ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

6.18. Íåõàé
p ( x) = a x + a x + a x + ... + a x+
a
n n -1 n -2
n 0 1 2 n-1
n
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n, à q
1 2
( ) - m -
x = b0x + b1x + b2x + ... + b
-1x+
b
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ m.
Äîâåñòè, ùî
m m m
⎧a0
⎪ , m = n
b0
pn
( x)
⎪
lim = ⎨0,
m>
n .
x→∞
qm
( x ) ⎪ ∞ , m < n
⎪
⎪⎩
6.19. Äîâåñòè çà îçíà÷åííÿì Êîø³, àáî íà ìîâ³ “ε −δ”,
ùî lim sin x = sin x0
.
x→x0
6.20. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³
1)
x
lim
x→1
x
2
2
− 3x+
2
− 5x+ 4
; 2) 1+ x − 1− x
lim
;
x →0
x
2
2 2
3) lim ( x − 2x+ 5−x ); 4) lim ( x 5x x 5x)
x→∞
1−
cos2x
5) lim 2 ; 6)
x →∞ x
7)
9)
1
2
x
lim(1 + 5 x ) ; 8)
→
x
0
x→−∞
lim
x →0
sin
sin 2x
→ + − ; 10) lim
x →0
lim
x 0 1 x 1
³äïîâ³ä³: 1)
5) 2; 6) 3; 7)
5
2
e ;
sin 3x
;
x
x
3 − 2
lim
x→0
x
1
3 ; 2) 1; 3) −1; 4) –5;
x
+ − − ;
;
1+ x − 1 .
x
8)
3
ln 2
; 9) 4; 10) 1 2 .
6.21. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³:
1)
− + +
2
x ( n 1) x n
lim 2
x→1
x − ( m+ 1) x+
m
; 2)
+ − −
m⋅
x
x →0
lim
n x n x
2
2 2
3) lim ( + + 7 − ); 4) lim ( )
x
x nx x
→∞
1−
cos2nx
5) lim 2 ; 5)
x →0
x
6) ( 1 nx) 1
−
− ; 7)
lim
( n 1) x
x→0
8) lim( 1 sinmx) ctg
x→0
nx
+ ;
sin x⋅sin 2x⋅sin 3 x⋅... ⋅sin
mx
9) lim
m
.
x→0
x
6.22. Âèâåñòè òàê³ ôîðìóëè
x→x0 x→x0
x + nx − x − nx ;
x
→∞
+
sin mx
sin( m 5) x
lim
x →0
x
x
lim
0 ( 1)
x ( 1)
x
x→
+ − +
;
( m+ n) − ( n+
1)
n m
1
sin α( x)
1, ( 1 ( ))
( )
lim = lim +α x α x = e ,
α()
x
α( x)
a −1 arcsin α( x)
lim = ln a, lim
= 1,
α( x) α( x)
x→x0 x→x0
µ
log a (1 +α ( x)) 1 (1 +α( x)) −1
lim
= , a > 0, a ≠ 1, lim
=µ , µ ≠ 0
α( x) ln a α( x)
x→x0 x→x0
çà óìîâè, ùî α(x) º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ, êîëè õ
ïðÿìóº äî x 0 .
;
;
194 195