ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

6.3.6. Ãëîáàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é,
ÿê³ çàäàí³ íà ñåãìåíò³
Ôóíêö³þ íàçèâàþòü íåïåðåðâíîþ íà ñåãìåíò³ [a, b],
ÿêùî âîíà íåïåðåðâíà â êîæí³é òî÷ö³ ³íòåðâàëó (a, b) ³
íåïåðåðâíà â òî÷ö³ à ñïðàâà ³ â òî÷ö³ b çë³âà.
Äëÿ êðàùîãî ðîçóì³ííÿ ïîíÿòòÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ íà
ñåãìåíò³ [a, b] ïîÿñíèìî éîãî ó âèïàäêó ¿¿ ãðàô³÷íîãî çîáðàæåííÿ:
ÿêùî íà åñê³ç ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x) ìîæíà íàêëàñòè
îäíó íèòî÷êó, òî ôóíêö³ÿ y = f(x) íà ñåãìåíò³ [a, b]
íåïåðåðâíà.
Íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ ôóíêö³ÿ ìຠíèçêó âëàñòèâîñòåé.
Ñôîðìóëþºìî ö³ âëàñòèâîñò³ ó âèãëÿä³ òåîðåì.
Òåîðåìà 6.3.4 (Âåéºðøòðàññà ïðî îáìåæåí³ñòü). ßêùî
ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà íà ñåãìåíò³ [a, b] ³ íà öüîìó ñåãìåíò³ º
íåïåðåðâíîþ, òî âîíà íà íüîìó º îáìåæåíîþ.
Ïåðø í³æ ñôîðìóëþâàòè íàñòóïíó òåîðåìó, äàìî òàêå
ïîíÿòòÿ.
Íåõàé íà äåÿê³é ÷èñëîâ³é ìíîæèí³ Õ çàäàíà ôóíêö³ÿ
y = f(x), õ ∈ Õ. Òîä³ êàæóòü, ùî çíà÷åííÿ f(ñ), ñ ∈ Õ º íàéá³ëüøèì
(íàéìåíøèì), ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî õ ∈ Õ âèêîíó-
ºòüñÿ íåð³âí³ñòü
fx ( ) £ fc ( ) ( fx ( ) ³ fc ( )).
Òåîðåìà 6.3.5 (Âåéºðøòðàññà ïðî äîñÿãíåííÿ íàéá³ëüøîãî
òà íàéìåíøîãî çíà÷åíü). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) íåïåðåðâíà
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî âîíà íà íüîìó äîñÿãຠñâîãî íàéá³ëüøîãî
é íàéìåíøîãî çíà÷åíü.
Òåîðåìà 6.3.6 (Áîëüöàíî 1 — Êîø³ ïðî êîð³íü íåïåðåðâíî¿
ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) º íåïåðåðâíîþ íà ñåãìåíò³
[a, b] ³ íà ê³íöÿõ ñåãìåíòà ìຠð³çí³ çíà÷åííÿ, ïðîòèëåæí³
çà çíàêîì, òî ³ñíóº, ïðèíàéìí³, îäíà òàêà òî÷êà ñ ∈ (a, b),
ùî f(ñ) =0.
Òåîðåìà 6.3.7 (Áîëüöàíî — Êîø³ ïðî ïðîì³æíå çíà-
÷åííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) º íåïåðåðâíà
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà Ñ, ùî çíàõî-
1
Áîëüöàíî Áåðíàðä (1781 – 1848) — çíàìåíèòèé ÷åñüêèé ìàòåìàòèê,
ô³ëîñîô ³ ëîã³ê.
äèòüñÿ ì³æ f(à) ³ f(b), ³ñíóº, ïðèíàéìí³, îäíà òàêà òî÷êà
ñ ∈ (a, b), ùî f(ñ) =Ñ.
Òåîðåìà 6.3.8 (ïðî ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿).
ßêùî ôóíêö³ÿ ó = f(x) çàäàíà íà ñåãìåíò³ [a, b] ³ íà öüîìó
ñåãìåíò³ º íåïåðåðâíîþ ³ ñòðîãî ìîíîòîííîþ, òî äëÿ ö³º¿
ôóíêö³¿ ³ñíóº îáåðíåíà ôóíêö³ÿ y = ϕ(x), ÿêà íà ñåãìåíò³
[c, d] ([c, d] — îáëàñòü çíà÷åíü ôóíêö³¿ ó = f(x)) º òàêîæ
íåïåðåðâíîþ ³ ñòðîãî ìîíîòîííîþ.
Òåîðåìè 6.3.5 — 6.3.8 ïîäàºìî áåç äîâåäåííÿ. Ñòðîãå
äîâåäåííÿ ¿õ âèõîäèòü çà ðàìêè äàíîãî ïîñ³áíèêà. Ñë³ä
ò³ëüêè â³äçíà÷èòè, ùî íà ³íòó¿òèâíîìó ð³âí³ ñïðàâåäëèâ³ñòü
òåîðåì º äîñèòü çðîçóì³ëîþ. Òàê, íàïðèêëàä, íåñòðîãå äîâåäåííÿ
òåîðåìè ïðî êîð³íü íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ áàçóºòüñÿ íà
òîìó, ùî ÿê áè ìè íå ç’ºäíàëè íåïåðåðâíîþ êðèâîþ (êðèâà
— îäíà íèòî÷êà) òî÷êè A(a, f(a)), B(b, f(b)) (f(a) >0,
f(b) < 0 àáî f(a) 0), òî îáîâ’ÿçêîâî íåïåðåðâíà êðèâà,
ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì ó = f(x), ïåðåòíå ³íòåðâàë (a, b)
ä³éñíî¿ â³ñ³ Îx. ×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî çä³éñíèòè òàê³ ñõåìàòè÷í³
ïîáóäîâè ñàìîñò³éíî.
Íà çàê³í÷åííÿ ï. 6.3.6 â³äçíà÷èìî, ùî âñ³ îñíîâí³
åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿ º íåïåðåðâíèìè ó ñâî¿õ îáëàñòÿõ âèçíà÷åííÿ.
6.3.7. Íåïåðåðâí³ ³ ðîçðèâí³ ôóíêö³¿ â ïðèðîä³
òà åêîíîì³ö³
ßê ìè âæå âïåâíèëèñÿ, â ìàòåìàòèö³ ôóíêö³¿ íà äåÿê³é
ìíîæèí³ ðîçä³ëÿþòüñÿ íà äâà êëàñè: 1) êëàñ íåïåðåðâíèõ
ôóíêö³é íà çàäàí³é ìíîæèí³; 2) êëàñ ôóíêö³é, ÿê³ ìàþòü
ðîçðèâè â òî÷êàõ çàäàíî¿ ìíîæèíè. Âèíèêàº, ïðèðîäíî, ïèòàííÿ:
³ñíóþòü ÷è í³ â ðåàëüíîìó æèòò³ ïðîöåñè, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòüñÿ
âêàçàíèìè êëàñàìè? ³äïîâ³äü íà öå çàïèòàííÿ
ïîçèòèâíà. Ó á³ëüøîñò³ âèïàäê³â çì³íà äåÿêî¿ âåëè÷èíè â
çàëåæíîñò³ â³ä äðóãî¿ çä³éñíþºòüñÿ ïîñòóïîâî áåç ñòðèáê³â.
Íàïðèêëàä, òåìïåðàòóðà âîäè â ïðèáåðåæíèõ âîäàõ ×îðíîãî
ìîðÿ â ë³òí³é ïåð³îä ÿê ôóíêö³ÿ ÷àñó çì³íþºòüñÿ ïîñòóïîâî.
Àëå òàêèé ïðîöåñ ìîæå ð³çêî çì³íèòèñÿ ï³ä 䳺þ äåÿêèõ
ôàêòîð³â, òàêèõ ÿê óðàãàí, ï³äâîäíà òå÷³ÿ ³ òàêå ³íøå.
Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä. ³çüìåìî êóáèê ñâèíöþ,
ÿêèé ìຠîá’ºì 1 äì 3 ïðè 0 0 Ñ ³ ð³âíîì³ðíî áóäåìî éîãî
188 189