Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
5.1.5. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
Òåîðåìà 5.1.2. ßêùî ïîñë³äîâí³ñòü º íåñê³í÷åííî ìàëîþ,<br />
òî âîíà º îáìåæåíîþ.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ïîñë³äîâí³ñòü {α n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàëà, òî ∀ε > 0 ∃N∀ n> N : α < ε.<br />
n<br />
Ââåäåìî ÷èñëî A = max( α1 , α2 , ..., αn−<br />
1<br />
, ε)<br />
. Òîä³ î÷åâèäíî,<br />
ùî ìຠì³ñöå òâåðäæåííÿ :<br />
∀n∈N<br />
: α ≤ A.<br />
Çà îçíà÷åííÿì 5.1.3 ïîñë³äîâí³ñòü {α n } º îáìåæåíîþ. Òåîðåìó<br />
äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 5.1.3. Äîáóòîê íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
íà îáìåæåíó ïîñë³äîâí³ñòü º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ïîñë³äîâí³ñòþ.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé çàäàí³ äâ³ ïîñë³äîâíîñò³ {α n } ³ {β n } .<br />
Äëÿ êîíêðåòíîñò³ áóäåìî ââàæàòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {α n } º<br />
îáìåæåíîþ, à ïîñë³äîâí³ñòü {β n } — íåñê³í÷åííî ìàëà. Òîä³ çà<br />
îçíà÷åííÿì 5.1.3 ∃ A> 0 ∀n∈N : αn<br />
≤ A.<br />
Äàë³, îñê³ëüêè ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{β n } º íåñê³í÷åííî ìàëîþ, òî ∀ > 0 ∃ Nn> N: β<br />
ε<br />
ε<br />
n<br />
< .<br />
A<br />
A<br />
Òåïåð ðîçãëÿíåìî ïîñë³äîâí³ñòü {α n β n }. Äëÿ íå¿ ïðè n>N ìàº<br />
ì³ñöå îö³íêà<br />
ε<br />
αβ<br />
n n<br />
=αn β<br />
n<br />
< A =ε . A<br />
À öå îçíà÷àº, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {α n β n } — íåñê³í÷åííî ìàëà.<br />
Òåîðåìà 5.1.4. Äîáóòîê äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Äîâåäåííÿ òåîðåìè äóæå ïðîñòå, âîíî âèïëèâຠç òåîðåì<br />
5.1.2 ³ 5.1.3. Ìè ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ íàâåñòè éîãî<br />
ñàìîñò³éíî.<br />
Íàñë³äîê. Äîáóòîê áóäü-ÿêîãî ñê³í÷åííîãî ÷èñëà íåñê³í÷åííî<br />
ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
n<br />
Òåîðåìà 5.1.5. Ñóìà ³ ð³çíèöÿ äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ<br />
ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé {α n } ³ {β n } — íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Òðåáà äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâíîñò³ {α n ±β n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàë³. Çà îçíà÷åííÿì 5.1.6, äëÿ áóäü-ÿêîãî äîâ³ëüíîãî<br />
äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóþòü â³äïîâ³äíî òàê³ íàòóðàëüí³<br />
ε<br />
ε<br />
÷èñëà N 1 òà N 2, ùî ïðè n > N<br />
1<br />
: α<br />
n<br />
< , à ïðè n > N2 : β<br />
n<br />
< .<br />
2<br />
2<br />
³çüìåìî N = max(N 1 , N 2 ). Òîä³ ïðè n>N áóäóòü îäíî÷àñíî<br />
ε ε<br />
âèêîíóâàòèñÿ äâ³ íåð³âíîñò³: α<br />
n<br />
< , β<br />
n<br />
< . Òàêèì ÷èíîì,<br />
2 2<br />
ïðè n>N<br />
ε ε<br />
α<br />
n<br />
±βn ≤ α<br />
n<br />
+ β<br />
n<br />
< + =ε.<br />
2 2<br />
Öå îçíà÷àº, ùî ïîñë³äîâíîñò³ {α n ±β n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàë³. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Íàñë³äîê. Àëãåáðà¿÷íà ñóìà áóäü-ÿêîãî ñê³í÷åííîãî<br />
÷èñëà íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà<br />
ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Òåîðåìà 5.1.6. Íåõàé {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü<br />
³ âñ³ åëåìåíòè ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ º îäí³ºþ é òîþ<br />
ñàìîþ ñòàëîþ ñ, òîä³ öÿ ñòàëà ñ äîð³âíþº íóëþ.<br />
Äîâåäåííÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî ñ ≠ 0. Òîä³ ÷èñëî ε= c äîäàòíå, ³ çà<br />
2<br />
îçíà÷åííÿì íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ ³ñíóº íîìåð N,<br />
c<br />
òàêèé, ùî ∀ n > N : α<br />
n<br />
= c < , çâ³äê³ëÿ âèïëèâຠíåð³âí³ñòü<br />
2<br />
1<br />
1 < . Îòðèìàëè ñóïåðå÷í³ñòü, ÿêà ïîêàçóº, ùî ïðèïóùåííÿ<br />
2<br />
ñ ≠ 0 íåìîæëèâå. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ìè ðîçãëÿíåìî ÷àñòêó äâîõ íåñê³í÷åííî<br />
ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé, òî ÷àñòêà ìîæå áóòè ÿêîþ<br />
çàâãîäíî ïîñë³äîâí³ñòþ.<br />
140 141
Change language