ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îòðèìàëè, ùî ð³çíèöÿ äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé
º ñòàëà, ÿêà íå äîð³âíþº íóëþ, à öå çà òåîðåìîþ 5.1.6
íåìîæëèâî. Òîìó òâåðäæåííÿ áóäå â³ðíèì, êîëè a = b. Òåîðåìó
äîâåäåíî.
Òåîðåìà 5.2.3. (àðèôìåòè÷í³ ä³¿ íàä ãðàíèöÿìè). Íåõàé
ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³ a ³ b.
Òîä³:
1)–2) ïîñë³äîâíîñò³ {x n ± y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³
a±b;
3) ïîñë³äîâí³ñòü {x n y n } ìຠãðàíèöþ a·b;
⎧⎪
x ⎫
a
n
4) ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬ ìຠãðàíèöþ , b≠0.
⎪⎩
y
b
n ⎭
Äîâåäåííÿ òâåðäæåíü 1)–3) çà äîïîìîãîþ òåîðåìè
5.2.2 äóæå ïðîñò³. Äîâåäåìî òâåðäæåííÿ 3). Îñê³ëüêè ïîñë³äîâíîñò³
{x n } i {y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³ à ³ b, òî çà
òåîðåìîþ 5.2.1 ¿õí³ åëåìåíòè ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:
x n =à+α n , ó n =b+β n ,
äå α n ³ β n — íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³.
Òîä³ äîáóòîê ÷èñåë x n i y n ìîæíà çîáðàçèòè òàê:
x n y n =ab+γ n ,
äå γ n =aβ n +bα n + α n β n . Çã³äíî ç íàñë³äêàìè òåîðåì 5.1.2 –
5.1.5 γ n º åëåìåíò íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³. Äàë³,
çíîâó âèêîðèñòàºìî òåîðåìó 5.2.1.  ðåçóëüòàò³ ìàºìî, ùî
ñòàëà àb º ãðàíèöåþ ïîñë³äîâíîñò³ {x n y n }. Òåîðåìó äîâåäåíî.
Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ äîâåñòè òâåðäæåííÿ 1)–2) ñàìîñò³éíî.
Ùîäî òâåðäæåííÿ 4), òî éîãî ìè äîâåäåìî òåæ. Âðàõîâóþ÷è
çîáðàæåííÿ x n i y n , áóäåìî ìàòè:
xn a b( a+αn) − a( b+βn) 1 a 1
− = = ( αn − β
n) = γn,
y b by y b y
n n n n
a
äå γ
n
=αn − βn.
b
Çàâäÿêè âëàñòèâîñòÿì íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé
ïîñë³äîâí³ñòü {γ n } — íåñê³í÷åííî ìàëà. Ïîêàæåìî òåïåð, ùî
⎧⎪
1 ⎫
⎨ ⎬
⎪⎩
y n ⎭
— îáìåæåíà ïîñë³äîâí³ñòü. Îñê³ëüêè y n →b, êîëè n→∞ ,
òî äëÿ ε= b çíàéäåòüñÿ íîìåð N òàêèé, ùî äëÿ âñ³õ n>N
2
b
âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü yn
− b < . Òîìó çã³äíî ç òåîðåìîþ
2
1.2.3 ìàòèìåìî
b b
yn = b−( b−yn) ≥ b − yn
− b > b − = ,
2 2
b
1 2
òîáòî y
n
> , ³, òàêèì ÷èíîì, <
2
yn
b
. Çà òåîðåìîþ 5.1.3
⎧⎪
1 ⎫
ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ γn
⎬
y
º íåñê³í÷åííî ìàëîþ, òîìó çà òåîðåìîþ
5.2.1 ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ − ⎬
⎪⎩
n ⎭
⎧⎪
xn
a⎫
⎪yn
b
ìຠãðàíèöþ ÷èñëî a .
⎩ ⎭
b
Òåîðåìó äîâåäåíî.
5.2.3. Ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä â íåð³âíîñòÿõ
Òåîðåìà 5.2.4. ßêùî åëåìåíòè çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³
{x n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü
x n ≥ b(x n ≤ b), òî ³ ãðàíèöÿ à ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ çàäîâîëüíÿº
íåð³âí³ñòü a ≥ b(a ≤ b).
Äîâåäåííÿ. Íåõàé âñ³ åëåìåíòè {x n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî
íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü x n ≥ b. Òðåáà äîâåñòè
íåð³âí³ñòü a ≥ b. Ïðèïóñòèìî ñóïðîòèâíå: aN âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü
xn
− a < b−a , ÿêà ð³âíîñèëüíà òàêèì íåð³âíîñòÿì:
–(b−a)