MathCAD - ćwiczenia 2

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
Zmienne zakresowe 1. Tablicowanie funkcji
Wzór
a := 0, π .. 2⋅π
10
a =
0
0.314
0.628
0.942
1.257
1.571
1.885
2.199
2.513
2.827
3.142
3.456
3.77
4.084
4.398
4.712
sin()
a
0
0.309
0.588
0.809
0.951
1
0.951
0.809
0.588
0.309
0
-0.309
-0.588
-0.809
-0.951
-1
=
Opis
a, :, 0, przecinek, Ctrl+Shift+P, /, 10, ;średnik,
Ctrl+Shift+P
a, = sin, (, a, ), =
Wyniki prezentowane po lewej są tablicami, a nie - jak
dotychczas - skalarem. Aby wyświetlić kolejne elementy
tablicy należy ją uaktywnić (poprzez kliknięcie) i
przewinąć do szukanego elementu. Można również
zwiększyć liczbę wyświetlanych elementów tablicy
rozciągając jej dolną krawędź!!!
Poniżej przedstawiamy wykres stablicowanej funkcji
1
1
0 2 4 6 8
Inny sposób (wektorowy)
n := 10
i := 0..
n
Tu dla oszczędności miejsca rozrzedzono podział na n=10
odcinków.
a i
:=
2⋅π
i
n
definicja wektora poprzez zmienną iterowaną
a, [, i, :, 2, Ctrl+Shift+P, i, /, n
a
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0
0.628
1.257
1.885
2.513
3.142
3.77
4 398
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
sin()
a
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0
0.588
0.951
0.951
0.588
0
−0.588
0 951
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Teraz wyniki są nie tablicami a wektorami!!!
I tak przy okazji doszliśmy do naturalnej
definicji wektora poprzez iterowaną definicje
kolejnych jego elementów.
Dostęp do kolejnych elementów wektora
uzyskujemy stosując operator indeksu "[".

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
4.398
5.027
5.655
6.283
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−0.951
−0.951
−0.588
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Zmienne zakresowe 2. Sumowanie szeregów
n := 10
i := 0..
n
1
a i :=
s
2 i
:=
∑ a i
i
s = 1.999023
a
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.01563
0.00781
0.00391
0.00195
0.00098
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Uwaga: do obliczenia powyższej sumy nie warto
definiować wektora a, tylko od razu wpisać wzór
∑
n
1
i 0
2 i = 1.999023
=
co zaoszczędza zużycie pamięci i zwiększa szybkość
obliczeń. (przedstawiony po lewej sposób obliczeń jest
nieefektywny - pokazano go jedynie dla celów
dydaktycznych).
Ćwiczenie 1:
1. Stablicuj funkcję cos(x) w przedziale od 0 do 2π z podziałem na 20 odcinków.
2. Stablicuj dowolną funkcję f(x) w przedziale od x1 do x2 z krokiem ∆x, tak aby końce
zakresu jak i krok można było dynamicznie zmieniać.
n
3. Oblicz sumę szeregu
∑ 1
dla n = 10, 100, 1000 i 10000. Wyniki przedstaw z
i 1
i 2
=
dokładnością 10 cyfr po przecinku. Zwróć uwagę na wolną zbieżność szeregu!!!
Wektory i macierze
ORIGIN := 1
UWAGA: początkowy indeks wektorów i macierzy
to 0 a nie 1. To domyślne zachowanie Mathcada
możemy zmienić definiująć zmienną ORIGIN
Różne sposoby definiowania wektorów i macierzy
1. wystarczy określić kilka wyrazów wektora lub macierzy (pozostałe elementy przyjmą domyślne
wartości zerowe). Wymiary wektora-macierzy określają maksymalne indeksy użyte do tej pory

V 1 := 1.23
V
A 11 , := 1
A 23 , := 5
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1.23
0
3.5
V 3 := 3.5
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠
A 22 , := 3
V, [, :, 1.23
Dla macierzy drugi indeks oddzielamy przecinkiem
A, [, 0, przecinek, 0, :, 1
analogicznie
A
=
⎛
⎜
⎝
1
0
0
3
0
5
⎞ ⎟⎠
2. można zastosować zmienne zakresowe i definicję wektora (macierzy) za pomocą wzoru
iteracyjnego (jak przedstawiono przy omawianiu zmiennych zakresowych) lub podając
bezpośrednio kolejne elementy wektora oddzielone przecinkami.
i := 1..
3
w i
:=
B i j ,
2i ⋅
j := 1..
2
:=
w
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
4
6
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠
lub
z i
1
3
7
:=
z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
7
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠
1
2
3
4
5
6
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
5
2
4
6
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠
dla macierzy dane czytane są wierszami!!!
3. Ctrl+M lub przycisk Insert Matrix na pasku narzędziowym Matrix.lub w menu Insert
A
:=
⎛
⎜
⎝
1
0
2
3
0
4
⎞ ⎟⎠
A, :, Ctrl+M, podać wymiary i wpisać kolejne elementy
4. Poprzez generowanie
I :=
diag()
z
I
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
3
0
0
0
7
⎞ ⎟
⎟
⎟
⎠
H := identity( 3)
H =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎞ ⎟
⎟
⎟
⎠

Operacje algebraiczne na wektorach i macierzach
A
=
⎛
⎜
⎝
1
0
2
3
0
4
⎞ ⎟⎠
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
5
2
4
6
⎞ ⎟⎟⎟⎠
C :=
B T
C
=
⎛
⎜
⎝
1
2
3
4
5
6
⎞ ⎟⎠
transpozycja macierzy (Ctrl+1)
A
+
B =
BŁĄD! niezgodne wymiary macierzy
A + C
=
⎛
⎜
⎝
2
2
5
7
5
10
⎞
⎟
⎠
C − A
=
⎛
⎜
⎝
0
2
1
1
5
2
⎞ ⎟⎠
suma i różnica macierzy
AB ⋅
D :=
=
⎛
⎜
⎝
B⋅A
7
29
10
36
⎞
⎟
⎠
D
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
5
8
18
28
8
16
24
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
iloczyn macierzowy
D = 0
eigenvals( D)
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
43.866
−0.866
0
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
wyznacznik macierzy (tylko dla mac. kwadratowych)
wartości własne macierzy
Inne rzadziej używane funkcje
cols( A) = 3
〈〉 2
= ⎜
3
A 2
⎛
⎝
⎞ ⎟⎠
rows( A) = 2
Ile kolumn i wierszy
wyciągnięcie n-tej kolumny (Ctrl+6)
w×
z
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
10
−8
2
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠
iloczyn wektorowy (Ctrl+8)
max( B) = 6
min( B) = 1
szukanie elementów o największej lub najmniejszej
wartości

Operacje na blokach
Służą do tego specjalne funkcje blokowe:
• submatrix() - wyciągnięcie bloku z macierzy
• augment() - sklejenie dwóch macierzy w poziomie
• stack() - sklejenie macierzy w pionie
Opis poszukaj samodzielnie w "Helpie" lub "Recource Center"
Ćwiczenie 2
1. Zdefiniuj na różne sposoby następujące macierze:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
A := 0 0 3 0 3 B :=
0
1
2. Oblicz A + B, A 2 − B , A⋅
B, B⋅A
0
2
0
2
0
0
0
3
0
0
4
4
1
2
4
5
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
3. Oblicz macierz C := ( A − B) 2 , znajdź max i min, oblicz wyznacznik i mac.
transponowaną z C
4. Zdefiniuj funkcje row(A,i) i col(A,j) do wyciągania pojedynczego wiersza i kolumny, a
następnie oblicz za ich pomocą wektory v1 = row(C,2) i v2 = col(C,3)
5. Wyciągnij środkowy blok 3x3 z macierzy C (znajdź opis i użyj funkcji submatrix(...)).
6. Doklej wektor v1 do macierzy A jako jej ostatni wiersz. Podobnie doklej wektor v2 do
macierzy B jako jej pierwsza (lewa) kolumna. Użyj funkcji stack() i augment()
7. Wykonaj zadania z punktów 5 i 6 iteracyjnie - bez korzystania z funkcji blokowych
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Rozwiązywanie układów równań liniowych AX=B
ORIGIN := 1
i := 1..
3
A := 0
j := 1..
3
B := 0
UWAGA: zniszczenie poprzednich definicji macierzy
definicja macierzy A i wektora B
A i, j := i j
A
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
3
1
4
9
1
8
27
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
B i := i+
j
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
4
5
6
⎞ ⎟
⎟
⎟⎠
1. Rozwiązanie poprzez macierz odwrotną (dla małych układów)
sprawdzenie czy macierz nieosobliwa det A 0
A = 12

obliczenie macierzy odwrotnej
A1 := A − 1
A1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
−2.5
0.5
−1.5
2
−0.5
0.333
−0.5
0.167
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
X
rozwiązanie
:=
A1⋅B
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
6.5
−3
0.5
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
UWAGA: wyniki można również obliczyć symboliczn
A1 →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
3
−5
2
1
2
−3
2
2
−1
2
1
3
−1
2
1
6
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
X →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
13
2
−3
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2. Rozwiązanie przez zastosowanie funkcji lsolve() (zalecane dla dużych układów)
X
:=
lsolve( A , B)
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
6.5
−3
0.5
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
X →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
13
2
−3
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Wektory i macierze funkcyjne
przykład
Mx ( )
:=
⎛
⎜
⎝
sin( x)
cos( x)
x 2 − 2
x
⎞
⎟⎠
M1 ( )
=
⎛
⎜
⎝
0.841
0.54
−1
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
M π 6
⎞
⎟
⎠
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
1
⋅
2
3
1
⋅
36 π2 − 2
1
6 ⋅π
⎟
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Ćwiczenie 3
1. Rozwiąż układ równań AX=B:
1 2 3
A :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
4
5 6
⎞ ⎟
⎟
⎟⎠
B := 7 dla p = 1, 5 i 9
7 8
p
13
2. Czy istnieje rozwiązanie dla p = 9 i jeśli tak to jak je otrzymać ???
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠

3. Wygeneruj losowo (funkcja rnd()) układ równań dla n = 10, 100 i 1000 niewiadomych i
porównaj dokładność rozwiązania.