You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
äå<br />
æa11 a12 ... a ö 1n<br />
a21 a22 ... a<br />
ç 2n<br />
÷<br />
A = .................<br />
ç a a ... a<br />
è<br />
÷ ø<br />
ç m1 m2<br />
mn÷<br />
A<br />
æa11 a12 ... a1 nb<br />
ö<br />
1 ÷<br />
a a ... a b<br />
= .................<br />
.<br />
ç a a ... a b<br />
è<br />
÷ ø<br />
* 21 22 2n<br />
2<br />
ç m1 m2<br />
mn n÷<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. ßêùî ñèñòåìà ñóì³ñíà, òî ³ñíóº äåÿêèé<br />
ðîçâ’ÿçîê α = (α 1 , α 2 , ..., α n ) ñèñòåìè (3.1.1) ³, îòæå, ñòîâïåöü<br />
³ç â³ëüíèõ ÷ëåí³â ìàòðèö³ º ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ ñòîâïö³â<br />
ìàòðèö³ À (äèâ. ô. (3.1.2)). Äîäàâàííÿ äî ìàòðèö³ À ñòîâïöÿ<br />
³ç â³ëüíèõ ÷ëåí³â, ùî ÿâëÿº ñîáîþ ë³í³éíó êîìá³íàö³þ<br />
³íøèõ ñòîâïö³â, íå ìîæå çá³ëüøèòè ðàíã À. Çâ³äñè<br />
rang A = rang A*.<br />
Äîñòàòí³ñòü. ßêùî rang A = rang A* =r, òî áàçèñí³ ì³íîðè<br />
îáîõ ìàòðèöü çá³ãàþòüñÿ. Îòæå, â³ëüíèé ñòîâïåöü ðîçøèðåíî¿<br />
ìàòðèö³ À* ìîæå áóòè çîáðàæåíèé r ë³í³éíî íåçàëåæíèìè<br />
ñòîâïöÿìè áàçèñíîãî ì³íîðó ìàòðèö³ À, òîáòî ìàº<br />
ì³ñöå ñï³ââ³äíîøåííÿ (3.1.2) ³ ñèñòåìà (3.1.1) ìຠðîçâ’ÿçîê.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
3.5. ÌÅÒÎÄ ÃÀÓÑÑÀ 1<br />
3.5.1. Ïðîáëåìè<br />
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó íàâåäåí³ â ï. 3.3 ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ<br />
ÑËÀÐ íå ïðàöþþòü ç ò³º¿ ïðè÷èíè, ùî âîíè ïðèçíà-<br />
÷åí³ ò³ëüêè äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì n ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè.<br />
Ïðîòå ÿêùî íàâ³òü m = n, òî îá÷èñëåííÿ, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³<br />
ç ôîðìóëàìè Êðàìåðà àáî ³ç çíàõîäæåííÿì îáåðíåíî¿<br />
ìàòðèö³, äóæå òðóäîì³ñòê³. Òîìó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðàêòè÷íèõ<br />
çàäà÷, íàïðèêëàä çàäà÷ ç åêîíîì³êè, â ÿêèõ ê³ëüê³ñòü<br />
íåâ³äîìèõ, ÿê ïðàâèëî, äóæå âåëèêà, âêàçàí³ ìåòîäè ìàëî<br />
ïðèäàòí³. Äëÿ òàêèõ ö³ëåé áàæàíî ìàòè ³íøèé ìåòîä, ÿêèé<br />
áè ë³êâ³äóâàâ íåäîë³êè ìåòîäó âèçíà÷íèê³â ³ ìåòîäó îáåðíåíî¿<br />
ìàòðèö³. Òàêèé ìåòîä ³ñíóº, öå ìåòîä Ãàóññà, àáî ìåòîä<br />
ïîñë³äîâíîãî âèêëþ÷åííÿ çì³ííèõ. Âêàçàíèé ìåòîä äî-<br />
çâîëÿº çà äîïîìîãîþ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü çà ñê³í÷åííå<br />
÷èñëî êðîê³â çíàéòè ðîçâ’ÿçîê (ÿêùî â³í ³ñíóº) ³ çà íåîáõ³äíîñò³<br />
îòðèìàòè îáåðíåíó ìàòðèöþ.<br />
3.5.2. Àëãîðèòì ìåòîäó Ãàóññà<br />
Ñóòü ìåòîäó ïîëÿãຠó òàêîìó: 1) ðîçãëÿíóâøè ïåðøå ð³âíÿííÿ<br />
ñèñòåìè (3.1.1) ³ ïðèïóñòèâøè, ùî êîåô³ö³ºíò à 11 ≠ 0<br />
ïðè ïåðøîìó äîäàíêó (ÿêùî öå íå òàê, òî ïåðåñòàíîâêîþ<br />
ð³âíÿíü ì³ñöÿìè äîá’ºìîñÿ òîãî, ùî à 11 ≠ 0), ìè ìíîæèìî íà<br />
÷èñëà 21<br />
a31 a<br />
-<br />
a<br />
,- ,...,- m1<br />
³ äîáàâëÿºìî îòðèìàí³ ð³âíÿííÿ<br />
äî äðóãîãî, òðåòüîãî, …, m-ãî ð³âíÿííÿ.  ðåçóëüòàò³<br />
a11 a11 a11<br />
âèêëþ÷èìî íåâ³äîìó x 1 ç óñ³õ íàñòóïíèõ ð³âíÿíü, êð³ì ïåðøîãî.<br />
Ïðè öüîìó çàâäÿêè åêâ³âàëåíòíèì ïåðåòâîðåííÿì<br />
îòðèìàíà ñèñòåìà, ÿêà åêâ³âàëåíòíà âèõ³äí³é; 2) ïîò³ì òàêà<br />
æ ïðîöåäóðà çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ äðóãîãî ð³âíÿííÿ ³<br />
ò. ä. Ïðîöåñ ïðîäîâæóºòüñÿ äîòè, äîêè íå áóäóòü âèêîðèñòàí³<br />
âñ³ ð³âíÿííÿ. Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ òàê³ âèïàäêè:<br />
1. Ó ïðîöåñ³ âèêëþ÷åíü ë³âà ÷àñòèíà i-ãî ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ<br />
íà íóëü, à ïðàâà — í³, òîáòî 0 = b i ≠ 0. Öå îçíà-<br />
÷àº, ùî ñèñòåìà íå ìຠðîçâ’ÿçê³â.<br />
2. ˳âà ³ ïðàâà ÷àñòèíè i-ãî ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðþþòüñÿ íà<br />
íóëü. Öå îçíà÷àº, ùî âîíî º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ<br />
ð³âíÿíü ³ éîãî ìîæíà â³äêèíóòè.<br />
3. ϳñëÿ âèêîðèñòàííÿ óñ³õ ð³âíÿíü áóäå îòðèìàíî ðîçâ’ÿçîê<br />
àáî äîâåäåíî, ùî ñèñòåìà íåñóì³ñíà.<br />
Ïðèêëàä 3.5.1. Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ë³í³éíèõ ð³âíÿíü<br />
ì 2x1+ 3x2- 4x3<br />
= 1<br />
ï<br />
í2x1+ 2x2- 5x3<br />
= 3<br />
ï ïî 4x1+ 2x2 + 2x3<br />
= 1<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
Êðîê 1.  ñèñòåì³ à 11 =2≠ 0. ijëèìî ïåðøå ð³âíÿííÿ<br />
íà 2. Âèêëþ÷àºìî õ 1 ³ç óñ³õ ð³âíÿíü, êð³ì ïåðøîãî. Ó ðåçóëüòàò³<br />
îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
.<br />
1<br />
Ãàóññ Êàðë (1777 – 1855) — âèäàòíèé í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê, àñòðîíîì,<br />
ô³çèê ³ ãåîäåçèñò.<br />
76 77
Change language