ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

4.5. ÏÎÍßÒÒß ÏÐΠвÂÍßÍÍß ÏËÎÙÈÍÈ
² ÏÐßÌί Ó ÏÐÎÑÒÎв
4.5.1. Çàãàëüíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè
Íåõàé ïëîùèíà Ð ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
r
³ ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó n=
( A, B,
C)
(ðèñ. 4.26).
Îòðèìàíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè çîáðàçèìî ó âèãëÿä³:
( ) ( ) ( )
Ax- x + By- y + Cz- z =
0 0 0
0
àáî
Ax + By + Cz + D = 0 , (4.5.2)
äå D Ax0 By0 Cz0
=- - - .
Îçíà÷åííÿ 4.5.1. гâíÿííÿ (4.5.2) íàçèâàºòüñÿ çàãàëüíèì
ð³âíÿííÿì ïëîùèíè.
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî áóäü-ÿêå ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ñòåïåíÿ
2 2 2
ç òðüîìà çì³ííèìè çà óìîâè, ùî A + B + C ¹ 0 , º ð³âíÿííÿ
ïëîùèíè.
Äåÿê³ ñòàë³ À,  ³ Ñ ìîæóòü áóòè ð³âíèìè íóëþ, àëå íå
âñ³ çðàçó. Ïðè öüîìó ñòàëà D ìîæå áóòè ÿêîþ çàâãîäíî.
Çîêðåìà, ÿêùî D = 0, òî ïëîùèíà, ÿêà â³äïîâ³äຠð³âíÿííþ
(4.5.2), ïðîõîäèòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò.
Òåïåð íåõàé À =  = D = 0, à C ≠ 0, òîä³ ð³âíÿííÿ (4.5.2)
áóäå ìàòè äóæå ïðîñòèé âèä z = 0. Öå ð³âíÿííÿ âèçíà÷àº
êîîðäèíàòíó ïëîùèíó Îxy.  ³íøèõ îêðåìèõ âèïàäêàõ
ïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ ðîç³áðàòèñÿ ñàìîñò³éíî.
Äâ³ ïëîùèíè â ïðîñòîð³ ìîæóòü áóòè ïàðàëåëüíèìè òà
ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Íåõàé â³äïîâ³äíî çàäàíî äâ³ ïëîùèíè
ñâî¿ìè ð³âíÿííÿìè
Ðèñ. 4.26
Ö³ºþ óìîâîþ âèçíà÷àºòüñÿ ºäèíà ïëîùèíà â ïðîñòîð³
Oxyz. Ïðè öüîìó âåêòîð n r
íàçèâàºòüñÿ íîðìàëüíèì âåêòîðîì
ïëîùèíè Ð. ³çüìåìî íà ïëîùèí³ Ð äîâ³ëüíó òî÷êó
M(x, y, z).
uuuuur
Òîä³ âåêòîð MM
0
= ( x-x0, y- y0,
z-z0)
áóäå ïåðïåíäèêóëÿðíèé
âåêòîðó n=
( A, B,
C)
. Îòæå, ñêàëÿðíèé äîáóòîê öèõ
r
âåêòîð³â äîð³âíþº íóëþ, òîáòî
v uuuuur
nMM × 0
= 0 . (4.5.1)
Ax
1
+ By
1
+ Cz
1
+ D1 = 0 , (4.5.3)
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ D2 = 0. (4.5.4)
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî óìîâîþ ïàðàëåëüíîñò³ äâîõ ïëîùèí
º ïðîïîðö³îíàëüí³ñòü êîåô³ö³ºíò³â ïðè îäíîéìåííèõ çì³ííèõ
A1 B1 C1
= = ,
A B C
(4.5.5)
2 2 2
à óìîâîþ ¿õ ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³:
AA
1 2
+ BB
1 2
+ CC
1 2
= 0
(4.5.6)
128 129