Osnovi elektronike

Iz jednačine koja daje prirodno rešenje (4.20) se vidi da rešenje x c
(t)
i njegov izvod
dx c
( t)
dt moraju imati isti vremenski oblik, jer se inače ne bi mogli poništiti. Jedan mogući
−at
oblik za x c
(t)
je eksponencijalna funkcija xc
( t)
= Ke . Što se prinudnog rešenja x p
(t)
tiče, ono
se mora sastojati od funkcije f (t)
i njenog prvog izvoda df ( t)
dt . Izuzetak od ovog pravila
−at
predstavlja slučaj f ( t)
= Ae , gde je a ista konstanta kao u diferencijalnoj jednačini.
U slučaju posmatranih RC i RL kola, f(t) = A = const, pa je prinudno rešenje
diferencijalne jednačine takođe konstanta x p
( t)
= K1
. Prirodno rešenje je, kao što je već rečeno,
−at
eksponencijalnog oblika x ( t)
K e . Kompletno rešenje diferencijalne jednačine je onda:
c
= 2
x()
t = K + K e = K + K e
(4.22)
−at
−t
/ τ
1 2 1 2
Konstanta τ =1 a naziva se vremenska konstanta kola. Za RC kolo, τ = RC, dok je za RL
kolo τ = L/R. Vremenska konstanta kola određuje brzinu kojom se odvijaju promene napona ili
struja u kolu. Lako je pokazati da se za vreme t = τ posmatrana veličina x(t) promeni za 63.2%
od ukupne moguće promene, dok se za vreme t = 5τ
ista veličina promeni za 99.3%. Dakle,
posle pet vremenskih konstanti prelazni proces je praktično završen. Ova analiza pokazuje da
velika vremenska konstanta znači sporo odvijanje promena veličina u kolu, a da mala vremenska
konstanta znači brzo odvijanje promena veličina u kolu. Za ilustraciju ove činjenice, na slici 4.4
su prikazani oblici rešenja (4.22) dobijeni za dve vrednosti vremenske konstante τ = 1
1 i
τ = 0.2 2
, dok su ostali parametri isti: K = 1
0 i K = 1.
2
1
0.8
0.6
tau1 = 1
0.4
0.2
tau2 = 0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Slika 4.4: Zavisnost brzine promene odziva od vremenske konstante.
Primetimo da drugi član u rešenju (4.22) teži ka nuli kada t→∞. Dakle:
K1 = lim x( t) = x( ∞ )
(4.23)
t→∞
Konstanta K
1
se naziva ravnotežno rešenje.
25