ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

5.2. ÃÐÀÍÈÖß ×ÈÑËÎÂί ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÎÑÒ²
n lim →∞
n
n
5.2.1. Ïîíÿòòÿ çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³
Ïî÷íåìî ç îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³.
Îçíà÷åííÿ 5.2.1. Ñòàëå ÷èñëî à íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöåþ
÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³ {x n }, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ñê³ëüêè
çàâãîäíî ìàëîãî äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóº òàêèé íîìåð N, ùî
âñ³ ÷ëåíè ïîñë³äîâíîñò³ ç íîìåðàìè, á³ëüøèìè â³ä N, çàäîâîëüíÿþòü
íåð³âí³ñòü xn
− a 0 ∃N∀ n> N : x − a 0 ∃N( ε) ∀ n> N: x − a < ε.
n
n
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n> N : α
n
< ε.
Îòæå,
{α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òàêèì ÷èíîì, íåîáõ³äí³ñòü
äîâåäåíà.
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî n-é åëåìåíò ìîæíà çîáðàçèòè
ó âèãëÿä³ x n =à+α n , äå {x n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.
Òðåáà äîâåñòè, ùî {x n } ìຠãðàíèöþ à.
Äîâåäåííÿ. Òå, ùî α n =x n −a º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ïîñë³äîâí³ñòþ
îçíà÷àº, ùî ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n > N : α
n
< ε.
À öå, â ñâîþ
÷åðãó, îçíà÷ຠ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n > N : xn
− a < ε,
òîáòî çà îçíà÷åííÿì
5.2.1 à º ãðàíèöåþ ïîñë³äîâíîñò³ {x n }. Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.
Íàñë³äêè òåîðåìè:
1. Ãðàíèöÿ íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ äîð³âíþº
íóëþ. Íåõàé {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òîä³
α n =0+α n ³ lim α
n
= 0.
n→∞
2. Ãðàíèöÿ ñòàëî¿ º òà ñàìà ñòàëà:
ñ=ñ+0 ³ lim c = c.
n→∞
Çàóâàæåííÿ. Íåñê³í÷åííî âåëèêà ïîñë³äîâí³ñòü {x n }
íå ìຠãðàíèö³, àëå óìîâíî çàïèøåìî: lim x =∞.
n
n→∞
5.2.2. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî ãðàíèö³
Òåîðåìà 5.2.2. ßêùî ïîñë³äîâí³ñòü ìຠãðàíèöþ, òî öÿ
ãðàíèöÿ ºäèíà.
Äîâåäåííÿ. Äîâîäèòè áóäåìî ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.
Ïðèïóñòèìî, ùî lim x = a ³ lim x = b , ïðè÷îìó a ≠ b.
n
n→∞
n
n→∞
Òâåðäæåííÿ lim xn
= a çà òåîðåìîþ 5.2.1 îçíà÷àº, ùî
n→∞
x n = à + α n , äå {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òâåðäæåííÿ
lim x n
= b òàêîæ îçíà÷àº, ùî x n =b+β n , äå {β n } — íåñê³í÷åííî
ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Îòæå, ìàºìî:
n→∞
à+α n =b+β n ⇒ 0 ≠ a−b = β n −α n .
142 143