego 

ciśnienia hydrostatycznego. 

Słuszność prawa Pascala demonstruje się 

zwykle za pomocą kolby szklanej z małymi 

otworkami (rys. 4.6). Po nalaniu do niej wody 

obserwujemy, że woda wycieka przez otworki. 

Jeśli naciśniemy tłoczek, zauważymy, że woda 

będzie wylewać się ze wszystkich otworków 

 

tym silniejszym strumieniem, im siła, którą 

zadziałamy na ciecz za pośrednictwem tłoczka, będzie większa. 

Z prawa Pascala korzystamy, budując prasy hydrauliczne, podnośniki, a także hamulce. 

Wszystkie te urządzenia działają na tej samej zasadzie. 

Rozważmy naczynie wypełnione cieczą (np. płynem hamulcowym) i zamknięte dwoma 

tłokami o różnych powierzchniach (rys. 4.7), przy czym S 1 

S 2 

. Działając siłą F 1 

na 

F1 

tłoczek o powierzchni S 1 

, wytwarzamy w cieczy dodatkowe ciśnienie p . 

S 

F 1 

S 1 S 2 

S 1 

F 1 

F 1 

S 1 

S 1 

F 1 

 

Na wybraną w dowolnym miejscu powierzchnię S 1 

(przy pominięciu siły przyciągania 

ziemskiego) będzie działać ze strony cieczy (zgodnie z prawem Pascala) siła o wartości F 1 

. 

Na powierzchnię S 2 

(n razy większą od S 1 

) będzie działać siła o wartości F 2 

= n · S 1 

, bo 

1 

PRZYPOMNIJ SOBIE I UZUPEŁNIJ WIEDZĘ Z GIMNAZJUM

148 

 


F1 nF1 F2 

F1 F2 

p zatem 

S1 S2 S2 

S1 S2 

Kierowca samochodu, naciskając na pedał hamulca sprzężony z niewielką powierzchnią 

tłoka S 1 

, sprawia, że na klocki hamulcowe działa za pośrednictwem układu hamulcowego 

odpowiednio większa siła, powodując hamowanie samochodu. 

Warunkiem równowagi cieczy w naczyniach połączonych (rys. 4.8) jest równość ciśnień 

(mierzonych przy wspólnym dnie) we wszystkich ramionach. 

h w 

h o 

a) b) 

 

Wyobraźmy sobie, że z lewego ramienia U-rurki (rys. 4.8a) usunęliśmy słup wody 

o pewnej wysokości h w 

i zastąpiliśmy go słupem (niemieszającej się z wodą) cieczy o innej 

gęstości, np. oleju, tak aby wysokość słupa wody w prawym ramieniu nie uległa zmianie 

(rys. 4.8b). Skoro równowaga została zachowana, to oznacza, że ciśnienie słupa oleju o wysokości 

h o 

jest równe ciśnieniu słupa wody o wysokości h w 

: 

o 

hw 

o 

h o 

g = w 

h w 

g lub 

w 

ho 

Na podstawie tego wzoru możemy (znając gęstość wody) wyznaczyć nieznaną gęstość 

innej cieczy. 

 

1. Gdy mały tłok prasy hydraulicznej przesuwa się w dół o h = 0,2 m, duży tłok 

podnosi się o H = 0,01 m. Oblicz wartość siły, którą prasa działa na ściskane 

w niej ciało, wiedząc, że na mały tłok działa siła o wartości F 1 

= 500 N. 

2. Do naczyń połączonych w kształcie litery U wlano 

rtęć (rys. 4.9). Następnie do jednego ramienia rurki 

nalano oliwy, której słupek miał wysokość H = 20 cm. 

Do drugiego ramienia naczynia wlano wodę. Powierzchnia 

styku rtęci z oliwą i wodą w obu ramionach 

znajduje się na jednakowym poziomie, gdy wysokość 

słupa wody wynosi h = 18 cm. Oblicz gęstość 

H 

h 

oliwy ( w 

= 1000 kg/m 3 ). 

 

h w 

oliwa 

r 

t ę ć 

woda

149 

 

Załóżmy, że w cieczy o gęstości c 

zanurzyliśmy ciało, dla uproszczenia przyjmując, że ma 

ono kształt prostopadłościanu (rys. 4.10). Nie będziemy chwilowo rozpatrywać wszystkich 

sił działających na to ciało, a jedynie te, których źródłem jest ciecz. 

h 2 

P 2 p 1 

H 

p 2 

P 1 

S 

 

Górna powierzchnia ciała znajduje się na głębokości h 1 

. Ciśnienie hydrostatyczne cieczy 

na tej głębokości jest równe 

p 1 

= h 1 

c 

g 

gdzie c 

to gęstość cieczy. 

Na górną powierzchnię prostopadłościanu działa więc siła parcia cieczy o wartości 

P 1 

= p 1 

S = h 1 

c 

g S 

zwrócona w dół. 

Dolna powierzchnia znajduje się na głębokości h 2 

, gdzie panuje ciśnienie p 2 

. Na tę 

powierzchnię działa siła parcia cieczy P 2 o wartości: 

P 2 

= p 2 

S = h 2 

c 

g S 

zwrócona w górę. Ich wypadkowa F A („A” na cześć Archimedesa) o kierunku pionowym 

i zwrocie w górę ma wartość 

F A 

= P 2 

− P 1 

= h 2 

c 

g S − h 1 

c 

g S = c 

g S(h 2 

− h 1 

) 

Zauważ (rys. 4.10), że h 2 

− h 1 

= H jest wysokością ciała. Stąd 

F A 

= c 

g SH 

czyli 

F A 

= c 

gV 

gdzie: 

V – jest objętością ciała zanurzonego w cieczy, 

c 

– gęstością cieczy. 

h 1 


150 

 


Iloczyn c 

gV pozornie nie ma żadnego sensu fizycznego. Zauważmy jednak, że objętość 

V ciała zanurzonego w cieczy jest równa objętości wypartej cieczy. Iloczyn c 

gV jest 

więc równy wartości ciężaru cieczy wypartej przez to ciało. Wypadkowa sił działających 

na przednią i tylną powierzchnię prostopadłościanu oraz obie powierzchnie boczne jest 

równa zeru, ponieważ każdemu elementowi powierzchni znajdującemu się na pewnej głębokości 

odpowiada identyczny element po przeciwnej stronie prostopadłościanu. 

Tak więc siła F A jest wypadkową siłą parcia, którą ciecz działa na zanurzone w niej 

ciało. Siłę tę nazywamy siłą wyporu. 

Na podstawie powyższego rozumowania możemy sformułować prawo Archimedesa. 

Brzmi ono: 

więc 

- 

 

F 

= V 

 

g 

 

 

V 

 

 

 

 

Wartość siły wyporu jest równa wartości ciężaru wypartej cieczy: 

V z 

= V wypartej cieczy 

c 

gV z 

= c 

gV wypartej cieczy 

= gm wypartej cieczy 

Przedstawiamy niżej trzy przypadki zachowania się ciała zanurzonego w cieczy. Do 

naczynia wypełnionego cieczą wkładamy kulki o różnej gęstości: (I) większej, (II) równej 

i (III) mniejszej od gęstości cieczy. Niech V oznacza objętość kulki, – jej gęstość, a c 

– 

gęstość cieczy. Gdy kulka znajduje się pod powierzchnią cieczy – puszczamy ją wolno. Na 

kulkę działają dwie siły: F c – siła ciężkości o wartości F c 

i F A 

– siła wyporu o wartości F A 

(siłę oporu cieczy pomijamy). 

I. Jeśli > c 

, to F c 

> F A 

, a więc wypadkowa 

sił F c 

i F F A 

A 

jest zwrócona w dół i 

kulka opada na dno naczynia, tonie 

(rys. 4.11a). Tam siła F F s 

1 (wypadkowa 

Fc 

FA 

) o wartości Fc − F A 

jest równoważona 

przez sprężystość dna i kulka 

F c 

F 1 

spoczywa (rys. 4.11b). 

a) b)

151 

II. Jeśli = c 

, to F c 

= F A 

, a więc wypadkowa sił działających na kulkę 

jest równa zeru i kulka pozostaje w miejscu, w którym została 

umieszczona, czyli pływa całkowicie zanurzona (rys. 4.12). 

Zauważ, że siła wyporu nie zależy od głębokości zanurzenia, 

F c 

więc miejsce to może być dowolne. 

 

III. Jeśli < c 

, to Fc 

F 

A, więc wypadkowa 

sił działających na kulkę jest 

‚ 

F A 

F A 

zwrócona w górę i kulka porusza 

się w stronę powierzchni cieczy 

(rys. 4.13a). W chwili dotarcia do niej 

F c 

kulka zaczyna się wynurzać. Wów- 

F c 

czas objętość jej zanurzonej części 

a) b) 

zmniejsza się (maleje także objętość 

 

wypartej cieczy), a zatem siła wyporu 

maleje. Dzieje się tak do chwili, w której wartości sił wyporu i ciężaru kulki zrównają 

się. Wówczas kulka pływa swobodnie w cieczy częściowo w niej zanurzona (rys. 13b). 

F A 

= c 

gV zanurzonej części ciała 

= F c 

(4.4) 

Równość (4.4) jest warunkiem pływania ciała częściowo zanurzonego w cieczy o gęstości c 

. 

 

 

- 

 

 

h 

 

 

- 

 

 

F F 0 

F F 

A c A c 

 

gV 

= 

gV 

V 

zanurzonej częśsci tratwy 

V 

tratwy 

d 

= w 

V 

= zSV 

= hSS 

z d 

 

h 

w 

 

3 

d 

z h 0,2 m 0,12 m 

5 

w 

 

 

h 

F A 

F c 

 

F A 

z 


152 

 

Wyjaśnimy teraz, dlaczego okręty zbudowane w dużej części z metalu nie toną, mimo 

iż gęstość metalu jest większa od gęstości wody. W tym celu wyobraźmy sobie, że w wodzie 

pływa metalowa skorupa, jak pokazuje rysunek 4.15. 


F A 

F c 

 

Na skorupę działają dwie siły: 

• ciężar o wartości F = gV , 

c m m 

• siła wyporu o wartości F = gV , 

A w z 

gdzie 

V m 

– to objętość blachy metalowej, z której zbudowano skorupę, 

m 

– gęstość tego metalu, 

V z 

– objętość (zakreskowanej na rysunku) zanurzonej części równa objętości wypartej 

przez nią wody, 

w 

– gęstość wody. 

Skoro skorupa ani nie tonie, ani nie wypływa, działające na nią siły równoważą się 

wzajemnie: 

w 

gV z 

= m 

gV m 

Objętość V z 

jest wielokrotnie większa od objętości metalu, z którego zbudowano skorupę 

Vz Vm, więc równanie (warunek równowagi) jest spełnione, chociaż w m. 

Okręt nie tonie, mimo że materiał, z którego jest zbudowany, ma gęstość dużo większą 

od gęstości wody.

153 

 

 

Korzystając z prawa Archimedesa, możemy wyznaczyć gęstość ciała stałego lub cieczy. 

Ciało stałe zawieszamy na siłomierzu i mierzymy wartość ciężaru F c 

tego ciała. 

x 

F s 

 

Następnie zanurzamy je w cieczy 2 o znanej gęstości c 

(np. w wodzie) i odczytujemy wskazanie 

F s 

siłomierza (rys. 4.16). Na ciało zanurzone w cieczy działają trzy siły: 

F c 

– ciężar ciała, 

F A – siła wyporu, 

F s – siła sprężystości sprężyny siłomierza. 

 

F F F 

F s 

+ F A 

− F c 

= 0 

s A c 

0 

F A 

F s 

= F c 

− F A 

czyli F s 

= F c 

− c 

Vg 

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki wartość siły, którą ciało działa na sprężynę siłomierza, 

jest także równa F s 

i tę wartość odczytaliśmy w pomiarze. 

Korzystając z danych uzyskanych w doświadczeniu, możemy obliczyć objętość V wypartej 

cieczy, równą objętości ciała: 

V 

c 

 

c 

F c 

F Fs 

g 


2 

Ciecz musi mieć gęstość mniejszą od gęstości ciała.

154 

 

Gęstość ciała x 

obliczamy z definicji gęstości: 


m mc g Fc 

c 

 

x 

 

V F F F F 

c s c s 

Podobnie można wyznaczyć nieznaną gęstość cieczy ( c 

). Ciało pomocnicze, które 

tonie zarówno w wodzie, jak i w badanej cieczy, ważymy trzykrotnie: 

F c 

– wskazanie siłomierza, gdy ciało jest w powietrzu; 

F s1 

= F c 

− w 

gV – wskazanie siłomierza w przypadku, gdy ciało jest zanurzone w wodzie; 

F s2 

= F c 

− c 

gV – wskazanie siłomierza, gdy ciało jest zanurzone w badanej cieczy. 

Z powyższych równań obliczamy objętość ciała pomocniczego V i wyniki przyrównujemy: 

 

F F F F 

 

g g 

c s1 c s2 

w 

c 

skąd 

Fc 

F 

 

c 

F F 

1. Jednorodny sześcian pływa w rtęci, przy czym 1/5 część jego objętości jest zanurzona. 

Jeśli postawimy na nim drugi sześcian o takich samych wymiarach, 

to sześcian dolny zanurzy się do połowy swojej objętości. Oblicz gęstość drugiego 

sześcianu. Gęstość rtęci jest równa 13,6 · 10 3 kg/m 3 . 

2. Oblicz, jaka część objętości kry lodowej jest wynurzona nad powierzchnię 

wody. Gęstość lodu l 

= 900 kg/m 3 , a gęstość wody w 

= 1000 kg/m 3 . 

3. Wyjaśnij, dlaczego głębokość zanurzenia okrętu wypływającego z Amazonki 

na wody Atlantyku ulega zmianie. 

4. Piłka o masie 2 kg pływa w wodzie zanurzona do połowy. Oblicz wartość najmniejszej 

siły, którą trzeba nacisnąć piłkę, aby całkowicie zanurzyć ją w wodzie 

(g ≈ 10 m/s 2 ). 

5. Probówka o masie 0,015 kg ze śrutem o masie 0,035 kg zanurza się w wodzie 

o gęstości 1000 kg/m 3 do pewnej głębokości. Po wrzuceniu do pustej probówki 

ciężarka o masie 0,05 kg zanurza się ona do tej samej głębokości w innej cieczy. 

Oblicz gęstość tej cieczy. 

6. Areometr jest to zasklepiona na obu końcach rurka szklana, obciążona w dolnej 

części (aby pływała w pozycji pionowej) i posiadająca skalę, na której można 

odczytać gęstość cieczy. 

c 

s2 

s1 

 

w

155 

Ten sam areometr zanurzamy kolejno w cieczach o różnych gęstościach: 1 

i 2 

(rys. 4.17). 

1 

2 

h 1 

h 2 

 

Co można powiedzieć o: 

a) wartościach sił wyporu, jakimi te ciecze działają na areometr; 

b) gęstościach cieczy? 

7. W windzie poruszającej się ruchem jednostajnie przyspieszonym w górę zmierzono 

areometrem gęstość cieczy w szklance. Czy wynik pomiaru jest taki sam 

jak w windzie poruszającej się ruchem jednostajnym? 

Uzasadnij odpowiedź. 

8. Do wewnętrznej, pionowej, płaskiej ścianki naczynia przyklejono klocek. Naczynie 

wypełniono wodą tak, że klocek jest całkowicie zanurzony. Czy wypadkowa 

siła parcia wody na klocek jest zwrócona pionowo w górę? Uzasadnij 

odpowiedź. 



5.1. O odkryciach Kopernika i Keplera 

5.2. Prawo powszechnej grawitacji 

 

 

 

 

5.6. Praca w polu grawitacyjnym 

 

grawitacyjnym 

 

 

 

Pole 

 

grawitacyjne

162 

 

5.2. 

Kopernik i Kepler opisywali ruchy ciał niebieskich, ale nie analizowali przyczyn tych 

ruchów. Z dwóch istotnych pytań: 

• Jak poruszają się planety? 

• Dlaczego planety poruszają się po krzywoliniowych torach? 

odpowiadali tylko na pierwsze. Sądzili błędnie, zgodnie z panującym wówczas powszechnie 

przekonaniem, że inne prawa przyrody rządzą zjawiskami fizycznymi na Ziemi, a inne 

ruchem planet i gwiazd. Dopiero geniuszowi Newtona zawdzięczamy niezmiernie ważną 

hipotezę o jedności świata, w którym obowiązują jednakowe prawa przyrody. Takie same 

oddziaływania są odpowiedzialne za zachowanie ciał nie tylko na Ziemi, ale i we Wszechświecie. 

Zatem prawa fizyki sformułowane dla otaczających nas przedmiotów można stosować 

również do planet i gwiazd, obiektów, których nie możemy bezpośrednio badać 

w doświadczeniach. 

Korzystając z trzeciego prawa Keplera 

3 

r 

2 

T 

const 

Newton wywnioskował, że siła utrzymująca planety na orbitach powinna być odwrotnie 

proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca. Rozumowanie to było następujące: 

Aby planeta o masie m mogła poruszać się z prędkością po orbicie kołowej o promieniu 

r, musi na nią działać siła dośrodkowa o wartości 

m 

F= υ2 

r 

π 

gdzie υ= 2 r 

T , zatem mr 

F= 4 π 

2 2 

T 

Aby spełnione było trzecie prawo Keplera (T 2 ~ r 3 ), wartość siły działającej na planety 

musi być proporcjonalna do 1 2 

r . F ∼ 1 r 

2 

Myśl Newtona poszła dalej. Zwrócił on uwagę na to, że wpływ siły ciężkości, powodującej 

spadanie ciał na Ziemię, może rozciągać się daleko w przestrzeni. Księżyc obiega 

Ziemię, podobnie jak planety obiegają Słońce. Można zatem przypuścić, że siłą dośrod-

163 

kową w ruchu Księżyca jest po prostu siła ciężkości, której wartość jest odwrotnie proporcjonalna 

do kwadratu odległości od środka Ziemi. Obliczenia wykonane przez Newtona 

potwierdziły to przypuszczenie. 

Newton dokonał uogólnienia, stwierdzając, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie, 

a siły działające między nimi nazwał siłami powszechnego ciążenia lub siłami 

grawitacji. Od czasów Newtona wiemy, że siła o tej samej naturze powoduje obieg planet 

wokół Słońca, Księżyca wokół Ziemi czy spadanie jabłka z drzewa. 

Jeśli znana na Ziemi siła ciężkości działająca na dowolne ciało ma taką samą naturę 

jak siła powszechnej grawitacji, to wartość siły grawitacji musi być wprost proporcjonalna 

do masy ciała, na które działa; wiadomo bowiem, że wartość siły, którą Ziemia przyciąga 

każde ciało, jest wprost proporcjonalna do jego masy m (współczynnik proporcjonalności 

wynosi g). Skoro jednak oddziaływanie jest zawsze wzajemne, to wartość siły, którą ciało 

o masie m działa na Ziemię, musi być proporcjonalna do masy Ziemi M. Ostatecznie 

więc wartość siły grawitacji, jaką działają na siebie wzajemnie dwa ciała o masach m 1 

i m 2 

, 

wyraża się wzorem 

F G mm 1 2 

g 

(5.1) 

2 

r 

Chcąc napisać wzór na wektor siły grawitacji, jaką ciało o masie m 2 

działa na ciało 

o masie m 1 

, należy obrać wektor r tak, jak na rysunku 5.6 i wartość tej siły pomnożyć 

 

r 

przez wektor jednostkowy 

r . F g1,2 F g2,1 

m 1 m 2 

 

F 

r 

Rys. 5.6 

 

 

 

 

G mm r 

F G mm 

1 2 

1 2 

r 

= 

2 2 

=− 

2 

=−F 

r r 

r r 

g1,2 g ,1 g1,2 

Zapis taki zawiera informację, że wektor siły grawitacji leży na prostej przechodzącej 

przez oddziałujące z sobą dwa punkty materialne oraz pokazuje zwrot tego wektora. 

Wzór (5.1) stosuje się dla punktów materialnych. Dowolne dwa ciała można uznać 

za punkty materialne, gdy ich wzajemna odległość znacznie przekracza rozmiary każdego 

z tych ciał. 

Newton wykazał, że prawo powszechnej grawitacji (5.1) stosuje się także dla ciał o symetrii 

kulistej; w przypadku dwóch kul (o promieniach r 1 

i r 2 

) r oznacza odległość między 

ich środkami (r ≥ r 1 

+ r 2 

).

164 

 

Jeśli małe ciało o masie m znajduje się na powierzchni lub w pobliżu kuli, której masa 

wynosi M, a promień R (rys. 5.7), to na ciało działa siła grawitacji F o wartości takiej, jakby 

cała masa kuli skupiona była w jej środku. 

a) b) 

R 

r 

F 

m 

R 

r 

F 

m 

M 

Rys. 5.7 

M 

F 

2 

G Mm 

r 

Należy pamiętać, że jest tak wówczas, gdy rozkład masy w kuli jest sferycznie symetryczny; 

oznacza to, że kula musi być jednorodna (tj. w każdym punkcie musi mieć 

jednakową gęstość – rys. 5.7a) lub że warstwy o różnych gęstościach są rozmieszczone 

symetrycznie (rys. 5.7b). 

 

R 

 

R 

Rm- 

 

F 

Mm 

G R 

 

2 

4 

MM = VV 

R 3 

3 

4 3 

Rm 

3 4 

FG Gm R 

2 

 

R 3 

F 

R 

m-

165 

We wzorze (5.1) G jest współczynnikiem proporcjonalności, który nosi nazwę stałej 

grawitacji. Jak wynika z pomiarów, wartość stałej grawitacji w SI w przybliżeniu wynosi: 

2 

−11 

N⋅m 

G= 6, 67⋅10 2 

= 6, 

67⋅10 

kg 

−11 

3 

m 

kg⋅s 

Oznacza to, że dwa punkty materialne, z których każdy ma masę 1 kg, znajdujące się 

w odległości od siebie równej 1 m, przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji o wartości 

równej 6,67 · 10 −11 N. Wartość tej siły jest więc bardzo mała, trudna do wykrycia w przypadku 

ciał o niewielkich masach. Jednak gdy masa przynajmniej jednego z przyciągających 

się ciał jest wystarczająco duża, to siła grawitacji jest łatwo obserwowalna. Codziennie 

doświadczamy skutków działania sił grawitacji, pochodzących od naszej planety, zżyliśmy 

się z nimi i często nie zdajemy sobie sprawy, jak są one ważne dla naszej egzystencji. 

Łatwo zauważyć podobieństwo między prawem opisującym oddziaływanie elektrostatyczne 

między dwoma naelektryzowanymi ciałami punktowymi a prawem Newtona, 

opisującym oddziaływania grawitacyjne między punktami materialnymi. Zastanawiano 

się, czy jest to tylko formalne podobieństwo, czy istnieje jakiś głębszy związek między siłą 

elektrostatyczną a siłą grawitacyjną. Na razie nie wiemy, jaka jest odpowiedź na to pytanie. 

Nie wiemy także, jaka jest przyczyna oddziaływania grawitacyjnego i dlaczego siły 

grawitacyjne są zawsze siłami przyciągania. Wiemy tylko, że oddziaływanie grawitacyjne 

między dwiema naładowanymi cząstkami jest nieporównanie słabsze niż oddziaływanie 

elektrostatyczne między nimi. 

2 

Zadania 

1. Dwa satelity obiegają planetę po orbitach w kształcie okręgów (rys. 5.8). Oblicz 

stosunek okresów ruchu obiegowego tych satelitów (T 2 

/T 1 

). 

1 

2 

R 

R 

R 

Rys. 5.8

166 

 

2. Skorzystaj z prawa grawitacji i nie wykonując obliczeń, odpowiedz na pytanie: 

Ile razy wartość siły grawitacji, działającej na ciało znajdujące się na wysokości 

h = 2R nad powierzchnią Ziemi, jest mniejsza od wartości siły grawitacji, działającej 

na to ciało na powierzchni Ziemi? 

3. Na każdej planecie ciężar ciała można wyrazić jako iloczyn masy tego ciała 

i przyspieszenia, z jakim spadają ciała na tej planecie. Na planecie X dokonano 

pomiaru zależności F c 

(m) (rys. 5.9). 

F c (N) 

9 

6 

3 

0 

0 1 2 3 

m (kg) 

Rys. 5.9 

Oblicz wartość przyspieszenia na tej planecie. 

4. Korzystając z danych z tabeli (5.1), oblicz wartości sił grawitacji, jakie działałyby 

na ciebie na powierzchni Księżyca, Marsa, Saturna. 

Tabela 5.1 

 

 

 

(N) 

9,8 

1,6 

280,0 

Mars 3,8 

25,0 

9,0 

5. W pobliżu powierzchni Ziemi na ciało o masie 1 kg działa siła ciężkości o wartości 

10 N. Oblicz promień, który musiałaby mieć kula ołowiana, aby na jej 

powierzchni na ciało o masie 1 kg działała siła o takiej samej wartości. Gęstość 

ołowiu = 11,3 · 10 3 kg/m 3 . 

6. Oblicz wartość siły, którą przyciągają się dwie stykające się z sobą ołowiane kule 

o średnicy 2r = 1 m każda. Gęstość ołowiu = 11,3 · 10 3 kg/m 3 .

167 

7. Odległość kulek o masach m = 1 kg jest równa 1 m (rys. 5.10). Oblicz wartość 

wypadkowej siły grawitacji, działającej na ciało o masie m 0 

= 1 g umieszczone 

kolejno w punktach P 1 

i P 2 

. Przerysuj rysunek do zeszytu i zaznacz wektory sił 

działających na to ciało, zachowując odpowiednie proporcje między ich wartościami. 

m 

P 1 

m 

P 2 

0,5 m 0,5 m 0,5 m 

Rys. 5.10 

8. Znajdź położenie punktu, w którym należałoby umieścić ciało, aby siły przyciągania 

pochodzące od Ziemi i Księżyca wzajemnie się równoważyły. Odległość 

środka Księżyca od środka Ziemi jest równa 3,84 · 10 8 m, a masa Księżyca 

stanowi 1/81 masy Ziemi. 

9. Odpowiedz na pytanie: Jakim ruchem z punktu widzenia obserwatora w układzie 

laboratoryjnym poruszają się dwa ciała, na które działają tylko siły wzajemnego 

oddziaływania grawitacyjnego. Uzasadnij odpowiedź. 

10. Współczesny Newtonowi poeta Alexander Pope wyraził podziw dla niezwykłego 

umysłu uczonego słowami: 

„Natura i prawa natury skryte były w ciemności, 

Bóg rzekł »Niech będzie Newton« i wszystko stało się światłem”. 

Wyjaśnij sens podanego wyżej tłumaczenia epitafium umieszczonego na grobie 

Newtona w opactwie westminsterskim. 

 

 

Dotychczas, mówiąc o masie ciała, nie rozróżnialiśmy wyraźnie dwóch rodzajów mas. 

Jednakże bardzo uważny czytelnik mógłby spostrzec, że w dotychczasowych podręcznikach 

fizyki były prezentowane dwa różne podejścia do pojęcia masy. Pierwsze podejście 

ma miejsce wtedy, gdy mówimy o masie ciała w związku z siłą przyciągania tego ciała 

przez Ziemię. Wówczas porównujemy masy ciał, porównując siły grawitacji, jakimi Ziemia 

działa na te ciała (bo wartość siły grawitacji jest wprost proporcjonalna do masy ciała, 

na które działa ta siła). Ten rodzaj masy to masa grawitacyjna. Inaczej mówiąc, masa 

grawitacyjna ciała decyduje o tym, jak silnie to ciało jest grawitacyjnie przyciągane przez 

inne ciało. Gdyby te same ciała przenieść na Księżyc, byłyby one tam przyciągane innymi

168 

 

siłami grawitacji niż na Ziemi, ale siły grawitacji byłyby tam także wprost proporcjonalne 

do mas grawitacyjnych tych ciał. W prawie powszechnego ciążenia występują więc masy 

grawitacyjne. 

Przy okazji omawiania zasad dynamiki Newtona wprowadzono masę bezwładną. Jest 

ona związana z inną własnością ciał, zwaną bezwładnością. Ciała mają różne bezwładności, 

jeśli pod działaniem sił o takich samych wartościach (natura tych sił nie jest wcale 

istotna!) uzyskują różne co do wartości przyspieszenia. To ciało, które uzyskuje mniejsze 

przyspieszenie, ma większą bezwładność, a więc także większą masę bezwładną. Masy 

bezwładne ciał występują w prawach dynamiki i w zasadzie zachowania pędu. 

Masy: grawitacyjną i bezwładną uznajemy za jednakowe. Nie będziemy więc przy symbolu 

m pisać żadnych znaczków i nazwy „masa” będziemy używać dla obu tych wielkości. 

Z punktu widzenia fizyki współczesnej równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej 

ma podstawowe znaczenie; stanowiła ważny krok na drodze do powstania ogólnej 

teorii względności.

169 

 

Aby opisać ruch ciała w dużej odległości od Ziemi, musimy uwzględnić fakt, że siła grawitacji 

maleje wraz z kwadratem odległości od środka Ziemi. 

Dość łatwo można opisać przypadek ruchu ciała wokół Ziemi po orbicie kołowej, której 

środek znajduje się w środku Ziemi. Do utrzymania ciała na orbicie niezbędne jest 

m 

działanie siły dośrodkowej o wartości F = 

υ2 

υ 

r 

r 

m 

zwróconej stale do środka okręgu (gdzie jest 

planeta 

szybkością ruchu, a r promieniem okręgu). 

Taka siła działa np. na planety obiegające Słońce 

F g 

(po torach, które można w przybliżeniu uważać 

za okręgi), Księżyc i sztuczne satelity obiegające 

Ziemię. Rolę siły dośrodkowej odgrywa w tych 

przypadkach siła grawitacji (rys. 5.11). 

M 

F g 

= F r 

czyli 

GMm m 

= υ 

2 

r r 

2 

2 r = GM 

Rys. 5.11 

υ= GM r 

(5.2) 

Zatem dla każdej odległości r od środka ciała centralnego o masie M można dobrać 

prędkość o takiej wartości, aby ruch odbywał się po orbicie kołowej o promieniu r. Oznacza 

to, że siła grawitacji wystarcza jedynie do zakrzywiania toru ciała poruszającego się po 

okręgu, a nie zmienia wartości prędkości. 

Jeśli satelita Ziemi poruszałby się po okręgu tuż nad jej powierzchnią, to promień okręgu 

r byłby w przybliżeniu równy promieniowi Ziemi (R Z 

). W takim przypadku wartość 

prędkości, którą trzeba byłoby mu nadać w kierunku poziomym, byłaby równa: 

υ I 

= GM R Z 

Z 

(5.3)

170 

 

Jest to wartość tzw. pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi. 

Podstawiając wartości liczbowe: GM Z 

= 3,98 · 10 14 m 3 /s 2 oraz R Z 

= 6,37 · 10 6 m, otrzymujemy 

3 m km 

υ I 

≈7910 , ⋅ ≈79 

, 

s s 

- 

- 

 

Ze względu na obecność atmosfery satelita musi krążyć nad Ziemią na wysokości h 

(rys. 5.12), równej co najmniej 160 km, aby nie działały na niego siły oporu powietrza. 

 

h 

F 

Rys. 5.12 

W celu obliczenia jego szybkości musimy do wzoru (5.3) w miejsce R Z 

wstawić 

r = R Z 

+ h. Tylko nieznacznie zmniejszy to wyliczoną przez nas wartość prędkości I 

, bo 

siła grawitacji jest tam nieznacznie mniejsza, jak pokazano w przykładzie 5.2. 

 

h 

m- 

hb 

R Z 

= 6,37 · 10 6 

h: 

GMZm 

F 

( R h) 

h 2 

Z

171 

 

GMZm 

F 

R 

p 2 

Z 

2 

F 

 

p 

Fh Fp RZ 

h 

b 1 

1 

F F R 

h h Z 

 

6 6 

2 2 

6,3710 0,1610 6,53 

b 1 10,051 b5,1% 

6 

6,3710 6,37 

 

 

F p 

i F h 

 

Zadania 

1. Masa Marsa M = 6,42 · 10 23 kg, a średni promień R = 3,4 · 10 6 m. Oblicz wartość 

pierwszej prędkości kosmicznej dla tej planety. 

2. Satelita poruszający się w płaszczyźnie równika z prędkością kątową równą 

prędkości kątowej Ziemi w jej ruchu obrotowym wokół własnej osi nosi nazwę 

satelity geostacjonarnego. Oblicz: 

a) promień orbity, 

b) wartość prędkości liniowej 

satelity geostacjonarnego. Przyjmij, że GM Z 

= 4 · 10 14 Nm 2 /kg. 

3. Jeśli masz dostęp do Internetu, znajdź aplet Góra Newtona Waltera Fendta. 

a) Uruchom program. Zaobserwuj ruch pocisku wystrzelonego poziomo (tuż 

nad Ziemią) z prędkościami o wartościach w zakresie 0 < ≤ I 

. 

b) Oblicz szybkość ’, którą trzeba nadać pociskowi wystrzelonemu poziomo 

z góry o wysokości 1233 km, aby okrążał Ziemię po orbicie kołowej. 

Następnie uruchom program i zaobserwuj ruch pocisku po nadaniu mu 

szybkości ≤ ’.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANEKS 1 

Niepewności 

pomiarowe

238 

 

 

Fizycy opisują otaczający nas świat, formułując prawa fizyczne, którym podlegają obserwowane 

zjawiska i procesy. Do słownego lub matematycznego zapisu tych praw stosuje się 

wielkości fizyczne. Wielkości fizyczne to cechy lub właściwości (obiektów, zjawisk, procesów), 

które można mierzyć i wyrażać ilościowo, np. masa, czas, temperatura, natężenie 

prądu, współczynnik załamania światła, przyspieszenie grawitacyjne itp. Do pomiaru 

niektórych z tych wielkości skonstruowano odpowiednie przyrządy. Na przykład masę 

wyznaczamy za pomocą wagi, czas mierzymy zegarkiem lub stoperem, temperaturę – termometrem, 

natężenie prądu – amperomierzem. Są to tzw. pomiary proste, bezpośrednie. 

Wielkości fizyczne, których nie możemy zmierzyć bezpośrednio, gdyż nie istnieją 

odpowiednie przyrządy, wyznaczamy pośrednio, wykorzystując związek tych wielkości 

z innymi wielkościami fizycznymi, które można zmierzyć bezpośrednio. Na przykład wartość 

przyspieszenia ziemskiego g możemy wyznaczyć, mierząc długość l i okres drgań T 

wahadła matematycznego, a następnie obliczając wartość g z zależności okresu drgań T 

l 

wahadła od jego długości l i przyspieszenia ziemskiego g: T =2π . Wyznaczanie wielkości 

fizycznej nazywamy wówczas pomiarem złożonym lub pośrednim. 

g 

Pomiar bezpośredni to porównanie mierzonej wielkości ze wzorcem przyjętym za 

jednostkę. Wzorce wielu wielkości fizycznych zmieniają się w miarę rozwoju nauki. Przykładem 

mogą być zmiany wzorców długości. W odległych czasach jednostki długości 

wywodzono od przeciętnych rozmiarów ciała ludzkiego (cal był długością ostatniej kości 

kciuka, stopa – długością stopy, jard – długością ręki dorosłego mężczyzny, łokieć – długością 

przedramienia dorosłego człowieka). Nie były one z sobą porównywalne (łokieć łokciowi 

nierówny). Ustalono zatem uniwersalną miarę długości – metr ( 

1 

10 000 000 część 

długości ćwiartki południka zerowego). Długość wzorcowa została zaznaczona na modelu 

(wykonanym ze stopu platyny i irydu), który przechowywany jest w Sèvres (czyt. Se:wr) 

pod Paryżem. Obecnie stosuje się jeszcze inny wzorzec metra – jest to droga przebyta 

1 

w próżni przez światło w czasie 

sekundy. Podobnym udoskonaleniom podlegał 

również np. wzorzec czasu. 

299 792 458 

Wynikiem porównania mierzonej wielkości ze wzorcem jest liczba wyrażona w odpowiednich 

jednostkach. Niestety, żadnej wielkości fizycznej nie możemy zmierzyć dokładnie. 

Możemy wyznaczyć jedynie przedziały, w których wartości mierzonych wielkości 

fizycznych są najprawdopodobniej zawarte. Mówimy, że wynik każdego pomiaru jest 

zawsze obarczony niepewnością pomiarową. 

Wyniki pomiarów zapisujemy w postaci: x ± x, gdzie: 

x – najbardziej prawdopodobna wartość wielkości mierzonej, 

x – niepewność pomiaru.

239 

Odstępstwa wyników pomiarów od wartości najbardziej prawdopodobnych nie wynikają 

z błędnego postępowania osób wykonujących pomiary. Źródłem tych niepewności są: 

• 

naturalna niedoskonałość zmysłów człowieka, którymi posługujemy się w trakcie wykonywania 

pomiarów, 

• 

• 

• 

niedoskonałość przyrządów pomiarowych, 

naturalna zmienność mierzonych obiektów, 

niemożność uwzględnienia wszystkich czynników wpływających na wynik pomiaru. 

Wnikliwa analiza przyczyn występowania niepewności pomiarowych prowadzi do 

wniosku, że niepewności pomiarowe są naturalnym elementem procesu wykonywania 

pomiarów i nie ma możliwości ich wyeliminowania. Możemy jedynie dążyć do ich 

minimalizacji. 

Podczas wykonywania pomiaru eksperymentator może popełnić pomyłkę, np. przestawić 

cyfry w wyniku i odczytać 27 zamiast 72, źle ustawić zakres mierników elektrycznych, 

itp. Mówimy wtedy, że popełnił błąd gruby. Wynik pomiaru obarczony błędem grubym 

należy odrzucić. Identyfikowanie (rozpoznawanie) takich wyników nie jest jednak łatwe. 

Systematyczne zawyżanie lub zaniżanie wyników, którego źródłem mogą być: przyrządy 

pomiarowe (np. „rozciągnięta” taśma miernicza), warunki, w których przeprowadzamy 

pomiar (np. zbyt wysoka temperatura), metoda pomiarowa, nieuwzględnienie czynników 

wpływających na wynik (np. wilgotności, ciśnienia atmosferycznego) lub eksperymentator, 

to popełnianie błędu systematycznego. Cechą charakterystyczną błędów, w odróżnieniu 

od niepewności, jest możliwość ich wyeliminowania. Jak zatem eliminować błędy? Podstawowe 

rady są następujące: 

• 

• 

• 

eksperyment powinno wykonywać kilku niezależnych eksperymentatorów, 

do wykonywania pomiarów należy używać kilku przyrządów danego rodzaju, 

o ile to możliwe, do wyznaczania danej wielkości zaleca się stosować różne metody 

pomiarowe (np. wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego z pomiaru czasu 

swobodnego spadania ciała ze znanej wysokości lub z pomiaru okresu drgań i długości 

wahadła matematycznego). 

Jeśli pomiary wykonujemy z zachowaniem wymienionych rygorów, możemy przypuszczać 

z dużym prawdopodobieństwem, że błędy systematyczne nie dominują nad 

niepewnościami. Możemy zatem przystąpić do szacowania niepewności pomiarowych.


 

Gaussa) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANEKS 2 

Doświadczenia

276 

 

 

 

 

W doświadczeniu wyznaczamy wartość przyspieszenia 

ziemskiego, mierząc czas swobodnego spadania 

ciał z odpowiednio dobranych wysokości. 

Spis przyrządów i materiałów: cienki sznurek 

lub gruba nitka o długości około 2 m, 5 nakrętek 

do śrub lub plastelina, komputer z kartą dźwiękową 

i mikrofonem, darmowy program Oscyloskop 

dostępny w Internecie. 

Kolejne fazy doświadczenia: 

• 

Na sznurku przywiązujemy nakrętki (lub 

przylepiamy kulki z plasteliny) kolejno w odległościach 

od siebie pozostających w stosunku 

1:3:5:7, np. 10 cm, 30 cm, 50 cm, 70 cm 

(rys. A2.5). 

• 

Chwytamy sznurek za koniec tak, by swobodnie 

zwisał, a pierwsza nakrętka (kulka) dotykała 

podłogi. 

• 

Puszczamy sznurek i rejestrujemy za pomocą 

komputera (z dołączonym mikrofonem i z uruchomionym 

programem Oscyloskop) stuknięcia 

upadających na podłogę nakrętek lub plastelinowych 

kulek; dla wzmocnienia dźwięku 

można pod upadające nakrętki lub kulki podstawić 

pudełko kartonowe. Mierzymy odstępy 

czasu między kolejnymi stuknięciami. 

(Stuknięcia rejestrowane są przez komputer 

jako „piki” na wykresie. Za pomocą znaczników 

czasu odczytujemy odstępy czasu – odległość 

na osi czasu – pomiędzy „pikami” odpowiadającymi 

uderzeniom kolejnych nakrętek 

o podłogę.) 

 

70 cm 

50 cm 

30 cm 

10 cm

277 

Nakrętki uderzają w podłogę w równych odstępach czasu, gdyż poruszają się ruchem 

jednostajnie przyspieszonym (wykaż to, wykonując odpowiednie obliczenie), a drogi 

przebyte przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym w kolejnych, jednakowych 

odstępach czasu mają się do siebie jak 1:3:5:7. 

• 

Znając odstępy czasu pomiędzy uderzeniami w podłogę kolejnych nakrętek oraz odległości 

pomiędzy nakrętkami na sznurku, możemy obliczyć wartość przyspieszenia, 

z którym poruszały się nakrętki (wartość przyspieszenia ziemskiego), wraz z niepewnością. 

• 

Opracuj metodę wyznaczenia (obliczenia) wartości przyspieszenia ziemskiego i wykonaj 

odpowiednie obliczenia.

290 

 

 

(wartości przybliżone) 

 

 

Wartość przyspieszenia ziemskiego 

m 

g 10 s 

2 

Stała grawitacji 

G6,6710 

11 

Nm 

2 

kg 

2 

Promień Ziemi RZ 6370 km 

Masa Ziemi 

M 

24 

Z 

610 kg 

Odległość Ziemia – Księżyc 

d 

8 

3,8410 m 

Masa Słońca 

30 

MS 210 kg 

Promień Słońca 

5 

RS 7 10 km 

8 

Jednostka astronomiczna 1 AU1,510 km 

Wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi 

Wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Ziemi 

Liczba Avogadro 

Objętość molowa gazu doskonałego w warunkach 

normalnych 

Stała gazowa 

Stała Boltzmana 

km 

7,9 

I 

s 

km 

II 

11,2 s 

N 610 

A 

23 

3 

V 22, 4 dm 

1 

mol 

J 

R8,31 mol K 

k1, 410 

23 J 

K 

Ciśnienie atmosferyczne normalne p0 101 

325 Pa

291 

 

 

Temperatura zera absolutnego T0 0 K ( 273C) 

Współczynnik w prawie Coulomba 

Ładunek elementarny 

Masa protonu 

k 

910 

9 

Nm 

2 

C 

e = 1,6 . 10 –19 C 

27 

m p 

1,710 kg 

2 

Masa neutronu 

27 

m n 

1,710 kg 

Masa elektronu 

Wartość prędkości światła w próżni 

Przenikalność elektryczna próżni 

Przenikalność magnetyczna próżni 

Stała Plancka 

Stała Rydberga 

31 

m e 

910 kg 

8 

m 

c310 s 

C 

Nm 

2 

12 

0 

8,910 

2 

 

1,2510 

N 

A 

6 

0 2 

h 

34 

6,62 10 J s 

7 

1 

R10 m

296 

 

 

Okładka: (skok na bungee nad fiordem) Vitalii Nesterchuk/Shutterstock.com, (satelita) Cristi 

Matei/Shutterstock.com, (karuzela) pdesign/Fotolia.com 

Tekst główny: s. 6–7 (pociąg) Oleksiy Mark/Shutterstock.com; s. 64–65 (skok na bungee nad 

fiordem) Vitalii Nesterchuk/Shutterstock.com; s. 105 (doświadczenie ze szklanką i kulką) Zam- 

Kor; s. 114–115 (szyby naftowe) ssuaphotosSergiy/Shutterstock.com; s. 142–143 (atomowa łódź 

podwodna) Andrea Danti/Shutterstock.com; s. 156–157 (satelita) Cristi Matei/Shutterstock.com; 

s. 159 (strona tytułowa De revolutionibus) reprodukcja, (układ geocentryczny) Grzegorz Petka; 

s. 160 (układ heliocentryczny) reprodukcja; s. 206–207 (karuzela) pdesign/Fotolia.com; s. 236–237 

(grafika w kolorze czerwonym) vlastas/Shutterstock.com; s. 260–261 (grafika z wagą) Creations/ 

Shutterstock.com; s. 278–279 (satelita) Cristi Matei/Shutterstock.com, (pociąg) Oleksiy Mark/ 

Shutterstock.com, (skok na bungee nad fiordem) Vitalii Nesterchuk/Shutterstock.com, (atomowa 

łódź podwodna) Andrea Danti/Shutterstock.com 

Pozostałe ilustracje: Katarzyna Mentel 

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne oświadczają, że podjęły starania mające na celu dotarcie do 

właścicieli i dysponentów praw autorskich wszystkich zamieszczonych utworów. Wydawnictwa 

Szkolne i Pedagogiczne, przytaczając w celach dydaktycznych utwory lub fragmenty, postępują 

zgodnie z art. 29 ustawy o prawie autorskim. Jednocześnie Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne 

oświadczają, że są jedynym podmiotem właściwym do kontaktu autorów tych utworów lub innych 

podmiotów uprawnionych w wypadkach, w których twórcy przysługuje prawo do wynagrodzenia.

Z fizyką w przyszłość

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?