ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿
f(x) = sgn x (äèâ. ï. 6.1.2) ó òî÷ö³ õ = 0 ³ îäíîñòîðîíí³õ
ãðàíèöü â í³é áóäóòü â³äïîâ³äíî òàê³:
f(0) = 0, f(0 + 0) = 1, f(0 − 0) = −1.
Áåçïîñåðåäíüî âèäíî, ùî í³ îäíà ç ð³âíîñòåé âèäó (6.3.1)
íå âèêîíóºòüñÿ. Òàêèì ÷èíîì, òî÷êà õ = 0 º òî÷êîþ ðîçðèâó
ïåðøîãî ðîäó äëÿ ôóíêö³¿ f(x) = sgn x.
Îçíà÷åííÿ 6.3.8. Òî÷êà ðîçðèâó õ 0 ôóíêö³¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ
òî÷êîþ ðîçðèâó äðóãîãî ðîäó, ÿêùî â ö³é òî÷ö³ õî÷à
á îäíà ç îäíîñòîðîíí³õ ãðàíèöü äîð³âíþº íåñê³í÷åííîñò³ àáî
çîâñ³ì íå ³ñíóº.
Ïðèêëàä 6.3.3. Ïîêàçàòè, ùî äëÿ ôóíêö³é
fx ( )
1
= ,
x
1
fx ( ) = sin òî÷êà õ =0 º òî÷êîþ ðîçðèâó äðóãîãî ðîäó. ijéñíî,
ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïðèêëàä³â 6.2.3 − 6.2.4 ìàºìî,
x
ùî
1 1
lim =∞, ∃ limsin
.
x
x
x→+ 0 x→0
Îòæå, çà îçíà÷åííÿì 6.3.8 òî÷êà õ =0 º òî÷êîþ ðîçðèâó
äðóãîãî ðîäó äëÿ ðîçãëÿäóâàíèõ ôóíêö³é.
6.3.4. Ïîíÿòòÿ ïðî îäíîñòîðîííþ íåïåðåðâí³ñòü
Ó ôîðìóë³ (6.3.1) âñ³ ð³âíîñò³ ìîæóòü íå âèêîíóâàòèñÿ,
àëå ïðè öüîìó îêðåìî ìîæóòü âèêîíóâàòèñÿ òàê³ ð³âíîñò³:
f(x 0 − 0) = f(x 0 ), (6.3.3)
f(x 0 +0)=f(x 0 ). (6.3.4)
Êîëè âèêîíóºòüñÿ óìîâà (6.3.3), òî êàæóòü, ùî ôóíêö³ÿ
y = f(x) íåïåðåðâíà çë³âà â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b). ßêùî æ âèêîíóºòüñÿ
óìîâà (6.3.4), òî êàæóòü, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íåïåðåðâíà
ñïðàâà â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b).
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà ñåãìåíò³
[a, b], òî â òî÷êàõ à ³ b ìîæíà ãîâîðèòè ò³ëüêè ïðî
îäíîñòîðîííþ íåïåðåðâí³ñòü, à ñàìå â òî÷ö³ à ïðî íåïåðåðâí³ñòü
ñïðàâà, â òî÷ö³ b — çë³âà.
Ïðèêëàä 6.3.4. Äîñë³äèòè íà íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³þ
y = E(x) â òî÷ö³ õ =0.
Çàñòîñóºìî îçíà÷åííÿ äëÿ ôóíêö³¿ àíòüº (ðèñ. 6.3). Çã³äíî
ç ãðàô³êîì ö³º¿ ôóíêö³¿ áóäåìî ìàòè E(0) = 0,
E(0 − 0) = −1, E(0 + 0) = 0. Ïðîñòèé àíàë³ç ôîðìóë ïîêàçóº,
ùî ôóíêö³ÿ y = E(x) â òî÷ö³ õ = 0 ìຠðîçðèâ ïåðøîãî ðîäó,
àëå öÿ ôóíêö³ÿ º íåïåðåðâíîþ ñïðàâà â í³é.
6.3.5. Ëîêàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é
Äëÿ íåïåðåðâíèõ â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b) ôóíêö³é ñïðàâåäëèâ³
òàê³ òåîðåìè.
Òåîðåìà 6.3.2. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íåïåðåðâíà â
òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), òî â äîñòàòíüî ìàëîìó îêîë³ ö³º¿ òî÷êè
ôóíêö³ÿ îáìåæåíà.
Äîâåäåííÿ. Çàñòîñóºìî îçíà÷åííÿ 6.3.3 íåïåðåðâíîñò³
ôóíêö³¿ y = f(x) â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b). Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì â
δ-îêîë³ òî÷êè õ 0 ñïðàâåäëèâà íåð³âí³ñòü fx ( )- fx (
0)
< e,
çâ³äêè âèïëèâຠïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü
fx (
0) -e 0. Äàë³ ñêîðèñòóºìîñÿ ë³âîþ ÷àñòèíîþ íåð³âíîñò³
(6.3.5), äå e= (
1
0 ) 0
2 fx > .  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî íåð³âí³ñòü
fx ( ) > fx (
1
0) > 0, ÿêà çã³äíî ç òåîðåìîþ 6.3.1 áóäå
2
ñïðàâåäëèâîþ â ÿêîìóñü δ-îêîë³ òî÷êè õ 0 . Îòæå, òåîðåìó
äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ. Çà äîïîìîãîþ òåîðåìè 6.3.3 îá´ðóíòîâó-
ºòüñÿ ìåòîä ³íòåðâàë³â, ÿêèé óñï³øíî âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ
ðîçâ’ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåé.
186 187