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6.18. Íåõàé<br />
p ( x) = a x + a x + a x + ... + a x+<br />
a<br />
n n -1 n -2<br />
n 0 1 2 n-1<br />
n<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n, à q<br />
1 2<br />
( ) - m -<br />
x = b0x + b1x + b2x + ... + b<br />
-1x+<br />
b<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ m.<br />
Äîâåñòè, ùî<br />
m m m<br />
⎧a0<br />
⎪ , m = n<br />
b0<br />
pn<br />
( x)<br />
⎪<br />
lim = ⎨0,<br />
m><br />
n .<br />
x→∞<br />
qm<br />
( x ) ⎪ ∞ , m < n<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
6.19. Äîâåñòè çà îçíà÷åííÿì Êîø³, àáî íà ìîâ³ “ε −δ”,<br />
ùî lim sin x = sin x0<br />
.<br />
x→x0<br />
6.20. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³<br />
1)<br />
x<br />
lim<br />
x→1<br />
x<br />
2<br />
2<br />
− 3x+<br />
2<br />
− 5x+ 4<br />
; 2) 1+ x − 1− x<br />
lim<br />
;<br />
x →0<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
3) lim ( x − 2x+ 5−x ); 4) lim ( x 5x x 5x)<br />
x→∞<br />
1−<br />
cos2x<br />
5) lim 2 ; 6)<br />
x →∞ x<br />
7)<br />
9)<br />
1<br />
2<br />
x<br />
lim(1 + 5 x ) ; 8)<br />
→<br />
x<br />
0<br />
x→−∞<br />
lim<br />
x →0<br />
sin<br />
sin 2x<br />
→ + − ; 10) lim<br />
x →0<br />
lim<br />
x 0 1 x 1<br />
³äïîâ³ä³: 1)<br />
5) 2; 6) 3; 7)<br />
5<br />
2<br />
e ;<br />
sin 3x<br />
;<br />
x<br />
x<br />
3 − 2<br />
lim<br />
x→0<br />
x<br />
1<br />
3 ; 2) 1; 3) −1; 4) –5;<br />
x<br />
+ − − ;<br />
;<br />
1+ x − 1 .<br />
x<br />
8)<br />
3<br />
ln 2<br />
; 9) 4; 10) 1 2 .<br />
6.21. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³:<br />
1)<br />
− + +<br />
2<br />
x ( n 1) x n<br />
lim 2<br />
x→1<br />
x − ( m+ 1) x+<br />
m<br />
; 2)<br />
+ − −<br />
m⋅<br />
x<br />
x →0<br />
lim<br />
n x n x<br />
2<br />
2 2<br />
3) lim ( + + 7 − ); 4) lim ( )<br />
x<br />
x nx x<br />
→∞<br />
1−<br />
cos2nx<br />
5) lim 2 ; 5)<br />
x →0<br />
x<br />
6) ( 1 nx) 1<br />
−<br />
− ; 7)<br />
lim<br />
( n 1) x<br />
x→0<br />
8) lim( 1 sinmx) ctg<br />
x→0<br />
nx<br />
+ ;<br />
sin x⋅sin 2x⋅sin 3 x⋅... ⋅sin<br />
mx<br />
9) lim<br />
m<br />
.<br />
x→0<br />
x<br />
6.22. Âèâåñòè òàê³ ôîðìóëè<br />
x→x0 x→x0<br />
x + nx − x − nx ;<br />
x<br />
→∞<br />
+<br />
sin mx<br />
sin( m 5) x<br />
lim<br />
x →0<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
0 ( 1)<br />
x ( 1)<br />
x<br />
x→<br />
+ − +<br />
;<br />
( m+ n) − ( n+<br />
1)<br />
n m<br />
1<br />
sin α( x)<br />
1, ( 1 ( ))<br />
( )<br />
lim = lim +α x α x = e ,<br />
α()<br />
x<br />
α( x)<br />
a −1 arcsin α( x)<br />
lim = ln a, lim<br />
= 1,<br />
α( x) α( x)<br />
x→x0 x→x0<br />
µ<br />
log a (1 +α ( x)) 1 (1 +α( x)) −1<br />
lim<br />
= , a > 0, a ≠ 1, lim<br />
=µ , µ ≠ 0<br />
α( x) ln a α( x)<br />
x→x0 x→x0<br />
çà óìîâè, ùî α(x) º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ, êîëè õ<br />
ïðÿìóº äî x 0 .<br />
;<br />
;<br />
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