Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Äëÿ äàíî¿ òî÷êè Ì ââåäåìî â ðîçãëÿä äâà ÷èñëà: àáñöèñó<br />
õ ³ îðäèíàòó ó ö³º¿ òî÷êè.<br />
Àáñöèñîþ õ íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ùî âèðàæຠâ äåÿêîìó<br />
ìàñøòàá³ â³äñòàíü òî÷êè â³ä îñ³ îðäèíàò, óçÿòå ç³ çíàêîì<br />
ïëþñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü óïðàâî â³ä îñ³ îðäèíàò, ³ ç³ çíàêîì<br />
ì³íóñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü óë³âî â³ä îñ³ îðäèíàò.<br />
Îðäèíàòîþ ó íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ùî âèðàæຠâ äåÿêîìó<br />
ìàñøòàá³ (çâè÷àéíî â òîìó æ, ÿê ³ äëÿ àáñöèñè) â³äñòàíü<br />
òî÷êè â³ä îñ³ àáñöèñ, ïðè÷îìó âîíî áåðåòüñÿ ç³ çíàêîì<br />
ïëþñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü âèùå îñ³ àáñöèñ, ³ ç³ çíàêîì ì³íóñ,<br />
ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íèæ÷å îñ³ àáñöèñ.<br />
Ö³ äâà ÷èñëà õ ³ ó ïðèéìàþòüñÿ çà êîîðäèíàòè òî÷êè Ì,<br />
òîìó ùî âîíè ö³ëêîì âèçíà÷àþòü ïîëîæåííÿ òî÷êè íà<br />
ïëîùèí³, ÿê-îò: êîæí³é ïàð³ ÷èñåë õ ³ ó â³äïîâ³äຠºäèíà<br />
òî÷êà, êîîðäèíàòàìè ÿêî¿ º ö³ ÷èñëà; ³ îáåðíåíî, êîæíà<br />
òî÷êà ïëîùèíè ìຠâèçíà÷åí³ êîîðäèíàòè õ ³ ó. ßêùî òî-<br />
÷êà Ì ìຠêîîðäèíàòè õ ³ ó, òî ïîçíà÷àþòü òàê: Ì(õ,ó) (íà<br />
ïåðøîìó ì³ñö³ ñòàâèòüñÿ àáñöèñà õ, à íà äðóãîìó — îðäèíàòà<br />
ó). Ïðè çàïèñ³ êîîðäèíàò çíàê ïëþñ, ÿê çâè÷àéíî, ìîæíà<br />
îïóñêàòè.<br />
Îñ³ Îõ ³ Îó ðîçáèâàþòü ïëîùèíó íà ÷îòèðè ÷àñòèíè, ÿê³<br />
íàçèâàþòüñÿ êâàäðàíòàìè (÷âåðòÿìè). Ó ïåðøîìó êâàäðàíò³<br />
(I) îáèäâ³ êîîðäèíàòè äîäàòí³; ó äðóãîìó êâàäðàíò³ (II)<br />
àáñöèñà â³ä’ºìíà, à îðäèíàòà äîäàòíà; ó òðåòüîìó êâàäðàíò³<br />
(III) îáèäâ³ êîîðäèíàòè â³ä’ºìí³; ó ÷åòâåðòîìó êâàäðàíò³<br />
(IV) àáñöèñà äîäàòíà, à îðäèíàòà â³ä’ºìíà.<br />
Íàïðÿìëåíèé â³äð³çîê ÎÌ, ùî ç’ºäíóº ïî÷àòîê êîîðäèíàò<br />
Î ç òî÷êîþ Ì (ðèñ 4.2), íàçèâàºòüñÿ ¿¿ ðàä³óñîì-âåêòîðîì.<br />
Ïîçíà÷àþ÷è ÷åðåç ϕ êóò, óòâîðåíèé â³äð³çêîì ÎÌ ç<br />
äîäàòíèì íàïðÿìîì îñ³ Îõ, ³ ÷åðåç r éîãî äîâæèíó, äëÿ<br />
òî÷êè Ì, ùî ëåæèòü ó ïåðøîìó êâàäðàíò³, ³ç òðèêóòíèê³â<br />
ÎÌÌ′ ³ ÎÌÌ′′ îòðèìàºìî:<br />
x= rcos<br />
j üï ïï<br />
æp<br />
ö ý<br />
y= rcos<br />
ç -j = rsin<br />
j<br />
çè2<br />
÷ ø<br />
ï<br />
ïþ<br />
(4.1.1)<br />
Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî ôîðìóëè (4.1.1) áóäóòü ñïðàâåäëèâ³<br />
äëÿ êîîðäèíàò òî÷îê óñ³õ êâàäðàíò³â. Òàêèì ÷èíîì,<br />
çíàê àáñöèñè õ òî÷êè Ì çá³ãàºòüñÿ ç³ çíàêîì êîñèíóñà, à<br />
çíàê ¿¿ îðäèíàòè ó — ç³ çíàêîì ñèíóñà ó â³äïîâ³äíîìó<br />
êâàäðàíò³.<br />
Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñ³ àáñöèñ, òî<br />
¿¿ îðäèíàòà ó äîð³âíþº íóëþ; ÿêùî æ âîíà ëåæèòü íà îñ³<br />
îðäèíàò, òî ¿¿ àáñöèñà õ äîð³âíþº íóëþ.<br />
 íàñòóïíèõ ïóíêòàõ öüîãî ðîçä³ëó ðîçãëÿíåìî íàéïðîñò³ø³<br />
çàäà÷³, ÿê³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ïðÿìîêóòíî¿<br />
ñèñòåìè êîîðäèíàò.<br />
4.1.2. ³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè íà ïëîùèí³<br />
1. Çíàéäåìî ñïî÷àòêó â³äñòàíü r â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò<br />
0(0, 0) äî òî÷êè M(x,y) (ðèñ. 4.3).<br />
Ðèñ. 4.3<br />
³äñòàíü r=OM, î÷åâèäíî, º ã³ïîòåíóçîþ ïðÿìîêóòíèêà<br />
ÎÌÌ′ ç êàòåòàìè ÎÌ′= x , M′M= y . Çà òåîðåìîþ ϳôàãîðà<br />
1 ìàòèìåìî, ùî<br />
2 2<br />
r = x + y . (4.1.2)<br />
Òàêèì ÷èíîì, â³äñòàíü â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò äî òî÷êè<br />
M äîð³âíþº êîðåíþ êâàäðàòíîìó ³ç ñóìè êâàäðàò³â êîîðäèíàò<br />
ö³º¿ òî÷êè.<br />
1<br />
ϳôàãîð Ñàìîñüêèé (áëèçüêî 580 – 500 äî í.å.) — äàâíüîãðåöüêèé<br />
ìàòåìàòèê ³ ô³ëîñîô-³äåàë³ñò.<br />
88 89
Change language