Osnovi elektronike

Iz uslova periodičnosti:
ω T = 2π (5.3)
sledi:
2π
ω = = 2π f
(5.4)
T
Nešto opštiji oblik sinusoidalne funkcije je:
gde je θ fazni ugao ili početna faza.
xt () = X sin( ω t+θ )
(5.5)
M
5.2 Predstavljanje sinusoidalnih veličina kompleksnim brojevima
Posmatrajmo jedno RL kolo pobuđeno naponskim sinusoidalnim izvorom. Onda se po II
Kirhofovom zakonu može pisati:
di()
t
L + Ri() t = VM
cosω t
(5.6)
dt
Pošto je pobuda sinusoidalna, struja mora biti oblika:
it () = I cos( ω t+φ )
(5.7)
M
Zamenom u prethodnu diferencijalnu jednačinu i rešavanjem po nepoznatima I M i φ,
posle dužeg izračunavanja se dobija:
I
M
=
R
V
M
+ω L
2 2 2
ω
φ=− arctg
L
(5.8)
R
pa je:
VM
ωL
it ( ) = cos( ωt−arctg )
2 2 2
R +ω L
R
(5.9)
Kao što se vidi, do rešenja smo došli na komplikovan i dugotrajan način. Jednostavniji
način rešavanja se dobija uspostavljanjem veze između sinusoidalnih funkcija i kompleksnih
brojeva. Ova veza dovodi do algebarskih jednačina po prvom i drugom Kirhofovom zakonu,
koje zamenjuju odgovarajuće diferencijalne jednačine.
Poći ćemo od Ojlerove predstave kompleksnog broja:
j t
e ω = cos ω t+ jsin
ω t
(5.10)
31