ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ñèñòåìè (3.2.2) ìîæëèâ³ òàê³ âèïàäêè.
1) ∆≠0. Òîä³ ñèñòåìà (3.2.3) ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê ³ íåâ³äîì³
õ 1 òà x 2 çíàõîäÿòüñÿ çà äîïîìîãîþ òàêèõ ôîðìóë
∆1 ∆2
x1 = , x2
=
∆ ∆ ; (3.2.4)
2) ∆ = 0 ³ ïðèíàéìí³ îäèí ³ç âèçíà÷íèê³â ∆ 1 (àáî ∆ 2 ) â³äì³ííèé
â³ä íóëÿ. Òîä³ õî÷à á îäíå ç ð³âíÿíü ñèñòåìè áóäå
ñóïåðå÷ëèâèì. Öå îçíà÷àº, ùî ñèñòåìà (3.2.3) íå ìຠðîçâ’ÿçêó,
òîáòî íåñóì³ñíà.
3) ∆=0 ³ ∆ 1 = 0, ∆ 2 = 0. Òîä³ ñèñòåìà (3.2.3) íåâèçíà÷åíà ³
ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â, îñê³ëüêè â öüîìó âèïàäêó
âîíà ìຠâèãëÿä:
⎧0⋅ x1
= 0;
⎨
⎩0 ⋅ x2
= 0.
Çàóâàæåííÿ. Ó âèïàäêó 3) êîåô³ö³ºíòè a ij (i =1,2;
j = 1,2) ñèñòåìè ïðîïîðö³éí³ (ïåðåâ³ðòå!), òîáòî ìຠì³ñöå
ïîäâ³éíà ð³âí³ñòü
a21 a22 b2
= = =λ.
a a b
11 12 1
Ïåðåéäåìî òåïåð äî äîñë³äæåííÿ á³ëüø çàãàëüíîãî âèïàäêó.
3.3. ÌÅÒÎÄÈ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀÍÍß ÑÈÑÒÅÌÈ n ÀËÃÅ-
ÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ Ç n ÍŲÄÎÌÈÌÈ
3.3.1. Ìàòðè÷íèé ìåòîä
Äëÿ òîãî ùîá îòðèìàòè ðîçâ’ÿçîê ÑËÀÐ (3.1.1) ïðè
m = n ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³, ïðèïóñòèìî, ùî êâàäðàòíà ìàòðèöÿ
À ñèñòåìè (3.1.1) íåâèðîäæåíà, òîáòî A ≠ 0 . Ó öüîìó
âèïàäêó ³ñíóº îáåðíåíà ìàòðèöÿ (äèâ. òåîðåìó 2.5.1).
 ìàòðè÷í³é ôîðì³ âèõ³äíà ñèñòåìà ìຠâèãëÿä (3.1.3).
Ïîìíîæèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ (3.1.3) íà À -1 çë³âà:
À -1 Àõ = À -1 b, îñê³ëüêè À -1 À = Å ³ Åõ = õ, îòðèìàºìî
õ = À -1 b. (3.3.1)
Ïðèêëàä 3.3.1. Ðîçâ’ÿçàòè ìàòðè÷íèì ñïîñîáîì ñèñòåìó
ð³âíÿíü
⎧x −2x − x =−2 ⎛1 −2 −1 ⎞ ⎛−2⎞
1 2 3
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨3x1 + x2 + 2x3
= 3 A= ⎜
3 1 2
⎟
b=
⎜
3
⎟
.
⎪
x1 + 2x2 + 2x3
= 3 ⎜1 2 2⎟ ⎜ 3⎟
⎩
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ó ïðèêëàä³ 2.5.1 äëÿ äàíî¿ ìàòðèö³ À çíàéäåíî ¿¿ îáåðíåíó.
Îòæå,
⎛x1
⎞ ⎛−2 2 −3⎞⎛− 2⎞ ⎛4+ 6−9 ⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⎟ 1⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x2 = 4 3 5 3 8 9 15 2 x1 1, x2 2, x3
1
1
− −
⎟⎜ = + − = ⇒ = = =− .
⎜x
⎟ ⎜
3
5 −4 7⎟⎜ 3⎟ ⎜−10 − 12 + 21⎟ ⎜−1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.3.2. Ìåòîä âèçíà÷íèê³â (ïðàâèëî Êðàìåðà 1 )
ßê ³ ðàí³øå, ðîçãëÿäàºìî ñèñòåìó n ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè
â ïðèïóùåíí³, ùî ìàòðèöÿ À íåâèðîäæåíà. Çíàõîäæåííÿ
ðîçâ’ÿçê³â ó ðîçãëÿäóâàí³é ñèñòåì³ ì³ñòèòüñÿ â òàê³é
òåîðåì³.
Òåîðåìà 3.3.1. ßêùî âèçíà÷íèê ∆ ñèñòåìè n ð³âíÿíü ç
n íåâ³äîìèìè â³äì³ííèé â³ä íóëÿ, òî ñèñòåìà ñóì³ñíà ³ ìàº
ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê. Öåé ðîçâ’ÿçîê äàºòüñÿ òàêèìè çíà÷åííÿìè
øóêàíèõ íåâ³äîìèõ:
∆i
xi
= , i = 1, n , (3.3.2)
∆
äå ∆ i — âèçíà÷íèê, îòðèìàíèé ³ç ∆ çàì³íîþ â íüîìó i-ãî
ñòîâïöÿ ñòîâïöåì â³ëüíèõ ÷ëåí³â b 1 , b 2 ,…, b n .
Ôîðìóëè (3.3.2) îòðèìàëè íàçâó ôîðìóë Êðàìåðà.
Äîâåäåííÿ. Îáåðíåíà ìàòðèöÿ áóäóºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
(2.5.2) ³ ìຠâèä:
1 1
A - = × °
A A,
äå à º ìàòðèöåþ, ÿêà ñîþçíà äî ìàòðèö³ A. Îñê³ëüêè
åëåìåíòè ìàòðèö³ à ÿâëÿþòü ñîáîþ àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ
1
Êðàìåð Ãàáð³åëü (1704 – 1752) — øâåéöàðñüêèé ìàòåìàòèê.
72 73