Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
çâ³äêè íà ï³äñòàâ³ â³äîìî¿ ôîðìóëè ç òðèãîíîìåò𳿠(äèâ.<br />
äîä. 2) îäåðæóºìî<br />
tg<br />
tg<br />
tgj -tgj<br />
( )<br />
2 1<br />
q= j2-j 1<br />
=<br />
1 + tg j<br />
2tg<br />
j<br />
.<br />
1<br />
Çàì³íþþ÷è tgϕ 2 ³ tgϕ 1 â³äïîâ³äíî íà k 2 ³ k 1 , îñòàòî÷íî<br />
áóäåìî ìàòè<br />
tg<br />
k -k<br />
2 1<br />
q=<br />
1 + kk<br />
. (4.3.8)<br />
2 1<br />
Ôîðìóëà (4.3.8) âèçíà÷ຠòàíãåíñ êóòà ì³æ äâîìà ïðÿìèìè<br />
÷åðåç êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè öèõ ïðÿìèõ.<br />
Âèâåäåìî òåïåð óìîâè ïàðàëåëüíîñò³ òà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³<br />
äâîõ ïðÿìèõ.<br />
Ñïðàâåäëèâ³ òàê³ òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 4.3.2. Äëÿ òîãî ùîá ïðÿì³ íà ïëîùèí³ áóëè<br />
ïàðàëåëüíèìè, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî, ùîá ¿õí³ êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè<br />
áóëè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ.<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Äàíî, ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè<br />
(4.3.6) — (4.3.7) — ïàðàëåëüí³. Òîä³ ϕ 2 =ϕ 1 , îòæå,<br />
k 2 =k 1 . (4.3.9)<br />
Íåîáõ³äí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè ïðÿìèõ<br />
ñï³âïàäàþòü, òîáòî âèêîíóºòüñÿ óìîâà (4.3.9). Òîä³ ç ôîðìóëè<br />
(4.3.8) âèïëèâàº, ùî tgθ = 0. Çâ³äêè, θ = 0. À öå îçíà÷àº,<br />
ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè (4.3.6)–(4.3.7) — ïàðàëåëüí³.<br />
Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 4.3.3. Äëÿ òîãî ùîá ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè<br />
(4.3.6) — (4.3.7), áóëè ïåðïåíäèêóëÿðíèìè, íåîáõ³äíî<br />
³ äîñòàòíüî, ùîá ¿õí³ êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè áóëè ïîâ’ÿçàí³ ì³æ<br />
ñîáîþ ð³âí³ñòþ<br />
k 2 k 1 = −1. (4.3.10)<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Äàíî, ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè,<br />
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ctgθ = 0 àáî çà ôîðìóëîþ (4.3.8)<br />
ìàòèìåìî ñï³ââ³äíîøåííÿ 1+k 1 k 2 = 0. Îñòàííÿ ð³âí³ñòü åêâ³âàëåíòíà<br />
óìîâ³ (4.3.10).<br />
Íåîáõ³äí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè k 2 ³ k 1 ïîâ’ÿçàí³<br />
ì³æ ñîáîþ ð³âí³ñòþ (4.3.10). Òîä³ ç ôîðìóëè (4.3.8)<br />
p<br />
âèïëèâàº, ùî ctgθ = 0. Îòæå, q= . Öå îçíà÷àº, ùî ïðÿì³,<br />
2<br />
ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè (4.3.6)–(4.3.7), ïåðïåíäèêóëÿðí³.<br />
Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Òåîðåìè 4.3.2.–4.3.3. íàçèâàþòüñÿ êðèòåð³ÿìè.<br />
Âîíè ì³ñòÿòü â ñîá³ ïðÿì³ é îáåðíåí³ òåîðåìè.<br />
4.3.3. гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äàíó<br />
òî÷êó â çàäàíîìó íàïðÿì³<br />
Íåõàé ïðÿìà ÐÌ óòâîðþº êóò ϕ ç äîäàòíèì íàïðÿìîì<br />
îñ³ Îõ (ðèñ. 4.20) ³ ïðîõîäèòü ÷åðåç çàäàíó òî÷êó Ð(õ 1 , ó 1 ).<br />
Âèâåäåìî ð³âíÿííÿ ö³º¿ ïðÿìî¿, ïðèïóñêàþ÷è ñïî÷àòêó, ùî<br />
ïðÿìà íå ïàðàëåëüíà îñ³ Îó.<br />
Ó öüîìó âèïàäêó, ÿê ìè áà÷èëè, ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ìàº<br />
âèãëÿä:<br />
y=kx+b, (4.3.11)<br />
äå k = tgϕ — êóòîâèé êîåô³ö³ºíò ïðÿìî¿, à ⏐b⏐ — äîâæèíà<br />
â³äð³çêà, ùî âèçíà÷ຠòî÷êó ïåðåòèíó ç íàøîþ ïðÿìîþ íà<br />
îñ³ Îó. Îñê³ëüêè òî÷êà P(x 1 , y 1 ) ëåæèòü íà ïðÿì³é ÐÌ, òî ¿¿<br />
êîîðäèíàòè õ 1 ³ ó 1 ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè ð³âíÿííÿ (4.3.11),<br />
òîáòî<br />
y 1 = kx 1 + b. (4.3.12)<br />
³äí³ìàþ÷è â³ä ð³âíîñò³ (4.3.11) ð³âí³ñòü (4.3.12), îòðèìà-<br />
ºìî<br />
ó − ó 1 = k(x−x 1 ). (4.3.13)<br />
Öå ³ º ð³âíÿííÿ øóêàíî¿ ïðÿìî¿.<br />
ßêùî ïðÿìà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó P(x 1 , ó 1 ), ïàðàëåëüíà<br />
îñ³ Îó, òî ¿¿ ð³âíÿííÿ, î÷åâèäíî, áóäå òàêå:<br />
x = x 1 . (4.3.14)<br />
p<br />
ïåðïåíäèêóëÿðí³. Òîä³ q= .<br />
2<br />
110 111
Change language