ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

 òàê³é çàãàëüí³é ïîñòàíîâö³ çàäà÷ó âàæêî ðîçâ’ÿçóâàòè.
Òîìó côîðìóëüîâàíó çàäà÷ó ñïî÷àòêó áóäåìî ðîçâ’ÿçóâàòè
íàáëèæåíî. ³çüìåìî ÷èñëî t ³ ðîç³á’ºìî éîãî íà n ÷àñòèí.
Áóäåìî òåïåð ââàæàòè, ùî çà ïðîì³æîê t çä³éñíþºòüñÿ íàðàõóâàííÿ
â³äïîâ³äíèõ r %. Òîä³ çà öèì ïðèïóùåííÿì áóäåìî ìàòè
n
íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ íàêîïè÷åíî¿ ñóìè çà ïðîì³æêè ÷àñó
t 2t 3t nt
, , , ... = t .
n n n n
Ñïî÷àòêó çíàéäåìî Q 1 :
t
(1 kt
Q = )
1
Q + 0
kQ0 Q0 n
= + n
. Òóò
r
k = .
100
Äàë³ ïîñë³äîâíî çíàõîäèìî:
2
kt ⎛ kt ⎞ ⎛ kt ⎞
Q2 = Q1 + Q1 = Q1 1 Q0
1
n
⎜ + = +
n
⎟ ⎜
n
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
kt
n
⎛
n n 1 n 1 n 1
1 kt ⎞ ⎛
Q Q Q Q Q0
1
kt ⎞
=
−
+
−
=
−
n
⎜ + = +
n
⎟ ⎜
n
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè òî÷íî ñóìó çà ïåðâèííîþ óìîâîþ
çàäà÷³ òðåáà çä³éñíèòè ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä. Ïîçíà÷àþ÷è ÷åðåç
Q(t) íàêîïè÷åíó ñóìó â ìîìåíò ÷àñó t áóäåìî ìàòè
kt
Qt () = lim Q
0(1 ) n
n
= Q + . (5.2.3)
n→∞
n
Öþ ãðàíèöþ ìîæíà áóäå ëåãêî çíàéòè, ÿêùî ìè áóäåìî
n
⎛ 1 ⎞
çíàòè ãðàíèöþ ïîñë³äîâíîñò³ x n
= ⎜1+
⎟ . Òàê ìè ïðèõîäèìî
⎝ n ⎠
äî ïîíÿòòÿ ÷èñëà e, ââåäåíîãî Åéëåðîì 1 .
1
Åéëåð Ëåîíàðä (1707 – 1783) — âèäàòíèé øâåéöàðñüêèé ìàòåìàòèê,
ìåõàí³ê, àñòðîíîì, ÷ëåí Ïåòåðáóðçüêî¿ àêàäå쳿 íàóê, á³ëüøó ÷àñòèíó
æèòòÿ ïðîâ³â ó Ðîñ³¿.
5.2.5. ×èñëî å
⎛ 1 ⎞
Ðîçãëÿíåìî ïîñë³äîâí³ñòü x n
= ⎜1+
⎟ . Ïîêàæåìî, ùî âîíà
⎝ n ⎠
çá³ãàºòüñÿ. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü
{x n } — çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà. Çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó á³íîìà
Íüþòîíà 1 (âîíà áóäå íàâåäåíà â íàñòóïíèõ ëåêö³ÿõ), îòðèìà-
ºìî
1 nn ( −1) 1 nn ( −1)( n−2) 1
xn
= 1 + n + + + ...
n
2 3
2! n 3! n
nn ( −1)( n−2)...[ n−( n−1)]. 1
... +
n
n!
n . (5.2.4)
Òóò ìè âèêîðèñòàëè ñèìâîë n! (÷èòàþòü: “åí ôàêòîð³àë”),
ÿêèé îçíà÷àº:
n! =1⋅2⋅3 ... (n−1) n.
Âèðàç (5.2.4) çîáðàçèìî â òàê³é ôîðì³:
x n
1 1 1 1 2
= 2 + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + ...
2! n 3! n n
1 1 2 1
... + (1 − )(1 − )...(1 − n − ) . (5.2.5)
n!
n n n
Çàóâàæèìî, ùî ³ç ð³âíîñò³ (5.2.4) áåçïîñåðåäíüî âèïëèâàº
íåð³âí³ñòü x n ≥ 2.
Çíàéäåìî òåïåð x n+1 :
= 1 1 1 1 2
2 + (1 ) (1 )(1 ) ...
2! − +
n+ 1 + 3! − n+ 1 − n+
1
+
x n 1
1 1 2 n
... + (1 − )(1 − )...(1 − ).
( n+ 1)! n+ 1 n+ 1 n+
1
n
(5.2.6)
1
²ñààê Íüþòîí (1643 – 1727) — âåëèêèé àíãë³éñüêèé ô³çèê, ìåõàí³ê,
àñòðîíîì ³ ìàòåìàòèê.
148 149