ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îòæå, êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ (õ,ó), ÿêà ä³ëèòü â³äð³çîê À ó
â³äíîøåíí³ λ (â³äë³ê â³ä À), âèçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè:
x1 +λx2
x = ,
1 +λ
y1 +λy
(4.1.6)
2
y = .
1 +λ
Ðîçãëÿíåìî îêðåìèé âèïàäîê. Íåõàé òî÷êà Ñ ä³ëèòü â³äð³çîê
À ïîïîëàì. Òîä³ ÀÑ = Ñ ³ λ=1. Ïîçíà÷èâøè êîîðäèíàòè
ñåðåäèíè â³äð³çêà ÷åðåç õ ñ ³ ó ñ , îäåðæèìî íà ï³äñòàâ³
ôîðìóë (4.1.6) òàê³
x1 + x2
xc
= ,
2
y1 + y
(4.1.7)
2
yc
= ,
2
ç ÿêèõ âèäíî êîîðäèíàòè ñåðåäèíè â³äð³çêà äîð³âíþþòü
ï³âñóìàì â³äïîâ³äíèõ êîîðäèíàò éîãî ê³íö³â.
Ïðèì³òêà. Ïðè âèâåäåíí³ ôîðìóë (4.1.6) — (4.1.7) ìè
ïðèïóñêàëè, ùî ê³íö³ À ³  â³äð³çêà À ëåæàòü ó ïåðøîìó
êâàäðàíò³. Ëåãêî äîâåñòè, ùî ôîðìóëè (4.1.6) — (4.1.7)
áóäóòü ñïðàâåäëèâ³ é ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè ê³íö³ â³äð³çêà
À ëåæàòü â ³íøèõ êâàäðàíòàõ.
Ïðèêëàä 4.1.1. Îá÷èñëèòè êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ(õ, ó), ùî
ä³ëèòü â³äð³çîê AB ì³æ òî÷êàìè À (5, 7) ³  (3, –5) ó â³äíîøåíí³
2
AC
CB = .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó öüîìó âèïàäêó λ = 2. Îòæå,
x
c
5+ 2⋅ 3 11 7+ 2( −5)
= = , yc
= = − 1.
3 3 3
4.1.4. Ïëîùà òðèêóòíèêà
Íåõàé ïîòð³áíî çíàéòè ïëîùó S òðèêóòíèêà ÀÂÑ
(ðèñ. 4.6) ç âåðøèíàìè A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), C(x 3 , y 3 ). Íå îáìåæóþ÷è
çàãàëüíîñò³, ïðèïóñòèìî, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêà
çíàõîäÿòüñÿ ó 1-ìó êâàäðàíò³. ×åðåç A′(x 1 ,0), B′(x 2 ,0),
C′(x 3 ,0), A′′(0,y 1 ), B′′(0,y 2 ), C′′(0,y 3 ) â³äïîâ³äíî ïîçíà÷èìî ïðîåêö³¿
òî÷îê A, B, C íà â³ñ³ êîîðäèíàò Ox ³ Oy.
Íåõàé ÀÂ = c, ÀÑ = b, à êóòè, ÿê³ óòâîðåí³ öèìè ñòîðîíàìè
ç â³ññþ Îõ, â³äïîâ³äíî ð³âí³ α i β (ðèñ. 4.6). Ç öüîãî ðèñóíêà
áóäåìî ìàòè òàê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ:
AB ′ ′ = ccos α = x2 − x1, AC ′ ′ = bcos β = x3 −x1,
AB ′′ ′′ = csin α = y − y, AC ′′ ′′ = bsin β = y − y.
2 1 3 1
(4.1.8)
Ðèñ. 4.6
Íåõàé j=Ð CAB . Òîä³ î÷åâèäíî (ðèñ. 4.6), ùî ϕ=β−α ³
çà â³äîìîþ ôîðìóëîþ ç òðèãîíîìåò𳿠(äèâ. äîä. 2) áóäåìî
ìàòè
1 1 1
S = bcsin ϕ = bcsin( β−α ) = bc(sin βcos α −cosβsin α ) .
2 2 2
Âðàõîâóþ÷è ôîðìóëè (4.1.8), îòðèìàºìî, ùî
1
S = [( y3 −y1 )( x2 −x1 ) − ( x3 −x1 )( y2 − y1
)] . (4.1.9)
2
92 93