Osnovi elektronike

U matematičkoj teoriji Furijeovih redova pokazuje se da se svaka periodična funkcija
f (t) može predstaviti pomoću zbira sinusoidalnih funkcija, koje su linearno nezavisne. Dakle,
imamo:
∞
f() t = a + ∑ a cos( nω t +θn)
(5.72)
0 n
0
n=
1
gde je ω0 = 2π
T osnovna učestanost signala, a a
0
predstavlja srednju vrednost signala.
Posmatrajmo malo detaljnije poslednji izraz. Perioda sinusoidalne komponente za n = 1
je T, perioda sinusoidalne komponente za n = 2 je T 2 , perioda sinusoidalne komponente za
n = 3 je T 3, itd. U opštem slučaju, perioda sinusoidalne komponente za n = k je T k . Takva
komponenta se naziva k-ta harmonijska komponenta ili kraće k-ti harmonik. Jednačina k-tog
harmonika je ak
cos( kω 0t
+ θk
) , a fazor koji ga predstavlja je ak∠ θk
.
Pošto se cos( nω 0t
+ θn
) može po Ojlerovoj formuli predstaviti u eksponencijalnom
obliku, prethodni razvoj funkcije f (t)
se može napisati i u ekvivalentnom obliku:
1
f () t = a + a e = c e = a + ( a cosnω t+ b sin nω
t)
(5.73)
∞ j( n 0 t )
∞
n
jn 0 t
∞
ω +θ
ω
0 ∑ n ∑ n 0 ∑ n 0 n 0
2 n=−∞ n=−∞ n=
1
n≠0
gde se kompleksne konstante c n
nazivaju Furijeovi koeficijenti. Ovi koeficijenti se mogu
− jkω0t
odrediti na jednostavan način. Ako se jednačina (5.73) pomnoži sa e i odredi integral obe
strane jednačine u okviru jedne periode, dobija se:
t1 + T t1 + T ∞
∞ t1
+ T
− jkω0t ⎛
jnω0t ⎞ − jkω0t j( n−k ) ω0t
∫ () = ∫ ⎜∑
n ⎟ = ∑ n ∫
t n
n
1 t ⎝ =−∞ ⎠
=−∞
1 t1
f t e dt c e e dt c e dt (5.74)
Pošto je:
konačno se dobija:
j( n−k) ω
0
0t
⎧ n≠
k
∫ e dt = ⎨
(5.75)
⎩T n=
k
t1
+ T
t1
t1+
T
1
− jnω0t
c
n
= f () te dt
T
∫
(5.76)
t1
Neka se sada takav periodični signal primeni kao pobuda nekog linearnog električnog
kola. Ako je recimo pobudni signal napon, onda se, primenom razvoja u Furijeov red, pobudni
signal može predstaviti u vidu zbira napona:
vt () = v + v() t + v()
t + (5.77)
0 1 2
što se može ilustrovati slikom 5.14.
47