Osnovi elektronike

x () p
t = A a2
(4.34)
Homogena jednačina iz koje se dobija prirodno rešenje se može napisati i u obliku:
2
d x t
() dx()
t 2
+ 2 α +ω
2
0xt
( ) = 0
(4.35)
dt dt
st
Smenom x ( t)
= Ke ≠ 0 , ova jednačina postaje algebarska jednačina:
ili
s Ke + 2α sKe +ω Ke = 0
(4.36)
2 st st 2 st
0
s
+ 2α s+ω = 0
(4.37)
2 2
0
Ova jednačina se naziva karakteristična jednačina, koeficijent α se naziva koeficijent
prigušenja, a dok se ω 0 naziva rezonantna učestanost. Rešenja ove kvadratne jednačine su:
s , s = −α ± α − ω (4.38)
2 2
1 2 0
i nazivaju se prirodne (sopstvene) učestanosti. Rešenja homogene diferencijalne jednačine (4.35)
su:
x () t = K e , x () t = K e
(4.39)
s 1 t
s2t
1 1 2 2
a njihov zbir takođe predstavlja prirodno rešenje:
x () t = K e + K e
(4.40)
c
s1t
s2t
1 2
Konstante K 1 i K 2 se određuju iz početnih uslova x(0) i
dx ( 0)
dt .
oblika:
Zavisno od vrednosti parametara α i ω 0 , razlikuju se tri slučaja:
1. α>ω
0
- prigušeno rešenje. Rešenja s 1 i s 2 su realna i nejednaka, pa je prirodno rešenje
2 2 2 2
−( α− α −ω0) t −( α+ α −ω0)
t
1 2
x () t = K e + K e
(4.41)
c
i predstavlja zbir dve opadajuće eksponencijalne funkcije. Konstante K 1 i K 2 se određuju iz
početnih uslova.
2. α=ω
0
- kritično prigušeno rešenje. Rešenja s 1 i s 2 su realna i jednaka, pa je prirodno
rešenje oblika:
−αt
x () t = Be + B te
(4.42)
c
−αt
1 2
Konstante B 1 i B 2 se određuju iz početnih uslova.
28