Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Àíàë³çóþ÷è âèðàçè (5.2.5) − (5.2.6), âèÿâèìî, ùî x n < x n+1 .<br />
Öå âèïëèâຠç òîãî, ùî: 1) ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (5.2.6)<br />
ìàºìî n+1 äîäàòíèõ äîäàíê³â, òîä³ ÿê ó ð³âíîñò³ (5.2.5)<br />
⎛ k⎞ ⎛ k ⎞<br />
äîäàíê³â n; 2) îñê³ëüêè ⎜1− 1<br />
n<br />
⎟ < ⎜ −<br />
n+<br />
1<br />
⎟ ïðè 0 < k< n, òî<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
êîæíèé äîäàíîê ó âèðàç³ äëÿ x n+1 á³ëüøèé â³äïîâ³äíîãî<br />
äîäàíêó ó âèðàç³ äëÿ x n .<br />
Îòæå, ìè äîâåëè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {x n } çðîñòàþ÷à. Êð³ì<br />
öüîãî, ïîñë³äîâí³ñòü {x n } îáìåæåíà çâåðõó. Ñïðàâä³, ÿêùî â<br />
ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (5.2.6) êîæíèé âèðàç ó êðóãëèõ<br />
äóæêàõ çàì³íèìî íà îäèíèöþ, òî ìàòèìåìî<br />
x n<br />
1 1 1<br />
< 2 + + + ... +<br />
2! 3! n !<br />
.<br />
Âðàõîâóþ÷è, ùî 1 < 1<br />
1<br />
! 2 n ïðè n > 2, òà çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó<br />
ñóìè ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ ³ç îñòàííüî¿ íåð³âíîñò³,<br />
n<br />
−<br />
ä³ñòàíåìî<br />
(<br />
1<br />
)<br />
1 1 1 1−<br />
2 1<br />
< + + + + < + = − <<br />
2 2 2 1−<br />
1 2<br />
2<br />
x<br />
n<br />
2 ... 1 3 3<br />
2 n−1 n−1<br />
.<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Òàêèì ÷èíîì, äîâåäåíî, ùî ïîñë³äîâí³ñòü x n<br />
= ⎜1+<br />
⎟ º<br />
⎝ n ⎠<br />
çðîñòàþ÷îþ ³ îáìåæåíîþ. Òîìó çà òåîðåìîþ 5.2.6 ³ñíóº ãðàíèöÿ<br />
ïîñë³äîâíîñò³ {x n }. Ïîçíà÷àþòü ¿¿ áóêâîþ å. Îòæå,<br />
⎛ 1 ⎞<br />
lim ⎜1+ ⎟ = e .<br />
n→∞⎝<br />
n ⎠<br />
Çã³äíî ç òåîðåìîþ 5.2.4 ìîæíà çðàçó ñêàçàòè, ùî ÷èñëî<br />
å çíàõîäèòüñÿ íà ñåãìåíò³ [2,3]. Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³<br />
äîâåñòè öå ñàìîñò³éíî.<br />
Çàóâàæèìî, ùî â ïîãëèáëåí³é òåî𳿠ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó<br />
äîâîäèòüñÿ, ùî ÷èñëî å — ³ððàö³îíàëüíå. ²ñíóþòü òàêîæ<br />
ñïîñîáè, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ìîæíà íàáëèæåíî îá÷èñ-<br />
n<br />
n<br />
n<br />
ëèòè ÷èñëî å ç áóäü-ÿêîþ òî÷í³ñòþ. Äî ðå÷³, ìîæíà ëåãêî<br />
çàïàì’ÿòàòè, ùî å = 2,71828182845904590... Ùîá çàïàì’ÿòàòè<br />
íàâåäåíó ôîðìóëó (öå íå îáîâ’ÿçêîâî!), òðåáà çíàòè: íàáëèæåíå<br />
çíà÷åííÿ ÷èñëà å ç òî÷í³ñòþ äî 0,1 (îáîâ’ÿçêîâî!),<br />
ð³ê íàðîäæåííÿ Ëåâà Ìèêîëàéîâè÷à Òîëñòîãî, ð³ê ïåðåìîãè<br />
ðàäÿíñüêîãî íàðîäó íàä ôàøèñòñüêîþ Ãåðìàí³ºþ, çíà÷åííÿ<br />
êóò³â ó ïðÿìîêóòíèêà.<br />
5.2.6. Ïîíÿòòÿ ïðî åêñïîíåíö³àëüíó ôóíêö³þ<br />
òà íàòóðàëüíèé ëîãàðèôì<br />
×èñëî å ó ïðèêëàäíèõ ïèòàííÿõ ìàòåìàòèêè â³ä³ãðàº<br />
ñóòòºâó ðîëü. Ïðîöåíò çàñòîñóâàííÿ ôóíêö³é y = e x<br />
(ó = expx) òà y =lnx ó íàóêîâèõ ðîáîòàõ ç ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè<br />
íàäçâè÷àéíî âåëèêèé. Ìåí³ íåâ³äîìî, ÷è çàéìàâñÿ<br />
õòîñü ï³äðàõóíêîì çàñòîñóâàííÿ ó íàóêîâèõ ðîáîòàõ âêàçàíèõ<br />
ôóíêö³é. Àëå ãàäàþ, ùî ïðîöåíò òàêîãî çàñòîñóâàííÿì<br />
ñÿãຠçà 50.<br />
Ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïåðøà ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ åêñïîíåíö³àëüíîþ<br />
(ïîêàçíèêîâà ôóíêö³ÿ y = a x çà óìîâè, ùî îñíîâà<br />
à = å), à äðóãà ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ íàòóðàëüíèì ëîãàðèôìîì<br />
(çâè÷àéíà ëîãàðèôì³÷íà ôóíêö³ÿ y = log a x ç îñíîâîþ<br />
à = å).<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
5.1. Ïîêàçàòè, ùî â íàâåäåíèõ â ï. 5.1.1 ïðèêëàäàõ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
p n (n ≥ 3) º ïîñë³äîâí³ñòþ ïåðèìåòð³â ïðàâèëüíèõ<br />
ìíîãîêóòíèê³â, âïèñàíèõ â êîëî ðàä³óñà R.<br />
5.2. Ïîêàçàòè, ùî â íàâåäåíèõ â ï. 5.1.1 ïðèêëàäàõ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
s n (n ≥ 3) º ïîñë³äîâí³ñòþ ïëîù ïðàâèëüíèõ ìíîãîêóòíèê³â,<br />
âïèñàíèõ â êîëî ðàä³óñà R.<br />
5.3. Âèâåñòè ôîðìóëó çàãàëüíîãî ÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ÿêà ðîçãëÿíóòà â ïðèêëàä³ 5.1.4.<br />
³äïîâ³äü: x n = x 1 + d (n − 1).<br />
5.4. Âèâåñòè ôîðìóëó çàãàëüíîãî ÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ÿêà ðîçãëÿíóòà â ïðèêëàä³ 5.1.5.  ³ ä ï îâ³äü: x n = x 1 q n-1 .<br />
5.5. Ïîêàçàòè, ùî ÷èñëà Ô³áîíà÷÷³ óòâîðþþòüñÿ çà äîïîìîãîþ<br />
ôîðìóëè<br />
150 151
Change language