Zadanie 1. Ile punktów wspólnych ma okrÄ g z ... - Zsg.wroclaw.pl

Zadanie 1. Ile punktów wspólnych ma okrąg
?
Rozwiązanie - 1 sposób
Punkty wspólne należą jednocześnie do
okręgu i do prostej, spełniają więc
jednocześnie ich wzory. Rozwiązujemy układ
z prostą o równaniu:
Rozwiązanie - 2 sposób
Oznaczmy:
- promieo okręgu - środek okręgu
- odległośd środka okręgu od prostej
prosta leży poza okręgiem
prosta jest styczna do okręgu (ma z
nim jeden punkt wspólny)
prosta przecina okrąg w dwóch
punktach
, to
Korzystam ze wzoru na odległośd punktu
od prostej
k
brak rozwiązao
Odp. Prosta i okrąg o podanych wzorach nie
mają punktów wspólnych
więc prosta leży poza okręgiem, czyli
nie ma z nim punktów wspólnych
Zadanie 2. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o koocach
Rozwiązanie:
Środek okręgu jest środkiem odcinka PR:
Promieo okręgu to długośd odcinka SP lub SR
współrzędne środka okręgu
Podstawiam do wzoru na równanie okręgu
promieo okręgu
Odp. Równanie okręgu ma postad:

Zadanie 3. Znajdź współrzędne punktów przecięcia okręgu
z osiami układu współrzędnych
Aby obliczyd punkty przecięcia z osią OX Aby obliczyd punkty przecięcia z osią OY
podstawiam do równania okręgu (bo podstawiam do równania okręgu (bo
punkty leżące na osi OX mają drugą
współrzędną =0)
punkty leżące na osi OY mają pierwszą
współrzędną =0)
lu
Współrzędne punktów przecięcia z osią OX
to:
Zadanie 4. Napisz równanie prostej stycznej do okręgu
.
lu
Współrzędne punktów przecięcia z osią OY
to:
Rozwiązanie:
Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia i że punkt P leży na stycznej.
Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej:
Prosta zawierająca promieo przechodzi przez punkty S i P,
Obliczam współczynnik kierunkowy prostej zawierającej promieo okręgu:
w punkcie
to środek okręgu
Korzystając z warunku prostopadłości prostych: mamy: i
Podstawiam do wzoru stycznej współrzędne punktu P i wyliczony współczynnik kierunkowy
, stąd
Odp. Prosta styczna do okręgu w punkcie P ma postad:
Zadanie 5.Okrąg o środku jest styczny do prostej o równaniu . Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia. Jeżeli oznaczę punkt styczności przez
P, to prosta zawierająca punkty S i P jest prostopadła do stycznej . Współczynnik
kierunkowy stycznej
Aby napisad równanie prostej zawierającej punkty S i P korzystam z równania
kierunkowego prostej:
Z warunku prostopadłości prostych: mamy: i
Podstawiam do wzoru współrzędne punktu S i wyliczony współczynnik kierunkowy:
stąd
i ostatecznie
Zatem równanie prostej zawierającej punkty S i P ma postad:
Punkt styczności P leży zarówno na stycznej jak i na prostej

Należy więc rozwiązad układ równao (bo punkt P spełnia równania obu prostych)
po dodaniu stronami
i
Podstawiam wyliczony y do pierwszego równania i wyliczam x:
Odp. Punkt styczności P ma współrzędne
Zadanie 6. Punkty
promienia tego okręgu.
ozwiąz nie
Oznaczmy ś o ek ok ęgu p zez
Długość p omieni ok ęgu to:
należą do okręgu. Wyznacz długośd
u uję ukł
ówn ń
o noszę o ust onnie do kwadratu
po przeprowadzeniu redukcji mamy:
dodajemy stronami:
Podstawiam do pie wszego ówn ni : stą
i ostatecznie
O p. omień ok ęgu m ługość .
= =

Zadanie 7. Styczną do okręgu
jest p ost o ówn niu
A. B. C. D.
Przekształcam równanie okręgu, następnie odczytuję współrzędne środka i długośd
promienia: Środek , promieo
Odp. B (można naszkicowad, jeżeli tego nie widzimy )
Zadanie 8. Ś o ek ok ęgu p ze ho zą ego p zez punkt i n leż
do prostej . Zn j ź ówn nie tego ok ęgu.
Rozwiąz nie
Korzystam z równania okręgu gdzie środek, promieo
1.Ponieważ środek leży na prostej , więc współrzędne środka spełniają jej
równanie. Stąd . Wobec tego środek ma współrzędne więc
równanie okręgu ma postad:
2.Punkty A i B należą do okręgu, więc ich współrzędne spełniają równanie okręgu
3.Podstawiam współrzędne punktów A, B do równania okręgu z punktu 1.
porównuję:
Z punktu 1 mamy więc . Zatem środek okręgu
Odp. Równanie okręgu ma postad:
promieo