ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

4.5.2. Ïðÿìà ë³í³ÿ ó ïðîñòîð³
Âîíà ìîæå áóòè çàäàíà ÿê ë³í³ÿ ïåðåòèíó äâîõ ïëîùèí,
òîáòî ÿê ìíîæèíà òî÷îê, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ ïëîùèí.
À öå îçíà÷àº, ùî äëÿ âèçíà÷åííÿ òàêî¿ ïðÿìî¿ òðåáà
ðîçãëÿäàòè ñèñòåìó
ì
ïAx 1
+ By
1
+ Cz
1
+ D1
= 0,
í
ï
ïî Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ D2
= 0.
Ïðÿìó â ïðîñòîð³ ìîæíà çàäàòè ³ ïî-³íøîìó, à ñàìå òàê:
x-x0 y-y0 z-z0
= = .
m l n
Òóò x 0 ,y 0 ,z 0 — êîîðäèíàòè òî÷êè Ì 0 , ÷åðåç ÿêó ïðîõîäèòü
ïðÿìà, à m, l, n — êîîðäèíàòè âåêòîðà r r , ÿêèé ïàðàëåëüíèé
çàäàí³é ïðÿì³é. Ïðè öüîìó ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íèì
ð³âíÿííÿì ïðÿìî¿.
4.6. ÁÞÄÆÅÒÍÀ ÌÍÎÆÈÍÀ
Ââåäåííÿ ïîíÿòòÿ áþäæåòíî¿ ìíîæèíè ïî÷íåìî ç ïðèêëàäó.
4.6.1. Ïðîáëåìíèé ïðèêëàä
Ìåøêàíåöü ì. Îäåñè äëÿ êîíñåðâàö³¿ ôðóêò³â âèð³øèâ
êóïèòè öóêîð äâîõ âèä³â: â³ò÷èçíÿíèé ³ ³ìïîðòíèé (íàïðèêëàä,
êóáèíñüêèé). Âàðò³ñòü 1 êã â³ò÷èçíÿíîãî öóêðó êîøòóº
3 ãðí., à ³ìïîðòíîãî — 2.7 ãðí. Äëÿ ö³º¿ êóï³âë³ ³ç ñ³ìåéíîãî
áþäæåòó éîìó áóëî âèä³ëåíî 30 ãðí. Ñê³ëüêè ðîçâ’ÿçê³â
ìຠöÿ çàäà÷à?
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîçíà÷èìî âåêòîð íàáîðó öóêðó ÷åðåç
Õ =(õ 1 , õ 2 ), äå õ 1 ê³ëüê³ñòü ê³ëîãðàì³â â³ò÷èçíÿíîãî öóêðó, à
õ 2 ê³ëüê³ñòü ê³ëîãðàì³â ³ìïîðòíîãî öóêðó. ×åðåç
Ð 0 = (3, 2.7) ïîçíà÷èìî âåêòîð ö³í íà öóêîð. Òîä³ âàðò³ñòü
òîâàðó (öóêðó) ìîæíà âèçíà÷èòè (äèâ. ï. 2.1.7) òàê:
3õ 1 +2,7õ 2 = ñ. Îñê³ëüêè íà êóï³âëþ âèä³ëåíî 30 ãðí., òî
î÷åâèäíî, ùî ðîçâ’ÿçîê ïîñòàâëåíî¿ ïðîáëåìè ³ñíóº, ÿêùî
âåëè÷èíè õ 1 ³ õ 2 çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
3õ 1 + 2.7õ 2 ≤ 30. (4.6.1)
Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî òàêèé âèïàäîê:
3õ 1 + 2.7õ 2 = 30. (4.6.2)
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (4.6.2) ì³æ âåëè÷èíàìè õ 1 ³ õ 2 ÿâëÿº ñîáîþ
â³äíîñíî íèõ ë³í³éíå ð³âíÿííÿ. Âîíî îçíà÷àº, ùî íà êóï³âëþ
öóêðó ìåøêàíåöü ì. Îäåñè âèòðà÷ຠïîâí³ñòþ 30 ãðí.
ßê â³äîìî (äèâ. ï. 3.2.1), ð³âíÿííÿ (4.6.2) ìຠáåçë³÷
ðîçâ’ÿçê³â ³ âñ³ âîíè çíàõîäÿòüñÿ íà ïðÿì³é 3õ 1 + 2,7õ 2 =30
íà ïëîùèí³ 0õ 1 õ 2 (ðèñ. 4.27). Òóò ðîçâ’ÿçêè ðîçóì³þòüñÿ ÿê
ìíîæèíà òî÷îê Ì(õ 1 , õ 2 ), êîîðäèíàòè ÿêèõ çàäîâîëüíÿþòü
ð³âíÿííÿ (4.6.2). ßêùî æ óðàõóâàòè, ùî âåëè÷èíè õ 1 ³ õ 2 íå
ìîæóòü áóòè â³ä’ºìíèìè, òî ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ (4.6.2) çíàõîäÿòüñÿ
íà â³äð³çêó (ðèñ. 4.27), ÿêèé ç’ºäíóº òî÷êè
Ì 1 (10; 0) ³ Ì 2 (0; 100/9). Òàêèõ òî÷îê áåçë³÷. Îòæå, ³ ðîçâ’ÿçê³â
âèõ³äíî¿ çàäà÷³ çà óìîâè, ùî íà êóï³âëþ ïîâí³ñòþ
âèòðà÷åíî 30 ãðí. òåæ áåçë³÷.
Ðèñ. 4.27
ßñíî, ùî ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíî¿ çàäà÷³ áåç äîäàòêîâî¿ óìîâè
òèì ïà÷å ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â. Âîíè âñ³
çíàõîäÿòüñÿ â çàìêíåíîìó òðèêóòíèêó Ì 1 ÎÌ 2 .
Çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàíî.
Óçàãàëüíèìî òåïåð íàâåäåíèé ïðèêëàä. Ðîçãëÿíåìî ïðîñò³ð
Ñ äâîõ òîâàð³â ³ ¿õ âåêòîð ö³í:
Õ =(õ 1 , õ 2 ), Ð =(ð 1 , ð 2 ). (4.6.3)
130 131