o_19gmcr8j51uq5h0415moefk1i2na.pdf

BIBLIOTEKA ZANIMLJIVA NAUKA

MIRKO DEJIC
TAJNI SVET
MATEMATIKE
raiklnje brojeva
okultistika
religija
kalendar
magicni kvadrati
NOLIT e BEOGRAD

PREDGOVOR
Naslov najrecitije govori o sadrtaju ove knjige. Nit
koja povezuje sve njene delove jeste matematika, zapravo
njen fundamentalni element - broj.
Prvobitna ljudska saznanja o broju potiCu _jos iz kamenog
doba. Iz doba kada je za eoveka sve sto je bilo
vece od jedan bilo ,,mnogo". 0 takvom poimanju broja
svedoce nam i danas mnoga plemena u centralnoj Ame··
rici, Africi i Australiji. Postepeno, broj se razvijrw, preko
prve ,,racunske ma8ine" - prstiju, pa do najsavremenijeg
racunara, od broja ,,jedan", neraskidi·vo vezanog
za jedan odredeni predmet, do najapstraktnijih teori.ia
o brojevima.
Taj svemoguci broj nalazi se svuda:
- U religiji, kada se razmislja da li je Nojeva lacla
sa dimenzijama datim u Bibliji dovoljna da prihvati. sav
zivi svet koji Biblija pominje, ili pak o cudnovatom ucescu
broja sedam u Bibliji i broja 19 u Kur'anu; cita:jw5i Bibliju
ili Kur'an covek ne razmislja o njihovoj matematickoj
strukturi koja zadivljuje i navodi na cudenje;
- U okultistici, kada se predvida ljudska buducnost
uz pomoc brojeva;
- U odredivanju sustine pojavnog sveta kod pitagorejaca;
- U muzici, kada pitagorejci uvidaju da su mnzicki
intervali direktno proporcionalni duzini zice lire i ne zavise
od apsolutne duzine zice;
- U kalendaru, igrama, praksi itd.
7

U Bibliji se nalazi znameniti broj 'It, sve racunskP
operacije, geometrijska tela i figure, mere, vage, novae,
. . . u njoj su elementi matematike, koji su predmet izucavanja
u istoriji matematike.
Knjiga koja je pred citaocem poku8ava da na popularan
nacin iznese neke matematicke cinjenice ko_jc SU,
rnozda, ,,sa one strane" matematike.
Citanje knjige ne zahteva neko specijalno matema-·
ticko znanje, vec dobru volju i interesovanje za ,,neobicno".
A!.ltor
TAJNI SVET MATEMATIKE

I
BROJEVI
1.1. RADANJE BROJEVA
-----·--· ·· ····
l\'ova matemcitika, drvorez iz 1515. god. (Filozofski biser od G .
Raj ta)
Brojevi su temelj na lrome pociva svet po pitago-­
rejcima, pomoeu njih ce se meriti vreme. Oni ce biti kljuC-­
.1.a Bibliju i Kur'an, sluzice za tumacenje ljudskih karaktera.
Pokusacemo da iznesemo njihovo poreklo od nastan-·
ka pa do dana5njeg oblika. Razrnatracemo prirodne brojeve.
Od kolilrog su znaeaja brojevi, mozda je najbolje
izrazio cuveni nemackrl. matematicar Kroneker (Leopold
Kronecker, 1823-1891) sledeeim reeima: ,,Gospod Bog -.
je nacinio cele brojeve. Sve ostalo je delo covecijih ruku".
Slicno iznosi francuski matematiear Brel (Borel Feliks
Eduard, 1871-1956) :reC'ima: ,,Znanje 1judi ?.aslufoje da.
se zove naukom u zavisnosti od toga kakvu ulogu u njemu
igra broj".
Prvobitna saznanja o broju pobieu jos iz epohe sta-·
rog kamenog doba - paleolita. 2ivi spomenici po

·je posmatrala svoju tek okocenu stenad koju su joj od­
·nosili jedno dva-tri puta. I njen nemir je dolazio do vrhunca
kada se starala da utvrdi jesu li joj sva stenad na
·broju, ili neko jos nedostaje. Njen pogled je zbunjeno
prelazio po njima, ali ona ipak nije mogla da se umiri.
Bilo je jasno da ona ima nek:i nejasan pojam o brojanju,
ali broj je bio suvise veliki za njen mozak. Uporedujuci
oboje, Damara i psa, jer su stajali kraj mene, moram da
:priznam da rezultat uporedivanja ne ide eoveku na cast".
Iz iste knjige zanimljivo je i ovo mesto:
,,Kad se vrsi razmena, za svaku ovcu treba platiti po­
·sebno. Tako, na primer, ak:o za ovcu u zamenu daju dva
pakla duvana, svaki Damar ce se naci u velikoj neprilici
~ako uzmete od njega dve ovce i date cetiri pakle duvana.
Jednom sam tako uradio i video kako je moj prodavac
uzeo dva pakla i gledao preko njih na jednu od ovaca
·koju je prodavao. Kada se ubedio da je za ovu posteno
placeno, video je, na svoje cudenje, da su mu osta1a jos
-dva pakla, kao uplata za drugu ovcu; tada je pocela da
ga muCi sumnja; za potpunu pravilnost zamene trebale
·su dve radnje. I evo, on se opet vraea na prvi par pakli­
·ea; u glavi mu se nesto brka, postaje maglovito; on u
mislima prelazi od jedne ovce do druge i najzad odbija
da izvrli pogodbu sve dok mu nisu stavljena u ruku
·dva pakla i odvedena jedna ovca, a zatim data dva druga
.i odvedena i druga ovca ... Ako kupujete kod coveka tele
·za deset paklica duvana, onda treba njegove siroke ruke
·rasiriti na zemlju i na svaki prst staviti po paklo duvana.
·On skuplja duvan. Kolicina mu se dopada i pogodba je
zakljucena. Ako folite drugo tele, predasnji proces se
ponavlja od pocetka do kraja."
Covek nije brojao, vec se bavio pojmom pridruziva­
:nja i to 1-1, Mo znaci da je pojam funikcije nastao pre
nego pojam broja. Shvativ5i ,,jedan" i ,,mnogo" covek
uzima po jedan predmet u po jednu ruku i dobija broj
.,,dva". Broj tri je mogao nastati kada je eovek predmete
·dodelio rukama i jednoj nozi, a slieno i broj cetiri - po
jedan predmet u rukama i po jedan na svakoj nozi.
Sa razvojem lova i ribolova eovek nije mogao da se
zadrzi na samo 4 broja. Trebalo je saopstiti koliko je ulovio
zivotinja, koLiko opasnosti doZiveo itd. Poeinje da se
:sluzi nanizanim cvoricima, stapiCima i drugim predmeti-
.12
ma kojima oznaeava kolicinu. Covek je brojeve oznaeava0>
odredenim gestovima.
Sa pojavom stoearstva nije bilo dovoljno predmete·
dodeljivati zivotinjama, vec je bilo potrebno da im se za-­
pamti broj. Pamtilo se po nekoj karakteristic:i: crni ro-·
govi, beli repovi itd.
Sledeci stupanj do apstraktnog broja bio je pamcenje
broja jedinica. Na primer, za broj cebiri govorilo se·
,,onoli'ko lroliko ovca ima nogu". Dalje su se brojevi zan1enjivali
recima. Na primer, za dva se govorilo ,,usi" ruk
e " , i
'td.
' ,,
Zanimljivo je da i u danasnje weme jezik divljiht
plemena ne upotrebljava brojeve vece od tri. Grupa indijanskih
plemena koja zivi u Ju:Znoj Americi ima tri
broja: 1 - ,,initra"; 2 - ,,inoka"; 3 - ,,inoka-initra", a
za ostale brojeve upotrebljavaju delove tela (5 - ,,prsti.
jedne ruke"; 10 - ,,prsti obe ruke"; 20 - ,,prsti ruku i
nogu"). Domoroci Andamanskih ostrva takode broje do
tri, a zatim u brojanje ukljueuju prste, dodirujuci svak.im.
od njih nos i govoreCi ,,i ovo".
Vee spomenuti Damari takode ne upotrebljavaju vise·
od 3 broja. Kada cuvaju bikove oni ne mogu da ih izbroje,
ali ih sve upamte po nek.im svojstvima (crni rogovi, neki.
beleg itd.). I ovde se, dakle, radi o funkciji, a ne o brojanju
.
Iznoseei primer putopisca Haltona o pripadniku ple-·
mena Damar i kerusi Dini, videli smo da kerusa ima neke
nejasne pojmove o broju i da Damar ne odmice da'iek·
od nje. Ranije smo videli da Damari (kao i grupa indijanskih
plemena) ne upotrebljavaju vise od 'tri broja. Da je taj
stupanj veoma nizak, govori i sledeei eksperiment sa
cavkama. Naime, dok SU cavke kljucale kukuruz na njivi,
dosla su dva lovca i one su odletele na obliZnje drvo. Oba.
lovca su se sakrila, a zatim je jedan napustio zaklon. Cavke
nisu silazile na njivu dok nije otiSao i drugi lovac.
Dakle, znale su da ,,broje" do dva. lsti eksperiment je·
uraden sa tri lovca. Svi su se sakrili. Kada je otisao jedan
lovac, eavke nisu silazile sa drveta. Nisu silazile ni kada
je otisao drugi lovac. Sisle su tek kada je oti.Sao treci lovac.
Dakle, znale su da ,,broje" do tri. Da nisu znale vise·
od tri, utvrdeno je tako sto su se sakrila cetiri lovca.
One su sisle sa drveta kada su iz zaklona atisla tri lovca.
13:

Granica brojanja se stalno pomerala, ali zanimljivo
·je da je posle poslednjeg broja za koji su zna~i. dolazi~o
-mnostvo. Tako recimo, indijansko pleme Baka1ns open­
·se sa dve cifre: tokale - 1 i ahage - 2. Do 6 su brojali
kombinacijama ovih cifara: 3 - ,,ahage-tokale", 4 -
ahage-ahage", 5 - ,,ahage-ahage-tokale", 6 - ,,ahage­
. :'ahage-aha~e". Tu su se zaustavlja~ . i. ~alj~ dol~zi ,,~n°:""
go". Na taj nacin su se postepeno smli pnrodm bro1evi.
Covek je od iskona, od pocetka svog delovanja mo­
·rao da broji i meri. Broj i mera su najosnovnije i najbi~nije
cinjenice koje su neposredno uticale na njegov razvitak.
Prve mere i instrumenti koje je eovek imao bih su
.delovd njegovog tela. Do danasnjih dana su se sacuvale
··mere kao sto SU: lakait, pedalj, pailac, stopa, hvat, korak itd.
Kako mere, tak6 su i brojevi u svojoj prapostojbini no­
~sili iimena nekog dela tela. Evo niza primera koji svedo­
•Ce o tome:
:14
1
2
3
4
5
6
..,
.'8
'9
:10
11
·12
13
14
·15
16
17
18
= prst, mesec, ja (lienost), forma (Indusi);
= ruke, noge, usi, oei (Indusi);
spojena tri prsta (Indijanci), Nojeva Sapa (~bipanci
u Ju:Znoj Americi);
= ruke gore (Indijanci), tri prsta spreda jedan pozadi;
= ruka, $aka, pesnica, gomila;
- jedan prst na drugoj ruci, dve trojke;
- dva na dTugoj ruci, pet - dva;
tri na drugoj ruci, sakrij dva prsta - ,,kijangalobiJi"
(Zulusi), Bacu (osam bofanstava);
= cetiri na drugoj ruci, sakrij jedan prst - ;,kijangalo-lunje"
(Zulusi), figura (devet prvih brojeva
-
Indusi);
= .dve ruke, eovek, gornja polovina eoveka (Acted).
- jedan prst na nozi;
- dva prsta na nozi, zodijak (Indusi);
- tri prsta na nozi ;
- cetiri prsta na nozi;
- cela noga, obe ruke i jedna -noga, tri ruke;
- jedan prst na drugoj nozi;
= dva prsta na drugoj nozi;
= tri prsta na drugoj nozi;
19 = cetiri prsta na drugoj nozi;
20 - ruke i noge, jedan eovek, cetiri ruke;
21 - jedan prst na ruci drugog Indijanca;
32 - zubi (Indusi);
40 - dva eoveka.
lstorijski preokret u razvoju broja i brojnih. sistema
bio je kada su ljudi poeeli da racunaju prstima ruku i
nogu.
Prsti postaju prva ,,ma&ina'.' za bl.'Ojanj~ i ·raeunanje.
Ve$tinu racunanja prstima stari Riimljanf nazivaju indigitatio
(Jiat. digitus = prst na ruci 1li ll'lOZi). Sve do 17.
veka u Italiji se upotrebljavaju nazivi digiti i artic'uli (prsti
i udovi) kao oznake za jedinice i desetice. Kod Engleza
digit zna.Ci cifra. Od reci digitus potice dana5nj1i termin
za digitaJ.ne ili cifarske 'ma5ine.
Racunanjem prstima jedne ruke nastaje sistem sa
osnovom 5. SiStem sa osnovom 5 koristio se u Africi. Inace,
danas ga koristi 26 plemena Afri.ke, 8 plemena Polinezij
e i 13 plemena Azije.
Za raeunanje pomoeu pt'Stiju, trgovci srednjeg veka
su bill pravi virWozli. Iznoodmo dva zaindmijirva pr.imera
vezana za racunanje prstima:
1. Mnozenje sa 9
Ako treba mnoziti prvih 10 prirodnih brojeva brojem
9 uz pomoe prstiju, evo sta radimo: ra5irimo prste
obe ruke i podiZemo prst, koji brojeci sleva udesno oznacava
cifru kojom mnozimo broj 9. Broj prstiju levo
od podignutog prsta oznaeava broj desetica, a desno broj
jedinica. Na primer, treba uz pomoc prstiju dobiti rezultat
mnozenja 7 X 9. Raskimo prste kao na sl. 1. Brojimo
sleva udesno, do prsta broj 7 i ovaj podizemo. Rezultat
mnozenja je: levo -OCl sedmog (podignutog) prsta imamo
6 prstiju, sto znaci da je u rezultatu 6

Slika 1: Ruke kao digitron
2. Mnozenje preko 5 uz pomoc prstiju
Znamo 1i tablicu mnZenja do 5, za mnozenje vecim
ciframa sluzimo se prstima. Ne.ka treba pomnoZiti 8 X 7.
Pravilo je sledece: oduzme se 5 od svakog cinioca, tj.
8-5=3, 7-5=2. Sada savijemo tri prsta na levoj i dva
na desnoj ruci. Suma savijenih prstiju (3 + 2 = 5) daje broj
desetica, a proizvod nesavijenih (3 X 2 = 6) broj jedinica.
Rezultat je 56.
Najstariji zapis brojeva jeste zapis sa osnovom 2 -
binarni zapis (samo dve cifre). Do danas su se sacuvali
binarni za.pisi kod nekih naroda Australije i Polinczije.
Neka plemena koriste dva broja i to: 1 = urapun, 2 =
okoza. Ako hoce da oznace tri pomoeu naznacena dva
broja, oni kazu ,,okoza urapun", cetiri - ,,okoza okoza",
pet - ,,okoza okoza urapun" itd.
Takode, neka plemena na jugu zapadnog Irana koriste
binarni zapis, jedan- ,,sakod", dva- ,,ina".
Postoje 42 binarna zapisa kod plemena Australije i
J u:Zne Amerike.
U pojavi dekadnog brojnog sistema presudnu ulogu
su odigrali prsti obe ruke. Gotovo sva deca danas poc.inju
da racunaju prstima.
U nekim delovima srednje Amerike, Sibira i Afrike
koristi se sistem sa osnovom 20. U francuskom jeziku sacuvale
su se oznake dvadesetienog sistema brojeva:
16
80
90
qttalre-vingts =
quatre-vingts-dix
cetiri puta po dvadeset,
cetiri puta po dvadeset
i deset,
91 - quatre-vingts-onze = cetiri puta po dv~ d es et
i jedanaest, itd. do 100.
Osnovna novCa.na jedinica 1 frainak = 20 sua.
Stari Vavi1onci su bili megalomani u svakom pogledu.
Zidali su ogromne kule da bi dohvatili nebo, a imali
su brojni sistem sa osnovom 60 (seksagezimalni). Jedna
manje verovatna. hipoteza o nastanku sistema sa osnovom
60, jeste spajanje dva plemena, jedno je koristilo
sistem brojeva sa osnovom 6, a drugo sa osnovom 10. Kompromis
ova dva sistema je osnova 60. Dr uga hipoteza je
ta da je sistem sa osnovom 60 nastao od toga st o su Vavilonci
godinu delili na 360 dana, ugao na 60 stepeni,
stepen na 60 minuta itd. Najverovatniji razlog upotrebe
sistema sa osnovom 60 jeste taj sto ima najviSe delilaca.
Vavilonci su imali 60 bogova i za svakog imali oznaku
od 1 do 60. Visina zlatnog idola u Navuho don·o .~ orovom
hramu iznosi 60 lakata.
Stari Kinezi su pored slozenih hijer oglifa za 0lnaeavanje
brojeva (tablica 1) u trgovini koristili prostije oznake
:
-· -
I= 1 ; II= 2; III= 3; III!=_ 4; IIIII = 5; I= 6; II = 7; III= 8;
IIII=9; O=O.
--=t, ~.= i,~-3 hJ'=4,Ji..5 fC=s, --t.,='4
J~~' h ="' t =• lf=100 i-r=1ooo
Ta blica 1. Kineske hideroglifske ci.fre
Veliko pr eimuestvo bilo je to sto SU upotrebljavali
nulu.
Takode su veoma rano znali za binarni zapis podataka.
lmali su simbole koji se zovu ze-kim. Simboli su sastavljeni
od 64 figure. Svaka figura je sastavljena od po
6 redova, gde su u redovima isprekidane ili kontin.ui~a ne
duzi. Na sledefoj tabeli su predstavljene prve tri figure,
kao i 64. figura.
lT

0 0-- 0 1
0
< 0 0 1
0 0- - 0 1
0 0 0 - - 1
0 0-- 1 1
0 1- 0 - - 1
Dugo je znacenje ovih crta bilo neobja.Snjeno. U
XVIII veku Lajbnic je protumacio znacenje ovih simbola.
Naime, radi se o prva 64 broja predstavljena u binarnom
sistemu. - - predstavlja 0, a - - 1.
Figure predstavljaju sledece brojeve:
Binarno: 000000, 000001, 000010, . .. 111111
Dekadno: 0 1 2 63
Inace, znaci - - i -- Kine:liima su sluzili za iskazivanje
misli i tumacenje razliCitih pojmova zivota.
Dosta rasprostranjen sistem brojeva bio je sa osnovom
12. Korene vodi, kao i dekadni brojni sistem, od
racunanja pomoeu prstiju. Za sistem sa osnovom 12, koriste
se delovi prstiju izmedu zglobova, kao na slici 2.
Sli.Jka 2. Delovi prstiju izmedu zglobova koriste s e kao sistem
sa osnovom 12
Dvanaesticni sistem se na neki nacin sacuvao i do
danasnjih dana. Cesto se koristi ,,tuce", a to je zamena
za 12 komada necega. Kompleti za rueavanje su najcesce
po 12 komada. Apotekarska funta se deli na 12 unci.
Stopa se deli na 12 palaca, godina ima 12 meseci.
18
Busene kartice koje se upotrebljavaju u racunarstvu
zasnivaju se na kodu duZ:ine 12. U upotrebi su od
1889. g. kada ih je H . . Holerit koristio pri racunskoj obradi
popisa stanovniStva.
Kada je broj prevaziSao moc prstiju i druge delove
ljudskog tela, na5i preci poeinju da upotrebljavaju prve
,,raeunske masine", uvode6i u racun kamencice, stapice,
cvorove ili zareze na stapovima.
Broj prirodnih brojeva postepeno se uveeava, da bi
u treeem stoleeu pre nase ere Indijd upotrebljavali
brojeve bilo koje veliaine. U budistickim spisima spominje
se beskonacno velik:i. broj pomocu koga bogovi raeunaju
svoju prOO.l~ i buduenost.
Euklid (3. vek p.n.e.) dokazuje pootojanje beskonacno
mnogo prostih brojeva.
Evo sta Arhimed (3. vek p.n.e.) ka.Ze u svom traktatu
Brojac peska:
,,Ima ljudi koji misle da je broj zrna peska beskonaean;
a kada govorim o pesku ja podrazumevam ne samo
pesak oko Sirakuze ili na citavoj Siciliji, vec sva
zma peska u svim krajevima Zemlje, bilo nastanjenim,
bilo nenastanjenirn. As ru-uge strane ima i onih koji, iako
ne smatraju da je taj broj beskonaean, ipak misle da se
ne moze navesti broj koji je tako veliki da moze da prevazide
broj zrna peska na Zemlji. I oeigledno, kad bi oni
koji su toga glediSta zamislili masu peska koja je velika
kao Zemlja ukljueujuci sva moca, sve doline ispunjene do
vrhova najvisih planina, bill bi joS vi.Se ubedeni da nema
broja koji bi mogao biti veCi od broja potrebnog da bi se
predstavila tako nagomilana z.rna peska. Ali ja eu poku·
sati da dokazem da medu brojevima koje ja navodim ima
onih koji prevazilaze ne samo broj zrna peska koji bi sacinjavao
masu jednaku po velicini ZeIRlj:i ispunjenoj na
gore opisani nacin, vec cak i broj zrna peska u ma3i velicine
vasione."
Najveei broj koji je postojao u aritmetici stare Grcke
jeste ,,mirijada" - deset hiljada. Arhimed uvodi jedan
novi broj i naziva ga ,,oktada" ili ,,jedinica druge
klase". Zatim ,,oktada oktada" ili ,,jedinica trece klase"
(predstavlja deset miliona milijardi) itd. ,,oktada oktada
oktada" ili ,,jedinica cetvrte klase" i dalje slieno.
U Arhimedovo vreme smatralo se da je vasiona jedna
sfera od kristala za koju su pricvrscene zvezde. Aris-
19

tarh sa Samosa je izraeunao razdaljinu od Zemlje do ivice
kristalne sfere i dobio da je ta razdaljina 10 000 000 000
stadija (oko 150 000 000 km). N

1.3.2 Primeri nepozicionib sistema brojeva
1.3.2.1. Egipat
Stari numericki zapisi do kojih je dosla danasnja civilizacija,
poticu iz starog Egipta oko 3.300 g.p.n.e. Jedan
od naCina pisanja brojeva jeste hijeroglifsko pismo. Njihova
numeracija zasnovana je na osnovi 10. Nutu nisu
imali. Svaki stepen od 10 posedovao je svoju oznaku. Oznake
brojeva date su u tablici 2.
Inace, znak za hiljadu je predstavljao cvet lotosa za
d~et hiljada jedan veliki prst, sto hiljada - punogl~vca
(s1mbol neprebrojivosti), milion je predstavljao boga beskonaenosti,
a deset miliona - Sunce. Cifre su pisane jed­
?a do druge. _J~~naki zna~i grupisani su jedan do drugog
1 to po 4 naJv1se. Na pruner, broj 824 se zapisivao;
22
1 I 100 e
5
HI
~
If
g
'
10 n
15 n Ill
II
!>O
e

1 I 9 1 60 %....
2 '4 10
" 70 ~
3 "'9 11 I}\ 80 ~
4 Y'nJ 15 17\ 90
'I
5 1 20 ..l 100 ~
,.
6 30 ~
r 200
7 ~ 40 L- 400 ,/
-6
8
1...
50 ; 500 /'
Tablica 4. Demoti.Cki za:pis b.rojeva u starom Egiptu
1.3.2.2. Rimski brojevi
Poznato je da pored dekadnog brojnog sistcma ponekad
koristimo i rimske brojeve (njima belezimo mesece,
vekove, poglavlja u knjigama itd.).
Si.mboli tog sistema su jedinica = I, pet = V, deset
= X, pedeset = L, sto = C, pet stotina = D, hiljada
= M. Svaki broj se dobija dmmbinacijom ovih simbola.
Pravila pisanja su:
- ViSe od tri jednake oznake ne mogu se pisati jedna
pored druge.
- Niz istih cifara predstavlja brojnu vrednost jednaku
njihovom zbiru.
- Ako se nade manja cifra levo od vece, onda se
manja oduzima od vece.
- Ako je manja cifra sa desne strane vece, onda se
te cifre sabiraju.
Na primer, 1986 = MCMLXXXVI
Vrednost je M+CM+L+X+x+x+vr
1000 900 50 10 10 10 6
24
Jedan broj u rimskom brojnom sistemu maze da se
napiSe na vise nacina, ali cilj je da se napiSe sa sto manje
cifara. ·
Rimski brojni sistem nema nulu. Veliki nedostatak
mu je sto sistem nije pogodan za aritmeticke operacije u
pisanom oblik.u.
1.3.2.3. Grcka i helenisticka numeracija
Stari Grci koriste dva sistema numeracije: aticki i
alfabetski (jonski). Zapisi atickog sistema potieu iz VI
veka p.n.e. oznake su bHe sledece:
1 1 10 6 100 H
•
'2 II 11 61 200 H H
3 111 15 6r 300 HHH
4 1111 20 6L 400 HH HH
5 r JO 666 500 pr
6 II 40 6666 1CXX> x
7 fll 60 f 6 10000 M
8 1 111 70 F66 5000 r
9 11111 80 f 66 50000 I
Tablica 5. Aticka numeracija
Zapisi su bili slieni zapisima sa rimskim brojevima.
Na primer:
1943: x f"H HHHA/\l\AHI
25

Ovaj sistem zadrZao se u Grckoj do I veka n.e. a
:r.atim postepeno biva potisnut od alfabetskog sistema.
U jonskoj numeraciji slova slu:le za oznaeavanje
cifara. Zapisi brojeva su kraci i funkcionalniji. Takav
sistem numeracije dat je u tablici 6. Za njega se koristi
27 slova grckog alfabeta. Da bi se slovo razlikovalo od
broja, iznad slova koje oznacava broj stavljala se crta.
- - -
1 d 10 (, 100 I' 1000
,ti
f3
t
- -
2 20 I< 200 ~ 2000 I~
- -
3 30
"'
300 T 3000 ,f
I ~
- -
4
~
40 ~ 400 v 4000
-
5 -
£ 50 v 500 5000 ,E
-
'
-
6
-
j 60 600 x. 6000 ,"J
-
7 }
-
70 (J 700 'JI 7000
-
J
8 fc -
80
ri
800 w 8000
- -
'~
j -
9 () 90 ~ 900 9Q0Q I,,.
Tablioa 6. Jonska slovna numeracija
. J.
M
&
M
10000 '2 0000
1.3.2.4. S'Lovenska nu.meracija
Pored alfabetske numeracije starih Grka postojalesu
i slovenska (Cirilica i glagoljica); sirijska; arapska itd.
Tragovi pismenosti starih Slovena datiraju tek iz
druge polovd.ne 9. veka. K.ako su Sloveni naseljavali teritorije
Vizantije, ova je zelela da im nametne svoju kul- ·
turu, organizuje misionarstvo za l'ad sa Slovenima. Prvi.
misionari medu Slovenima bili su braea Cirilo i Metodije.
Za rad medu Slovenima Cirilo sastavlja slovensku azbuku.
Osnova ove azbuke jeste grcki kurziv. Po svoro spolja8njem
izgledu ta azbuka podseea na jevrejsko i gru- ·
zijsko uncijailno pismo. Alfabet koji sastavljaju naziva se
crkveno-slovenski. lstraZivaCi smatraju da su Cirilo i Mc-­
todije sastavljaci glagoljice i Cirilice. Dok je C:irilica uze·
ta iz grckog alfa:beta neizmenj ena, glagoljicna s lova su
stilizovana. Sastav-ljanje slovenske ubuke igra veliku ulo-
, gu u razvoju kW.ture Slovena, a samim tiin pocinje da se·
razvija i matematika. Brojevi se oznaeavaju po uzoru na
grcko alfabetsko oznaeavanje. U tablici 7 dat.o je slovensko
6irilicno oznacavanje brojeva.
1 2 t • f t '1 I I
Preimucstvo u odnosu na aticki i rimski zapis brojeva
je pre svega u kratkoci zapisa, st.o se moze uociti
na primeru zapisa, recimo broja 448 u vidu v'iL11 ..
Alfabetska numeracija starih Grka, u neku ruku, moze
da se naznaci kao pocetak pozicionih sistema. Na primer,
1000 se pise kAo 1, samo sa zarezom ispred slova,
2000 kao 2, sa zarezom ispred it.d. Navedena simbolika
u tabeli 6 davala je mogucnost da se izraze svi brojevi
do 9999. Brojevi od 10 000 nadalje, razlafo se na mirijade,
o cemu smo govorili povodom Arhimedovog racunanja
broja zmaca peska. Evo kako su se pisali brojevi iznad
10 000.
26
11
r
fOO
'J.'ablica 7. Sl

Za oznaeavanje brojeva kod starih Slovena, pre gla­
:goljice i cirilice nije se znalo.
Kod prvobitnog zapisivanja brojeva pomocu slova u
,glagoljici se upotrebljavaju samo ona slova koja imaju
glasovnu vrednost, dok se za cirilicno oznacavanje dopustaju
i slova koja nemaju glasovnu vrednost (predstav­
Jjaju samo cifre). Ta!kva slova data su u tablici 6 i oznacavala
su vrednosti 90 i 900. Kasnije se umesto znaka
'lroj i oznaeava 90 (v. tablicu 6) upotrebljava cirilicni znak
'I, a umesto znaka koji oznacava 900 cirilicni znak l.\.
Da bi se razlikovala slova od cifara, slova koja su
.Predstavljala ell.re bi.la su nadvucena znalrom · 1- 1 · (titlo).
Znak titlo se ne upotrebljava uvek u staroslovensko.i literaturi,
vec se stavlja po jedna tacka ispred i iza slova.
Nu.mericka vrednost slova zavisila je od njegovog
mesta u azbucnom redu. J edinice, desetice i stotine su
bile nadvucene znakom titlo. P.rva eneada (grcki
evYW.
znaci devet) Cini jedinice (1 , 2 ... , 9), druga desetice, a
treca stotine. Ukupno je bilo potrebno 3 X 9 = 27 znakova.
Na taj nacin pisalo se od 1 do 999.
Hiljade su se oznaeavale isto kao jedinice, sa znakom
-=!= ispred slova.
_,,
~ = 7000
,;tl
Desetine hiljada su se oznaeavale kao jedinice, samo
·zaokrufono. Stotine hiljada su se pisale kao jedinice, za­
·Okruzene tackicama. Evo kako su se zapisiv.ali brojevi:
10 000, 20 000, 100 000, 200 000.
0® .. -·~· ·... ...··I)··· ...
.·.... . ·. ........
: " : . .
Milioni su se oznacavali kao jedinice zaokruzene zracima.
Na primer:
:28
Desetine miliona su se oznacavale kao jedinice zaokruzene
krsticima. Na primer:
.......
t r. ; = 20{)()(XXX)
........
Stotine miliona se oznafavaju kao jedinice nadvucene
znakom · ~ · i podvucene znakom · .......... · . Na primer,.
broj 100 000 000 zapisivao se ovako:
ViSeznacni brojevi zapisivani su u redosledu: hiljada,
stotina, desetica, jedinica. Na primer, brojevi 231 i
2 389 678 zapisivani su ovako:
•"'''• .. ® ,..,, ,..J ~
i . . .
;.,~
.. i=· .. f.) H _+ X 0 H
Brojevi od 11 do 19 su se zapisivali kao u tablici 8 ..
f1 f1 ~
Al 1--'
'"
ti 1• 1r 1S 1f
+I
~I Fi Ai 'U :sf ;I ID __,
Tablica 8. Slovensko zapisivanje brojeva od 11 do 19
Vidimo da je u zapisu brojeva 11, 12, ... , 19 prvo·
jedinica pa desetica. Ovakvo oznacavanje je u skladu sa
nazivima 'brojeva 11, 12, ... , 19. Na primer, naziv za broj
jedanaest na staroslovenskom jeziku je jedan na deset,
slicno je i za ostale brojeve do devetnaest (prvo se izgovara
jedinica, pa desetica). Od 21 pa nadalje prvo su se
pisale desetice pa jedinice.
2!l

U praksi, kada su se zapisivali brojevi veci od 1000,

tern sa osnovom 60. Tragove ovog sistema susrecemo i do
dana8njih dana (deljenje vremena na 60 selrundi, 60 minuta
itd.).
Zapis brojeva od 1 do 59 je zapravo ~io. nep?zicio~~·
U tom slueaju brojevi se zapisuju kao u slucaJ1:1 eg1patsk1n
hijeroglifa. Upotrebljavala su se samo dva s1mbola:
\1 = 1

·Kao i kod 60-ifoog sistema brojeva i ovde su postojali
razredi. 20 se oznacavalo kao 1, a linija je znacila 100. To
je bio prvi razred. Dalje, u drugom razredu, tacka je oznacavala
20x20, a linija 2000 iitd. Na primer, broj
41=2x20+1 se pisao • • •. Napomenimo da su Maje imale
i oznaku za nulu (nacrtano poluzatvoreno oko, i1i skolj
ka).
prava ~abakus ~od G~ka, Rimljana i Evropljana, suanpan
ko~ Kmeza, racunal1ka kod Rusa itd.). Aritmetika koja
se izlagala na ovakav nacin zvala se instrumentalna Inace,
svim zapisima cifara prethodila su mehanicka · sredstva
za racunanje (prsti, kamenCici, abakusi itd.).
1.3.3.3. Indijsko~arap sk i sistem brojeva
(Nas dekadni sistem brojeva)
Cifre koje mi upotrebljavamo formirane su vekovima.
Mi svoj dekadni sistem brojeva nazivamo jos i arapskim
sistemom brojeva. Medutim, naucna istrazivanja
nas sve vise vode ka saznanjru da su lndusi, a ne Arabljani
stvo:rili dekadni sistem brojeva, a da su ga Arapi preneli
u Evropu u 10.-12. veku. Zbog toga je bolje ne zvati
ga samo arapskim sistemom brojeva vee indijsko-arapskim.
Na budistitkom zapisu iz 3. veka p.n.e. pojavljuju se
simboli 1, 4 i 6. Na Nana Ghat spomenicima iz 4. veka
p.n.e. nalaze se simboli 2, 4, 6, 7 i 9, au prvom veku nove
ere vec su poznati svi simboli sem za 8. Nulu su stari Indijci
oznaeavali k!ruzicem i[ii tackom, a u sansk:rits.kom
pismu imala je oznakiu ,,prazan". Arapski naucnici prvi
put upoznaju indijske cifre dekadnog sistema u 7. veku,
prevodeci u Bagdadu indijske astronomske tablice.
Najstarij,i rukopisi u Evropi koji govore o indijsko­
-arapskim ciframa nadeni su u Spaniji i poticu iz 976. g.
Smatra se da znaeajnu ulogu u ukorenjivanju indijsko-arapskih
cifara u Evropi igra latinski prevod knjige
arapskog rnatematicara Muhameda Ibn Muse al-Horezmija.
Al-Horezrni je 825. g. napisao knjigu u kojoi izlaze
kako treba da se upotrebljavaju indijske cifre. Oko 300 g.
kasnije knjiga se prevodi.
Dekadna ntimeracija preneta u Evropu posredstvom
A.rapa poCinje bo.rbu za svoju prirnenu. Poklonici dekadne
numeracije su se zvali algoritmici i oni su baratali brojkama
pomoeu simbolike. Protivnici simbolickog racunanja
brojevima su se zvali abacisti. Bili su pobornici racunanja
bez zapisivanja brojeva, uz pomoc mehanickih na-
34
ABAKUS
S1i:ka 3.
Zanimljivo je da je koriscenje abakusa i danas raspros_tranjeno
u Rusiji. Aba~us moze da se nade u prodavmcama,
pored savremenih racunskih masina. Borba
'izmedu abacista i algoritmicara trajala je sve do 19. veka.
P obedu odnose algoritmicar-i. Danasnji dekadni sistem koristi
se sirom sveta. Evo nekoliko zapisa simbola dekadnog
brojnog sistema:
Irak, oko 1000. god.
Egipat, oko 1000. god.
Spanija, oko 976. g.od.
35

Zapadna Evropa, oko 1360. god.
Italija, oko 1400. god.
Dekadni brojni sistem je podesan: zbog t.oga sto _se
brojevi lako zapisuju, a racunsrke rad~Je .se lako ob~vl~aju.
Medutim, tesko je raeuna.ti_ sa bro~ev~ od 10 1 v1~e
cifara. Za racunanje sa velik.im broJevima J:>?godan Je
raounar. Kako racunari iz tehnickih i prakticnih razloga
koriste binairni brojni sistem, m.oze se slobodno reci da
binarnom brojnom sistemu pripada buducnost.
Pored navedenog dekadnog brojnog sistema koji ~~
cifre O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 od kojih se .grade b.ro J~Vl
i cija je baza ili osnova 10, postoje i dl'ug11: Posto1e sistemi
sa osnovom 2 - koriste se samo dve cifre. (0, 1); sa
osnovom 3 - koriste se samo tri cifre (0, 1, 2) itd. Mogu
se konstruisati brojnd. sistemi sa proizvoljnom osnovom.
Uopsteno uzev, vrednost broja AmAm-1 ... Ao u osnovi
B, jednaka je
AmXBm+Am-1XBm- 1 + .. . +A1XB+Ao. (1)
Na primer ako je dat broj (235h zapisan u sistemu sa
osnovom 7 (ov'aj sistero ima samo 7 cifara, 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6), mozemo da ga napiSemo kao
2x7 2 + 3x7 + 5.
Brojni sistemi Ciji su brojevi oblika (1) jesu pozicioni.
1.3.3.4. Prevodenje iz jednog brojnog sistema u drugi
Kada naucimo da prevodimo brojeve iz j~dnog br:'°t
aog sistema u drugi, mozemo se u po~unosti ,,pr7seht~
u bilo koji sistem, mozemo da zaboravimo dekadm br~Jni
sistem i da raeunamo ill brojimo u nekom drugom s1stemu.
·
36
Za nas je bitno da naucimo kako se dekadni brojni
sistem prevodi u bilo koji drugi i obrnuto. Ako prevodimo
bilo koji brojni sistem (razlicit od dekadnog) u bilo koji
drugi (razlicit od dekadnog) posluzicemo se jednostavnim
nacinom prevodeci prvi u dekadni, a zatim dekadni u
drugi brojni sistem.
1.3.3.4.1. Prevodenje celih brojeva (iz dekadnog u bilo koji
sistem)
Na jednom primeru pokazacemo kako se dekadni sistem
prevodi u hinarni i pravilo uop5titi.
Primer: prevest:i broj 289 iiz dekadnog u bilnarni brojni
sistem. Gornji tekst pisemo u oznaci (289) 10 ~ ( ? ) 2 •
Nacrtajmo i objasnimo semu prevodenja.
Rezultat je
2s9 I 144 I 12 I 36 11 s I 9 I 4 I 2 I 1 I o
1J01010 1011101011 1
(289)10=(100100001)2.
Cita se: broj 289 u dekadnom brojnom sistemu ima vrednost
,,jedan nula nUJla jedain nula nula nula nula jedan"
u binairnom brojn

Primer: prevesti dekadn'i broj 327 u okta1ni (osnova
8). P.revod izgleda:
327 140 15 l 0
1 l o ! s l
Drugim recima (327) 10 =(507)e.
1.3.3.4.2. Prevodenje razlomljenih brojeva
(brojevi oblika O.C 1 ~C 3 • • • CM)
Primer: prevesti 0.25 iz detkadnog
sis tern. Serna prevodenja bi izgledala:
0 j 25
I O 150
i 1 00
r ezultat je (0.25) 10 =(0.01)2
u binarni brojni
Prevodenje se vrsi tako sto se vrsi mnozenje osnovom u
koju .prevodim.o. Sa desne strane verrtlilkalne crte u semi je
razlomljeni deo, a sa leve su celi delovi (prenos mnozenja).
Serna se dobija: 25X2=50, nema celih delova. Dalje:
50X2=100, zna.Ci, dve nule su ostale sa desne strane crte,
a 1 kao prenos sa leve. Sa mnoienjem se staje kada su
sa desne strane crte nrule. Rezultat se cita odozgo nadole.
Iza decimalne ta.Cke se p.i.Su cifre ispod hor~zontalnP. crte
(odozgo nadole).
Primer: prevesti 0.4 iz dekadnog u binavni brojfl1i s

Sledi prevod (100100.1101lh:=(36.84375) 10 •
Primer: broj (253) 8 iz oktalno.g brojnog sistema prevesti
u binarni.
Jedan od nacina je da oktalni broj prevedemo u dekadni,
a ovaj u binarni.
(253) 8 =2 xa 2 +5 x 8 1 +3=(171) 10 •
Prevedi.mo sada 1 71 iz dekadnog u binarni
111 I ss I 42 I 21 I 10 i s I 2 I 1 I o
--
Sledi {l 71) 10 =(1010101lh
•I 1 1 °1 •I 0 1 1 1°1 1 1
Resenje zadatka je (253) 8 =(10101011) 2 •
Zakljucimo: kada se preV'Odi iz biJo okog sistema u
dekadni, cifre sistema koj.i prevodi.mo mnozimo sa njegovom
osnovom stepenovanom na odgovarajuce stepene
(pozicija cifre) i to saberemo, kao u navedenim primerima.
Racunske operacije se sprovode u dekadnom brojnom
sistemu.
1.4. 0 NULI
Vee smo videli da nula nije postojala oduvek. Nula
je vafoa tekovina pozicionih sistema. Stari Vavilonci
nisu znal.i za nwu iako SU imali pooiicioni sistem. Mesto
nule zauzimao je veCi razmak medu ciframa. Da se podsetimo,
da kod pozicionih sistema cifre nekog broja pored
cifarske vrednosti imaju i pozicione vrednosti. Na
primer, broj 72 ima sedam desetica i dve jedinice. 702 ima
sedam st.otina 1 dve jedinice. U drugom slucaju vidimo da
je nula bitna u o~acavanju mesta desetice kao nepostojece.
·
Oko 300. g.p.n.e. Vavilonci veci razmak medu ciframa
na glinenim ploeicama zamenjuju znakom koji upotrebljavaju
za odvajanje izreka, a t.o su dve tacke.
Po jednoj hipotezi, znak za nulu prvi je upotrebljavao
grcki astronom Klaudije Ptolomej (oko 100-173 g.).
40
U papirusima ptolomejske epohe mogu se naci sledece
oznake za nulu:
0 0 0
> c. 0 0
Inace, upotrebljavala se oznaka slova ,,0" (omikron),
kao prvog slova gr.Cke reci ou6€v sto znaci ,,nista".
Indusi, tvorci dekadnog brojnog sistema, nemaju odmah
u upotrebi nulu. Najranije oznake za nulu kod Indusa
susrecu se u IV veku nase ere. Tada je nula imala
oznaku tacke i malog kruga. Kasniji zapisi na kojima su
nadene oznake za nulu potieu iz 683. i 686. godine, a nadeni
su u Kambodzi i Indoneziji. Kinezi pocev od 13.
veka umest-o nule upotrebljavaju prazan prostor.
Arabljani su zasluZl'li za prenos decimalnog brojnog
sistema u Evropu. Da su bas oni uticali na taj prenos govori
nam naziv za nulu. Indusi su upotrebljavali termin
sunya (praza.n). Arabljani ovaj termin prevode recju
as-sijr (prazan, cifra). Jos u 10. veku nula se oznacava kao
krug. U Evropu stiJZe u 14. velru, ipa ai1gorri.tmiear.i ipocinj
u da je nazivaju ciffra, ciffre, cyfra, nihil, nullu,s circulus
itd. Znaci 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 su se zvali ,,figure".
Termini ,,figure" i ,,cike" se upotrebljavaju sve do 18.
veka.
Leontij Fli.Jipovii.C Magrui.cki (1669-1739) (v. [5~]) u
svojoj aritmetiai ik.a~e : ,,Svi se brojevi sadde u 10 znakova
ili fjgura, od njih 9 imaju svoj naziv, poolednji pak 0,
zove se ili ,cifra' ili nikako".
1.5. ZAKLJUCAK
Umesto zakljucka do sada iznetog, navedimo safote
i jezgrovite reei ruskog istorieara N. M. Bubnova (1858-
1943):
,,Go i mracne duse pojavio se eovek na zemlji. On se
sam posle

odavde, opet bez mudraca, aritmetika pismena po tipu,
ali sa znacima instrumentalne. Da se eovek r odio sa 6
prstiju, aritmetiika bi bila dvanaestiena, sa jedanaest cifara
umest.o deset i dvanaest.om nulom. Razvoj je ovde
isao lagano, automatslm i logieno, a najistaknutiju ulogu
u tom razvoju imali su Grci."
,,Zgodno, jednostavno, genijalno, a nema kome da
se podigne spomenik !"
,,Ne samo vekovi, - prosle su hiljade godina pre nego
st.o je dekadni sistem, izgraden na anaromske>j specificnosti
eoveka, na njegovom primitivnom racunskom instrumentu
- sac.i sa pet prstiju, dobio odgovarajuci izraz
u ·reeima, u jezicima kulturnih naroda, u njihovim
brojevima. Bilo je patrebno ne manje vremena i za to, da
se tom dekadnom sistemu koji je u reCima vec bio ostvaren
da verna slika, f.otografski taona kopija u pismu. Da
je to bilo mogucno i da je uOi.njeno di'I'ektno, sa r eci -
na hartiju, bez posrednis.tva instrumentalnog raeunanja,
to bi rnogao da uradi sarno neverovatni titan stvaralacke
snage i polubog uma, jer bi u tom slueaju to bilo delo
lienog stvaralaStva . . . ali nasa je aritmetika cedo instrumentalne
aritmetike, koje kao ~ver , ne pada daleko od
klade.
Iristrumentalna aritmetika je delo nar-odnog stvaralastva,
kao mitologija, kao epos" (v. (52]).
Pitagora (580-500 g. p.n.e.)
42

II
PITAGORA I PITAGOREJCI
2.1. UVOD
Ljudi su oduvek razmisljali o pojavama u prirodi,.
odakle su, i kuda idu. U razlicitim epohama razvoja nalazili
su razlicita tumacenja. Ne znajuCi da objasne grmljav,inu,
zemljotrese, duvanje vetra itd. izmiSljali su razne
bogove kao uzroenike tih pojava.
Stari Grci (poeev od 6. veka p.n.e.) cine prekretnicu
u objasnjavanju pojava na zemlji i oko nje. Koriste svoj
razum i razumom poku$avaju da poveZil uzroke sa posledicama.
Za njih priroda nije haotiana, vec je stvorena po,
nelrom planu. Prvi koji daju racionalno obja$njenje pojava
U prirodi bi]i SU filoz.ofi 1onske skole iz 6. veka
p.n.e. (Tales, Ana:ksimandar, Anaksimen, Heraklit i dru·
gi). Oni za osnovu svega postojeeeg uzimaju konkretnu
materiju. Za Talesa, na primer, sve potice iz vode.
Misticne pojave pCinju da se objasnjavaju razumom.
Sve se viSe uvti.da da jedino matematika moze da ob­
. jasni plan po koine je stvorena vasiona. Prva skola, mozese
reci prva naucna Skola, koja matematicki objasnjava
vasionu, bila je ipitagorejska skola.
2.2. ZIVOT I ZIVOTNI NAZORI
Da Ii je Pitagora ,postojao ili ne, pouzdano se ne zna,
ali mnoge stvar.i vezane su za ime Pitagore. 0 Pitagori
su priCali drugi od kojih i saznajemo za njega i njegove·
ucenike i sledbenike - pitagorejce.

Po reCima Hermipa, Pitagora se rodio oko 580.
,g.p.n.e. Sin je peeatoresca Mnesarha sa Samosa, i1i iz Tirene
po pricanju Aristoksenovom. Kako priea Herodot,
ima~ je roba Zamolksisa, kao i dva brata, Eunoma i Tirena.
U svojoj mladosti Pitagora mnogo putuje u 2elji da
sto viSe nauCi i sazna. Narocito je mnogo proboravi0 po
·vavilonu i Egiptu. Antifon u svom spisu 0 najistaknu.ti-·
jim ljudima kaze da je Pitagora naucio jezi:k Egipcana.
Narocito su ga fascinirala misticna znanja tadasnjih egipatskih
svcitenika. Inace, tvrdi se da je u Egiptu ziveo
oko 22 godine.
Na Samosu osniva filozofsko-mattematicku skolu. Oko
·sebe je okupio oko 300 ucenika. Pitagorejci su smatrali
da drfavom treba da vladaju najbolji lj-udi - aristo­
-krati.
Prema Tecima Heraklida Pontskog, Pitagora je tvrdio
da je pre rodenja boravio .na zemlji i da mu je bo­
_fanstvo ponudiJo da u novom Zivotu izabere dar koji god
zeli, izuzev besmrtnosti. On je trazio da to bude secanje
na prethodni zivot. To je, kako kaze, Pitagora i dobio. Seeao
-Se i prieao o prethodnim seobama duse, dok nije do­
·speo do Pitagore kakav jeste. Evo i nekoliko zivotnih na­
·cela o kojima saznajemo iz spisa koje su najverovatnije
pisali njegovi ucenici.
- Covek ne treba da preteruje ni u jelu ni u picu.
- Lj-ubavnim uzivanjima predavati se samo zimi,
·nikako leti, zbog zdravlja.
- Prijateljima je sve zajednicko.
Ovo poslednje naeelo pitagorejci SU doslovno prime­
:-njivali. Ziveli su u bratstvu koje je imalo zajednicku
imovinu ~ delili sve. Soba u kojoj je predavao Pi.tagora
,bila je podeljena na dva dela. U jednom je bio Pitagora
:Sa naprednim Ucenicima, a U drugoj SU bili akusticari,
oni koji su mogli samo da ga slufaju, a nikako i da ga gledaju.
O:ni su morali da cute 5 godina i da ga slufaju, ne
gledajuC.i ga.
Kako je Zevsov skiptar bio izgraden od eempresa,
-oni nisu smeLi da imaju mrtvacke sanduke od ovog drveta.
Smatrao je da zivotinje imaju dusu i zato je zabra­
-njivao

ta. Svako telo se, po njima, sastoji iz fundarnentalnih
cestica, ,,jedilnica", koje u razlicitim kom'oinacija.ma daju
razlicite geometrijske figure. Suma tih jedinica daje
materijalni objekat.
Pitagorejci su bili prvi matemaiticari, o cemu nam svedoei
Aristotel u svojoj Metafizici (v. [ 3]). On kaze: .
,,Za vreme i pre ovih (Leukipa i Demokrdta) takozvam pitagorejci
prihvatili su se matematike prvi, negujuci je
napredovali u ovoj oblasti i uzimali da su nacela matematike
nacela svega".
P itagorejci su u brojevima trazi:li svet. Svet je potcinjen
ist.om zakonu kome SU potcinjeni brojevi. Citavo
nebo je ,,harmonija i broj". Ako se javi neka praznina u
nji hovom sistemu, oni vrse potrebna dodavanja. Na primer,
dekada je savr$en broj, pa obuhvata celokupnu pri·
rodu. Po njima, postoji 10 nebesk.ih tela. lako se vide samo
9, oni dodaju i deseto - antizemlju.
Po njima, brojev.i predstavljaju prve stvari u prirodi.
Verovali su da su brojevi osnove svih stvari i da
su nebesa sva od muzicke skale i brojeva.
Plitagorejska aritmetika je uglavnom mistiena. Brojeve
dele na: parne, neparne, parno-neparne, neparno-neparne,
proste i slozene, savr$ene, prijateljske, trougaone,
cetvorougaone, pet.ougaone itd.
Brojevima povezuju ariitmetiku i geometriju. Postoje
~iWVi brojeva koje moiemo smestiti u geometrijske
oblike. Takvi su ,,trougaon:i", ,,kvadratn i", ,,petougaoni"
itd. Nazivaju se jos i figurativnim. Brojevi su apstrakt­
~i pojmovi, a objekti konkretna realizacija broja. Prikazemo
li brojeve tackama, oni izgledaju:
trougaoni:
• 1,
cetvorougaoni:
48
•
• • 3,
• •
• 1,
· -~ 4,
•
• •
• • • 6,
61. 4
• I • I
•- • T
· - · - · 9,
St 5
petougaoni:
SL 6
sestougaoni:
Sl. 7
1=1
•
1+2=3
• •
1+2+3=6
• • •
• •••
10, itd.
1+2+3+4=10
Cetvrti po redu_trougaoni broj
•
• • •
I I
·-· .
• •
I
• • •
·-·-·-·
I
· - · - ~ • t
16, itd.
Figure su starije od pitagorejaca. Nadene su na keramici
iz neolitskog doba. Pitagorejci su figure pravili od kamenciea.
Istieuci ooobine brojeva, pitagorejci su u njih
uneli misticizam.
Vidimo da su trougaoni brojevi gradeni dodavanjem
uzastopnih redova taeaka. Svaki nov·i red ima po jednu
tacku vise. Trougaoni brojevi su zbir uzastopnih prirodnih
brojeva koji cine aritmeticku progresiju.
• • • •
zove se tetraktis. Pitagorejci su se uz pomoe tetraktisa zaklinjaJ.i
u euvanje tajni. Evo kako je izgledala ta zak-
49

letva: ,,Zaklinjem se onim koji je naooj dusu otkrio tetraktis,
u lrome su ~zvor i koren vecne prirode" (v. [ 47]).
Molitva pitagorejaca je izgledala:
,,Blagoslovi nas bo:fanski broju, ti koji si stvorio bogove
i ljude ! 0 sveti, sveti tetra.ktise, ti koji saddis koren
i izvor veenog toka stvaranja! Jer bofanski broj pocinje
oistim i dubokim jedinstvom ·i doseze sveto cetiri;
potom stvara majku svega, koja sve povezuje, prvorode­
_nu, onu koja nikad ne skreee, koja se nikad ne zamara,
sveto deset, lroJe drii lcljuc svih stvarti" (v. [47]).
Kvadratni brojevi SU, kao sto smo vec videli, predstavljeni
tackama poredanim u obliku kvadrata. Saberu
li se po linijama (sl. 5), vidimo da su oni zbirovi neparnih
brojeva, koji takode cine aritmetiaku progresiju. Sva­
.ki od njih je kvadrat.
l=l
1+3=4=2X2
1+3+5=9=3X3
1+3+5+7=16=4X4
Broj Clanova svakog .reda jednak je broju koji se

jeV•i SU zensk.i brojevi, pa j~ 2 uje?i:o pn:i ze~s~ broj.
Inace, parni brojevi su po p1~agore~c1ma zh br0Jev1. D~a
predstavlja mrisao i liniju. I Jedi:to I dr_ugo ~u ,, bez~~ameni
i neodredeni". Broj 3 je prv-1 muS'ki broJ, ,,sadrz1 pocetak,
sredinu i kraj". 4~2X2: _ To je broj ,,~rav_?e" . Jednak
je proizvodu dva br~Ja ~OJ1 u .po~os~. drze ~avnoteiu
jedan drugom. BroJ 4 Je prv1 bro1 delJ1V n~ Jed~ake
delove. 5 predstavlja broj ,,braka". Jednak 1e zb1ryu
broja 2 - prvog zenskog h;oja i ~roja. 3 - ~rvog. mus_­
kog broja. 6 je broj posvecen _dusi. 7 ]e hV?J nev1.n?sti.
Nije nii cinilac ~i proizv~ bro~eva do 10. ~~tago~e)Cl _su
uocili da cela pnroda odISe broJem 7. 8 sadrz1 ,,taJnu lJubavi
i prijateljstva", prvi je kub 2 X 2 X 2. 9_ je br_o.i ~at
e.rri.Je. Prvi je kvadrat neparnog broja 3. 10 1e bro1 ko.11m
se i.zraZava materija.
Po pitagorejcima, prkodni brojevi se dele na parne
- ,,Zenske", koji su zli, i na neparne ,,muske", koji su
dobrd.
Broj je ,,savrsen '', ako je suma sv·ih r;jeg~h ~elite~
lja ravna tom broju. Na primer, 6 je savrsen, Jer nJegov:
delitelji 1 2 i 3 kada se saberu daju broj 6. Slieno je i
sa brojem'. 28. ,,Nesavr8eni" su oni ciji cinioci daju zbir
manj.i od samih brojeva. Takav je broj 14 (1+2+7 < 14).
Izobi1ni" su oni Ci.ji zbir Cinilaca prevazilazi same bro·­
J'eve. Na primer, takav je broj ~2 (1~2+~+~+~>12).
Brojevi su ,,solidarni", ako )e zbrr dehtelJa 1ednog
jednak drugom broju, a zbir delitelja drugog jednak prvom
broju. Na primer, 220 i. 284 su ,,so1idami' ~ ~elitelji
broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, ~5 i 110.
Njihov ZJbir je 284. Slieno, delitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71
i 142. Njihov .zbir daje broj 220.
Broj 36 je uzivao poseban tretman kod piJtagorejaca.
Taj broj je za njih bio ,,fascinantan". Sa jedne strane
on je jednak zbim kubova prva tri broja
!3+23+3 3 =36
a sa druge, zbir prva 4 parna i prva 4 neparna broja, tj.
(2+4+6+8)+{1+3+5+7)=36. Pitagorejci su .brojem 36
iizl'li.cali straSine kletve. Takode, po miSljenju pitagorejaca,
svet se zasniva na prva 4 parna i prva 4 neparna
broja.
Pitagorejci SU zacetnioi tajnog drustva, ciji je cilj bio
moralno spasenje. Kada se neko primao iu drustvo mo-
52
rao se zavetovati na eutanje od tri godine. Tokom renesanse
broj 1095 (3 X 365) smatrao se za broj cutanja.
P 1tagorejci nisu smatrali da stvari mogu da budu
prikladno opisane brojevima, vee su smatrali da su stvari
u sustini brojevi. Koreni kasni~ ih tvrdenja da univerzum
mora da bude ureden matematicki skladnim puteni,
nalaze se upravo u pitagorejskoj filmof.iji.
Pitagorejci ili bliZi sledbenici uvode sistem zaplsivanja
brojeva slovima grckog alfabeta (videti tablicu 6).
Pitagorejci ustrojavaju sve vidove pravilnfo poliedara
: tetraedar, oktaedar, ikosoedw-, heksaedar i dodekaedar.
Resivsi p.itanje pravi1nih mnogouglova i poliedara pitagorejci
im, zbog njihove praviln~i, prtlipisuju atribute
,,kosmickih figura". Tetraedar je predstavljao ,,vatru", oktaedar
,,vazduh'', ikosoedar - ,,vodu", heksaedar - ,,zemlju",
a dodekaedair - ,,vasio.nu".
P.itagorinim imenom oznacena je znamenita Pitagorina
teorema (kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata
k ateta kod pravouglog trougla).
Dokaz ove teoreme pripisuje se Pitagori, mada se za
nju znalo mnogo ranije. 15 vekova pre njega Egipeani su
znali za ovo pravilo. Zahvaljuj,uci tome, lako su konstruisali
pravougli trougao Cije su katete duzine 3 i 4, a hipotenuza
5. PodeHli su kanap cvorovima n a 12 ;ednakfo
delova, zaboli kocice kao na sl. 10 i tako dobHi pravougli
trougao.
SH.Ira 10. Starii egi.pcani su znali za Pitagorino pravHo
Egirpatske gra devine su svuda sadrfavale p rave ug-·
love i vrlo je bilo znaeajno kako ih dobiti.
Boraveci u Egiptu, Pitagora je video kako ~n i dobijaju
pravougle trouglove u pojeddnaenim slu c~ j evm1.~. Uocio
je d a prav-ilo maze da se primeni na b1lo ko]J trougao
i to doka,zao.
53

Pored Pitagcmine teoreme, Pitagorinim imenom su o~-:
naceni Pitagocini brojevi (prirodni brojevi x, y i ~ kO]l
zadovoljavaju Pitagorinu jednacinu
x2+y2=Z2).
Za ove brojeve interesovaioi su se Vavilonci 2000 g.p.n.e.
Kao simbol aristokratije p~tagorejcima je sluzila geometrijska
sredina X: Z=Z: Y. NaroCito su se bavili izueav.anjem
geometrijske sredine jedinice i dvojke, tj.
1 :Z=Z :2, tj. Z=l~
Ovo ih dovodi do iracionalnog broja. Geometrijska
sredina 1 i 2 ne izrafava se ,,brojem". Naime, za njih su
postoja1i samo racionalni brojevi. Kako su numericke probleme
re8avali goometrijskim putem, ispitivanje geometrijske
sred~ne 1 i 2 dovodi ih do izueavanja odnosa dijagonale
i stranice kvadrata. Ako je stranica kvadrata 1,
onda odnos dijagonale i stranice ne moze da se prikaze
njihov.im brojevima (racionalnim).
Svet je za pitagorejce bio izgraden od jedjnica, a jedinice
su bile taCke koje imajru veliCinu. Sva!ka duz bila
je sastav>ljena od konaOn.og broja taeaka (ako bi ih bilo
b~aeno, onda one ne bi imale veliCinu). Svake dve
duzi su, prema tome, mogle da se uporede .prema broju
tacaka. Medutim, oni nisu na8li nijednu dui koja bi mogla
da se sadrii ceo broj puta i u dijagonali i u stranici kvadrata
(stranica i dijagonala su inesamerljive). To je udarac
njihovoj filozofiji. U svetu za koji su on.ii mislili da
ne postoji ni.Sta sto ne moze da se d·zrazi njihovim brojevima,
pojavljuje se koren iz dva koji ne moze da se izrazi
nikakv•im odnosom dva prirodna broja (racionalnim
brojem).
54
1
1
Slika 11. Pitagorejci D;>ronalaze iraciona1an broj X=Y2.
Ariistotel u svojoj Analytica priora, govoreci 0 metodi
reduct i o ad absurd um (v. [20]), navodi sledeci
dokaz o nesame~ljivosti dijagonale i sitranice kvadrata.
,,Neka je taj odnos P : Q, gde cele brojeve P i Q mozemo
smatrati uzajamno prostim. 'Eada je
p2=2Q2
To znaci da je P 2 , pa samim tim i P, paran broj, tj. P=2R.
Tada Q mor:a biti neparan broj, ali kako je Q 2 =2R ~, to i
Q mora biti takode paran broj."
0 svom otkr!icu pitagorejci SU dugo eutali. Govori
se da je tajnu otkrio ucenik pitago~ejsike skole Hipas. Kako
SU svi ucenici po stupanju u skolu davaH zavet o cuvanju
tajne, to je ,,svaki pokusaj odavanja kafojava0
bog". Legenda kaze da je, kada se Hipas vrafao kuci brodom
preko mora, ·bog mora Posejdon poslao stra5nu buru
i uniStio ga zajedno sa ladom. Ovu legendu izmisli su
sami pitagorejci koji su ubili Hi.pasa u oilju zastite svojih
otkriea.
2.4. ZNACAJ PITAGORE I PITAGOREJACA ZA
RAZVOJ MATEMATIKE
Pitagorejci pridaju maternatici veliki znaeaj. Kako
je njihova matematika u sustini mistiena, oni je podi2u
na jedan visi, apstraktniji nivo. Kada pojavne stvari dodeljuju
brojevima, on~ otkrivaju kvalitet tih stvari. Mozemo
reci da SU zacetnici toorije brojeva.
Od nj1ih potice teza da se priroda i njeni .zakoni mogu
opisati jezikom matemaitike. Tu te:zru koristili su matematieari
svih vremena.
Bitagorejci iizucavaju svojstva brojeva, a ne praktieni
ra:cun. To je ono sto Cini P.itagoru i njegove sledbenike
znaeajnim. atagorejci prvi vrSe klasifikaciju brojeva.
Ta klasifikacija je lli geometrijska interpretacija, ili filozofsko-mistiena.
Mistieno znacenje hrojeva je u krajnjem
slucaju koei1o- 'l'azvoj matematike, dok geometrijsko
znacenje doprinosi njenom razvoju.
Mnoge cinjenice iz teorije brojeva utvrduju bas pitagorejci.
Nj!ihovo predstavljanje brojeva preko geometrijskih
figura dovodi do saznanja da je suma neparnih
prirodnih brojeva uvek ravna kvadratu nekog broja (kva-
55

dratnom braju) i obmuto. Skola pitagorejaca razvija geometrijsku
aritmetiku, a iz nje postepeno izrasta georne-
1rijska algebra. Karakteristi'ka geornetrijske algebre bila
je ta, sto je, usled nedootatka odgovarajuCih oznaka, sve
predstavljano geometrijski. Na primer formulu ,, kvad~at
sume dva broja" (u nasem predstavljanju (a+ b)2 =a::+
+2ab+b 2 ) oni predstavljaju kao na sl. 12.
A
B AxB
A 0
Pitagorerjci s ~ znali za aritmeticku (z=_(~_+y) i~ ), g~
1
ometrijsku (z= l' xy) i harmonijsku (2/z=l/x+lly) sreiinu.
Dokaz Pit.agorine teoreme bio je epohalan za geometriju
staroga veka sa posledicama koje se protefo kroz geometriju
svih vekova.
0 otkriCu kacionalnog broja vec je bilo reci. Velika
0
je steta za matematiku sto se o ovom otkrieu dugo cutalo,
ali znaeaj ovog otkriea za matematiku je epohalan.
Kod pitagorejaca se javljaju prvi pojmovi o kretanju
nebeskih tela. Kako svode muziku i astronomiju na
broj, to ove sa aritmetikom i geomeitrijom cine matemat
icke discipline. Sve do srednjeg veka ove discipline ulaze
u opsteobrazovne - obavezne predmete. U srednjem
veku aritmetika, geometri:ja, muzika i astronomija Gne
kvadrivijum.
Sli:ka 12. ,.Kvadrat sume dva broja" pitagorejci predstavljaju
geomemjsk6.
Zahvaljujuci geometrijskim dokazima numerickih karakteristika,
zacinje se deftnicija povr8ine kvadrata i pravougao:nika.
ZahvaljujuCi geometrijskom predstavljanju
brojeva (kvadratni, 1Jrougaoni . . . ) zacinju se pitanja pravilnih
mnogouglova, a zatim i pravilnih poliedara.
P.itagorejcima je bila poznata teorema o jednakostima
t rouglova. Znali su o paralelama, o sumi uglova u
trouglu. Nj:ima se pripisuje dokaz tzv. ,,Pitagorine" teoreme.
Pitagorini ucenici SU prieali da je Pitagora, otkrivsi
teoremu, prineo kao zrtvu bogovima 100 bi.kova u znak
zahvalnosti. Medutim, ta teorema bila je poznata jos u
starom Vavifonu u vreme Hamurabija (18. vek p.n.e.) i
Egiptu.
P.itagorejoi su imali veliku zaslugu za usavr5avanje
naucnih metoda za re8avanje matematickih problema.
Uvode va:Znu osobinu u matematici, a to je rasudivanje.
Uv;idaju da se matematika bazira na strogim dokazima, a
to je ono sto matematiku svrstava u red nauka.
56
57

III
MATEMATIKA I OKULTISTIKA
3.1. UVOD
Goru6a zvezda od koje je kasnije stvor ena glava magarca
N aziv ,,oku1tb~ana" dolazi cx:l lati.nske r~i occultu""
- tajni, skriven. Postoje umoge tajanstvene pojave koje
uticu na fovelrn i ockeduju njegov Zivot. Tajanstvene
pojave najce8ce prevazilaze foveku ·poznate fiizioke (parafizi&e)
i psihieke (parapsihicke) zakone. Za okultiste te
pojave ipak nisu natprurodne, ne su prirodne, desavaju
se, ali mi ne mozemo ekspel'imentalno da ih potvrdimo.
Okultizam otkriva te pojave.
Kroz vekove, veli'k·i doprinos razvoju matematike, a
naroCito ari1metike daju i ra:m.a verovanja u brojeve.
Broj je moean. Njemu se neizmerno veruje. Postoje
tajne ruti koje povezuju brojeve kroo zaikonitosti pred kojhna
zastaje ljudski duh. Razmisljajuci o brnju, pitagorejci
su ga ~filcovali, all W.towemeno su i zaceli nove·
matematicke discipline. U poeetku je mistifikacija broja
podsticana radi razvoja matematike. Kasnije, mistifikovani
broj je koenica daljem razvoju. Na8 cilj nije da mistifikujemo
broj, vee da pokazemo gde sve on ucestvuje. Hteli
mi ili Ille, okultno macenje broja pripada njegovoj istoriji.
Godine 1530. izlazi delo De occu.lta philosophia od
Agripe iz Neteshajma (16. vek). Evo §ta on kaze:
,,Maitematicke nauke su, •kao pretoce magije, ovoj toliko
potrebne, da svako ko ne veruje kaiko ce be'Z ovlada-·
vanja njima moci da se baVii magijskdin ve8tinama, ide
potpuno ipogre8nim putem, uzalud se napreze i nikad ne·
dolazi do rezultata. Jer sve sto moze nastati..od ukrocenih
prirodnih sila, sastoji se konaeno od brojeva, utega, mera,

harmonije, kretanja i svetlosti i zavisi od tih !aktora''
(v. [47]). 1 . b d . t
u bi ti je eoveka da zeli da sazna ~. a~tiit1:1 u u,~nos .:
Ljudi su oduvek trazili neke_ ,,z:ia~?ve 1 ,,sunbole ko)l
su se reflektovali na dogadaJe iz z1vota.
Simboli su se nalazili na dlanu, ·u solji, u rasporedu
karata, zrnevlja, ugljevlja itd.
Jedna od najstarijih okultnih vestina jeste numerologija.
U stara vremena numerologiju s_u ~oristili :a. predskazivanje
buduenosti. Kasnije se konst1 kao vest:1~a z~
tumacenje karaktera lienosti. Analiza karaktera hcnosti
vrsi se uz pomoc brojeva.
U najkracim c:rtama izmosimo numerolosku ieori.j ·~,
jcr bi za detaljniju obradu ove teme morala da se p1se
poscbna knjiga. . •
Zanimljivo je da napomenemo da se o~ulimm _ve~tinama,
a narooit o numerologijom, bavio Cheno. Cheno .ie
zapravo pseudonim c":oveka lmji je postigao n epodeljen:i
slavu svojim knjigama o okultnim vestinama. Otkrio je
svoje ime kada je postao slavan kroz svoja dela. Bio je
to crrof Luj Amon (Louis Hamon).
0
Predvideo je datum smnti kraljice Viktorije, g_odinu
i mesec smrti kralja Eduarda VII, kao i dogada.ie u
karijerama raznih poznatih lienosti. Zanimljivo je i to da
je 22 godine ranije predvideo g~inu smrti lorda Kici~~ra
(Kichener) i to da nece umret1 u 66. g. kao vo1mk,
sto se ocekivaLo, vec da ce smrt naci u vodi, sto se i desilo.
Lord Kiciner je potonuo zajedflo sa brodom, u pr~
vom svet.

stimo jednu drugu, staru, tablicu na osn~vu koje se izraeunava
vrednost svacijeg imena i prezunena.
Za broj imena se uzima broj koji se dobija kada se
.numericke vrednosti slova imena i prezimena saberu.
Tablica po kojoj raeunamo broj imena izgleda:
1 AFNV
2 BGNJ Z
3 CHOZ
4 CIP
5 CJR
6 DKS
7 D2LS
8 E>LJT
9 EMU
"Na primer, broj imena za Dusana Jovica je 42, naime
DUSAN JOVIC
69711 53145
Saberemo li ove cifre
6+9+7+1+1+5+3+1+4+5=42
Primarni broj je 4+2=6. Idealno je, ako bi se primarni
brojevi imena i rodenja poklapali, jer tada ,,jacaju karakteristike
s teeene rodenj em". 0 tumacenj u karaktera
_pomocu brojeva imena, govoricemo kasnije.
4. Kako se tumace primarni brojevi?
Iznooimo tumacenja primarnih brojeva 1-9.
Svaki je broj povezan sa nekom planetom. Mesec i
·Sunce su nekada smatrani planetama, pa su i njima do­
·deljeni brojevi. Evo tumacenja primarnih brojeva:
1 Ovo je broj Sunca. Ovaj broj predstavlja sve
sto je pozitivno, individualno i kreativno. Osobe ciji je
primarni broj rodenja 1 u svom radu uvek teze da budu
I
.
"
kreativne, jake individualnosti, kao .i otkrivalackog duha.
Ambiciozni su, za njih nema padova, rodeni su vode u
svakom poslu kojim se bave. Obieno najva:Znije planove
i ideje s.prov·ode u danima Ciji se datum poldapa sa primamim
brojem 1. Osim sa svojim brojem, tzv. broj 1 dobro
se slaze sa osobama rodenim 2, 4, 7, 11, 13, 16, 20,
22, 25, 29. i 31. u meseou.
Najsreeniji dani u nedelji za osobe broja 1 jesu nedelja
i ponedeljak, a posebno ce btti sreean jedan od tih
dana, ako se i datum Ciji je primarni broj 1 poklapa sa
tim danima. Boje koje najvi.:Se odgovaraju osobama sa
primarnim brojem 1 su tamnozlatna, fota i bronzana.
Od dragog kamenja najviSe im odgovaraju topaz, cilibar,
:Zuti dijamanti i sve kamenje takvih boja.
Jedan od najve6ih vojskovoda, Aleksandar Veliki, roden
je u primarnom broju 1.
2 Ovo je broj Meseca. Brojevi 1 ti 2 su suprotnog
karaktera, pa S U dobra kombinacija. Po pr.irodi, ljudi ciji
je broj rodenja 2 ne:lni su, romantieni i umetnicki nadareni.
Inventivni su kao i 1, all ne sprovode svoje ideje
po svalru cenu. Vise se oolanjaju na mentalnu nego
na fizi6ku snagu.
Ove karakteristilke najizrazitije su za rodene u primarnom
broju 2 koji pada izmedu 20. jn.ma i 29. jula.
Sreeni dani su im nedelja, ponedeljak i petak.
Posebno su im ti dani srecni, ako se datumi tih dana
po.klapaju sa brojevima ci.ji je primami broj 2.
Nedostaci karaktera su im: nemiran duh, neistrajnost
u planovima, nedostatak samopouzdanja. Ako nisu u sreenoj
okolini, lako se ra:wearaju i postaju melanhoJicni.
Odgovaraju im sve nijanse zelene, i bela boja. Treba da
izbegavaju tamne boje, a posebno tamnocrvenu.
U br.oju 2 rodeni su kompozitor Gluk, kao i pisci Ibzen
·i Tomas Hardi.
3 .predstavlja broj Jupitera. Ova planeta igra najznaeajniju
.ulogu u celom sistemu numerologije i astrologije.
Slieno kao i jedinice, trojke SIU ambiciozne. Teze
da imaju autoritet nad ostalim brojkama. Vole red i discipHnu
u svim stvarima i odlucni su u svojim komandama.
Spremno izvr5avaju naredenja, a1i zahtevaju i izvr­
Sa.vanje svojih. Najce5ce su na vodecim polZajima u
profesi.j~ kojru obcwljaju. Nodo.staci SU im sto teie da
63

udu diktat.on i da insistiraju na sprovoaenju svojiO ideja,
pa zato imaju puno neprijatelja. i;>~osn~ su ! n: vole
da budu .podredeni. N ezavisn~ su. Srecm ?am. s\1 1.~ cet~·­
tak, petak i utorak. Cetvrtak ~ je ~JznacaJrnJL ~s1~n
sa svojim brojem, dobro se slaz~ s~. 6 1 9. Odgo.varaJuce
boje su im ljubicaste, purpurne ·1 ~ licne. Ta~od~ im od~o- (
varaju nijanse plave i roze. Drag1 kamen ~m Je a~et1.~t.
Od ~nacajnih ljudi, trojke su: Abraham Lmkoln, Cercil,
Darvin itd.
4 Broj 4 je broj Urana. U vezi je sa Suncem, tj.
brojem 1. Ljudi broja 4 su osobeni. Imaju ~voj. poseban
ugao gledanja u ?dnosu n.a o~tale . ~".'ek z~uzi:~aJu su~r:otan
stav od drug1h. Zat.o ima}u vehki br·O.J taJmh nepn~atelja.
Instinktivno zauzimaju odbrambeni sta~ . Ne pn~naju
auto.ritete, niti vazeca pravila. Ne s~apaJU lako i;>njat~ljstva,
a odgovaraju im osobe sa brOJ~ 1, ~' ! 1 8:
Svoje planove i ideje sprovode do kraJa. Srecnt dani
su im subota, nedelja i ponedeljak, a .posebno ako im datum
jednog od tih dana predstavlja primarni broj 4. Veoma
su oseeajni, i lako ranjivi u svojim oseeanj ~a .. Cesto
se osecajJU usamljenima i lako postaju me~~nho~1c01 ':1.koliko
ne postignu uspeh. Imaju vrlo malo pnJa~e lia ko J1m~
su loja1ni. Srecne boje su irn svetloplave i swe. a dra ~ 1
kamen svetao i1i taman safir. Broj 4 je broj rodenja f1-
lozofa Frensi.sa Bekona, kompozitora Hajdna, filozofa
Emanuela Kanta itd.
5 Ov-o je broj Merkura.
Slafo se sa svim osta.lim brojevima, a najvise sa sopstvenim.
Brro misle, a u akoijarna su impulsivni. Sposobru
su da unovce svoje nove ideje. Spremno u laze u rizike.
Karakter im je vrlo elastiean, lako se podifo i iz
najtezih situacija. Lose situacije ne utieu dugo na njih.
A!ko su po prirodi dobri, takvi ostaju uvek, a ako su los_i,
nikakav uticaj ne moze da i~eni njihov karakter. Srecni
dani su im sreda i petak, a pogotovu, ako se rlatum
tih dana poklopi sa primarnim broj em 5.
Nedootatak im je itaj sto iscrpljuju svoju nervnu snagu
i cesto postaju frtve nervnog sloma. Sreene boje su
svetlosive, bele i svet1ucajuce. Tarrme boje treba da nose
sto je mogueno manje.
Dragi kamen im je dijamant, a takode im odgovaraju
nakiti od platine, srebra i svih svetlucavih materija-
64
la. U broju 5 rodeni su Sekspir, kompozitor Hendl
Marks itd. · '
6 Ovo je broj Venere. Ljudi sestice SU orivlaeni
voljeni i postovani. Ljudi Venere vole lepe stvari, dru~
stveni su, a narocito se slazu sa ljudima rodenim u broju
3, 6 i 9. Najsreeniji dani su im utorak, sreda i petak, a
naroCit.o ako ti dani padaju u datume primarnog broja
6. Ljudi r odeni u broju 6 treba da pokusaju da ostvare
svoje planove i ciljeve u onim danima kada su rodeni,
u bilo kom mesecu. Srecne boje su im sve nijanse plave,
od najsvetlije do najtamnije, takode sve nijanse ruzieaste,
all bi trebalo da ·izbegavaju emu i tamnocrvenu. Dragi
kamen im je tirkiz. Poznati ljudi rodeni pod brojem
6 su: Napoleon, Jovanka Orleanka, Mikelandelo, Molijer,
Rembrant i drugi.
7 Ovo je broj Neptuna.
Ljudi rodeni pod ovim brojem veoma su nezavisni,
originalni i imaju jako izrazenu individualnost. Najbolje
se slafo sa osobama pod brojem 2. Vole promene i putovanja,
po prirodi SU nemirni i siroko SU obavesteni 0
svetu uop,ste. Dobri su pisci, muzicari i umetnici. Bogati
su, jer unovcuju svoje originalne ideje, ali materijalno
'blago ih u sustini ne zanima. Skloni su okultizrnu, a religiju
tumace na svoj, misticni nacin. Obdareni su neobicnim
skrivenim magnetizmorn kojim privlaee druge. Poseduju
jaku intuiciju i pronicljivost. Srecni datumi su im
oni koji imaju primaran broj 7, a sreeni dani u nedelji
su im nedelja i ponedeljak
Sreene boje su im sve nijanse zelene, svetle, bela i
fota, a treba da izbegavaju tamne boje. Od dragog kamenja
odgovara im meseeev kamen i biseri. Slavni ljuqi
rodeni u primarnorn broju 7 su: Dikens, Oskar Vajld,
Njutn i drugi.
8 je pod uticajem Saturna.
Ljudi osmice najcesce su usamljeni, jer ih drugi uglavnom,
ne shvataju. Individualnost im je jako izra7.ena.
Po prirodi su temeljni. Cest.o deluju hladno i bez

Ako SU ambiciozni onda teze javnom zivotu, drfavnim
poslovima, zauz~.aju v isoke . P ?lo fa~e, uz ula_ganje
velikih :lrtava. Bez obzira na polozaJe koJe mogu aa zauzmu
moglo bi se reCi da osmice nisu rodene pod srecnom
~vezdo m. Cesto dozivljavaju .i velike uvrede u zivotu.
(
Srecne boje s u im sve nijanse tamnosive, crna, tamnoplava
i crvena. • ..
Najsrecniji dan im je subota,. a moze se rec1 ~a .su
im srecni dani i nedelja -i ponedelJak. Drago kamenJe im
je ametist i tamni safir, kao i crni biser i crni ~ijaman.t.
Osam se sastoji od dve C:etvorke, u nekom sm1slu to Je
broj materija1nog i duhovnog.
Osmica ima okultisticka svojstva. Broj 888 predstav
lj a broj Hrista (brojna vrednost grckih slova za Hrista
je 888). Primarni broj za 888 je 6 (8+8+ 8=24; 2+4=6),
a broj 6 je Venerin broj, tj. broj ljubavi. Cudna se simbolika
dalje preplice. Suprotno od Hrista je Sotona, a
b rnj Sotone je 666. P.rimarni broj za 666 je 9 (6+6+6=1.8;
1+8 = 9). 9 je broj Marsa koji simbolise rat ~ razaran1a.
Dakle 6 - broj ljubavi (primarni broj za Hrista) u direktnoj
je suprotnosti sa 9, brojem mrfoje (So1i?;na).
Poznate lienosti rodene pod brojem 8 su : R icard Lavlje
Srce, Rokfeler, Sarl Guno i drugi.
9 Ovo je broj Marsa.
Osobe broja 9 SU borci u svim vidovima zivota. J aka
volja i odluenost im omogueuju da, bez obzira na pocetne
poteskoce na k.raju dozivljavaju uspehe. Brzopleti su,
impulsivni i t efo da budu svoji vlastiti gospodari. Kako
teze dominantnosti, u kasnijim godinama zivota sti­
Cu mnoge neprijatelje. Cesto bivaj1:1. napadan~ ~ .i .ubijani
k ako u ratu taiko i u miru. Odhcni su VOJmc1 i vode
zahvaljujuCi svojoj hrabrosti. Ponekad bivaju nepromisljeni
u svojim akcijama te se izlafo velikim opasnostima.
Ako su pod kontrolom postaju dobri organizatori, inace
ostaju po strani. UCinili bi sve, za neeiju simpatiju. Muskarci,
ponekad, za simpatiju neke zene Cine i najvece
gluposti. Slafo se sa osobama rodenim u primarnom broju
8, 6 i 9. Odgovarajuce boje su im sve nijanse tamnocrvene
i crvene, kao i svi tonovi ruzicaste i roza boje.
Najznaeajniji dani u nedelji su im cetvrtak, petak i
narocito sreda. Dragi kamen im je rubin. Broj 9 moze
da bude srecan brioj samo za one osobe rodene u njemu,
6G
koje ne teze mirnom 1i monotonom Zivotu i koje kontrolisu
svoju narav i ne stvaraju sebi neprilike.
Pod brojem 9 rodeni su Paganini, Kepler, Ruzvelt i
drugi.
3.2.2. Sudbina u imenima - slozeni brojevi
Vee smo videli da su primarni brojevi jednocifreni
brojevi i da predstavljaju osobine eoveka na osnovu njegovog
datuma rodenja, koje su uoclj ~ve spolja, od st rane
drugih ljudi. Slozerii brojevi u okultistioi su dvocifreni
i oni ce predstavljati skriveni tok sudbine neke osobe.
Svaki sloieni broj ima svoj primarni broj. Na primer,
broj 14 je slozen, a njegov primarni broj je 1+4=5.
Istovremeno on je i komponovan od dva primarna broja:
1 i 4. Brojevi od 1 do 9 pripadaju fizickoj strani zivota,
a 10 i nadalje duhovnoj. Slofoni brojevi ce nam sluziti
da odredimo koji ce dan da nam bude sreean, a koji
ne, koji nam je grad sreean, a koji ne itd. Vee smo videli
da je broj imena za DuSan.a JoVliea slozeni broj 42. Kalro
koristiti i tumaciti slozene brojeve iznosimo nadalje.
Broj 10: Ovo je broj easti, samopo5tovanja, uspeha
i padova. Ime sa brojem 10 bice poznato ili po dobru i1i
po zlu.
Broj 11: Upozorava na skrivene opasnosti, iskusenja,
izdajstvo. U okultizmu ovo je koban broj. Predstavlja simbol
,,stisnute sake".
Broj 12 : predstavlja patnju. Takode predstavlja pozrtvovanje
i skriva osobu koja biva frtvom planova i intriga
drugih.
Broi 13: simbolizovan je slikom ,,smrti". Predstavlja
broj rusenja i razaranja. Simbol je m oci i ako se ta
m oc pogre.5no upotrebi moze da d ovede do samounistenja.
Broj 14 : predstavlja broj kretanja kao i opasnosti od
prirodnih nepogoda, kao sto su oluje, voda, vazduh i vatra.
Predstavlja sreean broj za baraitanje novcem. Predstavlja
broj spekulacija i uspesnih pro:rµena posla. Predstavlja
i rizik i opasnost koji uz taj posao idu. Osoba sa
ovim brojem mora da bude oprezna i razborita u svojim
poslovima.
67

Broj 15: ova je broj magije i ~isterije. o.sobe ov?g
broja se koriste svim wst~a -0kult:i~a ru:i. b1 .J~tvanle
svoje namere. Ak

Broj 37: ovo je broj srece i dobra u vezi sa osobama
suprotnog pola, a takode je dobar za bilo koji vid druzenja.
U vezi sa buducim dogadajima ovo je srefan broj.
Broj 38: kao 29.
Broj 39: kao 30.
Broj 40: kao 31. (
Broj 41: kao 32.
Broj 42: kao 24.
Broj 43: ovo je nesrecan broj. Nesrecan je i u oclnosu
na buduce dogadaje. Simbolizuje revoluciju, pobunu,
razdor, kao i neuspeh.
Broj 44 : kao 26.
Broj 45 : kao 27.
Broj 46: kao 37.
Broj 47: kao 29.
Broj 48: kao 30.
Broj 49: kao 31.
Broj 50: kao 32.
J?roj 51: ovaj broj reprezentuje borca. Obecava prednost
l uspeh. Posebno je povoljan za osobe koje su u vojsci.
Talrode je povoljan za vode u bilo kom smislu.
Broj 52: kao 43.
Data 52 broja dovoljna su za praktienu primenu.
3.2.3. Kako koristimo primarne i slozene brojcvc
za tumacenje ljudskog karaktera?
Odredivanje karaktera vrsi se na sledeci nacin:
1) Nade se primarni broj rodenja osobe i na osnovu napred
iznetog turnacenja primamih brojeva procitaju
,,osobine CoVeka koje SU uoeljive spolja".
2) nade ~e primarni broj imena i doda na primarni broj
:ode~Ja. Karakteristike toga broja se citaju iz napred
·1znetih tumacenja brojeva 1- 52.
Primer: neka se neko zove Petar Markovic i neka je roden
27. 9. 1961. g. ·
Broj rodenja je: 2+7+9+1+9+6+1=35, odnosnr>
3+5=8.
70
Broj imena: P e t a r
4 9 8 1 5
I I
27
Markovic
91563145
I I
34
9 7
7+9=16, 1+6=7.
Odnosno, primarni broj imena je 7.
Da se koj im slueajem podudario broj imena sa brojem
rodenja, onda bi ovi brojevii bili u ,,harmonijskoj vibraciji".
U ovakvom slucaju bi se jaeale karakteristiene
osobine stecene rodenjem.
,, .. . Ljudi osmice najcesce su usamljeni, jer ih drugi
najcesce ne shvataju. Individualnost im je jako izrazena.
Po prirodi SU temeljni ... "
Sabere li se broj imena 7 sa brojem rodenja 8, imamo
slozen broj 15. Ovaj broj nam daje ,,skrivene tokove
sudbine licnosti".
Za broj 15 izneto je:
,,Ovo je broj magije i misterije. Osobe ovog broja se
koriste svim vrstama okultizma da bi ostvarile svoje namere.
Ako je zdruzen sa sreenim primarnim brojcm rodenja,
moze biti veoma srecan i moean .. . "
U na5em primeru broj rodenja je 8 i sreca mu nije
bas naklonjena.
Napomenimo da dodatne osobine licnosti moiemo
Citati, recimo, posebno iz slozenog broja prezimenn (kod
nas 34), a posebno iz slozenog broja imena (kod nas 27).
3.2.4. Kako odrediti sreean dan u mesecu?
Srecan datum bilo kog meseca odreduje se na sledeci
nacin:
Primarnom broju imena dodaje se primarni broj datuma
kome ispitujamo sreenost. Na primarni broj ovog
zbira dodamo primarni broj datuma rodenja. Broj koji
se dobija daje jedan od 52 slozena broja cija su tumacenja
ranije data.
Primer: neka treba da se odredi da Ii ce 25. u mesecu biti
sreean za Dufana Joviea, rodenog 29. 7. 1961. g.
71

Primarni broj za Dufana Jovica je 6, tj.
Dusan Jovi c
69711 53145
6+9+7+1 +1 +5+3+1 +4+5=42,
4+2=6. /
Primarni broj datuma koji ispitujemo je 2+5=7.
Saberemo broj imena i ovaj broj, dobijamo 6 + 7 = 13,
odnosno primarni broj 1+3 = 4.
Primami broj datuma rodenja je: 2+9+7+1 + 9 +
+6+1 =35, 3+5=8. Dalje 8+4=12.
Sada citamo karakteristike broja 12:
,,Predstavlja patnju. Takode predstavlja pofrtvovanje
i skriva osobu koja biva zrtvovana planovima i intrigama
drugih."
Iz iznet og vidimo da Dufanu Jovieu 25. u m esecu
nije bas naklonjen. Da bi se odredio najsrecniji dan, kao
sto je uradeno sa 25. uradimo za sve ostale dane u rnesecu.
Na taj naCin mozemo dobiti sliku o tome koji su
nam dani u mesecu koliko naklonjeni.
3.2.5. Kako odrediti sreean grad?
Znajuci ime grada mofemo videti da li nam je taj
grad naklonjen za ~ivot ili nije. Radi se sasvim jednostavno.
Izracuna se primarni broj imena grada, kao i primarni
broj rodenja. Ako se ovi brojevi slafo, tai grad
nam je naklonjen za zivot. Da vidimo kojim osobama je
Beograd nak1onjen za zivot.
B eogra d
2 9 3 2 5 1 6,
2+9+3+2+5+1+6= 28, 2+8=10, 1+ 0=1.
Dakle, osobama ciji je primarni broj rodenja 1 odgovara
grad Beograd. Kako se 1 dobro slaze, recimo, i sa
?Sobama ciji je broj 2, onda grad povoljan za osobu 1,
odgovara i osobi 2.
72
3.3. KABALA
Posto je kabala u izvesnom smislu vezana i za matematiku,
u informativnom obliku obradujemo i ovu temu.
Ree kabala znaci ,,predanje". Odnosi se na usmeno
predanje jevrejske religije. Sama rec kabala upotrebljava
se od 12. veka. Sistematizovao ju je u 13. v. u Spaniji
Moses Ben Sem-tov u knjizi Svetlost. Dalje razrade
kabale zasnivajru se na tom radu. Inace, kabala je tajno
ucenje Jevreja koje ih je pov~ivalo sirom sveta. Prema
ucenju kabalista bog je bezgranican, pa je polazna tacka
ta da ga obican eovek ne moze shvatiti. Kabalisti smatraju
da je Bog stvorio svet, kombinujuci i igrajuci se
sa 22 slova hebrejske azbuke i 10 brojeva dekadnog sist
ema. Dufa postoji i pre sjed·injavanja sa telom. Ako se
dovoljno ne procisti, ne seli se u vise, nebeske sfere, vec
se opet seli u neko telo. Dvopolna je, a telo joj
odreduje pol. U svakoj reei svetih knjiga . kab~listi
traze dublji, skriveniji smisao, kako om kazu
,,pravi" smisao. Pri tome se sluze kombinacijama
brojeva koje dobijaju kao numericke vrednosti tekstova
u svetim knjigama. Kabalisti veruju u Mesiju koji
ce doci da spase sve J evreje, kao i to da ce uspostaviti
bofansku ha·rmoniju. Kabala je puna magije i praznoverja.
Na primer, jedan od obreda kabalista jeste isteriv~~
nje zlog duha iz eoveka. Veruju da postoji zao duh ko11
luta J. er zbog mno.gih svojih grehova ne moze da se useli
' ,.
ni u jedno ljudsko telo. Kada ~pak uspe da se ,,ugura · por
ed postojeceg duha u ooveku, izaziva ludrulo.
Inace kabalisti smatraju da je Bog stvorio ovaj svet,
ali ne ne~sredno , jer za stvaranje sveta treba volja i misao
a one pripadaju samo ogranicenim biCima. On svet
stv ~ra posrednim bicima, preko 10 sila koje potiC. 1 od
njega. Te sile su: mudrost, razum, ljubav, snaga, lepota,
postojanost, sjaj, t emelj, kruna i kraljevstvo.
Sustina kabale ne moze da se shvati bez hebrejskog
alfabeta i numerickih vrednosti svakog hebrejskog slova.
U tabl. 9, u poglav1ju ,,Doprinos Biiblije isrorti.ji matematike"
data su hebrejska slova ·i njillove numericke vrednosti.
Za kabaliste, temelj svih stvari sacinjavaju 22 glasa
i slova hebrejskog alfabeta.
73

Kabalisti se bave tumacenjem biblijskog tek.sta. U
slovima, brojev.Una i pojmovima trazi se dublji smisao
od onog koji oni formalno daju. Slova, brojevi i pojmovi
kombinuju se slicno kao u matematici, dajuci nove zakone.
Na primer, posmatrajmo rec ,,dam" (na hebrejskom
znaCi - krv). Ona je skrivena u reci ,,adam" (na hebrej-/
skom znaci - eovek). Sjedinjavanjem slova ,,a" i reci
,,dam" uspostavlja se krvna veza izmedu ljudskog roda
i prauzroka.
Jedna od metoda da se otkriju znacenja skrivena u
hebrejskim slovdma jeste izracunavanje numerickih vrednosti
(svako s'lovo i:ma brojnu vrednost, vidi tabl. 9)
hebrejskih re6. Hebrejske reci sa jednakim numerickim
vrednostima objasnjavaju jedna drugu. Na primer, reCi
,,akhad" (sjedinjenje) i ,,ahebah" (ljubav) imaju brojne
vrednosti 13. Iz toga kabalisti zakljucuju da su to dve
razliOite reci jednog te istog pojma.
Zeli li kabalista da sazna sustinu neke nepoznate
stvari, on izracunava numericku vrednost pojma koji ga
zanima, tj. izracunatu vrednost svodi na ,,primarni broj"
po principu numerologije, a svaki primarni broj od 1-9
ima svoje znacenje.
Primera radi, objasnimo samo broj 1 koji je ujedno
i numericka vrednost prvog slova hebrejskog alfabeta, tj.
slova ,,alef".
Znacenje je: ,,dvojno nacelo koje predstavlja ,we sto
postoji, a i sve ono sto ne postoji, sve

IV
MATEMATIKA I RELIGIJA
I
4.1. UVOD
Mozda nema oblasti ljudske misaone delatnosti, koj&.
se ne dodiruje sa drugim oblastima. MoZda ce nekom da
se ucini cudan naslov ovoga teksta, ali cini nam se da
ce sve biti jasnije i realnije kada kazemo ponesto o ma-·
tematici i religiji. Kazemo pone8to, jer su izvori za ra-·
zradu ove teme neiscrpni.
Terna zahteva obiman i slozen posao. Nemamo pretenzija
za nekom dubljom naucnom obradom ove teme.
Cinjenice koje cemo izneti imaju za cilj da nam daju ideju
o tome sta bi eventualno moglo da se proucava pod
naslovljenom temom. Najvise cemo se osvrnuti na hriseanstvo,
a u

Posle propasti zapadne imperije 476. g., grcko-rimsku
,dvilizaciju odrfavaju manastiri i obrazovani pojedinci.
Diplomata i filozof Anicije Manilij Severin Boecije
piSe delo Osnovi aritmetike koje se koristi tokom vekova
i koje predstavlja odraz tadasnjih znanja iz mate­
.matike. On 524. god. gine kao mucenik za katolicku veru.
Novi feudalni period nastupa posle nestanka pr.ivrede stare
Rimske imperije. U ovom periodu matematika stagnira,
ali se takva kakva je, ipak odrlava u manastirima.
Od matematieara tog perioda moze se izdvojiti matematicar-svestenik
Alkuin (Alcuiin, 735-804). Napisiy{ j~
knjigu Zadaci za gimnastiku uma, sto je imalo velik1 uticaj
na pisce udzbenika kasnijih vekova.
Francuski kaluder Gerbert napisao je nekoliko matematickih
traktata. On 999. g. postaje papa Silvester II
·(Sylvester II - Gerbert, 940-1003). Bio je jedan od prvih
martematicarn Zapada koji je proueavao matemati­
·ku arapskog sveta.
Baveci se religiozno-filozofskim problemima, sveste­
·na lica dolaze do reZ'Ulta.ta koji imaju matematicku vrednost.
Kenterberijski arhiepiskop Tomas Bradvardin (Thomas
Bradwal'dine, oko 1290-1349) proueava zvezdaste
poligone. Episkop Nikola Orezmus (Nicolaus Oresme,
1323-1382) pi.Se 0 velicinama oblika oko 1360. g. gde grafioki
uporeduje vrednosti zavisno i nezavisno promen­
~ljive.
4.3. UTICAJ RELIGIJE NA MATEMATICKO
STVARALASTVO VELIKIH MATEMATICARA
Izueavanje uticaja religije na matematicko stvarala­
~ tvo ve1ikih matematicara, naucni je izazov za jednog
istoricara matematike. Nauena istina je jedna, ali putevi
dolaska do nje su mnogi. Ociti primer za to su
'Njutn i Lajbnic i njihovi putevi dolaska do pojma
izvoda. Lajbnica do pojma izvoda dovodi njegovo filozofsko
gledi.Ste o tome da se bilo kakve promene
defavaju postepeno, bez ikarkvih skokova (,,zakon kon­
.tinuiteta"). Njutn do pojma izvoda dolazi re8avajuci naj­
. Pre problem pronala:Zenja brzine kretanja u datom trenutku
vremena, gde je predeni put dat u funkciji vremena,
a zatim pronalazenjem puta, gde je brzina data u funkciji
vremena. Dakle, Njutn do pojma izvoda dolazi proueavanjem
stvarnog sveta.
Ruder Boskovic se oformio i radio u okviru jezuitskog
reda. Zanimljivo je prouciti kako je njegova duboka
religioznost uticala na njegovo stvaralastvo. l\fozda ga
je bas ta re.ligio·znost sputala da se vise razmahn'::) u savremenoj
matematici, konkretno u infinitezimalnom racunu.
On nije priznavao beskonacno u njegovoj ostvarivosti,
vec u njegovoj mogucnosti. Bog je beskonacan, ali
je nedodirljiv, ako se ostvari beskonacno, ostvarice se i
Bog, a to nije mogucno.
MihaHo Petrovic - Alas nije ispoljavao religioznost.
SledeCi logiku istrazivanja, dolazi do neceg sto je istovremeno
i predmet otkrovenj a.
,,Petrovic postavlja p.itanje da li pored pojedinosti
koje su vezane za broj i velicinu i red, ima i drugih fenomenoloskih
pojedinosti koje bi 'bile to saine po sebi',
bez potrebe da ih dovodimo u vezu sa brojem, velicinom
i redom? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, veli nas
matematicar, moramo stati na jedno 'uzvisenije glediste'
i uzeti u posmatranje 'ne bice i fakte pojedinih naucnih
oblasti, vec odjednom celokupan svet biea i fakata'.
U tom beskrajnom sarenilu disparatnosti pojava mogucno
je sagledati zajednicke pojedinosti, zajednicke crte
i odlike koje, sa zauzetog gledista, zapafa bilo neposredno
posmatranje, bilo dublja i suptilnija naucna analiza, bilo
poetska in1uicija."
,,U ovakvom razmatranju Petrovic nalazi mogucnost
da nasa ljudska svest 'preslikava jedan skup bica i faktora
na drugi jedan njemu sasvim disparatan skup koji sa
njime, po svojoj konkretnoj prirodi, ne mora imati nicega
zajednickog a1i pri cemu sUka i original ipak imaju
zajednicki sk!up odredenih pojedinosti' ... ,Sve cinjenice
u neizmernoj vasioni cinjenica i njihovom beskrajnom Sarenilu
imaju u svojim sustinama zajednickih pojedinosti
... sto nas vodi zakljucku da i nas matematiear vidi sustinu
stvari ne u jednoj monolitosti, vec u jednom, a to
jedno je u isto vreme i srediste odnosa" (v. [31]).
Petrovic je ziveo i odrastao u svestenickoj porodici.
Otac, profesor bogoslovije u Beogradu, rano umire, pa vaspitanje
preuzima deda Novica, paroh pri Saborno; crkvi
u Beogradu. Nesumnjivo je da navedeni nacin razmi-
79

sljanja na.Seg velikana matematike ima korene u njegovom
vaspitanju.
Izneli smo dva primera, da se vidi na koji nacin maze
da se proueava naslovljena tema.
Na sliean nacin mogu da se proueavaju pojediai rez~ltati
istaknutih ri religioznih matematicara Kopcmika.
T1ha de Brahea, Ferma, Paskala, Dekarta, Njutna, Lajbnica,
Ojlera, Kosija itd.
Oji.er piSe. knjigu Poku8aj odbrane natprirorl.nog otkroven3a,
a NJutn se bavi izracunavanjem drugog dolaska
Hrista na Zemlju.
U zakljucku ovog dela kazimo i to da nisu sv( velikani
bili religiozni, niH nauene istine mogu da s~ dele
na a~eistic~~ ili religiozne. Medutim, aka se zna da je neko
b10 rehg1o~a.n , treba prouciti da li mu je ta religioznost
pomogla ili smetala da se razmahne ili bude sputan
na svojim putevima dolaska do nauene istine.
4.4. UTICAJ CRKVE NA RAZVOJ MATEMATIKE
Maze da se prouci da li je crkva kocila ili podstica-
1~. razvoj matematike. Poznato je da je za vreme Teodos11a
I Velikog (rimski car 347-395) fil)iskop Teofi.l rukoyodio
spaljivanjem hrama Oziri Gati u kome je bila smestena
euvena aleksandrijska biblioteka. Za vreme Teodosij·a·
II (vizanti_jski car, 401-450, dao je kodeks), episkop
!Gn'1o nareduJe da se raspne Hipatija, jedna o::l prvih
zena koja je bila naucnik i matematicar.
U Teodosijevom kodeksu pise:
-· ,,Nemo consulat haruspicem aut mathematicum" (niko
da ne traZi savet od vraca i matematicara).
. Justinijanov kodeks koji je izasao u avgustu 529.
godme sadrzi zakon pod zaglavljem: ,,De maleficiis mathe!Mticis
et caefaris similibus" (o zloeincima, mate~aticarrma
i njima slienim). Tu stoji paragraf ,,ars auf P.m mathematica
damnabilis interdicta est omnino" (potpuno se
zabranjuje matematicka vestina dostojna ooude).
Maze se govoriti o zlokobnoj inkviziciji koja je oterala
na lomacu mnoge naucnike, ali moze da se prouci i
to k~ko je pravoslavna crkva podriavala nauku. U manastiru
Savina kod Herceg Novog, gde je i Njegos ucio
skolu, nalazi se dokument iz doba Galileja gde srpski mo-
80
,
' ,. f
.
nah objasnjava narodu pomracenje Sunca
Kopernikovoj astronomiji.
Meseca po
4.5. DODIRNE TACKE MATEMATIKE I RELIGIJE
IzliSno bi bilo govoriti o tome da matematika zamenjuje
religiju ill obrnuto. Matematicke teoreme se ne resavaju
molitvama, niti se teoremama moli. Za istoriiu
matematike moze biti od znaeaja apstraktan nacin razmisljanja
o Bogu, kao o Svetoj Trojici. Ovaj nacin r az-·
misljanja je u hriSeanskom svetu doveo do shvatanja broja
kao aps.traktnog pojma. Da bi nam bilo jasnije kolika
je apstrakcija hriscanski Bog i koliko se to graniCi sa matematickom
apstrakcijom, iznecemo dogmu o Svetoj 'frojici:
,,Bog je jedan po sustini, ali trojiean po svojin1 licima,
koja su ve

Na temu pod nazivom ,,Matematika u religioznim
knjigama" govorio sam septembra 1987. g. na Matematickom
institutu u Beogradu u okviru seminara iz istorije
matematike.
Kao sto je poznato, glavne svetske religije su: bramanizam,
budizam, konfucijanizam, muhamedanstvo i
hriseanstvo. Sve te religije imaju svete knjige. Neke su
knjige otkrovenja, a neke knjige nal.lora. Mi cemo pod svetim
knj·igama podrazumevati lmjige otkrovenja, kako religiozni
ljudi kazu, pisane od strane eoveka, ali pod neposrednim
,,rukovodstvom bozijim". Iznecemo matematiku
iz Kur'ana i Biblije, svetih knjiga muslimana i hriscana.
/
Kakvu matematiku treba traziti u njima?
Blazeni Avgustin kaze: ,,Mi ne citamo u ev:mdelj· t

4.6.1. Matematika u ,,Bibliji"
4.6.1.1. 0 ,,Bibliji"
SI. 13 Jevrejska tora
Biblija predstavlja zbirku verskih propisa hriScana i
J evreja. Risanje Biblije pocelo je pre skoro 35 v~lwva, a
samo pisanje trajalo je 16 vekova. Prvi njen pi.sac je Mojsije.
Deli se na Stari i Novi zavet, a zajedno imaju 66
knjiga. Stari zavet se jos zove Jevrejska Biblija i opisuje
dogadaje pre rodenja Hrista, a novi opisuje zivot Hris~~
i dela apostola posle Hrista. Novi zavet poCinje da se
pise 50-ih goclina nove ere. Za dogadaje iz Biblije pre
P?cetka njenog zapisivanja znalo se iz usmenih predan1a.
Zbog toga nije cudno sto su pronadene veoma sliene
~egei:ide koje datiraju' iz mnogo ranijeg doba od Mojsija
i ko1e govore o istovetnim dogadajima koji se nalaze u
~ibliji. Origi:nal,ni zapisi pisani su na pergamentu ill papl.I'usu.
Do danasnjih dana nisu sacuvani. lsti su prepi­
~vani i umnofavani. Autentienost originala je do dunas sacuvana,
o cemu svedoce otkriea iz 1947. g. Naime, na severnoj
obali MrtvX>g mora, u jednoj pecini Vadi Kumrana
pro~~den je (za sada) najstariiji rukopis biblijskog teksta
KnJ1ge proroka Isaije. Dokazano je da je prepisan
84
100 g. pre Hrista. Tekst ovog spisa u potpunosti se slaze
sa danasnjim tekstom Biblije. Takode je 1935. g. pronaden
fragment Jovanovog jevandelja (Novi zavet) koji potice
iz doba cara Trajana (98-117) i koji takode svedoci o
autenticnosti danasnjeg Jovanovog jevandelja. Stari delovi
Biblije pisani su starojevrejskim jezikom (odumro oko
200 g.p.n.e.). Kasniji zapisi su na aramejskom jeziku. Novozavetne
knjige pisane su na grckom jeziku.
Autentienost prevedenih knjiga cuvana je i time sto
su osnivana prepisivacka drustva.
Prevodi Starng zaveta na greki jezik nastaju izmeclu
treceg i drugog veka pre nase ere, u Aleksandriji. Taj
se prevod zove ,,Prevod sedamdesetorice", jer je na prevodenju
radilo 70 prevodilaca. Na stari slovenski jezik
sa grckog Bibliju prevode Cirilo i Metodije (9. vek).
Naucna istnaZiivanja (vtdati [2] , [11]) potvrduju Bibliju
kao istorijsku knjigu. Mesta, dogadaj.i i licnosti su
ponekad do tanCina opisani istinit.o. Biblija je danas prevedena
na 1120 jeziika i dijalekata.
Bibliju ne citaju samo vernici. Ona je zaniml,iiva filozofima,
knjizevnicima, nauenicima, istoricarima itd.
Nju je podjednako citao i proueavao Marks, kao i Martin
Luter. Ona je istorija jednog naroda i jednog podneblja,
istorija jevrejskog naroda. Neki su dogadaji konkretni, sa
imenim a i prezimenima careva, ljudi, mesta itd.
Mi cemo u njoj traziti matemat~ku , pesnici ce se !lapajati
Solomonovom pesmom nad pesmama, filozofi tumacenjem
postanka sveta, naucnici ce razmisljati o polaznoj
snazi koja je stavila kosmos u pokret, istoricari ce
dobiti najcesce jedina svedoeanstva o starome svetu, vernici
ce u svim dogadajima iz Biblije videti boZiji prst.
Dakle, ona je knjiga za svakoga i ne treba je odbacivati
samo zato sto vemici tvrde da je pisana ,,boiiijom mud­
;.·oscu" .
4.6.1.2. Magieni broj sedam
4.6.1.2.1. Veeiti broj sedam
Nijedan broj ne uziva toliko postovanja kao bro.i
sedam. Za Pitagoru i njegove sledbenike to je ,,nevin"
broj. Jedini je broj manji od deset koji nije ni cinilac n~
proizvod drugih (broj 2 se, na primer, saddi u 6, 8 i
85

10; broj 4=2X2 iitxl, dok za sedam ne vaZJ. nesto slieno).
N osio je ime boginje Palade Atene i smatran je simbolotn
bozanstva. Stari Groi su znali za sedam planeta - Veneru,
Mars, Sunce, Jupiter, Saturn, Merkur, Mesec (smatrali
su da su Sunce i Mesec planete). Takode su znali
za sedam svetskih cuda - Zevsovu statuu u Olimpiji.
Kolosa sa Rodosa, Artemi.d:in hram u Efesu, mauzolej na
Halikarnasu, svetionik na Farosu, piramide u Egiptu,
visece vrtove Vavilona.
AntiCki gradovd. Vavilon, Rim i Jeriusal:im podignuti
su na seciam brefoljaka.
Narod veruje da nesreea snalazi sedam godina onoga
ko razbije ogledalo.
I
Bajke pocinju reeima •• ~ sedam brd.a ..." ,,iza seda'm
mora ..." iitd.
Jevrejski hramovi sadrZe sedmakrake sveenjake koji
predstavljaju simbol ,,veene svetlosti koju od sunca odrafavaju
sedam planeta". Hramovi su takode sadrZ

di je citalo Bibliju, a da nije moglo da zapazi zakonito
pojavljivanje broja sedam u njoj. Nezavisno od zakonitog
pojavljivanja, broj Sedam i pri fonnalnom citanju
kao da ,,bode oci" citaocu: u Egiptu je bilo sedam godii~a
~bi~ja i sedam godrina gladi; kada je grad Jerihon kap1tuhrao
u roku od sedam dana, narod i sedam svestenika
koji su imali ! truba i:iarsirali su okolo grad.a 7 puta;
:svake sedme g.odme zemlJa Izraelaca se ne obraduje· Solomon
je sedam godina zidao hram, a posle zavrsetk~ se­
·dam dana je slavio; rob Jevrejin morao je biti osloboden
·sedme godine robovanja; postoji sedam andeoskih cinova.
U poslednjo~ knjizi Biblije - knjizi Otkrovenja na
oko 30-tak stramca broj sedam se pojavljuje vise od p~
deset puta.
I
Kako obradujemo broj 7 u Bibliji, navocHmo sledeci
~tih iz knj,ige Otkrovenja: ,,Potom u desnici onog3 koji
Je sedeo na prestolju opaz.ih knjigu ispisanu unutra i izvana
i zapeeacenu sa sedam peeata".
. Postoji mnogo dublja zakonitost pojavljivanja bro­
.11: s_edam u Bibliji _o

3. U tih 266 slova ima 140 (20 X 7) samoglasnika i
126 (18 X 7) suglasnika.
4. Od 49 reci, 28 pocinju samoglasnictma, a 21 suglasnicima.
5. Od 49 reci, 42 (7 X 6) su imenice, a 7 nisu.
6. Od 42 imenice 35 je vlastitih, a sedam zajednickih.
7. Broj slova u tih 7 zajednickih imenica je taeno 49
(7X7).
8. 35 vlastitih imenica pojavljuju se taeno 63 (7 X 9)
puta.
9. U 35 vlastitih imena na 28 mesta su muska imena,
a sedam nisu.
10. Tih 28 muskih imena pojavljuje se 56 (8 X 7) pu-;
ta (posmatraju se prvih 11 stihova).
11. U prvih 11 stihova pominju se tri fone. Broj grckih
slova u njihova tri imena je 14.
12. U tom delu pominje se samo jedan grad i to Vavilon.
Broj grekih slova u ovom imenu je tacno 7.
13. Od 49 razliCitih reei u prvih 11 stihova 14 reci
pojavJjuju se po jedanput, a 35 (7 X 5) vise puta.
14. Od tih 49 reCi, 42 reci se pojavljuju samo u jednom
obliku, a sedam u vise oblik:a.
Slicne k:arakteristike postoje i za stihove 12-17, prve
glave Jevandelja po Mateju.
Zapa.njujuce je da numericka vrednost svih reCi stihova
1-17 iznosi 42364=7X6052.
Prva glava navedene knjige ima 25 stihova. Kao sto
prvih 17 stihova sadrZi navedene karakteristike, slicno
moze da se nade i za stihove 18- 25. Na primer:
1. Broj razliCitih grckih reei u stihov~ma 18---25 je
77 (7x11).
2. Numericka vrednost svih tih reci je 51247 = 7 >~ 7321.
3. Od 77 grckih reei, 28 koristi andeo, govoreei Josifu.
4. Numericka vrednost tih reci je 21042=7 X 3006.
Za drugu glavu Jevandelja po Mateju navodimo dve
karakteristike:
1. Broj razliCitih grckih reci u drugoj glavi je
161 (7X23). .
2. Broj grckih slova u ovim recima je 896 (128 X 7).
90
Sve novozavetne knjige obiluju neverovatnim mnostvom
Cinjenica vezanih za broj sedam. Vee smo rekli
da je tesko izneti ih sve, jer predstavljaju pedesetogodiSnjd.
rad doktora Panina.
Ono sto stvarno predstavlja matematicki kuriozitet
Biblije jeste zakonito pojavljivanje broja sedam kroz ceht
Bibliju, a ne samo u pojed:inim knjigama. Rekli smo ,,ku-­
riozitet", jer je Biblija pisana od razlicitih ljudi i to 16
vekova. Na primer, medu imenima biblijskih pisaca stoje
vekovi, kao i razlicita podneblja. Evo nekih karakteri-·
stika vezanih za ta imena:
Broj pisaca Starog zaveta koji se navodi u Bibliji jeste
21 (7 X 3). Numericka vrednost svih ovih hebrejskih
imena je 3808 (7 X 544). Od ovih pisaca Starog zaveta, u
Novom zavetu se navode tacno 7. Numericka vrednost
ovih sedam imena iznosi 1554 (7 X 222). Najcesce spominjano
ime u Starom zavetu je David. Ono se pominje na
taeno 1134 (7X162) mesta. Ime Jeremija pojavljuje se
u 7 lmjiga Starog zaveta i to u 7 razliicitih formi hebrej-­
skog. Pojavljuje se taeno 147 (7 X 21) puta u sedam. ~njiga
Starog zaveta. Ime Mojsija, prvog pisca Biblije ~~sto~
rieari smatraju da je Mojsije napisao prV'ih pet kn11ga),
naiazi se u Bibliji na taeno 847 (7X121) mesta.
Zanimlj.ivo je pogledati kolika je verovatnoea da se·
konstrukcija Biblije kakva je izneta (a jos vi.Se ~akva n_a·
ovom lm-atkom prostoru nije izneta) desi slucaJno. Onima
koji su malo vise upuceni u matematiku nece biti tesko
da shvate nacin dobijanja verovatnoee, a drugima ostavljamo
da nam veruju. Neka, recimo, trazimo verovatnoeu
da se u jednom odeljku javi samo jedna karakteristika
sa brojern sedam (deljivoot brojem sedam) i to
na slucajan nacin. Ta veriovatnoea ce iznositi 1/7 (jedan
prema sedam). Dalje, verovatnoea da se na slucajan nacin
dese dve karakteristike sa brojem sedaan je (1/7) x
X(l/7)=1/49. TraZlimo li, recimo, da se u jednom
tekstu desi samo 24 razliCitih karakteristika sa broj
em sedam na slueajan naCin, dobicemo vero~at~oc~
1/191581231380566414401. Medutim, mnogi delovi Bi~Ztje
poseduju daleko veCi broj karakteristika od 24. Kohka.
je gornja verovatnoea, me>Zemo da shvatimo, ak? z~amo
da za sanse u obicnom Zivotu da se neS.to des1 ,,Jedan
91

prema 10000", kazemo da su skoro nemoguce. Mozda su
:slicne fanse, ako u vrecu stavimo delove sa.f.a i muckajuci
ocekujemo da se na slucajan nacin sklopi sat.
Numericka otkriea refavaju problem ,,broja lmjiga"
u Bibliji. 0 cemu se zapravo radi? Postoji mnogo starih
-knjiga koje velicaju Boga i koje govore o odnosu eoveka
i Boga. Medut im, nisu sve unete u Bibliju. Unete su samo
one, za koje su crkveni ve1ikodostojnici tvrdili da su
pisane pod ,,neposrednim rukovodenjem vise sile -
Boga". Takve lmjige su knjige otkrovenja. Stare knjige
k oje se \lpotrebljavaj\1 pri bogoslufonjima, a ne smatraju
se za knJ1ge otkrovenJa zovu se apokrifne knjige. Rimska
j ~re~ ka~:oHc ka. crkva ukljueuju u Stari zavet 14 ap?­
kr1fmh kn11ga koJe protestanti n e ukljueuju. Apokrifi tSU
pisani od 800 do 100 godina pre na.Se ere. Ako se posmatra
svih 66 biblijskih knjiga (bez a:pokrifnih) u njima
ce se naCi nenarusena harmonija broja sedam. Doda li se
"bilo koja nova knjiga, harmonija broja sedam se narusava.
Sa tog stanovista Biblija koju upotrebljava rimska
i grcka katolicka crkva nije taena.
Uvafavajuci ogroman t rud dr Panina, molimo citaoce
da kriticki pristupe iznetim Cinje.nicama vezanim za
broj sedam u Bibliji. Treba i·zvditi lieni uvid u delo dr
Panina i to proveriti citajuci Bibliju na njenom original­
.nom jeziku. Na falost, mi smo imali samo jedan izvor
(v. [33]). Ipa k, prostim brojanjem iznetih cinjenic:i vezariih
za broj sedam u B ibliji moze da se utvrdi da li je
ovaj kratak prikaz istiini.t Hi ne.
Sto se tice verovatnoce da je sve to moglo slueajno
da se desi, ona se kTece oko nule, dakle, ,,dogadaj
j e skoro nemoguc". Medutim, kako se u prirodi defava·­
j.u ,,n emogiuce" stvaDi tako je i zakonitost sa brojem seaam
mogla da bude slucajna. Ako i nije slucajna, mogao
je

4.6.1.4. Doprinos Biblije istoriji matematike
Zahvaljujuci Bibliji ocuvana je ist.orija starog Bliskog
istoka (Palestina, Sirija, Mesopotamija ·i Egipat), kao
.i ku1tura i nauka naroda koji su naseljavali t.o podrucje.
Narocito je opisan zivot Izraelaca za koje se u Bibliji
kaze da su ,,izabrani narod". Biblija spominje pic;menost
izraelskih kraljeva. Kralj David (10. v.p.n.e.) na dvoru
·drzi pisa'fa Saraja-Aramejca (2 Sam 8, 17), a iz drugih de­
Jova Biblije sa2111.ajemo da je i sam bio pismen. Slieno, i
drugi kraljevi i kraljice bili su pismeni (1 Car 21, 8; 2
-Car 10, 1; 2 Car 5,5). Takode se na mnogim mestima spominju
pisani dokiumenti. /
Stari Izraelci su se opasivali pojasom za kojim su bill:
bode:Z, vrecica sa novcem i pribor za pisanje za one
koji su :mali da pi.Su (Jez 9, 2).
4000 god. pre nove ere, dakle, mnog-0 pre od Izraelaca,
Sumeri su znali da piSu i smatra se da su izumeli
_prvo pismo. Kasnije, od njih pismo primaju Vavilonci,
Asirci i Hetiti. fumo im se zvalo klinasto.
I Egipcani je>S 3000 g. pre nove ere upotrebljavaju
pismo, koje se zove hijeroglifsko (za pojedine pojmove
. su imali crtane znakove).
Velilci stepen savdenosti pisma nastaje na podrucju
. gde su ziveli stari Izraelci (Kanaan ili Palestina). Tu se
stvara alfabetsko pi.smo, koje kasnije preuzimaju svi evropski
narrodri.
Biblija nam govori da su mnogi znali citati i pisati
'(Sud 8, 14).
Klinasto pismo ispisivano je na glinenim plocicama,
.a egipatski hijeroglifri na kozi ili papirusu koji je dobijan
iz biljke papirusa.
Starii. Izraelci su brojeve pisali slovima. Prvo slovo
alef = 1, bet = 2, gimel = 3 itd. U sledecoj tabeli je
data numeriOka vrednost svakog od 22 slova hebrejskog
.alfabeta.
:94
lo( .:l :\
.,
i1 1 r -11
AUF UT 'IMU.
'l 3 4 5 6 7 't> g
'I
....
5 ~ l 0 9 t> ~
""'
10 a> :)) 40 50 60 70 ~) 90
.... "'\ w J""'l
I , 0 I:'}
"' I
v
F
I
100 200 300 400: 500 fJOO 700 8CO 900
"
.-- - -- - - - - - - - - --- - -
I
Tablica 9. Bro}na wednost hebrejskog alfabeta
Inace, slova alef, bet, gimel, ... imaju svoja znacenja.
Alef = vo, bet = kuea itd. Svako od slova alef, bet, ...
ima sv:oju slovnu oznaku. Pismo sa takvim oznakama
zove se kvadratno, jer su oznake u vidu kvadrata.
Posle 200. g.p.n.e. svi biblijsk.i tekstovi pisani su kvadratnim
pismom, a J evreji i danas pisu ovakvim pismom.
Zanimljivo je da su stari Jevreji ranije imali drugaCije,
trouglaste oznake za slova. Takvo pismo zvalo se trouglasto.
Na primer, alef je imao oznaku 4:: •
Stari Jevrej~ su voleli simbolicko znacenje brojeva.
1
Posebna znacenja su imali brojevi 3, 6, 7, 9, 12, 144 itd.
Na temeljima simbolike razvila se kabala - tajn:i nauka
Hebreja. Mere, vage i kalendar koji se sreeu u Bibliji
iznosimo onako k.ako ih je proucio i izneo Adalbert
Rebic u knjizi Biblijske starine, Krseanska sadasnjost,
Zagreb, 1983. g. (v. [2]).
Kada je rec o nauci, o kojoj se u pravom smislu mofe
govoriti tek kod Grka, saznanja (pa i matematicka) u
Bibliji su uvek u sluzbi konkretnih stvari, to su prakticna
saznanja. Ne daju se uopstena pravila. Biblijski pl.sac
nije razvijao neke nauene teorije. Med-utim, istorijat nekog
pojma ne potice od trenutka njegovog uopstenja, vec
od njegovog prvobitnog praktienog zasnivanja, pa nadalje.
PSto cemo u daljem tekstu govoriti ,,pre vavilonskog
ropstva", ,,za vreme vavilonskog ropstva", ,,za vreme
vladavine Persijanaca" itd., dajemo kratak istorijat iz-
95

ae1skog naroda. Prema Bibliji, otac izraelskog naroda jeste
Avram, nomad, lutalica, koji je, prema istrazivacima,
:iiveo izmedu 19. i 13. veka pre nase ere. Nomadi stocari
su, lutajuci, dospevali do Egipta i tamo postepen0 pastajali
egipatslro roblje. Za vr eme Ramzesa II (1301-
1234. p.n.e.) Mojsije izvodi izraelski narod iz Egipta i posle
cetrdesetogodifojeg lutanja taj narod stize u ,,Obeeanu
zemlju" - Palestinu. Prvi kralj im je bio Sa ul (za
laalja izabran 1030. g.p.n.e.), zatim David (1010-970. g.
p.n.e.), pa njegov s·in Solomon (umro 932. g.p.n.e.).
587. g.p.n.e. vavilonsk.i car Navuhodonosor rusi Jerusalim
i hram u njemu, a Jevreje odvodi u .ropstvo. Ovo
vavilonsko ropstvo traje d-0 538. g.p.n.e. kada je persijski
car Kir srusio vavilonsko carstvo i ediktom dozvolio J e­
vrejima da s e vrat e u svoju domovinu. Persijsku vlast
rusi Aleksandar Veliki 322. g.p.n.e. I sada Palestina dobija
novu v.last, kao i novu - helenis ticku kulturu. Posle
Aleksandrove smrti na vlast dolazi dinastija Ptolomeja,
a zatim sirijski kraljevi Seleukovici do 142. g.p.n.e.,
kada se Jevreji pobunom Makabejaca oslobadaju.
63. g. n-0ve ere Judeja potpada pod rimsku vlast. Godine
70. Jevreji podifo ustanak protiv Rimljana, koji Rimljani
la·vavo guse. Jevreji su se razbe:lali po celoj Palestini
i od tada nastaje njihovo lutanje. ·
Mere za duzinu
4.6.1.4.1. MERE
Stari narodi kao mere za duzinu uzimaju ono sto im
Je najblifo, a to su delovi sopstvenog tela i priruena sredstva:
- palac (oko 3 cm)
- dlan (cetiri prsta spojena zajedno, oko 8 cm)
- pedalj (oko 25 cm)
- lakat (du:iina od lakta do kraja kaziprsta,
oko 50 cm)
- prut ili trska (oko 3,50 m)
NajviSe pominjana mera za duzinu u Bibliji jeste lakat.
Duzine nisu bile stalne. Upotrebljavale su se dve vrste
lakata: vavilonski (0.495 m) i kraljevski (0.55 m). Posle
vavilonskog ropstva upotrebljavao se persijski lakat
96
(0.441 m) i kraljevski (0.532 m). U vreme Aleksandra Velikog
koristio se grcki lakat (0.480 m).
Stari Jevreji imali su i ,,spravu" za merenje, a to je
kanap, Sto se saznaje iz Biblije: ,,Drvodelja raskze vrpcu
i biljezi crvenilom, tese i zaokr ufoje" (Is 44,13), ili
,,ko je O(iTedio mjere? Znas li? Ili ko je rastegao uze
preko nje?" (Jov, 38,5). MoZda su imali jos neke merne
instrumente, sto se moze zakljuciti iz sledeceg stiha
,, .. . Gos.pod .!fajase na zidu ·sazidanu po mjerilima. i u
ruci mu bijafu mjerila" (Amos, 7, 7).
PII'oro:k Jezekilj (627-570 g.p.n.e.), pricajuci viziju
koju je doziveo, spominje merne instrum.ente koje je ug­
·ledao: ,,S u zetom lanenijem u ruai ii s tmk.om mjerackom"
(Jez 40, 3).
Mere za put
Za put su se upotrebljavale sledece m ere:
- stadij (anticki = 177,6 m ; olimpijski = 19 ~, 27 m;
puCki = 198 m ; rimski = 185 m);
- da n hoda (predeni put pesaka za 7 sati, oko 30 km);
- parasanga (o.ko 30 stadija);
- milijar (rimska mera, oko 1000 koraka = 14'17 m);
- hvat (rastegnute obe ruke = 4 lakta = 1.776 m);
- korak (jedan pokret obe noge = 1.47 m);
- stopa (stopa1o).
Mere za tezinu
- homer (364.4 lit);
- efa (36.44 lit);
- sea (12.148 lit);
- gomer (3.644 lit);
- kab (2.064 lit);
- log (0.506 lit).
1 homer = 10 efa = 30 sea 100 gomera - 180 kaba.
97

4.6.1.4.2. VAGE
4.6.1.4.3. !'JC>VAC
Slika 15. Staroegipatska slika vage
Pre dolaska Izraelaea, u Kaanu su se upotrebljavale
vavilonske vage. Egipeani su porez dobijen od sirijskih
knezeva prema vavilonskim vagama preracunavali u egipatske
vage. Osnov vage bila je mera talenat.
Vavilonske vage
C>snovna mera bila je talenat, a manje mina i sekel.
1 talenat = 60 mina = 3600 sekela (ovde susrecemo vavilons·ki
sezdesetiC.ni sistem brojeva).
Postojale su tri vrste talenata:
- tezi talenat = 60.600 kg (1 mina = 1.010 kg, 1
sekel = 16.83 gram.a),
- lakSi talenat = 30.300 kg (1 mi.Ra = 0.505 kg,
1 5ekel = 8.41 gr),
- pucki taienat: - teZi = 58.932 kg, - lakSi =
= 29.466 kg.
Hebrejske vage
1 hebrejski talenat = 60 mina = 50 sekela = 20 zrna.
U Bibliji se j o5 spominje 1/2 sekela (Post. 24,22), l /4
sekela (1 Sam 9,8).
98
Kroz izraelsku istodju menjao se i novae koji su oni
upotrebljavali.
N ovac pre vavilonskog ropstva
Nazivi za novae i vage u starih Jevreja bili su isti.
C>vo s tog razloga sto se novae nije brojao, nego se vagao.
Do Davida upotrebljavao se srebrni novae, a kasnije
zlatni. C>snoV111a noveana jedinica kod Izraelaca bio je sekel,
a kod Vavilonaca mina. TeZ:ine su bi!le sledece:
- zlatna mina = 818,5 gr.
- srebrna mina = 727,5 gr.
- zlatni sekel = 16,37 gr.
- srebrni sekel = 14,55 gr.
U upotrebi je bio i talenat:
- zlatni talenat = 49.11 kg.
- srebrni talenat = 43.65 kg.
U Bibliji se nawdi da je Solomon kupovao konje za
150 sekela srebra, a k!>la za 600 sekela srebra (1 Car 10,29).
99

Novae za vreme vladavine Persijanaea
U vavilonskom ropstvu upotrebljavao se vavibnski
novae. Dolaslrom Persijanaaa na vlast upotrebljava se persijski
novae. Noveana ·jediniea se zvala dareih. Zlatni je
tezio 8.4 gr. a srebrni 5 gr.
Novae u vreme Aleksandra Velikog i posle
Poole osvajanja Aleksandra Makedonskog, upotrebljava
se grcki novae sa kraljevom s!likom. Ptolomeji su
upotrebljavali novae sa likom o:rla, a Sirijci sa likom
boga Jupitera. Znaeajna je godina 139. p.n.e. ka.da je sirijski
kralj Antioh VII dozvolio Izraeloima da sami kuju
svoj n ovae. Njihov srebrni sekel je na jednoj strani imao
zapi.sa!nu godinu kovanja, a na drugoj vrednost novca.
N ovozavetni novae
Novi zavet uglavnom spominje grcki
koji upotrebl.javaju Jevreji.
Grcki novae:
rimski novae
- drahma: srebrni novae od 4.366 gr, a zlatni pet
puta lakSi;
- starter: srebrni = 4 drahme, a zlatni 20 drahmi;
- didrahma: = 2 srebrne drahme;
- mina = 100 srebnih drahmi;
- talenat: = 6000 drahmi (oko 24 kg srebra).
Rimski novae
- dinar: tezina mu je bila 4.55 gr, a zatirn 9.898 gr.
1 zlatni dinar iznooio je 25 srebrnih;
- as: ~ooio .je desetinu dinara;
- dipendius: iznosio je 2 asa.
100
4.6.1.4.4. Jevrejski kalendar u Bibliji
UofavajuCi ustaljene putanje nebeskih tela, ljudi su
svoje vreme odredivali prema kretanju bib tela. Godinu
dovode u vezu sa Suneern. Dane, rnesece i godine odreduj
u prema Mesecu.
J os su stari Egipcani irnali suncevu godinu od 12
meseoi.
Stari Vavilonei su godinu zarpocinjali u prolece, a
dan je zapocinjao sa izlaskom Sunea. Godina se sastojala
od po 12 meseci sa po 29 i 30 dana.
Grci razV'ijaju kalendar do savrsenstva. Njihova Meseceva
godina im a 12 rneseei, 6 po 29, a 6 po 30 dana. Sastoja:Ia
se dakle od 354 dana. Sklad sa Suncevom godinom
su postizali uvodenjem 13-tog meseca. 536. g.p.n.e. uvodi
se prestupna godina (treea, peta i osma}.
Stari Rimljani imali su neclelje od po 8 dana, a svakog
devetog hlo je sajam. Oni su imali goclinu od 355
dana. Ta godima je imala 12 meseci, a 13. su uvodili po
po:trebi, radi usklad.ivanja. Godine 46. pre Hr.ista, Julije
Cezar uvodi su.neevu godrl.nu od 365 d ana. Svaka cetvrta
bHa je prestupna i imala 366 dana.
Na ovom mestu nam nije eilj da iznosimo S:iru istoriju
nastanka kalendara. Cilj je da se osvetli manje poznata
strana jevrejskog kalendara koji se koristio u jevrejskim
i hriSeanskim svetim spisima, tj. u Biblij-i. Nesumnjivo
je da ovaj kalendar ima korene u egipatskom i
vavilonskorn, jer su se dogadaji iz Biblije desavali na
prostoru stare Palestine.
Vise o kalendaru i vecitom kalendaru kazacemo u
posebnom poglavlju.
Stari Jevreji koristili su lunarnu (mesecevu) godinu
koja se sastojala od 354 dana. Godina .je lmala 12 meseei:
nisan, ijjar, sivan, tammuz, ab, elul, tisri, marhefoan, kislev,
tebet, sebat i adar. Nova godina zapocilnjala je u meseeu
tiSri (i5. septernbra do 15. oktobra). Crkvena nova
godina pocinjala je 1. nisana (15. mart}, danom kada je
Mojsije izveo J evreje iz egipatskog ropstva (Izl. 12, 2}.
Svaki rnesee hio je podeljen na nedelje od po 7 dana.
Sedmi dan se praznovao, a 6 se radilo (Izl. 13, 6; Izl .. 20,
8}. Nedelja dana se na hebrejskom zvala 8abua (sedrn1ca}.
Nakon 49 dana Jev.reji su slavili blagdan. Taj dan su
zvali pedesetica i1i pentekostes (gircki naziv}.
101

Jevreji su tak-Ode imall §abatnu godinu. To ;e svaka
sedma godina. Te godine zemlja se nije obradivala (Izl
23, 10-11). Specijalmo su proslavljali i svaku 49-tu godinu.
Ta godina se zvala jubilarna.
Dan je trajao 24 sa.ta, zapoeinjao je uvece kada bi
zaslo Sunce, a zavciavao se sutradan u isto vreme. Pre
v~vHonskog ropstva Izraelci st.:. dan delili na 6 nejedn3-
hh delova: strata (jevr. sahar), jutro (baker), vmcina
(9-12 .sati), podne (12-15 casova, sohorajim), popodne
(15 sati do ?JCclaska sunca, ne8et), vece (pOOinje ~ zalaskom
sunca, oko 18 casova, 'ereb).
v Sa ~~tkOJ? zalas~ •. Sunca ~jali su da prinose
zrtve, poClnJa.o ]e verski z1vot, pahle su se svetiljke. Noc
se d~~la na tri ~aze =. od zalaska Sunca do ponoci, od
ponoo1 do pevan]a prvih petiLova, od pevanja prvih petlova
do i2llaska Sunoa.
Za vreme Rimljana, Jevreji preuzimaju rimsku podelu
dana i noC.i sto se vidi iz Novoga zaveta (Mt 27, 46;
Mk 15, _25; Jov 4, 6). Noc je deljena na 4 straze od po 3
sata, a isto if.ako i dan. Koje je, recimo, vreme kada se u
Jevandelju kaze: ,,A od sestoga sahata bi tama po sVDj
zemlji do sahata devetoga"? (Mat 27, 45).
~rv:i sat je t_raja~ od 6 do 7 sati (po nasem vremenu),
drugi od 7 do 8 itd., sesiJi je bio u 12, a deveti u 3.
. Dani u nedelji nisu imali poseban naziv, nosili su na­
~1v ~ednog br?ja (prvi, drugi, .. . sesti). Sedmi .i'l imao
une l zvao se sabat, a dan pre njega dan priprave.
. U vreme Isusa sreee se suncev sat. N ocu se upotrebl]ava
vodeni sat.
4.6.1.4.5. Racunske operacije u Bibliji
v .1!3iblija ~elim . ~vojim tokom obiluje raeunanjem. Rac1;1na]u
se dimenz1Je Nojeve lade, racunaju se dani i oodin~
, racun je u proroekdm vizijama o izgradnji hra~o ­
v_a itd. Sve nam to svedoci o matema:tickom znanjL-1 stanh
Izrael.aca. Navescemo samo nekoliko citata koji se odnose
na racunanja.
. J?.opisi stanovnistva su se vrsili odvajkada, pa i u
M0Js11evo yreme. Evo biblijskog citata:
. ,,!zb~_oJte sav zboi_' sinova izrailjev1ih od dvadeset godm~
.1 vise po domovuna ataca njihovijeh sve koji mogu
i6i u vojsku u Izrailju" (Br. 26, 3). ' ·
102
Dalje se vidi da je sve to izbrojano:
,, ... A izbrojenih bjese medu njima cetrdeset i tri
tisuce i sedam stotina i trideset" (Br. 26, 7).
Stari Jevrejii. umeli su da mnoze u Mojsijevo vreme.
Evo sta kaze Mojsije, govoreei o zakonima kojih treba

4.6.1.4.6. Broj 7t (pi) u Bibliji
:31. 17. Medeno 1uakairno) .. more" iz Sol omonovog hrama (1. Car. 7.
27; 2. Dn. 4, 6) (rekonstrukci ja)
ViSe od 4000 godina ljudima je po:zmat broj 1:. Zap:avo
ime " dobija tek 1706. gqdine od engleskog naucmka
Dfonsa. Potice od grcke reei ,,perifelija".
Sta je zapravo broj 'It?
To je odnos izmedu obima kruga i njegovog preenika.
On je stalan, m a koliki bio obim kruga. Jednostavno
receno, ,,obim podeljen sa preCTrikom" daje broj 7t
koji pribliZino iznosi 3. 14. Inace, 7t je •broj sa oeskona~no
mnogo decimaJa. To je iracionalan broj (ne mofo da se
nap.i.S~ u .o~~ku razlomka koji je racionalan broj). Taj
b:~J 1ma JOs Jednu karakteriistiku, a to je da n.ij e resenje
DlJedne algebarske jednaCine. Racionalni to jesu. Na primer,
razlomak 1/5 re8enje je jedrnacine 5x-1=0. I za
104
neke iracionalne brojeve vazi da SU resenja nekih a1gebarskih
jednacina. Na pr.irner, iracionalni broj V 5 je resenje
jednaCine
x 5 -5=0.
Stoga broj 'It spada u takozvane transcedentne brojeve
Stari Egipcani su za broj 'it dobili vrednost 3.1605.
Ovaj broj su dobijali iz obrasca za povrsinu kruga. Naime,
u nafoj notaciji taj obrazac glasi:
(D - D/ 9) 2 , gde je D precnik kruga.
Ovaj obrazac je zaipisain u tzv. Rajndovom papirusu
(Rhind) napisanom oko 1650. g. pre n.e.
V.avil.on.ska, jevrejska ci. kiineska merenja za 7t daju
pl'ibliinu vrednost 3. Stari Indijci u religioznim knjigama
Dfainista iz VI veka pre nase ere za 'It dobijaju
vrednost 110, odnosno 3.162.
Sasvim dobru vrednost broja 'It u III veku pre nase
ere dobija Arhimed. On za broj 'It nalazi vrednost izmedu
3.1408 i 3.1429. ;
Dalji istorijat broja 7t neeemo navoditi, jer nas inter
esuje samo biblijska vrednost toga broja.
Biblija detaljno opisuje izgled Solomonovog hrama
u Jerusalimu. Hram je bio grandioznih dimenzija. Smatra
se da je Solomon imao uzora u staroegipatskim i vavil:onskim
hramovima. Inace, hram je do temelja srusen
587. g.p.n.e. od strane vavilonskog kralja Navuhodonosora,
oukada i poCinje izraelsko ropstvo. Unutrasnjost
dvoriSta u kome je smesten hram opisuje se u BibUji i
kaze se da se izmedu hrama i ZI'tvenika nalazi veliki umivaonik
koji se zbog svoje veliCine nazivao ,,mjedeno more".
Broj 7t zapravo nalazimo u opisu toga umivaonika.
Evo bi blijskog cita ta:
,,I sali more; 10 lakata bje5e mu od jednoga kraja
do drugoga, okruglo u naokolo, a .pet lakata bjese visoko,
a u naokolo mu bjeSe 30 lakata" (1 Car 7, 23).
Dakle, odnos i:mnedu obima i precnika iznosi 30/10=3.
Eto tog biblijskog broja iz 10. veka .pre nase ere. No kako
je za zidanje hrama Solomon imao uzora u starom Vavilonu,
ta vrednost za 'it je iz mnogo ranijeg perioda.
Naravno, ovde ne mo:Zemo oeekivati stepen izracunavanja
i apstrakcije broja 7t koju su imali stari Grci o~
Arhimeda pa prema novoj er.i. Do ovakvog odnosa stan
105

Vavilonci i Izraelci su mogli da dodu mereci, recimo, istiin
kanapom obiin kruga, a zatim preenik toga krnga.
U Bibliji nema traga o tome da se znalo da je odnos obima
kruga i njegovog precnika stalan, bilo o kakvom krugu
da se radi.
4.6.1.4. 7. Geometrijske figure i tela u Bibliji
Stari Izraelci su u Solomonovo vreme znali i za pojmove
geometrijskih figura i s1ika. Iz sledeeih nekolilrn
bi:blijskih citata saznajemo o tome:
,,A svetinja nad svetinjama unutra bjese dvadeset lakata
duga, i dvadeset lakata siroka, i dvadeset lakata visoka"
(1 Car 6, 20). Dakle, svetinja nad svetinjama 1 bila je
u obliku kocke.
,, Tako na ulasku u crkvu nacini pragove od drveta
maslinova na cetiri ugla" (1 Car 6, 33), odalcle vidimo da
su znali i za pojam ugla, a pSto se govori o bro.iu, verovatno
su baratali i pojmovima mnogouglova.
Sledeci stih govori konkretno o shvatanju pojmova
uglova i krugova:
,,Dubina umivaoniJka od vx-ha do dna nad stupcem
bijase s lakta i u vrhu bijase okrugla kao i stupac koji
bija5e od podrug lakta, i po vrhu joj bijase rezano, a
oplata joj bijase na eetiri ugla, ne okrugla" (1 Car 7, 31).
Prorok Jezekilj, govored o izgradnjd. svebi.n j0. kaze:
,,Od toga neka bude za svetiJnju pet stotine lakata
u duzinu i pet stotina u sirinu, cetvrtasto od svuda, i pedeset
la!kata unaokolo" (Jez 45, 2).
Medutim, evo najstarijeg dokumenta iz druge Mojsijeve
knjige Izlazak o poznavanju kvadrata:
,,Neka bude cetwrouglast, u duZinu s pedi i u sirinu
s pedi" (Izl 28, 16).
Zanimljivo je na ovom mestu spomenuti hram proroka
Jezekilja. Taj hiram bio je Jezekiijeva vizija, nikada
nije sazidan. Sam hram i sve u njemu predstavljeni su
apsolutno simetricno (videti poglavlja 40, 41, 42 i 43 Knjige
proroka Jezekilja). Primera radi, navodimo Jezekiljev
opis oltara u hramu: ,,A oltar da bude 12 lakata dug i 12
lakaita sirnk i cetvrtast sa cetiri strane" (Jez 43, 16).
106
Slika 18. Model hrama ii,z vizije proroka J.ezekilja
Legenda o N oju
4.6.1.5. Matematika i potop
Ispricajmo najpre biblijsku prieu o potopu . . . Po·
reCima Biblije, Bog se ,,pokajao sto je stvorio eoveka na
Zemlji i resio da sa Zemlje zartre sve od eoveka do stoke
i do siJtne zivotinje i do ptica nebeskih."
Jedini oovek koji je svojom krotkoscu zasluzio milosti
kod Boga bio je pravedni Noje. Bog je hteo da ga spase
pa mu je naredio:
107

,,Nacini sebi kovceg od drveta gofera i nacini pregrade
u kovcegu i zaitopi ga smolom iz.nutra i spolja.
I naCini ga ovako:
U duZini neka bude 300 lakata;
u sirinu 50 lakata;
I u visiinu 30 lakata;"
·dalje je naredio da kovceg ima tri sprata.
,,J er evo pusticu potop na zemlju da istrebim svako
telo, u kOime ima ziva du$a pod nebom; sto je god na
:zemlji sve ce izginuti."
· Evo ko je sve trebalo da stane u taj kovceg:
Noje, njegova tri sina, njihove zene. Zatim B0g nareduje
Noju:
,,I od svega ziva, od svakog tela uzeces, po dvoje da
sacuvas u Zivotu sa sobom, a musko i zensko neka bude."
,,Od ptica po vrstama njihovim, od stoke po vrstama
njeziniim i od svega sto se mice na zemlji po vrstama
njegovim, od svega po dvoje neka ude sa tobom, da ih
saeuvas u zivotu."
,,I uzmi sa sobom svega sto se jede, i cuvaj kod sebe
da bude hrana tebi i njima."
Dalje se u Bibliji kaze:
,,Posle sedam dana voda potopa d osla je na zemlju
... i lila je na zemlju kisa 40 dana i 40 no6i ... i povecavala
se voda i podigla kovceg, i on se podigao na
vodu . .. i pojaeala se izvanredno voda na zemlji, tako
su se pokrile sve visoke gore sto postoje pod celim nebom.
Za 15 lakata iznad njih pod·igla se voda . .. unisteno je
svako bice, koje je bilo na povrsini cele zemlje. Ostao je
samo Noje i sto je bilo sa njim u kovcegu."
Po Bibliji voda je ostala na zemlji jos 110 dana. Kada
je voda iscezla, Noje je nastanio opustelu zemlju sa svim
onim sto je bilo u kovcegu.
Pootavljamo pitanje.
Da Ii je mogu6no da kovceg navedeniih dimenzij'.l moze
da primi sve sto je u Bibliji nabrojano?
Uzmimo da je duZina lakta o~o 45 cm.
108
,, ~ ------- - ------- - - -- - - ---
_,." I
...+----------- -------------
,, _,. I
,, I
,,
,, ,,
Sli!ka 19. iDimenzije Nojevog kov~ega
Kako je duzina sanduka: 300x0,45 m
sirina:
50x0,45 m
135 m,
- 22.5 rn,
to povrsm a dna svakog sprata iznosi:
duZina x Sdrina=135x22.5 = 3040 m 2 ,
Celokupna naseljena povr""'Sllla svih triju spratova iz-·
nosi
3040x3=9120 m
2 •
Da vidimo da Ii su mogli da stanu samo sisari u kovceg.
Na zemlji ima pribliZno oko 3500 razilic ~tih sisara.
Kaiko je Noje u zimao Po par od svake vrste zivotinja, u .
kovceg je smesteno sedam hiljada sisara, plus hrana za
sve za 150 dana.
Na jednog sisara dolazi pov:rsine
9120 : 7000 = 1.3 m 2 (re2'ultat je zaokirufon) .
Pored toga potrebna je povrsina za celok!upnu Nojevu po-­
rodicu a bilo je potrebno ostavljati i prolaze izmedu kave.za,
{er SIU 7Jivotinje bile u kavezima da ne bi pojele jedne
druge ill iz drugih razloga. Daltle, teskoba samo za
sisare. Pored sisara, kovceg je morao da sadrZi jos mn~~ ·
gobrojne k!rupne i sitne zivotinje. Priblifoo ih na zemlJ1
ima u sledecem broju:
(vidi [54]).
Ptica
Gmizavaca
Vodozemaca
Insekata
13000
3500
1400
360000 itd.
109 1

Gde ih sve smestiti, kada je samo sisarima bilo te­
·sno. Da bi se smestile sve zivotinje i hrana za 5 mesed
za njih, potrebno je mnogo vise prostora. J ednostavan
matematioki ra6un pokazuje da je priea u Bibliji o potopu
nemoguea. Ko je upucen vi.Se u meteorologiju, neka
sebi da odgovor na pitanje:
Da li je mogao da bude takav pljusak koji ce za 40
dana da prekrije najvise vrhove na zemlji, uzimajuci u
obzir koliko najvise vode padne na metar .kvadratni, kolike
su najvi.Se planine, koliko zemlja upija vode itd.?
Priea iz Biblije se ne podudara sa matematikom. Ljudska
masta je sve preuvelicala. Medutim, pot.op se stvar­
. no desio. I ne samo jedan. Svaki narod ima poneku pricu
o potopu, pa bio to africki ili evropski narod. Arheo-
1ozi su dokazali i biblijski potop i to severozapadno od
Persijskog zaliva u sirini od 630 km a u duzini od 160
lrol. ?vo. je potop lokalnih razmera, ali kako je za st a­
novm~e iz 4000. god. pre na5e ere njihova okolina bila
.. ceo r:~1hov svet, oni su ga opisali kao sveopsti potop. (0
·detalJuna dokazanog potopa videti [11]).
4.6.1.6. Numericki simbolizam u Bibliji kod filozofa
ranog srednjeg veka
Biblija, ta cudna knjiga, vekovna inspiracija teologa,
·rnozofa, knjiZevnika i misliilaca iz svrl.h oblasti ljudske
· delatnosti, sva obiluje skrivenim znacima i simbolima.
- Mno~i su se bavili alegorijskim tumacenjima biblijske simboliike.
0 Bibliji i simbolic.kom broju sedam u njoj vec
smo govorili. Na ovom mestu iznosimo pokusaje filozo­
-fa iz ranog srednjeg veka da u brojkama nadu objasnje­
. nja biblijsltih prica.
Filon - uceni Jevrejin iz Aleksandrije, roden oko 20
godina pre n.e., iza sebe ostavlja citav niz filozofsko-re­
-ligioznih dela od kojih su se mnoga sacuvala i do danas.
.. Ra~atra Mojsijev sestodnev i pitag-0rejsk:u filozo­
. f ~Ju b1:?Ja. Pokusava da izmiri helenistick:u i jevrejsku
filozof11u - da izvede zakljucak da i Piitagora i Platon izvore
svoga ucenja nalaze u Mojsijevom petoknjizju .
. !~on u ~ji zi. 0 sklopu sveta (De mundi opificio)
· obJasnJava b1blijsko stvaranje sveta za 6 dana na sle­
. d eCi nacin:
.110
,,P O'Sto su stvari poeele da postoje ukazala se potreba
za redom. Red podrazumeva brojeve, a medu brojevima
po zakonima prirode naj.pogodniji za produktivnost
je broj 6. To je prvi savr8en broj buduci da je jednak
proizvodu svojih Cinilaca (1 X 2 X 3) kao i da je saCinjen
od njihove sume (1 +2+3). Njegova polovina je 3,
a treci deo je 2, sesti deo je 1. Mozemo reci da je po prirodi
i muski i zenski, i da je rezultat znaeajne snage oba.
Jer medu stvarima koje postoje, neparni SU muski, a parni
:Zenslci. Sada je od neparnih brojeva 3 pocetna tacka,
a od parnih 2, a proizvod oba je 6. To je bio zahtev da
svet, buduCi da je n ajsavcieniji od svih st vari koje su
postale, bu.de k0'.I1Stitui.san u skladu sa savr8enim brojem,
tj. sa 6. Sve sto postoji trebalo bi da primi otisak mesovitog
broja, u stvari prvi u kome su parni i n eparni kombinovani,
jedan koji bi trebalo da sadrii esencijalni princip
i od muskog koji seje seme i 2enskog koji prima
seme."
Ovaj odeljak, u stvari, koristi simbolicku analogiju .
Takvo Fii.lonovo filozof&ko znacenje shvatljivo je iz sledeCih
r azloga. On je bio aleksandrijski Jevrejin. Shvatao
je da je Stari zavet superiorniji od grekog mita i da
je izvor pitag.orejskog i Platonovog ucenja ba5 u St:arom
zavetu, a da nema korene u grck.im mitovima.
Opasnost Fifonovog nwneroloSkog ucenja je bila u
tome Sio se Bog svodio na broj. On Boga shvata na pitagorejski
naCin, kao jedan iJ.i monadu. Filonov izneti matematicki
red stvaranja sveta ogleda se u Platonovim
i

sa, smatra eminentnom pomoCi pazljivom interpretatoru"
. Sve stvaM su uredene ,,po broju i m eri i tezini".
Augustin smatra da Biblija mora da se shvati simboMcki.
Dok je u m.1adi6kim danima svoga zivota Bibliju.
shvatao bukvalno, odbacivao je Hristovu nauku kao punu
protivrecnosti.
Kada je Augustin poceo da slusa propovedi biskupa
sv. Ambrmija, biblijska tvrdenja za njega postaju istinita.
Sv. Ambroztlje je Bibliju tumacio alegorijski. Augustin
i sam pCinje da objasnjava skrivena znacenja B iblije
i misteriozno znacenje broja u njoj. ·
Zanirnljivo je obja8njenje Augustina za.Sto su dimenzije
Nojeve lade bas takve kakve su date u Bibliji. Kao
sto smo vee izne1i, dimenzije lade su: duzina 300 lakata.
Sirina 50 lakata i Visina 30 lakata.
I
Avgustin objasnjava da dimenzije lade nisu slueajno
it~kve i ?a one simbolizuju ljudsko telo u k.ome je
Spas1lac (Hr1stos) trebalo da se pojavi. P olozi l:i se ljudsko
telo na zemlju, dobija se odnos kao kod lade. Nai­
~e, duzii:i _ Ijuds~~o~ tela od glave do pete sadr zi 6 put::i
n1egovu. smnu (sirma ramena) i 10 puta njegovu visinu
od zeml1e na .koioj lezi telo (misli se na d uzinu od leda
do grudnog kosa). Isti odnos je i kod kovcega:
duzina (300) = 6 sirina (6 x 50) = 10 visina (10 x 30).
Avg~stin kaze da vrata na stran~ lade predstavljaju
ranu ko1u su vojnici napravili kopJjem na telu H ristovom.
Avgustin takode numeroloski obja8.njava i Nrnii zavet.
T.ako na primer, kada objasnjava zasto je 7 apostola
uhv_atilo 153 ribe (Jov 21 , 11) on kaie da je 153 ukupan
broJ svetaca kojii ce vaslasnuti. Taikode, 153=1+2 + 3 ... +
+ 17, predstavilja zbir prvih 17 brojeva. Takode, to je trougaoni
broj (videti poglavlje o Pitagmu). ·
. Broj 40 je takode znaeajan za Avgustina. Poplava
tr:~~e 40 ?ana. Posle rodenja deteta bilo je 2 X 20 dana pre­
C1scavan1a.
. Domi~acija Palestine nad Izraelom traje 40 godina.
~vo ~senje u ,pustilnji •traje 40 da.na. Hebreji 40
godina lu.taJu po pustinji do Obeeane zemlje. ·
y • o~~jeni ,,_n~meroloskri" biblijski t~kstovi za tumacenJe
bih su VlZlJe proroka Jezeikiilja, Danila itd.
112
Hugh iz Svetog V~ktora takode se bavi a,legorijskim
tumacenjem Biblije, koristeci se njenim numerobskim
svojs~vima. Predavao je u opatiji sv. Viktora u Parizu
od 1125. g. do 1141. g. On stvaira citav sistem znacenja
broje;.ra u Bibliji. Najvise ga interesuju racunsika svojstva.
Po njemu ih ima 9. U stvari, on daje jedan logi:'::ki
poredak koji obuhvata sve osnovn e nacine za d\)bijanje
simboliCkog znacenja brojeva. Na jedan broj moze da
se primeni vise navedenih operacija sto omogueuje veliki
kompleks simbolickog znacenja. Raeunske operacije
koje Hju navodi jesu:
1 - Prema poz'.ciji. 1 - prvi od svih brojeva, oznaeava
principe svih stvari. Dva oznacava greh itd.
~ Prema kvalitetu njihovog sastava. Na primer,
dva se moze deliti tako da oznaeava korupciju i prolaznost
stvari.
3 - Prema nacinu sirenja. Na pl"imer, bro j 8 posle
7 oznaeava vecnost posle promenljivosti. 9 u 10 oznaeava
defekt u perfekciji; 11 iznad 10 oznaeav:.1 prekoracenje
mere (od 10 zapovesti). .....
/
4 - Prema transformaciji. Na primer, 10 rasireno
u liniji oznacava pravilnost vere, a stotin:i se proteze
u sirinu, sir..:nu milosrda.
5 - Prema nacinu na koji se broj izracu.nava. Tako
je 10 periferija, posto ovaj broj u sebi sadr:Zi sv:i izra­
(;unavanja.
6 - Prema mnozenju. 12 oznaeava univerzum, posto
je proizvod o:i 4 (telesnog) i 3 (duhovnog).
7 - Prema sabiranju. 6 je zbir svojih cinilaca, pa
je savrsen.
8 - Prema broju delova brojeva. Na primer, 3 ozna
cava trojstv-0, 4 - cetir i god.i8nja doba itd.
9 - Prema preuvelieavanj'!J-. H ju ovde misli na. velike
brojeve kojima zeli da se naglasi n eki dogadaJ .
Iz nave.dena 3 primera (Fiilo, Avgusrtin i Hju) vidimo
da se alegorijske funkcije broja koje su origlnalno
opisali Pitagora i pitagorejci prihva.taju i unutar rane
hriScanske tradicije.
Navedimo samo i to da je, takode, bilo j ev.~~j skih i
paganskih mislilaca koji su naslednici apstraktnl)1h, Platonovih
ideja koje se ticu matematike.
113

4.6.2. Kur'an - matematiCko cudo
4.6.2.1. Uvodno razmatranje
Slucajno mi je dopa.la saka knjiiga Kur'an najsavr­
.senija mudziza Ahmeda Didata (Ahmed Deedat) u prevodu
Hajrudina Dubrovca. 1 Knjiga me moZda ne bi toliko
privukla da na naslovnoj strani nisam zapazio ovakaV"
tekst:
,,SluzeCi se najsavrsenijom metodom nauenih dokaza,
naime matematikom, goop. Deedat u ovoj knjizi razma
tra f.izicke, ispitljive dokaze da je Kur'an nepogresiva
bozija ree."
Ovo me je kao ma·tematieara nagnalo da proCitain
vu lmjigu i da se ske zainteresujem za matematiku, ne
samo u Kur'anu, vee i za matematilru u drugim religio­
:znim knjigama, kao i da ramiisljam o eventualnom odnosu
maternatike i religije.
Matemaitika je nauka i kao ta'kva ne moze da sluzi
·za dokaz da postoji Bog. U Kur'anu je ona aparat za cudesnu
,,matematicku" konstrukciju ove iknjige. Stoga,
Kur'an isklj-ucivo posmatramo kao ,,matematicko cudo".
Da bismo bolje ra~umeli ono o cemu cemo pisati,
odgovoricemo na neka pitanja vezana za Kur'an. Citirani
d elovi iz Kur'ana oznaceni su sa dva broja u malim
zagradama. Prvi predstavlja broj poglavlja, a drugi broj
a jeta (numerisana ,,obj:ava" u Kur'anu). Kori.Seen je prevoo
Kur'ana naveden u literaturi.
1. Sta je to Kur'an?
Kur'an je naziv svete 1mj1ge islama. To je svojevrsna
zbirlca vise verskih knjiga (svako poglavlje K1Lr'ana
moze da bude knjiga za sebe). Prema pobornicima islama,
predstavlja ,,Qbjavu" Muhame

v Ova bjava tumaci se kao ,,pretnja" svima onima koji
kazu da Je Muhamed autor Kur'ana, a ne Bog. Svi oni
moraju da se suoce sa ,,deve:tnaest".
Dugo se nagadalo sta zapravo znaci ovaj broj devetna~st:
Iznosin:o cinj~nice iz Kur'ana, vezane za broj 19,
k'?~e Je dr Resad H~lifa uzeo kao naueni dokaz da Kur'an
IllJe mogao da napise jedan eovek, a pogotovu ne nepismeni
Muhamed.
Prva recenica Kur'ana ,,bismillahir-rahmanir-rahim"
sadrzi 19 slova (vidi arapski tekst na slici 20).
~ ~ c ~· ~ ~ ~ ~ r ~ ~' ',J J ',_, ""'""
I: I 1 111 \\\\\,\''\'I
I I I I I I I 1 \ \ \ \ \ \ \ \ , \ I
I I I I I I \ \ \\\ \
:• 11 ,,,,,,,,,,,,,
1 I I I I \ \ \ \ \ \. \
I I I \\\\\\\\
•' '' , 1' I\ \\\\,, 1 \\ I
19 18 1716 15 14 1~ 1 '2. tt {} 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Slika 20. Sismillahir-Rahmarur-Rahim
u prevodu ta recenica znaci:
,,U ime Boga, opsteg dobrocinitelja, milostivoga".
Dal~e, s':'aka rec iz te prve reeenice, pojavljuje se
odre~en1 ~rOJ pu~. u Kur'anu, a taj broj je deljiv sa 19.
Ov~ Je vec s~ozemJe brojanje za coveka, pa dr Refad pomocu
kompJutera dokazuje to tvrdenje (videti knjigu
The perpetual m iracle of Muhamed - Vecito cudo Mnhamedovo,
str. 200).
v • ~vo taenog broja pojavljivC11I1ja reci u navedenoj recen1ci.
·
Ism (ime) • . • . • . • . . . . . . . • 19 IPUi.a +~
Allah (bog) . . . . . . . . . . . . . . . 2698 (19 X 142) puta
Errah:nan (najmilostivijd) . . . . . 57 (19 x 3) puta
Errahim (najmi1osrdniji) . .. .. 114 (19 X 6) puta.
Ve~ smo re~i da je Kur'an podeljen na 114 (19X6)
poglavlJa. Zapaza se da se recenica .
., ,,U irr;e Boga, opsteg dobrocinitelja, milostivoga" jav­
1
).a na poc~ku svalrog poglavlja izuzev poglavlja 9. Znac1,
na prvi pogled, ova recenica se javlja 113 puta ·u
116
Kur'anu, a taj broj nije deljiv sa 19. No harm onija broja
19 u Kur'anu ov.im nije poremecena, jer se navedena
recenica javlja u poglavlju 27 i to u ajetu 30. Dakle, javlja
se 114 puta, a to je deljivo sa 19. ·
Na poeetku nekih poglavlja u Kur'anu na'laze se izvesne
,,sifre", sastavljene od arapskih slova. ,,Sifre" sadrze
1, 2, 3, 4 ili 5 slova. Arapska abeceda ima 23 slova
a za spomenute sifre je upotrebljeno tacno pola (14 slova):
Od njih je napravljeno 14 kombinacija koje se javljaju u
29 poglavlja. Sta je matematika ovde otkrila?
14 slova + 14 kombinacija + 29 poglavlja = 57 (19 X 3).
Napomenimo da su spomenuta slova oblika ,,elif",
,,mJm" , ,,ta" , ,,ha" iitd. Na primer, na poeet~u poglavlja
20 nalazi se ,,sifra" sastavljena od 2 slova ,,ta" i ,,ha"
glasi ta ha.
~itmetiika broja 19 vezana za ,,sifre" je sledeca ·
1. Posanatrajmo poglavlja 50 (Ka.f) i 42 (Es-Sura). Poglavlje
50 po6inje sifrom (slovom) ,,kaf" ili ,,k" , a tako
se i zove. Poglavlje 42 kao sifru ima kombinaciju od 5
slova, a zadnje je ,,kaf". Dakle, oba poglavlja imaju 7,ajednicko
svojstvo, sadrze ,,kaf".
Poglavlje 50 ima 57=19 X 3 ,,kaf-ova", kao i PQg:
lavlje 42. Oba, dakle, imaju 114=19X6 ,,kaf-ova". Ovde
m oze da se nade neka sim.bolika. 114 ,,kaf--0va", ,,k" je
prvo slovo od Kur'an, a ovaj ima 114 poglavlja, na svako
poglavlje po jedno ,,k", tj. svako poglavlje Kur'anri je
opet Kur'an.
2. Svaiko poglavlje koje ima na pocetku neku ,,sif­
Pu" sadrzi svaiko slovo te ,,sifre" odredeni broj puta koji
je deljiv sa 19.
3. Zanimljivo je napomenuti da u Kur'anu 8 poglavlja
imaju ru siframa zajednicka slova ,,elif", ,,lam" i
,,mim". Izbroje li se ova slova u svih 8 poglavlja. nj.ihov
broj iznosi 26676=19X1404, dakle, opet broj deljiv sa 19.
4. 7 poglavlja (40, 41, 42, 43, 44, 45 i 46) imaju na
poeetku sif.re sa slovima ,,ha" i ,,mim". Sabere 1i se pojavljivanje
svih tih slova u navede'Ilim poglavljima, njihov
broj je 2166 = 19X114.
5. Slova ,,ta" i ,,sin" u poglavljima koja imaju bile
k oje od ovih slova u .,siframa" (poglavlja 20, 26, 27,
28, 36 i 42) ima 494 (19 X 26).
117

6. ,,Ta", ,,sin" i ,,m.im" u poglavljUn.a koja imaju bilo
koje od ov:ih slova u ,,sif.rama", pojavljuju se
9177 .(19X483) puta.
7. Slova ,,elif", ,,lam", ,,m.im" i ,,ra" u poglavlju
El-Rad (pogl, 13), gde su navedena slova u ,,sifri" ima
1501 =19XW.
8. Slieno, slova ,,elif", ,,lam", ,,mim" i ,,sad" k.oja se
· pojavtljruj:u u sifri poglavlja 7 (El-Araf) ima 5358=19 X 282.
9. Sliieno, slova ,,.kaf'', ,;ka", ,,ja", ,,ajn" i ,,sad" koja
se pojavljuj1U u sifri poglavJ:ja 19 (Merjem) ima 798 =
=19X42.
10. Slieno, slova ,,na", ,,rnim", ,,ajn", ,,sin" i ,,kaf''
koja se pojavi1juju u Scifoi poglavJ.ja 42 (Es-Sura) ima
570=19X30.
11. Slova ,,el.if" u svih 13 poglavlja u kojima se pojavljuju
u ·siframa Cpoglavlja 2, 3, 7, 10, 11, 12, 13, H,
15, 29, 30, 31 i 32) ima 17499=19X921.
12. U istim pogilavljima kao gore, slova ,,lam" ima
11780=19 x 620.
13. Slova ,,md.m" u svih 17 poglavlja u kojima se pojavljuju
u Sif.rama (poglavlja 2, 3, 7, 13, 26, 28, 29, 30,
31, 32, 40, 41, 42, 43, 44, 45 i 46) ima 8683=19 X 457.
Navodimo joo neke matemaiticke zakonit.osti koje su
otkrivene u Kur'anu.
1. Prvo poglavlje Kur'ana koje je objavJ.jeno, zove
se ,,El-Mek" (hr. 96) i ono je devetnaesto gledajuci od nazad.
2. Gornje poglavlje sastoji se od 19 ajeta.
3. Sadrli 285 slova (harlova), a 285=19X15.
4. Muhamed je najpre primio prvih pet ajeta navedenog
pog.lavlja. Tih 5 ajeta sastoji se taC:n.o od 19 reci.
5. Drugi put je Muhamed primio prv1h 9 ajeta poglavilja
,,El-Kalem" (poglavlje br. 68). 'Thh 9 ajeta se sastoji
od 38 re-CT (19 X 2).
6. Trece pTintanje objave od andela Gabriela predstavlja
u Kur'anu pmh 10 ajeta poglavJ:ja ,,El-Muzzemmil"
(br. 73). Ovih 10 ajeta sastoji se od 57 reei (19 X 3).
7. Cetvr:ti. put Muhaaned dobija ajete poglavlja ,,El­
-Muddess.ir" (br. 74) tac.no do ibroja 19. Poolednji 19. ajet
koji je Muhamed dobio u ovom cetvrtom navratu, upravo
glasi ,,nad njim je devetnaest". U Kur'anu on nosi oznaku
30.
118
8. Peti put ,,andeo donosi" prvo potpuno poglavlje
a to je ,,El-Fatiha" i ovo poglavlje poeinje sa
, , bismillahir-rahmani-r-rahim".
Vee smo videli da u arapskoj transkripciji ova recenica
ima 19 slova. Zanimljivo je da je ovih 19 slova objavljeno
posle spominjanja broja 19 u pog.lavlju ,,El-Muddessir".
9. Vee je spomenuto da se reeenica ,,U ime Boga,
opSteg dobroeinitelja, milostivoga" nalazi na pocetku svih
poglavlja, izuzev u pogil.avU:ju 9 (,,Et-Tevbe"). Medutim
u poglarvlj.u 27 (,,En-Neml") ona se nallazii 1J1.a dva mesta
na pocetku poglavlja i u ajetu 30, cime je postignuto
da ih u celom Kur'anu ima 114 (koliko i poglavlja). Neka
je deveto poglavlje ,,Et-Tevbe" prvo u brojanju. Zatim
deseto ,,J'UJil,us" - dnugo irt:.

prema kojoj je prava prakti6na aritmetika bila puka
senka. Njihova matematika neminovno vodi do nemaierijalnog
i veenog.
Inace, filozofi-skolastica:ri srednjeg veka vrlo su zasluzni
sto teorijska matematika niie nestala iz t•.)ga doba.
PovezujuCi Platonovu i Aristotelovu filozofiju sa svojim
razmisljanjem o prirocli bofanstva, skolastieari dolaze
do zanimljivih zaikljucaka (narocito kada je rec o beskonacnosti)
iz oblasti matematike. Sveti Avgustin u Civitas
dei uzima niz svih celih brojeva kao a.k.tuelnu beskonacnost.
Govoreci o brojevima, on u svojim Ispovestima kaze:
,,Osetio sam svim osetilima svoga tela i brojeve koje
brojimo, ali drugo su brojevi kojima brojimo; oni nisu
slike predmeta koje brojimo, i upravo zat-o imaju svoj
bitak. Ko ih ne vidi, neka mi se smeje sto to govorim,
a ja eu :Zaliti on oga koji mi se moze smejati." '
J edan od znaeajnijih neopiitagorejaca, Nikomah (1.
vek nase ere), pise Uvod u aritmetiku, prvi rad koji u
potpunosti izdvaja aritmetiku od geometrije. U toj arjtmetici
on klasifikuje .brojeve, ali sve se zasniva na njihovoj
mistici. Mot.o njegove nauke o brojevima je taj
da bofanski broj postoji u umu Boga stvoritelja. On kafo:
,,Sve sto je u prirodi, odredeno je i u saglasnosti sa
brojem, prema predumisljaju i. umu onoga koji je sve
stV'Orio. Obrazac je fi.ksiran kao prel:iminarna skica, dominacijom
broja koji je prethodno egzristirao u bozijem
umu, broja koji je samo konceptualan i nematerijalan
na svaki naCin, a u isto vreme istina i vecita bit, pa tako
u odnosu na njega, kao na neki umetni.cki plan, trebalo
bi kreirati sve ove stvari, vreme, pokret nebesa, zvezde,
posto je naucni broj postavljen u ovakvim stvari·­
ma, treb3lo bi da je harmonieno konstruisan u skladu
sa samim sobom."
P-o njemu je, u stvari, matematicki broj iednostavno
priprema za bo:Zanski broj. Brojevi su, po Nikomahu,
i~~n:ite i vecite sustine. U svoj-oj arirt:metici on brojeve klas1f1kuje
na savrsene, bogate i oskudne, pravi razlik:.t izmedu
parnosti i nepar-nosti, izmedu prostih i relativno
pr'Ostih (dva broja koji se ne mogu m edusobno podeliti
1
t koji nemaju zajednicke delitelje, pr. 21 i 25). Takode
~ovori o slikovitim brojevima. Pravi razliku izmedu bro­
Jeva i kolicina:
120
Brojevi: - apsolutni i sami pu sebi = aritmeticki
- sa zajednickim relacijama = muzicki;
Kvantitet: -u stanju mirovanja = geometri,ia
- u pokretu = astronomija.
Posebno Nikomah istice dekadu kao ,,meru za sve":
,,Ali kako je sve bilo jedno neoisraniceno mnostvo,
nedos-tajao je red ... , a upravo je u dekadi postojala ravnotefa
izmedu skupa i njegovih elemenata. . . Zato se
Bog, koji ureduje svet rukovoden svoj'im umom, posluzio
dekadom kao za.k.onom za sve i zat;:> su celine i delovi
svih stvari neba i zemlje odnosi sklada, na njoj zasn-:;.vani
i po njoj uredeni."
Za dekadu, Ntkomah j oS kaze:
,,J er je mera za sve, kao visak i kanap u rukama
tvorca."
Bice zanimljivo da razmotrimo misticno znacenje
brojeva iz teksta De nu.ptiis od M. Capella.
On kaze da monada treba da bude ob-ofavana. Postoji
jedan Bog. Jedno Sunce i jedan svet. 2 cini linlju. To
je broj ienskoga roda. Sposoban je za posredovanje, jer
ima udela u dobru i zlu, pa tako ima nesto zajednicko sa
pravdom. 3 je prv.i broj koji ima pocetak, sredinu i kra.i,
,,zato on oznacava perfekciju sveta, jer monad~odgovara
Bogu stvoritelju, broj dva stvaranj.u stvari, a tri
je ka.o posledica". To je mus·ki broj. Savrsenstvo broj a
4 lezi u njegvoj stabilnosti. Covek ima 4 starosti (doba),
4 greha (poroka), kao i 4 vrline. 5 pred&tavlja zbfr 3 i 2,
muskog i zenskog. Predstavlja broj sveta. Pomnozen neparnim
brojevima stalno se ponavlja. 6 je savrsen broj,
jednak je zbiiru i proievodu svojd.h Cinilaca (1 +2 + 3 =
= 1 x 2 x 3 = 6). 7 je cist broj (,,.nevin"), eovek ima 7 otvora
na glavi. Zubi rastu u sedrmom mesecu zivota, a obnavljaju
se u sedmoj godini itd. 8 predstavlja kub
2 X 2 X 2 i zove se vulkan. Savrsen je, jer je poln~i. ven perfektnim
brojem 6 (kub ima 6 strana). 9 se takode smatra
za savrsen broj, jer je proizvod dve trojke, dve ,,p~rfekcije
sveta" i tezi kraju (broju 10). To je perfekc1.ia,
jer u1kljucuje sve do sada receno.
Kao sto se vidi Nikomah i Capell koniste matemat
iku da bi pojednostavili ono sto izgleda kao neki racionalni
red za univerzum u njegovom stvaranju i rasporedu.
121

Koreni raznih miSljenja o brojevima zapravo leze
u hriseanskim i paganskim nacinima razm.isljanja. Dva
je smat:rano za zao broj. U Bibliji, buduci da se svet stvarao
za 6 dana, posle svakog dana, zapisano je da je Bog
video da je ono sto je stvorio dobro, izuzev drugog dana.
Na pr. prvog dana Bog stvara svetlost. U Bibliji (Moj 1,
45) pise ,, ... I vidje ·Bog svjetlost da je dobra; ... i bi
vece i bi jutro, dan prvi". SliCno p.IBe za dane 3, -1, 5. i 6,
i:ziuzev dI'lugog dana. Takode u Bibliji stoji da je Noje u
svoju barku stavljao po dve zivotinje od svake vrste,
pa i od .necistih. Takode dva, u filozofskom nacinu razmiSljanja
hriseansk.ih mislilaca, predstavlja deljenje celine.
Zatim predstavlja bilo koja dva suprotna entiteta.
Platon smatra da su svi pami brojevi zloslutni.
Trijada ima veliki prestiz kod hriseanskih mislilaca.
Sve dobre stvari idu po tri. On je takode i prvi od tzv.
svadbenih brojeva. Brak neba i zemlje stvoren, je posredstvom
treceg principa - Erosa. Za Dantea 3 simbolizuje
ljubav.
Macrobius hoce da pokaze numericko poreklo materijalnih
stvari. Veruje da matematika ,,vuce dusu navise".
4.8. MATEMATIKA I CRKVENI PRAZNICI OTKRIV AJU
ISTORIJSKE DOGADAJE
v v, Starre knjige, opisujuC.i neke dogadaje iz istorijE:, najcesce
ne govore o danu i mesecu u kome se dogadaj odigrao,
vec navode cnkvene praznike. Primera radi, ·drugi
srpsk:i ustanak se desfo na Cveti 1815. g., ili sveti Sava ie
krunisao brata Stefana u Zici na Spasovdan 1220. g. (kako
k~ ze Teodosije). Moie da se desi da se spominjP. dat~
1 crkveni praznik, a da se ne spominje godina. Na
primer, prota Mateja kaze da su se tukli sa Turcima kod
Les~ice na Lazarevu subotu 16. aprila. U svim ovim prim
e r~ma odredujemo datum dogadaja ako znamo odrediv~nJ
e datuma praznovanja Uskrsa. Znajuci ovaj datum,
m1 lak~ odredujemo sve druge crkvene praznike. Baveci
se, ~odin~'ma, starim srpskim zapisima i natp~sima, akad~~mk
LJ~~ir Stojanovic se mnogo susretao s:i polov10no
?atu:am:"1 dogadajima. Kaiko je osnova za pravilno
datiranJe tih dogadaja izrncunavanje praznovanja Us-
122
I \:.. krsa, mi cerno nzmotriti ono sto Ljubomir Stojanovic iznosi
u svojoj sestoj knjiizi starih sr.ps.kih zapisa i natpiaa
(v. [59]). Dacemo nacin za izracunavanje Uskrsa cisto
matematickirn purtem. Napominjemo da postoje mnogi ,,veciti
kalendari" U kojima SU date praktiene tablice za izracunavanje
UskI'ISa. Takode, tablice mogu da se nadu i
kod Ljubonrira Stoja.noViiea (•v. [59], lkao li. u [56], [57],
[21)).
Pre nego sto prakticno ~esemo katko se izracunava
datum Uskirsa za bi'lo koj.u godinu, razjasnimo ncke·
neophodne termine.
Uskrs: rpraznik hri.Sfana. Slavi se kao uspomena na
dan katla je Hristos vaskrsao iz mrtvih.
Praznuje se posle prolecne. ravnodinevice, u prvu nedelju,
17. dana od mladog meseca (mladine).
U vreme raspeea Hrista proleena ravnodnevica je padala
21. marta. Za odredivanje kada neke godine pada
Uskrs bitno je da se zna kada je te godine mladina pred
prolecnom ravnodnevicom. Ka.da se ovo zna, onda se·
U~krs odreduje na sledeC.i naCin:
1. Ako neke godine mlad mesec pada 4. marta, sedamnaesti
dan posle ovoga je 21. mart. Ako se desi da
je tada subota, Uskrs se slavrl. u nedelju 22. marta i ovo·
je ujedno najra.niji datum Uskrsa.
2. Ako mla.dina u nekoj godini pa.dne pre 4. marta,
onda pr va nedelja posle 1 7 dana moze da padne pre proleene
ravnodnevice, pa se Uskrs pra~uje posle nove mladine
u aprilu.
3. Desi 1i se da mladina pad:ne 1. aiprila, onda je sedamnaesti
dan posle ovoga 18. april. Ako je tada subota,
Uskrs se slavi u nedelju 19. aprila.
4. Datum rkoji ;padne posle 17 dana od mla.dog meseca,
zove se paskalna granica. Najranija je 21. mart, a
najkasnija 18. april.
5. Padne li paskalna granica u nedelju, Uskrs se s1avj
u sledeeu.
Nedelju posle pa.skalne granice odredujemo uz pomoc
suncevog kruga i nedelj111og dana 1. septembra, a.
mladinu pomoeu mesecevog kruga i epakte.
Krug meseca: Padne li neke godine .mlad mesec
u dan proleene ravnodnevice, kroz 19 godm8:, dvad e ~
sete godine, rnlad mesec opet pada na ravnodnev1cu .. Br?J
19 zove se krug meseca. Pocetna epoha za raoonanJe 1e
123

vizantijska era, tj. 1. septembar 5508. g.p.n.e. Ova godina
je, u stvari, uzeta kao godina kad a je Bog stvorio
svet (prvi dan stvaranja je, kako pravoslavna crkva smatra,
bio 1. septembar 5508. g.p.n .e.)
Do Hristovog rodenja proolo je 5508/19=28l) mcsecevih
krugova i jos 17 godina kao ostatak. Sada bko racunamo
za bilo koju go.dinu nase ere, koja je to godina
mesecevog kruga.
Izraeunavanje meseeevog kruga za bilo koju godinu
nase ere vrsi se tako sto se toj godini d oda 17, taj se zbir
podeli sa 19, pa je ostatak deobe godina meseceva kr u­
ga za trazenu godinu. Na primer, treba naCi. godinu meseceva
kruga za 1925. g.
1925+17=1942; 1942/ 19=102 i ostatak 4. Dakle, 1925. g.
je cetvrta godina meseceva k.ruga.
Epakta: predstavlja razliku koja oznaeava koliko
dana ranije pada meseceva mladina izmedu jedne i druge
godine u mesecevom krugu od 19 godina. Naime, za
suneevu godinu iuzima se da 1znosi 365 dana. Kako od
mladine do mladine prode 29,5 dana (tzv. sinoclicki mesec),
to 365 : 29,5=12 sinod:ick ih meseci i 11 dana kao
ostatak. Znaci, ako je u jednoj godini mlad mesec bio
odredenog datuma, 00.uce godine pc.da 11 dana ranije,
sledece godine 22 dana ranije itd. Te razlike 11, 22
itd. zapravo se zovu epakte odgovarajuce godine m e­
seceva kruga. Za bilo koju godinu epakta se prakticno
racuna na sledeci nae in: goclina meseceva kruga
za posmatranu godinu pomnozi se sa 11, proizvodu doda
3 za krugove 1- 16, a za krugove 17- 19 doda se 4, pa
zbir, ako je veci od 30, pod elimo sa 30. Ostatak predstavlja
epaktu tog mesecevog kruga. Na primer, zanima
nas epakta za 1925. godinu. Godina meseceva kruga za
ovu godi.nu je, kao S.to smo vec videl.i 4 ; 4X11 = 44 ; 44+
+3=47; 47 : 30=1 i ostatak 17, pa je epakta za 192f. godinu
17.
M"ladina: Oduzme li se epakta od 30, dobija se
datum meseca marta u koji te godine pada mladina. Na
primer, mladina 1925. g. je 30-17=13 mar:t.
Paskalna granica: doda li se datumu u koji pada
mlad:ina broj 15, dobija se datum punog rneseca.
Dodaju li se dva dana Hristovog stradanja, dobija se da-
124
I J.
t'
turn paskalne granice, posle koga se u prvu nedelju praznuje
Uskrs. Za 1925. g. paska:lna granica je 13+15+2=
=30 mart.
Suncev krug: aiko je 1989. g. prvi januar u nedelju,
sledece 1990. g. mce u ponedelj~k itd. Sedmicni
dan se svake nove godine pomera za po Jedan dan, a kod
prestupne god. za 2. Posle 28 go.c;lina s,::aki sedmi_cni dan
ponovo pada u ism datum. ~ru g,llffi rec1ma,. ako 1e? 19.8 ~ .
g. prvi januar pa

.oja dana .u mesecu ii to za sve imesece oo meseca za koji
traZimo sedmli.Cni dan 1-vog u mesecu, do avgusta.
.Ako je zbir veci od sedam, podeli se sa 7 i ostaitak oduzme
od nedeljnog dana prvog septembra. Ostatak je nedeljni
dan prvoga za posmatrani mesec. Ako je nedeljni
dan prvug septembra od koga se oduzima manji od broja
koji od njega treba da se oduzme, onda se prvom danu
meseca septembra doda 7, pa onda vr5i oduzimanje. Na
primer, treba odrediti nedeljni dan za 1. april 1941. g.
Od aprila do avgiusta su meseci: april, maj, juni, juli, av­
.g ust. Dopune od 28 do dana u mesecu su:
april 30-28=2; maj 31-28=3; juni 30-28 =2; juli
31-28=3; avgust 31-28=3. Zbir je (2+3+2+3+
+3)=13.
13/7=1. i ostatak 6. Nedeljni dan prvog septembra
~a 1941. g. Je: krug Sunca 1941 +20=1961; 1961 : 28=70
i ootatak 1. !z. tab. 10 Citamo da je za prvu godmu kruga
Sunca nedelJm dan 1, o.dnosno nedelja. Kako je prvi dan
septembra 1! mainji od 6, dodaje mu se seciam i dobija
7.+1=8. DalJe 8-~=2. Sledi da je nedeljni dan prvog aprila
2 - poned.el1ak. Kao sto smo za april dobili ostatak_
6, slicno se dobija: avgust = 3; juli = 6; juni = 1;
- ~aJ ~ 4; :ffiar.t .= 2; februar = 2 (dok za prestupnu godm~
iznos1 3); Januar 5 (dok za prestupnu godi:nu iznos1
6).
Gomji osta

Odredivanje datuma istorijskih dogadaja: istoriiski
dogadaji, naroCito kod Srba, obiluju mnostvom nepot punih
datiranja. Opisuju se dogadaji koji su se desili na
Bele Poklade, Cveti, Tominu Nedelju, Spasovdan itd. Negde
se navodi datum bez godine, a najcesce se navodi godina
i crkveni praznik bez datuma. Ak:> se navode crkveni
praznici, lako odredujemo datum dogadaja. Za nepokretne
praznike (koj·i padaju u isti datum, a dan im se
menja), znajuci nedeljni dan prvog septembra, lak o odredujemo.
nedeljne dane ostaldh datuma.
Recimo, zna se da se Stefan Ur-05 III Decanski krunisao
na Bogojavljenje 1322. g. Kako je Bogojavljenje-nepokretan
praznik i pada uvek 6. jan . (po starom kalendaru),
lako nalazimo da se to desilo u sredu. Ili recimo,
M. Purkovic (v. [56]) navod.i i to da je despot Durad Brankovic
urnro na Badnji dan 1456. g. Ako nas zanima koji
je to dan bio, lako racunamo na osnovu iznetog da je
24. decembar (Badnji dan) bi-0 u petak (st. kal.).
Ako su prazniai pok:retni (padaju uv€k 1\..1 isti sedmicni
dan, a datum im se menja), na osnovu znanja kada
je bio iuskrsnji dan raeunamo u koji dan padaju svi ostali
praznici. Pokretni su na primer: Cveti, U skr.s i Duh
ovi -i svi padaju u nedelju; Spasovdan pa.da uvek u cetvrtak;
Todorova i Lazareva subota padaju u sub0tu, dok,
recimo Veliki .petak pada uvek u petak. Pokretni praznici
imaju tacno odreden broj dana o

v
KALENDAR I VECITI KALENDAR
Moji su proraeuni - ta!ko kafu ljudi
-- podesiH godinu ljudskim merilirna.
Pa Ma alko stoga istrgoh ii: kalendara
nerodeno sutra i umrlo j'llce.
Omar Hajam
5.1. KRATAK ISTORIJAT KALENDARA
Ljudi su od davnma upirali poglede u beskrajno
nebo i u plovecem zvezdanom moru zapaia1i pravila. Stari
Egiip6ani su uoeavali da reka Nil plavi. plodne doline
uvek kada se na ist.oC:nom nebu pojavi blestava zvezda
I Sirijus. Za noV'O pojavljivanje ove zvezde na istOCnom
• nebu bilo je potTebno 365 dana. Egipeani utvrduju godinu
koja irna 365 dana. Ovako utvrdena godina nije mogla
da se sloid sa kretanjima u prtirodi. Zapravo, njihova
g.odina je kasnila 6 sati za stvarnom godinom. Za
cetiri godine ka:snilla je za jedan Citav dan (SiTijus se prvi
put pojavljuje na i.stoenom nebu za dan kasnije). Svakih
1460 godina Sird.jus izade u isti dan po njihovom kalendaru,
jer za taj period njihov kalendar k~sni ta6no jednu
godinu (svake 4 gi0dine kasni po 1 dan · 1460 : 4 = 355
dana). Period od 1460 godina se na.zliva Sot· ova pcrioda.
7. max-ta 238. g.p.n.e., Egipcani reformisu svoj kalendar.
Svaka cetvrta godina im je prestupna i ima 366
dana.
Oko 300 godina kasnije, aleksandrijski astronom Sosigen,
iko.rtiste6i se ireformisanim egipaitskim kalendarom,
izraduje novi rimski kalendar kojim se i danas koristi
pravoslavna crkva i koji nosi ime julijanski kalendar.
Kako je zaipravo doslo do pojave julijanskog kalendara?
·
Dogadaj je vezan za prelepu i tragienu licnost Kleopatru
(69 - 30 g.p.n.e.), egd:patsku krailj.icu iz dinastije
Ptolomeja.
131

Brat Kleopatrin, Ptolomej XII, ne zeleCi da deli carstvo
sa svo}om sestrom, zbaouje je sa prestola i ona bezi
u Siriju. U to vreme, u poteri za pobedenim prot.ivnikom,
Pompejem Velikiim, Julije Cezar se iskrcava sa vojskom
u Aleksandriju. K.leopatra se svojom neodoljivom lepotom
pribli:Zava Cezaru i ovaj je uzima u zEiStitu. Zbacuje
PtoLomeja XII sa prestola i na presto d

5.2. SVEPRA VOSLA VNI KONGRES I REFORMA
JULIJANSKOG KALENDARA
U skladu sa duhom ove knjige iznosimo neke vafoe
cinjenice 0 pokusajrima reformisanja julijanskog kalendara.
Ujedno, ovo ce poslu:Ziti da veoma skromno osvetlimo
velikana nase nauke, profesora Milutina Milankoviea
(1879-1958) koji se priljemo baVio pitanjem kalendara.
Iz njegove knjige [50] donoslino i priloge kojima
zavrsavamo ovo poglavlje.
Vee smo ukazali na neke Cinjenice julijanskog i gregornjanskog
kalendara i videli nj:ihove mane. Reformisani
julijanski kalendar (koji na falost nije ni do danas u upotrebi)
re8ava nedostatke oba kalendara ri predstavlja mnogo
taCn:iji kalendaT. Pos.to •je u ,reformisanju ucestvovao
Milutin Milankovic i posto je glavni micijator bila Srpska
pravoslavna crkva, vredno je pozabav1ti se ovim pitanjem.
Maja meseca 1923. g. u Carigradu se sastaje Svepravoslavni
kongres da razmotri i usvoji reformu julijanskog
kalendara.
Astronom, profesor M. Milankovic, biva odreden za
delegata vlade da ucestviuje u radu Svepravoslavnog kongresa.
Za svog delegata takode ga odreduje i Srpska ,patriijarsija.
Kao ipolaznu taC!ku za i2lradu predloga reforme Milanikovic
Wlima radove gimnazijskog profesora M . Trpkov:iea
(v. prilog 1).
Milankovic iz Tiripkovicevog rada uzima ono sto je
dobro i sto se slaze sa naukom.
.Neke delove menja, a ne5to dodage, pa tako pravi
nov1 predlog sripske delegacije. U Prilogu 2 dat je taj
predlog. Mi necemo za'laziti u sustinu izra&mavanja
i. dolazenja do predloga, vec Cem.o :iz samih predloga videt1
o ka!kvoj se reformi radi.
Sam kongres Milankovic opisuje ovako:
. ,,Srpska je delegacija stigla u Carigrad 2. maja (19.
apnl. ~ starom kalendaru) i bila vee 3. maja u sveeanoj
sedmc1 :predstavljena Svetom sinodu; rad kongresa poceo
je tek 10. maja, jer su neke delegadje zadocnile. To
vreme ad oficijelnog pocetka kongresa upotTebila je sr-
134
pska delegacija, sem na bezbrojna medusobna posecivanja
ucesnika kongresa, kao sto to zahteva orijentalna etikecija,
jos i na to da se .informiSe o gledistu ostalih pravoslavnih
crkava o onim pitanjima kojima ce se kongres
baviti. Taj period rada bio je vrlo va:Zan i neobieno zanimljiv.
. .. Na kongresu su bile zastuipljene ra::me g:·cke
crkve, ruska, rumunska i STpska.
Vee prvi sastanci uvenili su srpsku delegaciju da je
nepodeljeno mislrjenje svih ucesnika kongresa, da razliku
od 13 dana koja postoji u datumima i;z;medu gregorijanskog
i julijanskog kalendara, treba na svaki nat:in ukloniti,
tim pre sto su sve pravoslavne driave, Rusija, Gr­
Oka, Rumunija i nasa kraljevina primile kao zvanilan gregorijanski
kalendar. Narocito u poslednje dve drfave, sa
njihovim upola pravoslavnim, upola katoliokim :'-ivljem,
predstavlja dvostruko proslavljanje praznika ogromnu
privrednu stet u koja se vise podnositi ne moze" (v. [50]).
ZanimJjivo je, dalje, da su se delegacije r azisle u
misljenjll:na. Jedni su hteli da se tU potpunosti prihvati
gregorijanski kalendar, a drugi da se tu treba zaustaviti
i do dalje odluke zadrfati julijanski kalendair. Stav srpske
delegacije bio je razlicit od sviih. Evo sta dalje pise
Milankovic:
,,Srpska delegacija nije delila ni jedno ni drugo misljenje
i bila je ubedena da bi i jedno i drugo od tih resenja
bi'lo rdavo. Izostavljanjem 13 dana iz julijanskog
kalendara otvara se neminovno novo pitanje: k ada valja
praznovati Uskrs i sve pokretne pramike. Ti praznici
nisu vezani za datum, nego zavise od mesecevih mena,
ili bolje reci od pravila po kojima se te mene racunaju.
Zadrzimo li stara pravila, tj. ostavimo 1i sve te praznike
u dan~ma kada smo ih do sada pr aznova1i, onda nismo
izvrsili nikakvu st varnu kalendarsku reformu i ukfonili
ono zlo koje proistice od duplog slavljenja praznika. Ako,
pak, prirnimo pravila zapadne crkve o praznovanju Uskrsa,
onda smo u stvari prihvatili gregorijanski kalendar"
(v. [50]).
MHankovic dalje istice bojazan da, aka bi se prihvatio
gregorijanski kalendar, onda sve hriscanske religije
mogu ireCi da se pravoslavna crikva ,,ipak poklonila pred
135

ka,.to'1iokom crkvom". Drugo, astronomska nauka je od
uvodenja gregorijanskog kalenda:ra do 1923. g. napredovaJa,
pa postoji oolje re5enje od gregorijanskog kalendara.
Milankovic kongresu formuliSe predlog srpske dele­
_gacij e (vidi prilog 2). Drugi predlog formuliSe rumunska
delegaaija. Problem je bio koji precHog prihvatiti. Rumunski
nije vodio racuna 0 crik.venim praznioima, pa se ocekivalo
da se prihvati srpski. Medutim, politika i ovde me­
. Sa prste. Milankovic kaze:
,,Pre, no sto je doslo do odluke plenuma, poceli SU se
pojavljivati novd pwjekti i otpoceo je zakulisn'i rad protiv
srpskog projekta, jer su se odjednom raz

I
as
o·~
Zl "j;
I
I
:S·,.., > c: ....,
co 8
N'° 0 N 0
Paslha1na ~ Pas,halna
giranica
o·...,
graruca
(14·, dan) :; ] ~ ·~
(14. dan)
1 30 13. april 11 20 24. mart
2 31 2. april 12 1 12. april
3 22 22. mart
I 13 12 1. april
4 3 10. april '
14 23 21. mart
5 14 30. mart I 15 4 9. april
6 25 18. april 16 15 29. mart
7 6 7. april 17 26 17. april
8 17 27. mart 18 7 6. april
9 28 15. april 19 18 26. mart
10 9 4. april
Da bi se postigao saglas izmedu julijanske i meseceve
godine, nova osnovanija poveeavace se za 1 sest puta
posle svakih 300 godina, a jedanput posle 400 godina, poveeace
dakle za 7 jedinica u periodi od 2200 julijanskih
godina. No zbog primene novog pravila III, n::wa osnovanij
a morace se sma.njivaiti za 1 u svakoj prostoj sekulamoj
godini (jer te gube .po 1 clan) a to u 2200 godina
iznosi 17 ili 18 .jed.1nica. Ukupno ce se oonovanija smanjivati
za 17- 7=10 ili za 18 - 7= 11 jedinica u periodi
od 2200 godina po ovome proje.ktu. Tako ce se postici
najbolji saglas izmedu suncane i meseceve godine. Razlika
ce iznositi samo 1 eas i 9 minuta posle 6612 godina.
Evo kako ce se menjati osnovanije 0 ili 30 zlatnog
broja 1 za cetiri perioda ili od 1900 do 10699 godine:
138
:
I
..
t
..
' ..
~-
~~rtreAOU6() ~
Q) (N
::;:;'
0 c
('".)
i::
~
0 ·- -
~ 0 I
0 0
....... Cll
CN
0 II
~
i
:>
0 ·- -
c: 0 I
cs 0
"'
-
(N
t '.liq 0
0 C>
tll!tJ!l'e'(Z O> 0
-es l!'Ui!PO!)
- - - "t: - - ... -
(Wlp ·vn ..: ... ..:
a. a.
lPJU-e.&J
"'
l?llfeq St' d "'
C':i ~
- -
.. i. ..: ...; ..: ... ... ... ... ... ... ...
a. a. a. a. "' e E "' "' E e "' E "' E "' e "' "' E "' E
"' "' "'
..Q
"'
'° i-..: oci o) ....: c-i C':i .,;. u-:i
'° ,...: oci oj
.... (N (N (N (N (N (N (N 00 r- co l.Q
00 r- co l.Q ..... ('".) 0 1 C> 0 0 0
l.Q 0
CN -O> O> O> O> O>
°' O>
-
Q) 0 O>
..,..
- - - -
O> 00 00 00 r- co l.Q co l.Q ..... ..,.
II II II II II II II II ;!
l.Q co r- 00 O> 0
co co 00 r-

.:l!.
·~
>
0
8
l •.tq
w~mre1z
l'?S lruWO{)
+
I
~
g gig
co O> 0
O> O> 0
-
gj ~ ~
II II II
I I +
~ ~ ;;
0 0
N N N
ii II II
- - ,_
-
I
' .
·!
i
Posle 2200 godina osnovanija su za 10 manja kad·
period ima 17 prostih sekularnih godina, a za 11 jedinica
su manja kard period ima 18 prostih sekularnih godina.
Poole 9 X 2200. = 19800 god!ina obnavljaj u se pe:rti.ode·
sa istim brojem i istim rasporedom prostih i prestupnih
sekularnih godina. Po5to osam periioda ima:ju po 17 prostih
a jedna perioda ima 18 prnstih sekularcih godina, to
ce posle 9X2200=19800 godina sva osnovanija biti smanjena
za 8Xl0+11=91 jedinic:u tj. pooto su se tlii.put obnovila
(3X30=90) bice sva osnovanija za 1 manja. Nas .
bi pregled to najbolje pokazao, kad ibi se nastavio jos za
sest stubaca, pa uporedio prvi stubac sa desetim stupcem
(na primer 1900, sa 21700; 200. god. sa 21800. godi:nom
MJ .
l 'Jq
W!uiill:IIZ
-es 'lruJ!POD
1 'Jq
wrrnrerz
llS lrui!PO{)
I
'

§. 3.
Sekularne godine (tj. one koje se svrsavaju sa dve
·.nule) bice samo onda prestupne ako broj njihovih vekova
(sekulusa), .podeljen sa 9,

13 dana, to bi osnovke valjalo smanjiti za 13 jedinica, ali
posito su one vec za jedinicu manje 111ego sto bi trebalo,
to su postojece osnovke smainjene za 12 jed:inica.
Primedba 4. Novi osnovci jednaiki su gregorijanskim
osnovcima, zbog cega ce se ubuduce i U skrs
podudaTati, sem u godinama 1926, 1930, 1950, 1957, 1970,
1~74 , 1977, 1994, 1997, po8to se po gregorijanskom kalendaru
Uskrs stavlja u sledeeu nedelju kada se po ovom
proj ~ktu ~opi sa punim mesecom.
§. 10.
Osnovanija za iduce vekove odredivace se na ovaj
nac'in:
Da bi se postigao saglas izme&u kalendara i faktic~h
meseeeyih mena, osnovanlija ce se povecavati iza svakih
300 godina z~ 1, i ito tako sest puta, zatim opet za 1
te~ 1~sle naredmh 400 goclina, posle cega dolazi opet pove.canJe
posle. svak~. 300 godina itd. No u svakoj prostOJ
s:~uil~nOJ godim, odredenoj §. 3. osnovanija ce se
smairiJJ.Vati za 1.
Delegati Srpske patrijarsije i
Vl.ade Kraljevine ~ba, Hrvata i
Slovenaca:
m itropolit crnogorsko-pl'imorsk.i
Gavri)lo
M. Milaillkovic
PRILOG BR. 3
Definitivna odluka o reformi kalendara
(.Prevod s gr6kog g. mitroipoliita Dol.iea)
Vaseljenska rpatrijariija
Svepravoslavni ikongres
(M. P)
Svepravoslavni kongres,
odrian ru Carigradru meseca maja 1923. god, IPOd predsednistvom
Njegove svetosti, vaseljenskog pabri.jarha gospodina
Meletija IV
u s".'o~oj. s~nici od 30. maja tek. goddine, raspravljajuCi
o pirtanJu lfij)ravke kalendara, konacno je odluCio sledece:
144
Priznavajuci da je neizbe:Z.na potreba da se ukloni
razlika izmedu crkvenog i gradanskog kalendara, i da ne
postoji nikakva kanonska smetnja za ispravku prema podacima
astronomske nauke, crkvenog kalendara koji je
u upotrebi, jednoglasno resava is·pravku julijanskog kalendara
u sledecem:
1.
Izostavljaju se 13 dana iz julijanskog kalendara, koji
Cine razliku njegovu prema suncanim godinama, racunatim
od prvog Vaseljenskog sabora u Nikeji. Tako: 1. oktobar
1923. godine raeunace se kao 14. oktobar 1923. godine.
2.
Praznici izostavljenih dana proslavice se ili svi zajedno
14. oktobra 1923. god, ilii kako to odredi a rhijerej
eparhije.
Svi meseci u godini zadrface isti broj dana koji imaju
i da nas. u prestupnim godinama februar ce imati, kao
i do sada, 29 dana.
4.
Bice, kao i do sada, dve vrste godina: prostih od 365
dana i prestupnih od 366 dana. Prestupne god1ne bice one
godine koje se mogu podeliti sa 4 bez ostatka, kao sto je
to bilo i do sada. Izuzetak cine samo sekularne godine za
koje vaZi pravilo u sledeeem paragrafu.
5.
Selrularne godine (tj. one koje se zavrfavaju sa dve
nule) bice samo onda prestupne ako broj njihovih vek:ova,
podeljen sa 9, daje ostatak 2 ili 6. Sve ostale sekularne
godine bice proste. Prema tome, medu narednim
godinama bice prestupne one koje su podvucene u sledeooj
tablici:
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800
2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700
Prema ovome rasporedu, srednja duzina gradansKe
godine bice 365 dana, 5 casova, 48 m:inuta i 48 ~ekunde,
u potpunoj saglasnosti sa dumnom suncane godme .
145

6.
Nepokretni praznici imace iste datume koje su imali

la.zak novog kalendara, naueno i prakticno savr5enijeg,
re.Sava
jednoglasno:
1) Moli Vaseljensku patrijaciiju da ,po prethodnom
sporaizumu sa ostalim. pravoslavnim crkvama izjavi Drustvu
naroda da ce pravoslavna crkva rado primiti jedan
ubuduce pronadeni novi ka.lendar, uko.ldko bi ovaj htele
primiti sve hriSfanske orikve. Ako bi Drustvo naroda
smatralo sebe nenadle:bnim da pri:mi ovakvu izjavu Vaseljenske
patrijal"Sije, ostavlja se ovoj da ucini gornju
izjavu kako drukCije bude za shodno na8la.
2) Pravoslavna CI1kva radije bi usvojila onaj kalendar
_kajii. bi za

TABLICA: DANI
Nedelja 1 8 15 22 29 36
Ponedeljak 2 9 16 23 30
Utorak
37
3 10 17 24 31
Sreda 4 11 18 25 32
Cetvrtak 5 12 19 26 33
Petak 6 13 20 27 34
Subota 7 14 21 28 35
UPUTSTVO ZA UPOTREBU KALENDARA
1 .>;
~~' 0
,. ~
,
'l
~
j
_,
I
:::i
~ ~,
... r
1
~
I
-
-
I
• I.
•
\ ' \ ~
~~
I
r-
'
nJ
•
1
U tabeli godine potrazi se od~varnjuea godina. U istom
redu, u delu gde su meseci, patrazi se broj za odgovarajuCi
mesec. Na ovaj broj dodamo trazeni datum i
taj broj potrazimo u tabeli dana. Na levoj strani tabele
dana Citamo dan za gore izraeunati :broj ii ito je dan koji
traZi.mo.
Primer: Najbolje je da iziraeunamo kojeg dana u nedelji
smo rodeni. Neka je neko roden, recimo, 21. jula
1956. g. Zanima ga koji je to dan u nedelji. U tabeli godine
nalazimo broj 56 (uzimaju se dve zadnje cifre od
1956) u cetvrtom redu, a u istom redu, u delu za mesece,
nalazimo za mesec juli cifru 0. Na 0 dodajemo dan rodenja,
tj. 0 + 21=21. Dalje, ovaj broj traZimo u tablici
dana. Tamo je on u redu za subotu. Znaci da je osoba
koja je rodena 21. ju]a 1956. g. rodena u subotu.
I
,
II
~ I I
I
'.
.
\ ~
~
I
J
_,
•
I'
•
1; • I
~
...
~ ~
":II ~
•
~ ~
" - ~, . t.
150

VI
MATEMATIKA I MUZIKA
Muzika je vezba tajne aritmetike i
onaj koji se u nju upusti ne dozivljava
je :kao baratanje brojevima.
Lajbnic
Kada smo govorili o Pitagorii, videli smo da on i njegovi
sledbenici, posmatrajuci drevni grck1 instrument liru
(sl. 21 ), otkrivaju da su muzicki iniervali direktn,1
proporoionalni duzini zice i ne zavise od njene apsolutne
duzine. Stoje Ii, na primer, dve jednako zategnute zice
u odnosu 4 : 3 (bez obzira na njihove apsolutne duzine),
onda je interval tonova izmedu jedne i druge kvarta.
Slicno se dobija kv.inta, alro je odnos 3 : 2, oktava
ako je odnos 2 : 1. Pitagorejci SU uvideli da sustina kvarte,
kvinte i oktave nije zica, nego broj. Koristeci ovo,
pitagorejci su doSli do zakljucka da su zvuci u direktnoj
proporciji sa rastojanjima nebeskih tela (jer, kako kazu,
tela u svemdru Meeu se toliko brzo da proizvode
zvuke).
Slika 21. Lira
153

Pitagorejci su posmatrali liru. Medutim, moze se posmatra.ti
muzicka skala i uvideti da je ona u vezi sa racionalnim
i iraaionaln.im brojevima. U c-dur skali interva1i:
c-d, d-e, f-g, g-a, a-h (v. sl. 23) moraju biti isti (jedan
ton), a intervali e-f i h-c su dva puta manji (polutonovi).
'
S lika 22. Fis
Visokom c odgovara dva puta veci broj treptaja u
selrundi nego niskom c. Znaci, oktava more da se tizrazi
odnosom 2 : 1. Odnos 3 : 2 daje kvintu (g : c), 4 : 3 daje
kvartu (f : c), 5 : 4 - veliku tercu (e : c), 6 : 5 - malu
tercu (f : d). Interval c-c sadrzi 12 polutonova ili 4 male
terce, tj.
(6/5) 4 ={4 male terce)=2/l (c-c, oktava)
crna dirka u sredini ok­
Izmedu f i g nalazi se fis -
tave (v. sl. 22).
I .
I,
j:
,
I !
J
I j ' x
)1
y
Sliika 23. C-dur skala
Interval od niskog c do fiis isti je kao i interval od
fils do visokog c - velika kvarrta. Oznaci li se odnos treptaja
u sekundi fis : c sa y, onda je
y x y=2, odakle je y= Vi
Koci na5timovanog klavira svi polutonski intervali S!.l
jednaki pa samim tim odgovaraju odnosu broja vibracija
IZ
v2." Stoga SU akordi na klaviru isti.
Mnogo opsirnije o ma:tematici i muzici moze se naCi
u [ 47].
154
z

VII
DODATAK: ZADACI ZA IZOSTRAVANJE UMA
7. 1. MAGICNI KVADRATI I DRUGE MAGICNE FlGURE:
7 .1.1. Sta je magieni kvadrat?
Ako je neki kvadrat podeljen na ,,n" manjih, onda.
magienim kvadratom oznacavamo raspored brojeva od 1
do mm, tako da zbir brojeva u svakom redu, koloni i di.­
jagonali daje broj ,,s" - magicnu sumu. Za sv~ki broj
n postoji samo jedna suma s i ona se moze odrediti. Primer
magicnog kvadrata, ako je n=4 dat je na sl. 24. Brojevi
su rasporedeni od 1 do 4X4=16, a suma treba da
je 34.
1 8 f5
•
12 13
• l
14 11 4 s
,
' 1 "
SL 24
Kako se do51o do toga da suma treba da bude 34?
Izved•imo opsti slueaj, a onda je lako odgovoriti na
gornje pitanje. Neka je broj ,,kvadratica" u koje upisujemo
brojeve jednak n 2 i nek.a je itrazena suma jednaka s.
Kaiko :kvadrat ima n redova, a u svakom :redu j e suma s,
suma svih brojeva je mes. Kako svaki broj od 1 do n
157'

l.ucestvuje jednoon i samo jednom u celom kvadratu,
bice:
n x s= 1 +2+ ... +111 2 •
~Na desnoj strani jednakosti je aritmetiCka progresija, pa
. sledi:
1
n x s= - x ~n 2 + 1) x n 2 , odnosno
2
1
s= - xnx(n 2 +1).
2
Evo nas do zm.a:cajne faze sa:znanja da mozem0 sami
: postavljati zada1Jke.
Neka je n=3. Svaka stranica veliJkog kvadrata deli
:se na po trd dela (ukuipno 9 manjih kvadra.ta). Koje Qrojeve
rasporedujemo? Odgovor na ovo pitanje je lak, jer
:smo vec rekli da .su to brojevi od 1 do n x n, kod nas
.. ax3=9.
Kolika treba da im je suma? Prema (1) suma iznosi
(1)
1
s=2x 3x (3 2 +1)=15. (2)
Slieno se radi za n=4, 5 . . . Laiko se ubedujemo da n
·.mora da bude vece od. 2.
U vreme srednjeg veka magiC:ni kvadrati su se no­
: sili kao amajlije koje Stite od davola.
Cuvena je gravura Alberta Direra Melanhol'i.ja. On
je uspeo da u sredini zadnjeg reda zapise goddnu 1514, a
·to je godina kada je nastala graviura.
:158
f 6 3 z 13
5 10 H 8
9 6 7 12
4 15 i't 1
SI. 25
Americki pisac, diplomata, fiziear, filoz

nju magicnih kvadrata, ne samo da je sastavio magicni
kvadrat 16X16, koji prema obrascu (1) ima jednake sume
po dijagonalama, kolonama i redovima (suma je
2056), vec ima sva svojstva koja smo izneli za magieni
kvadrat 8X8 i jos jedno dodatno: uzme li se bilo koji
mali kvadrat 4 X 4 iz veli:kog 16X16 i saberu li se svi brojevii
liz tog kvadrata, dobija se zbir 2056.
SI. 27
7 .1 .2. Magieni kvadrati 3 x 3.
1. Poeecemo od ,,najprostijeg" slucaia 3 X 3. Treba
rasporediti cifre od 1 do 9 u kvadrat 3 X 3 tako da zbirovi
po kolonama, redovima i dijagonal~a i znos~ 15.
Resenje: Na ovom zadatku cemo pokazati jednim mat~matickim
rasudivanjem kako moze da se dode do resenJa.
Neka su brojev;i koje treba da unesemo u kvadrat
nepoZinati i oznaceni kao na sl. 28. PokaZimo da y" mora
da bude 5. Sabel'imo drugu kolonu, drugi red i obe di-
160
'l
jagonale. Svi sadde y". Kako je zbir u svakoj koloni
redu i dijagonali jednak 15, to je (y' +y" +y"')+(x" +y" +
+z")+(x'+y"+z"')+(z'+y"+x"') = 4X15=60, t". 3 v"+
+ (x' + x" + x"') + (y' + y" + y"') + (z' + z" + z"') = 6b. s"vaki
od sabiraka u zagradi je jednaik bro-ju 15, pa sledi 3 y" +
+45=60, a odavde y"=:5.
Sada tabela izgleda kao na sl. 29
,
x ' y' z'
x y' z'
x ,, y" z" x" 5 z "
x'" y'" z"' x"' y''' z"'
SI. 28 Sl. 29
Broj 9 ne moze da stoji ni u jednom uglu. Ako bi
stajao u nekom uglu, r ecimo umesto x' onda hi z"' morao
da i:>mosi 1 {jer je Zibiir na dijagonalama 15). Dalje, kako
je zbir prve kolone i prvog reda 15, moralo bi biti
9+x" +x"'=15; 9 + y' + z'=15, odnosno
x"+x"'=y'+z'=6. Posto smo vee upotrebil.i brojeve
9, 5 i 1 ostaju nam 2, 3 i 4 (6, 7 i 8 ne mogu, jer bi zbir
prevazilazio 6). Medutim, zbir nikoja dva od njih ne daje
6, pa smo iz pretposfav:ke da 9 moze da bude u uglu dosli
do protiV'Urecnosti, sto znaci da 9 ne moze da se na1e
u .uglovima. Znaci, 9 mora da se nade u srednjem stupcu
ili redu, pa daljii zapis m oze da bude kao na sl. 30. Broj
7 ne moze bi·ti .u ·redu sa 9, der zbir treba .da je 13, pa bi
treea cifra morala da bude 0, a cifre moraju da budu 1,
2, . .. , 9. Ne moze da bude ni u redu sa 1, jer bi treca cifra
morala da bude opet 7. Znaci 7 mora da se nade u
drugom r edu, pa kvadrnt izg,leda kao na sl. 31. Ostali su
x' 9 z' x' 9 z'
x ,, 5 z" 7 5 3
x''' 1 z"' x ,,, 1 z'"
SJ. 30 Sl. 31
brojevi 2, 4, 6 i 8, a oni koji sabrani sa 9 daju 15 jesu 2
i 4. Dalje, 2 mora da se nade u ikoloni 1, jer bi inace
x"' iznosilo 4, pa bi se 4 na&lo dva puta u kvadratu. Sada
je lako rasporediti preostale cifre 6 i 8, pa bi rezultat
izgledao kao na sl. 32.
161

2
7
6
9
5
1
SL 32
2. Sastaviti magi.Cni kvadrat 3 X 3, tako da cifre 2,
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 i 18 budiu razme5tene tako da zbirovi
budu 30.
Resenje: 8
6
16
18 4
10 14
2 12
3. Sastavi·ti magieni kvadrat 3 X 3, tako da oifre 3,
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 i 19 budu tako razme5tene da zbi­
:rovi budu 33
· · Resenje: 17 7 9
3 11 19
13 15 5
4. Sastavliti magieni kvadrat 3 X 3, rtailro da cifre 5,
10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 i 45 budu tako razmestene da
zbirovi budu 75.
Resenje: 20
15
40
45
25
5
4
3
8
10
35
30
5. Evo jednog magienog nad magicnim kvadratima.
Znamo da napravimo magicni kvadrat tako da suma cila:ra
'OCi 1 do 9 iznosi 15, a.hi sada napravimo takav da
sve sume budu ·razliCite.
Re5enje : 1
2
4
5
7
8
6. Napraviti magicni k:vadrat 3 X 3, tako da se clfre
1, 2 i 3 razmeste na taj naCin da se tlobiju zbirovi 6. NaCi.
sva re5enja.
Re5enje: U postavci zadatka nismo se ogranicili na
USlOV da SV.i brojevi budu razJ.iCLti, jer to nije mogucno.
162
3
6
9
Posle nekoliko pokusaja laiko se ubedujemo da u centru
ne moze da stoji ni 1 ni 3, vee samo 2. Mi se necemo
zadriavati na dokazu ovoga. Re8enja su:
1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 3 1
3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3
2 1 3 2 3 1 1 3 2 3 1 2
7. Ciire 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 razmestiti u kvadrat
3 X 3, tako da u svarkom redu dobijete trocif.rene brojeve
koji su kvadrati nekih brojeva.
Resenje: 3
5
7
6
2
8
1 ... 19X19=361
9 ... 23X23=529
4 ... 28X28=784
8. Umesto "' napiSite cifre 'OCi 1 do 9, tako da zbirovti.
susednih cifara, povezanih linijom, budu jednaki naznacenoin
broju .na lli.niji (sl. 33). Svaka cifra pojavljuje
se jednom i samo jednom.
9 11
* • "'
8 12 13
7
11 14
* * "'
9
13
12
11
* · --- ·
SI. 33
Resenje:
7.1.3. Druge magicne figure.
2 7 4
6 5 9
1 8 3
1. Napraviti magieni kvadrat 5 X 5 razme8tajuci cifre
od 1 do 25.
Resenje: Kao sto nam je poznato, zbirovi po dijagonalama,
kolonama i redovima iznose
1 1
s= - x n x (n 2 +1)= - x 5 x (5 2 +1)=65.
2 . 2
163

Ako, dragi citaoci, niste skloni nekirn veliki.m analizama,
pomoCi cemo vam da do re5enja dodete na jedan
sasvim lak nacin. Pogledajmo sliku 34 u kojoj se raspored
cifara lako pamti.
- 1
A 6 1 8
11 7 3
16 12 8 4
l2t 17 13 g 5 1
22 18 14 10
23 19 t5
0 24 20 c
-
25
SI. 34
Treba popuniti kvadrat ABDC, .kJrecu6i se dole, gore,
levo, desno sa ciframa van kvadrata ABDC, za po 5
mesta i popunjavajuCi prazninu. Popunjen kvadrat ABDC
predstavlja re5enje. (1 se, na pr, iz Cl krece nadole do
petog praznog mesta i smesta izmedu 18 i 14. 25 se iz C2
krece nagore za 5 mesta i smesta izmedu 12 i 18 itd.). Resenje
zadatka je:
164
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15.
2. U svaki red kvadrata 7 X 7 upisati cifre 1 2 3 4
5, 6, 7, tako da se u svakom redu pojavljuju sv~, ~ ~bi~
rovi po redovima, kolonama i dijagonalama iznose 28.
Resenje: jedno od resenja bi izgledalo:
1 2 3 4 5 6 7
7 4 6 3 2 1 5
2 6 7 5 4 3 1
5 1 4 2 3 7 6
3 7 5 1 6 2 4
4 3 1 6 7 5 2
6 5 2 7 1 4 3
3. Razdeliti figuru na sl. 35 na 4 jednaka dela, tako
da je suma brojeva u sva:k:om delu jednaka jednom istom
broju.
9 4 Resenje: A A ista slova
12 5 A B predstav-
6 11 9 14 c B B D ljaju je-
9 10 8 3 c c D D dan deo.
SI. 35 SL 36
4. Po malim krugovima sl. 37, razmestiti oifre od
1 do 10 tako da suma broj eva u svakom velikom krugu
iznosi 28.
Resenje:
Sl 37 SL 38
5. Umesto * po stranica:ma kvadrata sl. 39 upisati
brojeve 1 do 25, tako da suma brojeva rasporedenih po
stranicama kvadrnta bude 100. Takode zbirovi brojeva
165

koji se nalaze na dijag01I1alama, kao i oni koji se nalaze
na linijama .koje prolaze kroz sredine sviih kvadrata treba
da iznose 100.
Resenje:
i1. 11 1~
"\ I /
()- 43-4
I ' 23-1-5
I /,
,,1/1
14 -r-16- 25 -?A-io --3
9-i
I/,,
-15'
I
/ I '\
I I
120 -2.2-17 I
/ I '\._
19 'l.1 '1.
I
SL 40
6. U pravougaonik 3 X 4 rasporediti brojeve od 1 do
12 (svaikli. se pojav1juje jednom i samo jednom) tako da:
1) sume u hocizontalnim redovima budu jednake;
2) u svaikom vertikalnom stupcu, veCi od triju upisanih
brojeva mora da bude jednark :zibiru ostala dva.
Re8enje: 12 3 5 6
10 11 4 1
2 8 9 7
7. Podeli easovn.!i.k (sl. 41) sa dvema pravim linijama,
tako da sume brojeva u podeljenim delovima budu
jednake.
Resenje:
8. Druga podela sata.
Podeliti casovnik (sl. 43) na 6 delova bilo kakvog
oblilka, tako da suma brojeva koju su na istom delu bude
jednaka.
1 'l
6
3
Resenje:
SI. 43 Sl. 44
9. Brojeve od 1 do 19 upisite u kruZice svako~ od
6 polukrugova (s'1. 45), tako da zbiTovi iznose 58. Isti zbirovi
treba da budu i na trima dlijametrima.
Resenje:
SI. 45 SL 46
166
SL 41 Sl. 42
167

10. Umesto * staviti cifre od 1 do 12 tako da zbirovi
koje grade cetiri broja ko}i se nalaze na jednom pravougaoniku,
sl. 47, budu jednaki jed!Il'om istom broju.
,,,
If"
I _,,
II'
*
~i<
... ,_,,,
"' ,,..
SL 47
_,,
/("-
'" ,,..
Resenje:
-
11
8
1'2 -'1
'[-6
SJ. 48
11. Smestiti cif.re od 1 do 8 u kruzice, sl. 49, tako
da sume brojeva po temenima kvadrata budu jednake.
Svaka cifra moze da se pise dva puta.
2.
- ::>
I
~
I
4
12. Brojeve od 1 do 10 rasporediti po kruz-icima,
na zvezdi sl. 51, tako da suma dva susedna (koje spaja
linija) nije deljiva sa 3, 5 i 7.
Resenje:
SJ. 51 SL 52
13. U krugove na sl. 53 razmesiiti brojeve od 1
do 15 tako da u svatkom od 7 rombova bude zbir jednak
30. Brojevi se pojavljuju jednom i samo jednom.
Resenje:
Resenje:
168
SL 49 SI. 50
SI. 53 SL 54
14. Na svih 6 strana zvezde n a sl. 55, broj ~ve od
1 do 12, rasporediti tako da zbir na tim stranama iznosi
26. Broj=vi se pojavljuju jednom i samo jednom.
169

Re5enje:
. Resenje:
SI. 55 SI. 56
15. Svaiki od -brojeva 1-20 uneti u kitiuzice na ~vezdi
sl. 57 (svaki broj se pojavljuje jednom i samo jednom)
truc-0 da suma brojeva na svakom od 5 ·Im-akova, kao i na
vrhovima svdh 5 k!raikova, iznosi 50.
SL 58
16. Umesto * na krakovima trougla sl. 59, ispisatf
cifre od 1 do 9, talro da sume cifara na svakoj stranici
budu jednake.
*
* *
* *
* * * * Sl. 59
Resenje:
5
6 9
1 4
8 7 3 2
SI. 60
17. Rasporediti brojeve 1-17 po ug.Jo'V'ima kvadrata
sl. 61, ta'ko da 21bir brojeva u svakom kvadratu
iznosi 32.
Resenje:
170
SI. 57
SI.. 61 Sl. 62 171

18. U bele kruzice (sl. 63) uneti brojeve od 1 do 32,
-tako da zbirovi po cetiri broja oko svakog crnog kruzica
budu jednaki i da i:mose 70.
19. U svaki veliki kr·ug (sl. 65) zapiMte po 5 cifara
1-10 (svaka se javlja jednom i samo jednom) tako da
sume iznose 33.
Resenje:
SJ. 65 Sl. 66
SL 63
Resenje:
20. Brojeve 1- 24 rasporediti u bele kruzice, tako
da zbir brojeva u svakom od 9 kvadrata (centri su im crni
kruziCi) imosi 50. Brojevi se pojavljuju samo jednom ..
1 ~ ,..,
I -
Sl. 64
SL 67
173'

:Resenje:
Resenje problema 16 oficira. O:zmaCimo ciif1ra.ma 1,
2, 3, 4 jedinice iz kojih su ofiairi, a takode sa 1, 2, 3, 4 i
cinove oficira u jedinici. Izraz (j , 1) neka znaci of'i.cir sa
Cinom j iz jedinice 1. Zadatak se sada svodi na to da se
rasporede svi parovi (j, 1) u kvadratnu tablricu 4 X ·1 i da
nema istih u i.stom iredu i koloni. Jedno resenje je dato
na sl. 69. Zadataik se svodi na spajanje dve tablice {dva
latilllska kvadra:ta) u jedan sa uredenim parovima. Prvi
predstavlja ras:pored Cinova, a dr.ugi rarspored formacija.
(1, 1) (2, 4) (3, 2) (4, 3)
(4, 2) (3, 3) (2, 1) (1, 4)
(2, 3) (1, 2) (4, 4) (3, 1)
(3, 4) (4, 1) (1, 3) (2, 2)
SI. 69
Sl. 68
21. (Problem 16 oficira.)
Iz 4 razli.Cite v.ojne jedinice izabrano je po 4 oficira
razlicitih cilllova. Treba razmestiti tih 16 ofiicira u vi­
-du kvadrata tako da u svaikom redu i u svakoj koloni bude
·sme.§teno 4 oficirn iz razliciti:h jedi!Ilica ii sa razliaitim cinovirna.
. Analogan za.datak moze da se postavi za 36 oficira.
·Ovim zadatkom se prvti bavio Leonaro Ojler (Leonhard
Euler 1707-1783). Ojler je bio ubeden da nije mogu6no
sastarvit'i kvadrat sa 36 ofiaka.
Problem je u uskoj vezi sa ,,'la1ri..nskim kvadratima",
pa dajemo definiciju ,,.latinskih kvadrata".
Def. Kvadratnu itabliou red:a nXn u koju up.isujemo
n razlici:tih si:mbola (cifara, slova, itd.), pri cemu
·su u svakom redu i u svakoj koloni simboli razliciti, nazivamo
latinskim kvadratom. Izraz latins.ki kvadrati potice
otuda sto pored cifara mogu da se upisuju latinska
· slova. Na primer, laitinski kvadrat :moze .imati slede6i ob­
:lik:
:174
1 2 3
3 1 2
2 3 1
Broj latinsltih kvadrata n x n nije manj.i od
nlx(n-l}!x ... x2! xl, gde je k! (cita se
k- faktorijel) = 1 x 2 x 3 x . .. x k
1 2 3 4 1 4 2 3
4 3 2 1 2 3 1 4
2 1 4 3 3 2 4 1
3 4 1 2 4 1 3 2
cinovi
formacije
Radii laikSeg dolazenja do resenja, prvo se napravi
,,kvadrat Oinova", a drugi se pravi taiko da bude simetriean
u odnosu na dijagonalu (1, 3, 4, 2).
22. Latinski ·kvadrat 5 X 5.
Napraviti laJtinski kvadrat 5 X 5 od cifara 1, 2, 3, 4, 5.
Resenje: jedno od resenja je
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
175

LITERATURA
1. Andrija Garns, Biblija i drustvo, Novi Sad 1979. g.
2. Adalbert Rilbic, Biblijske stari11e, Zagreb, 1983.
3. Alristotel, Metafizika, Boograd 1971.
4. Ahmed Deed.at, Kur'an najsavT!enija mudiiza, Sarajevo,
1983.
5. Aw-elije Alllgustin, I spovijesti, Zagreb, 1987.
6. Biblija, Prevod: D. DaniCic, Vuk Stef. Kaa-adzic, Beograd,
1929.
7. B. B. Bo.uapCKUu: O'iepJCU n o ucTopuu MaTeMarww, M11HcK
1979.
-+ 8. G. M. Bongard - Le~, Stara indijska civilizacija, Beograd,
1983.
v 9. A. Jll. BO_PO)'.(IDI: Jfa UCTOpuu apucfJ.MeTux:u, K14jes 1986.
10. J . G. Vajt, Velika borba, Beograd, 1962.
~11 . Verner Keler, Biblija ;e u pravu, Kra,gujevac, 1987.
----&>J2. Vladan Popovic, ,,Duhovn-i osnov moderne nauke I",
,,Glas SPC", Broj 7~, 1960, god. XLI.
~3 . Vladain Popovic, ,,Duhovn.i osnov modeme na u!ke 11"
Glas SPC, Broj 9, 1960, god. XLI.
--p-14. Vojisl.w Andrle, Pitagorini brojevi, Beo~rad , 19118.
15. H. H. Bopo6bes: ITpu3xaJCU de./IUMOCTU, MocKsa 1980.
16. r . J.1. rJJe17!3ep: J1CTOpwl .MaTe.MaTUX:U B lUX:O./le IX- X
x:J1acCOL, MocKBa 1983.
l~ ". Grupa aurora Brojevi, Zagreb, 1985.
18. Dadic 2, Razvoj matematike, Zagreb, 1975.
19. De]i-C MLrko - Dejic Brcmka, Zanimljivi svet matemat
ike, Beograd, 1987.
20. D i'l1k Strojk, Kratak pregled istoTije matematike, Beograd,
1969.
~21. Dragieevic Risto, ,,Jedna prakticna tablica za izraeunavan;e
uskrfojih datuma", Bogoslovlje VII : 1932, 3, 257-260.
•--~ 2 . Dordic Petair, IstoTija srpske Cirilice, Beograd, 1987.
23. Dr. Duiro Kurepa, Visa Algebra I , II Beograd, 1985.
-+ 24. Ellias Levi, MisteTija kabale, Beograd, 1985.
25. Dr Ernest Stipanic, Putevima razvitka matemattke, Beo­
~ad, 1987.
177

26. Eureka, Ilustrovana istori;a pronalazaka, Beograd.
27. Zivko Kostic, Izmedu igre i matematike, Beograd, 1953.
28. Idris Demirovic, U vod u kur'ansko pismo, Sarajevo, 19:16.
29. Jankovic Bogorrti1r, Prirucnik iz vo;ne topografi;e, Beograd,
1985.
30. Jaroslav Fraineisti, Kalendar i meren;e vremena, N. Sad,
1982.
31. Jerej Lu ka, ,.Religija i fenomenoloska matemabika Mihajla
Petroviea - Mike Alasa", T eo lo.~ ki pregled I, 1968, 1, Beograd.
32 Juzef Keler, Kuitura i religija, Beograd, 1981.
33. Karl Sabiers, Ascounding new discoveries, Britannia
printers, 138 Main St. Toronto, Canada.
34. M. KJiailli: Maxe..1iaxux:a - urpa xa onpeoeJ1eJ-1.1wcxu,
MocKBa 1984.
35. H. J.1. KoBaH~OB : Maxe.11axww u po.Manrww, K wjeB 1980.
36. Kur'an easni, P·revod: Hafiz M uhamed i Dremaludin Cau-
5evic, Zagreb, 1969.
37. . J.1. lllyCTe

SADRZAJ
PREDGOVOR
I BROJEVI
1.1. Radanje bro}eva
1.2. Da Ji SU brojevi izgledali uvek kao sto daoo.s izgledaju '!
1.3. Brojl11i sistemi - - - - - - -
1.3.1. Podela •brojnih sistema - - - -
1.3.2. Primerij nepoziciorti h sist.ema brojeva
1.3.2. 1. Egi!pat - - - - - - -
1.3.2.2. Rimslci brojeVi - - - - -
1.3.2.3. Groka !i helenisticka m1meracija -
1.3.2.4. Slovenska n.umeracija
1.3.3. Pozici;).ni sistemi brojeva
1.3.3.1. Mesopotamija
l .3.3.2. Sist.em brojeva indijanskog plemena Maja
1.3.3.3. Indijsko-arapskli sistem brojeva
1.3.3.4. Prevodenje iz jednog brojnog sistema u drugi
1.3.3.4.1. Prevode nje celih brojeva
1.3.3.4.2. Prevodenje irazlomljeruh brojeva - - -
1.3.3.4.3. Prevodenje me5ovmh brojeva - - -
1.3.3.4.4. Prevodenje iz bilo kog sistema u dekadni
1.4. 0 111uli - - - - -
1.5. Zakljucaik - - - -
II PITAGORA I PITAGOREJCI
45
2.1. Uvod - - - - 45
2.2. 2ivot i zivotni nazori - 45
2.3. Filozofija i matematika - 47
2.4. Znaeaj Pitagore i pi'tagorejaca za razvoj matematike 55
III MATEMATIKA I OKULTJSTIKA - 59
3.1. Uvod - - - - - - - 59
3.2. Brojevi odreduju ljudski karakter 61
3.2.1. Primarni brojevi -
3.2.2. Sudbina u imenima -
- -
slozeni brojevi
61
67
3.2.3. Kako koristimo primarne i slozene brojeve za tumafonje
ljudskog karaktera? - - - 70
11
11
20
21
21
22
~2
24
25
27
31
J l
33
3-1
36
37
38
39
39
40
41
181

3.2.4. K ako odrediti srecan dan u mesecu? 71
3.2.5. K ako odrediti sreean grad? - 72
3.3. Kabala - - - - - - 73
IV MATEMATIKA I RELIGIJA - - 77
4.1. Uvod - - - - - - - 77
4.2. Neki hriscanski matematifari srednjeg veka - 77
4.3. Uticaj religije n a matematicko stvarala.§tvo velikih
matematicara - - - - - -
4.4. Uticaj crkve na razvoj matematike -
78
80
4.5. Dodixne tacke matematike i religije - 31
4.6. Matematika u religioznim knjigama 81
4.6.1. Matematika u Bibliji - 84
4.6.1.1. 0 Bibliji - - - - 34
4.6.1.2. Magicni broj sedam - - - . -- 85
4.6.1.2.1. Veciti broj sedam - - - 35
4.6.1.2.2. Broj sedam u Bibliji - - - 87
4.6.1.3. Matematicka konstrukcija Davidovih psalama 93
4.6.1.4. Doprinos Biblije istoriji matematike - 94
4.6.1.4.1. Mere - - - - - - - 96
4.6.1.4.2. Vage - - - - - - - 98
4.6.1.4.3. Novae - - - - - -
4.6.1.4.4. Jevrejski kalendar u Bibliji -
99
101
4.6.1.4.5. Racunske operacije u Bibllji - - - 102
4.6.1.4.6. Broj 1t u Bi.bliji - - - - 104
4.6.1.4.7. Geometrijske figure i tela u Bibliji - 106
4.6.1.5. Matematika i potop - - - - - - 107
4.6.1.6. Numericki simbolizam u Bibliji kod filozofa
ranog srednjeg veka - - 110,
4.6.2. K.ur'an - matematicko cudo - - 114
4.6.2.1. Uvodno razmatranje - - - - - - - 114
4.6.2.2. Aritmetika Kur'ana - - - - - - - 115
4.7. A·ritmologija ranohri.§canskih mlslilaca - - - 119
4.8. Matematika i crkveni praznici otkrivaju istorijske
dogadaje - - - - - - - - - - - 122
V KALENDAR I VECITI KALENDAR - - - - - 131
5.1. Kratak istorijait kalendara - - - - - - - 131
5.2. Svepravoslavni kongres i reforma Julijanskog kalendara
- - - - - - - - - - - - 134
5.3. Veciti kalendar - - - - - - - - - 148
VI MATEMATIKA I MUZIKA - - - - - - 153
VII DODATAK: ZADACI ZA IZOSTRAVANJE UMA - 157
7.1. Magieni kvadrati i druge magiene figure 157
7.1.1. Sta je magieni kvadrat? - - - 157
7.1.2. Magicni kvadrati 3X3 160
7.1.3. Druge magil':ne figl.ll'e 163
LITERATURA _ - - - 177
CIP - Ka ni.n:orn3~j a y ny6.T1:1KaqHjH
H apo,zvm 6u6JrnOTem Cpfurje, Beorpa~
511 :133
).l;EJJ1'B., MupKo
Tajoi svct matematike : radanje brojeva. okultistika, rc ­
ligija , kalendar , magicni kvadra ti I Mirko Dejic. - Beograd
: Nolit, 1990. - 179 CTp. : J1JiyCTp. ; CM. - (I3iblioteka Za ­
nimljiva nauka)
B J.16m10rpaqmja : CTl). 177-179.
ISBN 86-19-01742-X
IIK: a. B pojeBH - Cmi:6oJIM3aM
- ------------- ----- .. --··- --- - - -'