ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Öÿ ôóíêö³ÿ ÿâëÿº ñîáîþ äîáóòîê äâîõ ôóíêö³é: y = x òà
1
y = sin . Ïåðøà ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ = 0 âèçíà÷åíà, à äðóãà
x
ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ = 0 íå âèçíà÷åíà. Òîìó ³ ñàìà ôóíêö³ÿ
1
y= x⋅ sin â òî÷ö³ õ = 0 íå âèçíà÷åíà. Òåïåð â³çüìåìî áóäüÿêó
íåñê³í÷åííî ìàëó ïîñë³äîâí³ñòü {x n }.
x
1
³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ yn
= xn
⋅ sin òåæ óòâîðþþòü íåñê³íxn
÷åííî ìàëó ïîñë³äîâí³ñòü (ïîñë³äîâí³ñòü {y n } — íåñê³í÷åííî
ìàëà ÿê äîáóòîê íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ {x n } òà
⎛ 1 ⎞
îáìåæåíî¿ ïîñë³äîâíîñò³
⎜
sin ≤ 1
x ⎟). Òàêèì ÷èíîì, ïîâåä³íêà
ôóíêö³¿ ïðè ïðÿìóâàíí³ õ äî íóëÿ ö³ëêîì âèçíà÷åíà. ¯¿
⎝ n ⎠
çíà÷åííÿ òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ (àáî ïîñë³äîâí³ñòü {y n }
çá³ãàºòüñÿ äî íóëÿ).
Çðîáèìî òåïåð âèñíîâêè. Â ïðèêëàäàõ 6.2.1, 6.2.2, 6.2.5
ïðè äèñêðåòíîìó ïðÿìóâàíí³ õ äî íóëÿ (âçàãàë³
xn
≠ 0, ∀n∈ N ) çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ y n = f(x n ) óòâîðþþòü ïîñë³äîâí³ñòü
{y n }, åëåìåíòè ÿêî¿ ïðÿìóþòü äî ö³ëêîì âèçíà÷åíîãî
÷èñëà (â³äïîâ³äíî 0, 1, 0). Ö³ ÷èñëà õàðàêòåðèçóþòü ïîâåä³íêó
â³äïîâ³äíèõ ôóíêö³é ïðè äèñêðåòíîìó ïðÿìóâàíí³ õ
äî íóëÿ.
Çàóâàæåííÿ. Ïðèêëàäè, àíàëîã³÷í³ ïðèêëàäàì 6.2.1,
6.2.2, 6.2.5, ìîæíà íàâåñòè ïðè äîñë³äæåíí³ äåÿêî¿ ôóíêö³¿
â áóäü-ÿê³é òî÷ö³ ä³éñíî¿ â³ñ³.  çâ’ÿçêó ç öèì ó ìàòåìàòèö³
âèíèêëî âàæëèâå ïîíÿòòÿ: ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³.
Îçíà÷åííÿ 6.2.1. Íåõàé ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà
ìíîæèí³ X = ( a, x0) ∪ ( x0,
b)
. Òîä³ ñòàëå ÷èñëî À íàçèâàºòüñÿ
ãðàíèöåþ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ õ = õ 0 (àáî êîëè õ → õ 0 ) ³ ñèìâîë³÷íî
çàïèñóþòü
lim fx ( ) = A,
x→x0
ÿêùî áóäü-ÿêà ïîñë³äîâí³ñòü {x n }, ÿêà íàëåæèòü ìíîæèí³ Õ
xn
x0,
n N , íàðîäæóº ïîñë³äîâí³ñòü
çíà÷åíü ôóíêö³¿ {f(x n )}, ùî çá³ãàºòüñÿ äî ÷èñëà
À.
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì 6.2.1 ãðàíèö³ ôóíêö³é, ðîçãëÿíóòèõ
â ïðèêëàäàõ 6.2.1, 6.2.2, 6.2.5, áóäóòü â³äïîâ³äíî äîð³âíþâàòè
0, 1, 0.
Äîñë³äæåííÿ ïîâåä³íêè ôóíêö³¿ y = f(x) íà ìíîæèí³
³ çá³ãàºòüñÿ äî òî÷êè õ = õ 0 ( ≠ ∀ ∈ )
( , ) ( , )
X = a x0 ∪ x0
b , êîëè õ → õ 0 , ìîæíà çä³éñíèòè ³ ³íøèì
øëÿõîì, äå çíà÷åííÿ àðãóìåíòó õ ðîçãëÿäàþòü íåäèñêðåòíî,
à íåïåðåðâíî. Ïîÿñíèìî öå íà ïðèêëàä³ 6.2.1. Çà îçíà÷åííÿì
6.2.1 limy
= 0 . Öåé ôàêò ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè òàê:
x→0
ÿêèì áè íå áóëî ìàëèì ÷èñëî ε, çíàéäóòüñÿ òàê³ çíà÷åííÿ
àðãóìåíòó õ, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áóäóòü ìåíøèìè öüîãî
÷èñëà ε. Ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó òî÷îê õ, ÿêà çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü
x 0 (ðîçãëÿíóòà ìíîæèíà ïîâèííà áóòè ï³äìíîæèíîþ
ìíîæèíè Õ). Òîä³ î÷åâèäíî, ùî ìíîæèíà çíà-
÷åíü ôóíêö³¿ ó = õ çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü y 0 ∃δ( ε ) > 0 òàêå,
ùî ∀ õ, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó
0 < |x – õ 0 | < δ(ε),
ôóíêö³ÿ y = f(x) çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü
|f(x) – A| < ε.
Öåé ôàêò çàïèñóþòü ó âèãëÿä³
lim fx ( ) = A. (6.2.1)
x→x0
172 173