Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3.6. ÑÈÑÒÅÌÀ ˲ͲÉÍÈÕ ÎÄÍÎвÄÍÈÕ<br />
ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ<br />
3.6.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Ñèñòåìà ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ îäíîð³äíîþ,<br />
ÿêùî ïðàâ³ ÷àñòèíè öèõ ð³âíÿíü äîð³âíþþòü íóëþ:<br />
ì a11x1 + a12x2 + ... + a1<br />
nxn<br />
= 0<br />
ï a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn<br />
= 0<br />
í<br />
; Ax = 0.<br />
...........................................<br />
ï<br />
ïî am 1x1+ am2x2+ ... + amnxn<br />
= 0<br />
(3.6.1)<br />
ßê âèäíî, â îäíîð³äí³é ñèñòåì³ â³ëüí³ ÷ëåíè äîð³âíþþòü<br />
íóëþ. Òàêà ñèñòåìà ð³âíÿíü çàâæäè ñóì³ñíà. Ïî-ïåðøå, î÷åâèäíî,<br />
ùî ðàíã îñíîâíî¿ ³ ðîçøèðåíî¿ ìàòðèöü çá³ãàºòüñÿ (äîäàâàííÿ<br />
íóëüîâîãî ñòîâïöÿ íå çì³íþº ðàíã îñíîâíî¿ ìàòðèö³), ³,<br />
ïî-äðóãå, ñèñòåìà (3.6.1) ìຠðîçâ’ÿçîê: õ 1 =0, õ 2 =0,…,õ n =0.<br />
Öåé ðîçâ’ÿçîê íàçèâàºòüñÿ íóëüîâèì, àáî òðèâ³àëüíèì.<br />
3.6.2. Íåòðèâ³àëüí³ ðîçâ’ÿçêè îäíîð³äíî¿ ñèñòåìè<br />
ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü<br />
Âèíèêຠïèòàííÿ ïðî ³ñíóâàííÿ õî÷à á îäíîãî íå íóëüîâîãî<br />
ðîçâ’ÿçêó, òîáòî ðîçâ’ÿçêó, ó ÿêîìó õî÷à á äåÿê³ ç íåâ³äîìèõ<br />
áóëè â³äì³íí³ â³ä íóëÿ.<br />
ßêùî ìàòðèöÿ ñèñòåìè (3.6.1) ìຠðàíã, ÿêèé äîð³âíþº<br />
n (r = n), òîä³ ñèñòåìà ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê — íóëüîâèé. Öå<br />
âèïëèâຠç òîãî, ùî â öüîìó âèïàäêó ìàòðèöÿ À ìຠr ë³í³éíî<br />
íåçàëåæíèõ âåêòîð-ñòîâïö³â ðîçì³ðíîñò³ r ³ ¿õ ë³í³éíà<br />
êîìá³íàö³ÿ áóäå äîð³âíþâàòè íóëþ (òîáòî íóëüîâ³é ïðàâ³é<br />
÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ) òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè õ 1 , õ 2 ,…, õ n âñ³<br />
äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
ßêùî ðàíã ìàòðèö³ À ìåíøèé çà n (r < n), òî ñèñòåìà ìàº<br />
áåçë³÷ ðîçâ’ÿçê³â, ÿê³ îòðèìóþòüñÿ çà ðàõóíîê íàäàííÿ äîâ³ëüíèõ<br />
çíà÷åíü äëÿ x r+1 ,…,x n ³ ïîäàëüøîãî âèêîðèñòàííÿ<br />
áóäü-ÿêîãî ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàííÿ ÑËÀÐ.<br />
 îêðåìîìó âèïàäêó, êîëè m = n, ñèñòåìà (3.6.1) ìຠºäèíèé<br />
íóëüîâèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêùî ∆ À ≠ 0 (ñèñòåìà çàäîâîëüíÿº<br />
òåîðåì³ Êðàìåðà), ³ áåçë³÷ ðîçâ’ÿçê³â, ÿêùî ∆ À =0.<br />
Áóäü-ÿêèé ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè ìîæíà<br />
ðîçãëÿäàòè ÿê âåêòîð â n-âèì³ðíîìó ïðîñòîð³. Ðîçâ’ÿçîê<br />
ñèñòåìè ë³í³éíèõ îäíîð³äíèõ ð³âíÿíü ìຠòàê³ âëàñòèâîñò³:<br />
1. ßêùî âåêòîð (õ 1 , õ 2 ,…, õ n ) º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3.6.1),<br />
òî ïðè áóäü-ÿêîìó l âåêòîð (lõ 1 , lõ 2 ,…, lõ n ) òàêîæ áóäå ðîçâ’ÿçêîì.<br />
Öå ïåðåâ³ðÿºòüñÿ áåçïîñåðåäíüîþ ï³äñòàíîâêîþ.<br />
2. ßêùî âåêòîð ( x′ 1, x′ 2,..., x n<br />
′ ) º ùå îäíèì ðîçâ’ÿçêîì<br />
ñèñòåìè (3.6.1), òî âåêòîð ( x1 + x′ 1, x2 + x′ 2,..., x n<br />
+ x n<br />
′ ) òàêîæ<br />
áóäå ðîçâ’ÿçêîì. Ïåðåâ³ðÿºòüñÿ àíàëîã³÷íî.<br />
²ç âëàñòèâîñòåé 1 ³ 2 âèïëèâàº, ùî âñÿêà ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ<br />
ðîçâ’ÿçê³â ñèñòåìè (3.6.1) òàêîæ º ðîçâ’ÿçêîì ö³º¿<br />
ñèñòåìè.<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âñÿêèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíî¿ ñèñòåìè<br />
ìîæå áóòè çîáðàæåíèé ó âèãëÿä³ ñóìè äåÿêîãî (îêðåìîãî)<br />
ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ ñèñòåìè ³ äåÿêîãî ðîçâ’ÿçêó â³äïîâ³äíî¿<br />
¿é (ïðè b = 0) îäíîð³äíî¿ ñèñòåìè.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
3.1. Âèçíà÷èòè ìàêñèìàëüíå ÷èñëî ë³í³éíî íåçàëåæíèõ<br />
ð³âíÿíü ñèñòåìè<br />
ì 2x1+ x2-x3- x4<br />
=<br />
1,<br />
ï<br />
í - x1 - 2x2 + x3 - 2x4<br />
= 0,<br />
ï ïî 5x1+ x2-2x3- 5x4<br />
= 3.<br />
³äïîâ³äü: 2.<br />
3.2.  ñèñòåì³ ð³âíÿíü çíàéòè ë³í³éíî íåçàëåæí³ ð³âíÿííÿ<br />
ó âèãëÿä³ ë³í³éíèõ êîìá³íàö³é, ÷åðåç ÿê³ âèçíà÷àþòüñÿ<br />
âñ³ ³íø³ ð³âíÿííÿ ñèñòåìè<br />
ì 2x1+ x2- x3<br />
= 3,<br />
ï<br />
í - x1 + x2 - 2x3<br />
= 1,<br />
ï ïî 5x1+ x2<br />
= 5.<br />
³äïîâ³äü: ïåðø³ äâà ð³âíÿííÿ ë³í³éíî íåçàëåæí³, òðåòº<br />
îäåðæóºòüñÿ ÿê ïîäâîºíå ïåðøå ì³íóñ äðóãå.<br />
82 83
Change language