Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Íàñë³äîê 1. ßêùî åëåìåíòè çá³æíèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
{x n } i {y n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü<br />
x n ≥ y n , òî ¿õí³ ãðàíèö³ çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü<br />
lim x<br />
n→∞<br />
n<br />
≥ lim y<br />
n→∞<br />
ijéñíî, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, åëåìåíòè ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n − y n } íåâ³ä’ºìí³, à òîìó ³ íåâ³ä’ºìíà ¿¿ ãðàíèöÿ:<br />
lim( y −x ) ≥limy −lim x ≥0.<br />
n n n n<br />
n→∞ n→∞ n→∞<br />
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî lim xn<br />
≥ lim yn.<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
Íàñë³äîê 2. ßêùî âñ³ åëåìåíòè çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n } çíàõîäÿòüñÿ íà ñåãìåíò³ [a, b], òî ¿¿ ãðàíèöÿ ñ òåæ çíàõîäèòüñÿ<br />
íà öüîìó ñåãìåíò³.<br />
ijéñíî, îñê³ëüêè a ≤ x n ≤ b, òî a ≤ c ≤ b.<br />
Òåîðåìà 5.2.5 (ïðî òðè ïîñë³äîâíîñò³). Íåõàé çàäàío<br />
òðè ïîñë³äîâíîñò³ {x n }, {y n } ³ {z n }, ïðè÷îìó x n ≤ y n ≤ z n äëÿ âñ³õ<br />
n, ³ íåõàé ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n } ìàþòü îäíó é òó ñàìó<br />
ãðàíèöþ à. Òîä³ ïîñë³äîâí³ñòü òàêîæ ìຠãðàíèöþ à.<br />
Ñôîðìóëüîâàíó òåîðåìó âèêëàäà÷³ ³ ñòóäåíòè æàðò³âëèâî<br />
íàçèâàþòü òåîðåìîþ ïðî “ðåöèäèâ³ñòà òà äâîõ ì³ë³ö³îíåð³â”.<br />
Æàðò³âëèâå äîâåäåííÿ òåîðåìè ïîëÿãຠâ òîìó, ùî<br />
ì³ë³ö³îíåðè (ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n }) íàïðàâëÿþòüñÿ ó â³ää³ëåííÿ<br />
ì³ë³ö³¿ (÷èñëî à) ³ ì³öíî òðèìàþòü ñï³éìàíîãî ðåöèäèâ³ñòà<br />
(ïîñë³äîâí³ñòü {y n }). Òîä³ ðåöèäèâ³ñòó í³êóäè ä³âàòèñÿ<br />
³ â³í òàêîæ íàïðàâëÿºòüñÿ ó â³ää³ëåííÿ ì³ë³ö³¿.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ (ñòðîãå). ³çüìåìî áóäü-ÿêå ε > 0. Îñê³ëüêè<br />
çà óìîâîþ òåîðåìè ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n } ìàþòü îäíó é òó<br />
ñàìó ãðàíèöþ à, òî çà îçíà÷åííÿì 5.2.1 ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
5.1.1 ³ñíóþòü â³äïîâ³äíî òàê³ íàòóðàëüí³ ÷èñëà N 1 òà<br />
N 2, ùî áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ íåð³âíîñò³<br />
⏐x n −a⏐< ε ïðè n>N 1 àáî a−ε < x n < a+ε ïðè n>N 1 , (5.2.1)<br />
⏐z n −a⏐ N 2 àáî a−ε < z n < a+ε ïðè n>N 2 . (5.2.2)<br />
³çüìåìî N=max(N 1 ,N 2 ). Òîä³ ïðè n>N íåð³âíîñò³ (5.2.1)–<br />
(5.2.2) áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ îäíî÷àñíî. Êîðèñòóþ÷èñü òåïåð<br />
n<br />
íåð³âíîñòÿìè â (5.2.1) − (5.2.2), à òàêîæ íåð³âíîñòÿìè, ÿê³<br />
çàäàíî â óìîâ³ òåîðåìè, îòðèìàºìî ëàíöþæîê íåð³âíîñòåé<br />
a−ε < x n ≤ y n ≤ z n < a+ε ïðè n>N.<br />
Çâ³äêè áóäåìî ìàòè<br />
a−ε < y n < a+ε àáî ⏐y n −a⏐ < ε ïðè n>N.<br />
Öå ³ îçíà÷àº, ùî ãðàíèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ {y n }) äîð³âíþº à.<br />
5.2.4. Ãðàíèö³ ìîíîòîííèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
Îçíà÷åííÿ 5.2.2. Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàºòüñÿ çðîñòàþ-<br />
÷îþ, ÿêùî x n x n+1 äëÿ âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë n; íåçðîñòàþ÷îþ,<br />
ÿêùî x n ≥ x n+1 äëÿ âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë n.<br />
Óñ³ òàê³ ïîñë³äîâíîñò³ îá’ºäíóþòüñÿ çàãàëüíîþ íàçâîþ:<br />
ìîíîòîíí³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ìîíîòîííèõ ïîñë³äîâíîñòåé.<br />
Ïðèêëàä 5.2.1. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1/2, 1/3, …, 1/n,… —<br />
ñïàäíà ³ îáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.2. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, …,<br />
1/n, 1/n, … — íåçðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.3. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 2, 3, …, n,… — çðîñòàþ-<br />
÷à ³ íåîáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.4. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n,… —<br />
íåçðîñòàþ÷à ³ íåîáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.5. Ïîñë³äîâí³ñòü 1/2, 2/3, 3/4, … n/n+1, … —<br />
çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
³äçíà÷èìî, ùî ìîíîòîíí³ ïîñë³äîâíîñò³ îáìåæåí³, ïðèíàéìí³<br />
ç îäíîãî áîêó.<br />
Íàâåäåìî áåç äîâåäåííÿ òåîðåìó ïðî çá³æí³ñòü ìîíîòîííèõ<br />
³ îáìåæåíèõ ïîñë³äîâíîñòåé.<br />
Òåîðåìà 5.2.6. Ìîíîòîííà ³ îáìåæåíà ïîñë³äîâí³ñòü<br />
çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 5.2.6 (çàäà÷à ïðî íàêîïè÷åííÿ ãðîøîâèõ âêëàä³â).<br />
Ñóìó â Q 0 ãðèâåíü ïîêëàäåíî â áàíê. Òðåáà çíàéòè<br />
çàêîí çì³íè ñóìè â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t çà óìîâè, ùî<br />
ïðîöåíòè âåëè÷èíè r íàðàõîâóþòüñÿ íåïåðåðâíî.<br />
146 147
Change language