ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

º àíàë³òè÷íå ð³âíÿííÿ åë³ïñà. Ïîçáóäåìîñÿ â (4.4.1) â³ä ³ððàö³îíàëüíîñò³
(ï³äíåñåííÿì äî êâàäðàòà îáîõ ÷àñòèí
(4.4.1) ³ øëÿõîì ïåðåòâîðåíü, ùî ñïðîùóþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ
(4.4.1), à òàêîæ ââåäåííÿì ïîçíà÷åííÿ à 2 – ñ 2 = b 2 ). Ó
ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî
b 2 õ 2 + à 2 ó 2 = à 2 b 2 .
Ðîçä³ëèâøè îáèäâ³ ÷àñòèíè öüîãî ð³âíÿííÿ íà à 2 b 2 > 0,
ïðèéäåìî äî òàê çâàíîãî êàíîí³÷íîãî ð³âíÿííÿ åë³ïñà
x
a
y
+ = . (4.4.2)
b
2 2
1
2 2
³äì³òèìî âëàñòèâîñò³ åë³ïñà.
1. Ç ð³âíÿííÿ (4.4.2) âèïëèâàº, ùî åë³ïñ â³äíîñèòüñÿ äî
êðèâèõ äðóãîãî ïîðÿäêó.
2. Ç (4.4.2) òàêîæ âèïëèâàº, ùî |x| ≤ a, |y| ≤ b, òîáòî åë³ïñ
º îáìåæåíà êðèâà.
3. ßêùî òî÷êà Ì(õ, ó) íàëåæèòü åë³ïñó, òîä³ ³ òî÷êè
Ì 1 (−õ, ó), Ì 2 (õ, −ó), Ì 3 (−õ, −ó) òàêîæ íàëåæàòü åë³ïñó, òîáòî
åë³ïñ ñèìåòðè÷íèé â³äíîñíî â³ñåé êîîðäèíàò òà ïî÷àòêó
êîîðäèíàò.
4. Åë³ïñ ïåðåòèíຠâ³ñü àáñöèñ â òî÷êàõ À 1 (−à, 0), À 2 (à, 0)
³ â³ñü îðäèíàò â òî÷êàõ  1 (0, b),  2 (0, −b). Ö³ òî÷êè íàçèâàþòüñÿ
âåðøèíàìè åë³ïñà, âåëè÷èíè 2à ³ 2b — â³äïîâ³äíî
âåëèêîþ ³ ìàëîþ â³ññþ, à ³ b — ï³âîñÿìè.
5. ßêùî à = b, òî îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ êîëà õ 2 + ó 2 = à 2
ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò ³ ðàä³óñîì à. ³äíîøåííÿ
2 2 2
c a -b b
0£e= = = 1- < 1
2
a a a
íàçèâàºòüñÿ åêñöåíòðèñèòåòîì åë³ïñà ³ õàðàêòåðèçóº â³äõèëåííÿ
åë³ïñà â³ä êîëà (ε = 0).
6. Ïðÿì³ x = ± à/ε íàçèâàþòüñÿ äèðåêòðèñàìè (íàïðÿìíèìè)
åë³ïñà. Äëÿ íèõ ìຠì³ñöå: r 1 /d 1 = r 2 /d 2 = ε, äå d 1 i
d 2 â³äïîâ³äíî â³äñòàí³ â³ä òî÷êè, ÿêà ëåæèòü íà åë³ïñ³, äî
äèðåêòðèñ.
4.4.2. óïåðáîëà
óïåðáîëîþ íàçèâàºòüñÿ ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê ïëîùèíè,
ìîäóëü ð³çíèö³ â³äñòàíåé êîæíî¿ ç ÿêèõ äî äâîõ äàíèõ
òî÷îê, íàçâàíèõ ôîêóñàìè, º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ (ðèñ. 4.24).
Ç îçíà÷åííÿ ã³ïåðáîëè âèïëèâàº
|r 1 – r 2 | = 2a = const,
ïðè÷îìó 2a < 2c, äå ñ âèçíà÷ຠàáñöèñè ôîêóñ³â 1 (−c, 0),
2 (c, 0). ϳäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ â³äñòàíåé r 1 ³ r 2 , îòðèìàºìî
( ) ( )
2 2 2 2
+ + - - + = ± 2 .
x c y x c y a
ϳñëÿ ïåðåòâîðåíü, àíàëîã³÷íèõ ïåðåòâîðåííÿì ïðè ðîçãëÿä³
åë³ïñà, îòðèìàºìî
2 2
x y
- = 1
2 2 , (4.4.3)
a b
äå b 2 = ñ 2 – à 2 .
гâíÿííÿ (4.4.3) íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íèì ð³âíÿííÿì ã³ïåðáîëè.
Ç öüîãî ð³âíÿííÿ çíàõîäèìî
ó 2 = b 2 /à 2 (õ 2 – à 2 ) ⇒ |x| ≥ a.
óïåðáîëà ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ã³ëîê. ˳âà ã³ëêà ëåæèòü ó
ï³âïëîùèí³ õ ≤ −a, ïðàâà — ó ï³âïëîùèí³ x ≥ a.
Âëàñòèâîñò³ ã³ïåðáîëè:
1. óïåðáîëà º êðèâà äðóãîãî ïîðÿäêó.
2. ²ç ð³âíÿííÿ (4.4.3) âèïëèâàº, ùî ïðè |x| ≥ a, |y| ≥ 0,
îòæå, ã³ïåðáîëà º íåîáìåæåíîþ êðèâîþ.
3. óïåðáîëà ñèìåòðè÷íà â³äíîñíî îáîõ êîîðäèíàòíèõ â³ñåé
(ì³ñòèòü â ð³âíÿíí³ õ 2 ³ ó 2 ) ³ ïî÷àòêó êîîðäèíàò.
4. Òî÷êè ïåðåòèíó ã³ïåðáîëè ç â³ññþ àáñöèñ º À 1 (−à, 0) ³
À 2 (à, 0). Âîíè íàçèâàþòüñÿ âåðøèíàìè ã³ïåðáîëè.
b
5. Ïðÿì³ y=± x íàçèâàþòüñÿ àñèìïòîòàìè ã³ïåðáîëè.
a
6. Åêñöåíòðèñèòåòîì ã³ïåðáîëè íàçèâàºòüñÿ â³äíîøåííÿ
2 2 2
c a + b b
e= = = 1+ > 1
2
.
a a a
124 125