Osnovi elektronike

3.7 Sistem jednačina napona čvorova
U procesu rešavanja električnog kola potrebno je odrediti struje kroz elemente kola i
napone na elementima kola. Za njihovo određivanje možemo napisati sistem linearnih jednačina,
koji se sastoji od jednačina po prvom Kirhofovom zakonu, jednačina po drugom Kirhofovom
zakonu i jednačina elemenata po Omovom zakonu. Prilikom određivanja napona u kolu, jedan
čvor u kolu se bira za referentni čvor, pa se preostali naponi računaju u odnosu na njega.
Referentni čvor se najčešće naziva masa.
Ovako formirani sistem ima veliki broj jednačina. Da bi se smanjio broj jednačina u
sistemu može se postupiti na dva načina. Prvi način je da se prvo odrede svi naponi u kolu, a da
se potom odrede struje kroz elemente na osnovu Omovog zakona. Drugi način je da se prvo
odrede struje u kolu, pa tek onda naponi na elementima. U oba slučaja se broj jednačina u
sistemu značajno smanjuje.
U elektronskim kolima je broj čvorova obično znatno manji od broja elemenata, pa je
prvi način formiranja jednačina korisniji. Da bi se formirao takav sistem jednačina, prvo se za
svaki čvor (osim za referentni) napiše odgovarajuća jednačina po prvom Kirhofovom zakonu, a
zatim se struje koje utiču u čvor ili ističu iz čvora izraze preko napona čvorova i Omovog
zakona. U slučaju kola sa N čvorova, broj jednačina u sistemu je N - 1. Takav sistem jednačina
se naziva sistem jednačina napona čvorova.
Po Omovom zakonu struja kroz otpornik između čvorova m i n je:
I
V
−V
R
m n
mn
= (3.22)
Ova struja se pojavljuje samo u jednačinama po prvom Kirhofovom zakonu napisanom
za čvorove m i n.
U slučaju kola sa N čvorova, broj nepoznatih veličina (napona) u sistemu N-1, tj. isti je
kao broj jednačina. Dakle, posle sređivanja napisanih jednačina, koje se sastoji u grupisanju
članova koji odgovaraju istim nepoznatim naponima i prebacivanja konstantnih članova na desnu
stranu jednačina, formirani sistem izgleda ovako:
GV+ GV + + G V = I
11 1 12 2 1N−1 N−1 1
GV+ GV+ + G V = I
21 1 22 2 2N−1 N−1 2
G V + G V + + G V = I
N−11 1 N−12 2 N−1N−1 N−1 N−1
(3.23)
Ovaj sistem jednačina se može i direktno napisati na osnovu posmatranja kola, bez
prethodnog formiranja jednačina po prvom Kirhofovom zakonu. Koeficijenti van glavne
dijagonale G
mn
, gde je m ≠ n , predstavljaju zbir provodnosti svih grana između čvorova m i n i
uvek imaju negativni predznak. Dijagonalni koeficijenti G
kk
predstavljaju zbir provodnosti svih
grana koje se stiču u čvor k i uvek imaju pozitivni predznak.
3.8 Linearna kola: principi superpozicije i homogenosti
U elektrotehnici i elektronici veliku primenu ima klasa linearnih kola. Da bi kolo bilo
linearno mora zadovoljiti principe superpozicije i homogenosti.
17